Unidad 1 Teorema fundamental del calculo. 1.1 Medicion

Unidad 1 Teorema fundamental del calculo.
1.1 Medicion aproximada de figuras amorfas.
1.2 Notacion sumatoria.
1.3 Sumas de Riemann.
1.4 Definicion de integral definida.
1.5 Teorema de existencia.
1.6 Propiedades de la integral definida.
1.7 Funcion primitiva.
1.8 Teorema fundamental del cálculo.
1.9 Calculo de integrales definidas.
1.10 Integrales Impropias.
Unidad 2 Integral indefinida y metodos de integracion.
2.1 Definicion de integral indefinida.
2.2 Propiedades de integrales indefinidas.
2.3 Calculo de integrales indefinidas.
2.3.1 integrales indefinidas Directas.
2.3.2 integrales indefinidas Con cambio de variable.
2.3.3 integrales indefinidas Trigonometricas.
2.3.4 integrales indefinidas Por partes.
2.3.5 integrales indefinidas Por sustitucion trigonometrica.
2.3.6 integrales indefinidas Por fracciones parciales.
Unidad 3 Aplicaciones de la integral.
3.1 Areas.
3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion.
3.1.2 Area entre las graficas de funciones.
3.2 Longitud de curvas.
3.3 Calculo de volumenes de solidos de revolucion.
3.4 Calculo de centroides.
3.5 Otras aplicaciones.
Unidad 4 Series.
4.1 Definicion de serie.
4.1.1 serie Finita.
4.1.2 serie Infinita.
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de DAlembert)
y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
4.3 Serie de potencias.
4.4 Radio de convergencia.
4.5 Serie de Taylor.
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.
Medida Aproximada de Figuras Amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la
sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el
resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan
sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta
área.
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.
Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las
ordenadas x = a y x = b.
El gráfico de la función se muestra a continuación,
Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está
compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.
Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la
anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx
donde y = f(x)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y
= f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la
región o la zona limitada.
Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser
evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.
2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y),
el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a
continuación,
Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras
delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la
longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva
x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la
región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy
3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra
por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b,
el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es
negativo.
Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces
A = | f(x) dx|
4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje
x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el
área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el
eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,
A = |A1| + A2
Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,
Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x =
4 y por el eje x.
La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la
línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada
sería,
El área de la región limitada es,
A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3
Notación Sumatoria
En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una
serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie.
En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de
operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la
serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos
suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a
continuación,
Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros
cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos
suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de
números en la serie.
Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es
un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para
representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente
manera,
Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es
un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del
alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria n utilizando el
símbolo sumatorio se representa,
La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento
Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. Siempre existe un
límite inferior y un límite superior de la operación los cuales están
representados por debajo y por encima del símbolo sumatorio. La variable,
representando el límite de la operación, se escribe debajo del símbolo
sumatorio hacia la izquierda del límite inferior.
El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del
índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El
límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo
tanto, el límite superior es llamado punto final.
La expresión mostrada arriba se calcula como,
= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn
Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación
completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria,
algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere
producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de
cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la
suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los
fines en el último caso.
Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la
suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar
como,
= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2
La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar
que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última
expresión denota una operación en la queprimero se suman todos los términos
y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación
anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que
ya estaban elevados al cuadrado.
Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo
sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se
puededenotarcomo,
1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica
que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el
Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica
es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la
curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos
con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los
rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de
Riemann
Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la
región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:
Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:
donde
haciendo de esta como un promedio entre la suma
superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:
(donde C es constante)
Representación.
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:
. Una suma de Riemann se
interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común
y
de alturas
situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función
f (ver figura siguiente).
Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y
n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área
delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.
Teorema fundamental
El teorema más elemental es el siguiente:
Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann
convergen a la integral de f en el intervalo:
Prueba
El intervalo I = [0,1] es un espacio métricocompacto por lo que toda función
continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad
en I se escribe :
es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad
uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:
Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego
existe un natural n tal que
entera de
(basta con tomar
, la parte
).
Para todo x en
luego
, lo que también se escribe:
Integrando la relación anterior en
Luego sumando los
se obtiene la siguiente:
con k variando de 0 a n - 1 se obtiene:
lo que equivale a:
.
El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de
tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y
da:
Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de
Riemann, pues en
también tenemos
.
Generalizaciones
A otros intervalos
Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo
compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de
misma longitud
obtenemos una aproximación del área bajo la
curva de f por n rectángulos de área total
, aproximación
que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el
siguiente:
La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo
se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de
variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en
[0, 1]: Concretamente:
Así
.
por el teorema en [0, 1],
y:
con el cambio de variable:
.
Ejemplo:
A otras subdivisiones
Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en
n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión
regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los
números x0, x1 ... xn tales que
Se denota δ(σ)
la mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n):
Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que
denotaremos
El
teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente:
Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann
convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero:
A otros puntos de cálculo
Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada
segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida
sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann
escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función,
. La suma es entonces
.
Funciones escalonadas
. El área rojo oscuro mide
, el área total coloreada (rojo + verde) mide
El teorema es, sin sorpresa, el mismo:
Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la
suma se precisa conocer las imágenes
y no los
mismos.
La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el
ínfimo
y el supremo
es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo
por lo que
suma de Riemann, donde los
es una
son implícitos (y de hecho, desconocidos). En
particular
son las
sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la
subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de
funciones escalonadas
que mejor acotan a f:
y, por definición misma de la integral de Riemann,
es el límite común de
, es decir de
cuando δ(σ) tiende hacia cero.
Rapidez de Convergencia
Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de
cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano,
¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo
de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión
del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más
importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera
de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].
Método de los rectángulos
El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la
subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de
cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea
el valor máximo de la derivada en valor absoluto.
Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica:
Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos
(por integración)
luego:
Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo
[a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la
fórmula b - a por
, luego se multiplica por n el error porque hay n
pequeños intervalos con la longitud anterior:
es el error máximo.
Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí
M1 = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en
se considera enorme:
tiende muy lentamente hacia cero.
Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos
Método de los puntos medios
El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una
variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de
cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es
.
Sea
el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error
verifica:
.
Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de
Riemann es
.
da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan
los valores absolutos por una desigualdad doble)
y luego
.
Observamos que .
Luego
: desigualdad triangular
en integrales, luego (1) da:
.
Con n cualquiera,
porque hay n intervalos.
se vuelve
que se multiplica por n
El error es acotado por un término en
lo que es mucho mejor que el
método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.
del
Áreas equivalentes
El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los
rectángulos adyacientes rojos
Método de los trapecios
El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total
de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el
eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es
.
Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios
A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin
embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma
base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de
la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados
horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos
siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores
intermedios:
, que es la altura del rectángulo, es un valor
alcanzado por f porque pertenece al intervalo
. Para
estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente
roja. El área total (color rosado) está compuesta por:
* dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el
caso de un intervalo de longitud
en el método de los rectángulos
(punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por
y
* n - 1 rectángulos de anchura
con puntos de cálculo centrales
(como el punto B de la figura) luego el error es acotado por
Luego el error total es inferior o igual a
; por tanto es acotado por un término
en
.
Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1:
, es decir que el error máximo es
exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos
medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los
puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los
que a menudo ya se han calculado previamente a la
estimación de la integral.
Definición de Integral Definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da
la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber,
la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es
aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella
que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de
la integral definida es la siguiente,
Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a,
b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún
intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral
de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es
esencialmente un número real.
Una integral definida se representa más comúnmente como,
Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n
yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.
Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas
definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en
el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión
f(x) dx.
Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior
de la integración definida, mientras que el número que está por encima del
signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En
conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el
límite inferior sea menor que el límite superior.
Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del
Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la
función dada, entonces
da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos
simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación
de una función produce la variación total de los valores de la función. En la
expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la
variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración.
Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda
del tema.
(3y2 + 2y +5) dy
[y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la sustitución del límite inferior, así
como del límite superior en la expresión dada)
[4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en
la expresión dada)
[4(125) + (25) + 5(5)]
125 + 25 + 25
175
[(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la
expresión dada)
[(1)3 + (1)2 + 5(1)]
1+1+5
7
Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración.
175- 7
168
Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de
variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar
los resultados reales.
1.5 Teorema de existencia
[a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:
otal en F(x) cuando x cambia de “a” a “b”.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de
F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en
F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el
F(a).
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en
las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:
Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su
derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante
t. Así
2
1) es el cambio en la cantidad de agua en el
depósito entre los instantes t1 y t2.
Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante
t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera
2
1)
es el cambio en la concentración [c] desde el
instante t1 hasta el t2.
Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x)
Si la tasa de crecimiento de una población es
entonces
p(t1) es el aumento de población durante el período desde t1 hasta t2.
2
Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo
marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente
2
1) es el
incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2
unidades.
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) ,
2
1)
es el
cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período
desde t1 hasta t2.
expresión
2
1)
es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.
La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir
2
1)
indica la energía
utilizada en el tiempo entre t1 y t2.
La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar
la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del
límite de sumas resulta complicado.
1.6 Propiedades de la integral definida.
La integral definida se representa por
.
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a,
c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
Regla de Barrow
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en
un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma
una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Teorema fundamental del cálculo
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración
son operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función
original.
1.7 Función Primitiva
Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como
cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función
original f(x).
Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función
primitiva es la integral de la presente función f(x).
Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces
F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún
pre-requisito para obtener a c.
Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos
valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.
Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de
las curvas paralelas a ellos.
Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva
integral, antiderivada, etc.
Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo
abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la
cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo
abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].
Esto puede ser representado como,
La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del
proceso de integración o antidiferenciación.
Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que
existe toda una familia de tales funciones.
Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta
satisface la condición,
Aquí c es la constante arbitraria de integración.
La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para
la función f(x).
Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la
función f(x) al calcularel valor de la función primitiva en el límite superior e
inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos.
Por tanto se puede establecer que,
Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función
dada f(x).
También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será
de un grado más alto que el de la función dada.
Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos
relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte
del teorema fundamental del cálculo.
Sin embargo, no es esencial que exista una función primitiva para cada función.
Para que una función primitiva exista, es necesario que la función dada sea
continua en un intervalo abierto arbitrario.
No todas, pero una entre las muchas funciones primitivas se puede obtener
mediante el cálculo de la integral definida de la función variando el límite
superior de integración.
Si intentamos variar el límite inferior también, podemos obtener otras funciones
primitivas, sin embargo no es posible calcularlas todas de esta manera.
La función primitiva se puede conseguir mediante el cálculo de la integración
de la función dada, por lo tanto, la función primitiva de 5y6 sería
5y6
5[y6+1/ 6+1]
5/7 y7
1.8 Teorema fundamental del cálculo.
Teorema Fundamental del Cálculo
El cálculo está en el corazón de las matemáticas y se compone de dos
operaciones básicas que son, integración y diferenciación. Existía la necesidad
de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema
Fundamental del Cálculo fue diseñado. Este teorema está dividido en dos
partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo
Teorema Fundamental del Cálculo.
Y la cual es una función continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe
una función integral indefinida F de la función dada en el mismo intervalo de
forma que,De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, para
una función f: X
Este teorema ayuda a establecer una conexión entre la integración indefinida
que es únicamente de origen algebraico y la integración definida que es
únicamente de origen geométrico. También sugiere la existencia de una
antiderivada para cada función que sea continua.
Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensión más profunda.
De acuerdo con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para una
función f: X → Y la cual es una función continua de un intervalo abierto donde
haya un punto x dentro de este intervalo abierto entonces una función integral
indefinida F de la función dada será definida como,
Entonces para cada punto en el intervalo abierto de la función dada se puede
concluir que,
En términos simples se puede afirmar que para cualquiera de las funciones su
integral definida se puede calcular con la ayuda de cualquiera de sus
antiderivadas.
El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones prácticas dado
que con el uso de este teorema se hace muy fácil calcular la integral definida
de una función.
El Teorema Fundamental del Cálculo se ha modificado para hacerlo
conveniente para resolver algunos de los problemas de las curvas lo cual pude
ser establecido como, para una función f: X → Y la cual tiene una integral
indefinida continua en algún área limite la cual en sí contiene una curva
parametrizada
,
Si el Teorema Fundamental del Cálculo se combina con la Regla de la Cadena,
algunos los resultados de interés procedentes del cálculo pueden ser
obtenidos. Por ejemplo, sea f(z) una función continua sobre el intervalo [p, q] y
asuma que g(z) es diferenciable en el mismo intervalo, entonces podemos
afirmar que,
Como sabemos que la Regla de la Cadena establece que,
Una forma generalizada para la expresión puede ser,
Para la expresión anterior ambas funciones g(z) y v(z) son diferenciables en el
intervalo dado. Un ejemplo haría las cosas más fáciles de entender,
Aquí F(x) no posee una forma explícita de sí misma.
2.3 Calculo de integrales indefinidas.
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con
la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior
de la integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa
que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una
función del integrando dado.
La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado
es,
Aquí el valor de n no debe ser igual a −1.
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es
alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y
coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada.
Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este
convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor
indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,
Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de
integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existe nalgunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente
para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales,
funciones logarítmicas, etc.
Algunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,
•
•
•
•
•
•
Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la
multiplicación o la división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de
una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o más
funciones. Para integrar la multiplicación de funciones primero tenemos que
multiplicar los productos y para la integración de la división de las funciones
tenemos que quebrar el cociente.
El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales
indefinidas. Este método es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las
fórmulas de integración simple no se pueden aplicar directamente. Apartando
esto un pre- requisito importante para este método es que el integrando debe
definirse de forma tal que para cualquier función f(x) el integrando es la
multiplicación de la diferenciación de f(x) y función de f(x) como se muestra a
continuación,
Aquí tenemos g(x) como la función principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo
que producirá,
g(x) = a
g’(x) = da/ dx
da = g’(x) dx
Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresión real como
integrando y la integración se puede seguir como es usual para el nuevo
integrando. Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro
de la expresión para obtener la respuesta final.
Para analizar si la sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no,
asegúrese que después de la sustitución la nueva variable reemplazada
aparezca y que la variable original de la integración desaparezca
completamente del integrando.
Vale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de la forma
exacta que se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos primero que
modificarlo a una forma en que la sustitución pueda llevarse a cabo.
Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso de resolver integraciones
indefinidas.
5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx
= 5ex + sin(x) – 5 tan(x) + c
2.3.1 Integrales indefinidas directas.
La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.
Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para
encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y
también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física,
electrónica, etc. Que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.
Debido a la ausencia tanto del límite superior como del límite inferior, la
integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier
problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.
Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales
indefinidas.
El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se
sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe
una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.
Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la
integración definida.
Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales,
funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas.
Algunas de las fórmulas más importantes en cada una de estas categorías se
enumeran a continuación.
Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta
constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.
Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero
cuando esta función es diferenciada.
Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta
constante se adjunta.
Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos prerequisitos dados para satisfacer la función dada.
Funciones Polinómicas
8
9
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones exponenciales:
Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones trigonométricas:
Existe una serie de otras fórmulas en esta categoría también.
Funciones logarítmicas:
Existe una gran cantidad de otras fórmulas en esta categoría también.
Todas estas fórmulas pueden ser sustituidas directamente por su respectivo
integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para
hacer las cosas más claras.
sin (2x) / cos2 (x) dx
De las propiedades de la trigonometría sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)
Sustituyendo esta expresión para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos
(x) / cos2 (x) dx
Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos
(x) dx
Esto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dx
Mueva la constante fuera de la integración, 2 sin (x) / cos (x) dx
Una vez más haciendo uso de las propiedades trigonométricas reduzca el
integrando a, 2 tan (x) dx
Integrando el integrando final, obtenemos, −2 ln|cos (x) | + c
Como podemos observar que además del conocimiento de la fórmula de
integración, es esencial el conocimiento básico de las fórmulas matemáticas.
2.3.2 Integrales indefinidas con cambio de variable.
La integración mediante el cambio de variable o por sustitución se encuentra
entre uno de los métodos de integración más poderosos.
Es conocido por todos que la integración es el proceso contrario de la
diferenciación, en esta perspectiva la integración con cambio de variable es el
proceso contrario de la diferenciación llevada a cabo a través de regla de la
cadena.
La integración a través de la sustitución se realiza cuando el integrando dado
es de la forma,
Es decir se nos provee una función primaria y el integrando es el producto de la
derivada de esta función primaria y función de esta función primaria.
Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en
la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustitución, hay
situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal
manera que podamos aplicar la fórmula de sustitución.
Los pasos para realizar el método de sustitución para las integrales indefinidas
son los siguientes.
1 Identificar la función primaria g(x).
En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una
serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros métodos para convertirlo
en la forma deseada.
2 Sustituya la función primaria g(x) por alguna variable, digamos a,
3 Esta diferenciación produciría
4 Sustituya estos valores en la expresión real para modificar el integrando
como,
5 En caso de que la variable original todavía exista en el integrando, entonces
sencillamente usamos la definición de a desde el paso inicial para la variable
real en términos de la nueva variable.
6 Finalmente integre este integrando.
7 Después de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable
original en la antiderivada obtenida.
Puede parecer que los pasos para la realización de este método son los
mismos tanto para la integración indefinida como para la definida, pero existe
fina diferencia entre los dos que es esencial entender.
Primeramente en el caso de una integración definida una cosa importante a
tener en cuenta es cambiar el límite superior, así como el límite inferior de
integración.
Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo
tanto los límites de integración tienen que ser redefinidos en consecuencia de
los nuevos límites de integración.
En segundo lugar, en el caso de la integración indefinida, tenemos que volver a
colocar de nuevo la variable original para el integrando de manera que la
solución final sea en términos de la variable real.
Mientras que para la integración definida ponemos al final los valores del límite
superior e inferior en la expresión para obtener la respuesta numérica.
Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos.
18×5 (x3 – 5)4 dx
Sea a = (x3 – 5)4
da = 3×2 dx
dx = da/3×2
18×5 (x3 – 5)4 da/ 3×2
6×2 (x3 – 5)4 da
6×2 a4 da
6(a +5) a4 da
(6a5 + 30 a4) da
a6 + 6a5 + c
(a + 6) a5 + c
(x3 – 5 + 1) (x3 – 5)5 + c
(x3 + 1) (x3 – 5)5 + c
En el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener
la forma deseada del integrando.
De manera similar otros problemas pueden ser resueltos, sin embargo para
cada problema puede ser necesaria una técnica distinta para obtener el
integrando deseado.
2.3.3 Integrales indefinidas trigonométricas.
Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones
trigonométricas también pueden ser integradas.
Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones
trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.
Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el
integrando dado.
Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para
llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de
métodos como la sustitución.
Las integrales de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación.
Con excepción de las últimas cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente
usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las últimos cuatro
fórmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonométricas y la
integración a través de la sustitución.
Mientras calculamos un determinado integrando trigonométrico es esencial el
seguimiento de una estrategia como se describe a continuación.
1 Si la función seno es elevada a un exponente impar, a continuación,
mantenga la función seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1
para conseguir la función coseno y por lo tanto, utilice el método de integración
a través de la sustitución al igualar el coseno a la nueva variable.
2 Si la función coseno es elevada a un exponente impar, a continuación,
mantenga la función coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1
para conseguir la función seno y por lo tanto, utilice el método de integración a
través de la sustitución al igualar el seno a la nueva variable.
3 En el caso que tanto la función seno como la función coseno se eleven a un
exponente par entonces las identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas
para conseguir el integrando completo dentro de los términos de la función
coseno.
4 Otras identidades, tales como,
También pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.
5 Si la función secante es elevada a un exponente par, a continuación,
mantenga la función secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x)
para conseguir la función tangente y por lo tanto, utilice el método de
integración a través de la sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.
6 Si la función tangente es elevada a un exponente par, a continuación,
mantenga la función sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 =
tan2(x) para conseguir la función secante y por lo tanto, utilice el método de
integración a través de la sustitución al igualar la secante a la nueva variable.
Sea un integrando de la forma,
sin5(x) dx
Al mirar este integrando la mayoría de las personas tratarían de sustituir sin(x)
= a, lo cual produciría cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretación errónea.
En general, para integrar una función seno una función coseno es necesaria y
para integrar una función coseno una función seno.
Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la función seno a un lado y
transforme el integrando de la función coseno con la ayuda de la identidad
sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuación.
sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2
sin(x) (1 - cos2(x))2
Ahora la integración a través del método de sustitución puede ser aplicada al
mantener cos(x) = a
Esto produce –sin(x) dx = da
-(1 – a2) da
(-a4 + 2a2 – 1)da
-a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c
cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 – cos(x) + c
2.3.4 Integrales indefinidas por partes.
La mayoría de las veces la gente intenta usar las fórmulas de integración de la
suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin
embargo produce resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta.
Como ejemplo,
Un error común cometido por las personas que observan una expresión de este
tipo sería,
El cual es sin embargo un enfoque equivocado.
Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.
En tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.
Para resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración
por partes.
Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la
integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la
diferenciación.
La fórmula general para la integración por partes,
Esta fórmula podría confundirlo. Así que para entender el concepto detrás de la
formulación de esta fórmula observe la regla del producto de la diferenciación
escrita a continuación,
De la expresión anterior se puede deducir que,
Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad,
entonces podría ser utilizada para deducir la otra también, lo cual constituye la
base para la formulación de la técnica de integración por partes.
La Integración por partes se desarrolla de la siguiente manera,
1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x).
En caso que no exista una segunda función primaria, sea esta g(x) no es real
asumirla como una.
2 Ahora las funciones secundarias se colocarán en el lugar de las primarias
como se describe a continuación,
y
3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función.
Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.
4 Ahora aplique la fórmula de integración por partes como,
Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha
ayuda.
ln(x) dx
Dado que sólo una de las funciones primarias está ahí se puede asumir que la
segunda es 1.
Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.
Luego diferenciando la primera función e integrando la segunda obtenemos,
du = 1 / x dx
v=x
Colocando los valores anteriores en la expresión real tenemos que,
ln(x) dx = x * ln(x) - x * 1 / x dx
x * 1 / x dx = dx
x+c
Por tanto la solución final es x * ln (x) - x + c
En la práctica, los integrandos que son difíciles para ser integrados
directamente se transforman de forma que el método de integración por partes
se pueda aplicar para hacerlos más fácil de integrar.
Sin embargo, es muy importante una elección correcta de la función a ser
integrada y diferenciad asi no se efectúa de esta forma es posible que el
integrando se vuelva aún más críptico que antes.
Otra razón para que la integración por partes falle sería que algunas de las
transformaciones de los integrandos causen que el integrando original
aparezca de nuevo.
También para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo
procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea
aún más complejo.
2.3.5 Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica.
La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica
se conoce como sustitución trigonométrica.
Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado
que podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica.
Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones
trigonométricas a lugar.
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una
sustitución trigonométrica es la mejor opción.
Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un
triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse
cierto, pueden ser sustituidas por una función trigonométrica.
También es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas
trigonométricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una
función tal que,
Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo
es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea.
También podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el
integrando la cual podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación
sería una buena elección.
Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es
representada por y x representa la altura del triángulo. Por tantouna sustitución
trigonométrica sería una mejor opción. Supongamos ahora
sin = x/ 3 utilizando la fórmula sin = longitud del triángulo dividido por la
hipotenusa del triángulo
x = 3 sin
… (1)
El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos
 dx = 3 cos d
 = 3 cos
 Ahora el nuevo integrando se convierte
 Simplificando esta obtenemos
 Finalmente nos da + c como respuesta.
Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un
bosquejo aproximado de los lados del triángulo para que en ningún paso ocurra
una sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de
es igual a cero entonces tal triángulo no puede existir.
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones
trigonométricas son las siguientes,
es sustituido asumiendo que x = p sin
es sustituido asumiendo que x = p tan
es sustituido asumiendo que x = p sec
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas
para la sustitución trigonométrica.
En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces
ese coeficiente pasa a ser el denominador del término constante que precede a
la función trigonométrica en el lado derecho.
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces
convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución
del problema.
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce
una raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución.
Sin embargo, acerque una función trigonométrica sustituya una función
algebraica no es la única solución, el problema también puede resolverse
utilizando las reglas simples de integración, ya que existen muchas maneras de
resolver un integrando específico.
2.3.6 Integrales indefinidas por fracciones parciales.
Un polinomio general, que está en términos de fracciones, puede ser dividido
en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son
reunidos de nuevo formarían el polinomio original nuevamente. Este es el
concepto detrás del método de integración por fracciones parciales. Por lo
general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones
racionales son evaluados a través de este método rompiendo el integrando a
través de sucesivas adiciones y restas a la inversa.
A las expresiones de descomposición fraccional de la expresión real se les
conoce como sus fracciones parciales. Este método también es utilizado de
forma muy importante en las transformaciones de La place. También
transforma los integrandos en formas mucho más simples lo cual hace que la
evaluación sea realizada con mucha facilidad.
Después de la descomposición, todas las fracciones parciales poseen una
expresión polinómica de primer grado o de segundo grado en su denominador.
En el caso de una expresión racional compleja, el denominador posee
únicamente expresiones polinómicas de primer grado.
Sin embargo, este método sólo es aplicable si podemos descomponer el
denominador del integrando real.
Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este método,
estas son:
1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegúrese que
el denominador del integrando es de al menos un grado más alto que el
numerador.
2 Existe una fracción parcial para todos los factores de descomposición del
denominador de la expresión real, existe una fracción parcial como,
Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.
3 Ampliando la regla anterior, si para algún integrando el denominador produce
un factor lineal equivalente para m número de veces, y entonces tenemos m
fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado
desde uno hasta m.
4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuación cuadrática,
entonces la fracción parcial será de la forma,
En resumen, las reglas para la integración de una expresión racional utilizando
el método de fracciones parciales son las siguientes:
Aquí A, B ó C en las expresiones anteriores son términos constantes cuyos
valores se obtienen a través de la solución de problemas y entonces se colocan
en la expresión de integración. Para la existencia de estos términos constantes
para cualquier expresión racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones
siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser únicamente
expresiones polinómicas.
2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparación
con el de grado de su denominador.
Este método podría parecer un poco confuso para usted y por tanto, un
ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda para usted.
El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x
- 3). Entonces el integrando se convierte ahora,
2x + 3/ (x + 3) (x – 3)
Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x +
3) + (B/ x – 3)].
Lo que resulta en A(x – 3) + B(x + 3) = 2x + 3.
Resolviendo la expresión anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3
obtenemos los valores de A y B como ½ y 3/2, respectivamente.
El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x – 3)].
½ ln |x + 3| + 2/3 ln |x – 3|.
Unidad 3. Aplicaciones de la integral.
3.1 Áreas.
Área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades
de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es
más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se
puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.
Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando
no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la
magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir
métodos de geometría diferencial.
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y
matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas
curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación
del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al
representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al
valor de la función en el medio del intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el
ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de
todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la
función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos
los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la
realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la
ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es
negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo
del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos
casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está
por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área
encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica
de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por
encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos
mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el
límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por
ser determinado.
Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva
a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación
, y =5, y = 1 y por el eje y.
Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y=
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas.
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.
La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y
matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas
curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación
del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al
representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al
valor de la función en el medio del intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el
ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de
todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la
función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos
los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la
realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la
ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es
negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente por arriba y parcialmente por
debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de
estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la
curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El
área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la
gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o
por encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos
mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el
límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el área del grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por
ser determinado.
Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva
a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación
, y =5, y = 1 y por el eje y.
Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y=
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas.
3.2 Longitud de curvas.
Determinar la longitud de una línea recta es una tarea relativamente fácil, pero
si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces necesitamos la
ayuda de la integración.
Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral de
caminos o integral de contorno.
Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función determinada
a lo largo de la curva de la función.
Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta
manera.
La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada
punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es ponderado
por el valor de cualquier función.
Esta suele ser una función escalar.
Considere una función continua, sea y = f(x) tal que la función y su derivada
son continuas en un intervalo cerrado [p, q].
Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la
pequeña parte ds de la curva correspondiente.
Por el Teorema de Pitágoras, obtenemos
ds2 = dy2 + dx2
Llevando dx2 al otro lado
ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2
ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2
ds / dx =
ds =
dx
Ahora tomando la antiderivada de la ecuación anterior, obtenemos
Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es
decir, x = x (t) y y = y (t).
La fórmula integral correspondiente para la solución de tales formas es la
siguiente:
El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar,
esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:
Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo
de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de
la funciónf(x) será determinado.
Para encontrar la longitud del arco (denotadocomo S) en medio de los puntos b
y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la
hipotenusa del triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será
determinada. Para simplificar, la base del triángulo se considera Δx tal que
existe una y correspondiente para cada Δx.
Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos
Longitud de la Hipotenusa =
La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es,
Ahora, cuando el radicando es multiplicado por , obtenemos
Por tanto, la S puede ser modificada
Mientras menor sea el valor de Δx, más precisa será la aproximación. Tenemos
S, cuando el límite de Δxse mueve hacia 0.Esto es,
Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x
= cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π.
Diferenciando x e y, obtenemos
dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a)
Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados
(dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1
Por tanto, S = 1 da
S = 2π.
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
Físicamente, los sólidos de revolución se refieren a todos aquellos objetos que
son intersectados y se componen de una sección circular.
Con el fin de entenderlos matemáticamente, sea f(x) una curva y sea esta
rotada 360 grados alrededor del eje x entre el intervalo x = a y x = b.
En la rotación, la curva representa un sólido y este sólido se denomina sólido
de revolución.
El cálculo del volumen de sólidos de revolución es una de las importantes
aplicaciones de las integrales.
El método integral del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se conoce
comúnmente como Integración de Disco.
El disco está usualmente integrado a lo largo de un eje particular dado.
Hay tres casos principales que surgen mientras tratamos con los problemas de
encontrar los volúmenes:
1). Cuando la función rotativa es función del eje x.
2). Cuando la función rotativa es función del eje y.
3). Método de Arandelas
Los primeros dos métodos se conocen también como métodos delos anillos
para encontrar el volumen de sólidos de revolución.
Cuando la función rotativa es función del eje x: La integral de la forma es
utilizada para calcular el volumen de la función y, en particular la función del eje
x.
Aquí R(x) representa la distancia del eje de rotación de la función
correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de
rotación es horizontal.
Para la rotación sobre el eje y o cualquier otro eje vertical los otros dos casos
entran en existencia.
Cuando la función rotativa es función del eje y:La integral de la forma se utiliza
para calcular el volumen de la función, la cual es eje de la función del eje y.
Aquí R(y) representa la distancia del eje de rotación de la función
correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de
rotación es vertical.
Método de Arandelas:Puede existir el caso cuando el sólido de revolución es
hueco.
El proceso para encontrarlo se conoce a menudo como método de arandelas.
En este, el volumen de sólido exterior se resta del volumen de sólido interior.
Esto es,
Aquí RO(x) representa la función que está a la distancia máxima del eje de
rotación. RI(x) representa la función que está a la distancia mínima del eje de
rotación.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de
revolución es el eje x.
Para rotar cualquier sólido alrededor de un eje horizontal, el valor del eje
horizontal se resta de la fórmula correspondiente. Esto es, ([h – R0(x)]2 - [h –
RI(x)]2 ) dx
La fórmula también puede ser modificada para la rotación alrededor del eje
vertical.
Consideremos un ejemplo donde el volumen de la esfera debe ser encontrado.
La ecuación y = representa un semicírculo y una rotación de 360 grados del
semicírculo a lo largo del eje x forma una esfera. Suponga que es rotado entre
los puntos x =-r y x = r.
Ahora, x2 + y2 = r2y por tanto, y2 = r2 – x2
Aplicando la fórmula, obtenemos
V = (r2 – x2) dx
= [r2x – x3/3]-rr
= (r3 – r3/3) – r3 + r3/3)
= 4 r3/3
Por lo tanto, hemos obtenido la fórmula estándar del volumen de la esfera, la
cual representa la exactitud del procedimiento.
3.4 Calculo de centroides.
En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto
en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con
otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los
momentos equivalentes.
Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto ndimensional.
Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto
geométrico.
Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de
la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también
se denomina como centro geométrico.
El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.
Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el
centroide de un objeto convexo yace dentro del objeto, mientras que un objeto
no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.
Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura
particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición
geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración
es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un
objeto o una figura.
Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en
dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x
e y del centroide mediante calcular simplemente los momentos
correspondientes sobre las coordenadas x e y.
Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la
curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.
Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2
– y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.
Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total
Área total
=
Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede
ser modificada a
Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma
práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto
en cuestión.
Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será
encontrado.
Aplicando la fórmula. Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3
x (x3 - 0) dx
(x3 - 0) dx
= x4 dx
x3 dx
= [x5 / 5]02
[x4 / 4]02
= 32 / 5
16 / 4
= 1.6
Del mismo modo, buscando la coordenada y
Aplicando la fórmula,
Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos
= y (2 – y1/3)dy
(2 – y1/3) dy
= (2y – y4/3 ) dy
(2 – y1/3) dy
= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08
= 16 – 3/7(32)
= 2.29
Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)
Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un
objeto bidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que
podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de
la media ponderada al centro del objeto dado.
Unidad 4 Series.
4.1 Definición de serie.
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos,
tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como
el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras
que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma
de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en la
forma:
Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener
los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver
ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos inicial es
de la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez,
ayuda en la determinación de la razón de convergencia efectiva para la serie
correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente
tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice
que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de la
sucesión diverge, la serie también diverge.
2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la
serie converge y viceversa.
3) Si una serie de la forma
forma
converge, entonces la serie de la
converge también.
4) Si la serie de la forma
forma
converge.
5) La serie
que
converge, entonces la serie de la
converge, sólo con la condición de
también converja.
6) Se dice que una serie de la
forma
diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.
es convergente si α> 1 y
Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.
En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar
la convergencia de la serie.
De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n∊para cada ∊> 0, el
cual satisface la condición
positivo.
, n>nε. Aquí p es un entero
Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría
de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de series sean
convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.
Por otro lado, si se cumple la condición
diverge.
, entonces la serie
Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes.
Suponga que la forma de la series.
Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más
importante a determinar es si la suma parcial de la sucesión diverge o
converge. La suma parcial de la sucesión parala serie correspondiente puede
ser dada como
. Se puede observar que el límite de los
términos de la suma parcial es divergente al infinito
.
Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.
4.1.1 Serie Finita.
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a).
Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar
al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en
lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas
desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis
numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace
corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la
fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder
derivada
con su
, es decir,
Formalmente, invirtiendo la exponencial,
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el
mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones
analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que
puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para
obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos
primeros términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
4.1.2 Serie Infinita.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números
naturales, es decir,
Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes
de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo
estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que
convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y
divergen para otros.
La suma de los primeros términos de la serie se expresa como:
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de
DAlembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
Serie Numérica y de Convergencia
En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos).
Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o
términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud
de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente
los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones
en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R),
como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en
este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros
(2, 4, 6 ,…). Secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y
secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la
mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función
del contexto.
Ejemplos y notación
Hay muchas diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas
de las cuales ( por ejemplo, la secuencia exacta ) no están cubiertos por las
anotaciones que se presentan a continuación.
Además de identificar los elementos de una secuencia por su posición, como
“la tercera elemento”, elementos que pueden dar los nombres de referencia
conveniente. Por ejemplo, una secuencia podría ser escrito como ( un uno , un
dos , un dos , …), o ( b 0 , b 1 , b 2 , …), o ( c 0 , c 2 , c 4 , …), dependiendo en
lo que es útil en la aplicación.
Finito y lo infinito Una definición más formal de una secuencia finita con los
términos de un conjunto S es una función de {1, 2, …, n } a S por alguna n > 0.
Una secuencia infinita de S es una función de {1, 2, … A} S. Por ejemplo, la
secuencia de números primos (2,3,5,7,11, …) es la función 1 → 2 , 2 → 3 , 3 →
5 , 4 → 7 , 5 → 11 , ….
Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias
finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.
Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a
veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un
ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2,
4, 6, 8 …).
Multiplicativo Deja una = ( una secuencia definida por una función f : {1, 2, 3,
…} → {1, 2, 3, …}, de tal manera que un i = f (i). La secuencia es multiplicativo
si f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y tales que x e y son primos entre sí.
Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con
, el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie
, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y
supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de
Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
4.3 Serie de potencias.
Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de “x”:
Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y
el valor def(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento
bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier
orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Desde un punto de vista más practico, las series de potencias aproximan a su
función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un
polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función
suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura (Figura 1.0), puede
verse la función f(x) = ex junto con algunas aproximaciones mediante sumas
parciales de su serie de potencias.
Figura 1.0: Aproximación a ex por su serie de potencias
La siguiente imagen muestra el teorema de la serie de potencias,
ejemplificando lo descrito anteriormente.
4.4 Radio de convergencia.
Para una serie de energía f definido como:
Donde
a es una constante, el centro del disco de la convergencia,
cn es nth complejo coeficiente, y z es una variable.
El radio de convergencia r es un número verdadero no negativo o , tales que
converge la serie si
y diverge si
Es decir la serie converge si z está bastante cercano al centro y diverge si es
demasiado lejano. El radio de convergencia especifica cómo está cercano está
bastante cercano. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para
todos números complejos z.
Encontrar el radio de convergencia
El radio de convergencia puede ser encontrado aplicándose prueba de la raíz a
los términos de la serie. La prueba de la raíz utiliza el número
Donde
ƒn es n término del th cn(z − a)n (el “sup del lim” denota superior del límite). La
prueba de la raíz indica que converge la serie si |C| < 1 y diverge si |C| > 1.
Sigue que converge la serie de energía si la distancia de z al centro a es
menos quey diverge si la distancia excede ese número. Observe eso r = 1/0 se
interpreta como radio infinito, significando que el ƒ es función entera.
El límite implicado en prueba del cociente es generalmente más fácil de
computar, pero el límite puede no poder existir, en este caso se utiliza la
prueba de la raíz. La prueba del cociente utiliza el límite.
En el caso de una serie de energía, esto se puede utilizar para encontrar eso:
4.5 Serie de Taylor.
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se
puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una
buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del
valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas
cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error
conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en
número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por
aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. La
serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación
general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el
resultado que se está buscando.
En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable
(real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la
siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma
es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la
serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de
Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie
de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los
determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen
algunasingularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un
desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent.
Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a Como se puede observar en la
ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo
que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines
prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en
la serie. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son
continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función
en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un
polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables,
como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta
mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de
términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución
verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para
obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual
se puede expresar como:
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es
proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Existen series de Taylor para:
Función exponencial
Logaritmo natural
Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación
de u (ũ = u+h,con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto
de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le
resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí. Lo primero que se
hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones
empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de
derivaciones, como la función e. Después se tiene que sustituir "a" en cada una
de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada
derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la
serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion. Una vez que se
tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a
armar la ecuación de la serie.
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como
se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el
resultado sea mas preciso.
Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer
algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta,
por ejemplo:
Función Coseno
Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada
una para observar el patrón.
Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación
general:
Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-enésima derivada de f en el
punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma
es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la
serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de
Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie
de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los
determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
§ La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término
a término, que resultan operaciones triviales.
§ Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
§ Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a
una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de
Taylor.
En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre
del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad
en1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671.
Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en
un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el
teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno
reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos
coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más
formalmente, si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en
el intervalo cerrado [a, x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a, x), entonces se
cumple que:
Donde k denota el factorial de k, y Rn es el resto, término que depende de a y
es pequeño si a está próximo al punto a. Existen dos expresiones para a que
se mencionan a continuación:
f donde a y x, pertenecen a los números reales, n a los enteros y epsilon es un
número real entre a y x:[2]
Si Rn (f) es expresado de la primera forma, se lo denomina Término
complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como
una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange,
mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una
generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, Rn (f), se aproxima a
cero cuando n se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas
como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto a y son
denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con Rn(f) expresado de la segunda forma es también
válido si la función F tiene números complejos o valores vectoriales. Además
existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples
variables.
Caso de varias variables
El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias
variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el
punto a, y f una función real definida sobre la clausura, cuyas derivadas
parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El
teorema de Taylor establece que para cualquier x Ƹ B
Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa
la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:
para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto
puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase
la demostración para los detalles).