Notas sobre las funciones periódicas

Estudio de funciones periódicas
(Ésta es una versión preliminar de la teorı́a del tema.)
.te
cn
un
.es
Una función f (x) se dice que es periódica de periodo T 6= 0 cuando f (x) =
f (x + T ), ∀x. Si se conoce f (x) en el intervalo [0, T ] (su ciclo), se la conoce en
toda la recta real.
A veces, se prefiere trabajar en el intervalo [0, 2π]. Para ello hay que realizar
un cambio de escala tal que t = 2πx/T . Con este cambio de escala, todas las
funciones periódicas pueden tener un periodo 2π.
R a+T
Sea f (x) integrable en [a, a + T ]. Se verifica entonces que a
f (x)dx =
RT
f (x)dx, basta descomponer la primera integral en dos:
0
a+T
Z
T
Z
f (x)dx =
a
a+T
Z
f (x)dx +
a
f (x)dx
(1)
T
y hacer el cambio de variable x = T + t en la segunda integral:
Z
T
Z
f (x)dx +
a
a
T
Z
f (t + T )dt =
0
a
Z
f (x)dx +
a
Z
f (t)dt =
0
T
f (x)dx
(2)
0
Si, particularmente, a = −T /2, se tiene que:
Z
T
Z
T /2
f (x)dx =
f (x)dx
(3)
−T /2
0
ww
w
Independientemente deR la periodicidad, si una función es impar (f (x) =
a
−f (−x), ∀x), cumple que −a f (x)dx ≡ 0, basta con descomponer la integral en
dos:
Z
Z
Z
a
0
f (x)dx =
−a
a
f (x)dx +
−a
f (x)dx
y hacer el cambio de variable x = −t en la segunda integral:
Z 0
Z −a
Z 0
Z 0
f (x)dx −
f (−t)dt =
f (x)dx +
f (t)dt = 0
−a
−a
0
(4)
0
(5)
−a
Esto implica que la integral de una función impar en un intervalo simétrico es
nula. Esto no ocurre con una función par (f (x) = f (−x), ∀x).
Sin embargo, sı́ se cumple si f (x) es impar y periódica:
Z
T /2
Z
f (x)dx = 0 =
−T /2
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
T
f (x)dx
(6)
0
1
Estudio de funciones trigonométricas.
Se estudiarán ahora las funciones cos(2kπx/T ) (función par) y sin(2kπx/T )
(función impar), con k ∈ N . El periodo A de estas funciones será una magnitud
no nula tal que
2kπ
2kπ
cos
(x + A) = cos
x , ∀x
(7)
T
T
.te
cn
un
.es
Desarrollando el primer término e igualando los coeficientes de cos(2kπx/T ) y
sin(2kπx/T ), se llega a que A = T . Análogamente para sin(2kπx/T ), se llega a
que A = T .
Algunas propiedades interesantes de estas funciones son que
T
Z
sin(2kπx/T )dx = 0
(8)
0
por ser sin(2kπx/T ) una función periódica impar y que
Z
T
cos(2kπx/T )dx = 0
(9)
0
lo cual no ocurre como norma general en las funciones pares.
Además
Z T
2kπx
2rπx
sin(
) cos(
)dx = 0, ∀k, r
T
T
0
(10)
por resultar una función impar el producto de una función par y otra impar.
El producto de dos senos:
T
Z
ww
w
sin(
0
Y si k = r
2kπx
2rπx
) sin(
)dx = 0, k 6= r
T
T
(11)
T
2kπx
)dx = , ∀k ∈ N
T
2
(12)
2kπx
2rπx
) cos(
)dx = 0, k 6= r
T
T
(13)
2kπx
T
)dx = , ∀k ∈ N
T
2
(14)
T
Z
sin2 (
0
El producto de dos cosenos:
Z
T
cos(
0
Y si k = r
Z
0
T
cos2 (
Con ello, se ha conseguido generar el siguiente conjunto de funciones
2πx
2πx
4πx
4πx
{1, cos
, sin
, cos
, sin
,...}
T
T
T
T
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
(15)
2
Definiendo el producto escalar como
T
Z
hf, gi =
f (x)g(x)dx
(16)
0
se tiene que el anterior conjunto de funciones forma una base ortogonal respecto
de ese producto escalar, pues el producto escalar de cualesquiera dos funciones
f (x) y g(x), f (x) 6= g(x), da 0 y
h1, 1i = T
2kπx
2kπx
T
cos
, cos
=
T
T
2
2kπx
T
2kπx
, sin
=
sin
T
T
2
(17)
.te
cn
un
.es
(18)
(19)
Polinomio trigonométrico.
Sea f (x) una función periódica de periodo T . Se pretende definir un “polinomio trigonométrico” q(x) de n términos, que aproxime a f (x):
n
a0 X
+
ak cos
f (x) ≈ q(x) =
2
k=1
2kπx
T
+
n
X
bk sin
k=1
2kπx
T
(20)
Para determinar a0 , ak , bk , k = 1 . . . n, el error cuadrático medio E(a0 , ak , bk ) ha
de ser mı́nimo, es decir
Z
ww
w
T
2
(f (x) − q(x)) dx : mı́nimo ⇔
E(a0 , ak , bk ) =
0
∂E
=0
∂a0
∂E
= 0, k = 1 . . . n
∂ak
(21)
∂E
= 0, k = 1 . . . n
∂bk
Con ello se generan 2n + 1 ecuaciones para determinar 2n + 1 incógnitas:
∂E
= 0 = −2
∂a0
Z
T
0
1
(f (x) − g(x)) dx
2
(22)
2
⇒ a0 =
T
Z
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
T
f (x)dx
0
3
T
Z
∂E
= 0 = −2
∂ar
(f (x) − g(x)) cos(
0
2rπx
)dx
T
(23)
Z
2rπx
2 T
f (x) cos
⇒ ar =
dx
T 0
T
Z T
∂E
2rπx
= 0 = −2
(f (x) − g(x)) sin(
)dx
∂br
T
0
(24)
2
T
T
f (x) sin
0
2rπx
T
dx
.te
cn
un
.es
⇒ br =
Z
Se va a proceder ahora al estudio del comportamiento de los coeficientes a0 ,
ak y bk , k ∈ N . a0 /2 representa el valor medio de la función f (x) en el intervalo
[0, T ] y en toda la recta real (teorema del valor medio):
1
a0
=
2
T
Z
T
f (x)dx
(25)
0
Para estudiar el comportamiento de ak , se plantea la siguiente integral:
T /2
Z
x−
f
−T /2
T
2k
cos
2kπx
T
dx
(26)
Haciendo el cambio de variable x − T /2k = u:
T /2−T /2k
Z
f (u) cos
ww
w
−T /2−T /2k
2kπu
+ π du
T
(27)
y dándose cuenta de que desplazamientos de igual magnitud en los lı́mites inferior y superior de la integral (en un ciclo) de una función periódica no alteran
el resultado de la integral, se llega a que
Z
T /2
−
f (u) cos
−T /2
Es decir:
ak =
2
T
Z
2kπu
T
T /2
du = −ak
f (x) cos
−T /2
2kπx
T
T
2
(28)
dx
(29)
2
=−
T
Z
T /2
f
−T /2
T
x−
2k
cos
2kπx
T
dx
Sumando:
2
2ak =
T
T /2
T
2kπx
f (x) − f x −
cos
dx
2k
T
−T /2
Z
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
(30)
4
Cuando k → ∞, f (x − T /2k) → f (x), es decir, el módulo de continuidad,
w(δ, x0 ), de la función, definida como
w(x0 , δ) =
|f (x) − f (x0 )|
sup
(31)
|x−x0 |<δ
tiende a 0. Por tanto, cuando k → ∞, ak → 0. Análogamente, cuando k → ∞,
bk → 0.
Finalmente, se aceptará sin demostración que cuando n → ∞, f (x) ≡ q(x):
∞
a0 X
+
ak cos
2
2kπx
T
+
∞
X
bk sin
2kπx
T
(32)
.te
cn
un
.es
f (x) =
k=1
k=1
Éste serı́a el desarrollo en serie de Fourier de una función periódica, como se
verá más adelante. Volviendo al error cuadrático medio:
Z T
(f (x) − q(x))2 dx ≡ 0
(33)
0
si n → ∞.
Como peculiaridad, cabe señalar que las funciones periódicas pares sólo tienen términos en cosenos (a0 6= 0, ak 6= 0, bk = 0), mientras que las funciones
periódicas impares sólo tienen términos en senos (bk 6= 0, a0 = ak = 0).
Si se plantea
Z T
q 2 (x)dx
(34)
0
y considerando que
2kπx
T
ww
w
{1, cos
, sin
2kπx
T
, k = 1, 2, . . . }
(35)
forman una base ortogonal respecto del producto escalar de funciones tal y como
se habı́a definido anteriormente, se llega a que
!
Z T
n
T a20 X 2
2
2
+
(ak + bk )
q (x)dx =
(36)
2
2
0
k=1
Si se plantea ahora
Z
T
f (x)q(x)dx
(37)
0
y considerando la definición de a0 , ak y bk , se llega a que
! Z
Z T
n
T
T a20 X 2
+
(ak + b2k ) ≡
q 2 (x)dx
f (x)q(x)dx =
2
2
0
0
(38)
k=1
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
5
Por tanto:
T
Z
2
(f (x) − q(x)) dx =
0
Z
T
=
f 2 (x)dx − 2
Z
T
Z
f (x)q(x)dx +
T
Z
f 2 (x)dx −
=
q 2 (x)dx =
(39)
0
0
0
T
Z
T
q 2 (x)dx ≥ 0
0
.te
cn
un
.es
0
La desigualdad de Bessel establece que
Z
T
0
T
f 2 (x)dx ≥
2
n
a20 X 2
+
(ak + b2k )
2
!
(40)
k=1
Como se ha deducido que ak → 0, bk → 0 cuando k → ∞, se puede obetener
un valor de n para que la desigualdad sea lo menor posible (tolerancia) y se
obtenga una aproximación de f (x) mediante q(x) mejor.
Forma exponencial compleja de una función periódica.
Antes que nada, unos conceptos necesarios: T es el periodo; f = 1/T , la
frecuencia; ω0 = 2π/T = 2πf , la pulsación natural, que coincide con el primer
armónico; 2ω0 es el segundo armónico y kω0 es el k-ésimo armónico. De acuerdo
con esto, la expresión de q(x) es
n
n
k=1
k=1
X
a0 X
+
ak cos(kω0 x) +
bk sin(kω0 x)
2
ww
w
q(x) =
(41)
Cuanto mayor es el orden del armónico, menor es el valor del coeficiente asociado
a ese armónico (ak , bk → 0 si k → ∞).
Es conocido que
cos(kω0 x) =
1 ikω0 x
e
+ e−ikω0 x
2
(42)
1 ikω0 x
e
− e−ikω0 x
(43)
2i
Sustituyendo en la expresión de q(x) y agrupando términos, se tiene que
sin(kω0 x) =
q(x) =
n
n
k=1
k=1
a0 X ikω0 x ak − ibk X −ikω0 x ak + ibk
+
e
+
e
2
2
2
Llamando
ck =
ak − ibk
2
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
(44)
(45)
6
se tiene que
ck =
Por tanto
ak + ibk
2
(46)
n
n
k=1
k=1
X
a0 X
ck e−ikω0 x
+
ck eikω0 x +
2
q(x) =
(47)
.te
cn
un
.es
Además, ak = a−k y bk = −b−k , con lo que ck = c−k , lo que permite hacer lo
siguiente:
n
X
q(x) =
ck exp(ikω0 x)
(48)
k=−n
con c0 = a0 /2. La anterior es la forma compacta de la forma exponencial compleja de una función periódica. Además, los coeficientes se calculan como
Z
1 T
f (x)e−ikω0 x dx
(49)
ck =
T 0
Se puede demostrar que, si f (x) es par, ck ∈ < (bk = 0), mientras que si
f (x) es impar, ck ∈ = (a0 = ak = 0).
Teorema de Fourier
Sea f (x) una función periódica y acotada (es decir, puede ser discontinua)
en [0, T ]. Entonces, existe una serie de la forma
X
∞
∞
2kπx
2kπx
a0 X
+
ak cos
+
bk sin
(50)
h(x) =
2
T
T
k=1
ww
w
k=1
que converge a los valores de f (x) donde la función es continua y a (f (x+
0)+
f (x−
))/2
en
los
puntos
donde
la
función
es
discontinua.
0
Como ya se ha mencionado, si una función es par tendrá un desarrollo en
cosenos; si es impar tendrá un desarrollo en senos. Si la función es periódica de
periodo T y además verifica que f (x) = −f (x + T /2), ∀x, entonces
X
∞
∞
X
2 (2n − 1) πx
2 (2n − 1) πx
h(x) =
a2n−1 cos
+
b2n−1 sin
(51)
T
T
n=1
n=1
Espectro de potencia y relación de Parseval
A partir de la desigualdad de Bessel, se puede obtener que
Z
n
a2 X a2k + b2k
1 T 2
f (x)dx ≥ 0 +
T 0
4
2
(52)
k=1
El término a20 /4 proporciona la potencia media de la función. La potencia del
primer armónico será (a21 + b21 )/2 y ası́ sucesivamente. Como ak , bk → 0 cuando
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
7
k → ∞, la potencia de armónicos sucesivos va decreciendo. El espectro de
potencia es una representación gráfica de la potencia asociada a un armónico
en función del orden de dicho armónico. Con él es más sencillo elegir el orden
de armónico con el que la función está mejor representada (tolerancia).
Si el desarrollo de f (x) se hace hasta el infinito, la desigualdad de Bessel se
convierte en la relación de Parseval:
Z
∞
∞
X
a2 X a2k + b2k
1 T 2
f (x)dx ≡ 0 +
=
|ck |2
(53)
T 0
4
2
k=−∞
ww
w
.te
cn
un
.es
k=1
c 2009 Tecnun (University of Navarra)
8