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Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA1001 Introducción al Cálculo 10-1
Control Reuperativo
P1.
Considere la funión denida por f (x) =
q
x−2
x+1
a) (2.0 ptos.) Determine el dominio de f .
b) (1.5 ptos.) Determine eros, signos y asíntotas vertiales de f .
) (1.5 ptos.) Demuestre que ∀x1 , x2 ∈ Dom f
f (x2 ) − f (x1 ) =
3(x2 − x1 )
q
hq
i
x1 −2
x2 −2
(x1 + 1)(x2 + 1)
x1 +1 +
x2 +1
d) (1.0 pto.) Usando la expresión propuesta en el punto (), pruebe que f es inyetiva y estudie reimientos
de f .
P2.
a)
a.1) (1.0 pto.) Si α + β = π4 , demuestre que (1 + tg α)(1 + tg β) = 2.
a.2) (1.0 pto.) Sabiendo que | sen(x + π4 )| ≤ 1, ∀x ∈ R, pruebe que
| sen x + cos x| ≤
√
2, ∀x ∈
R.
2
b) Considere la hipérbola de euaión xa2 − yb2 = 1 de exentriidad e. La reta vertial por el foo F de
absisa positiva, orta a la hipérbola en un punto P .
2
b.1) (2.0 ptos.) Demuestre que la pendiente de la tangente T a la hipérbola en el punto P es igual a la
exentriidad.
yy0
0
INDICACION: la tangente a la hipérbola en un punto P (x0 , y0 ) de ella es xx
a2 − b2 = 1.
b.2) (2.0 ptos.) Demuestre que la interseión entre la tangente T y la diretriz del lado dereho de la
hipérbola, se enuentra en el eje 0X .
Tiempo: 1.15 horas.
1
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA1001 Introducción al Cálculo 10-1
Pauta Control Recuperativo
√
P1.
f (x) =
x−2
x+1
a) (0.5 ptos.)
Dominio de
x−2
x+1
(1.5 ptos.)
b) (0.5 ptos.)
≥ 0,
{
f = x∈
x=0
es cero de
Signos: el radical impone que
(0.5 ptos.)
Asíntotas verticales:
f (x2 ) − f (x1 ) =
x2 −2
= √ x2 +1
x2 −2
x2 +1
−
+
(0.3 ptos.)
Dom
−
√
x1 −2
x1 +1
x = −1.
x1 −2
x1 +1 y racionalizando
x1 −2
x1 +1
√
f.
=
(x2 − 2)(x1 + 1) − (x1 − 2)(x2 + 1)
√
[√
]
x2 −2
x1 −2
(x1 + 1)(x2 + 1)
x2 +1 +
x1 +1
3(x2 − x1 )
√
[√
]
x2 −2
x1 −2
(x1 + 1)(x2 + 1)
+
x2 +1
x1 +1
es inyectiva si
En efecto,
f (x) ≥ 0 ∀(x) ∈
presenta asíntota vertical
x2 −2
x2 +1
Reduciendo:
f
f
.
f.
(0.5 ptos.)
√
}
−1, 2, x ∈ (−∞, −1) ∪ [2, ∞)
por puntos críticos
Ceros: solo
c) (1.5 ptos.)
d)
R/ x−2
x+1 ≥ 0
(∀x1 , x2 ∈
Dom
f )(f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ).
f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ f (x2 ) − f (x1 ) = 0
x2 − x1 = 0 ⇒ x1 = x2 .
y segun (c)
⇒
x1 .x2 ∈ Dom f ; x1 < x2 < −1
f (x2 ) − f (x1 ) > 0 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Para el crecimiento, sean
(0.4 ptos)
y según (c)
Analogamente
(0.3 ptos.)
∀x1 x2 ∈
Sigue que
f
Dom
f , 2 < x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
es creciente en
(−∞, −1)
y en
(2, ∞).
P2.
a)
a.1)
α+β =
π
4
(0.5 ptos.)
(0.5 ptos.)
a.2)
( )
⇒ tg(α + β) = tg π4 = 1
tg α+tg β
⇔ 1−tg
α tg β = 1 ⇒ tg α + tg β = 1 − tg α tg β ⇒ tg α + tg β + tg α tg β = 1
Entonces
(1 + tg α)(1 + tg β) = 1 + tg α + tg β + tg α tg β = 1 + 1 = 2
| sen(x + π4 )| ≤ 1 ⇔ | sen x cos π4 + cos x sen π4 | ≤ 1.
(1.0 pto.)
⇔|
√
2
2
sen x +
√
2
2
cos x| ≤ 1 ⇔ | sen x + cos x| ≤
1
√
2
b)
x2
b.1) La hipérbola a2
La tangente por
−
y2
b2
=1
P (x0 .y0 )
La vertical por el foco es
a2 e2
a2
(1.0 pto.)
−
y02
b2
tiene
xx
es a20
x = ae
⇒ mT =
b.2) La tangente
(D) : x =
Pero
a
e
T :
en
x0 = ae,
(1.0 pto.)
−
yy0
b2
a
e y exentricidad
y corta la hipérbola en
√eb
a e2 −1
es
T
mT =
√ eb
=
a
a2 +b2
a2
P (ae, y0 )
x0 b 2
y0 a2
−1
=
=
2
√ aeb
b e2 −1·a2
√ eb
2
2
2
a a +ba2−a
=
eb
b
0
− yy
con la directriz
b2 = 1 se corta
a
y y
a
e x0
Q( e , yQ ) tal que a2 − Qb2 0 = 1
xx0
a2
así
a
e ·ae
a2
−
yQ y0
b2
√
e=
= 1(T ).
= 1 ⇒ y02 = b2 (e2 − 1)
La pendiente de la tangente
(1.0 pto.)
F (ae, 0), (D) : x =
=1⇒1−
yQ y0
b2
= 1 ⇒ yQ = 0.
Es decir, la intersección se encuentra en el eje
2
0X .
=e
tal que:
a2 +b2
.
a