Teorema de Lebesgue El Teorema más importante en este cap´ıtulo

El Teorema más importante en este capı́tulo es el teorema de Lebesgue, que caracteriza la
integrabilidad de una función acotada en términos del conjunto de puntos de discontinuidad. Para
llegar a la demostración, utilizaremos algunas definiciones y lemas previos.
Definición (Oscilación de una función). Sea A un conjunto en Rn y f : A −→ R una función
acotada. Dado un subconjunto B de A se define la oscilación de f en B como
Teorema de
Lebesgue
o(f, B) = sup{f (x) : x ∈ B} − inf{f (x) : x ∈ B}
Dado δ > 0, se define para cada x ∈ A, o(f, x, δ) = o(f, B(x, δ) ∩ A)
Y para cada x de A se define la oscilación de f en x como
o(f, x) = inf{o(f, x, δ), δ > 0}
Lema 1. Sean A ⊆ Rn , f : A −→ R una función acotada, y x ∈ A. f es continua en x si y
sólo si o(f, x) = 0
JJ
II
J
I
Demostración:
Supongamos primero que f es continua en x, y sea > 0. Existe un δ > 0 tal que para todo
y ∈ B(x, δ) ∩ A se tiene |f (y) − f (x)| ≤ /2. Entonces
f (y) − f (z) ≤ |f (y) − f (z)| ≤ |f (y) − f (x)| + |f (x) − f (z)| ≤ para todos y, z ∈ B(x, δ) ∩ A, y tomando supremos en y e ı́nfimos en z, obtenemos
o(f, x) ≤ o(f, x, δ) =
= sup{f (y), y ∈ B(x, δ) ∩ A} − inf{f (z), z ∈ B(x, δ) ∩ A} ≤ Y esto para todo > 0, luego necesariamente o(f, x) = 0
Recı́procamente, supongamos ahora que o(f, x) = 0, y sea > 0. Entonces
Teorema de
Lebesgue
o(f, x) = inf{o(f, x, δ), δ > 0} < y por tanto existe algún δ > 0 tal que o(f, x, δ) < .
Sea ahora y ∈ B(x, δ) ∩ A. Tenemos
f (y) − f (x) ≤ sup{f (u), u ∈ B(x, δ) ∩ A} − inf{f (v), v ∈ B(x, δ) ∩ A} =
= o(f, x, δ) ≤ y
JJ
II
J
I
f (x) − f (y) ≤ sup{f (u), u ∈ B(x, δ) ∩ A} − inf{f (v), v ∈ B(x, δ) ∩ A} =
= o(f, x, δ) ≤ luego |f (y) − f (x)| ≤ . Ası́ pues f es continua en x
Lema 2. Sea A ⊆ Rn un conjunto cerrado y f : A −→ R una función acotada. Para todo
p > 0, el conjunto Np = {x ∈ A : o(f, x) ≥ p} es cerrado en A, con la topologı́a relativa como
subespacio métrico de Rn , y en Rn .
Teorema de
Lebesgue
Demostración:
Sea p > 0; vamos a demostrar que A \ Np es abierto en A.
Sea y ∈ A \ Np . Hay que demostrar que existe un δ > 0 tal que B(y, δ) ∩ A está contenido
en A \ Np
Si y ∈ A \ Np , o(f, y) < p, y por la definición de oscilación de una función en un punto,
existe algún δ > 0 tal que o(f, y, δ) < p. Sea ahora z ∈ B(y, δ) ∩ A, y escojamos δ 0 > 0 tal que
B(z, δ 0 ) ⊆ B(y, δ). Se tiene:
o(f, z) ≤ o(f, z, δ 0 ) ≤ o(f, y, δ) < p
JJ
II
J
I
luego z ∈ A \ Np
Luego efectivamente Np es cerrado en A, y como A es cerrado en Rn , Np es cerrado también
en Rn .
Lema 3. Sea A un rectángulo en Rn , y f : A −→ R una función acotada. Supongamos que
existe q > 0 tal que o(f, x) < q para todo x ∈ A. Entonces existe una partición P de A tal que
S(f, P ) − S(f, P ) ≤ q v(A)
Demostración:
Para cada x ∈ A, como por hipótesis o(f, x) < q, existe un δx > 0 tal que o(f, x, δx ) < q.
Consideramos entonces un rectángulo abierto Qx tal que
x ∈ Qx ⊆ Qx ⊆ B(x, δx )
Teorema de
Lebesgue
S
Tenemos que A ⊆ x∈A Qx y {Qx , x ∈ A} es un recubrimiento abierto de A, que es
compacto. Ası́ pues, existe una familia finita x1 , . . . , xk tal que
A⊆
k
[
Qxi ⊆
i=1
Qx1
k
[
Qxi
i=1
Qx1
Qx2
Qx2
A
JJ
II
J
I
A
Qx3
Qx3
Qx4
Qx4
Sea P la partición de A determinada por los vértices de los rectángulos Qxi que están en A.
Cada rectángulo R ∈ RP está contenido en alguno de los Qxi ∩ A, con lo que
o(f, R) ≤ o(f, Qxi ∩ A) ≤ o(f, B(xi , δxi ) ∩ A) = o(f, xi , δxi ) < q
Entonces
Teorema de
Lebesgue
S(f, P ) − S(f, p) =
X
(MR (f ) − mR (f ))v(R) =
R∈RP
≤ q
X
X
o(f, R)v(R) ≤
R∈RP
v(R) = qv(A)
R∈RP
JJ
II
J
I
Teorema (de Lebesgue para la integral de Riemann).
Sean A un rectángulo en Rn, f : A −→ R una función acotada y
N = {x ∈ A; f no es continua en x}
Teorema de
Lebesgue
JJ
II
J
I
f es integrable - Riemann en A si y sólo si N tiene medida cero.
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Supongamos primero que N tiene medida cero, y veamos que entonces f es integrable en A.
Para ello vamos a comprobar que se verifica el Criterio de Riemann (para todo > 0 existe una
partición P de A de modo que S(f, P ) − S(f, P ) < )
Sea > 0. Llamamos N = {x ∈ A : o(f, x) ≥ }. Por el Lema 2, N es cerrado en A, que
es compacto, y por tanto N es compacto. Además N ⊂ {x ∈ A : o(f, x) > 0} = N (lema 1),
y como por hipótesis N tiene medida cero, entonces N también tiene medida cero. Por último,
al ser N compacto, tendrá contenido cero.
Dado ese mismo , existe entonces una familia finita de rectángulos cerrados R1 , . . . , Rk tales
k
k
[
X
◦
que N ⊆
Ri y
v(Ri ) < i=1
i=1
Teorema de
Lebesgue
JJ
II
J
I
Consideramos la partición P de A determinada por las coordenadas de los vértices de los
rectángulos Ri . Para cada rectángulo R ∈ <P se tiene que, o bien R ⊆ Ri para algún i, 1 ≤
i ≤ k, o bien R ∩ Ri◦ = ∅ para todo i, 1 ≤ i ≤ k.
Sea <1 la familia de los rectángulos R ∈ <P que están contenidos en alguno de los Ri ; y sea
<2 el resto de los rectángulos de <P .
Teorema de
Lebesgue
Si R ∈ <2 , R ∩ N = ∅, luego para todo x ∈ R la oscilación o(f, x) < . Por el lema 3,
existe una partición de R, PR , tal que
S(f |R , PR ) − S(f |R , PR ) < v(R)
JJ
II
J
I
Sea P 0 la partición de A determinada por todas las particiones PR , R ∈ <2 , y la partición
original P . P 0 es más fina que P , y determina sobre cada R ∈ <2 una partición mas fina que
PR , PR0 = {R0 ∈ <P 0 , R0 ⊆ R}
Teorema de
Lebesgue
Ası́ pues para cada R de <2 se tiene
JJ
II
X
J
I
R0 ∈<P 0 ,R0 ⊆R
(MR0 (f ) − mR0 (f ))v(R0 ) = S(f |R , PR0 ) − S(f |R , PR0 ) ≤
S(f |R , PR ) − S(f |R , PR ) < v(R)
Y para todo Q ∈ <1 , tomando M una cota de |f |,
X
X
(MR0 (f ) − mR0 (f ))v(R0 ) ≤ 2M
v(R0 ) = 2M v(Q)
R0 ∈<P 0 ,R0 ⊆Q
R0 ∈<P 0 ,R0 ⊆Q
En consecuencia
Teorema de
Lebesgue
S(f, P 0 ) − S(f, P 0 ) =
X
(
X
(MR0 (f ) − mR0 (f ))v(R0 ))+
Q∈<1 R0 ∈<P 0 ,R0 ⊆Q
+
X
(
X
(MR0 (f ) − mR0 (f ))v(R0 )) ≤
R∈<2 R0 ∈<P 0 ,R0 ⊆R
≤ 2M
≤ 2M
X
Q∈<1
m
X
v(Q) + X
v(R) ≤
R∈<2
v(Ri ) + v(A) ≤ (2M + v(A))
i=1
JJ
II
J
I
Luego f cumple el Criterio de Integrabilidad de Riemann, y por tanto es integrable en A.
Recı́procamente, supongamos ahora que f es integrable en A.
Definimos los conjuntos N1/n = {x ∈ A : o(f, x) ≥ 1/n}, de modo que N =
∞
[
N1/n .
n=1
Teorema de
Lebesgue
JJ
II
J
I
Vamos a ver que cada uno de los conjuntos N1/n tiene contenido cero, con lo que se obtendrá
que N es una unión numerable de conjuntos de contenido cero, y por tanto tiene medida cero,
terminando la demostración del Teorema.
Sea n ∈ N fijo y sea > 0. Aplicando el criterio de integrabilidad de Riemann, existe una
partición P de A tal que S(f, P ) − S(f, P ) < /n.
Llamamos R1 , . . . , Rk los rectángulos definidos por P que tienen algún punto de N1/n en su
interior (N1/n ∩ Ri◦ 6= ∅),
Y definimos los conjuntos
k
\[
( Ri◦ )
\ i=1
[
= N1/n (
F r(R))
1
N1/n
= N1/n
2
N1/n
Teorema de
Lebesgue
JJ
II
J
I
R∈<P
separando por un lado los puntos de N1/n que están en el interior de algún rectángulo Ri , y por
otro el resto, que estarán en la frontera de alguno de los rectángulos definidos por P .
Para cada rectángulo R, la frontera de R es una unión finita de rectángulos de volumen cero
2
está contenido en una unión finita de rectángulos con suma de
en Rn , luego el conjunto N1/n
volúmenes igual a cero.
S
1
⊆ ki=1 Ri◦ .
Y por otro lado tenemos el conjunto N1/n
Cada Ri contiene en su interior por lo menos un punto xi de N1/n , donde o(f, xi ) ≥ 1/n.
Tomamos δ > 0 de modo que B(xi , δ) ⊂ Ri , y tenemos
Teorema de
Lebesgue
o(f, Ri ) ≥ o(f, B(xi , δ)) = o(f, xi , δ) ≥ o(f, xi ) ≥ 1/n
de donde se deduce
1/n
k
X
v(Ri ) ≤
i=1
luego
k
X
k
X
o(f, Ri )v(Ri ) ≤ S(f, P ) − S(f, P ) < /n
i=1
v(Ri ) < i=1
Ası́ pues
JJ
II
J
I
N1/n ⊂ (
k
[
i=1
Ri ) ∪ (
[
F r(R))
R∈<P
unión finita de rectángulos, cuya suma de volúmenes es menor que . y por tanto tiene contenido
cero.
J(Volver al enunciado)