1. Introducción 2. Sistema Inercial y no Inercial

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006
SOLUCIÓN NUMÉRICA PARA LA TRAYECTORIA EN UN PLANETA
ROTANTE
D. L. Otálora1 , F. J. Poveda2
Universidad Nacional de Colombia
2
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
(Recibido 07 de Oct.2005; Aceptado 09 de Ene.2006; Publicado 05 de Abr.2006)
1
RESUMEN
Una partı́cula se mueve en un planeta esférico rotante con una velocidad angular determinada; la trayectoria de la partı́cula en el sistema inercial, es diferente a la del sistema
no inercial que rota con el planeta. Considerando despreciable el efecto de translación
del planeta y tomando la acción de las fuerzas ficticias; se implementa un programa en
C, para la solución de las ecuaciones diferenciales dinámicas, las cuales solo tienen solución numérica. Mediante gráficas de las trayectorias, se interpreta el comportamiento del
sistema de referencia inercial y el sistema rotante.
Palabras claves: No tiene
ABSTRACT
A particle moves in a rotating spheric planet with an angular velocity determined; the
path of the particle in the system inercial, is different to that of the system not inercial
that broken with the planet. Considering despicable the effect of translación of the planet
and taking the action of the fictitious forces; is implemented a program in C, for the
solution of the dynamic differential equations, which alone they have numerical solution.
By means of graphics of the paths, the behavior of the system of reference is interpreted
inercial and the rotating system.
Keywords: no tiene
1.
Introducción
El problema de una partı́cula rotando sobre una superficie esférica es analizado desde
un sistema no inercial de referencia. Para solucionar el sistema analı́ticamente, es necesario realizar algunas aproximaciones [1]. Al resolver el problema numéricamente para el
sistema no inercial, se obtienen trayectorias curiosas [2], debido a la presencia de fuerzas
ficticias, no disipativas, las cuales no aparecen en el sistema inercial.
2.
Sistema Inercial y no Inercial
Consideremos una partı́cula de masa m moviéndose con una velocidad angular arbitraria ω0 sobre la superficie esférica, en donde la fricción es despreciable [2, 3]. La
ecuación dinámica del sistema inercial (Σ) es:
r
(1)
R
donde g es la aceleración de la gravedad en el planeta, T es la fuerza de reacción de la
superficie sobre la partı́cula en consideración y R es el radio del planeta.
F = (−mg + T )
La fuerza no inercial tiene la forma (Σ∗ )
F∗ = F − m [ω0 × (ω0 × r∗ ) + ω0 ×r∗ ]
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(2)
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La partı́cula se encuentra obligada a moverse sobre la superficie del planeta, mediante
2
2
2
la ligadura (x∗1 ) + (x∗2 ) + (x∗3 ) = R2 , tomando el planeta como si fuera una esfera, lo
cual es cierto para T > 0.
Para reducir cálculos hacemos el radio del planeta, ası́ como la masa de la partı́cula,
igual a 1. Al comparar el problema desde el punto de vista de un sistema inercial Σ y otro
sistema no inercial Σ∗ que rota con el planeta, ambos con origen de coordenadas en el
centro del planeta, se puede apreciar el efecto de las fuerzas ficticias sobre la trayectoria
de la partı́cula. Las lagrangianas respectivas son
L θ, ϕ, θ̇, ϕ̇
L∗ θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗
=
=
1 2
θ̇ + ϕ̇2 sin2 θ
2
1 ∗2
θ̇ + (ϕ̇∗ + ω0 )2 sin2 θ∗
2
Haciendo uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange se llega
que rigen el movimiento de la partı́cula en el sistema Σ∗
⎛ ∗ ⎞ ⎛
θ
θ̇∗
∗
⎟ ⎜
d ⎜
ϕ˙∗
⎜ ϕ ⎟=⎜
∗
∗
dt ⎝ θ̇ ⎠ ⎝ (ϕ̇ + ω0 )2 sinθ∗ cosθ∗
ϕ˙∗
−2θ̇∗ (ϕ̇∗ + ω0 )2 cotθ∗
(3)
(4)
al sistema de ecuaciones
⎞
⎟
⎟
⎠
(5)
Esta ecuación es relativamente más simple que la presentada en la referencia [1], en
donde se utilizan las ecuaciones comunes de la mecánica vectorial.
3.
Resultados
Haciendo uso del método numérico para la solución de sistemas de ecuaciones, RungeKutta orden cuarto, implementado en C y usando el programa MATLAB, se obtuvieron
las gráficas para las trayectorias sobre la superficie. La trayectoria en el sistema inercial
siempre sigue un cı́rculo máximo sobre la esfera, determinada por las condiciones iniciales.
En la Figura 1(a) la velocidad inicial en ϕ, para el sistema Σ∗ , es igual a −ω0 ,
por lo cual el observador inercial observará esta velocidad inicial igual a cero y ambos
recorridos son iguales para él. Para cada caso la variación de la velocidad en θ harán
totalmente diferentes los recorridos. En el sistema rotante se pueden obtener varios tipos
de trayectorias las cuales no solo dependen de las condiciones iniciales si no también del
valor de ω0 como se ve en la Figura 1(b).
Se puede apreciar el caso para el cual, el valor de la velocidad ϕ̇ = 0, Figura 2(a). En
la Figura 2(b) se tiene una trayectoria que no cruza por los polos, este caso se presenta
cuando las velocidades en θ y ϕ son iguales a 0,05
Referencias
[1] A. Amengual, “Noninertial trajectories on a fast rotating planet”, Am. J. Phys. 68,
1106 (2000).
[2] D. H. Mclntyre, “Using great circles to understand motion on a rotating sphere”, Am.
J. Phys. 68, 1097 (2000).
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REFERENCIAS
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Figura 1: Trayectoria para la partı́cula con las condiciones iniciales (a) θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗ =
π π
π π
∗
∗ ∗
∗
= 18
,
,
1,
−1
y
(b)
θ
,
ϕ
,
θ̇
,
ϕ̇
, 18 , 1, 10
2 2
Figura 2: Trayectorias para la partı́cula con las condiciones iniciales (a) θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗ =
π π
π
∗
∗ ∗
∗
= π3 , 18
, 0,05, 0,05
18 , 18 , −0,5, 0 y (b) θ , ϕ , θ̇ , ϕ̇
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REFERENCIAS
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006
[3] D. Campos, J. Isaza, Prolegómenos a los sistemas dinámicos, Universidad Nacional
de Co-lombia (2002).
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