Nota sobre muestreo estratificado

y
ESTADISTICA ESPANOLA
núm. 1 14, 1987, págs. 1 79 a 182
Nota sobre muestreo estratificado
por
MARIANO RUIZ ESPEJO
Universidad Autónoma de Madrid
RESUMEN
De entre todas las afijaciones muestrales presentadas hasta ahora solo las
proporcional, minimal, iguai, fijada y equiprecisional resultan ser (bajo
estratificación óptima en el sentido dado por Delenius, 1957) más precisas
que la estrategia ( m.a.s., z), cuando z es la media rnuestral. Estas relaciones
son casas especiales de las ecuaciones R(^.^, ^^,) < R(^u, .x}, donde R es la
función de riesgo con pérdida cuadrática. En este articulo justificamos la
relación R(,u, µs,) < EP R(1cc, ^c,,) válida para toda estratificación, toda
afijación y toda función de pérdida L(9,a) convexa en a.
Palabras clave: afijación muestral, estratificación, función de riesgo.
l.
INTRODLJCCION Y NOTACIONES
Sea una población infinita representada por su función de densidad .J^x), a< x< f
dividida en L estratos de tamaños relativos
Ph = Yh .Í^^d^
(h - 1,2,...,L)
-rh-1
y deseamos estimar la media poblacional
^- ^ Ph^h
h=1
^óo
donde ^
E.s"1"r1[)ItiTIt.^A f:SPAÑnI"r^
1
_ _„ ^^.1'
^h Ph
^1(^)c,^^
(h - 1,2,...,L)
'h- 1
es la media del estrato h con recorrido _xh_! < x< .^:^,, con a=.x„ y h=.^^..
C7alenius ( 1957) demosiró que si la afijacián usada es la proporcional (nh « Ph) o la
minimal ( nh o^ Ph Qti), siendo
- `'
ar
P 1 ^ h ^'.I^^}^^ l^h
h =
^h•1
h
( h -- 1 , 2 ,. . ., L )
y Ruiz ( 1985) con 1a equiprecisional (nh ^ o';',) y obviamente con la igual (nh =
constante), se verifica que la varianza del estimador
,.
L
^,^ _
^ Ph ^h
„
h=1
bajo estratif cacián óptima (es decir minimizando en los puntos de estratificacián .ti/,, h=
1,2,...,L-1) es
L
V^s ^ } _
^
h=1
Ph V ^h} G ^(^}
siendo
^h
^ Xn^
^h - '-1
n^^
n
r^ n = ^ nh
l, =1
^ X;
y .Y = ^_^
n
.
Si estratificamos de manera que Ph = nh/n, la afijacián predeterminada o fijada (nl,
están dados previamente), es también proporcional y entonces por el resultado dicho de
Dalenius (1957),
^r^^.^1) ' ^^rcr^^V^.st) ^ ^^ ^cr^l.Y) .
Las observaciones ( X^,^,...,X^,,,^r) se obtienen mediante muestreo aleatorio simple (jf^as)
dentro del estrato h con .v/,_, G Xh; < a,, para todo i= 1,2,...,n,, y las observaciones
(X,,...,X„) son una muestra aleatoria simple de la población con a < X; < h para todo
i = 1,2,...,n.
Las varianzas son
_
^
^
v(,c^,.,) = E[(^.,, - ^)] = E[L(^^, ^^.,^)] = R(^^, ^1.,^>
U4u/^ } = E[I-C^h - µh)^J = E[r--^^l,, ^^f^)J = R4<<h, ,c^lr)
y
V(_v) -- E [ (.^ - ^t}`'] - E [L(^c, .^)J = it(^t, .i)
NOTA S(aHRE MI.^kSTRE.O ES^TR^^ ^ ^TIFIC^4DO
181
siendo L(H,u) _((I - a)`'. Esto es,
R(^, ^1.,,) =
^_
^
P^, R (^h, ^ h ) ^_ R(,u, .^)
h-/
desigualdad que no siempre es cierta para otras afijaciones.
2.
UNA PROPIEDAD EN MUESTRECJ ESTRATIFICADO
Si consideramos las funciones L(f^,a) convexas en a, tenemos el siguiente
Tevrerna 1. Si L(H,a) es convexa en a, nl, > 0 arbitrarios con la condición
L
^ nl, = n
h=l
y ,^h estimadores arbitrarios, entonces
R(^^ ^s^) < Ep RU^^ ^I1) b!1, ^d Ph > 0/
^ Ph =
Demostración.
,^
L(^^ ^,1) = L(,^^
L
L
^
Ph ,^Ir) c S P^r L(^, ^fr) = E^ L(^, ,^^^r)
h=1
h=I
Aplicando la desigualdad de Jensen. Tomando esperanzas tene^nos
R(,^^ ^,^) = E L(^, ^.,^) < E EP L(^, ^h)
(1)
y aplicando el teorema de Fubini
_
,.
^
E EP L(^.^, ^h) = EP E L(^u, ,uh) = EP R{^.1, µh)
De (1) y (2) tenemos
^
,^
R(^1, ^^,) < EP R(,u, ,uh) .
Corolaric^ 1. Si L(f^,a} =(f^ - a}`', tenernos
_
ECM(^^, ,u,^) c
L
_
^ Pl, ECM(^.i, ^j,) .
h=l
Estos resultados son válidos también para poblaciones finitas.
(2)
ESTA[)ISTIC:'A ESPAÑOLA
182
BIBLIQGRAFIA
COCHRAN, W. G. { 1977): Sumplinx techniques (3rd. edition). Wiley. New York.
DALENIUS, T. (1957): SarrrplinR in Sweden. Almqvist and Wiksell. Stockholm.
Rulz, M. (1985): Equiprecisional allocation and optimum stratification. Statistics 16, 559-Sb2.
SUMMARY
A NOTE ON STRATIFIED SAM.PLING
©f all the sampling allocations presented up till now only the proportional, rninimal, equal, fixed and equiprecisional show thenselves to be
more precise under optimum stratification (of Dalenius, 1957) than the
strategy {s.r.s.,_^, when x is the sample mean. These relations are special
cases of the equations R(^, µ^.l) c R(,u,x) where R is the cisk function with
..
^
quadratic [oss. In this article we justify the relation R(^u, ^c,,) < EP R(,u, ,ut,}
valid for all stratificatian, all allocation and all loss function L(B,a) convex
in ,a.
Key r^^ords: sampling allocation, stratificatian, risk function.
AMS 1980. Subject classificatian: 62D05.