C id d i it i l t Capacidad y circuitos equivalentes

C
Capacidad
id d y circuitos
i
it equivalentes
i l t
Antonio González Fernández
Dpto de Física Aplicada III
Dpto.
Universidad de Sevilla
© 2008, Antonio Gonzá
ález Fernánde
ez
Sinopsis de la presentación
„
Cuando se tiene un conjunto de conductores a distintos
voltajes,
lt j
se produce
d
un campo entre
t ellos
ll
„
Los conductores se cargan, dependiendo de las tensiones de
todos ellos
„
Las cargas
g pueden
p
relacionarse matemáticamente con los
voltajes
„
Estas relaciones se describen mediante los conceptos
p
de
capacidad de un conductor y de un condensador
„
Combinando condensadores y fuentes
fuentes, puede modelarse un
sistema real mediante un circuito equivalente.
„
A partir del análisis del circuito pueden resolverse diversos
problemas reales de apariencia muy diferente
Contenidos
El p
problema del p
potencial
„ Coeficientes de capacidad
„ Condensadores
C d
d
„ Circuitos equivalentes
q
„ Ejemplos de utilización
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ez
„
Problema del potencial: descripción
general
„
Q2
V1
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ález Fernánde
ez
„
ρ
V3
Q4
Cuando se tiene un
sistema de N
conductores, y carga
entre ellos, interesa
determinar el campo
eléctrico que se
produce
produce.
Este sistema genérico
puede representar
p
p
situaciones físicas muy
diferentes. P.ej.:
„
„
Un circuito
U
i it eléctrico
lé t i
Un avión volando entre
tierra y una nube de
tormenta.
Problema del potencial: descripción
matemática
„
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ez
„
„
El problema se define
completamente aplicando
que:
Entre ellos se cumple la ec.
ec
de Poisson
ρ
∇ 2φ = −
ε0
Cada conductor es
equipotencial, lo que da las
condiciones de contorno (c.c.)
φ = Vk
„
( r ∈ Sk )
En el infinito el potencial se anula
Q2
V1
ρ
V3
Q4
φ→0
(r → ∞)
Características de la solución del
problema del potencial
„
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ez
„
„
La solución no puede hallarse por simple
superposición del campo de cada conductor
como si el resto no estuviera.
estuviera
Una vez resuelto un problema, al añadir un
nuevo conductor,
conductor hay que empezar de nuevo
Esto no significa que el campo no sea la suma
d l producido
del
d id por cada
d una d
de llas cargas, sino
i
que al introducir nuevos elementos, las cargas
se redistribuyen
di ib
en llas superficies
fi i conductoras,
d
invalidando las soluciones ya conocidas
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ez
Efecto de la introducción de un conductor
adicional descargado
Añadiendo
Añ
di d un tercer
t
conductor descargado
Sólo dos conductores
Solución del problema del potencial como
combinación de funciones
„
La solución puede escribirse como una combinación
li
lineal
l
φ = φ0 + ∑Vk φk
k
donde:
ρ
∇ φ0 = −
ε0
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2
φ0 = 0
(r ∈ τ)
( r ∈ Sk )
Es el potencial que habría
si estuviera la carga de
volumen pero todos los
conductores
d
estuvieran
i
a
tierra
∇2φk = 0
(r ∈ τ)
φk = 1 ( r ∈ Sk ) φk = 0 ( r ∈ S j , j ≠ k )
Es el potencial que habría si no
hubiera carga de volumen, el
conductor k estuviera a potencial
id d y ell resto a tierra
i
unidad
Cálculo de la carga almacenada en un
conductor
„
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„
A menudo sólo se desea
conocer la carga de cada
conductor
S halla
Se
h ll aplicando
li
d la
l ley
l d
de
Gauss a una superficie que
envuelva a cada uno
Qi = ε0 v∫ E·dSi
Si
„
En esta expresión,
expresión el campo
eléctrico E es suma del que
produce
p
oduce cada conductor,
co ducto , más
ás
el debido a ρ
Cálculo de la carga a partir de la
combinación de funciones
„
Sustituyendo la solución del potencial queda
(
⎛
⎞
ε−ε
·diC
S
·
d
S
+
V
∇φ
Q
V
+
V
Ckik·dSi
Qi = Q
∇φ
∇
·
φ
d
S
+
V
φ
dS0i v
( 0i 0v∫0 +vS∫i SE∑
)
∑
i 0 ki i ∑∑
0⎜0ik
k kkk⎟·(−ε
∫
Si
i
k ⎝
k kk
⎠
))
donde
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„
Qi0: es la carga inducida por la carga de volumen
Qi 0 = −ε0 v∫ ∇φ0 ·dSi
Si
„
Cik es la carga que habría en el conductor i, cuando
el k está a potencial unidad y el resto a tierra
Cik = −ε0 v
∫ ∇φk ·dSi
Si
Definición de los coeficientes de
capacidad
„
Las cantidades
Cik = −ε0 v
∫ ∇φk ·dSi
Si
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ez
se conocen como coeficientes de capacidad
„ Permiten expresar las cargas en los conductores como una
combinación lineal de los potenciales.
„ Se miden en faradios
„ En forma matricial queda
Q = Q 0 + C·V
⎛ Q1 ⎞ ⎛ Q10 ⎞ ⎛ C11 C12
⎜Q ⎟ ⎜Q ⎟ ⎜C
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 20 ⎟ + ⎜ 21 C22
⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ #
#
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ Q N ⎠ ⎝ Q N 0 ⎠ ⎝ C N 1 C2 N
" C1N ⎞ ⎛ V1 ⎞
" C2 N ⎟⎟ ⎜⎜ V2 ⎟⎟
·
⎟
% # ⎜ # ⎟
⎟⎜ ⎟
" C NN ⎠ ⎝VN ⎠
Aplicación de los coeficientes de
capacidad al caso de un solo conductor
„
La carga vale
Sólo válida
para un solo
conductor
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ez
„
„
„
„
Un solo conductor, a
tensión V, sin carga de
volumen (ρ=0
0)
„
„
Q1 = C11V1
Si V > 0, el campo va hacia
afuera y Q > 0
Por tanto, C > 0
C se conoce como capacidad
del conductor
S mide
Se
id en ffaradios,
di
aunque su
valor es siempre muy pequeño
No debe confundirse con la
capacidad de un condensador
Cálculo de la capacidad de una esfera
conductora: planteamiento
„
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ez
„
Debe resolverse la ecuación de Laplace
∇2φ = 0
„
Sea una esfera metálica a
potencial V0. No hay más
carga ni más conductores en
el sistema
(r > R)
φ = V0
(r = R)
φ→0
( r → ∞)
Por la simetría del sistema, podemos suponer que
∂φ
∂φ
⇒ φ = φ(r )
=0
=0
∂θ
∂ϕ
siendo r la distancia al centro de la esfera
Cálculo de la capacidad de una esfera
conductora: solución
„
La ecuación de Laplace
se reduce
d
a
B
1 ⎛ d ⎛ 2 dφ ⎞ ⎞
⎜r
⎟⎟ = 0 ⇒ φ = A + r
2 ⎜
r ⎝ dr ⎝ dr ⎠ ⎠
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con solución
„
El campo
p eléctrico vale
E = −∇φ =
V0 R
ur
r2
„
(r > R)
y la carga
„
Q = ε0 v∫ E·dS = 4πε 0 RV
V0
S
φ=
V0 R
r
(r > R)
La capacidad
p
de la esfera
es igual a
C = 4πε0 R
Para el caso de la Tierra
(RT = 6370km) vale
C = 0.71mF
Coeficientes de capacidad en un sistema
de dos conductores
„
En ausencia de carga
g de
volumen queda
Q1 = C11V1 + C12V2
Q2 = C21V1 + C22V2
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ez
„
„
„
Si hay más de un
conductor V = 0 NO
p
Q=0
implica
Ej. Supongamos V1=0
„
Si hay más de un
conductor Q = 0 NO
i li V = 0
implica
Ej. Supongamos Q1= 0
V1 = −
Q1 = C12V2 ≠ 0
C12V2
≠0
C11
Coeficientes de capacidad en un sistema
de dos conductores: propiedades
„
„
Si V1=V >0 y V2=0, el campo
va del
d l 1 all 2
En ese caso
Q1 = ε0 v
∫ E·dS1 > 0
S1
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„
Por tanto, los coeficientes
diagonales C11 y C22 son
siempre positivos
„
En el mismo caso
Q2 = ε 0 v∫ E·dS 2 < 0
S2
„
„
Los coeficientes no
diagonales, C12 y C21 son
negativos
Además se cumple que
C12=C21
Conductores en influencia total:
definición y propiedades
„
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ez
„
„
„
„
Cuando todas las líneas del
conductor 1 van a parar al 2,
sea cual sea el voltaje, se dice
que el 1 está en influencia total
con el 2
Ocurre cuando el 1 está dentro
del 2 y no hay nada más en el
hueco
„ En este caso,, el conductor
2 actúa como una Jaula de
Si V1 = V, V2 = 0, se cumple que
Faraday:
Q2 = –Q1
„ El interior no percibe el
Por tanto C11 = – C12
exterior
No se cumple que C22 = – C12 (el
„ El exterior no percibe el
2 no está en influencia total con
interior
el 1)
Coeficientes de capacidad para dos
esferas concéntricas: planteamiento
„
Dos esferas: una maciza de
radio
di a y una fi
fina corteza
t
d
de
radio b (b>a)
Entre ellas y fuera se cumple
la ecuación de Laplace, con
las c.c.
φ ( r = a ) = V1 φ ( r = b ) = V2
φ(r → ∞) → 0
„
Si V1 = V0, V2=0
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ez
„
„
„
„
En el exterior,, el p
potencial es
nulo.
En el interior es de la forma
φint = A +
B
r
Imponiendo las c.c.
V0 = A +
⇒B=
B
a
abV0
b−a
0 = A+
A=−
B
b
aV0
b−a
Coeficientes de capacidad para dos
esferas concéntricas: 1
1ª columna
„
El potencial vale
„
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⎧ abV0 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟ a<r <b
⎪
φ = ⎨b − a ⎝ r b ⎠
⎪
0
r >b
⎩
El campo eléctrico es
⎧ abV0
⎪ (b − a ) r 2 ur
E = −∇φ = ⎨
⎪
0
⎩
a<r <b
r >b
La superficie exterior
contiene la carga de
las dos esferas
La superficie
S1 solo
contiene la
carga de
d la
l
esfera interior
Q1 + Q2 = ε0 v∫ E·dS = 0
S1
Q2 = −Q1 = −
4πε0 ab
Q1 = ε 0 v∫ E·dS =
V0
S1
b−a
La primera columna de la matriz vale: C11 =
4πε0 ab
b−a
C21 = −
4πε0 ab
V0
b−a
4πε0 ab
b−a
Coeficientes de capacidad para dos
esferas concéntricas: planteamiento
„
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ez
„
„
Si V1=0 y V2=V0, hay campo
en el espacio intermedio y en
el exterior.
En las dos regiones se cumple
la ec. de Laplace, con las
cc
c.c.
φ ( r = a ) = 0 φ ( r = b ) = V0
φ(r → ∞) → 0
En el espacio intermedio la
solución es análoga a la
anterior, cambiando a por b
φ=−
abV0 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟
b−a ⎝r a⎠
E=−
abV0
u
(b − a ) r 2 r
„
En el exterior es el de una
esfera a potencial V0
φ=
V0b
r
E=
V0b
ur
r2
Coeficientes de capacidad para dos
esferas concéntricas: 2
2ª columna
„
La carga de la esfera interior es
Q1 = ε0 v∫ E·dS = −
S1
„
Por ello
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ez
C12 = −
„
4πε0 ab
V0
b−a
4πε 0 ab
= C21
b−a
La superficie exterior contiene
las dos esferas
Q1 + Q2 = ε 0 v∫ E·dS = 4πε0bV0
S1
Q2 = 4πε 0bV0 − Q1 =
4πε0b 2
V0
b−a
C22 =
4πε0b 2
b−a
Coeficientes de capacidad para dos
esferas concéntricas: resumen
„
„
Resulta la matriz
4πε 0b ⎛ a −a ⎞
C=
⎜
⎟
b − a ⎜⎝ −a b ⎟⎠
„
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ez
„
„
„
Es simétrica
Los elementos
diagonales son positivos
Los elementos no
diagonales son
negativos
i
Al haber influencia
total
C11 = – C12
En un caso
general las cargas
en cada
conductor serán
4πε0ba
(V1 − V2 )
b−a
4πε0b
Q2 =
( bV2 − aV1 )
b−a
Q1 =
„
Si lo que se conoce son las
cargas pueden calcularse los
potenciales despejando
p
p j
V1 =
1 ⎛ Q1 Q2 ⎞
⎜ + ⎟
4πε0 ⎝ a
b ⎠
V2 =
Q1 + Q2
4πε0b
Propiedades de los sistemas de N
conductores
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ez
„
„
La matriz C es
„
„
„
En un problema general, en
ausencia de carga de
volumen tenemos la relación
matricial
Q = C·V
⎛ Q1 ⎞ ⎛ C11 C12 " C1N ⎞ ⎛ V1 ⎞
⎜Q ⎟ ⎜C
⎟ ⎜V ⎟
"
C
C
N
2
21
22
2
⎜ ⎟=⎜
⎟·⎜ 2 ⎟
⎜ # ⎟ ⎜ #
# % # ⎟⎜ # ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ QN ⎠ ⎝ C N 1 C2 N " C NN ⎠ ⎝VN ⎠
Simétrica, Cik=Cki
Los elementos de la diagonal
g
principal
p
p son siempre
p p
positivos, Cii>0
Los elementos no diagonales son negativos o nulos, Cik≤0, i≠k.
Ejemplo: sistema de 4 conductores
genérico
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ez
„
Calculando la matriz
aproximada por el método
de elementos finitos (con un
error inferior al 1%)
⎛ 9.086
⎜ −9.
9.088
C = C0 ⎜
⎜ 0.000
⎜
⎝ 0.000
−9.090 0.000 0.000 ⎞
15.945
.9
.
.7 ⎟⎟
−1.565
−1.752
−1.549 3.669 −1.316 ⎟
⎟
−1.759 −1.336 4.067 ⎠
C0 es una cantidad que depende de la escala y de ε0
„
El conductor 1 está en influencia total con el 2.
„
„
„
C11 = –C
C12
No puede haber líneas que vayan del 1 al 3 o al 4. Por tanto
C31=0,, C41=0.
Análogamente, C13=0, C14=0, ya que no hay líneas del 3 al 1, o
del 4 al 1.
Definición de condensador
„
Las cargas
g de las superficies
p
son de la misma magnitud y
signo opuesto
Q1 = −Q2
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ez
„
„
Dos superficies
p
están en
influencia total (la 1 con
la 2 y la 2 con la 1)
cuando
d todas
d llas lí
líneas
de campo que salen de
una van a parar a la otra
La carga en cada una es
proporcional a la diferencia
d potencial
de
t
i l entre
t ellas
ll
Q1 = C11V(1V−
+1 −CV
11
122V)22
„
Se dice entonces que las
dos superficies forman un
condensador
Capacidad de un condensador: definición y
propiedades
„
Se define la capacidad
d un condensador
de
d
d como
C=
Sólo
ó es aplicable a dos
superficies en influencia
total
„ Es indiferente qué
superficie llamamos 1 y
cuál 2.
Q1
−Q2
Q2
C=
=
=
V1 − V2 V1 − V2 V2 − V1
„
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ez
Q1
V1 − V2
„
„
„
„
„
En el denominador aparece
l diferencia
la
dif
i de
d potencial,
t
i l
V1–V2 (para un condensador
NO es cierto que Q = CV)
Se mide en faradios
Es siempre positiva
No hay que confundirla con
la capacidad de un
conductor
El elemento de circuito
asociado a la capacidad C
se representa por
Capacidad de un condensador esférico
„
Para dos superficies
esféricas concéntricas
C = C11 =
4πε 0 ab
= −C12
b−a
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ez
Q1 = C (V1 − V2 )
„
„
Esta capacidad no nos
dice nada de lo que
ocurre en el exterior del
conductor 2, sólo
i f
informa
d
de llas
superficies enfrentadas.
En el caso de la Tierra y
la ionosfera
„
„
C=
a = RT = 6400km
b = RT+h = 6500km
4πε0 RT ( RT + h )
50 mF
h
Capacidad de un condensador coaxial:
planteamiento
„
Para hallar la capacidad
se siguen
i
llos pasos:
„
„
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ez
„
„
Un condensador coaxial
está formado por dos
cilindros circulares
concéntricos,
é i
d
de llongitud
i d
h, mucho mayor que sus
radios a y b.
radios,
„
„
Se plantea la ecuación de
Laplace suponiendo una
placa a potencial V0 y la
otra a tierra
Se resuelve esta ecuación
Se calcula el campo
eléctrico como E = –∇φ
φ
Se halla la carga en la
placa a tensión V0, a partir
del campo eléctrico
El cociente entre la carga y
la d.d.p. es la capacidad
Capacidad de un condensador coaxial:
solución del problema del potencial
„
Hay que resolver la ec. de
L l
Laplace
∇2 φ = 0
con las
l condiciones
di i
φ (ρ = a ) = V0
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ez
„
φ (ρ = b ) = 0
Si la longitud es mucho
mayor que el radio
pueden
d d
despreciarse
i
llos
efectos de borde
(curvatura de las líneas
de campo en los
p
extremos)) y suponer
„
En ese caso
φ = φ (ρ )
„
La ecuación de Laplace
p
se
reduce a
1 d ⎛ dφ ⎞
ρ
=0
ρ d ρ ⎜⎝ d ρ ⎟⎠
E = Eu ρ
Capacidad de un condensador coaxial:
cálculo de la capacidad
„
La solución es de la
forma
„
φ = A + B ln ( ρ )
„
Imponiendo las c.c.
φ=−
„
V0 = A + B ln ( a )
V0 ln ( ρ / b )
ln ( b / a )
El campo eléctrico entre
los cilindros
E = −∇φ =
0 = A + B ln ( b )
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ez
El potencial es
„
V0
uρ
ρ ln ( b / a )
Hallando el flujo a través de
una superficie concéntrica
con el cilindro interior
Q1 = ε0 v
∫ E·dS =
S1
2πε0hV0
ln ( b / a )
y la capacidad es C =
2πε0 h
ln ( b / a )
Capacidad de un condensador plano
„
„
Lo forman dos placas
conductoras de sección S y
separadas una distancia a.
E
Entre
ellas
ll se cumple
l lla
ec. de Laplace con las c.c.
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ez
φ ( z = 0 ) = V0
„
„
φ( z = a) = 0
⎛ z⎞
φ = V0 ⎜1 − ⎟
⎝ a⎠
Despreciando los efectos
de borde (suponiendo
p p
perpendicular
p
a
campo
las placas)
E = Eu z ⇒ φ = φ ( z ) ⇒
Resulta el potencial
„
d φ
=0
dz 2
2
Calculando la carga
sobre la placa a tensión
V0
ε0 SV0
S1
a
εS
se obtiene
bi
lla capacidad
id d C = 0
a
Q1 = ε0 v∫ E·dS1 =
Circuitos equivalentes: modelan los
sistemas reales
„
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ez
„
„
En un sistema de conductores
diferentes porciones de la
superficie de cada uno se
encuentran
t
en iinfluencia
fl
i
total con las de otros
conductores
Podemos modelar el sistema
como un conjunto de
condensadores
correspondientes a estas
porciones conectadas por
líneas de campo
P
Para
ello,
ll hay
h que seguir
i una
serie de pasos.
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ez
Construcción de circuitos equivalentes:
nodos del circuito
„
Analizaremos el sistema de cuatro conductores de la
figura
„
En p
primer lugar,
g , cada conductor se representa
p
p
por un
nodo
Construcción de circuitos equivalentes:
condensadores entre nodos del circuito
„
„
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ez
„
La capacidad Cik viene
dada por el coeficiente
Cik cambiado de signo
Cik = −Cik
„
La capacidad Cik es
siempre positiva o nula
„
A continuación se coloca un
condensador
d
d Cik conectando
t d
cada par de nodos, i y k
Cuando dos conductores i y k
están apantallados por un
tercero, la capacidad es nula.
En ese caso, puede suprimirse
el condensador
correspondiente en el
esquema (C13 y C14 en este
caso))
Construcción de circuitos equivalentes:
condensadores entre los nodos y tierra
„
„
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ez
„
El valor de la autocapacidad
Cii es la suma de una fila de
la matriz de los Cik
Cii = ∑ Cik
k
„
Esta cantidad es siempre
positiva
i i o nula
l
„
Hay que añadir un
condensador
d
d Cii entre
t cada
d
nodo y tierra
Estos condensadores
representan las líneas de
campo que van de cada
conductor al infinito
Cuando un conductor está
apantallado y no puede
haber líneas entre él y el
i fi i
infinito,
Cii=0
0 y puede
d
suprimirse el condensador
correspondiente (C11 en
este ejemplo)
Relación entre las capacidades y los
coeficientes de capacidad
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ez
„
„
Es importante no confundir
l coeficientes
los
fi i t d
de
capacidad, Cik, del sistema
de conductores,
conductores con las
capacidades y
p
Cik, del
autocapacidades,
circuito equivalente
La carga
g usando los Cik es
Q1 = C11V1 + C12V2 + C13V3 + "
y usando los Cik
Q1 = C11V1 + C12 (V1 − V2 ) + C13 (V1 − V3 ) +"
„
Se relacionan por
Cik = −Cik
Cii = ∑ Cik
k
„
La relación inversa es
ella
ll misma
i
Cik = −Cik
Cii = ∑ Cik
k
„
„
„
„
Los coeficientes Cii son
siempre positivos
Los coeficientes Cik (i≠k)
son negativos o nulos
L autocapacidades
Las
id d Cii
son positivas o nulas
Las capacidades Cik (i≠k)
son positivas o nulas
Construcción de circuitos equivalentes:
fuentes de tensión
Además de los condensadores hay que añadir
fuentes de tensión para indicar aquellos
conductores cuyo voltaje esté fijado
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ez
„
Construcción de circuitos equivalentes:
fuentes de carga
„
„
En ocasiones los conductores no
se encuentran conectados a un
generador, sino que están
aislados.
La carga de un conductor
permanece constante
aislado p
(no puede ir a ningún sitio)
© 2008, Antonio Gonzá
ález Fernánde
ez
„
„
Para representar la carga
de un conductor definimos
un "generador de carga"
conectado al nodo
correspondiente
En el caso de carga
g nula,,
puede omitirse (Q3=0 en el
ejemplo)
Construcción de circuitos equivalentes:
resumen de todos los pasos
„
Resumiendo, los p
pasos son
los siguientes:
Un nodo por cada conductor
Un condensador por cada par
de conductores, de capacidad
Cik. No, si Cik es nula.
Un condensador Cii entre cada
conductor y tierra. No, si Cii=0
Una fuente de tensión
conectada a cada nodo a
tensión constante
Una "fuente de carga"
conectada a cada nodo a carga
constante
co
sta te ((no,
o, ssi está
descargado)
„
„
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ález Fernánde
ez
„
„
„
Construcción de circuitos equivalentes:
aplicación al caso de una esfera
„
En el caso de una sola
esfera conductora a
potencial V0, el circuito
equivalente se reduce a:
„
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ez
„
Un nodo, que representa a
la esfera
Un condensador situado
entre la esfera y tierra (el
infinito) de capacidad
infinito),
C = C11 = C11 = 4πε0 R
„
Una fuente de tensión V0.
Construcción de circuitos equivalentes:
aplicación a un caso de dos esferas
„
Dos esferas concéntricas de
radios a y b (a<b), la interior a
tensión V1 y la exterior cargada
con Q2, son equivalentes a:
„
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ález Fernánde
ez
„
Dos nodos
Un condensador entre las dos
U
esferas
4πε0 ab
b−a
„ Un condensador entre el nodo 2 y
tierra
4πε0b2 4πε0ab
b
C22 = C22 + C12 =
−
= 4πε0b
b−a
b−a
„ Una fuente de tensión V1
„ Una fuente de carga Q2. Si Q2=0,
quedan dos condensadores en serie
C12 = −C12 =
Construcción de circuitos equivalentes:
aplicación a un sistema de 4 conductores
„
A partir de la matriz de
coeficientes de capacidad
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ález Fernánde
ez
⎛ 9.092
⎜
−9.093
C = C0 ⎜
⎜ 0.000
⎜
⎝ 0.000
−9.093 0.000 0.000 ⎞
⎟
15.960 −1.568 −1.758 ⎟
−1.563 3.702 −1.330 ⎟
⎟
−1.759 −1.337 4.069 ⎠
obtenemos las capacidades
y autocapacidades
C11 0 C12 = 9.09C0
C22 = 3.54C0
C13 0
C23 = 1.55C0
C14 0
C24 = 1.75C0
C33 = 0.80C0
C34 = 1.33C0
C44 = 0.98
0 98C0
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ez
Circuitos equivalentes en un problema
concreto (3.7):
(3 7): planteamiento
„
Tenemos un conductor esférico,
esférico de
radio R, con dos huecos de radio
R/2. En cada hueco hay una esfera
de radio R/4. Una está a V0, la otra
a tierra. La esfera exterior está
aislada
i l d yd
descargada,
d ¿cuánto
á t
valen las cargas y potenciales de
cada conductor?
„
El circuito equivalente contiene
tres condensadores y una fuente
de tensión V0
Circuitos equivalentes en un problema
concreto (3.7):
(3 7): solución
„
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ez
„
La relación entre cargas
y potenciales
t
i l queda
d
Q1 = C
2πε
VC
((V2V)11 −−VV22))+ C13 (V1 − V3 )
11V01 (+
12
1C−
12V
2πε
4V122 (−VV
Q2 = C
VV1 )3 )+ C23 (V2 − V3 )
22V02R+( C
2 1−−
2πε
V − V2 )3 − V1 ) + C23
Q3 = C
33V03 (+ 3C13 (V
23 (V33 − V22 )
Sustituyendo los datos
Q1 = 2πε0 (V0 − V2 )
Las capacidades valen
4πε0 ( R / 2 )( R / 4 )
C12 = C23 =
= 2πε0 R
( R / 2) − ( R / 4)
„
„
La autocapacidad es la
de una esfera
C22 = 4πε0 R
0 = 2πε0 R ( 4V2 − V0 )
Q3 = 2πε0 ( −V2 )
„
Despejando
V2 =
V0
4
Q1 =
3πε0 RV0
2
Q3 = −
πε0 RV0
2
Resumen de la presentación
„
„
„
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ález Fernánde
ez
„
„
„
Cuando se tiene un conjunto de conductores a distintos
voltajes, se produce un campo entre ellos
Los conductores se cargan, dependiendo de las tensiones
d todos
de
d ellos
ll
Las cargas pueden relacionarse matemáticamente con los
voltajes
Estas relaciones se describen mediante los conceptos de
capacidad de un conductor y de un condensador
Combinando condensadores y fuentes, puede modelarse
un sistema real mediante un circuito equivalente.
equivalente
A partir del análisis del circuito pueden resolverse
diversos
d
ve sos problemas
p oble as reales
eales de apa
apariencia
e c a muy
uy d
diferente
e e te
Sevilla, Diciembre de 2008