Diseño Flexible

Diseño Flexible
Prof. Cesar de Prada
ISA-UVA
Flexibilidad
 Las condiciones de operación de un proceso suelen
ser distintas de las nominales de diseño
 El proceso diseñado debe ser operable en distintas
condiciones de funcionamiento
 Flexibilidad: La capacidad de un proceso de poder
operar en estado estacionario, cumpliendo
especificaciones, para un rango de valores de
perturbaciones, usando las variables manipulables.
 Operabilidad incluye ademas de la flexibilidad, otros
aspectos tales como controlabilidad, seguridad, etc
Indice




Ejemplo
Test de Flexibilidad
Indice de Flexibilidad
Métodos de diseño de sistemas flexibles
Ejemplo: Red de cambiadores
(Grossmann)
2 kW/K
1 kW/K
T1 = 620K
T5 =583K ± 10K
2
1
T3 = 388K
± 10K
1.5 kW/K
T4
T2
563K
T6
Qc
4
3 kW/K
350K
3
393K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Condiciones
de diseño
Incertidunbre
en T3 y T5
Qc = 75kW
nominal,
carga
ajustable
Operación
1.5 kW/K
1 kW/K
T5 =583K ± 10K
T1 = 620K
2 kW/K
1
T3 = 388K
± 10K
T4
563K
2
TC
T2
TT
T6
Qc
Incertidunbre
en T3 y T5
4
TC
3 kW/K
350K
TT
TC
TT
3
393K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Qc = 75kW
nominal,
carga
ajustable
¿Puede operar manteniendo SPs en
equilibrio si T3 y T5 cambian en ± 10K?
1 kW/K
1.5 kW/K
Test de
flexibilidad
T5 =583K ± 10K
T1 = 620K
2 kW/K
1
T3 = 388K
± 10K
T4
563K
2
TC
T2
TT
T6
Qc
Incertidunbre
en T3 y T5
4
TC
3 kW/K
350K
TT
TC
TT
3
393K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Qc = 75kW
nominal,
carga
ajustable
¿Cuál es el máximo cambio admisible
en T3 y T5 para seguir operando bien?
1 kW/K
1.5 kW/K
Indice de
flexibilidad
T5 =583K
T1 = 620K
2 kW/K
T4
1
T3 = 388K
563K
2
TC
T2
TT
T6
Qc
Incertidunbre
en T3 y T5
4
TC
3 kW/K
350K
TT
TC
TT
3
393K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Qc = 75kW
nominal,
carga
ajustable
Por simplicidad no se considerarán
detalles de válvulas, bypass, etc.
1 kW/K
1.5 kW/K
T5 =583K ± 10K
T1 = 620K
2 kW/K
1
T3 = 388K
± 10K
T4
563K
2
TC
T2
TT
T6
Qc
Incertidunbre
en T3 y T5
4
TC
3 kW/K
350K
TT
TC
TT
3
393K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Qc = 75kW
nominal,
carga
ajustable
Balances
2 kW/K
± 10K
1.5 kW/K
1 kW/K
T1 = 620K
T5 =583K ± 10K
T4
T2
563K
T6
Qc
T6 ≥ T4
T7 ≤ 323
Balances
4
1.5(620- T2) = 2(T4 -T3)
3 kW/K
350K
T2 ≥ T3
T7 ≥ 313 T6 ≥ 393
2
1
T3 = 388K
Especificaciones
3
393K
1(T5 -T6) = 2(563 -T4)
1(T6 -T7) = 3(393 -313)
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
Qc = 1.5(T2 -350)
Operación
2 kW/K
1 kW/K
T1 = 620K
T5 =583K ± 10K
2
1
T3 = 388K
± 10K
1.5 kW/K
T4
T2
Qc
T6
4
3 kW/K
350K
T8 = 313K
T7 ≤ 323K
563K
Para un valor de Qc
y de T3 y T5
quedan
determinadas las
demas
temperaturas en ss
Qc = 1.5(T2 -350)
T2
1.5(620- T2) = 2(T4 -T3)
T4
1(T5 -T6) = 2(563 -T4)
T6
1(T6 -T7) = 3(393 -313)
T7
3
393K
El problema es asegurar
que se cumplan las
restriciones para un rango
de valores de Qc, T3, T5
Region de operación
1.5(620- T2) = 2(T4 -T3)
T3 -0.666 Qc - 350 ≤ 0
1(T5 -T6) = 2(563 -T4)
-T3 – T5 +0.5 Qc + 923.5 ≤ 0
1(T6 -T7) = 3(393 -313)
-2T3 – T5 + Qc + 1144 ≤ 0
Qc = 1.5(T2 -350)
-2T3 – T5 + Qc + 1274 ≤ 0
Sustituyendo T2, T4, T6, T7 en:
T2 ≥ T3
T6 ≥ T4
T7 ≥ 313
T6 ≥ 393
T7 ≤ 323
2T3 + T5 - Qc - 1284 ≤ 0
Estas ecuaciones definen
la región de operación
factible para unos valores
de T3, T5 y Qc
Región de operación
T5
f4
f1: T3 -0.666 Qc - 350 ≤ 0
f5
f2: -T3 – T5 +0.5 Qc + 923.5 ≤ 0
f1
600
f3: -2T3 – T5 + Qc + 1144 ≤ 0
f4: -2T3 – T5 + Qc + 1274 ≤ 0
575
f5: 2T3 + T5 - Qc - 1284 ≤ 0
550
Para un valor de Qc se
pueden representar
las desigualdades
f2
f3
525
Qc =75 kW
350
375
400
425
T3
¿qué variaciones en T3 y T5 son admisibles variando Qc ?
nominal
Test de Flexibilidad
T5
Rango de variación de T3 T5
2
1
¿Cual es la máxima violación  de
las restricciones en un vértice?
P.e. Vertice 1
 = min 
583
, Qc
T3 -0.666 Qc - 350 ≤ 
3
4
-T3 – T5 +0.5 Qc + 923.5 ≤ 
-2T3 – T5 + Qc + 1144 ≤ 
388
T3
Si  es negativo en todos los
vértices, el proceso puede operar
con esas incertidumbres
-2T3 – T5 + Qc + 1274 ≤ 
2T3 + T5 - Qc - 1284 ≤ 
T3 = 338 + 10
T5 = 583 + 10
75  Qc≥0
Indice de Flexibilidad
Rango de variación de T3 T5
T5
2
1
¿Cual es la máxima desviación
admisible en una dirección? P.e.
Vertice 1
max δ
583
δ, Qc
T3 -0.666 Qc - 350 ≤ 0
3
4
-T3 – T5 +0.5 Qc + 923.5 ≤ 0
-2T3 – T5 + Qc + 1144 ≤ 0
388
El índice vendria dado por la
máxima variación admisible
en cualquier dirección
T3
-2T3 – T5 + Qc + 1274 ≤ 0
2T3 + T5 - Qc - 1284 ≤ 0
T3 = 338 + δ
T5 = 583 + δ
75  Qc≥0
δ ≥0
Indice de Flexibilidad δ
Rango de variación de T3 T5
T5
2
1
583
3
4
388
Los valores límite no siempre
se encuentran en un vértice!
T3
Vertice
δ
Res.Act.
1

2

3
1.53
f1, f2
4
2
f5, f2
La desviación admisible mas pequeña
se obtiene en el vertice 3 para δ=1.53
Análisis de flexibilidad
Modelo: h(d,x,u,)=0
g(d,x,u,)≤0
d variables de dimensionamiento
x variables del proceso (temperaturas, flujos, etc)
u variables de control
 Incertidumbres
Eliminando x: g(d,x(d,u,),u, ) = f(d,u,) ≤0
Test de flexibilidad
Test de flexibilidad: determinar si para un d dado, puede encontarse un u
(dentro de su rango admisible) tal que se cumpla f(d,u,) 0 para todo
el rango de variación de 
Para un  dado:
 (d, )  min max f j (d, u , )
u
j
 (d, )  0  operacion flexible para ese 

 (d, )  min
,u

 f (d, u , )  
Test de flexibilidad
Para todo el rango de :
(d )  max (d, )

(d )  0  operacion flexible
Si se han de analizar condiciones en cada vértice
puede haber una explosión combinatoria, y no está
asegurado que el límite esté en un vértice
Método de las restricciones
activas
(d )  max  (d, )

s.t.  (d, )  min max f j (d, u , )
u
j
or
 (d, )  min 
,u
f (d, u , )  
Problema de optimización a dos niveles. Aplicaremos las condicines de
KKK al poblema interno:
Condiciones de KKT
min J (x)
x
 x J ( x)    j  x h j ( x)    i  x g i ( x)  0
j
i
h j ( x)  0
h(x)  0
g(x)  0
g i ( x)  0
 i g i ( x)  0
i  0
Se pueden aplicar
a:
 (d, )  min 
,u
f (d, u , )  
j 1
j

j
j

f i
0
u
 j f j (d, u, )    0 j
 j  0, f j (d, u, )    0 j
Restricciones activas
 (d, )  min 
Como la solución óptima es
(d,) = , el problema puede
reformularse como uno de un
solo nivel
,u
f (d, u , )  
f i
j  j u  0
 1
 f (d, u , )    0
j
j
j
j
(d )  max 

j
 j  0, f j (d, u , )    0 j
s.t.
j 1
j
j
j
f i
0
u
 j f j (d, u , )    0 j
 j  0, f j (d, u , )    0 j
Solucion como MINLP
f j (d, u , )  s j  
(d )  max 

s.t.
f i
j  j u  0
 1
 f (d, u , )    0
j
j
j
j
j
 j  0, f j (d, u , )    0 j
Permite eliminar la ecuación noconvexa [f(d,u,)]=0
Se limita el número de
restricciones activas en función del
número de variables manipuladas
1 si f j (d, u , )    0
yj  
0 en caso contrario
s j  U (1  y j )

j  yj 
si y j  1  s j  0; 0   j  1
si y j  0  0  s j  U,  j  0
y
j
j
 dim(u )  1
Test de Flexibilidad
(d )  max 
Problema MINLP
 ,  , u ,  ,s , y
s.t.
j 1
j
j
j
f j (d, u , )  s j  
s j  U(1  y j )
j  yj
y
j
 dim(u )  1
f i
0
u
Si (d) < 0 el
sistema puede
operar de forma
estable para
variaciones de los
parámetros
m< < M
j
 j , s j  0, y j  0,1 j  m     M
Indice de Flexibilidad
Problema MINLP
F  min 
 , u ,  ,s , y
s.t.
j 1
j
j
j
f j (d, u , )  s j  0
s j  U(1  y j )
j  yj
y
j
f i
0
u
F da el rango de  en
el que sistema puede
operar de forma
factible ( = 0)
0- F < < 0+F 
 dim(u )  1
j
,  j , s j  0, y j  0,1 j 0      0  