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Universidad de Valladolid
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Procedimientos de Decisión Colectiva
Asignatura de libre elección de 4,5 créditos
José Luis Garcı́a Lapresta – Miguel Martı́nez Panero
Departamento de Economı́a Aplicada (Matemáticas)
TEMARIO
1. Introducción
2. Preferencias individuales y colectivas
3. Método de pluralidad y voto aprobatorio
4. Mayorı́as simple, absoluta, cualificadas y dobles
5. Método de Borda
6. Otros métodos de votación
7. Teoremas de imposibilidad de Arrow
y de Gibbard - Satterthwaite
Apuntes elaborados por José Luis Garcı́a Lapresta
http://www2.eco.uva.es/lapresta/
[email protected]
1
Procedimientos de Decisión Colectiva
1
José Luis Garcı́a Lapresta
2
INTRODUCCIÓN
1.1
ALGUNOS SISTEMAS DE VOTACIÓN
1. Se somete una propuesta a votación. Cada votante muestra su
opinión a favor, en contra o bien se abstiene.
(a) La propuesta es aprobada si obtiene más votos a favor que
en contra (mayorı́a simple)
(b) La propuesta es aprobada si consigue más de la mitad de
los votos posibles (mayorı́a absoluta).
(c) La propuesta es aprobada si obtiene más de la mitad de los
votos emitidos.
(d) La propuesta es aprobada si logra o supera un porcentaje
prefijado, de más del 50%, de los votos posibles (mayorı́a
cualificada).
(e) Para que la propuesta sea aprobada es necesario que todos
los votos sean favorables (unanimidad).
(f) La propuesta es aprobada si no obtiene ningún voto en contra (derecho a veto de cada uno de los votantes).
(g) Los votantes representan paı́ses, provincias o entidades de
distinta población o importancia. Cada uno de ellos dispone
de un número determinado de votos.
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i. La propuesta resulta aprobada si alcanza o supera un
número prefijado de votos (cuota), de más del 50% de
los votos posibles (voto ponderado).
Notación: [q; w1, . . . , wm], donde q es la cuota y wi
el número de votos del votante i.
ii. Para que la propuesta sea aprobada se requiere un número
prefijado de votos, de más del 50% de los votos posibles,
y simultáneamente que la suma de población correspondiente a los votantes que apoyan la propuesta alcance
un porcentaje prefijado de la población total (mayorı́a
doble).
(h) Cuando se ha de cubrir un puesto y sólo existe un candidato
para ocuparlo, se puede aplicar cualquiera de los sistemas
precedentes, entendiendo que la propuesta consiste en que
el candidato ocupe el puesto al que opta.
2. Dos candidatos pugnan por lograr un único puesto. Cada elector
vota por un candidato o se abstiene.
(a) Resulta elegido el candidato que obtenga mayor número de
votos (mayorı́a simple).
(b) Un candidato resulta elegido si obtiene más de la mitad de
los votos posibles (mayorı́a absoluta).
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3. Más de dos candidatos pugnan por lograr un único puesto.
(a) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resulta
elegido el candidato que obtenga mayor número de votos
(pluralidad).
(b) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resulta
elegido el candidato que consiga más de la mitad de los
votos posibles. Si no hay ninguno, en segunda vuelta se
someten a votación los dos candidatos más votados en la
primera vuelta. Finalmente resulta elegido el candidato que
obtenga mayor número de votos en la segunda vuelta.
(c) Cada elector vota por los candidatos que considera aceptables y resulta elegido el candidato que obtenga mayor número
de votos (voto aprobatorio).
(d) Cada elector ordena los candidatos según sus preferencias.
Al peor valorado le asigna 0 puntos; al siguiente, 1 punto; al
siguiente, 2 puntos; y ası́ sucesivamente. Resulta elegido el
candidato con mayor puntuación total (método de Borda).
4. Varios candidatos pugnan por lograr varios puestos.
(a) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resultan elegidos los candidatos que obtengan mayor número de
votos, hasta cubrir los puestos vacantes (pluralidad).
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(b) Cada elector vota por los candidatos que considera aceptables. Resultan elegidos los candidatos que consigan mayor
número de votos, hasta cubrir los puestos vacantes (voto
aprobatorio).
(c) Cada elector ordena los candidatos según sus preferencias.
Al peor valorado le asigna 0 puntos; al siguiente, 1 punto; al
siguiente, 2 puntos; y ası́ sucesivamente. Resultan elegidos
los candidatos con mayor puntuación total, hasta cubrir los
puestos vacantes (método de Borda).
(d) Cada elector dispone de un número fijo de votos para distribuir libremente entre los candidatos. Resultan elegidos
los candidatos con mayor puntuación total, hasta cubrir los
puestos vacantes (voto acumulativo).
1.2
EJEMPLOS
1. Votaciones primarias en el PSOE (1999)
En las elecciones primarias del PSOE en las que se seleccionaron
los candidatos a la presidencia de Comunidades Autónomas y
a Alcaldı́as de capitales de provincia y municipios de más de
50000 habitantes, para concurrir a las elecciones del 13 de junio
de 1999, éstos fueron elegidos por el método de pluralidad entre
aquéllos que se postulaban para ello. En algunas Comunidades
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Autónomas concurrieron más de dos candidatos, de forma que
resultó elegido, a veces por muy pocos votos de diferencia, el
candidato más votado.
2. Institut National de France (1796–1804)
En el Institut National de France, cuando se producı́a una vacante, se proponı́an 3 nombres. Cada elector asignaba un número
a cada candidato: 3 al mejor valorado, 2 al que le merecı́a
el segundo grado de aprecio, y 1 al que le pareciera menos
digno. Resultaba elegido el candidato con mayor puntuación
total (método de Borda).
3. Eurovisión
Cada uno de los paı́ses concursantes otorga diversas puntuaciones a las canciones preferidas (excluyendo la de su propio
paı́s), en orden decreciente según su valoración: 12, 10, 8, 7,
6, 5, 4, 3, 2, 1. Resulta ganador el paı́s con mayor puntuación
total. En caso de empate, vencerá el paı́s que haya obtenido
mayor número de veces 12 puntos; de continuar el empate, se
harı́a los mismo con 10 puntos, y ası́ sucesivamente (variante
del método de Borda).
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4. Senado español
A cada una de las provincias peninsulares españolas le corresponden 4 senadores. En cada circunscripción los electores pueden
votar a un máximo de 3 candidatos. Resultan elegidos los 4
candidatos con mayor número de votos (variante de voto aprobatorio).
5. Director de Departamento en algunas universidades españolas
En la anterior Ley de Reforma Universitaria (L.R.U.), la Dirección de los Departamentos Universitarios correspondı́a a un
Catedrático y, de no haber candidatos de esa categorı́a, a un
Profesor Titular. Se da la circunstancia de que presentándose un
único Catedrático a la Dirección, éste podı́a resultar “elegido”
sin realizar votación alguna o bien independientemente del resultado de la votación, aunque el candidato no contara con un
mı́nimo apoyo de los miembros del Consejo de Departamento.
6. Unión Soviética
En la antigua Unión Soviética muchas elecciones se llevaban a
cabo presentando a los votantes una lista de candidatos, de la
cual cada elector podı́a tachar los candidatos de la lista que para
él no fueran aceptables. Resultaban elegidos los candidatos que
menos veces eran tachados (voto aprobatorio).
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8
7. Comunidad Económica Europea (1958)
En 1958, el Tratado de Roma asignó un número de votos a
cada uno de los 6 paı́ses de la naciente Comunidad Económica
Europea:
Paı́s
Número de votos
Alemania
Francia
Italia
Bélgica
Holanda
Luxemburgo
4
4
4
2
2
1
Para que una propuesta fuera aprobada necesitaba al menos 12
votos de los 17 posibles (mayorı́a cualificada del 70.58%; voto
ponderado de cuota 12: [12; 4, 4, 4, 2, 2, 1]).
A pesar de que Luxemburgo disponı́a de una representación, en
número de votos, muy superior a la que le corresponderı́a por
su población, su capacidad real de decisión era nula: ninguna
coalición perdedora pasarı́a a ser ganadora gracias a la incorporación de Luxemburgo; y ninguna coalición ganadora pasarı́a a
ser perdedora por la deserción de Luxemburgo.
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8. Comunidad Económica Europea (1973)
En 1973 se incorporaron a la Comunidad Económica Europea 3
nuevos paı́ses: Dinamarca, Irlanda y Reino Unido. La asignación
de votos fue la siguiente:
Paı́s
Número de votos
Alemania
Francia
Italia
Reino Unido
Bélgica
Holanda
Dinamarca
Irlanda
Luxemburgo
10
10
10
10
5
5
3
3
2
Para que una propuesta fuera aprobada necesitaba al menos 41
votos de los 58 posibles (mayorı́a cualificada del 70.68%; voto
ponderado de cuota 41: [41; 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]).
Los antiguos paı́ses de la Comunidad Económica Europea vieron
multiplicado el número de votos por 2.5, a excepción de Luxemburgo que tan sólo duplicó el número de votos. Sin embargo, en
la nueva ponderación, Luxemburgo pasó a tener capacidad de
decisión: por ejemplo, Alemania, Francia, Italia, Reino Unido y
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Luxemburgo formaban una coalición ganadora, que dejaba de
serlo si se retiraba Luxemburgo.
9. Consejo de Seguridad de la O.N.U.
El Consejo de Seguridad de la O.N.U. está formado por 15
paı́ses, 5 de los cuales son miembros permanentes (China, Francia, Estados Unidos, Reino Unido y Rusia) y el resto no.
Para que una propuesta sea aceptada se requieren al menos 9
votos favorables (mayorı́a cualificada del 60%), entre los que han
de contarse los de todos los miembros permanentes (derecho a
veto).
10. Enmiendas a la Constitución canadiense
Desde 1982 para que una enmienda a la Constitución canadiense
sea aprobada es necesario que la apoyen al menos 7 de las 10
provincias y, a la vez, que las provincias que apoyan la enmienda
representen al menos la mitad de la población del paı́s.
El porcentaje de población de las provincias en 1961 era: Alberta, 7%; British Columbia, 9%; Manitoba, 5%; New Brunswick,
3%; Newfounland, 3%; Nova Scotia, 4%; Ontario, 34%; Prince
Edward Island, 1%; Quebec, 29%; Saskatchewan, 5%.
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2
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11
PREFERENCIAS INDIVIDUALES
Y COLECTIVAS
2.1
2.1.1
RELACIONES BINARIAS
NOCIONES BÁSICAS
X = {x1, x2, . . . , xn} conjunto de alternativas
S ⊆ X × X relación binaria sobre X
1. S es reflexiva ⇔ ∀xi ∈ X
(xi, xj ) ∈ S ≡ xi S xj
xi S x i
2. S es irreflexiva ⇔ ∀xi ∈ X no xi S xi ⇔ 6 ∃xi ∈ X xi S xi
3. S es simétrica ⇔ ∀xi, xj ∈ X
4. S es asimétrica ⇔ ∀xi, xj ∈ X
(xi S xj ⇒ xj S xi)
(xi S xj ⇒ no xj S xi)
5. S es acı́clica ⇔ ∀xi1 , xi2 , xi3 , . . . , xir ∈ X
xi1 S x



i2 








i3 










ir 

xi2 S x
.........
xir−1 S x
⇒ no xir S xi1
6. S es transitiva ⇔ ∀xi, xj , xk ∈ X
xi S x j
xj S x k







⇒ xi S x k
7. S es negativamente transitiva ⇔ ∀xi, xj , xk ∈ X



j 
no xi S x
no xj S xk



⇒ no xi S xk
8. S es completa ⇔ ∀xi, xj ∈ X
(xi S xj o xj S xi)
Procedimientos de Decisión Colectiva
2.1.2
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12
PROPIEDADES
1. S acı́clica ⇒ S asimétrica ⇒ S irreflexiva
2. S completa ⇒ S reflexiva
3. S asimétrica y transitiva ⇒ S acı́clica
4. S asimétrica y negativamente transitiva ⇒ S transitiva
2.1.3
PREFERENCIA E INDIFERENCIA
1. P relación de preferencia fuerte ⇔ P es asimétrica
2. I relación de indiferencia asociada a P :
xi I xj ⇔ ni xi P xj ni xj P xi
3. R relación de preferencia débil asociada a P :
xi R xj ⇔ (xi P xj o xi I xj ) ⇔
no xj P xi
• P es irreflexiva
• I es reflexiva y simétrica
• R es reflexiva y completa
• R es transitiva ⇔ P es negativamente transitiva ⇔ P e I
son transitivas
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2.1.4
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PREFERENCIAS INDIVIDUALES Y ELECCIÓN COLECTIVA
X = {x1, x2, . . . , xn} conjunto de alternativas o candidatos
V = {1, 2, . . . , m} conjunto de votantes
Pk relación de preferencia fuerte del votante k
Ik relación de indiferencia del votante k
Rk relación de preferencia débil del votante k
(P1, P2, . . . , Pm) perfil o configuración de preferencias
Buena parte de los procedimientos de decisión colectiva puede representarse bajo alguno de los siguientes conceptos.
1. Una regla de agregación es una función F que asigna a cada
perfil de preferencias individuales una preferencia colectiva
(P1, P2, . . . , Pm) 7−→ P ∗ = F (P1, P2, . . . , Pm).
El colectivo se asemeja a los votantes: sus opiniones quedan
recogidas en una relación de preferencia. La decisión social se
toma a partir de la relación de preferencia colectiva.
2. Una función de elección es una función e que asigna a cada
perfil de preferencias individuales un subconjunto de alternativas
(P1, P2, . . . , Pm) 7−→ X ∗ = e(P1, P2, . . . , Pm) ⊆ X.
La decisión social viene dada por las alternativas seleccionadas.
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3. Una función de votación es una función f que asigna a cada
perfil de preferencias individuales una alternativa
(P1, P2, . . . , Pm) 7−→ x∗ = f (P1, P2, . . . , Pm) ∈ X.
La decisión social viene determinada por una única alternativa,
la vencedora.
3
MÉTODO DE PLURALIDAD Y
VOTO APROBATORIO
En los métodos de votación por pluralidad y aprobatorio cada votante selecciona una o varias alternativas:
- En el de pluralidad cada agente vota por una sola alternativa,
supuestamente preferida a las demás, o se abstiene.
- En el aprobatorio cada agente vota por las alternativas que considera aceptables.
En ambos casos se suman los votos obtenidos por cada alternativa
y resulta ganadora la que obtenga mayor puntuación. Si se necesita seleccionar varias alternativas, se escogerán aquéllas con mayor
número de votos hasta cubrir el número deseado.
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3.1
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MÉTODO DE PLURALIDAD
1. Se supone que cada votante prefiere una alternativa por encima
de las demás, que es a la que vota:
∀k ∈ V
∃xi ∈ X
∀xj ∈ X \ {xi} xi Pk xj .
2. Si un votante considera que ninguna alternativa es mejor que
las restantes, puede abstenerse o bien votar por alguna que
considere menos mala desde algún punto de vista.
3. Dado que varias alternativas pueden alcanzar el mismo número
de votos, puede haber empates que hagan necesario acudir a
algún procedimiento de desempate para seleccionar el número
exacto de alternativas requeridas.
4. Sólo se tiene en cuenta la alternativa mejor valorada por cada
votante, ignorándose la opinión de los votantes sobre las demás
alternativas.
5. Puede resultar elegida una alternativa que sea la peor valorada
por la mayorı́a de los votantes.
Ejemplo dado por Joseph Isidoro Morales (1797): siete votantes,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ordenan 3 candidatos, A, B, C, de la siguiente
forma
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1 2 3 4 5 6 7
10 C C B B A A A
20 B B C C B C C
30 A A A A C B B
Aunque para la mayorı́a absoluta de los votantes A es el peor
candidato, éste resultarı́a elegido por pluralidad (es el mejor para
3 votantes, frente a B y C que sólo lo son para 2).
6. Este procedimiento de decisión colectiva puede ser representado
mediante una función de elección en donde el dominio es el conjunto de los perfiles de preferencias individuales que tienen una
alternativa preferida a las restantes. El conjunto de alternativas
elegidas es el que tiene mayor número de votos, hasta alcanzar
el número deseado a seleccionar.
3.2
VOTO APROBATORIO (“APPROVAL VOTING”)
1. Se supone que cada votante divide el conjunto de alternativas
en dos subconjuntos disjuntos, el de las que aprueba y el de las
que desaprueba, y da su voto a cada una de las que aprueba.
2. Dado que varias alternativas pueden alcanzar el mismo número
de votos, puede haber empates que hagan necesario acudir a
algún procedimiento de desempate para seleccionar el número
exacto de alternativas requeridas.
Procedimientos de Decisión Colectiva
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3. Apenas se tienen en cuenta las preferencias de los votantes:
sólo se supone que toda alternativa aprobada es preferida a
cualquiera desaprobada.
4. Votar por todas las alternativas equivale a no votar.
5. Favorece a los candidatos moderados que, sin ser los más deseados por ninguna minorı́a, tienen el beneplácito de la mayorı́a.
6. Induce a los candidatos el procurar atender los deseos de la
mayorı́a de los votantes.
7. Incentiva la participación electoral.
8. Es muy fácil de llevar a la práctica.
4
MAYORÍAS SIMPLE, ABSOLUTA,
CUALIFICADAS Y DOBLES
Los procedimientos de decisión colectiva por mayorı́a simple, mayorı́a
absoluta, mayorı́as cualificadas y mayorı́as dobles quedan definidos
por reglas de agregación basadas en el número de votantes que
prefieren una alternativa a otra:
#(xi P xj ) = #{k ∈ V | xi Pk xj }.
Procedimientos de Decisión Colectiva
4.1
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MAYORÍA SIMPLE
La regla de agregación de la mayorı́a simple viene definida por
xi P s xj
⇔
#(xi P xj ) > #(xj P xi).
En otras palabras, xi vence a xj por mayorı́a simple cuando el
número de votantes que prefieren xi a xj supera al de aquéllos
que prefieren xj a xi.
Una alternativa xi es vencedora de Condorcet si vence por mayorı́a
simple a cada una de las alternativas restantes, es decir verifica
∀xj ∈ X \ {xi} xi P s xj .
4.1.1
PARADOJA DEL VOTO (Condorcet, 1781)
P s es asimétrica pero no necesariamente acı́clica.
Sean X = {x1, x2, x3} y V = {1, 2, 3} tales que
x1 P1 x2, x2 P1 x3, x1 P1 x3,
x2 P2 x3, x3 P2 x1, x2 P2 x1,
x3 P3 x1, x1 P3 x2, x3 P3 x2.
Entonces,
#(x1 P x2) = 2 > 1 = #(x2 P x1),
#(x2 P x3) = 2 > 1 = #(x3 P x2),
#(x3 P x1) = 2 > 1 = #(x1 P x3).
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19
En consecuencia, x1 P s x2, x2 P s x3 y x3 P s x1, por lo que P s no
es acı́clica.
Esta paradoja también se pone de manifiesto cuando se establecen
votaciones por pares de forma secuencial: si primero se vota entre
dos alternativas y la ganadora se enfrenta a la tercera, el resultado
puede ser diferente según el orden en el que que se efectúen las
votaciones.
En el ejemplo anterior, si primero se vota entre x1 y x2, gana x1;
ahora, si se enfrenta la alternativa ganadora, x1, con x3, gana x3.
Pero si en primer lugar se vota entre x1 y x3, gana x3; al enfrentar
x3 con x2, vence x2. Análogamente, si en primer lugar se vota entre
x2 y x3, gana x2; ahora, al enfrentar x2 con x1, vence x1. Por tanto,
el orden en el que se presenten las alternativas es determinante en
el resultado final.
4.1.2
TEOREMA DE MAY (1952)
F es la regla de agregación de la mayorı́a simple si y sólo si verifica
las siguientes propiedades
1. F respeta el anonimato: para cualquier reordenación de los
votantes (aplicación biyectiva) σ : {1, . . . , m} −→ {1, . . . , m}
y cualquier perfil (P1, . . . , Pm) se verifica
F (Pσ(1), . . . , Pσ(m)) = F (P1, . . . , Pm).
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2. F es neutral: dados dos perfiles (P1, . . . , Pm), (P10 , . . . , Pm0 )
y dos alternativas xi, xj ∈ X, si xi Pk xj ⇔ xj Pk0 xi y
xj Pk xi ⇔ xi Pk0 xj , para todo k ∈ {1, . . . , m}, entonces
se verifica xi P ∗ xj ⇔ xj (P 0)∗ xi y xj P ∗ xi ⇔ xi (P 0)∗ xj .
3. F tiene respuesta positiva: dados dos perfiles (P1, . . . , Pm),
(P10 , . . . , Pm0 ) y dos alternativas xi, xj ∈ X, si existe l ∈ V
tal que
(a) xi Il xj ⇒ xi Pl0 xj
(b) xj Pl xi ⇒ xi Rl0 xj
(c) ∀k ∈ V \{l} xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj y xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi,
entonces xi R∗ xj ⇒ xi (P 0)∗ xj .
El respeto al anonimato significa que el resultado de la agregación no
depende de qué votantes tengan determinadas preferencias, sino de
que realmente alguno las tenga (semejante a una votación secreta).
La neutralidad exige que si todos los votantes invierten su opinión
entre dos alternativas, entonces la preferencia colectiva también se
ha de invertir.
La respuesta positiva garantiza que cuando un votante mejora la
opinión de una alternativa frente a otra y los demás mantienen la
opinión anterior, si antes la primera alternativa vencı́a a la segunda
o empataban entre sı́, ahora la primera ha de vencer a la segunda.
Procedimientos de Decisión Colectiva
4.2
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MAYORÍA ABSOLUTA
La regla de agregación de la mayorı́a absoluta viene definida por
xi P a xj
⇔
#(xi P xj ) >
m
.
2
En otras palabras, xi vence a xj por mayorı́a absoluta cuando más
de la mitad de los votantes prefieren xi a xj .
1. P a es asimétrica pero no necesariamente acı́clica: también se
produce la paradoja del voto (es válido el ejemplo presentado
para la mayorı́a simple).
2. xi P a xj ⇒ xi P s xj y xi I s xj ⇒ xi I a xj .
No puede ocurrir simultáneamente xi P s xj y xj P a xi.
3. La regla de agregación de la mayorı́a absoluta no satisface la
propiedad de respuesta positiva.
4.2.1
TEOREMA DE FISHBURN (1973)
F es la regla de agregación de la mayorı́a absoluta si y sólo si verifica
las siguientes propiedades
1. F respeta el anonimato.
2. F es neutral.
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3. F es fuertemente irreversible: dados dos perfiles (P1, . . . , Pm),
(P10 , . . . , Pm0 ) y dos alternativas xi, xj ∈ X, si existe l ∈ V
tal que
(a) xi Pl xj y xi Il0 xj
(b) para cualquier k ∈ V \ {l} se verifica
xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj y xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi,
entonces xi R∗ xj ⇒ xi (R0)∗ xj .
4. F es monótona: dados dos perfiles (P1, . . . , Pm), (P10 , . . . , Pm0 )
y dos alternativas xi, xj ∈ X, si existe l ∈ V tal que
(a) xi Il xj ⇒ xi Rl0 xj y xi Pl xj ⇒ xi Pl0 xj
(b) para cualquier k ∈ V \ {l} se verifica
xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj y xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi,
entonces xi I ∗ xj ⇒ xi (R0)∗ xj y xi P ∗ xj ⇒ xi (P 0)∗ xj .
5. Dados dos perfiles (P1, . . . , Pm), (P10 , . . . , Pm0 ) y dos alternativas xi, xj ∈ X, si existe l ∈ V tal que
(a) no ocurre xi Ik xj para ningún k ∈ V
(b) xj Pl xi y xi Pl0 xj
Procedimientos de Decisión Colectiva
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(c) para cualquier k ∈ V \ {l} se verifica
xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj y xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi,
entonces xi R∗ xj ⇒ xi (P 0)∗ xj .
La irreversibilidad fuerte garantiza que cuando un votante pasa de
preferir una alternativa a otra a mostrarse indiferente entre ambas y
los demás mantienen la opinión anterior, si antes la segunda alternativa no vencı́a a la primera, ahora tampoco.
La monotonı́a asegura que cuando un votante mejora su opinión
de una alternativa frente a otra y los demás mantienen la opinión
anterior, el resultado sobre la primera alternativa no puede empeorar.
La última propiedad garantiza que si ningún votante se muestra indiferente entre dos alternativas, uno de ellos invierte sus preferencias
entre ellas y los demás mantienen su opinión entre ambas alternativas, si antes no vencı́a la alternativa que inicialmente preferı́a dicho
votante, ahora pasa a ganar.
4.3
MAYORÍAS CUALIFICADAS
Dado α ∈ (0.5, 1], la regla de agregación de la mayorı́a cualificada
de cuota α viene definida por
xi P α xj
⇔
#(xi P xj ) ≥ αm.
Procedimientos de Decisión Colectiva
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24
En otras palabras, xi vence a xj por mayorı́a cualificada de cuota α
cuando al menos el 100 α% de los votantes prefieren xi a xj .
1. P α es asimétrica.
2. α > β > 0.5 :
xi P α xj ⇒ xi P β xj ⇒ xi P a xj .
3. α > β > 0.5 :
xi I a xj ⇒ xi I β xj ⇒ xi I α xj .
4. xi P 1 xj ⇔ xi Pk xj para todo k ∈ V (unanimidad).
5. Las mayorı́as cualificadas se encuentran comprendidas entre la
mayorı́a absoluta y la unanimidad.
4.4
MAYORÍAS DOBLES
Los votantes representan paı́ses, provincias o entidades de distinta
población o importancia. El votante k ∈ V dispone de wk votos
y representa a una población de tk miembros, con
w1 + · · · + wm = M
y
t1 + · · · + tm = T.
Dados α, β ∈ (0.5, 1], la regla de agregación de la mayorı́a doble de
cuotas (α, β) viene definida por
xi P (α,β) xj
⇔
X
xi Pk xj
wk ≥ αM y
X
xi Pk xj
tk ≥ βT.
En otras palabras, xi vence a xj por mayorı́a doble de cuotas (α, β)
cuando al menos el 100 α% de los votos apoyan xi frente a xj y éstos
representan al menos el 100 β% de la población total.
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5
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MÉTODO DE BORDA
El votante k ∈ V asigna a cada alternativa una puntuación que
consiste en el número de alternativas a las que prefiere:
rk (xi) = #{xj | xi Pk xj }.
El contador Borda de la alternativa xi se define como la suma de
puntuaciones individuales:
r(xi) = r1(xi) + · · · + rm(xi).
La regla de agregación de Borda viene definida por
xi P B xj
⇔
r(xi) > r(xj ).
1. Si Pk es transitiva, entonces se verifica:
xi Pk xj ⇒ rk (xi) > rk (xj ).
2. Si Pk no es transitiva, el votante k puede asignar las puntuaciones de forma incoherente (puede dar mayor puntuación a una
alternativa que valore menos que otra).
Sean X = {x1, x2, x3, x4} y k ∈ V tales que
x1 Pk x2, x2 Pk x3, x3 Pk x4, x1 Ik x3, x1 Ik x4, x2 Pk x4.
Entonces, rk (x1) = 1 < 2 = rk (x2), a pesar de que x1 Pk x2.
3. P B es asimétrica y negativamente transitiva.
Procedimientos de Decisión Colectiva
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26
4. P B no verifica el axioma de independencia de alternativas irrelevantes: dados dos perfiles (P1, . . . , Pm), (P10 , . . . , Pm0 ) y dos
alternativas xi, xj ∈ X, si para todo k ∈ V se verifica
xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj
y
xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi,
entonces
xi P ∗ xj ⇔ xi (P 0)∗ xj
y
xj P ∗ xi ⇔ xj (P 0)∗ xi.
Sean tres votantes cuyas preferencias sobre X = {x1, x2, x3}
vienen dadas por el perfil (P1, P2, P3):
x1 P1 x2, x2 P1 x3, x1 P1 x3
x2 P2 x3, x3 P2 x1, x2 P2 x1
x3 P3 x1, x1 P3 x2, x3 P3 x2.
Entonces las alternativas x1, x2 puntúan de la siguiente forma:
r1(x1) = 2, r2(x1) = 0, r3(x1) = 1
r1(x2) = 1, r2(x2) = 2, r3(x2) = 0,
es decir r(x1) = 3 y r(x2) = 3, por lo que x1 I B x2.
Se considera el perfil (P10 , P20 , P30 ):
x1 P10 x2, x2 P10 x3, x1 P10 x3
x2 P20 x1, x1 P20 x3, x2 P20 x3
x1 P30 x2, x2 P30 x3, x1 P30 x3.
Procedimientos de Decisión Colectiva
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27
Ahora las alternativas x1, x2 obtienen la siguiente puntuación:
r10 (x1) = 2, r20 (x1) = 1, r30 (x1) = 2
r10 (x2) = 1, r20 (x2) = 2, r30 (x2) = 1,
es decir r0(x1) = 5 y r0(x2) = 4, por lo que x1 (P 0)B x2.
Dado que en los dos perfiles coinciden los tres agentes en lo
relativo a las alternativas x1, x2 y la preferencia agregada ha
variado, cabe decir que la alternativa x3 ha sido relevante en
la comparación colectiva entre las dos primeras alternativas.
5. La regla de agregación de Borda es manipulable.
Sean tres votantes cuyas preferencias sobre X = {x1, x2, x3, x4}
son transitivas y vienen dadas por el perfil (P1, P2, P3):
x3 P1 x1, x1 P1 x2, x2 P1 x4
x4 P2 x3, x3 P2 x1, x1 P2 x2
x2 P3 x1, x1 P3 x3, x3 P3 x4.
Entonces si se procediera por el método de Borda, las alternativas obtedrı́an la siguiente puntuación:
r(x3) = 6 > r(x1) = 5 > r(x2) = 4 > r(x4) = 3,
por lo que x3 P B x1, x1 P B x2 y x2 P B x4.
Obsérvese que la alternativa ganadora por el método de Borda,
x3, resulta ser también vencedora de Condorcet.
Procedimientos de Decisión Colectiva
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28
El tercer votante, conocedor de las preferencias de los otros
votantes, viendo que ganarı́a su segunda peor alternativa, podrı́a
esconder sus verdaderas preferencias, P3, y mostrar otras, P30 ,
con el fin de obtener un resultado mejor que si fuera sincero.
Sea el perfil (P10 , P20 , P30 ), tal que P10 = P1, P20 = P2 y P30
viene dada por x1 P30 x2, x2 P30 x4, x4 P30 x3.
Ahora las alternativas obtendrı́an la siguiente puntuación:
r0(x1) = 6 > r0(x3) = 5 > r0(x4) = 4 > r0(x2) = 3,
por lo que x1 (P 0)B x3, x3 (P 0)B x4 y x4 (P 0)B x2, es decir
vencerı́a la segunda mejor alternativa del tercer votante.
6. La regla de agregación de Borda no selecciona necesariamente
el vencedor de Condorcet, supuesto que éste exista.
Sean tres votantes cuyo perfil (P1, P2, P3) de preferencias (transitivas) sobre X = {x1, x2, x3, x4, x5} viene dado por:
x1 P1 x3, x3 P1 x2, x2 P1 x4, x4 P1 x5
x2 P2 x4, x4 P2 x3, x3 P2 x5, x5 P2 x1
x1 P3 x2, x2 P3 x4, x4 P3 x3, x3 P3 x5.
Aunque x1 es vencedora de Condorcet, el método de Borda
selecciona x2 como alternativa ganadora.
Procedimientos de Decisión Colectiva
6
6.1
José Luis Garcı́a Lapresta
29
OTROS MÉTODOS DE VOTACIÓN
MÉTODO DE COPELAND (1951)
En el método de Copeland los votantes muestran sus preferencias
sobre los pares de alternativas. Una vez agregada la opinión de los
agentes por medio de la regla de la mayorı́a simple, se introduce un
contador para cada alternativa
C(xi) = #{xj | xi P S xj } − #{xj | xj P S xi}
que evalúa la diferencia entre el número de victorias y el de derrotas
por mayorı́a simple.
La regla de agregación de Copeland viene definida por
xi P C xj ⇔ C(xi) > C(xj ).
P C es asimétrica y negativamente transitiva. Además selecciona la
alternativa vencedora de Condorcet, cuando ésta existe.
Sean 4 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la
siguiente forma
1 2 3 4
10
20
30
40
50
D
E
A
B
C
D
E
B
A
C
C
B
A
D
E
E
A
C
B
D
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
30
Utilizando la regla de la mayorı́a simple se tiene
D P s E, E P s A, E P s B, E P s C, A P s C,
D I s A, D I s B, D I s C, A I s B, B I s C.
Puede observarse que ni P s ni I s son transitivas y que ninguna
alternativa es vencedora de Condorcet.
Los contadores de Copeland asignan la siguiente puntuación a las
alternativas
C(A) = 1 − 1 = 0, C(B) = 0 − 1 = −1,
C(C) = 0 − 2 = −2, C(D) = 1 − 0 = 1, C(E) = 3 − 1 = 2,
por lo que se tiene
E P C D, D P C A, A P C B, B P C C
y, en consecuencia, E vence por el método de Copeland.
En este caso el método de Borda coincide con el de Copeland. Sin
embargo, no siempre es ası́.
Sean 9 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la
siguiente forma
4 votantes 3 votantes 2 votantes
10
20
30
40
50
E
D
A
C
B
B
C
E
A
D
D
A
B
C
E
En este ejemplo ninguna alternativa es vencedora de Condorcet.
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
31
Además se produce varias veces la paradoja del voto: entre otros
ciclos se encuentra C P s E, E P s D y D P s C.
El método de Copeland selecciona a D como alternativa ganadora.
Sin embargo, por el método de Borda vencerı́a E.
6.2
MÉTODO DE HARE (1857)
En el método de Hare cada uno de los votantes entrega una lista
ordenada de las alternativas en litigio. Si una alternativa ocupa la
primera posición para más de la mitad de los votantes, ésta resulta
ganadora. Si no hay ninguna, la(s) alternativa(s) con menor número
de primeras posiciones es (son) eliminada(s). Se vuelve a contar
el número de veces que cada alternativa ocupa el primer lugar y
se procede como antes, hasta que sólo quede una, la cual será la
alternativa ganadora.
Sean 17 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la
siguiente forma
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
40
50
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
C
B
D
E
A
D
B
C
E
A
E
B
C
D
A
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
32
Como ninguna alternativa consigue al menos 9 primeras posiciones,
se elimina la que tiene menor número de primeras posiciones, B.
Ahora se tendrı́a
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
40
A
C
D
E
C
D
E
A
C
D
E
A
D
C
E
A
E
C
D
A
Como ninguna alternativa consigue al menos 9 primeras posiciones,
se elimina la que tiene menor número de primeras posiciones, D.
Ahora se tendrı́a
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
A
C
E
C
E
A
C
E
A
C
E
A
E
C
A
De nuevo, ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeras posiciones, por lo que se elimina E, que es la que tiene menor número
de primeras posiciones. Ahora se tendrı́a
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
A
C
C
A
C
A
C
A
C
A
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
33
Vence la alternativa C, al alcanzar 12 primeras posiciones. Puede
observarse que B es vencedora de Condorcet, a pesar de que ha sido
la primera eliminada por el método de Hare. También B resulta
ganadora por el método de Borda, ya que
r(B) = 53 > r(C) = 42 > r(D) = 31 > r(E) = 27 > r(A) = 20.
El método de Hare se conoce también como “voto transferible”:
cuando se elimina una alternativa, los votos que tenı́a se transfieren
a la siguiente en orden de preferencia, para cada uno de los votantes
que la tenı́an como su mejor alternativa.
6.3
MÉTODO DE COOMBS (1964)
A diferencia del método de Hare, el método de Combs elimina de
forma sucesiva las alternativas que despiertan mayor rechazo. Cada
uno de los votantes entrega una lista ordenada de las alternativas en
litigio. Si una alternativa ocupa la primera posición para más de la
mitad de los votantes, ésta resulta ganadora. Si no hay ninguna, se
elimina(n) la(s) alternativa(s) con mayor número de últimas posiciones. Se procede como antes, hasta seleccionar la alternativa
ganadora.
Supongamos, como en el ejemplo anterior, 17 votantes que ordenan
las alternativas A, B, C, D y E de la forma
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
34
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
40
50
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
C
B
D
E
A
D
B
C
E
A
E
B
C
D
A
Puesto que ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeros puestos,
se elimina la que tiene mayor número de últimas posiciones, A. Ahora
se tendrı́a
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
40
B
C
D
E
B
C
D
E
C
B
D
E
D
B
C
E
E
B
C
D
De nuevo, ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeras posiciones, por lo que se elimina la que tiene mayor número de últimos
lugares, E. Ahora se tendrı́a
5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes
10
20
30
B
C
D
B
C
D
C
B
D
D
B
C
B
C
D
Resulta ganadora la alternativa B, al alcanzar 11 primeras posiciones.
En esta ocasión, el método de Coombs selecciona la alternativa
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
35
vencedora de Condorcet. Esto no siempre es ası́, como lo prueba el
siguiente ejemplo.
Sean 21 votantes que ordenan las alternativas A, B y C de la siguiente forma
5 vot. 4 vot. 2 vot. 4 vot. 2 vot. 4 vot.
10
20
30
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
El método de Coombs selecciona B como alternativa ganadora. Sin
embargo, A es vencedora de Condorcet y resulta ganadora por los
métodos de Borda, Copeland y Hare.
6.4
MÉTODO DE NANSON (1882)
El método de Nanson es similar al de Coombs, pero utiliza el método
de Borda para eliminar alternativas de forma secuencial. Ası́, una
vez que cada votante ha mostrado sus preferencias sobre los pares de
alternativas, se asigna a cada una el contador de Borda y se elimina
la que menos puntuación haya alcanzado (puede haber varias). Se
vuelve a aplicar el método de Borda sobre las alternativas restantes,
se elimina(n) la(s) alternativa(s) con menor puntuación, reiterando
el proceso hasta conseguir una única alternativa, que será la ganadora.
Este método selecciona, cuando existe, la alternativa vencedora de
Condorcet.
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
36
En el siguiente ejemplo se muestran las sucesivas ordenaciones correspondientes a aplicar el método de Nanson. Ası́ la primera tabla
muestra las preferencias de 4 votantes sobre las alternativas A, B, C,
D y E. Al aplicar el método de Borda, C obtiene la menor puntuación
(6 puntos), por lo que es eliminada. La segunda tabla muestra las
preferencias de los votantes sobre las alternativas restantes. Al volver
a aplicar el método de Borda, A y B comparten la menor puntuación
(5 puntos), por lo que son eliminadas. La última tabla refleja las
preferencias de los votantes sobre las alternativas restantes, D y E.
Al obtener E menor puntuación (1 punto), se elimina y queda D
como alternativa ganadora. Tal como se vio anteriormente, en este
ejemplo los métodos de Borda y de Copeland daban por ganadora a
la alternativa E.
1 2 3 4
10
20
30
40
50
6.5
D
E
A
B
C
D
E
B
A
C
C
B
A
D
E
E
A
C
B
D
1 2 3 4
10
20
30
40
D
E
A
B
D
E
B
A
B
A
D
E
E
A
B
D
1 2 3 4
10 D D D E
20 E E E D
MÉTODO DE BLACK (1958)
El método de Black da por ganadora la alternativa vencedora de
Condorcet, cuando existe; si no, se procede por el método de Borda.
Procedimientos de Decisión Colectiva
7
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37
TEOREMAS DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW
Y DE GIBBARD – SATTERTHWAITE
7.1
TEOREMA DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW
Sea F una regla de agregación.
1. F cumple el axioma de independencia de alternativas irrelevantes si y sólo si para cualquier par de perfiles (P1, . . . , Pm),
(P10 , . . . , Pm0 ) y cualquier par de alternativas xi, xj ∈ X se
verifica









xi Pk xj ⇔
xi Pk0
xj Pk xi ⇔
xj Pk0
x



j 

xi









⇒




∗
0 ∗



j 

∗
0 ∗




xi P xj ⇔ xi (P ) x
xj P xi ⇔ xj (P ) xi
.
Este axioma asegura que la preferencia colectiva entre dos alternativas sólo depende de las manifestaciones de los agentes
sobre esas alternativas y no de otras, consideradas irrelevantes.
2. F cumple el principio fuerte de Pareto si y sólo si para cualquier
perfil (P1, . . . , Pm) y cualquier par de alternativas xi, xj ∈ X
se verifica
∀k ∈ V
∃l ∈ V
xi Rk xj
xi Pl xj









⇒ xi P ∗ xj .
Este principio garantiza que cuando ningún votante prefiere xj
a xi y al menos uno prefiere xi a xj , ha de ocurrir que xi
vence a xj .
Procedimientos de Decisión Colectiva
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38
3. F cumple el principio débil de Pareto si y sólo si para cualquier
perfil (P1, . . . , Pm) y cualquier par de alternativas xi, xj ∈ X
se verifica
(∀k ∈ V
xi Pk xj )
⇒
xi P ∗ xj .
Con este principio se garantiza que cuando hay unanimidad en
que xi es mejor que xj , necesariamente xi ha de vencer a xj .
4. F es dictatorial si y sólo si existe k ∈ V , tal que para cualquier
perfil (P1, . . . , Pm) y cualquier par de alternativas xi, xj ∈ X
se verifica
xi Pk xj ⇒ xi P ∗ xj .
Una regla de agregación es dictatorial cuando hay un votante que
impone sus preferencias al colectivo. Por el contrario, una regla de
agregación no es dictatorial cuando todo votante encuentra algún
perfil en donde no ve satisfechas sus aspiraciones (prefiere una alternativa a otra y su preferida no vence).
Teorema de imposibilidad de Arrow (1951)
Si n, m ≥ 3 y F es una regla de agregación tal que
1. A cada perfil de relaciones de preferencia negativamente transitivas le asigna una relación de preferencia negativamente transitiva
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
39
2. Cumple el principio (fuerte o débil) de Pareto
3. Verifica el axioma de independencia de alternativas irrelevantes,
entonces F es dictatorial.
7.2
TEOREMA DE GIBBARD – SATTERTHWAITE
Sea f una función de votación.
1. f es manipulable si y sólo si existen algún votante l ∈ V ,
algún par de perfiles (P1, . . . , Pm), (P10 , . . . , Pm0 ) y algún par
de alternativas xi, xj ∈ X , tales que
(a) ∀k ∈ V \{l} xi Pk xj ⇔ xi Pk0 xj y xj Pk xi ⇔ xj Pk0 xi
(b) f (P10 , . . . , Pm0 ) Pl f (P1, . . . , Pm).
Una función de votación es manipulable cuando algún votante
puede salir beneficiado al mostrar falsamente sus preferencias.
Por el contrario, una función de votación no es manipulable
cuando ningún votante tiene incentivos en falsear sus preferencias en ningún caso, ya que, de hacerlo, saldrı́a perjudicado.
2. f es dictatorial si y sólo si existe algún votante l ∈ V tal
que para cualquier perfil (P1, . . . , Pm) y cualquier alternativa
xi ∈ X se verifica f (P1, . . . , Pm) Rl xi.
Una función de votación es dictatorial cuando existe algún votante para el que, sean cuales sean las preferencias de los demás
Procedimientos de Decisión Colectiva
José Luis Garcı́a Lapresta
40
votantes, ninguna opción es mejor para él que la que sale vencedora por la función de votación. Por el contrario, una función de
votación no es dictatorial cuando todo votante encuentra algún
perfil en donde no ve satisfechas sus aspiraciones (prefiere una
alternativa a otra y vence la alternativa que para él es peor).
Teorema de Gibbard–Satterthwaite (1973)
Si se verifica
1. n ≥ 3
2. Todos los votantes ordenan linealmente las alternativas:
(a) ∀k ∈ V
Pk es transitiva
(b) ∀k ∈ V
∀xi, xj ∈ X
xi Ik xj ⇔ xi = xj
3. f es una función de votación tal que puede haber al menos tres
alternativas ganadoras distintas,
entonces f es manipulable o dictatorial.