Aplicación de diferentes metodologías para

Meteorología Colombiana
N6
pp. 91–100
Octubre, 2002
Bogotá D.C.
ISSN-0124-6984
APLICACIÓN DE DIFERENTES METODOLOGÍAS PARA ESTIMACIÓN DE CURVAS
INTENSIDAD – FRECUENCIA – DURACIÓN EN COLOMBIA
JAIME I. VÉLEZ, GERMÁN POVEDA, OSCAR MESA, CARLOS D. HOYOS,
J. FREDDY MEJÍA, DIANA I. QUEVEDO, LUIS F. SALAZAR, SARA C. VIEIRA
Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos,
Universidad Nacional de Colombia, Medellín
Velez, J., G. Poveda, O. Mesa, C. Hoyos, J. Mejía, D. Quevedo, L. Salazar & S. Vieira. 2002: Aplicación de diferentes metodologías para estimación de curvas intensidad – frecuencia – duración en Colombia. Meteorol. Colomb. 6:91-100. ISSN 01246984. Bogotá, D.C. – Colombia.
RESUMEN
Dada la importancia que tienen la utilización de las curvas Intensidad - Frecuencia - Duración
(IDF) en el cálculo y diseño de obras de ingeniería, se hace un análisis de diferentes metodologías para su estimación utilizando información de 51 estaciones con registros horarios de
precipitación ubicadas en los Andes Tropicales de Colombia. Las metodologías utilizadas fueron:
ecuaciones paramétricas (Froehlich) en función del período de retorno y la duración de las tormentas; ecuaciones paramétricas (Vargas) en función, además, de la precipitación media anual,
la elevación, el número de días con lluvia al año y la lámina máxima de 24 horas de duración y la
teoría de multiescalamiento que consiste en conocer las propiedades que permanecen invariables ante los cambios de escala en variables como la precipitación. Con esta última metodología
los registros evidencian que el coeficiente de variación, esencial para la estimación de las curvas
basadas en propiedades de escala, es constante (Cv = 0.25) para los rangos de duraciones de
lluvia trabajados (1 a 24 horas). La función de estructura de los registros muestra, para los
primeros cuatro momentos, evidencias de escalamiento simple. La ventaja más sobresaliente es
que esta teoría nace de bases físicas que proveen una síntesis de los complejos mecanismos
que determinan la lluvia. Se hace un análisis general de las anteriores metodologías y la forma de
integrar los resultados de la mismas como una base para determinar nuevas expresiones. Estos
resultados posibilitan encontrar características que facilitan la estimación de las curvas en lugares
con información escasa.
Palabras clave: Escalamiento, ecuaciones paramétricas, curvas IDF, precipitación, duración,
tormentas.
ABSTRACT
Because of the importance of the rainfall Intensity - Duration - Frequency curves in the design and
calculation of engineering we use different methodologies for their estimation using time series of
51 hourly precipitation stations located in the tropical Andes of Colombia. We use the following
methodologies: Parametric equations (Froehlich) in function of a return period and a storm duration, parametric equations (Vargas) in function of, in addition to the above, the mean annual precipitation, the elevation, the number of rainy days in the year and the maximum 24 hours precipitation; and the multiscaling theory that study the properties remaining invariant when scale
changes are made in variables like the precipitation. This last methodology shows a constant variation coefficient (Cv = 0.25) for all the durations considered (1 to 24 hours). The structure function
shows simple scaling for the first four moments. This last methodology has an excellent advantage. It is based in physical foundations that allow a synthesis of the complex mechanisms that
govern rainfall. We make a general analysis of the methodologies above and we integrate their
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METEOROLOGÍA COLOMBIANA N°6, OCTUBRE 2002
results as a base to determine new expressions. These results make possible to find characteristics that allow the estimation of the curves in places with scarce information.
Keywords: Scaling, parametric equations, IDF curve, precipitation, duration, storms.
1.
INTRODUCCIÓN
Hoy en día las curvas Intensidad-Duración-Frecuencia
(IDF), siguen siendo una de las herramientas más utilizadas en la estimación de caudales de diseño, especialmente en el diseño de obras de drenaje de vías y alcantarillados pluviales en las zonas urbanas, rurales y en la
estimación de las tormentas de diseño en sitios donde,
debido a la falta de información de caudales, es necesario recurrir a los modelos lluvia escorrentía para el cálculo
de los caudales máximos.
Las intensidades máximas de la lluvia en distintos intervalos de tiempo en un mismo sitio y con distintas probabilidades de excedencia o períodos de retorno, se resumen
en las IDF. La precipitación exhibe una gran fluctuación
tanto en el espacio como en el tiempo. Gracias a las
nuevas tecnologías para el registro de la precipitación, ha
sido posible identificar las características no lineales de
este fenómeno y su estructura de variabilidad espacial.
Usualmente las curvas IDF se determinan mediante análisis del mayor número posible de registros pluviográficos,
pertenecientes a la estación de estudio. En las cartas
pluviográficas están consignados los perfiles de cada
tormenta, es decir, la profundidad de precipitación acumulada en función del tiempo.
El problema que se presenta, es la escasez de estaciones que registran información de este tipo, probablemente debido a su alto costo de instalación y mantenimiento.
La estimación de curvas IDF a partir de información pluviométrica, se presenta como una alternativa para resolver este problema.
En la última década, se han hecho grandes esfuerzos
para representar los campos de precipitación. Los mayores desarrollos se han hecho en la modelación de procesos temporales (Waymire & Gupta, 1981).
Dentro de estos desarrollos, se encuentran los conceptos
de escalamiento simple y multiescalamiento los cuales
son utilizados para el análisis de varios fenómenos en la
hidrología, que han permitido ligar las observaciones con
las características de los procesos físicos involucrados.
El hecho de conocer las propiedades que permanecen
invariantes ante los cambios de escala en variables como
la precipitación, tiene implicaciones importantes en hidrología, tanto desde el punto de vista teórico como práctico.
2.
DATOS Y METODOLOGÍA
Se usaron registros de lluvia horaria de 45 estaciones
pluviográficas, manejadas por el Centro Nacional de
Investigaciones del Café, CENICAFÉ y 6 estaciones
pluviográficas, manejadas por las Empresas Públicas de
Medellín. Los períodos de registro oscilan entre 10 y 22
años. Es de resaltar que las estaciones, están ubicadas
en las zonas cafeteras de Colombia y por tanto tienen un
rango altitudinal de ubicación entre los 990 y 2120 m.
Dada la resolución temporal de los registros, se analizaron las tormentas máximas con duraciones entre 1 y 24
horas.
2.1.
Ecuaciones Paramétricas (Froehlich)
Existe una variedad de funciones, que se vienen empleando para la representación de las curvas IDF en forma
regionalizada (Froehlich), Vargas, 1998; Varas & Farías,
2000); Froehlich (1995), propuso cuatro expresiones
básicas para representar las curvas IDF, en varias regiones de los Estados Unidos, Tabla 1. Estas ecuaciones
están expresadas de forma adimensional, lo cual se
consigue dividiendo por la intensidad de lluvia de 1 hora
de duración (I1), para un período de retorno dado.
Los parámetros de estas ecuaciones adimensionales no
lineales se pueden hallar minimizando la suma de los
cuadrados de los errores para los datos considerados. En
el presente trabajo, se obtuvieron expresiones para los
parámetros a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4 en las ecuaciones, todas en función de la relación entre las láminas
máximas de 24 horas y 1 hora de duración P24-hr,Tr/ P1Thr, r.
Tabla 1. Tipos de ecuaciones de intensidad-frecuencia-duración
Tipo de ecuación
Expresión
Parámetros de la ecuación
I
a1, b1
II
i  a1 /( t  b1 )
i  a 2 / t c2
a2 , b2
III
i  a3 /(t  b3 ) c3
a3, b3, c3
IV
i  a4 /( t c4  b4 )
a4, b4 ,c4
VELEZ et al: APLICACIÓN METODOLOGÍAS ESTIMACIÓN CURVAS INTENSIDAD-FRECUENCIA-DURACIÓN
Otra metodología que se usa para la representación de
curvas IDF, se basa en una expresión que tiene la forma
P (T )  I 
i (t , Tr )  D r   1 
24
ID 
280.1 t 0.1
0.4
(1)
La ecuación (1), es una expresión utilizada en España y
es recomendada por la Instrucción de Drenaje Superficial, dependencia del Ministerio de Obras Públicas de
España (1996). En esta, PD(Tr) es la precipitación máxi-
i
ma diaria, 1 es la relación entre la intensidad máxima
iD
de una hora con la intensidad de 24 horas, también llamada coeficiente de torrencialidad.
2.2.
Ecuaciones Paramétricas (Vargas)
Vargas (2000), evaluó la aplicabilidad de las principales
ecuaciones propuestas por la literatura para generar
curvas IDF, sobre una amplia región colombiana. En
primera instancia, se utilizó la ecuación de Kothyari y
Garde (ecuación 2), en forma generalizada
I a
Tr
2 d
( R24
)
tc
(3)
Se proponen modificaciones a la ecuación 3, de tal manera que incluyera un parámetro correspondiente al
número de días con lluvia al año N
I a
Tb d e
M N .
tc
Se dice que un fenómeno presenta características de
escalamiento simple para la variable aleatoria I, cuando
para cada  existe una función C(), de tal forma que se
conserve la relación (Gupta & Waymire, 1990)
D
I (d )  C( ) I (d )
(7)
La anterior relación es definida como escalamiento simD
ple en sentido estricto, donde  denota igualdad en la
distribución de probabilidad, mostrando que la distribución de probabilidad del fenómeno, es invariante con
respecto a la escala.  es el factor de escala, I es una
variable aleatoria (Intensidad de la lluvia en este caso
particular) y d es el parámetro con el cual se escala I.
Puede mostrarse que la función C() puede escribirse
como
C ( )  
,    R.
(8)
La expresión (7) implica que los cuantiles también son
invariantes con la escala y pueden relacionarse por medio de la expresión
I q (d )   I q ( d ),
Luego, se reemplazó el término
por el valor promedio anual máximo de precipitación diaria M
Tb d
M
tc
Teoría de Escalamiento Simple y Multiescalamiento
(2)
2
R 24
I a
2.3.
93
(9)
donde q es el q-ésimo cuantil de la variable I. Existe una
relación lineal entre el parámetro con el cual se escala y
el valor de la variable I correspondiente al q-ésimo cuantil. En el campo logarítmico, para cada cuantil, se obtiene
una línea recta con esta ecuación y las pendientes de
estas rectas (r).
La ecuación (7) implica también, que siempre y cuando
los momentos de la variable I existan, éstos también son
invariantes con la escala y se relacionan por medio de la
expresión
(4)
M r (d )   r M r (d ) ,
Donde a, b, c, d y e son coeficientes determinados por
análisis de regresión para las estaciones consideradas.
Finalmente, se adicionan parámetros como la precipitación medial anual PT en mm y la elevación sobre el nivel
del mar ELEV en msnm, obteniéndose las ecuaciones 5 y
6.
I a
Tb d e
M N PT f
tc
(5)
I a
Tb d e
M N PT f ELEV g
tc
(6)
(10)
con Mr(.) el momento de orden r de la variable I, y con
 r  r (1   1 )
(11)
Las propiedades denotadas por las ecuaciones (7) a (10),
definen lo que se conoce como Escalamiento Simple en
sentido amplio, ya que depende de la existencia de los
momentos y es una propiedad más débil que la expresada con la ecuación (7). La ecuación (10), indica una relación lineal el campo logarítmico entre el parámetro con el
cual se escala y cada uno de los diferentes momentos de
orden r. En la naturaleza se han encontrado diversos
fenómenos, en los cuales a pesar de conservarse la
relación de los momentos en diferentes escalas en cada
orden, no se presenta la relación lineal entre el orden de
los momentos y las diferentes pendientes r de la expre-
94
METEOROLOGÍA COLOMBIANA N°6, OCTUBRE 2002
sión (10), es decir no se cumple (11). De acuerdo a esto,
la expresión (10), puede escribirse como
l ( r ) r
M r (d )  
M r (d )
(12)
donde l(r) es una función que describe el “alejamiento” de
los valores de los exponentes de la expresión (10). Las
curvas IDF, se pueden analizar a partir del escalamiento
temporal simple de la precipitación, es decir utilizando la
duración como parámetro de escala. Si se supone que
existe escalamiento simple y además que existen los
diferentes momentos, de las ecuaciones (10) y (11) se
obtiene que:

E I d   (d / d ref ) E I dref

 
VarI d   (d / d ref ) Var I dref
2
 
 
Var I def
VarI d 

2
E I d 
E 2 I dref





(16)
En la ecuación (16), q es el la inversa de la distribución
normal acumulada estándar para una probabilidad de no
excedencia q. Las fórmulas utilizadas para la
determinación de los intervalos de confianza fueron las
siguientes:
ˆ1  t / 2,n2
ˆ 2
S xx
ˆ 2
 1  ˆ1  t / 2,n 2
S xx
(17)
(13)
donde:
(14)
donde Id y Idref son la intensidad máxima para una duración d y una duración de referencia, respectivamente.
Para el caso de escalamiento simple, el coeficiente de
variación (CV) es una constante, dada por:
CV 
 
I d ,q  E I dref

exp  q ln 1  CV 2  

 d

2
 dref
1  CV
ˆ 2 
S yy  ˆ1 S xy
n2
3.
3.1.
; estimador insesgado de la varianza.
RESULTADOS Y ANÁLISIS
Ecuaciones Paramétricas (Froehlich)
(15)
Si se conoce la función de distribución de los valores
extremos de los registros, el valor del exponente de escalamiento() y CV, es posible calcular las intensidades
máximas a partir de un valor de referencia conocido (Iref).
Suponiendo que los valores extremos de la precipitación
siguen una distribución Log-Normal tipo II (LN II), a partir
de la teoría del escalamiento simple, la expresión para
las IDF queda
Utilizando los datos de intensidad y duración de las estaciones, se obtuvieron las curvas ajustadas de intensidadfrecuencia-duración para 5 períodos de retorno, (2.33, 5,
10, 25, 50), suponiendo una distribución lognormal de los
eventos máximos para los tipos III y IV (Tabla 1), por
presentar un mejor ajuste a los datos, igualmente se
realizaron ajustes para la ecuación propuesta por la dependencia de obras públicas de España (Ecuación 1). En
la Fig.1, se observan las curvas intensidad-frecuenciaduración para la estación Bremen.
Figura 1. Ajuste de curva IDF para la estación Bremen
VELEZ et al: APLICACIÓN METODOLOGÍAS ESTIMACIÓN CURVAS INTENSIDAD-FRECUENCIA-DURACIÓN
Luego se encontró una relación entre el coeficiente de
torrencialidad con los diferentes parámetros de las ecuaciones. La relación lineal fue la que mostró un mejor
ajuste. Los resultados del ajuste se muestran en la Tabla
2.
3.2.
95
En el proceso de validación de ésta metodología, se
construyeron histogramas de frecuencia de los errores
relativos porcentuales, determinados a partir de los datos
reales de intensidad con una probabilidad de no excedencia asociada a los períodos de retorno contemplados
en el estudio y de los valores calculados con cada uno de
los modelos ajustados. En la Fig.3, se muestran los errores relativos para la estación El Sireno, se toman los
períodos de retorno de 2.33 años (arriba) y 50 años (abajo) con el fin de comparar la sensibilidad de los cuatro
modelos en el cálculo de intensidad para diferentes períodos de recurrencia. Se observa que los errores promedios para Tr = 2.33 años son muy bajos (inferiores a
27%), presentándose un incremento significativo de estos
en el cambio de período de retorno (Error promedio para
Tr =50 años de 52%); Se encontró además sobreestimación en los cuatro modelos, siendo (5) quien presenta el
menor error promedio, posiblemente indicando que al
introducir el variable PT estos disminuyen, ya que es una
variable que condensa gran cantidad de información
acerca del comportamiento de la lluvia; los errores relativos de (6) siguen en orden de magnitud, mostrando que
el ingreso de la variable ELEV aporta ruido en la estimación los valores de intensidad.
Ecuaciones Paramétricas (Vargas)
Haciendo uso de los registros de precipitación de las
estaciones, se obtuvieron los valores correspondientes a
las variables M, N y PT para cada una de éstas y mediante procesos de optimización, se calcularon los parámetros de (3), (4), (5) y (6), presentados en la Tabla 3.
A partir de los parámetros encontrados, se establecen las
expresiones que sirven finalmente para la construcción
de las curvas IDF. En la Fig.2, se muestran las curvas
IDF calculadas con las expresiones (3), (4), (5) y (6) para
la estación El Sireno para los diferentes períodos de
retorno estudiados.
Tabla 2. Valores de pendiente, intercepto y coeficiente de correlación, para cada parámetro y diferente período de
retorno
Parámetro
Atrans
A2
A3
B3
A4
A4
Ajuste
a
b
R2
a
b
R2
a
b
R2
a
b
R2
a
b
R2
a
b
R2
2.33
0.16
0.00
0.13
62.20
-1.13
0.19
96.71
-3.57
0.47
1.35
-0.09
0.91
98.52
-3.73
0.50
1.40
-0.10
0.92
5
Período de retorno
10
0.11
0.04
0.00
0.00
0.01
0.14
50.68
50.63
0.23
0.43
0.04
0.08
86.25
87.55
-2.31
-2.17
0.36
0.37
1.37
1.30
-0.10
-0.09
0.92
0.94
88.75
87.42
-2.47
-2.19
0.38
0.37
1.45
1.32
-0.10
-0.09
0.90
0.91
25
50
0.15
0.00
0.13
44.98
0.85
0.18
82.84
-1.85
0.40
1.37
-0.09
0.96
81.25
-1.70
0.36
1.33
-0.09
0.92
0.02
0.01
0.22
45.94
0.87
0.18
75.72
-1.24
0.28
1.17
-0.08
0.94
74.26
-1.07
0.21
1.17
-0.08
0.85
Figura 2. Curvas Intensidad-Frecuencia-Duración con base en las ecuaciones (3) y (4) para la estación El Sireno
96
METEOROLOGÍA COLOMBIANA N°6, OCTUBRE 2002
3.3.
Teoría de Escalamiento
Según la suposición de escalamiento simple, el valor del
exponente , puede estimarse a partir de los valores de
precipitaciones máximas observadas para las diferentes
duraciones. En los análisis realizados por Wilches
(2001), se encontró para estaciones de registro
pluviográficas ubicadas en Antioquia, que las relaciones
de escala no son válidas en todo el rango de duraciones,
y que es necesario subdivirlo en dos o más rangos. Pudo
observarse que el exponente de escalamiento para las
duraciones pequeñas (menores de 2 horas), presenta
gran variabilidad y el de duraciones mayores es más
estable lo que presupone análisis de escalamiento
múltiple y simple, respectivamente.
En la Fig.4, se observan los valores de las pendientes de
los ajustes en el campo logarítmico entre los primeros
cuatro momentos muestrales y las duraciones
consideradas (1 a 24 horas). Analizando la función de
estructura en la Fig.4, donde el valor de 1 fue tomado
del ajuste presentado, y de acuerdo con la teoría de
escalamiento simple, en la cual los valores de los
momentos varían linealmente con el momento de orden
uno, se observa que hasta para momentos de orden 4,
los datos se ajustan significativamente a la línea teórica.
El cálculo de momentos de mayor orden es muy
susceptible de errores debido a la corta longitud de los
registros.
Tabla 3. Parámetros ajustados para el conjunto de estaciones
Ecuación
a
b
c
d
e
f
g
3
3.785
0.159 0.712
0.525
0
0
0
4
3.458
0.159 0.712
0.516
0.025
0
0
5
2.911
0.159 0.712
0.346
-0.203
-0.282
0
6
2.266
0.159 0.712
0.274
-0.112
0.326
-0.033
Figura 3. Errores relativos para la estación El Sireno. (Arriba) Errores para Tr = 2.33; (abajo Errores para Tr = 10
años
Figura 4. (izquierda) Gráfico de los primeros cuatro momentos de las lluvias máximas. Los rombos son los valores
muestrales y las líneas continuas los mejores ajustes. r es la pendiente de estas líneas. (derecha) Función de Estructura para los datos. La línea continua representa la ecuación (11) y los símbolos (+) son los resultados muestrales
VELEZ et al: APLICACIÓN METODOLOGÍAS ESTIMACIÓN CURVAS INTENSIDAD-FRECUENCIA-DURACIÓN
Para presentar un resultado confiable estadísticamente,
se realizaron estimaciones de los intervalos de confianza
para cada estación en particular, con el fin de verificar si
es posible rechazar la hipotesis de que las lluvias
horarias en el rango analizado,(1 a 24 horas) tienen un
comportamiento de escalamiento simple o si el
escalamiento se puede regionalizar (entre simple o
múltiple).
Para esto se estimaron los intervalos de confianza del
95%, del ajuste lineal entre cada uno de los momentos y
las duraciones. Esto se muestra en la,Fig.5, donde se
unen los intervalos de confianza por medio de una línea
punteada.
97
Los resultados anteriores sugieren la utilización del
modelo de escalamiento simple, dada la evidencia de los
registros en el rango de duraciones utilizados y con el
máximo orden de los momentos analizados.
Un parámetro necesario para aplicar este modelo es el
Coeficiente de Variación (CV). Si se toma la intensidad
de 24 horas como la intensidad de referencia, el modelo
indica que CV, se debe ajustar a la línea de escalamiento
simple.
En esta figura la línea continua indica los valores teóricos
de escalamiento simple. Se busca decidir si los datos
obtenidos están dentro de los intervalos de confianza y
comprobar la hipótesis de escalamiento simple.
Como se observa en la Fig.6, el coeficiente de variación
tiene un rango entre 0.18 y 0.30, y dado que este valor es
fácilmente afectado tanto por la longitud de los registros
como por los aparatos de medición, se consideró usar un
valor constante de CV = 0.25 correspondiente al valor
medio. Además, CV no presenta ningún rasgo
característico con la cota de la estación y con la
precipitación media multianual.
En la mayoría de las estaciones analizadas los datos
obtenidos se encuentran dentro de los límites de confianza. Se concluye que con todos los análisis realizados
anteriormente se acepta la hipótesis de escalamiento
simple, para efectos de calcular las curvas IDF.
La Fig.6, muestra también cómo el coeficiente de
variación es más disperso para las duraciones menores
de 4 horas y se estabiliza para las duraciones mayores.
Esto es debido posiblemente a la alta variabilidad de la
lluvia para las duraciones menores.
Figura 5. Intervalos de confianza para las regresiones entre los momentos y las duraciones para la estación Blonay
Figura 6. (Izq) Histograma de Frecuencias para Cv. (der) Valores de CV para todas las duraciones en todas las
estaciones
98
METEOROLOGÍA COLOMBIANA N°6, OCTUBRE 2002
Si se toma un valor de  para cada estación, dado por el
ajuste de la serie de registros máximos para todas las
duraciones consideradas, utilizando la ecuación (4.10),
se observan valores que varían entre –0.84 y -0.80, con
un valor medio de 0.83 Fig.7. El  promediado entre
todas las estaciones, es muy similar al obtenido con la
regresión lineal entre las duraciones y el momento de
orden 1.
25% y en promedio, se tienen errores del 10 al 15 %.
Aquí el error relativo se usa en sentido de comparación
entre los resultados que se obtienen por ambos métodos.
La teoría de escalamiento, contiene una base conceptual
y teórica mucho más sólida desde el punto de vista de la
física del proceso de precipitación (Gupta & Waymire,
1993; Over & Gupta, 1994; Lovejoy & Schertzer, 1990;
Burlando & Rosso, 1996).
En la variabilidad espacial de  no se observa ningún
patrón carácterístico.
Para efectos prácticos, hemos encontrado la expresión
(18) para evaluar la intensidad de la lluvia para cualquier
período de retorno y cualquier duración en el rango de 1
a 24 horas
Para la validación de los resultados, se aplicó el modelo
de escalamiento simple con distribución LNII (ecuación
16) y con los valores de  y CV constantes e iguales a 0.83 y 0.25, respectivamente y la intensidad de referencia
de 24 horas.
I q ,d  I 24

exp  q ln(1  CV 2  

 d 


 d 24 
1  CV 2
Se compararon los resultados con los obtenidos al aplicar
los métodos tradicionales, (suponiendo una distribución
LNII de las lluvias máximas) para la estación El Jazmín.
Donde:
En la Fig.8, se observan los errores relativos para las
curvas IDF en diferentes períodos de retorno.
período de retorno q (años)
I24 : Intensidad de 24 horas (mm/h)
A grandes rasgos se puede observar que los errores
relativos aumentan en las mayores duraciones para altos
períodos de retorno y las duraciones menores presentan
mayores errores debido a la posible presencia, de
escalamiento múltiple para pequeñas duraciones. Los
mayores errores en esta validación son del orden del
(18)
Iq,d : Intensidad (mm/h) para la duración d(horas) y el
q : inversa de la distribución normal acumulada estándar
para una probabilidad de no excedencia q.
CV : Coeficiente de Variación = 0.25
d24 : Duración de referencia = 24 horas
θ: Valor del exponente de escalamiento = -0.83
Figura 7. Histograma de Frecuencias del parámetro 
0
Tr = 2.33
Tr = 10
Tr = 50
30
20
10
6
4
2
Error relativo (%)
Error relativo (%)
Error relativo (%)
25
8
15
10
5
20
15
10
5
0
0
1
6
12
d (horas)
18
24
0
1
6
12
d (horas)
18
24
1
6
12
d (horas)
18
Figura 8. Errores relativos entre los valores del modelo y el método tradicional en la estación El Jazmín para períodos de retorno de 2.33, 10 y 50 años
24
VELEZ et al: APLICACIÓN METODOLOGÍAS ESTIMACIÓN CURVAS INTENSIDAD-FRECUENCIA-DURACIÓN
Las curvas IDF estimadas a partir de la ecuación (18),
para las estaciones Alban y Arturo Gómez se presentan
en la Fig.9.
Se hizo el ajuste de las ecuaciones tipo II, III y IV del
método de Froehlich, considerando los valores de c2, c3
y c4 constantes e iguales a 0.83 (valor obtenido por el
método de escalamiento simple).
Al realizar un proceso de optimización de estos
exponentes, se observa que los valores c2, c3 y c4 son
cercanos
al
valor
escogido
y
no
varían
considerablemente inclusive para períodos de retorno
altos.
Igualmente se observan valores cercanos a 0.83 para el
exponente c en el método de Vargas.
CONCLUSIONES
Para el método de las ecuaciones paramétricas de Vargas, la utilización de la ecuación (6), no es conveniente
ya que la inclusión de la elevación, no representa un
aporte significativo en los estimados de intensidades.
Aunque los modelos (3), (4) y (5), son de gran utilidad y
proveen buenas estimaciones de intensidades de lluvia
en zonas desprovistas de información, cabe resaltar que
para la calibración de estos se requiere de información de
precipitación horaria de mejor resolución espacial, con el
objetivo de calcular con mayor confiabilidad las variables
M, N y PMA, requeridas y de tener mejor cobertura en el
territorio nacional.
Por el metodo de Froehlich, se ha encontrado que el
coeficiente de torrencialidad tiene una variabilidad espa-
99
cial similar a la distribución de la precipitación media
anual. Se debe explorar la relación que existe entre estas
dos variables. Los registros evidencian que el coeficiente
de duración, escencial para la estimación de las curvas
basadas en propiedades de escala, es constante para los
rangos de duraciones de lluvia trabajados. La función de
estructura de los registros muestra, para los primeros
cuatro momentos, evidencias de escalamiento simple. A
partir de estas consideraciones, se trabajó con la
expresión para las curvas IDF, basada en escalamiento
simple y la función de distribución Log-Normal tipo II para
representar la probabilidad de las lluvias máximas, la cual
usa como variables independientes el promedio de la
intensidad de la lluvia para 24 horas de duración, el
período de retorno y la duración.
Este modelo de escalamiento simple muestra resultados
satisfactorios al reproducir curvas IDF, basadas en
métodos tradicionales. La ventaja más sobresaliente de
la teoría de escalamiento, es que esta nace de bases
físicas que proveen una síntesis de los complejos
mecanismos que determinan la lluvia. Se obtiene un
modelo más simple y de parsimonia que el obtenido con
los modelos heurísticos que actualmente se usan para la
determinación de las curvas IDF.
El obtener un valor del exponente de la duración muy
similar en los tres métodos, a pesar de que parten de
suposiciones diferentes, indica la estabilidad del mismo y
hace pensar que está relacionado con la fisica de los
procesos determinantes de las tormentas. Estos
resultados son una herramienta útil para la práctica en la
ingeniería donde se requiera el cálculo de tormentas
extremas cuyas duraciones de interés estén dentro de las
rangos aquí trabajados.
Figura 9. Curvas IDF obtenidas a partir de la teoría de escalamiento simple para las estaciones Alban y Arturo
Gómez
100
METEOROLOGÍA COLOMBIANA N°6, OCTUBRE 2002
Agradecimientos:
A
CENICAFÉ
(Centro
de
investigaciones del café) y a las Empresas Públicas de
Medellín, por facilitarnos la información de las estaciones
de precipitación.
Over, T. & V. Gupta. 1994: Statistical Analysis of Mesoscale Rainfall: Dependence of a Random Cascade Generator on Large-Scale Forcing, J. Appl. Meteorol., 33:15261542.
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