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Buscando raíces
Suponga que f : ℜ → ℜ es una función continua. Una raíz de f es una solución a la
ecuación f ( x ) = 0 , Es decir, una raíz es un número a ∈ ℜ tal que f (a ) = 0 . Si se
observa el gráfico de la función, digamos y = f ( x ) , una solución de f ( x ) = 0 es la
coordenada horizontal del punto en el que el gráfico cruza el eje x .
Iteración de punto fijo
Sea g : ℜ → ℜ una función continua. Un punto fijo de g es un número a tal que
g (a ) = a . Es decir, a es la solución de la ecuación g ( x ) = x . Gráficamente, un punto
fijo es aquel en el la gráfica de la función y = g ( x ) cruza la línea y = x .
El método de punto fijo es un método iterativo para resolver g ( x ) = x . Este método
genera una secuencia de puntos x0 , x1 , x 2 , … que, se espera, converja a cierto punto a
tal que g (a ) = a . Usando el valor inicial x0 se genera el siguiente usando x1 = g ( x0 ) y
así sucesivamente. Esto nos lleva a la siguiente relación de recurrencia de primer orden:
Método de punto fijo
x n +1 = g ( x n )
puntofijo <- function(func, x0, tol = 1e-9, max.iter = 100) {
tabla <- data.frame(matrix(0, max.iter, 2))
names(tabla) <- c("xn", "xn1")
xn <- x0
xn1 <- func(xn)
iter <- 1
tabla[1,] <- c(xn, xn1)
while ((abs(xn1-xn) > tol) && (iter < max.iter)) {
xn <- xn1;
xn1 <- func(xn);
iter <- iter + 1
tabla[iter,] <- c(xn, xn1)
}
print(tabla[-((iter + 1):max.iter),])
if (abs(xn1-xn) > tol) {
cat("El algoritmo no converge\n")
} else {
cat("El algoritmo converge, la raíz es:", xn1, "\n")
}
}
func <- function(x) return(exp(exp(-x)))
Ejemplo 12: Hallar la raíz de f ( x ) = log( x ) − exp(− x ) .
•
Si x = exp(exp(− x )) = g1 ( x)
> func <- function(x) return(exp(exp(-x)))
> puntofijo(func, x0=2, tol = 1e-6, max.iter = 100)
xn
xn1
1 2.000000 1.144921
2 1.144921 1.374719
3 1.374719 1.287768
4 1.287768 1.317697
5 1.317697 1.307022
6 1.307022 1.310783
7 1.310783 1.309452
8 1.309452 1.309922
9 1.309922 1.309756
10 1.309756 1.309815
11 1.309815 1.309794
12 1.309794 1.309802
13 1.309802 1.309799
14 1.309799 1.309800
El algoritmo converge, la raíz es: 1.309800
•
Si x = x + log( x ) − exp(− x ) = g 2 ( x)
> func <- function(x) return(x+log(x)-exp(-x))
> puntofijo(func, x0=2, tol = 1e-6, max.iter = 20)
xn
xn1
1
2.000000 2.557812
2
2.557812 3.419490
3
3.419490 4.616252
4
4.616252 6.135946
5
6.135946 7.947946
6
7.947946 10.020506
7 10.020506 12.325096
8 12.325096 14.836729
9 14.836729 17.533834
10 17.533834 20.397966
11 20.397966 23.413402
12 23.413402 26.566710
13 26.566710 29.846369
14 29.846369 33.242432
15 33.242432 36.746259
16 36.746259 40.350296
17 40.350296 44.047895
18 44.047895 47.833172
19 47.833172 51.700891
El algoritmo no converge
•
Si x = x − log( x ) + exp(− x ) = g 3 ( x)
> func <- function(x) return(x-log(x)+exp(-x))
> puntofijo(func, x0=2, tol = 1e-6, max.iter = 100)
xn
xn1
1 2.000000 1.442188
2 1.442188 1.312437
3 1.312437 1.309715
4 1.309715 1.309802
5 1.309802 1.309799
6 1.309799 1.309800
El algoritmo converge, la raíz es: 1.309800
El método de Newton – Raphson
Suponga que la función f es diferenciable con derivada continua f / y una raíz a . Si
x0 ∈ ℜ entonces la recta que pasa por el punto ( x0 , f ( x0 )) con pendiente f / ( x0 ) es la
mejor aproximación lineal a la función f ( x ) en el punto x0 . La ecuación de esta recta
esta dada por
f
/
(x0 ) = f (x0 ) − y
x0 − x
Luego esta recta cruza el eje x en el punto x1 , el cual debería ser una mejor
aproximación para a . Para encontrar x1 se observa que
f
/
(x0 ) = f (x0 ) − 0
x 0 − x1
y entonces x1 = x0 −
f (x0 )
f / (x0 )
Luego de obtener el valor de x1 , se usa el mismo procedimiento para obtener x 2 ,
x 2 = x1 −
f ( x1 )
f / ( x1 )
y así sucesivamente.
Método de Newton – Raphson
x n +1 = x n −
f (x n )
f / (xn )
newtonraphson <- function(func, x0, tol = 1e-9, max.iter = 100)
{
tabla <- data.frame(matrix(0, max.iter, 2))
names(tabla) <- c("xn", "xn1")
xn <- x0
fx <- func1(xn)
iter <- 0
while ((abs(fx[1]) > tol) && (iter < max.iter)) {
xn1 <- xn - fx[1]/fx[2]
tabla[iter+1,] <- c(xn, xn1)
fx <- func1(xn1)
xn <- xn1
iter <- iter + 1
}
print(tabla[-((iter + 1):max.iter),])
if (abs(fx[1]) > tol) {
cat("El algoritmo no converge\n")
} else {
cat("El algoritmo converge, la raíz es:", xn1, "\n")
}
}
func1 <- function(x) {
fx <- log(x) - exp(-x)
dfx <- 1/x + exp(-x)
return(c(fx, dfx))
}
> newtonraphson(func1, x0=2, tol = 1e-6, max.iter = 100)
xn
xn1
1 2.000000 1.122020
2 1.122020 1.294997
3 1.294997 1.309709
4 1.309709 1.309800
El algoritmo converge, la raíz es: 1.309800
Integración numérica
Frecuentemente es necesario calcular integrales definidas
∫ f (x ) dx de una función
b
a
f.
A partir del Teorema fundamental del cálculo se sabe que se puede encontrar una
antiderivada tal que F / ( x ) = f (x ) , entonces
∫ f (x ) dx = F (a ) − F (b)
b
a
Sin embargo para muchas funciones f es imposible escribir una antiderivada en forma
cerrada, es decir, no existe una fórmula finita para F . En tales casos se debe usar la
integral numérica para aproximar la integral definida.
Por ejemplo, en estadística es frecuente usar integrales definidas para la densidad
normal estándar
Φ(z ) =
z
∫
−∞
1 − x2 2
e
dx
2π
En este capitulo se considera que se tiene una función integrable f ( x ) y un intervalo
[a, b] tal que se desea aproximar
∫ f (x ) dx
b
a
Se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud h = (b − a ) n . Los
límites de estos intervalos son
a = x0 , x1 , x 2 , L , x n = b
El objetivo es aproximar la integral en cada uno de los subintervalos y luego agregar
todas estas aproximaciones para obtener la aproximación total del la integral original.
Regla trapezoidal
La aproximación trapezoidal es obtenida aproximando el área bajo y = f ( x ) sobre el
subintervalos [ xi , xi +1 ] usando un trapecio. Es decir, la función f ( x ) se aproxima
usando una recta sobre el intervalo [ xi , xi +1 ] . La altura del trapecio es h y las longitudes
de las bases son f ( xi ) y f ( xi +1 ) . Finalmente el área del trapecio es
h
( f (xi ) + f (xi +1 ))
2
Luego se suman las áreas para todos los subintervalos para obtener la aproximación T
de la integral
∫ f (x ) dx :
b
a
Regla trapezoidal
T=
h
( f (x0 ) + 2 f (x1 ) + 2 f (x2 ) + L + 2 f (xn−1 ) + f (xn ))
2
Ejemplo 13: Aproximar
1
∫ 4 x dx = 1
3
0
trapecio <- function(func, a, b, n = 100) {
h <- (b-a)/n
x.vec <- seq(a, b, by = h)
f.vec <- sapply(x.vec, func)
T <- h*(f.vec[1]/2 + sum(f.vec[2:n]) + f.vec[n+1]/2)
return(T)
}
func <- function(x) return(4 * x^3)
> trapecio(a = 0, b = 1)
[1] 1.0001
> trapecio(a = 0, b = 1, n = 1000)
[1] 1.000001
> trapecio(a = 0, b = 1, n = 1000000)
[1] 1
La regla de Simpson
La regla de Simpson divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, n es par, luego en
cada par de intervalos consecutivos se aproxima f ( x ) usando una parábola, es decir un
polinomio de grado 2.
Sean u < v < w tres puntos con distancia h . Para x ∈ [u, w] se puede aproximar f ( x )
usando una parábola que pase por los puntos (u, f (u )) , (v, f (v )) y (w, f (w)) . Existe
solo una parábola p( x ) que cumple esta condición cuya fórmula es
p (x ) = f (u )
(x − v )(x − w) + f (v ) (x − u )(x − w) + f (v ) (x − u )(x − v )
(u − v )(u − w)
(v − u )(v − w)
(w − u )(w − v )
Como una aproximación al área bajo la curva y = f ( x ) se usa
álgebra puede probarse que
∫ p(x ) dx . Con algo de
w
u
h
∫ p(x ) dx = 3 ( f (u ) + 4 f (v ) + f (w))
w
u
Si n es par se pueden agregar las aproximaciones para obtener la aproximación de
Simpson S a la integral
∫ f (x ) dx .
b
a
Regla de Simpson
h
S = ( f (x 0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x3 ) + L + 4 f ( x n −1 ) + f ( x n ))
3
simpson <- function(func, a, b, n = 100) {
h <- (b-a)/n
x.vec1 <- seq(a+h, b-h, by = 2*h)
x.vec2 <- seq(a+2*h, b-2*h, by = 2*h)
f.vec1 <- sapply(x.vec1, func)
f.vec2 <- sapply(x.vec2, func)
S <- h/3*(func(a) + func(b) + 4*sum(f.vec1) + 2*sum(f.vec2))
return(S)
}
func <- function(x) return(4 * x^3)
> simpson(func, a = 0, b = 1)
[1] 1
Ejemplo 13: Aproximar Φ(0 ) =
1
∫
−1
1 − x2 2
e
dx .
2π
func <- function(x) return(exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi))
> simpson(func, a = -1, b = 1)
[1] 0.6826895