modelización de la opinión del experto expresada en términos de

MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO EXPRESADA
EN TÉRMINOS DE VALOR PESIMISTA, MÁS VEROSÍMIL Y
OPTIMISTA. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO Y
SOLUCIONES ALTERNATIVAS AL PERT CLÁSICO
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Granada
1. INTRODUCCIÓN
La repetición de un determinado tipo de inversión en circunstancias
ambientales estables, que permitan hacer un análisis de las regularidades de
comportamiento es poco habitual. Por tanto, es difícil llevar a cabo un proceso
inferencial y evaluar, objetivamente, resultados esperados y riesgos.
No obstante, para el análisis de un proyecto de inversión, es usual la consulta
de personas que han estado inmersos en ese ambiente y que, además de sus
conocimientos técnicos, por su experiencia, tienen conocimiento acumulado y
apreciación intuitiva de dicho ambiente. Son los llamados “expertos”.
No es fácil traducir este conocimiento empírico del experto en términos de
probabilidad, valor esperado, y varianza.
En este trabajo se hace una descripción de la metodología utilizada por el
PERT clásico. Se analiza el modo de resolver la indeterminación del modelo de
probabilidad que recoge la información sobre valor pesimista más verosímil y
optimista proporcionados por el experto, y se proponen soluciones alternativas
para utilizar en la selección de proyectos de inversión con uno o varios periodos
de ejecución. Soluciones, que en términos de varianza, son más conservadoras
que la proporcionada por el PERT clásico y cuyos valores esperados poseen una
menor cota de error.
2. VALORES PESIMISTA, MÁS VEROSÍMIL Y OPTIMISTA LA FAMILIA
DE DISTRIBUCIONES BETA
Una forma bastante intuitiva y tradicional de recabar la información del
experto consiste en pedirle tres valores: pesimista, “a” y optimista, “b”, que
determinan el rango donde fluctuará la variable (flujo de caja) y m∈(a, b)
considerado por dicho experto como el más verosímil.
Índice
Índice de autores
28
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Hay un infinito no numerable de distribuciones cuya masa de probabilidad se
reparte, entera o casi entera, en el interior del intervalo (a, b) y cuya única moda
es el valor m. Por tanto, estas tres cantidades proporcionadas por el experto
dejan un altísimo grado de indeterminación sobre la distribución de
probabilidades de las variables que miden el resultado de la inversión Sasieni
(1986), Moitra(1990).
Es comúnmente aceptado que la familia tetraparamétrica de distribuciones
beta, Suárez (1993), tiene suficiente capacidad para modelizar la opinión del
experto sobre la variable flujo de caja en términos de probabilidad.
La familia de distribuciones beta tetraparamétrica, subyacente en la
metodología del PERT clásico esta definida por la siguiente función de densidad
dependiente de cuatro parámetros a, b, p>1, q>1
f ( x; a , b , p, q ) ∝ ( x − a ) p −1 (b − x )q −1
(1)
donde a y b son el valor pesimista y optimista del experto. Los parámetros p y q
serán tales que la moda de la distribución coincida con el valor m, más
verosímil, también proporcionado por el experto. Para ello han de verificar la
siguiente relación lineal, Herrerías-Pérez (1991), Palacios-Ramos (1995)
b−m
m−c
q=
p+2
(2)
m−a
m−a
siendo c el punto medio del intervalo (a, b)
Puede, por tanto encontrase una infinidad no numerable de distribuciones
Beta sobre el intervalo (a, b) y con moda m.
El valor esperado, la moda y varianza de la distribución Beta son
perfectamente conocidas. Reproducimos a continuación sus expresiones Dumas
de Rauly (1968), Canavos (1987):
( p − 1) b + ( q − 1) a
m=
(3)
p+q− 2
µ=
σ2 =
pb + qa
p+q
pq
(4)
(b − a ) 2
(5)
( p + q + 1)( p + q ) 2
Si c es el centro del intervalo (a,b) y R su radio, mediante sencillas
transformaciones en (3) y (4), Herrerías (1995), Palacios-Ramos (1995), se
puede comprobar que
p−q
m=c+
R
(6)
p+q− 2
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
µ= c +
σ2 =
p−q
R
p+q
4 pqR 2
( p + q + 1)( p + q ) 2
29
(7)
(8)
Las expresiones (6) y (7) son claves para el resto de la ponencia. Obsérvese
que de ellas pueden obtenerse las siguientes conclusiones.
p > q ⇔ c < µ< m
p = q ⇔ µ= m = c
(9)
p < q ⇔ m < µ< c
que se resumen en Min(c,m) ≤ µ ≤ Máx(c,m). Es decir el valor esperado de la
variable aleatoria con distribución Beta siempre se encuentra entre la moda y el
centro del intervalo, cualquiera que sean los valores de p > 1 y q > 1
Cuando se modeliza la opinión del experto mediante la familia de
distribuciones Beta, el valor esperado de la variable aleatoria forzosamente
ha de estar entre el centro del intervalo y la moda proporcionados por
dicho experto. Esta propiedad no es exclusiva de la familia Beta y las
soluciones alternativas que posteriormente se proponen continúan válidas
si, para modelizar la opinión del experto, la familia Beta se extiende a todas
las distribuciones con dicha propiedad.
Volviendo a observar las expresiones (6) y (7), no es difícil comprobar,
(resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales) que si se elige mediante
cualquier criterio un valor de la esperanza matemática (entre m y c), entonces se
seleccionan dos valores concretos para p y q. Como consecuencia, la varianza
adquiere el correspondiente valor. Más concretamente
( m − c) ( µ − a )
p=
(10)
( m − µ) R
q=
( m − c) (b − µ)
( m − µ) R
(11)
Resulta inmediato de (10) y (11), que
p+q = 2
m−c
m−µ
 m − c  (b − µ)(µ − a )
pq = 

R2
 m − µ
y a partir de (8), (11a) y (11b) se obtiene que
(11a)
2
(11b)
Índice
Índice de autores
30
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
(b − µ) ( µ − a )
(12)
 m −c 
2
 +1
 m − µ
Las expresiones (10), (11) y (12) también resultan interesantes si se utilizan
con precaución: Dados a, b y m≠c, si el valor µ (forzosamente comprendido
entre m y c) se hace converger hacia c, entonces (10) y (11) convergen hacia 1.
La distribución tiende hacia la uniforme en el intervalo (a, b) y la (12)
converge hacia el valor máximo
σ2 =
(b − a ) 2
(13)
12
Si por el contrario se hace que µ converja hacia m entonces p y q crecen
indefinidamente. La varianza (12) tiende a cero y la distribución tiende a
degenerarse sobre m.
En el primer caso, se manifiesta una desconfianza total hacia el valor más
verosímil dado por el experto, ya que se tiende a equiparar la verosimilitud de m
con la de cualquier otro punto del intervalo (a, b) (distribución uniforme, en el
límite). En el segundo, se manifiesta una “fe ciega” en dicho valor m, hasta
darlo como casi seguro con probabilidad 1 (distribución degenerada en el
límite).
Si un inversor o el propio experto se deciden por un valor µ entre m y c,
podría interpretarse la distancia entre c y µ (y por tanto la proximidad entre m y
µ) como una medida de la confianza que el inversor, o el propio experto tienen
en el valor m más verosímil. Cantidad que se puede hacer independiente de las
unidades de la variable aleatoria y con variación entre cero y 1. Basta con
dividir por la distancia entre c y m.
De este modo se puede definir el siguiente índice de confianza en el valor m
del experto:
µ− c
α=
(14)
m−c
En virtud de (9), 0< α<1.
Obsérvese que
µ = c + α( m − c ) = αm + (1 − α) c
(15)
2
σ =
con 0 < α < 1, si y sólo si µ está comprendido entre m y c.
De la expresión (14) resulta
m−µ
1 −α=
m−c
µ − a = c + α(m − c) − a = R + α( m − c)
(16)
(17)
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
31
b − µ = b − c − α(m − c) = R − α(m − c)
y sustituyendo en (10), (11) y (12) se obtiene
1 
m−c
p=
1 + α

1 −α
R 
q=
σ2 =
1 
m−c
1 − α

1 −α 
R 
(
1−α 2
R − α2 (m − c )2
3 −α
(18)
(19)
(20)
)
(21)
siendo evidente que
2
(22)
1−α
Si m=c, según (9) ha de ser p = q y µ = c. No hay incertidumbre en la media
pero la varianza queda indeterminada pudiendo tomar cualquier valor en el
intervalo
 (b − a )2 
 0,

(23)


12


para lo cual basta hacer que p ≡ q varíen en el intervalo (1, +∞)
p+q=
Índice
3. ARGUMENTOS DEL PERT CLÁSICO PARA LA DETERMINACIÓN DE
UN VALOR ENTRE c Y m
Hay dos ideas básicas en torno a la solución
a + 4 m + b c + 2m 2
1
µ=
=
= m+ c
(24)
6
3
3
3
dada por el PERT clásico y que está asociada con el valor α= 2/3 en (15).
La primera, consiste en suponer que el rango de la variable es
aproximadamente 6 veces la desviación típica. Hipótesis cuyo origen podemos
encontrar en el hecho de que, para cualquier variable Normal, la masa de
probabilidad contenida en el intervalo ( µ- 3 σ; µ+ 3 σ) es 0,9973.
Para cualquier otra variable, la desigualdad de Tchebycheff, Canavos (1987),
asegura que, independientemente de su distribución, la masa de probabilidad de
dicho intervalo es siempre superior a 1-1/9 = 0,8889 . De acuerdo con este
discurso
2
b − a ≅ 6σ ⇒ σ ≅
(b − a ) 2
36
(25)
Índice de autores
32
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Teniendo en cuenta (12) y (25), se puede escribir
(b − µ)( µ − a )( m − µ) (b − a ) 2
=
2( m − c) + ( m − µ)
36
(26)
Ecuación que establece una relación no lineal entre a, b, m, y µ. La
indeterminación ha desaparecido puesto que sólo existe un valor de µ, entre c y
m que cumpla la igualdad (26). Sin embargo resolver en µ dicha expresión es
incómodo, y lo era mucho más en los años 50, cuando nació el PERT.
La segunda idea, Littlefield-Randdolph (1987) fue tratar de aproximar la
ecuación cúbica en µ, (a la que se llega en cuanto se intenta resolver (26))
mediante una función lineal y suponer que, a efectos prácticos, los valores de µ
asociados con a, b y m mediante (26) podrían aproximarse satisfactoriamente
utilizando una expresión de la forma
µ = k1a + k2 m + k3b
(27)
Es muy sencillo imaginar de donde surge esta idea si se supone el caso
particular de a=0, b=1 y se encuentran algunos pares de valores que verifican
(26).
Si se representan estos pares en un plano cartesiano se obtiene (ver gráfico 1)
una nube de puntos que insinúa una línea con débil curvatura, aproximable de
forma satisfactoria mediante una recta.
Índice
Media en función de la moda
varianza=1/36
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
y = 0,676x + 0,1598
R2 = 0,9976
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Gráfico 1
Si se hace la experiencia de construir una muestra de valores a, b, m y µ que
cumplan la relación (26) y se ajusta un modelo lineal por el método de mínimos
cuadrados ordinarios, se encontrarán situaciones similares a la que a
continuación se describe. Para una muestra de tamaño n=205 cuádruplas de
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
33
valores a, b, m y µ, resultó un valor de R2 = 0’999995 y un modelo ajustado que
fue
µ = 0,162840 a + 0 ,678613 m + 0,158728 b − 0 ,029339
(28)
La muestra se obtuvo de la siguiente forma “a” varía desde 1 a 205, “b” es el
correspondiente “a” más un número aleatorio uniforme U(0,20), m un valor
aleatorio uniforme U(a, b) y µ es el que satisface la relación (26).
Los coeficientes de a, b y m, en el modelo ajustado, son muy significativos
(nivel de significación inferior a 10-100 ) y la constante no es significativamente
distinta de cero. El ajuste de un modelo sin constante dio estimaciones de los
parámetros muy similares.
Si reparamos en el hecho de que 1/6 ≅ 0,166667 y 4/6 ≅ 0,666667 podemos
concluir que una forma muy operativa y práctica del anterior modelo lineal es la
famosa expresión del PERT clásico recogida en (24).
En definitiva podemos afirmar que la solución PERT se obtiene imponiendo
a la varianza la siguiente condición adicional, Suárez (1993)
(b − a ) 2
(29)
36
A partir de (19) y (20), para α=2/3, pueden obtenerse los valores de p y q de
la distribución Beta cuyo valor esperado es (24). Estos son
2( m − c)
p =3+
(30)
R
2 (m − c)
q =3−
(31)
R
verificándose que
p + q = 6 ∀a, b, ma < m < b
(32)
2
σ ≅
El valor exacto de la varianza (que deberá estar próximo a (29)) se obtiene de
forma inmediata sustituyendo α=2/3 en la expresión (21); es decir
1
4
2
σ2 =  R 2 − (m − c ) 
(33)
7
9

En el gráfico 2 se muestra la varianza, según (33), en función de m para el
caso a=0, b=1
Por otra parte, si se impone que la varianza es exactamente (b-a) 2 /36 y se
utilizan las expresiones (5) y (32), Grubs (1962), Herrerías (1989) se obtiene
p =3± 2
(34)
q =3m 2
(35)
pero la moda de la distribución Beta con estos parámetros, según (6), es
Índice
Índice de autores
34
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
m* = c ±
R
2
(36)
Valor que raramente coincidirá con el propuesto por el experto. Un sencillo
cálculo con un ejemplo cualquiera de algún manual puede confirmar la
aseveración.
En Herrerías-Palacios-Pérez (1993) y (1994) se encuentran varios test
estadísticos para contrastar la hipótesis nula H0 : El experto sitúa sus modas
según el patrón (36) pero añadiendo una perturbación aleatoria de media cero
que hace que los valores más verosímiles no coincidan con (36), pero sí oscilen
a su alrededor. La hipótesis nula fue rechazada sobre el ejemplo seleccionado.
De forma análoga, a partir de (7) se obtiene
µ* = c ±
2
R
3
(36a)
De (36) y (36a) resulta
(
)
2 *
2 * 1
a + 4m * + b
m −c = m + c=
(36b)
3
3
3
6
Expresión que formalmente coincide con (24), pero que numéricamente no
ha de ser así ya que el experto, difícilmente hará coincidir siempre m y m*
*
µ =c+
Índice
4. OTROS ARGUMENTOS PARA SELECCIONAR UN PUNTO ENTRE m
Y c: SOLUCIONES ALTERNATIVAS AL PERT CLÁSICO
El criterio para determinar el valor esperado entre m y c que utiliza el PERT
clásico ha sido bastante criticado. En problemas de selección de proyectos de
inversión, se ha tildado de excesivamente optimista Suárez (1993). No obstante
los resultados espectaculares que produjo desde su comienzo le han dado una
gran popularidad y aceptación general, aunque no faltan las críticas de algunos
investigadores como Perry-Greig (1975), Sasieni (1986), Golenko- Ginzburg
(1988), Herrerías (1989), Berny (1989),Trutt (1989), Moitra (1990), Chae y
Kim (1990), Herrerías y Pérez (1991), Keefer-Verdini (1993), Pérez (1995),
Herrerías (1995), Palacios-Ramos (1995).
Para encontrar soluciones alternativas se han seguido tres vías distintas:
A) Proporcionar otras argumentaciones lógicas distintas al PERT clásico para
escoger un valor esperado en el intervalo de extremos m y c, Herrerías
(1995), Palacios-Ramos (1995).
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
35
B) Buscar alguna forma de recabar información adicional del experto que
permita eliminar o reducir la incertidumbre dentro del intervalo de extremos
m y c. Moitra (1990), Chae y Kim (1990) Pérez Rodríguez (1995).
C) Utilizar modelos de probabilidad alternativos a la familia Beta que permitan
una mejor determinación del valor esperado a partir de a,b y m. GolenkoGinzburg (1988), Herrerías (1989) Berny (1989).
El resto de este trabajo trata fundamentalmente del apartado 1 y algún
aspecto del apartado 2, en la medida en que puede entroncarse y relacionarse
con el anterior.
4.1 UNA ALTERNATIVA EN PROYECTOS CON UN SOLO PERIODO DE
EJECUCIÓN
El flujo de caja se modeliza como una variable aleatoria Beta sobre el
intervalo (a, b) y cuya moda es m. El valor esperado de la variable aleatoria se
encuentra en el intervalo de extremos c y m. Puesto que no hay información
adicional, la solución más racional, Herrerías (1995), es escoger el punto
central. Es decir
c + m a + b + 2m
µ=
=
(37)
2
2
Esta solución, ver (15), se corresponde con un valor α=1/2. En este caso, el
máximo error posible, al traducir la opinión del experto en un valor esperado, es
1
e = c−m
(38)
2
Cualquier otro punto dentro del intervalo de extremos c y m tiene una cota de
error superior a (38). Concretamente la cota de error asociada a la solución
PERT es
2
*
e = c−m
(39)
3
Por otra parte, en virtud de (19), (20), y (21), para α=1/2 se obtiene
m −c
p = 2+
(40)
R
m−c
q=2−
(41)
R
1
1
2
σ 2 =  R 2 − (m − c ) 
(42)
5
4

verificándose que
p + q = 4∀a, b, ma < m < b
(43)
Índice
Índice de autores
36
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Si se comparan (33) y (42) se comprueba inmediatamente que la varianza de
la solución alternativa es, en todo caso, superior a la de la solución PERT . La
solución alternativa es más conservadora, tal y como viene reclamándose en la
literatura especializada Suárez (1993).
El gráfico 2 muestra, en función de m, la varianza PERT obtenida en (33) y
la varianza (42) de la solución alternativa. Se ha supuesto a=0 y b=1.
Varianza de las soluciones PERT y Alternativa
0,1
0,08
V. Pert
0,06
V. Alt.
0,04
1/36
0,02
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
m
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Índice
Gráfico 2
4.2 UNA ALTERNATIVA EN PROYECTOS DE INVERSIÓN CON
VARIOS PERIODOS DE EJECUCIÓN
En cada periodo tenemos un flujo de caja Qt , que es una variable aleatoria
con distribución Beta de la que sólo conocemos la información recabada a un
experto en forma de valor pesimista at , más verosímil mt , y optimista b t
.Suponemos que la inversión se desarrolla en t=0,1,2 ....n periodos. El valor
capital, VC, de la inversión, Suárez (1993), también es una variable aleatoria,
cuya esperanza matemática hay que calcular.
De igual forma que en el anterior epígrafe, representaremos mediante
a + bt
ct = t
(44)
2
b − at
Rt = t
(45)
2
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
37
al centro y radio de cada intervalo (a t , b t ) en cada periodo t=0,1,2...n. En virtud
de (6) y (7), se verifica que
Mín(ct , mt ) < E[Qt ] < Max(ct , mt )
(46)
Dado que el operador esperanza matemática es lineal, se puede escribir
n
E[Qt ]
E [VC ] =
t
t =0 (1 + r )
Teniendo en cuenta (46) y (47) se obtiene la desigualdad siguiente
n
n
Min(ct , m t )
Max( ct , m t )
<
E
[
VC
]
<
t
(1 + r )
(1 + r )t
t =0
t =0
Considérense los siguientes conjuntos
N = {0 ,1, 2 ...... n}
∑
∑
∑
I = {t ∈ N / ct < m t }
(47)
(48)
(49)
(50)
J = {t ∈ N / mt < ct }
(51)
K = {t ∈ N / ct = m t }
(52)
Si d t = mt − c t , no resulta difícil comprobar que

ct ∀ t ∈ I

Min( ct , mt ) =  mt ≡ ct − d t ∀t ∈ J

ct ∀t ∈ K

(53)
y de forma análoga
 m t ≡ ct + d t ∀t ∈ I

Max(c t , m t ) = 
c t ∀t ∈ J

ct ∀ t ∈ K

Como consecuencia inmediata se verifica
n
Min(c t , mt )
dt
= CN −
t
t
(1 + r )
t =0
t ∈J (1 + r )
∑
n
∑
Max(c , mt )
∑ (1+ rt )t
t =0
= CN +
∑ (1 + tr )t
d
(54)
(55)
(56)
t ∈I
donde
CN =
n
ct
∑ (1 + r ) t
t=0
Sustituyendo (55) y (56) en (48), se obtiene la desigualdad siguiente
(57)
Índice
Índice de autores
38
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
CN −
∑ (1+ tr )t
d
< E[VC ] < CN +
t ∈J
∑ (1 + tr )t
d
(58)
t ∈I
Si la opinión del experto se modeliza mediante distribuciones Beta con p>1 y
q>1, el mayor grado de determinación que puede obtenerse de E[VC], es la
expresión (58). Si hay que seleccionar un punto dentro de este intervalo, sin
información adicional, el más adecuado es su centro por ser el que posee la
menor cota de error que puede cometerse al traducir la opinión del experto en
términos de esperanza matemática del valor capital de la inversión.
Esta solución alternativa se puede escribir de la siguiente forma
1
dt
d t 
E A LT [VC ] = CN + 
−
(59)
t

2  t ∈ I (1 + r ) t∈ J (1 + r )t 
y la cota de error que le corresponde (considerando que d t = 0 ∀t ∈ K) puede
expresarse como sigue
dt
1 n
e=
(60)
2 t =0 (1 + r ) t
Por otra parte, en virtud de (15), se puede escribir
2
E PERT [Qt ] = ct + (mt − ct )∀t ∈ N
(61)
3
Como consecuencia se tiene que

2
c t + 3 d t ∀t ∈ I

2
E PERT [Q t ] = c t − d t ∀ t ∈ J
(62)
3

 ct ∀ t ∈ K

y por tanto
2
dt
d t 
EPERT [VC ] = CN + 
−
(63)
t
3  t∈ I (1 + r ) t ∈ J (1 + r )t 
Solución que tiene asociada una cota de error
∑
∑
∑
∑
e* =
2 n
dt
∑
3 t = 0 ( 1 + r) t
∑
(64)
evidentemente mayor que (60)
Por otra parte, si en cada periodo t ∈I ∪ J se determina un valor 0<αt <1, de
forma que, según (15) se verifique
E [Qt ] = αt m t + (1 − αt )ct = ct + αt (m t − ct )
(65)
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
39
entonces se tiene que

dt
d t 
E [VC ] = CN +  αt
−
αt
(66)
t
t

 t∈ I (1 + r ) t ∈J (1 + r ) 
Obsérvese que si ∀t=0,1....n se escoge un αt = 2/3, constante, se obtiene la
solución PERT mientras que si se toma αt =1/2, también constante, se obtiene la
solución alternativa.
Bajo la hipótesis de incorrelación de las variables en los distintos periodos y
suponiendo K=Φ, la varianza es
∑
n
σ2 =
∑ (1 + r )
1
2t
t =0
∑
(
1 − αt 2
Rt − αt2 ( mt − ct ) 2
3 − αt
)
(66a)
Particularizando para αt = 2/3, constante ∀t=0,1....n se obtiene
2
σPERT =
1
7
n
∑ (1 + r )
t =0
1
2t
 2 4
2
 Rt − ( mt − ct ) 
9


(66b)
Para αt = 1/2, constante ∀t=0,1....n se obtiene
n
2
σ ALT . =
1
1
 2 1
2
 Rt − ( mt − ct ) 
5 t =0 (1 + r )2 t 
4

∑
(66c)
Índice
La varianza es mayor para la solución alternativa y desde esta perspectiva es
una solución más conservadora que la dada por la metodología PERT.
La solución alternativa puede alcanzarse con juegos de valores distintos al de
αt = 1 2 constante ∀t=0,1....n. En lo que respecta a la solución PERT, por
definición está asociada al valor αt = 2/3, constante ∀t=0,1....n. Pero sin
embargo también puede llegarse a ella con otros juegos de valores de αt ,
t=0,1....n.
En efecto resulta evidente, al igualar (63) y (66) que
dt
dt
2
dt
d t 
αt
−
αt
= 
−
(67)
t
t
t
(1 + r ) t∈J (1 + r ) 3  t∈I (1 + r ) t∈ J (1 + r )t 
t ∈I
Expresión que podemos transformar en
rr
D. A = 0
(68)
∑
∑
∑
∑
r
llamando D al vector de componentes
 d
  − dt
t
 ,

t 
t
 (1 + r ) t ∈I  (1 + r )
r
y llamando A al vector de componentes



t ∈J



(69)
Índice de autores
40
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ

2 
2 
(70)
αt −  ,  αt −  
3 t ∈ I 
3 t ∈J 

Dado el vector (69) fijo, correspondiente a una aplicación concreta, la
ecuación (68) define un hiperplano vectorial que evidentemente contiene
vectores distintos del vector cero, que es el que se corresponde con αt = 2/3,
constante, ∀t=0,1....n (ver (70)). Pueden encontrase ejemplos en los que dicho
hiperplano tiene intersección no vacía con el Hipercubo (2/3, 5/3)s (s=card(I ∪
J) ) donde (70) cumple la condición 0<αt <1, ∀t=0,1....n.
De forma totalmente similar podemos razonar para la solución alternativa, sin
más que igualar (59) y (66).
En el apéndice pueden verse tres ejemplos a los que se aplica la solución
PERT y la solución alternativa. En el ejemplo 1 el experto sitúa todos los
valores mt por encima de los centros ct de los intervalos (a t , bt ). En el gráfico 3,
correspondiente a este ejemplo puede apreciarse cómo los valores esperados
actualizados de los flujos en cada periodo, se sitúan de forma sistemática, más
cerca de mt en el caso del PERT. Como consecuencia la solución PERT
proporciona un valor capital esperado más alto que la solución alternativa. En el
ejemplo 2 el experto sitúa los valores mt siempre por debajo de los centros ct . El
PERT sitúa los valores esperados actualizados de los flujos de caja (ver gráfico
4) también sistemáticamente más cerca de los mt que la solución alternativa, y
en este caso, todos los flujos de caja y el valor capital esperado son inferiores
para la solución PERT.
En el ejemplo 3, se alternan las posiciones relativas de mt y ct las trayectorias
definidas por los valores esperados de los flujos de caja actualizados, de ambas
soluciones, se cruzan (ver gráfico 5).
Los valores capitales esperados de ambas soluciones están más próximos que
en los ejemplos anteriores. En cualquier situación la solución PERT asigna
mayor grado de confianza a los mt proporcionados por el experto que la solución
alternativa y las contingencias mostradas en los tres ejemplos del apéndice son
exclusivamente debidas al comportamiento del experto. Recomendamos se
observen, en los citados ejemplos, los límites entre los que, en cualquier caso
según la información del experto, estará el valor capital actualizado esperado de
la inversión. Límites que se definieron en (48) y que en los ejemplos se
encuentran en la columna de totales marcados con un “*” a su derecha. También
puede verse en los tres ejemplos el rango de la variable aleatoria valor capital
actualizado (extremos marcados con “**”) que permite obtener una percepción
bastante intuitiva de los riesgos de la inversión, según el experto. Por razones de
claridad se ha eliminado el periodo t=0 en los gráficos.
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
41
5. UNA SOLUCIÓN ALTERNATIVA OBTENIDA CON INFORMACIÓN
COMPLEMENTARIA DEL EXPERTO
El significado de α definido en (14) puede servir como herramienta
valiosísima para obtener información adicional del experto. Es difícil pedir al
experto que se pronuncie sobre su propio grado de confianza en el valor m. Pero
podemos replicar la metodología seguida hasta ahora para solventar la cuestión.
Modelizaremos el conocimiento del experto sobre su propio índice de confianza
en el valor m, como una variable aleatoria α, que necesariamente fluctúa en el
intervalo (0,1) y con distribución Beta, cuyo valor a su vez más verosímil αe
será proporcionado por él mismo. Para ello se explicará al experto que debe
proporcionar una cantidad adicional, comprendida entre 0 y 1, advirtiéndole que
cero representa una total desconfianza hacia m, hasta el extremo de considerarlo
igualmente verosímil que cualquier otro punto del intervalo (a, b). Por el
contrario se le pondrá bien claro que 1 significa la seguridad total en el valor m,
hasta el punto de considerarlo como la observación que, en su momento será
realidad.
Aplicando el criterio establecido en el epígrafe 4.1, el punto medio del
intervalo de extremos 0,5 y αe será utilizado como valor esperado de α que, a su
vez, servirá para determinar µ según (15).
De acuerdo con esto, el experto proporcionaría 4 valores a, b, m y αe y la
solución para el valor esperado del flujo de caja sería
µ = α0 m + (1 − α0 ) c
(71)
donde
0, 5 + αe
(72)
2
a+b
c=
(73)
2
En el caso de varios periodos de ejecución, se calcula α0,t ∀t=0,1....n y
utilizando (66) se obtiene el valor capital, actualizado, esperado por el experto.
α0 =
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FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
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la mencionada Reunión, páginas 89-110. (Servicio de Publicaciones de la Universidad
de Almería ).
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
APÉNDICE.
43
Ejemplo 1
Valores sin actualizar
t
at
mt
bt
ct
Rt
Min(mt,ct)
Max(mt,ct)
0
-48.000,0
-45.000,0
-22.000,0
-35.000,0
13.000,0
-45.000,0
-35.000,0
1
20.000,0
45.000,0
50.000,0
35.000,0
15.000,0
35.000,0
45.000,0
2
15.000,0
48.000,0
53.000,0
34.000,0
19.000,0
34.000,0
48.000,0
3
12.000,0
48.000,0
54.000,0
33.000,0
21.000,0
33.000,0
48.000,0
4
8.000,0
45.000,0
50.000,0
29.000,0
21.000,0
29.000,0
45.000,0
5
7.000,0
46.000,0
53.000,0
30.000,0
23.000,0
30.000,0
46.000,0
Media Pert
Media Alt.
-41.666,7
-40.000,0
41.666,7
40.000,0
43.333,3
41.000,0
43.000,0
40.500,0
39.666,7
37.000,0
40.666,7
38.000,0
Valores actualizados con una tasa r=0,07
T
0
At
-48.000,0
Mt
-45.000,0
Bt
-22.000,0
Ct
-35.000,0
Rt
13.000,0
Min(mt,ct) -45.000,0
Max(mt,ct -35.000,0
1
18.691,6
42.056,1
46.729,0
32.710,3
14.018,7
32.710,3
42.056,1
2
13.101,6
41.925,1
46.292,3
29.696,9
16.595,3
29.696,9
41.925,1
3
9.795,6
39.182,3
44.080,1
26.937,8
17.142,3
26.937,8
39.182,3
4
6.103,2
34.330,3
38.144,8
22.124,0
16.020,8
22.124,0
34.330,3
5
Total
4.990,9 4.682,8 **
32.797,4 145.291,1
37.788,3 191.034,3 **
21.389,6 97.858,6
16.398,7 93.175,8
21.389,6 87.858,6 *
32.797,4 155.291,1 *
Med Pert -41.666,7 38.940,8 37.849,0 35.100,8 30.261,5 28.994,8
Media Alt. -40.000,0 37.383,2 35.811,0 33.060,1 28.227,1 27.093,5
129.480,2
121.574,8
Ejemplo 1
50000
45000
40000
35000
at
30000
bt
25000
Min(mt,ct)
Max( mt,ct)
20000
Media Pert
15000
Media Alt.
10000
5000
0
0
1
2
3
Gráfico 3
4
5
Índice
Índice de autores
44
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Ejemplo 2
Valores sin actualizar
t
at
mt
bt
ct
Rt
Min(mt,ct)
Max(mt,ct)
0
-48.000,0
-23.000,0
-22.000,0
-35.000,0
13.000,0
-35.000,0
-23.000,0
1
20.000,0
25.000,0
50.000,0
35.000,0
15.000,0
25.000,0
35.000,0
2
15.000,0
19.000,0
53.000,0
34.000,0
19.000,0
19.000,0
34.000,0
3
12.000,0
16.000,0
54.000,0
33.000,0
21.000,0
16.000,0
33.000,0
4
8.000,0
12.000,0
50.000,0
29.000,0
21.000,0
12.000,0
29.000,0
5
7.000,0
11.000,0
53.000,0
30.000,0
23.000,0
11.000,0
30.000,0
Media Pert
Media Alt.
-27.000,0
-29.000,0
28.333,3
30.000,0
24.000,0
26.500,0
21.666,7
24.500,0
17.666,7
20.500,0
17.333,3
20.500,0
T
at
mt
bt
ct
Rt
Min(mt,ct)
M ax(mt,ct
0
Valores actualizados con una tasa r=0,07
1
2
3
4
5
Total
-48.000 18.691,59 13.101,58 9.795,57 6.103,16 4.990,90 4.682,81 **
-23.000 23.364,49 16.595,34 13.060,77 9.154,74 7.842,85
47.018,18
-22.000 46.728,97 46.292,25 44.080,09 38.144,76 37.788,27 191.034,34 **
-35.000 32.710,28 29.696,92 26.937,83 22.123,96 21.389,59
97.858,57
13.000
93.175,76
14.018,69 16.595,34 17.142,26 16.020,80 16.398,68
-35.000 23.364,49 16.595,34 13.060,77 9.154,74 7.842,85 35.018,18 *
-23.000 32.710,28 29.696,92 26.937,83 22.123,96 21.389,59 109.858,57 *
Med Pert -27.000 26.479,75 20.962,53 17.686,45 13.477,82 12.358,43
Media Alt. -29.000 28.037,38 23.146,13 19.999,30 15.639,35 14.616,22
63.964,98
72.438,38
Ejemplo 2
50000
45000
40000
35000
at
30000
bt
25000
Min( mt,ct)
Max( mt,ct)
20000
Media Pert
15000
Media Alt.
10000
5000
0
0
1
2
3
Gráfico 4
4
5
Índice
Índice de autores
MODELIZACIÓN DE LA OPINIÓN DEL EXPERTO ...
45
Ejemplo 3
Valores sin actualizar
t
at
mt
bt
ct
Rt
Min(mt,ct)
Max(mt,ct
0
-48.000,0
-45.000,0
-22.000,0
-35.000,0
13.000,0
-45.000,0
-35.000,0
1
20.000,0
25.000,0
50.000,0
35.000,0
15.000,0
25.000,0
35.000,0
2
15.000,0
42.000,0
53.000,0
34.000,0
19.000,0
34.000,0
42.000,0
3
12.000,0
22.000,0
54.000,0
33.000,0
21.000,0
22.000,0
33.000,0
4
8.000,0
45.000,0
50.000,0
29.000,0
21.000,0
29.000,0
45.000,0
5
7.000,0
12.000,0
53.000,0
30.000,0
23.000,0
12.000,0
30.000,0
Med Pert -41.666,7 28.333,3 39.333,3 25.666,7 39.666,7 18.000,0
Media Alt. -40.000,00 30.000,00 38.000,00 27.500,00 37.000,00 21.000,00
Valores actualizados con una tasa r=0,07
t
0
at
-48.000,0
mt
-45.000,0
bt
-22.000,0
ct
-35.000,0
Rt
13.000,0
Min(mt,ct) -45.000,0
Max(mt,ct -35.000,0
1
18.691,6
23.364,5
46.729,0
32.710,3
14.018,7
23.364,5
32.710,3
2
13.101,6
36.684,4
46.292,3
29.696,9
16.595,3
29.696,9
36.684,4
3
9.795,6
17.958,6
44.080,1
26.937,8
17.142,3
17.958,6
26.937,8
4
6.103,2
34.330,3
38.144,8
22.124,0
16.020,8
22.124,0
34.330,3
5
4.990,9
8.555,8
37.788,3
21.389,6
16.398,7
8.555,8
21.389,6
Total
4.682,8 **
75.893,6
191.034,3 **
97.858,6
93.175,8
56.699,8 *
117.052,4 *
Med Pert -41.666,7 26.479,8 34.355,3 20.951,6 30.261,5 12.833,8
Media Alt. -40.000,0 28.037,4 33.190,7 22.448,2 28.227,1 14.972,7
83.215,2
86.876,1
Ejemplo 3
5000
0
4500
0
4000
0
3500
0
3000
0
2500
0
2000
0
1500
0
1000
0
5000
at
bt
Min(m t,ct)
M a xm t,ct)
(
Media
Pert
Media
Alt.
0
0
1
2
3
Gráfico 5
4
5
Índice
Índice de autores