Ortogonalidad y formación de polinomios ortogonales centrados

ESTADISTlCA ESPAÑfJIA
Núm. 110, 19$6, pg9s. 6^ a 88
Ortogonalidad y formación de polinomios
ortogonales centrados
por FRANCISCO JAVIER URBELS IBARR©LA
Doctor en Ciencias Económicas
Catedrático de Estadistica
Universidad de Santander
RESUMEN
En este breve artículo se trata del concepto de ortogonalidad
para la creación de funciones pertenecientes a un espacio de Hilbert y también de descomposición ortogonal de funciones aleatorias base del análisis espectral.
La base del artículo en el Capítulo II trata de los fundamentos matemáticos para la construcción de Tablas de Polinornios
Ortogonales centrados análogos a los publicados por Fisher y
Yates.
Palabra.s clave: Espacio de Hilbert. Polinomios ortogonales. Análisis espectral. Mínimos cuadrados por descom.posicien ortogonal.
INTRODUCCION
La importancia del concepto de ortogonalidad en el campo matemático
ha ori,ginado la creación de espacios abstractos siendo elementos componentes de estos espacios simples variables o variables aleatorias, funciones o
funciones estocásticas.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
E1 primer capítulo tiene por finalidad resumir, con brevedad, algunos
aspectos derivados de la axiomática de los espacios hiebertianos y entre las
innumerables aplicaciones a la Estadística, recuerdo la farmación de elementos ortogonales tales camo variables, funciones, funciones ortogonales respecto a un ní^cleo, etc., y aplicaciones a la Teoría de la regresión y correlación, desarrollos en serie, estimación minimo-cuadrática ortogonal y representaciones espectrales de los procesos estocásticos.
Son ideas las que se exponen y que el lector puede profundizar sobre las
mismas consultando la Bibliografía anexa.
El segundo capítulo está dedicado a la construcción de Tablas de Polinomios ortogonales centrados y en el que se estudian ampliamente sus propiedades matemáticas.
CAP^TULCJ PRIMERO
SECCIOI'^
l.
Generalidades
l.l. En nuestro trabajo {<A ^ plicaciones del Espacio de Hilbert a la Estadística» (1) estudiamos los elementos pertenecientes a un espacio, componentes que podían ser variables estacásticas y, también pueden los procesos
estocásticos ser elementos de un espacio abstracto.
1.^. Toda la teoría de las Funciones Ortoganales son casos particulares
del espacio de Hilbert y así demostramos los desarrollos asintóticos de funciones de densidad, función característica, desarrollo de Charlier, Hermite,
etc.
1.3, E1 fundamento axiomático de componentes pertenecientes al espacio (Euclídeo -n- dimensional) o de Hilbert utilizamos un método en nuestro
trabajo para formar un hiperplano -n- dimensional basado en la construcción de un sistema ortonormalizado de variables aleatorias y, en consecuencia deducimos: la ecuacián de la recta, plano, etc., coeficientes de regresión,
varianza y relaciones entre los coeficientes de correlación parcial. Remitimos
al lector a nuestro indicado trabajo.
(1) F. J. Urbelz: «Aplicaciones del espacio de H ilbert a la Estadística». Estadístíca Española,
n." 91. 1981.
ORTOGONALIDAD Y FORMACIfJN DE POLINOMIOS ORTOGONALES CENTRADUS
SECCICJN 2a
Referencias históricas
2.1.
I^esarrollos en serie.s de Fourier
En cualquier texto matemático encontramos los fundamentos para que
una función de tip^o periódico pueda desarrollarse en serie de Fourier por
senos y casenos.
Diremos que es la base del análisis armónico.
Toda función polinómica puede aproximarse por desarrollos en serie de
Fourier.
2.2.
Polinomios de Legendre
Son sencillos y basados en las potencias enteras de x(x°, x...} y se deduce
de
P "(x) _
D "(X" _ 1)"
2 " ix^
-Icx^ +l
( .l)
teniendo la propiedad de ser ortogonales y
0
1
P " (x) P m (.x) dx -
'
^
2,3.
n^m
2
2m+ l
(1.2)
m=n
Polinomio.s de Tchebychef^
Este matemático y gran estadistico, basado en la fórmula de Moivre.
e`°` = cos a+ i sen a^^
(1.3)
e' "^ = cos n^p + i sen n ^p =(cos a+ i sen a)"
(1.4)
igualando la parte real y la parte imaginaria obtuvo llarnando x= cosa
2" T"-x"- n x"-'(1 ---x2)+ n x"-4(1 -x2)4+
2
4
2n U"_
n
1
x„-^
^/ ____ _____
/^1-xz-- n
3
que gozan de la ortogonalidad.
{ 1.5)
3
Xn-^{l -x2) 2+
(l.6)
?0
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
SECCION 3 A
Funciones ortogonales respecta a un ní^leo n(x) > 0
3.1.
^oncepto
Si n(x) fuere complejo
cumpla la propiedad
(x) ^ y para un conjunto de funciones ^pm que
_.___
n^^^2 ^m^x^ ^m(^} ^x - Cm ^ ^m, "
`^ .I% ^
R
donde ^m, " el signo de Kronecker.
Si c•,^, = 1 las funciones están normalizadas respecto del núcleo.
3.2.
Polinc^rrlins de Hermir^
Estos polinomios estan asociados a ta distribución normal y su definición
es
P"(x) _(- 1}" ea`2 D" c, -.Y'
(1.8)
y la relación entre tres consecutivos es
^°' ^^+^ix)- 2 x Pn(x}+2" P„_,(x)=0
(1.9)
permite su cálculo.
x 2
Pero a veces en lugar de asociar a e^^" se asocia a e-^ y entonces son:
x=
_x2
_,X2
H" -= (- 1)" e2 D" e^ D" e^
donde es sencillo demostrar yue
x2
_. -----e
^ H"(x) N"(X)clx=
^L
2^t
n^m
n=m
(l.lo)
ORTOGONALIDAD Y FORMACIÓN DE POLINOMI4S ORTOGONALES CENTRADOS
3.3.
71
Qtro.s polinomio.s
No indicamos los de Lag,uerre, los llamados G, análogos a los de Hermite, asociados a la distribucion de Poisson, los de Jacobi, etc.
Merecen especial mención los polinomios matriciales de Tchebycheff.
SECCION 4a
Teoria de la regresión y correlación
4.1. Basada en los conceptos de ortogonalidad deduce Yule (1) fórmulas
de recurrencia para 1os coeficientes regresores de un hiperplano de dimensionalidad n conocidos las regresores de dimensionalidad n- l.
4.2. I?e forma semejante deduce los coeficientes de correlación parcial
en función de los de orden inferior.
din
4.3. Y también deduce las varianzas residuales de hiperplano
mensiones en función m de orden inferior obteniendo, p ^or recurrencia, fórmulas interesantes de la varianza.
SECCION S.a
Desarrollar en serie
5.1.
D^surrollos c^lásicos
Si el campo de variabilidad está comprendido entre ± 1, puede elegirse:
Los polinomios de Legendre.
Los polinomios de Tchebycheff.
Y+que multiplicados por los parámetros a estimar, por la condición de
mínimo nos darán las fórmulas para la estimación de estos coeficientes.
(1) Yule, G. u., y Kendall, M. C'i.: «Introducción a la Estadística». Aguilar, 1947.
ESTADfSTICA ESPAÑOLA
S.?.
I^^surroll.ns clúsic^os cie u^rca.ximuc•i^an dE^ lu fi^ncic^n d^ d^nsiducl
5.2.1. Existen las desarrallas en serie de Charlier, tipo A para que una
función de densidad de tipo cantinuo pueda desarrollarse en serie en relación can la normal (como núcleo) y los polinomios de Hermite.
5.2.2. También existen para funciones de tipo discreto desarrollos Charlier tipo B basados en la función de los casos raros de Poisson.
5.3.
Representac^iones con r^es^^ctu. u un núcleo ^or minimos cuudruclos
5.3.1. En Estadística y en Economía puede utilizarse un núcleo n(x) en
un campa de variabilidad y observar una variable endógena sea expresable
por un modelo uniecuacional.
^X^ -,^(X 1: ^ 1 ^
j3z, ..., ^3k)+u
(1.12}
donde u es una variable aleatoria que es independiente f{.), y cuya Eu = o,
'siendo f(.) la parte sistemática que expliea par^te de ^j(x).
Si asociamos a un núcleo ^1(x) podemos efectuar la integración de la
suma de cuadrados y hacer la integral ponderada minima, lo que equivale a
escribir
b
1=
b
x> (^(x) -f (x, ^^, ^z, ..., ^K)2 dx^
n(x) u2 dx =
a
a
b
^f
a
b
=
n{x) tP(x) ^
^f
n(x) f (x, ^31, ..., ^K) ^
^h
a
' dx
( l .13)
^h
h=1, l, ..., K
5.3.2.
Un caso particular es cuando
f (x, ^,, ^j2, ...,
^
-- ^31 ,f 1(
^^`^2 f2^x^^`...+^K fK(x^
(1.14)
donde
b
n(x) f ;,,
a
) f,^(x) dx =
0
m^n
^. m
m=n
(1.15)
ORTO^GONALIDAD Y FOItMACIÓN DE POLINOMI+^JS ORTOGONALES CENTRAD^GIS
73
El conjunto de funciones fl (.), f2(.}, ..., fK(.^ respecto del núcleo n(x) se dice
son ortogonales.
5.3.3. La estimación de los parámetras es simple. Sustituyendo en la
condición de mínimo tenemos:
^
Q
n(x^) ^P(X^} .Íti(x^) dx^ = ^k ^h^
6
n(X1^ ^^X1^ ,lhlXl^ ^xl
bn
^ h --
a
(1.16)
-
h=1,2,...,k
5.3.4.
La función estimada para un valor ^^ es:
^^^^ ^ ^bn,fn^U} + L1
=
b
n(x }
,l 1 ^^^ ,^1 (U^
^
a
+ ... +
,^K^x^ ,^K(^^
1
^
dx
(1.17 }
K
Si al paréntesis lo llamamos K(x, v) tenemos:
y^ (t') =
,, ^,
n (x) K (x, ^) c^x
5.3.5. Es fácil verificar que el mínimo de la integral de las sumas de los
cuadrados de los errores ponderados
b
1=
,, ^,
^^(_X) y^(x}2 c^_r =^/^^ r^,^ > 0
(1.19)
y que por ser I no negativa (al serlo n( x) ) obtenemos la desiguald ad de
Bessel (1).
(1) Harold T. Davis. Monograph n." 6, the «C'ow Ees C'ommission for Research in Economic».
«The Anaíysis of Economic Time series». The Principia Press of Trinity l.^niversity. San Antonio. Texas, 19b3.
ESTADÍSTIeA ESPAÑOLA
74
SECCItJN 6..i
Representaciones esp^ectra^es
6. l.
Proc^sos ^stoc^ústic^ns: Descompcasición ortoyonul (1)
l. Entre las descornposiciones de un proceso estocástico de tipo estacionario en sus componentes aleatorios octogonales figura las representaciones
espectrales
^(t1=
f"
c,^^;cf^(`}
t ER
^ ^^;t1^(1)
t ^Z
o la
n
^(t)=
(1.21)
-n
según que el parámetro del proceso t sea de tipo continuo o discreto (números enteros), siendo d^ ( %} un proceso estocástico de incrementos ortogonales
Ec^ ^; ( ^ } cl^; (^^` }_ ^
i^^ ^^^'
2. Existen descomposiciones de procesos estocásticos de segundo orden
^ son importantes poryue sus componentes pueden aislarse por medio de
filtros.
Un T'eorema demostrado por Loéve (2) prueba que un proceso estocástico en media cuadrática en un intervalo I tiene una descomposición orto^onal:
^ (t) - ^ ^ ,, ^; n ^ n(t)
(1.22)
donde
E^m^,n-^^ ^n.n
(1.23)
El símbolo E es el de esperanza matemática. Estas variables son estocásticamente {su esperanza) ortonormalizadas.
Y j^,,,^^ son los valores propios de su función de covarianza.
f f i F. J. [Irhelr. lntrc^^iuccií,n a 1^^^ f rt^ceti^,^ F..tc,^átiticr^,. A+^ale:^; ciel Intititutt, c1^ A^tu^iri^,ti f=.ti^.i^ic,l^^, n." ?(}_ 4^17y.
(^I Michrf E,^^rrv^. ^^Pr^^hahility Th^^ ^ r^^^. ^á^. 447. Z^' ed. van ni ^arancl N. Yurk. lyfi' IHay traduct:ií^n e,rt+ti^^^^t.l
ORTOGONALII3AD Y FORMAC1fJN DE POLINQMI(3S ORTOGONALES CENTRADOS
7S
CAPITULO II
POLINOMIOS ORTO^ONALES
SECCION l.^
D^EFINICIONES
I.
Funci^nes ortogonales de t>>ariahles estadísticus.
1. Dada la variable estadistica x definida en D{para t^x 1 E D) (2.1), las
funciones i cp;{.) ^ {2.2) (j = 0, l, 2, ..., k) son ortogonales si cumplen las condiciones siguientes:
n
^^Pjt xé) ^Pr( xi) h^ = 0 para ^^ r
(2.3)
i= 1
n
^ cp;{x;)^ h; ^ O
^_^
para j= r
(2.4)
donde h^ es la frecuencia relativa de x; :
n
{2.5)
^ h; --- 1
^_^
Si la (2.4) fuere para todo j la unidad las funciones {2.2) se denominan
normalizadas. La variable estadística x tiene dos campos: campo de variabilidad x E D y campo de frecuencias
IT; {i -- 1, ..., r1)
2.
(?.6)
Casos particulares: Si las funciones (2.2) son polinomios
; Po{ x), ..., P,(x), ..., Pk{ ^)
(2.6)
y el grado Ps{x) es:
ps(x)=h^^,+h,, x+...+f^,.,- ^ b^,s_ ^+xs
(2.7)
asociados a sus frecuencias h; para x; E D son ortogonales si cumplen las
condiciones (2.3) y (2.4). El polinomio
Po(x) = 1
puru
`d.^; E D
^?.^)
76
ll.
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Po^in(^min^ f)rlO,ycltlClles cle^nlc^ns Pn l^rt t'On/untO (IE^ rlum^rOs ruxtttrulc^S
E{1, 2, ..., n}
l.
(2.9)
Dada la variable x E E y, los polinomios
Po(x), ..., Ps(x), ..., Pk(x)
(2.10)
el de grado .s es de la forma (2.7) son ortog©nales si cumplen las condiciones
siguientes:
n
^ P;(x) P,(x) = o
para j^ r
(2.11 }
n
^ P;(x)2 ^ 0
para .j = r
(2.12}
x= 1
donde
Po(x) = 1
para `dx E E
(2.13)
2. CJbservemos una notable diferencia respecto a la definición anter^or:
allí 1a variable está definida en x E E mientras que E son conjunto parcial
de números naturales y no se asocia a frecuencias.
III.
Polinumios urto ^^c)nulc^s cE^ntrud(^s d^^nid()s ^n un cc)njuntu de núm^rf).S
nuturalc^s E (2.9)
Dados los polinomios
, Po( x), ..., PsÍx}^ ..., Pk( x) j.
(2.14)
definidas en E donde P^,(x) = 1 y el grado P,(x) es:
PS{X)-h^o+h.,i(x-_x)+...+hs^{x-z)'-^-...-^-hs,s- i(x- x)^- i+(xT z)^
para s= 1, 2, 3, ..., k
(2.16)
san ortogonales si cumplen las condiciones {2.11) y(2.12}.
En esta ^-nonografia utilizaremos estos polinomios centrados y los llamamos
simplemente polinornios. La notación será distinta para la variable que utilizamos la t representativa del parámetro tiempo.
77
ORTOGONALIDAD Y FORMACIÓN DE PoLIN©MIOS ORTOGONALES CENTRADOS
SECCioi^1 2. d
Teorema Fundamental
Teoremo
1.
Hi pótesis
Dado un sistema de polinomios ortogonales centrados ( Def. I I I) y dos
números enteros 0^ h< s.
TE's 1 S
Para Vh c s se cumple:
n
^ (t--^)" P^(t)=0
siendo ^ =
n+l
2
t EE
(2.17}
h-- 1 ^.s
(2.17')
•
Demostrución
Si la {2.17) se veriiica para lT n
^ (t-^)"-' PS(t)=0
t= i
(el exponente puede ser desde 0 hasta s- 1) demostremos se cumple para h
si h c s.
Por hipótesis P"(t) y P,(t) son ortogonales. Si el polinomio Ph(t) (2.1b) lo
sustituimos en (2.11) tenemos:
n
n
^ P"(t) ps(t) = o = ^
^-:
^=^
n
ChhO+hhl(t-1^)+...+h",M-l\r-^)"
l+(t^^)"^ Ps(t)-
n
n
= bho ^ P,(t) + hn ^ ^ ( t - ^) PS(t ) + ... + h,,. ti ^ ^ (t - ^)" 1 P,(t) +
c- 1
t= 1
r=^ 1
n
+ ^ (t-^" PS(t)
r- 1
78
ESTADf sT[GA ESPAÑOLA
Todos los sumandos al último son nulo, por hipc^tesis (?.17'} y el últimu
por ortogonalidad. El primer sumando no es sina
^ Po(j) P^(t 1= ^ P,(t) = 0
según (2.12}. Luego
n
( 2.1 ?")
^ (t-^h P,,(t)-0
^_^
La (2.17') implica se cumple para el siguiente si h<s. Luego por ser:
n
n
^ po(t) Pstt)=0^ ^ (t -^)° Ps(t)=o
,^,
t=^
0<s
t) P•(t)-O=^Cbio+(t-l^] P^(t)n
n
=h^o ^ P,(tl + ^ (t-^ P^(t) ^
^-^
^=^
n
^ (t--^ PS(t)=0
1 <s
E1 teorema queda totalmente demostrado porque (2.17) se cumple para h
= 0, 1 y se cumple para• h= 2 por la (2.17') y así sucesivamente siempre que
h < s.
2.
Corolarios
1.
Si h = s
n
n
^ (t-^S PS(t)= ^ Ps(t)2=P ^ >0
(2.18)
porque
n
n
^ P^(t)ps(t)= ^ {hso+...+bs ^^(t-^h+...+bs,s-1(t-^)S-'+(t--^'^PS(t)
E_^
^-^
Todos los sumandos son nulos por (2.17) excepto el último que es (2.18).
ORTOGONALIDAD Y FORMACIÓN DE POLIN{aMIOS ORTOGONALES CENTRADO.S
%9
2. Para todo sistema de polinomios centrados según la Def. III y dos
números o< h^< s, tenemos:
n
(2.19)
^ t^ PS(t) = 0
así:
^ ((
n
t--
t= i
^ ^ p^ct-}i ;=o
^^
. ( ^r ^c
.1
-}-
t^ n
h
h
h
t-
^^ - j p t)_
n
h
_ ^ th ^ j ^ (t -- t}' P^(t) = 0
t= i
h=o J
por ser .j ^ h< s luego queda probado la (2.19).
3. Para todo sistema de polinomios ortogonales centrados también se^
^umple:
n
n
^ t2 Ps(t) _ ^ PS(t}2
(2.20)
t=1
t=1
Esta demostración es inmediata:
s
n
n
^ ts PS(t) - ^
t= 1
j=Q J
n
t + s -; ^ (t _ ^N ^S(t)
t- 1
De esta expresión son nulos todos los sumandos por (2.17) excepto para j= s
y no es sino la (2.18).
SECCION 3. a
.
Transf'ormaci^n ^i^ polinomios
1.
Dado un conjunta de constantes ^,h (h = 0, l, ..., 1^} (1.21) no nulas si
multiplieamas los polinomios (2.15) por estas constantes obtenemos otr©s
polinomios relacionados por la expresión:
P'„ (t) =^n P„(t)
h= O, 1, 2, ,.., k
(2.22)
8U
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
y también son ortogonales. En efecto:
n
n
^ P^ (t) Pí^(t) =1.s ^4h ^ P^(r) Ph(t)
^-^
E_^
porque ^^, ,^,, ^ O y por la Def. II I.
2. Polinornios normalizados. Pueden obtenerse si elegimos las constantes (2.21)
(2.23 )
y sustituidas en (2.21 } tenemos
Ph(r)=
Ph(t )
P,,
(2.24)
luego
"
1
"
^ Pi^(t}2 = Z ^ Ph(t)2 = 1
r-^
Ph r=^
(2.25}
por (1.18). Esta es la condición de normalización, recordando 1a (2.18).
Los poiinomios { P^(t) } son ortonormalizados.
3. Polinomi©s enteros. Aunque t E E los polinomios (1.15} no tienen por
qué ser enteros pero pueden elegirse las constantes (2.23) para que lo sean.
En nuestras Tablas Estadísticas (1) hemos tabulado polinomios ortogonales eligiendo las constantes (2.23) para que sus transformados (2.22) sean
números enteros. Seguimos criterio semejante al de Fisher y Yates.
En las tablas aparecen ^h como un quebrado
, _mti
^h ^ ^
h
(2.2^}
donde m (multiplicador) y r^ (divisor) depende de h y de n.
Estos números se consignan al pie de cada polinomio como también los
cuadrados de los valores de éstos.
(1) F. J. Urbelz lbarrola - Alvaro Pérez Maura: «Tahlas Est^^dístic^i^;». [ae^artamento dt
Estadística. Em^resariales. Santander.
ORTOGONALIDAD Y FORMACTIJN DE POLIIV(JMIOS ORTCX3C3NALES CENTRADOS
81
SECCION 4. ^
Fórmula general de un polinomio
1.
Momentos totales centrados
De^inimos moment© total central de orden h a la expresión:
M
(2.2?)
t EE
M,,= ^ (t-^`'
i= l
donde .E es el conjunto indicado en {2.9).
E1 valor de M,, depende de h:
Mo=n M^,^^O M^k_,=0
2.
(2.28)
Si.stema de ecuaciones
Si el valor de PS(t) (2.16) lo sustituimos en (2.1?) tenernos la siguiente
expresión y con la notación de (2.27) es:
n
n
s- 1
^ (t--^hps(t)_ ^i (t-^"
r=1
t= 1
^ hs^{t--^'+(t---^S _._
j=0
n
_^
j
O
_
hs^ ^ (t - ^J + `' + ^
t=1
(t-^
h+s= ^s0
Mh^+^sl Mh+ 1 +
t=1
^hs2 Mh-+-Z+...^^s.s- 1 Mh+s- t +^h+s=^}
^2.29)
Válida para todo h c s según (2.17).
La (2.29) es una ecuación para un valor concreto de h. Si damos valores a
h(h = 0, l, ?, ..., s- l} tenemos un sistema de s ecuaciones con atras tantas
incógnitas que nos permite determinar los coe^cientes h^ j(j = 0, ..., s- 1).
3.
Fc^rrnc^Ia ,yencrcal cle Ins ^^^lint^mins
La (2.1 b) puede escribirse pasando PS(t) al otra rniembro^
hs^ +h^^(t-^}+...+h^,^l(t-^)'- i +(t-^)s--P^(t)--O
(2.30}
Las s ecuaciones (?.29) y la (2.30) 1'orma un sistema de s+ 1 ecuaciones
can s incógnitas ( h, j, j= 0, l, ..., s- 1) y para su compatibilidad es necesario y
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
suficiente que el determinante formado par los coefícientes de las incógnitas
y las términas independientes sea nula. (Rouche-Frobenius.)
Así de (?.?9) dando valores a h= 0, l, ..., .s -- l y con la (2.30), formamos
el determinante siguiente para que sea compatible:
Mo .1^1,
M2 ...
MS_ 1
MS
11^1 ^
M 3 ...
Ms
M^ + 1
M1
............. ............. ......................................................................... = 0
My_1
M,
...
11^1,^1
Mas-^
(2.31)
M2S-^
( t - ^i ( t - ^} 2 . . . ( t - ^s - ' ( t -- ^S --- p^{ t )
1
^t -^1^ - P,(t) es un elementa de la última columna del determinante.
Si añadimas a los elemer^tos de la última columna de (2.31) un cero
podemas descamponer en suma de dos determinantes que tienen las restantes columnas iguales:
Mo
M,
Ms--,
M1
M2
My
M5 _ 1
MS
1
(t--^)
...
...
Mzs- 2
MS
M1
11^I s _
M1
M2
MS
a
1^^izs_ 2
4
11r1s- x
Mz^ - ^
MS ...
(t--^)
1
(t-t^s-' ( t-t^s
-1Vs(t) - P^(t)
Mo
...
Mo
M 1 ...
MS _ 1
M1
M2 ...
MS
............................. .............
(t-t)s-1--PS (t)
=0^
(2.31')
M,_1 Ms ... M2s-2
_ NS(t)
P 5( t ) - _ D----
(2.31 ")
1
utilizando la notación Ns(t) para el primer sumando de (2.31') t DS para el
coeficiente de rnomentos del denominador.
ORTOGONALIDAD Y FORMACiC^N DE POLINOMIOS ORTOGONALES CENTRADOS
$:
La fórmula general del polinomio .^ es:
1V1o
1U1,
M2
...
MS
M,
M2
M3
...
11^1,^ 1
M^+2
...
M2
M3
M4
............. .. ........... ........................ ................
... M^s - ^
MS +,
M^ -1
MS
P S(t) = ,
1
(t - ^i
(t - t)2
...
(t - r)s
,^1^1o
M,
M2
...
MS_ ,
(2.31"'
M,
...
M3
M2
M,
............ .....................................................
11,1s.},
... Mzs-z
MS_,
11^l,
(?hseruucicancs:
1. a Las diagonales principales y las paralelas pares no son nulas. La
paralelas impares son nulas (2,28} excepto los elementas de la última líne:
del determinante del numerador.
2. d Los coeficientes bs,^{ j= 0, 1, 2, ..., s--1) se obtienen por simple desa
rrollo y son los adjuntos de (t -- ^^ divididos par Ds.
3. ^ Los numeradores de (2.31 "`) .s s= 0, 1, ..., k san ortogonales si hace
mos una transformación (2.22} y elegimos las constantes r^h = DS (2.32).
SECCION 5. a
Fórmulas para los primeros polinomios
`
Qhtenci^n del primer polinornio
Según la C^ef. II I Po(t) = 1. s= 0.
En la fórmula (2.31 "') si hacemos s= l, el numerador es un determinantt
de segundo orden y el denominador es Mo. Luego:
Mo
0
1 (t-^)
____
h t1l_.1!_^^ ^)__ __.-__- = t _. ^ .- t _ _ __n+l
7
1V1
( 28 ).
i = 0 según 2.
Y n_±--1_
^
y
p orque M=
o n ^=
^
(2.33
ESTADf ST1CA ESPAÑOLA
2.
Formwcic)n clE^l seyunclo ^OIlnl)mlt)
Recordernos la observación l.p de la Sec. anterior y hagamos en (2.31"
-2.
0
M2
M2
0
Mo
0
(^_^ (t_^a
M2
P2(r) -
(2.34)
M2
Pero
^
n
n
--_ _.. ._?_ = ^
(t-^2^^-_-- ^ (t-^2
Mo ^ = i
n
^2.35)
r>r
por cuanto (t -- ij2 es una función par.
Dos casos pueden presentarse según n:
a)
n impar:
n+l
La ^_ ----^---^- es un número entera ^
^
n
^ (t-^2=02+
-^-21+...+
n+l
_.__.2__ 2 -
2(n-1)
______ _____ + 1
2
1 2 n-1
___ ,_- -^- l _^.^____-_ --^ ----- ._____ -
_
(r1^--^)n
2.3b)
Hemos aplicado la célebre fórmula de la suma de los cuadrados de los n
primeros números naturales:
S^ ^ --_n(n+l)(2n+1)
__- _ ------___-----___-^
siendo a ^
uí rT el númeró entero n- ---1
p oryue n es impar.
^
^z.3^^
ORTOGONALIDAD Y FORMACIfJN DE POLINOMIt?S ORTC}G4NALES CENTRADOS
b)
$S
n par:
"
2i 1 2 3^
n---1 ^ 12+32+...+(n-1)2
^ ( t - ^ - 2-- + _^ + +... __-__ ^ _ ._______._ _-___ ___ _ __.
rr
Pero de la ^ (2.37) deducirnos:
s„= 12+22+32+4^+...+(n- 1)2+n^=[1^+32+...+ (
n2
n
+2^^ 12+-22+...+-^- ^^(t-^)^=
v/
7
rt
2+2^-f-...+ -
1 ^ + 3 2 -^- . . . -^- ( r1 - 1 ^ 2
`
7
rZ(n2-1)
( 2.3?' )
2•12
Las fármulas (2.36) y(2.37`) son idénticas.
Llegando a la (2.35) y sustituyendo en (2.^4) el polinomio ortogonal de
segundo orden en función de n(independencia de ser par a impar) es:
n + 1 12_^n 2- 1 1
^
PZ(t)= t- 2^
12 ^
donde ^ se ha sustituido por la media.
3.
Pvlinomios cle terc^E^ro, euclrtv l^ c^ulrTto ,c^ruclv
De acuerdo con (2.31"') y(2.28} para s= 3 este polinomio es:
Mo
0
0
M2
M^
0
M
MZ
0
M4
0
1
0
(r-^l (r-^}^ (r-^
P3(t) _
Mo
^
M2
0
M^
0
M^..
0 _ M.^
3
(2.38)
ESTADf STICA ESPAÑOLA
y si hacemos operaciones tenemos la siguiente fc^rmula:
n+ 1 3 3n2--7
p ^( r ) - r _ _____ __.
_ ------___. __.__
2
rr+ l
t _ ____ .----
2
?0
(2.38a)
Para s = 4 es:
n+ 1
3rt2 - 13
_ ._
p^{ t ) .- r _... .-^_ .?
14
n+ 1 2 3 (n2 -- 1)(n^ -- 9)
t - __ __ .+.. -----_____^._._______ ______
^
Sb0
(2.38b)
para s = 5 igualmente:
ps(t^ .-
^
n+ 1 S 5(n2-7
n+ 1
_ ._' ___
- - --_ 1_^ __ r _ ___^__.
3
15 ^14-?3on2+407
_ _ .__ . _. ___ l .008 T __ _ .---_
(2.38c)
Hemos omitido estas demostraciones sencillas (algo pesadas) y hacemos
las aclaraciones siguientes:
1. A Los polinomios centrados (r -^) impares carecen de término lndependiente y los coeficientes de sus términos de lugar par son nulos.
2. ^ Los polinomios centrados (t -- ^ pares carecen de los términos impares y tienen términos independientes.
Reproducimos una hoja de nuestras «Tablas Estadísticas» (1) de la construcción de los cuatro primeros polinomios.
ORTOGONALIDAD Y fiORMACIÓN DE POLINOMIOS ORTOGONAL.ES CENTRADOS
$7
TABLAS ESTAI^ISTIf'AS
Polinomios orta^onales centrados
rt=30
P' 2
P' 1
PP'
P' ^
n-^1
P' ?
P' l
P' 4
P' 4
l
3
-- l 12
- 109
-- 1 12
- 331
1? 3 76
1 1?71
0
1
-- RO
- 79
0
- 1 19
5
-- 103
408
391
-- 535
9131
?
- 76
-?33
341
?
9
11
13
-
94
8?
67
49
- 714
-- 858
- 957
- 1001
h096
?376
- 1749
- 59?9
^
4
^
f^
- 71
- h4
- 55
- 44
-337
- 4?ó
- 495
-- 5 39
?61
156
?^3
- 99
15
- ?K
-- 980
7
- 31
- _553
- ??g
17
l9
?1
23
^5
27
29
-4
?3
53
^3b
12?
1hi
?03
-K84
- 70^
-4^?7
- 4fi
4 50
107 I
18?7
K
9
10
11
1?
1^
14
15
?4K()
- lh
1
?4
41
h4
^9
l16
145
-5^?
- 471
- ^b5
-?09
?
?73
609
1015
67?4520
-344
- 4?9
-467
- 439
- 3 24
- 99
?hl
7H3
8990
ir1
?
30?Oh4
3
d
1
^
- 9744
-
1^704
14?49
13749
10504
- 3 744 ^
7371 ^
?3751
? 13h0?40
36715K 79? E+ 09
5
^5
^
158??4
1?
P' 2
1
^
S
7
9
11
1^
15
l7
19
?1
?^
?5
27
?9
^1
- KS
-R^
- 79
- 7^
- h_5
-55
-4^
- ?9
- 13
5
?S
47
71
97
1?5
155
10912
1
5
1
1
1
h
1?
i11
^
d
1
il = ^?
P' ^
P' 4
- 51
--- 151
- ?45
-- ^?9
- 399
--451
-4K1
- 4^S
-459
- ^99
- 301
--lhl
25
?61
SSl
^99
459
4? 3
^5^
?S:^
1 ?9
-11
- 157
- ?97
-417
- 501
- 5^1
-4K7
- 347
- 87
319
K99
5379h1h
18_5504
1
1
40^471?
1
jt = ^ ^
P' 1
PP'
P' ^
?
^
5 ^79616
1
l?
P' 1
P' ?
O
1
^
^
4
5
h
7
K
9
1^
11
l?
13
14
15
16
?99^
1
1
- ?72
- ^h9
- ?hO
- ?45
- ^^4
- 197
-- 1h4
-1?5
-80
-?9
?R
91
1 h()
?^S
^1h
4()3
49h
194779?
^
1
P' 4
P' 3
O
- ^7
- 53
- 77
-9K
-1l5
- 1?7
-l^^
-13?
- 1?^
- 105
- 77
-- 3^
1^
77
15^
?4R
4173h4
1
h
3672
^537
3139
?499
Ih5?
647
-453
-1571
-?61h
-?^4K3
- 40^ ^
- 4193
- 375h
- ?5^ 1
-49^
?h97
719?
^4^^^^136
7
1?
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
REF ERENC'IAS
C'RAMER, H. Stutic^nctr. ^ ^ unc! rErlutttcl stc^cl^ustic• J^rnc^^s.^f^s. John Wiiey and Son^, 96^, ?.d Ed.
QAVt^, H. T. The Anul^^sis uf Ecc^ ^u>rrric TimE^ SE^ries. The Principia Press of Trinity University.
San Antc^nio, Texas, 1963.
FERNÁNnEZ BAÑOS^ O. Trutudn c1^ F.^tucl^:titic•u. Cansejo Superior Investigaciones Científicas,
1945.
FisWER ^r YATES, Tuhlus Estuclísticu.ti. Aguilar.
,ÍENKINS4 GWILYM, atv WATIS. Spec•tru/ ,4nul^•^t•s uncl its u^plic•utions. Holden-Day. San Franeisco, 1969.
LoEVE, M. Prnhuhilit t' Th^nr^'. Van Nustrand, 1963.
PAST(^R, .1. R. Lcas Prr^hl^mu^ Linc^ulc^s cl^ Cu F`í.cic•u. 1NT AET, 1955.
URBEI7_ I BARRC)LA, F. .1.
A^Iicuc•ir»l^s cl^l E.ti^ucic^ clc^ E^ilhc^rt ct !u Estuciístr`c•u F.S^ctr^r^lci, 1981 .
Introduccirin u!us Prc^c•^sos F_^.^tr^c•ústicr^s E.^tuc•innuric^s. A^tul^.^ clc^l 1. Actuurir^s E.^rctitnlc^.ti,
1979. Tuhlas Estudístic•uti. Empresarialcs, 1984.
YALE, G. U. v KENDALI..^ M. G. Intrr^cluccic^n u lu F,.ti^tuclístic•u. Aguilar, 1947.
..
SUMMARY
ORTI--IOGONALITY. ANi^ C'REATIUN OF CENTREI^
ORTOGC.^NAL POLINOMIALS
By means of this short article, I have tried to emphasize the
importance of the concept of c^rthogonality for the creation of
functions belonging to a Hilbert space as well as the orthogonal
breakdown of accidental functions on which spectrum analysis is
based.
The core of this article lies in tthe second chapter which deals
vwith mathematical basic essentials to make Centred Orthogonal
Polynornic Tables similar to the ones issued by Fisher and Yates.
Key wnrcis: Hilbert space, Orthogonal Polynomics, Spectrum
Analysis, Minimal values raised to the power of two by means
of orthogonal breakdown.
AMS, 1980. Subject classification: 6?F?_5; 6?M 15.