:: OBJETIVOS [3.1] o Aprender a presentar los datos experimentales

:: OBJETIVOS [3.1]
o Aprender a presentar los datos experimentales como graficas x-y.
o Aprender a usar las hojas de papel logarítmico y Semilogarítmico
o Determinar la relación matemática de una grafica lineal de datos experimentales
o Tomar conciencia de la variabilidad en la medida experimental.
o Identificar los diferentes tipos de errores presentados al efectuar una medición
o Cuantificar los errores vinculados en la medición
o Usar las convenciones dadas por el S.I.
o Valorar la eficacia del método experimental.
MARCO TEÓRICO [3.2]
Gráfica de los resultados experimentales:
En un proceso experimental, se debe tener en cuenta que existen diferentes tipos de variables.
Estas son:
Variable Independiente: Es la que modifica ó define la variable dependiente. Desde el punto de
vista experimental, esta variable corresponde a las magnitudes medidas y/o controladas. Es por
esta última razón que algunas de estas variables llegan a ser llamadas factor de riesgo, factor
predictivo, etc.
Variable Dependiente: Es la variable objetivo, es decir, motivo de nuestro interés, donde su
valor depende de las variables independientes y otros factores que pueden influir en ella. A esta
variable también se le llama Variable Respuesta.
Variable asociada: Se denomina así a aquellos factores ó magnitudes independientes que por si
mismos no modifica la variable objetivo, pero que al tenerse en cuenta con otros factores, influye
notoriamente en la variable respuesta.
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
2
En el trabajo de laboratorio, los resultados ó medidas son la expresión comportamental de un
fenómeno experimental, que manteniendo unos parámetros de control (variables asociadas)
muestran la relación funcional entre las variables independientes (magnitudes estudiadas)) para
identificar el comportamiento que asume la ó las variables objetivo del fenómeno en estudio.
La relación de las magnitudes estudiadas, pueden ser tabuladas y graficadas, permitiendo
construir una grafica x-y que proporciona la imagen visual del comportamiento del fenómeno
estudiado, constituyéndose por ende en un medio eficaz para interpretar resultados cualitativos.
Si se considera que x, y son las magnitudes medidas en un fenómeno experimental, lo que se
buscará es hallar la relación funcional a partir de estos datos y de allí deducir los demás valores
ó parámetros que complementan tal relación física. Muchos de tales fenómenos son descritos por
expresiones matemáticas simples, como uno de los siguientes tipos:
1. Función Lineal: y = ax + b
2. Función Polinómica: y = bx a
3. Función Exponencial: y = ba x
4. Función Polar: r = af (θ ); ejemplo : y = asen(bx); y = b tan(ax); etc.
Elaboración de la gráfica cartesiana: Para elaborar la grafica en papel milimetrado es
necesario dibujar los ejes de acuerdo con los datos y colocar los puntos (x, y) en el plano
cartesiano indicado por dichos ejes, pero es importante respetar las siguientes indicaciones:
Toda gráfica debe tener un titulo que informe la naturaleza de la relación
Los puntos (x, y) deben ser tabulados de forma ascendente.
La elección de la Escala:
•
La gráfica debe ocupar toda la superficie disponible, ordinariamente de forma
cuadrada. Para ello discrimine las divisiones en números enteros y en formato
científico.
•
Para maximizar la superficie disponible, muchas veces el origen de las coordenadas
NO requieren estar en el punto (0, 0).
•
Los puntos experimentales deben estar equidistantemente distribuidos.
La magnitud experimental que presente claramente un mayor error ó incertidumbre, debe ser
presentada sobre el eje x.
Los errores de cada magnitud experimental debe ser representada en la gráfica como una
cruz ó un rectángulo alrededor de cada punto experimental.
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
3
EQUIPOS Y MATERIALES [3.3]
Regla graduada en milímetros.
Papel Milimetrado
Lápiz, borrador
PROCEDIMIENTO [3.4]
3.4.1 Representación gráfica de los resultados experimentales:
o Tabule los datos presentados en la Tabla 1,
o En la mitad de la hoja milimetrada, trace las coordenadas y determine la escala de cada
una de acuerdo a la magnitud de los datos.
Tabla 1
Potencial
V (V)
44,5
31,0
24,0
21,5
15,0
14,5
11,0
10,5
∆V ( V )
0,50
0,30
0,20
0,20
0,20
0,10
0,10
0,10
Corriente
I (A)
0,9
0,6
0,5
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
∆I ( A )
0,06
0,03
0,08
0,06
0,06
0,06
0,08
0,08
ANÁLISIS DE DATOS [3.5]
1. Ubique los puntos (x, y) en los ejes coordenados según los datos tabulados en el
primer paso.
2. Cual de las series presenta mayor error ó incertidumbre? Escoja los datos de x.
3. Coloque el titulo, los nombres de cada una de los ejes, y también las unidades y
los valores de cada una de las divisiones.
4. Una los puntos con una línea entre ellos para discriminar la tendencia del
fenómeno estudiado.
5. ¿Cuál es el tipo de función que mejor se ajusta a tal tendencia?
6. Si es una línea recta determine la pendiente. ¿Es posible hacerlo? O hay muchas
posibles respuestas…?
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
4
MARCO TEÓRICO [3.6]
Interpolación y extrapolación:
El problema general del proceso experimental, es que se tiene un conjunto de datos discretos,
que dejan un espacio de datos desconocidos alrededor de cada dato pareado medido. Por lo
tanto para reconocer el valor par que le corresponderá a un valor de x, será necesario interpolar
si x está entre dos datos conocidos ó extrapolar si x esta después de uno de los extremos de x.
Utilizar el método de interpolación gráfica es el método más sencillo para hallar el valor y=f(x),
más sin embargo no es lo suficientemente simple y claro para resolver el problema de la
extrapolación, además de presentar muchas posibles curvas como solución.
Surge como procedimiento matemático el método de mínimos cuadrados aplicado a la línea
recta.
Método de Mínimos Cuadrados para un conjunto de valores:
Asúmase que se tiene xi observaciones, donde i varia de 1 a n datos.
Discriminando la suma de cuadrados de sus desviaciones respecto a la media xm es:
S=
n
i =1
( xi − xm )2 que es la ecuación que se desea minimizar (minimizar las desviaciones)
Para minimizar S con respecto xm a, solo se tiene que derivar con respecto a xm e igualar a cero
δS
=0=
δ xm
n
i =1
(−2)(xi − xm ) = −2
( xi ) − nxm Despejando se halla que:
xm =
1
n
n
i =1
xi
De este resultado se confirma el hecho que el valor más cercano al valor verdadero, a partir de
los datos experimentales, es la media aritmética ya especificada.
Método de Mínimos Cuadrados para una serie lineal de valores:
Nuestro problema es encontrar la mejor función lineal para un conjunto de datos que pueda
estar disperso de manera considerable (nube de datos).
Si al valorar la tendencia de la nube de datos se halla que la recta describe de mejor manera tal
tendencia, solo cabe hallar aquella que tenga menos variabilidad con respecto a la ecuación de
la recta que es yic = axi + b donde
yic es el valor i-ésimo del y de la recta esperada
xi es el valor i-ésimo medido
a la pendiente de la recta esperada
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
5
b la constante que corta el eje y.
[ yi − (axi + b)]
2
Por tanto la función a minimizar la variancia es: S =
Derivando para cada una de los valores buscados se tiene:
δS
=2
δa
δS
=2
δb
{ yi − (axi + b)} (− xi )
{ yi − (axi + b)} (−1)
Igualando a cero y despejando las constantes de la recta a un lado de la ecuación se tiene
nb + a
xi =
xi + a
b
yi
xi 2 =
xi yi
Resolviendo estas dos ecuaciones de forma simultánea se obtiene el valor de las constantes de la
a=
recta:
b=
n
xi yi − (
xi2 − (
n
(
yi )
xi )(
xi2 − (
n
xi )
yi )
2
xi yi )(
xi2 − (
xi )
xi )
2
Por tanto los nuevos valores de y serán dados como yic = axi + b
Y el error estándar de la estimación de y del conjunto de datos es:
Err.Std =
( yi − yic )
n−2
2
1
2
=
( yi − axi − b )
2
1
2
n−2
El coeficiente de correlación (r):
Este coeficiente permite, de acuerdo a los criterios dados para tal parámetro, determinar si la
recta dada se ajusta adecuadamente a la tendencia comportamental de la nube de datos
experimental
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
6
σ yx2
Este parámetro está definido como: r = 1 − 2
σy
n
σy =
i =1
( yi − ym )
1
2
donde σ y es la desviación estándar de y
1/ 2
n
2
n −1
y la desv. Estándar del y corregido es σ yx =
i =1
( yi − yic )
1/ 2
2
n−2
Por lo tanto;
o Cuando el coeficiente da valores entre 1-0.80, se sabe que la función escogida representa
adecuadamente la tendencia
o Cuando el coeficiente da valores entre 0.79-0.60, se puede probar con otras funciones
que representen mejor la tendencia
o Cuando el coeficiente de valores diferentes a los ya indicados definitivamente la función
escogida no representa la tendencia.
PROCEDIMIENTO [3.7]
3.7.1 Representación grafica de los resultados experimentales aplicando Regresión lineal:
o Tabule los datos presentados en la Tabla 2,
o En la mitad de la hoja milimetrada, trace las coordenadas y determine la escala de cada
una de acuerdo a la magnitud de los datos.
Tabla 2
yi
1.2
2.0
2.4
3.5
3.5
xi
1.0
1.6
3.4
4.0
5.2
xi yi
xi 2
yic
( yi − yic )2
o Ubique los puntos en los ejes coordenados y una los puntos.
o Determine los valores correspondientes en la 3ª y 4ª columna.
o Realice la sumatoria de la última fila.
o Con las sumatorias obtenidas calcule las constantes a y b.
o Calcule los valores de las columnas 5ª y 6ª.
o Trace la línea de tendencia hallada, sobre la grafica aquí mostrada.
HFRG y CAEM
Medidas-Laboratorio de Física I
7
o Calcule el coeficiente de correlación.
o Determine el error estimado, según la temática dada, para la gráfica hallada.
PREGUNTAS [3.8]
1. Para el primer conjunto de valores (Tabla 1), determine los coeficientes a y b de la recta
ó tendencia. (recomendación: use el esquema de la tabla 2 para hallar los coeficientes)
2. Grafíquela en una hoja milimetrada. Respetando las recomendaciones dadas.
3. Calcule los nuevos yic con los xi originales.
4. Grafique esta tendencia (Con otro color ó tipo de línea) en la curva dibujada en el punto
2.
5. Calcular el coeficiente de correlación del primer conjunto de valores
6. Determinar el error estimado para la gráfica de tendencia de la Tabla 1.
HFRG y CAEM