n - Departamento de Electrónica - UTFSM

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Electrónica
Comunicaciones por Fibra Óptica
Capítulo 2: Fibras Ópticas
Comunicaciones por Fibra Óptica
(Elo-357)
Índice
„
„
2.1 Tipos de Fibras
2.1.1. Fibras de índice de refracción escalonado.
2.1.2. Fibras de índice de refracción gradual.
2.2 Propagación de ondas en Fibras ópticas
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell.
2.2.2 Ecuaciones en la guía de ondas cilíndrica.
2.2.3 Ecuaciones de onda para fibras de índice escalonado.
2.2.4 Ecuación modal
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice Escalonado
2.2.6 Apertura Numérica en Fibras de Índice Gradual
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
2
Índice
„
„
„
2.3 Dispersión en fibras monomodo
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
2.4 Limitaciones por dispersión inducida
2.4.1 Ecuación de propagación.
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados).
2.4.3 Limitaciones en la velocidad de Transmisión.
2.5 Pérdidas de potencia en Fibras Ópticas
2.5.1 Absorción del Material.
2.5.2 Esparcimiento Rayleigh.
2.5.3 Imperfecciones en la guía de ondas.
2.5.4 Coeficiente de atenuación.
3
2. Fibras Ópticas
Antes de describir la fibra óptica, considerando los
procesos de emisión, transmisión y detección de
señales ópticas, revisaremos algunos conceptos
relativos a la naturaleza de la luz.
4
Naturaleza de la luz
„
Óptica de Partículas:
„
„
Diminutas partículas, viajando en línea recta,
emitidas por fuentes luminosas. (Inicios del siglo
XVII)
Adecuada para describir fenómenos a gran
escala:
reflexión y refracción.
Inadecuada para describir fenómenos a escala
más fina:
interferencia y difracción.
5
Naturaleza de la luz
„
Óptica de Ondas:
Onda en movimiento. Fresnel, en 1815, explica
difracción.
Teoría electromagnética (Maxwell, 1864)
„
„
Ondas transversales: movimiento perpendicular
a la dirección de propagación.
Frentes de ondas: lugar geométrico de puntos
de igual fase.
6
Naturaleza de la luz
Figura 2.1: Representación de un frente de ondas plana
y esférica
7
Naturaleza de la luz
„
Óptica Cuántica:
„
Radiación óptica posee propiedades de las partículas
y de las ondas:
La luz (energía) es siempre emitida, o absorbida, en
unidades discretas llamadas cuántos o fotones cuya
energía es dada por:
h : Cte. de Planck : 6.625x10 −34
E = hv 
E2
E2
[
]
v
:
Frecuencia
del
fotón
Hz

hv
hv
E1
„
E1
Explica interacción de la luz con la materia:
fenómenos de emisión, absorción y dispersión
8
Naturaleza de la luz: óptica cuántica
h : Cte. de Planck : 6.625x10 −34
E = hv 
v : Frecuencia del fotón [Hz ]
9
Naturaleza de la luz
„
Algunas leyes básicas y definiciones
„
„
„
En el espacio libre, la luz viaja a una velocidad c = 3x108 [m/s]
La velocidad de la luz se relaciona con la frecuencia (υ) y la
longitud de onda (λ), según: c=υλ
En un medio dieléctrico (no conductor), la luz viaja a una
velocidad (υ) menor que c. La razón entre la velocidad de la luz en
el vacío y en la materia, define el índice de refracción total del
material:
1.00 : aire

c c : veloc. de la luz en el vacío
n
=
1.33 : agua
n= 
υ υ : veloc. de la luz en el medio
1.50 : vidrio

10
Naturaleza de la luz
„
Reflexión y refracción:
Fig 2.2 : Reflexión y refracción de un rayo de luz en
el borde de un material
11
Naturaleza de la luz
„
Reflexión y refracción:
- Ley de Snell :
n1senφ1 = n2 senφ 2
n1 cosθ1 = n2 cosθ 2
o, equivalentemente
- Reflexión externa: n2>n1
- Reflexión interna: n2<n1 (como ocurre en la fibra o
interfaz vidrio-aire)
- Reflexión interna total: θ1≤ θc, donde θc corresponde al
ángulo de incidencia crítica, dado por la relación:
θ c = arccos
n2
n1
(θ 2 = 0)
12
Naturaleza de la luz
„
Fig. 2.3: Representación del ángulo crítico y reflexión interna
total en interfaz vidrio-aire. Para n1=1.5 y n2=1.0 θc=48º
13
2.1 Tipos de Fibras
„
„
La fibra óptica es un guía de ondas dieléctrica, de forma
cilíndrica.
Este cilindro de radio a e índice de refracción n1, llamado
núcleo, es compuesto de vidrio de sílica, y está rodeado de
otro material dieléctrico (revestimiento), que presenta un
índice de refracción, n2, menor que el del núcleo.
14
2.1 Tipos de Fibras
Fig 2.4: Geometría y perfil de índice de refracción en fibras
15
2.1 Tipos de Fibras
Fig 2.4: Fibra monomodo con perfil escalonado
16
2.1 Tipos de Fibras
Fig 2.4: Fibra multimodo con perfil escalonado
17
2.1 Tipos de Fibras
Fig 2.4: Fibra multimodo con perfil gradual
18
2.1 Tipos de Fibras
2.1.1 Fibras de Índice de Refracción Escalonado
„
Considerando la figura 2.5, el ángulo del rayo refractado, según Snell,
es:
n0 senθ i = n1senθ r
Fig. 2.5: Propagación de la luz en fibras con índice
de refracción escalonado
19
2.1.1 Fibras de Índice de Refracción Escalonado
„
Así, la propagación por reflexión interna total resultará para
ángulos,
n2
φ ≥ φc = arcsen
n1
„
Relacionando este ángulo con el ángulo de incidencia, θi,
podemos encontrar el máximo ángulo (θi,máx) que asegurará que
el rayo permanezca confinado en el núcleo de la fibra:
n0 senθ i ,máx = n1 cos φc = n12 − n22
20
2.1.1 Fibras de Índice de Refracción Escalonado
„
Esta relación define, también, la apertura numérica (AN). Para
n1≈n2, AN puede ser aproximada como:
AN = n1 2∆
donde
n1 − n2
∆=
n1
: cambio fraccional de n en la interfaz.
21
2.1.1 Fibras de Índice de Refracción Escalonado
„
Desventaja: Dispersión Intermodal (o multitrayecto): distintos
rayos siguen trayectorias diferentes, alcanzando el extremo de la fibra
en tiempos diferentes. Considerando el trayecto más corto (θi=0), y el
más largo (θi= θi,máx), el retardo de tiempo entre ambos rayos es:
 L n12
n1  L
∆T = 
− L  =
∆
c  senφc
 c n2
Esto da una medida del ensanchamiento que experimenta un
pulso introducido en la entrada de la fibra.
22
2.1.1 Fibras de Índice de Refracción Escalonado
„
Es posible relacionar ∆T con la capacidad de la fibra de transportar
información, medida a través del bit rate (B).
De una manera intuitiva se puede limitar ∆T al tiempo asignado a una
ranura de tiempo: TB=1/B. Así, para una estimación de primer orden, B
se obtiene de la condición B ∆T<1. De esta forma, usando la ecuación
anterior se obtiene:
n2 c
BL < 2
n1 ∆
„
„
Por ejemplo, para n1= 1.5 y n2=1 BL<0.4 [Mb/s-km]
Para fibra comerciales ∆=2x10-3; en este caso se puede conseguir un
B=10 Mb/s sobre distancias de hasta 10 km.
23
2.1.2 Fibras de Índice de Refracción Gradual
„
Para este caso, el índice de refracción del núcleo decrece
gradualmente desde su valor máximo, n1 (en ρ=0), a su valor
mínimo, n2, en la interfaz núcleo-revestimiento. La variación es
cercanamente cuadrática, y se define a través del denominado
“perfil-α”, dado por:
α
 

ρ


n1 1 − ∆ a   para ρ < a

 
n( ρ ) =  
n (1 − ∆ ) = n para ρ ≥ a
2
 1
24
2.1.2 Fibras de Índice de Refracción Gradual
Fig. 2.6: Trayectoria de rayos en fibra multimodo con índice de
refracción gradual.
25
2.1.2 Fibras de Índice de Refracción Gradual
„
„
En este caso, la dispersión intermodal es significativamente
menor: los rayos que recorren trayectorias más largas (más
alejadas del eje de la fibra) lo hacen a una velocidad mayor
que los que siguen trayectos más cortos (cercanos al eje de la
fibra). Así, todos los rayos alcanzan el extremo de la fibra,
aproximadamente, en el mismo instante.
Al igual que en caso de fibras de índice escalonado, se puede
Determinar la cantidad ∆T/L, donde ∆T es el máximo retardo
por multitrayecto en una distancia L. Así, para mínima
dispersión (α=2(1-∆)), ésta viene dada por:
∆T / L = n1∆ 2 / 8c
„
Y el producto BL, de acuerdo al criterio usual, viene dado por:
BL < 8c / n1∆ 2
26
2.1.2 Fibras de Índice de Refracción Gradual
Fig. 2.7: Variación de la dispersión intermodal con el parámetro α.
27
2.2 Propagación de ondas en fibras ópticas
Para comprender de manera más detallada el mecanismo de
la propagación de la potencia óptica en la fibra, es necesario
resolver las Ecuaciones de Maxwell sujetas a las
condiciones de contorno cilíndricas de la fibra óptica
(Análisis modal).
28
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell
„
Considerando a la fibra como un medio dieléctrico (no conductor)
isotrópico y lineal, sin cargas libres y sin corrientes, las ecuaciones de
Maxwell toman la forma:
∇× E = −
∂B
,
∂t
(2.1)
∂D
∇× H =
,
∂t
(2.2)
∇ ⋅ D = 0,
(2.3)
∇⋅B = 0
(2.4)
Donde
E y H: vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético, resp.
D y B: densidades de flujo eléctrico y magnético, respectivamente.
29
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell
„
Estos vectores están relacionados a través de los parámetros
constitutivos del medio:
D =εE
B = µH
donde ε: permitividad del medio; µ: permeabilidad del medio.
„
Después de aplicar el rotacional en (2.1) y (2.2), substituyendo
apropiadamente las otras ecuaciones, y usando identidades vectoriales,
se obtienen las conocidas ecuaciones de onda para el campo eléctrico
y magnético:
∇ 2 E = εµ
2
∂ E
∂t 2
(2.5)
2
H
∂
2
∇ H = εµ 2
∂t
(2.6)
30
2.2.2 Ecuaciones en la guía de onda cilíndrica
„
„
Considerando propagación a lo largo de la fibra, en un sistema
de coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z), en la dirección z, los campos
pueden ser escritos como:
E = E0 ( ρ , φ )e j (ωt − βz ) ,
(2.7)
H = H 0 (ρ , φ )e j (ωt − βz ) ,
(2.8)
El parámetro β es la componente z del vector de propagación y
será determinado por la condiciones de borde del campo EM en
la interfaz núcleo-revestimiento.
31
2.2.2 Ecuaciones en la guía de onda cilíndrica
„
Substituyendo (2.7) y (2.8) en (2.1) y (2.2), y después de
manipulaciones algebraicas, es posible expresar las
componentes del campo transversal (Hρ,φ, Eρ,φ) en función de las
componentes longitudinales (Ez, Hz), es decir:
j  ∂E z µω ∂H z 

+
E ρ = − 2  β
ρ ∂φ 
q  ∂ρ
∂H z 
j  β ∂E z

− µω
Eφ = − 2 
∂ρ 
q  ρ ∂φ
(2.9)
(2.10)
32
2.2.2 Ecuaciones en la guía de onda cilíndrica
donde
j  ∂H z ωε ∂E z 

−
H ρ = − 2  β
ρ ∂φ 
q  ∂ρ
(2.11)
∂E z 
j  β ∂H z

+ ωε
H φ = − 2 
∂ρ 
q  ρ ∂φ
(2.12)
q 2 = ω 2εµ − β 2 = k 2 − β 2
33
2.2.2 Ecuaciones en la guía de onda cilíndrica
„
Después de otras manipulaciones, es posible obtener la ecuación de
onda, en coordenadas cilíndricas, para las componentes de campo
longitudinal.
∂ 2 E z 1 ∂E z 1 ∂ 2 E z
2
+
+
+
q
Ez = 0
2
2
2
∂ρ
ρ ∂ρ ρ ∂φ
∂ 2 H z 1 ∂H z 1 ∂ 2 H z
2
+
+
+
q
Hz = 0
2
2
2
∂ρ
ρ ∂ρ ρ ∂φ
(2.13)
(2.14)
Ez=0 : modos transversales eléctricos (TE).
Hz=0: modos transversales magnéticos (TM).
Ez≠Hz≠0: modos híbridos (HE o EH, si Hz>Ez o
Ez>Hz, respectivamente)
34
2.2.3. Ecuaciones de onda para fibras de índice
escalonado
„
Para encontrar los modos guiados en una fibra de índice
escalonado, basta tomar la ecuación (2.13), por ejemplo, y
aplicando el método de separación de variables, asumir su
solución de la forma:
E z = AF1 ( ρ ) F2 (φ ) F3 ( z ) F4 (t ),
„
(2.15)
Como ya es conocida la dependencia en z y t, entonces,
F3 ( z ) F4 (t ) = e j (ω .t − β . z )
(2.16)
35
2.2.3. Ecuaciones de onda para fibras de índice
escalonado
„
En la variable azimutal φ, el campo debe ser periódico en
enteros de 2π; por lo tanto se puede considerar una función de
la forma:
jvφ
F2 (φ ) = e
,
(2.17)
donde v debe ser entero, positivo o negativo.
„
Substituyendo (2.16) y (2.17) en (2.15), la ecuación de onda
para Ez, dada por (2.13) viene a ser:
∂ 2 F1 1 ∂F1  2 v 2 
+  q − 2  F1 = 0
+
2
ρ ∂ρ 
ρ 
∂ρ
(2.18)
36
2.2.3. Ecuaciones de onda para fibras de índice
escalonado
La ecuación anterior corresponde a la ecuación diferencial para las
funciones de Bessel. La solución viene de considerar las dos regiones
de la fibra (dentro y fuera del núcleo):
„
Para ρ<a: modos guiados deben permanecer finitos cuando ρ→0, y
decaer a cero a medida que ρ→ ∞. Por lo tanto, las soluciones de
(2.18) son las funciones de Bessel del primer tipo, de orden v, esto es:
Jv(uρ)
Aquí, u2=k12-β2, con k1=2πn1/λ0. Por lo tanto,
E z ( ρ < a ) = AJ v (uρ )e jvφ e j (ωt − βz ) ,
H z ( ρ < a ) = BJ v (uρ )e jvφ e j (ωt − βz ) ,
(2.19)
(2.20)
Donde A y B son constantes arbitrarias.
37
2.2.3. Ecuaciones de onda para fibras de índice
escalonado
„
Para ρ>a:
>a los modos guiados deben decaer a cero para
ρ→ ∞. Así, la solución para la ecuación (2.18) son las funciones
de Bessel modificadas del segundo tipo: Kv(wρ). Aquí w2=β 2-k22
con k2=2πn2/λo.
Las expresiones para Ez y Hz, son entonces dadas por:
E z ( ρ > a ) = CK v (wρ )e jvφ e j (ωt − βz ) ,
H z ( ρ > a ) = DK v (wρ )e jvφ e j (ωt − βz ) ,
(2.21)
(2.22)
con C y D, constantes arbitrarias.
38
2.2.3. Ecuaciones de onda para fibras de índice
escalonado
„
Condición de corte:
„
„
Fuera del núcleo, la función Kv(wρ)→e-wρ, cuando wρ→∞. Puesto
que Kv(wρ)→0, cuando ρ→∞, entonces w>0. Esto implica que
β≥k2.
Una segunda condición para β se deduce del comportamiento de
Jv(uρ)
Dentro del núcleo, el parámetro u debe ser real para que F1
también lo sea. Esto implica que k1≥β.
„
Así, el rango para la constante de propagación es:
n2 k0 = k 2 ≤ β ≤ k1 = n1k0
donde k0=2π/λ0 es la constante e propagación en el espacio libre.
39
2.2.4 Ecuación Modal
„
„
„
Las soluciones de β deben ser determinadas a partir de las
condiciones de contorno.
Estas requieren que las componentes tangenciales Ez, Eφ, Hz y Hφ, a
uno y otro lado de la interfaz, se igualen, respectivamente, en ρ=a.
Esto lleva a un sistema de 4 ecuaciones y cuatro incógnitas (los
coeficientes A, B, C y D), cuya solución existirá si el determinante
de estos coeficientes es nulo:
 J 'v ( ua ) K 'v ( wa )  2 J 'v ( ua )

2 K 'v ( wa )
+
+ k2
k1




wK v ( wa ) 
 uJ v ( ua ) wK v ( wa )  uJ v ( ua )
2
1 
 βv   1
=
+
  2

w2 
 a  u
2
(2.24)
40
2.2.4 Ecuación Modal
„
„
„
„
La ecuación trascendental (2.24) puede ser resuelta
numéricamente para la constante de propagación β.
Dado el comportamiento oscilatorio de las funciones de Bessel
de tipo Jν(uρ), habrá múltiples soluciones (m raíces de (2.24))
para cada valor entero de ν. Estas soluciones serán designadas
por βvm, y cada una de ellas corresponderá a un posible modo
de propagación de campo óptico:
En general, para modos en fibras:
Caso especial: v=0 →
 HEvm para H z > E z

 EH vm para E z > H z
 HEom → TEom para E z = 0

 EH om → TM om para H z = 0
41
2.2.4 Ecuación Modal
„
Un importante parámetro conectado con la condición de corte es la
frecuencia normalizada V (también llamado parámetro-V o númeroV), definido como:
2
 2πa  2
 (n1 − n22 )
V = (u + w )a = 

λ
 0 
2π
2
2
V = k 0 a (n1 − n2 ) ≈
an1 2∆
2
2
2
2
λ0
(2.25)
el cual es un número adimensional y determina cuántos modos una
fibra puede soportar.
42
2.2.4 Ecuación Modal
„
El número de modos que puede existir en la fibra como función
del parámetro V puede ser convenientemente representado en
términos de la constante de propagación normalizada b,
definida como:
b=
„
2
a w
V
2
2
(
β k)
=
2
n12
− n22
− n22
(2.26)
Un gráfico de b en función de V se muestra a continuación,
para unos pocos modos de menor orden. Se observa que los
modos son “cortados” cuando β/k = n2.
43
2.2.4 Ecuación Modal
Fig. 2.8: Constante de propagación normalizada b en función del
parámetro V para algunos modos de orden menor
44
2.2.4 Ecuación Modal
„
„
El parámetro V puede también ser relacionado con el número de
modos M en una fibra multimodo cuando M es grande, usando
aproximaciones de teoría de rayos.
Un rayo a la entrada de la fibra será aceptado si éste incide dentro
del ángulo definido por la apertura numérica de la fibra; esto es:
NA= sinθ = (n12 − n22 )1/ 2
„
(2.27)
Para NA prácticas sinθ es pequeño de manera que se puede
aproximar al ángulo. Así, el ángulo de aceptación sólido para la
fibra viene a ser:
Ω = πθ 2 = π ( n12 − n22 )
(2.28)
45
2.2.4 Ecuación Modal
„
„
Por otra parte, el número de modos por unidad de ángulo sólido
emergiendo de una radiación electromagnética de longitud de
onda λ, desde una fuente láser o guía de onda óptica, viene dado
por 2A/λ2, donde A es el área del modo entrante o saliente. El
área, en este caso, es la sección transversal del núcleo: πa2. El
factor 2 viene del hecho de considerar que la onda plana puede
tener dos orientaciones de polarización.
Por lo tanto, el número de modos totales M que entran a la fibra
está dado por:
M ≅
2A
λ
2
Ω=
2π 2 a 2
λ
2
(n12
− n22 )
V2
=
2
(2.29)
46
2.2.4 Ecuación Modal
„
Campo eléctrico en una sección de fibra para los primeros
modos.
47
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
„
El campo óptico en la fibra no se anula en la interfaz núcleorevestimiento; sino que cambia en una forma oscilante dentro del núcleo
(dependiendo del modo en cuestión), y decae exponencialmente en el
revestimiento. Por lo tanto la energía de un modo guiado será
transportada parcialmente en el núcleo y en el revestimiento.
48
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
„
La cantidad relativa de potencia fluyendo en el núcleo y en el
revestimiento puede ser obtenida tomando el vector de Poynting en
la dirección axial,
G
G *
G
1
Sz =
Re( E × H ) ⋅ eˆ z
2
„
(2.30)
e integrándolo sobre la sección transversal de la fibra. Así, la potencia
en el núcleo y en el revestimiento viene dada, respectivamente, por:
P núcleo
P revest
1
=
2
1
=
2
a
∫ ∫
∫ ∫
0
∞
a0
2π
0
r (E x H
2π
0
r (E x H
*
y
− EyH
*
x
) d φ dr
(2.31)
*
y
− EyH
*
x
) d φ dr
(2.32)
49
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
„
Se puede demostrar que la potencia relativa del núcleo y del
revestimiento, respecto de la total (P) para un modo particular ν viene
dada por:
Pnúcleo  u 2
= 1− 2
 V
P

„
„
y
2


J
(
ua
)
v
 1 −
  J (ua ) J (ua ) 
v +1
v −1


Prevest
Pnúcleo
= 1−
P
P
(2.33)
(2.34)
Las relaciones entre Pnúcleo y Prevest son graficadas en la siguiente figura
en términos de las potencias fraccionales Pnúcleo/P y Prevest/P.
50
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
ν m → HEν +1,m , EH v −1,m
para v ≠ 1
vm → HE2 m , TE / TM 0 m
para v = 1
Fig 2.9. Flujo de potencia fraccional en el núcleo y en el revestimiento
para una fibra de índice escalonado.
51
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
„
„
En la figura anterior puede observarse que lejos de la frecuencia
de corte de un modo en particular, la energía se concentra más en
el núcleo; en cambio próxima de ésta, el campo óptico penetra en
el revestimiento y el mayor porcentaje de la potencia óptica se
propaga por el revestimiento.
Por otra parte, para valores grandes de V la potencia promedio en el
revestimiento disminuye considerablemente pues ha sido transferida
a los muchos modos de orden superior que coexisten. La potencia
promedio total en el revestimiento se relaciona con el número de
modos M, según:
4 −1/ 2
 Prevest 
= M


 P  total 3
(2.35)
52
2.2.5 Flujo de Potencia en Fibras de Índice
Escalonado
„
„
„
„
Por ejemplo:
una fibra de radio a=25 µm, n1 =1,48, y ∆=0,01 operando en λ=0,84 µm,
el valor de V=39 y M=760. De la ecuación anterior aproximadamente el
5% de la potencia se propaga en el revestimiento.
Si ahora ∆=0,003 (para disminuir dispersión), entonces M=242 y
alrededor del 9 % de la potencia se concentra en el revestimiento.
Para el caso de una fibra monomodo, (HE11), se observa que para V=1
alrededor del 70% de la potencia se propaga por el revestimiento,
mientras que para V=2.405, donde comienza el modo TE01,
aproximadamente el 84% de la potencia esta contenida en el núcleo.
53
2.2.6 Apertura Numérica en Fibras de Índice
Gradual
„
„
„
La determinación de la NA en este tipo de fibras es compleja en
comparación con fibras de índice escalonado.
En fibras de índice gradual la NA es función de la posición en la sección
transversal de la fibra, en contraste con el caso de fibras de índice
escalonado donde ésta es constante en todo el núcleo.
Consideraciones de la óptica geométrica demuestran que la luz incidente
en la posición ρ del núcleo se propagará como un modo guiado sólo si este
punto está dentro de la apertura numérica local NA(ρ). Esta se define
como:
[
]
 n 2 ( ρ ) − n 2 1/ 2 ≈ NA(0) 1 − (ρ / a )α → ρ ≤ a
2
NA( ρ ) = 
0 → ρ > a
(2.36)
54
2.2.6 Apertura Numérica en Fibras de Índice
Gradual
„
Donde la apertura numérica axial se define como:
[
2
NA ( 0 ) = n ( 0 ) −
]
2 1/ 2
n2
= ( n12 − n 22 ) 1 / 2 ≈ n1 2 ∆
(2.37)
En la figura siguiente se
observa la variación de
la NA para diferentes
perfiles α
55
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
„
El análisis modal de la fibra con índice gradual sólo puede ser aproximado. El
método WKB (Wenzel, Kramers & Brillouin), uno de los más usados, busca
obtener una representación asintótica de la solución de una ecuación
diferencial que contiene un parámetro que varía lentamente sobre un rango
deseado de la ecuación. El parámetro en este caso es perfil del índice de
refracción n(ρ), el cuál varía ligeramente sobre distancias del orden de una
longitud de onda.
Análogamente al caso de la fibra de índice escalonado, la ecuación para la
componente radial a resolver es:
∂ 2 F1
∂ρ
2
2 
1 ∂F1  2 2
v
+
+ k n ( ρ ) − β 2 − 2  F1 = 0
ρ ∂ρ 
ρ 
(2.38)
56
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
donde n(ρ), esta dado por la ecuación
α
 
ρ


n1 1 − ∆ a   para ρ ≤ a
n(ρ ) =  

 

n1 (1 − ∆) = n2 para ρ ≥ a
„
„
(2.39)
Según el procedimiento WKB, la solución para F1 es de la forma:
(2.40)
F1 ( ρ ) = Ae jkQ ( ρ )
donde el coeficiente A es independiente de ρ. Substituyendo (2.40) en la
ecuación diferencial (2.38) se obtiene:
2


v
2
2 2
2
jkQ′′ − (kQ′) + Q′ + k n ( ρ ) − β − 2 
ρ
ρ 

jk
(2.41)
57
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
Puesto que n(ρ) varía lentamente sobre una distancia del orden de λ , la
función Q(ρ) puede expandirse en potencias de λ o, equivalentemente, en
potencias de k-1= λ /2π , osea:
Q ( ρ ) = Q0 +
„
1
1
Q1 + 2 Q 2 + ...
k
k
(2.42)
donde Q0, Q1, Q2... Son ciertas funciones de ρ. Substituyendo (2.42) en
(2.41) y agrupando potencias iguales de k se obtiene:
2


 
v
jk ' 
''
'
'
2
' 2
2 2
2
Q 0 
 − k ( Q 0 ) +  k n ( ρ ) − β − 2   +  jkQ 0 − 2 kQ 0 Q1 +
ρ  
ρ



„
+ términos de orden
(k 0 , k −1 , k −2 ,...) = 0
(2.43)
58
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
Una secuencia de relaciones definidas para cada función Qi,
puede ser obtenida igualando a 0 los términos de igual
potencia de k. Considerando los primeros 2 sumandos de
(2.43), se tiene:
 2 2
v2 
2
− k (Q ) +  k n ( ρ ) − β − 2  = 0
ρ 

jk '
jkQ 0'' − 2 kQ 0' Q1' +
Q0 = 0
2
' 2
0
ρ
„
Integrando (2.44):
kQ o =
∫
r2
r1
(2.45)
1
 2 2
v  2
2
k n ( ρ ) − β − ρ 2  d ρ


2
(2.44)
(2.46)
59
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
„
„
Un modo ν sólo se propagará dentro del núcleo si Q0 es real,
lo cual ocurre para ρ entre r1 y r2, correspondientes a los
límites de la integral en (2.46).
Para otros valores de ρ, Q0 es
imaginario, lo que provoca un
campo evanescente.
El dibujo presenta una
proyección de los rayos, en
donde la trayectoria se
encuentra entre 2 superficies
cilíndricas, denominadas
superficies cáusticas,
usticas de radios
r1 y r2.
60
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
Puede observarse, que cuando:
ν2
k n (ρ)− β > 2
ρ
2
ν
k 2n2 ( ρ ) − β 2 < 2
ρ
2
„
2
2
Propagación del modo
Modo Evanescente
En la zona que existe propagación, se genera un patrón de
onda estacionaria en sentido radial. Esto impone la
condición:
m = 0,1,2,…
mπ =
∫
r2
r1
1
 2 2
v  2
2
k n ( ρ ) − β − ρ 2  d ρ


2
Corresponde al número de
medios periodos entre r1 y r2
(2.47)
61
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
El número total de modos se obtiene sumando sobre todos los ν,
entre 0 y νmax. Si νmax es grande, la suma se reemplaza por la una
integral:
m(β ) =
„
4
r2 (ν )
0
r1 (ν )
π∫ ∫
 2 2
v  2
2
 k n ( ρ ) − β − ρ 2  d ρ dν


(2.48)
Cambiando el orden de integración y haciendo r1=0, para contar
todos los modos, se obtiene:
1
 2 2
v  2
2
(2.49)
m ( β ) = ∫ ∫  k n ( ρ ) − β − 2  dν d ρ
π 0 0 
ρ 
2
ν
2 2
2
=0
Donde νmax, esta determinado por: k n ( ρ ) − β − max
2
ρ
(2.50)
4
„
ν max
1
2
r2
ν max
2
62
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
Integrando (2.49) respecto a ν, se tiene:
(2.51)
r2
m ( β ) = ∫  k 2 n 2 ( ρ ) − β 2  ρ d ρ
0
„
Utilizando (2.39), es posible obtener r2 a partir de:
kn ( ρ ) = β
(2.52)
 1 
β 
r2 = a  1 − 2 2  
 2∆  k n1  
2
1
α
„
Obteniendo:
„
Finalmente, el número de modos resultantes es:
m ( β ) = a 2 k 2 n12 ∆
α  k 2 n12 − β 2 

2 2 
α + 2  2∆k n1 
(2.53)
( 2 +α )
α
(2.54)
63
2.2.7 Modos en Fibras Ópticas de Índice Gradual
„
„
Todos los modos deben cumplir β ≥ kn2 , para que se
propague completamente dentro del núcleo. De lo contrario
existirán perdidas en el revestimiento.
El máximo numero de modos (M), está determinado por βmax:
β = kn2 = kn1 (1 − ∆ )
„
(2.55)
Por lo tanto, usando la relación entre n1 y n2, se obtiene:
M = m ( kn2 ) = a 2 k 2 n12 ∆
α
α +2
(2.56)
64
2.3 Dispersión en Fibras Monomodo.
„
„
Aún cuando la dispersión intermodal, propia de las fibras
multimodos, no está presente en fibras monomodos (existe un
único modo propagante), el ensanchamiento de pulsos continúa
persistiendo, como resultado de la dispersión cromática: la
velocidad de grupo, asociada con el modo fundamental, es
dependiente de la frecuencia.
Como resultado, las diferentes componentes espectrales del
pulso viajan a velocidades ligeramente distintas, fenómeno
conocido también como dispersión de velocidad de grupo
(GDV), dispersión intramodal, o simplemente dispersión de
la fibra.
65
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
Consideremos una fibra monomodo de longitud L. Una
componente espectral específica, de frecuencia ω, alcanzará el
extremo de salida de la fibra después de un tiempo T dado por:
T =
L
vg
(2.27)
donde vg es la velocidad de grupo definida como:
∂β
v =
∂ω
−1
g
(2.28)
66
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
Usando la definición de constante de propagación,
β = nk =
nω
c
(2.29)
donde n es llamado índice modal o efectivo, se puede
demostrar que v g = c n g , donde n g es ahora el índice de
grupo dado por:
∂n
ng = n + ω
∂ω
(2.30)
67
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
„
La dependencia en frecuencia, evidente, de la velocidad de grupo
(llamada también dispersión de velocidad de grupo, GDV), lleva a
que se produzca un ensanchamiento del pulso propagado por la
fibra.
Si ∆ω es el ancho espectral del pulso, este ensanchamiento es
definido por:
dT
d  1
∆T =
∆ω = L
dω
dω  vg
„
2

d
∆ω = L β2 ∆ω = Lβ 2 ∆ω

dω

(2.31)
El parámetro β2 =d2β/dω2 es conocido como parámetro GDV, y
determina cuánto podría un pulso óptico ensancharse al
propagarse por la fibra.
68
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
Usando ∆λ en vez de ∆ω, según la relación ∆ω=(-2πc/λ2)∆λ,
podemos escribir:
(2.32)
2πc
d  1 
∆λ = 2 β 2 L∆λ = DL∆λ
∆T = L
λ
dλ  v g 
donde
d  1
D=
dλ  v g

 = − 2πc  β 2 =  ∆ω  β 2
2

λ
 ∆λ 



(2.33)
D es llamado parámetro de dispersión, se expresa en
unidades ps/(km-nm). (D= 1 ps/km-nm cerca de 1,3 µm)
69
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
Expresando ahora D en términos del índice de modo, n,
 2πc  d  1
D = − 2 
 λ  dω  v g
„

 = − 2π
2

λ

 dn
d 2n 
 2

+ω
2 
dω 
 dω
(2.34)
También, podemos escribir D como la suma de dos términos:
D=DM+DW
(2.35)
Donde el primero, llamado dispersión del material, se
expresa como:
− 2π dn2 g 1 dn2 g
DM =
=
λ dω c dλ
(2.36)
70
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
Así, conociendo la dependencia en longitud de onda ng,
podemos anticipar el comportamiento de DM. Para sílica fundida,
esta dependencia se muestra en la Fig. 2.9:
Fig 2.9: Variación, con la longitud
de onda, del índice de refracción n
y ng
71
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
El segundo término del lado derecho de (2.35) es llamado
dispersión de guía de onda, y toma la forma:
2
2π∆  n2 g Vd 2 (Vb ) dn2 g dVb 
DW = − 2 
+

2
λ  n2ω dV
dω dV 
„
(2.37)
En la expresión anterior se nota claramente la dependencia de
DW del parámetro V.
72
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
La fig. 2.10 muestra como los términos d(Vb)/dV y Vd2(Vb)/dV2
varían con el parámetro V.
Fig. 2.10: Variación de b y de las
derivadas de Vb respecto del
parámetro V.
73
2.3.1 Dispersión de velocidad de grupo.
„
La fig. 2.11 muestra la contribución de DM y DW en la dispersión
total D, para una fibra monomodo convencional. Se observa que
el principal efecto de DW es desplazar λZD (de 1.276 µm → 1.3
µm).
Fig. 2.11: Dispersión total, y sus
contribuciones,
para
fibra
monomodo convencional.
74
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
Existen otras fuentes de dispersión que contribuyen al
ensanchamiento de los pulsos cuando estos se propagan por la
fibra, pero su contribución es mínima comparada con el efecto
de la dispersión de la velocidad de grupo.
Es el caso de la dispersión de orden superior y la
dispersión por modo de polarización.
„
Dispersión de orden superior:
superior
Surge al trabajar en λZD. Esto puede ser comprendido notando
que D no puede ser nulo para todas las longitudes de ondas
contenidas en el espectro del pulso, centrando en λ ZD. Sus
efectos son gobernados por la pendiente de
dispersión, definida como:
2 2
3
S = dD/ dλ = (2πc / λ ) β3 + (4πc / λ )β2
75
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
„
Dispersión por Modo de Polarización:
En presencia de birrefrigerancia en la fibra (diferencia del índice
de refracción de las componentes polarizadas ortogonalmente del
modo fundamental), el pulso se ensancha desde que éste haya
excitado ambas componentes de polarización, que se propagan
con diferentes velocidades de grupo. Este fenómeno, llamado
Dispersión de Modo de Polarización (PMD), y es una
limitante importantes en los SCOs modernos.
En fibras con birrefringencia constante, el ensanchamiento del
pulso puede ser estimado a partir del retardo ∆T entre las dos
componentes de polarización del modo fundamental, durante la
propagación del pulso.
76
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
„
Dispersión por Modo de Polarización:
Fast
Fast
Fiber
Slow
Fiber
Distance
Slow
Distance
τPMD
77
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
ƒ
Dispersión por Modo de Polarización:
Para una fibra de longitud L, ∆T viene dado por:
L
L
∆T =
−
= L β 1 x − β 1 y = L ( ∆β 1 )
v gx v gy
donde los subíndices x e y identifican los dos modos polarizados
ortogonalmente y ∆β1 se relaciona con la diferencia de las velocidades
de grupo de los dos estados de polarización.
La cantidad ∆T/L es una medida de la PMD. Para fibras que mantienen
la polarización ∆T/L es del orden de 1 ns/km (extremadamente
grande), siempre que se hayan excitado por igual los dos modos. Este
puede reducirse a cero cuando la luz excita apenas un modo.
78
2.3.2 Otras fuentes de dispersión
ƒ Dispersión por Modo de Polarización:
De igual manera que otras fuentes de dispersión, PMD puede
caracterizarse a través de un parámetro de dispersión por
modo de polarización: Dp Este parámetro varía de fibra en fibra
en el rango Dp: 0.01-10 ps/km1/2.
• Fibras instaladas en la década de los 80 tienen Dp>0.1 ps/km1/2
• Fibras fabricadas recientemente tienen Dp< 0.1 ps/km1/2
• Debido a la dependencia km1/2 el ensanchamiento de los pulsos
inducidos por PMD es relativamente pequeño comparado con el efecto
GDV. Sin embargo es relevante para sistemas WDM que operan a alta
tasas de transmisión (40 Gb/s) de larga distancia.
79
2.4 Limitaciones por dispersión inducida.
„
„
El ensanchamiento de los pulsos discutido anteriormente,
provee una aproximación de primer orden, para pulsos cuyo
ancho espectral está más dominado por el espectro de la
fuente óptica (que idealmente debería ser de ancho
infinitesimal) que por el espectro (Transformada de Fourier)
del pulso.
Se verá a continuación que el ensanchamiento depende del
ancho y de la forma del pulso de entrada.
80
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
Cada frecuencia ω del campo eléctrico óptico, en una fibra
monomodo, se propaga según:
G
~
ˆ
E (r , ω ) = xF ( x, y ) B (0, ω )e jβz
(2.4.1)
~
donde B (0, ω ) es la amplitud inicial y F(x,y) es la distribución
del campo en la fibra, en el modo fundamental; ésta puede ser
asumida como una distribución gaussiana, independiente de ω,
considerando pulsos cuyo ancho espectral ∆ω<<ωo
81
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
Las diferentes componentes espectrales se propagarán de acuerdo a la
relación,
~
~
B ( z , ω ) = B (0, ω )e jβz
„
La amplitud del campo óptico, en el dominio del tiempo, puede
obtenerse tomando en cuenta la transformada de Fourier inversa de
(2.4.2); esto es,
1
B( z, t ) =
2π
„
(2.4.2)
∞
∫
B ( z , ω )e − jω t dω
(2.4.3)
−∞
~
La amplitud espectral inicial B (0, ω ) es justamente la transformada de
Fourier de la amplitud de entrada B(0,t).
82
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
„
Como fue visto anteriormente, el ensanchamiento de los pulsos se
debe a la dependencia de β con la frecuencia.
Para pulsos cuasi-monocromáticos, con ∆ω<<ωo, resulta útil expandir
β(ω) en serie de Taylor alrededor de ωo, reuniendo términos hasta de
tercer orden; esto es:
β (ω ) = n~ (ω )
ω
c
≈ β 0 + β1 (∆ω ) +
1
1
β 2 (∆ω )2 + β 3 (∆ω )3
2
6
(2.4.4)
donde ∆ω=ω – ωo , βm=(dmβ/dωm).
„
Así, β1=1/vg, donde vg es la velocidad de grupo; β2 es el coeficiente de
GVD relacionado con el parámetro de dispersión D según la ec. (2.33);
mientras que β3 está relacionado con la pendiente de dispersión S,
según la ecuación (2.3.13).
83
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
Así, substituyendo las ecuaciones (2.4.2) y (2.4.4) en (2.4.3) e
introduciendo una amplitud A(z,t), que varía lentamente
siguiendo la envolvente del pulso, se obtiene la relación:
B ( z , t ) = A( z , t )e j ( βz −ω 0t )
(2.4.5)
donde la amplitud A(z,t) viene dada por:
∞
1
~
[
jβ1z∆ω + 2j β 2 z ( ∆ω )2 + 6j β3 z ( ∆ω )3 − j∆ωt ]
A( z, t ) =
d (∆ω) A(0,ω) × e
∫
2π −∞
(2.4.6)
~
donde A(0, ∆ω )
es la transformada de Fourier de A(0, t )
84
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
Ahora, tomando la ∂/∂t de la ecuación (2.4.6) y considerando
que ∆ω puede ser reemplazada por j(∂A/∂t) en el dominio del
tiempo, la ecuación (2.4.6) puede ser escrita como:
∂A
∂A j
∂2 A 1 ∂3 A
+ β1
+ β 2 2 − β3 3 = 0
6
∂z
∂t 2
∂t
∂t
(2.4.7)
„
Esta es la ecuación básica de propagación, que gobierna la
evolución del pulso dentro de la fibra monomodo.
„
En ausencia de dispersión (β2 = β 3 = 0), el pulso óptico se
propaga sin cambio en su forma puesto que
A(z,t) = A(0,t- β 1z).
85
2.4.1 Ecuación de propagación.
„
Considerando un marco de referencia que se mueve con el
pulso, e introduciendo las nuevas coordenadas,
t ′ = t − β1 z
y
z′ = z
(2.4.8)
la ecuación (2.4.7) puede ser re-escrita como:
∂A j
∂ 2 A 1 ∂3 A
+ β2 2 − β3 3 = 0
6
∂t '
∂z ' 2
∂t '
(2.4.9)
86
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
Consideremos la propagación de pulsos Gaussianos en fibras
ópticas.
La amplitud de este pulso a la entrada de la fibra será de la
forma:
 1 + jC  t  2 
(2.4.10)
  
A(0, t ) = A0 exp −
2  T0  


donde A0 es la amplitud máxima.
„
El parámetro T0 representa el ancho medio a 1/e de la
máxima intensidad.
87
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
T0 se relaciona con el ancho total a media altura (FWHM) del
pulso a través de la relación:
(
)
TFWHM = 2 ln 2 T0 ≈ 1.665T0
„
„
(2.4.5)
El parámetro C gobierna el “chirp” lineal de frecuencia
impuesto al pulso.
Un pulso se dice “chirped” si su frecuencia portadora
cambia con el tiempo.
88
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
El cambio de la frecuencia portadora está relacionado con la
derivada de la fase según:
δω (t ) = −
∂φ C
= 2t
∂t T0
(2.4.12)
donde φ es la fase de A(0,t).
„
Puede observarse que el espectro de Fourier de un pulso
“chirped” es más ancho que el de uno que no lo es.
89
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
Lo anterior puede ser verificado tomando la Transformada de
Fourier de la ecuación (2.4.10),
 2πT02 
 − ω 2T02 
~
 exp 
A(0, ω ) = A0 

 1 + jC 
 2(1 + jC ) 
„
(2.4.13)
El ancho medio espectral a 1/e de su máxima intensidad está
dado por:
1+ C 2
∆ω 0 =
T0
(2.4.14)
90
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
En ausencia de “chirp” (C=0), el ancho espectral satisface la
relación
∆ω0T0=1
„
„
Un pulso con estas características posee un ancho espectral
más angosto.
Como puede observarse, el ancho espectral puede ser
manejado por el factor 1 + C 2 en presencia de chirp lineal de
frecuencia según la ecuación (2.4.14)
91
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
92
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
La ecuación de propagación (2.4.9) puede ser fácilmente
resuelta en el dominio de Fourier.
Su solución es de la forma:
∞
A( z , t ) =
1
2π
[
]
~
j
j
2
3
A
(
0
,
ω
)
exp
β
z
ω
+
β
z
ω
− jωt dω
3
2
2
6
∫
(2.4.15)
−∞
~
donde A(0, ω ) está dada por la ecuación (2.4.13).
93
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
Consideremos primero el caso donde la portadora óptica está
lejos del punto de dispersión nula, de manera que la
contribución de β3 pueda considerarse despreciable.
La integración de la ecuación (2.4.15) puede hacerse en forma
analítica y su resultado es:
2



A
T
jC
t
−
(
1
+
)
0
0
 exp
A( z , t ) = 
 2 T 2 − jβ z (1 + jC )
 T 2 − jβ z (1 + jC ) 
2
 0
2
 0

[
]



(2.4.16)
94
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
La ecuación anterior muestra que el pulso Gaussiano mantiene
su forma a medida que se propaga, pero su ancho cambia
según la relación:
2
 cβ 2 z   β 2 z 
T1
= 1 + 2  +  2 
T0
T0   T0 

2
(2.4.17)
donde T1 se define en forma similar a T0.
La figura 2.13 muestra el factor de ensanchamiento T1/T0 en
función de la distancia de propagación normalizada z/LD , donde
LD = T20/|β2|, llamada longitud de dispersión.
95
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
Fig. 2.13: Variación del factor de ensanchamiento para
un pulso Gaussiano.
96
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
„
„
Se observa que un pulso sin chirping (C = 0), se ensancha según el
factor [1+(z/LD)2] y su ancho se incrementa en un factor de 2
después de recorrer una distancia z = LD.
Por otra parte, un pulso con chirping puede ensancharse o comprimirse
dependiendo de si β2 y C tienen signos iguales u opuestos.
Para β2C>0 el pulso se ensancha monótonamente , más rápidamente
que un pulso sin chirping.
Para β2C<0 el pulso inicialmente se enangosta y llega a tener un
ancho mínimo a una distancia
[
]
z min = C /(1 + C 2 LD
(2.4.18)
97
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
Su ancho mínimo dependerá del parámetro C según la relación:
T1min = T0
„
„
1+ C 2
(2.4.19)
La ecuación (2.4.17) puede ser generalizada para incluir
dispersión de orden superior gobernada por el parámetro β3 en
la ecuación (2.4.15). Sin embargo, en este caso, el pulso ya no
permanece Gaussiano durante la propagación, pues desarrolla
una cola con oscilaciones.
Tales pulsos no pueden ser apropiadamente caracterizados por
su FWHM.
98
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
Una medida apropiada del ancho del pulso es su ancho RMS
definido según:
σ=
t2 − t
2
(2.4.20)
donde el < > denota el promedio con respecto al perfil de
intensidad, esto es,
∞
tm =
m
t
∫ A( z, t ) dt
2
−∞
∞
∫
(2.4.21)
2
A( z , t ) dt
−∞
99
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
Así, el factor de ensanchamiento se define como σ/σo,
donde σo es el ancho RMS del pulso Gaussiano de entrada
σ 0 = T0 2 , y puede escribirse como
2
2
 β3 L 
 C β2 L   β2 L 
σ
2 2
(1
)
= 1 +
+
+
+
C

 2
2 
3 

2
2
σ0
σ
σ
4
2
σ
0 

 0
0 

2
(2.4.22)
100
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
„
Hasta ahora se ha asumido que las fuentes son
monocromáticas, esto es, que su ancho espectral satisface la
relación ∆ωL<< ∆ωo.
Sin embargo, esta condición no es satisfecha en la práctica,
por lo que es necesario tomar en cuenta el ancho espectral
de la fuente óptica.
Para una fuente con espectro Gaussiano, con un ancho
espectral RMS σω, el factor de ensanchamiento es de la
forma:
2
2
2




2




L
β
Cβ2L
β2L
σ
2
2
2
=  1 +
+ (1 + Vω )  2  + (1 + C + Vω )  3 3  
2 
σ 0 
2σ 0 
 2σ 0 
 4 2σ 0  

12
(2.4.23)
101
2.4.2 Pulsos Gaussianos “Chirped” (chirriados)
„
„
En la ecuación anterior, Vω = 2σωσo. Esta ecuación provee una
expresión para el ensanchamiento por dispersión inducida de
pulsos de entrada Gaussianos bajo condiciones genéricas.
En la próxima sección ésta será usada para limitar el bit rate
en SCOs empleando fibras monomodos.
102
2.4.3 Limitaciones en la velocidad de
transmisión.
Las limitaciones impuestas por la dispersión en el bit rate (B)
pueden ser bien diferentes dependiendo del ancho espectral de
la fuente óptica.
Se considerarán dos casos:
„
Fuentes ópticas con ancho espectral grande.
„
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño.
103
Fuentes ópticas con ancho espectral grande
„
„
„
En este caso corresponde a Vω >> 1 en la ecuación (2.4.23).
Consideremos primero el caso de un sistema operando lejos del punto
de dispersión cero (λZD), de manera que podamos despreciar β3.
Además, el efecto del chirping de frecuencia es despreciable para
fuentes con gran ancho espectral, por lo tanto podemos considerar C=0.
Así, el factor de ensanchamiento dado por (2.4.23) queda:
σ   β 2 Lσ ω
= 1 + 
σ0   σ0




2 12



  DLσ
λ
= 1 + 
  σ 0



2 12



(2.4.24)
donde σλ es el ancho espectral RMS de la fuente en longitudes de onda.
104
Fuentes ópticas con ancho espectral grande
„
Así, el ancho del pulso de salida está dado por:
σ = σ 02 + σ D2
(2.4.25)
donde σD = |D|Lσλ es una medida del ensanchamiento
inducido por dispersión.
„
Relacionando σ al bit rate (B) a través del criterio de que el
pulso ensanchado debería permanecer dentro del bit slot,
TB = 1/B; como por ejemplo, σ ≤TB/4, entonces la limitación
para el bit rate será 4Bσ ≤ 1. Para pulsos Gaussianos, esto
significa que al menos el 95% de la energía del pulso
permanecerá dentro del bit slot
105
Fuentes ópticas con ancho espectral grande
„
En el límite cuando σD >> σo, σ ≈ σD = |D|Lσλ, y la condición
límite llega a ser:
BL D σ λ ≤ 1 4
„
(2.4.46)
Para sistemas de comunicaciones ópticas operando
exactamente en el punto de dispersión nula, β2 = 0 en la
ecuación (2.4.23). Haciendo C = 0 como antes, y considerando
Vω >>1, la ecuación (2.4.23) puede ser aproximada por:
12
2
2

σ
1  β3 Lσ ω  
 
= 1 + 
σ0  2  σ0  


12
 1  SLσ 2 2 
λ
 
= 1 + 
 2  σ 0  
(2.4.47)
106
Fuentes ópticas con ancho espectral grande
„
Así, el ancho del pulso de salida viene dado por:
[
σ=σ +
2
0
1
2
(SLσ ) ]
donde ahora σ D = S Lσ λ2
„
12
2 2
λ
= σ 02 + σ D2
(2.4.28)
2
Usando el mismo criterio anterior para limitar el bit rate, y
considerando que σD >> σo, nuestra condición límite viene a
ser:
BL S σ λ2 ≤ 1 8
(2.4.29)
107
Fuentes ópticas con ancho espectral grande
„
„
„
Como un ejemplo, consideremos un sistema de
comunicaciones ópticas que usa como fuente de luz un
LED para el cual σλ ≈ 15nm.
Considerando D = 17 [ps/Km-nm] en 1.55 µm, la ecuación
(2.4.26) entrega un factor limitante BL < 1 [Gb/s]-Km.
Sin embargo, si este mismo sistema fuera diseñado para
trabajar en un punto de dispersión nula (λZD), el producto
BL podría ser incrementado a 20 [GB/s]-Km., para un valor
típico de S = 0.08 [ps/(km-nm2)]
108
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
„
Este caso corresponde cuando Vω << 1 en la ecuación (2.4.23).
Como en el caso anterior, despreciando β3 y fijando C = 0, la ecuación
(2.4.23) puede aproximarse como:
σ = σ 02 + (β 2 L 2σ 0 )2 = σ 02 + σ D2
„
„
(2.4.30)
Al comparar este resultado con la ecuación (2.4.25) queda de
manifiesto una importante diferencia entre estos dos casos.
Para una fuente de espectro angosto, el ensanchamiento por
dispersión depende del ancho inicial del pulso σo, mientras que éste es
independiente de σo cuando el ancho espectral de la fuente óptica
domina.
109
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
„
De hecho, σ puede ser minimizado escogiendo un valor
óptimo para σo.
El mínimo valor para σ ocurre cuando:
σ0 =σD =
„
β2 L 2
⇒
β2 L
Nuevamente, el límite para B puede ser obtenido a través de
la relación 4Bσ ≤ 1, lo que determina la condición:
B β2 L ≤ 1 4
„
σ = σ min =
(2.4.31)
La principal diferencia respecto de (2.4.26) es que en (2.4.31),
B escala como L-1/2 en vez de L-1 como lo hace en (2.4.26).
110
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
La figura 2.13 compara el decrecimiento de B con el crecimiento de L
para D = 16 [ps/(Km-nm)], para σλ = 0.1 y 5 nm. La ecuación (2.4.31)
fue usada para el caso σλ = 0.
Fig. 2.13: Limitación de B
en fibras monomodo en
función de L
111
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
Para un sistema de comunicaciones ópticas operando a una
longitud de onda cercana al punto de dispersión nula, β2≈ 0 en
la ecuación (2.4.23). Así, considerando Vω << 1 y C = 0, el
ancho del pulso es determinado por:
σ= σ +
2
0
1
2
(β L
3
4σ
)
2 2
0
= σ 02 + σ D2
(2.4.32)
De manera similar al caso de la ecuación (2.4.30) σ puede ser
minimizado escogiendo adecuadamente el ancho del pulso
inicial σ0.
112
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
El mínimo valor de σ se consigue para:
σ 0 = ( β 3 L / 4)
13
y está dado por:
σ = σ min =
„
( )
13
3 β3L
2 4
(2.4.33)
Y, usando la condición 4Bσ ≤ 1 para la máxima velocidad de
transmisión se obtiene la siguiente relación:
B ( β 3 L ) ≤ 0.324
13
(2.4.34)
113
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
„
„
Como puede observarse, los efectos limitantes de la dispersión,
en este caso son menos importantes. Por ejemplo, para un valor
típico de β3 = 0.1 [ps3/km], B puede ser tan grande como 150
Gb/s para L = 100 Km.
Este valor decrece solamente a 70 Gb/s cuando L incrementa en
un factor de 10 debido a la dependencia, de la forma L-1/3, de la
velocidad de transmisión respecto de la longitud del enlace.
La línea punteada de la fig. 2.13 muestra esta dependencia al
usar la ecuación (2.4.34) con β3 = 0.1 [ps3/Km].
114
Fuentes ópticas con ancho espectral pequeño
„
„
„
Resumiendo, resulta claro que el desempeño de un sistema de
comunicaciones por fibras ópticas puede ser mejorado
considerablemente al operar estos en una longitud de onda
cercana al punto de dispersión nula (λZD), con fuentes ópticas
de ancho espectral relativamente angosto (Vω < 1).
Efectos del Chirping de Frecuencia.
En los casos previos se ha considerado que los pulsos
gaussianos son sin chirping de frecuencia.
115
2.5 Pérdidas de potencia en Fibras Ópticas
„
„
Junto con la dispersión, las pérdidas de potencia (o la
atenuación) en la fibra, constituyen otra de las principales
limitantes en los sistemas de comunicaciones por fibra óptica.
Varios factores contribuyen a ella:
„
„
„
Absorción del material
Esparcimiento Rayleigh
Imperfecciones de la guía de ondas.
116
2.5.1 Absorción del material (intrínseca y
extrínseca)
„
„
El material del que está hecha la fibra (SiO2: sílica fundida)
absorbe potencia óptica en ciertas longitudes de ondas
correspondientes a resonancias vibracionales y electrónicas,
asociadas a moléculas específicas.
Esto corresponde a la absorción intrínseca del material.
En cambio, la absorción extrínseca resulta de la presencia de
impurezas y, en particular, de vapor de agua en la sílica.
117
2.5.2 Esparcimiento Rayleigh
„
„
„
Tiene su origen en las variaciones microscópicas de la densidad
del material.
Estas variaciones, a su vez, producen fluctuaciones en el
índice de refracción del material, en una escala menor de la
longitud de onda.
Por lo tanto, la luz, a medida que viaja por la fibra, parte de su
energía se dispersa originando una pérdida de potencia.
118
2.5.3 Imperfecciones de guía de ondas
„
Las imperfecciones mecánicas de la fibra óptica también son
fuentes de pérdidas de potencia: irregularidades en la interfaz
núcleo-revestimiento, curvas, distorsiones axiales por presión,
microcurvas, etc.
119
2.5 Pérdidas de potencia en Fibras Ópticas
120
2.5.4 Coeficiente de atenuación
„
„
Las pérdidas de potencia en la fibra pueden ser cuantificadas a través
del coeficiente de atenuación α.
La atenuación de potencia óptica en la fibra, considerando propagación
en la dirección z, es gobernada por la ecuación:
dP dz = −αP
(2.5.1)
donde α es llamado coeficiente de atenuación y P es la potencia óptica.
„
Entonces, si Pin es la potencia óptica a la entrada de la fibra, de
longitud L, la potencia a su salida Pout, puede ser calculada como:
Pout
∫
Pin
L
dP
= − ∫ αdz
P
0
(2.5.2)
121
2.5.4 Coeficiente de atenuación
„
Resolviendo las integrales resulta:
Pout = Pin e −αL
„
(2.5.3)
Para propósito de enlaces, es usual expresar el coeficiente
α en dB/km, según la relación:
 Pout 
 = 4.343α
α (dB / km ) = − log10 
 Pin 
10
L
(2.5.4)
122
2.5.4 Coeficiente de atenuación
„
„
En general, las pérdida de potencia en las fibras, dependen de
la longitud de onda.
En la figura 2.14, se muestra el coeficiente de atenuación, en
función de la longitud de ondas, para una típica fibra
monomodo (∆=1.9x10-3, a = 9.4µm).
123
2.5.4 Coeficiente de atenuación
Fig 2.14: Espectro de atenuación de una fibra monomodo,
considerando sus diferentes contribuciones
124