duplicación del volumen de un cubo con la curva

DUPLICACIÓN DEL VOLUMEN DE UN CUBO CON
LA CURVA DUPLICATRIZ
Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez1
Benjamin R. Sarmiento Lugo2
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
RESUMEN
En este artículo se presentan la construcción de la curva mecánica denominada como
la curva duplicatriz, basada en las proporciones de Hipócrates y que puede ser usada
para darle solución al problema de la duplicación del volumen del cubo, uno de los
problemas clásicos de la geometría griega; además se describe en forma abreviada
cómo usarla para tal fin. Para lograr la curva mediante los pasos que aquí se presentan
se sugiere usar el software de geometría dinámica Cabri II Plus. Se aclara que con esta
curva no se resuelve el problema con su planteamiento original, pero se presenta una
solución mezclando el ingenio de los antiguos con la potencialidad de los programas
de geometría dinámica.
INTRODUCCIÓN
Cuando se hace una revisión bibliográfica de artículos, documentos electrónicos y libros
de texto con el fin de encontrar detalles sobre las construcciones geométricas de curvas
mecánicas y mecanismos físicos usados para resolver los tres problemas clásicos de la
geometría griega, no se encuentran suficientes fuentes sobre el tema, a excepción de
algunos sitios en la red Internet que abordan esta temática de manera incompleta. Lo
anterior ha motivado la realización de un trabajo sobre curvas y mecanismos inventados
a lo largo de la historia para resolver estos problemas. Aquí se presentará una curva
basada en las proporciones de Hipócrates y lograda gracias al carácter dinámico del
software Cabri II Plus, la curva duplicatriz, deducida por los autores de este artículo
para resolver el problema de la duplicación del cubo.
El problema de la duplicación del cubo consiste en construir un cubo de volumen 2V,
dado un cubo de volumen V. Es decir, si el volumen de un cubo es V1 = a3, su arista
mide a, y entonces el doble de este volumen es V2 = 2a3 que corresponde a un cubo
cuya arista mide 3 2 a , por lo tanto el problema se reduce a construir 3 2 .
Este problema está relacionado con el oráculo de Delos. Existe una leyenda que cuenta
de una epidemia de peste que apareció en Atenas hacia el 428 a.C. que atemorizó tanto a
los atenienses que sus dirigentes tuvieron que recurrir a pedir ayuda al dios Apolo para
que les ayudara a acabar con la epidemia; desde Atenas enviaron mensajeros para que
consultaran al oráculo de Delos sobre qué podían hacer para acabar con el mal. El
oráculo de Apolo en Delos recomendó que para acabar con la peste tendrían que
construir un altar de volumen doble que el que tenía Apolo en el templo. Aunque la
peste no acabó, pero los supervivientes trataron de construir un altar con un volumen
doble del que tenía Apolo.
1
2
Licenciada en Matemáticas – Universidad Pedagógica Nacional
Magíster en Educación Matemática – Universidad Pedagógica Nacional
En varias fuentes se dice que Eurípides escenificó en una de sus obras el problema de la
duplicación del cubo por medio del rey Minos, el cual, en el momento que se estaba
construyendo la tumba de su hijo Glauco, manifestó que un mausoleo cúbico que
solamente medía cien pies por cada lado era un espacio muy reducido para sepulcro de
un rey y ordenó que lo duplicaran conservando su forma cúbica duplicando cada lado.
El error de Minos era grave ya que si duplicaba el lado del cubo, obtendría un cubo con
un volumen ocho veces mayor que el de partida. El primer intento por resolver este
problema fue dado por Hipócrates de Quios, quien planteó una solución de la siguiente
forma: Dadas dos líneas, encontrar dos medias proporcionales entre ellas, es decir,
a x y
dadas las líneas a y b, encontrar x, y tales que = = . Posteriormente aparece la
x y b
solución de Arquitas de Tarento, para la cual utiliza conos y cilindros. Mas tarde
Menecmo propone dos soluciones en las que utiliza parábolas e hipérbolas que resultan
de la proporciones de Hipócrates. A Eudoxo se atribuye un método de solución basado
en curvas pero sobre el que no se encuentran fuentes escritas. Años más tarde,
Eratóstenes se ideó el Mesolabio, un mecanismo basado en triángulos rectángulos
congruentes que se desplazan sobre una recta. El problema también fue resuelto
posteriormente por Nicomedes con su Concoide, Philon con su línea y Diocles con
Cisoide.
En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del
siguiente teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos
condiciones (además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q;
(2) El polinomio irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2”. Con este
resultado Wantzel pone fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico
puede o no ser resuelto mediante regla y compás, demostrando así que los tres
problemas son irresolubles con las condiciones impuestas en sus inicios.
1. CURVA DUPLICATRIZ
Hipócrates realizó el primer progreso real en el problema de la duplicación del cubo
cuando realizó la reducción que lleva su nombre. Esta se basa en la construcción de
medias proporcionales entre dos segmentos de líneas dadas de longitud a y 2a. Si
denotamos las dos medias proporcionales por x e y, entonces de estas proporciones se
a x y
tiene = = .
x y 2a
a x
x y
De = resulta ay = x2, y de =
resulta que 2ax = y2. Igualando estas dos
x y
y 2a
ecuaciones se obtiene que x = 3 2 a . En su época no se logró construir una curva que
permitiera representar a 3 2 , pero aprovechando el carácter dinámico del software
Cabri Plus se construye la curva que se presenta a continuación.
2. CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DUPLICATRIZ
1. Mostrar ejes coordenados, sea O el origen de coordenadas.
2. Sea k un número real positivo.
3. Sea P un punto sobre el eje OY negativo tal que el segmento OP mida 2k.
4. Sea Q un punto sobre el eje OX negativo tal que el segmento OQ mida k.
5. Sea M un punto cualquiera sobre el eje X.
6. Trazar la recta PM.
7. Trazar una recta l perpendicular a la recta PM y que pase por M.
8. Trazar una recta r perpendicular a la recta l y que pase por Q.
9. Sea A la intersección entre las rectas l y r.
10. El lugar geométrico generado por el punto A cuando se mueve M sobre el eje X es
la duplicatriz de Hipócrates.
Figura 1
3. USO DE LA CURVA DUPLICATRIZ
1. Sea B la intersección entre el eje Y y la duplicatriz.
2. La medida del segmento OB es
3
2 k , que es la medida de la arista del cubo cuyo
volumen es el doble del volumen del cubo de arista k.
Figura 2
Nota: Para justificar que la longitud del segmento OB es
pasos:
3
2 k se realizan los siguientes
Figura 3
1.
2.
3.
4.
Trazar el segmento QB.
Trazar la recta m perpendicular al segmento QB y que pase por B.
Sea C la intersección entre la recta m y el eje X.
Trazar la recta n perpendicular a la recta m y que pase por P, la intersección
coincide con C. Los triángulos QOB, BOC y COP son semejantes, y las
QO OB OC
proporciones
=
=
conduce a que OB= 3 2 OQ , ya que OB y OC son
OB OC OP
medias proporcionales geométricas (Según las proporciones de Hipócrates).
Figura 4
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Arguedas, Jendry. Construcción de lugares geométricos trascendentales y su
importancia en la enseñanza de la matemática. (V Congreso de enseñanza de la
matemática asistica por computadora).
Álvarez, J. (2006), Curvas en la historia. España. Nivola Libros Ediciones.
Boyer, Carl. Historia de las matemáticas, Madrid editorial,1996
Cordero, F. y Suárez. L. Modelación en matemática educativa. (Clame 2005).
Hitt, F. y Filloy, E. Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica. México, 1997.
Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid,
Editorial Alianza. Tomos I , II y III.
Lehmann, Charles. Geometría Analítica. Editorial Limusa. México, 1994.
Roanes Macías, E.; Roanes Lozano, E. Determinación de lugares geométricos, vía
sintética y computacional, aplicada a lugares de tipo cisoide. Boletín (Sociedad Puig
Adam de Profesores de Matemáticas), 2007 JUN; 76.
Escribano, J. y Pérez, M. Problemas clásicos de geometría desde un punto de vista
actual. En http://webpages.ull.es/users/revmat/geometria/inicio/musuario.pdf
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml