Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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En un viaje dos turistas quieren comprar jamones y quesos. El conductor del
autobús les exige que sus compras no excedan de 40 kg cada una. Cada turista consigue comprar sus 40 kg exactos. Entre los dos llevan 5 jamones, de igual peso y 5
quesos, todos del mismo peso. El primero ha comprado triple número de jamones
que de quesos, y el segundo, doble número de quesos que de jamones. ¿Cuánto pesa
cada jamón y cada queso?
Primero averiguemos cuántos jamones y cuántos quesos lleva cada uno.
Llamamos x al n.º de quesos que lleva el primero e y al n.º de quesos que lleva el segundo.
°
§ 8 x = 1, y = 4
¢
§
£
Por tanto, el primero lleva 1 queso y 3 jamones, y el segundo, 4 quesos y 2 jamones.
x+y=5
3x + y = 5
2
Calculamos ahora el peso de un queso, q, y el peso de un jamón, j .
q + 3j = 40°
¢ 8 j = 12, q = 4
4q + 2j = 40£
Cada jamón pesa 12 kg, y cada queso, 4 kg.
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Un tren sale de una ciudad con 134 pasajeros, entre hombres, mujeres y niños.
Hace varias paradas y en cada una bajan 2 hombres y una mujer, y suben 4 niños.
Llega a su destino con 143 pasajeros, de los cuales los hombres son los 2/3 de los
niños, y las mujeres, los 3/4 de los hombres. ¿Cuántas paradas hizo el tren? ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay al llegar? ¿Y al partir?
• En cada parada bajan 3 personas y suben 4; por tanto, aumenta un pasajero en cada
parada.
143 – 134 = 9
El tren ha hecho 9 paradas.
• Llamemos x al número de hombres, y al número de mujeres y z al número de niños
que hay al llegar.
x + y + z = 143 °
x + 3 x + z = 143
2
§
4
x= z
¢8
3
§
x = 2z
y = 3x
3
£
4
°
7 x + z = 143 °
§
§
4
¢ 8
¢ 8
2
§
§
x= z
3
£
£
8 7 · 2 z + z = 143 8 z = 66, x = 44, y = 33
4 3
Llegaron 66 niños, 33 mujeres y 44 hombres.
Como se bajan dos hombres en cada parada, han llegado 9 · 2 = 18 hombres menos
que al partir. 9 mujeres menos que al partir y 9 · 4 = 36 niños más.
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
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Las personas que había al partir son:
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44 + 18 = 62 hombres
33 + 9 = 42 mujeres
66 – 36 = 30 niños
En total, 134.
■ Reflexiona sobre la teoría
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Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución
sea x = 2, y = –1.
3 · 2 + 2(–1) = 4 °
°3x + 2y = 4
8
¢ 8 x = 2, y = –1 es solución.
¢
2 – (–1) = 3
£
£ x– y=3
43
¿Cuál debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes?
°2x – 3y = 1
a) ¢
£ x+ y=8
°x – y = m
b) ¢
£ y=3
La solución de a) es x = 5, y = 3.
b) debe tener la misma solución: 5 – 3 = m 8 m = 2
44
nes:
Comprueba si x = 3, y = 1 es solución de alguno de estos sistemas de ecuacio-
° x+ y=4
§
a) ¢ x – 2y = 1
§2x – 6y = 0
£
45
° x– y=2
§
b) ¢2x – 3y = 3
§ x+ y=5
£
° x+ y=4
§
a) ¢ x – 2y = 1
§ 2x – 6y = 0
£
3+1=4
°
§
8 3–2=1
¢ x = 3, y = 1 es la solución de ese sistema.
2 · 3 – 6 · 1 = 0§
£
° x– y=2
§
b) ¢ 2x – 3y = 3
§ x+ y=5
£
3–1=2
°
§
8 2 · 3 – 3 · 1 = 3 ¢ x = 3, y = 1 no es solución de ese sistema.
3+1=4?5 §
£
Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución
x = 3, y = –2; el segundo sea incompatible, y el tercero y el cuarto sean indeterminados:
°3x + 2y = …
a) ¢
£… – y = 8
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
° x+ y=5
b) ¢
£2x + 2y = …
°3x – 2y = 4
c) ¢
£6x – 4y = …
°–x + 2y = 7
d) ¢
£… – 4y = …
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° 3x + 2y = …
a) ¢
£… – y = 8
°3 · 3 + 2(–2) = 5
° 3x + 2y = 5
8 ¢
8 Solución: ¢
£… = 8 + y = 8 – 2 = 6
£ 6x – y = 8
° x+ y=5
b) ¢
£ 2x + 2y = …
Puede ser cualquier número distinto de 10.
° x+ y=5
Por ejemplo: ¢
£2x + 2y = 1
° 3x – 2y = 4
c) ¢
£ 6x – 4y = …
° –x + 2y = 7
d) ¢
£… – 4y = …
46
° 3x – 2y = 4
8 ¢
£ 6x – 4y = 8
° –x + 2y = 7
8 ¢
£2x – 4y = –14
Observa la representación de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.
y – x = 10
5y – x = 22
r1
r2
r3
2
–2
2
–2
a) ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas?:
I)
° y – x = 10
¢
£ x + 2y = –1
II)
°5y – x = 22
¢
£ y – x = 10
b) ¿Cuál es la solución de este sistema?:
° y – x = 10
§
¢5y – x = 22
§x + 2y = –1
£
a) I) Solución: x = –7, y = 3
II) Solución: x = –7, y = 3
b) Solución: x = –7, y = 3
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
x + 2y = –1
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Observa la representación de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.
4
=
r 3: 7y – x
2
16
–2
r 2: x – y = 2
2
4
r1: x + y = 0
–4
a) ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones?
I)
°x + y = 0
¢
£x – y = 2
II)
° x+y=0
¢
£7y – x = 16
III)
° x–y=2
¢
£7y – x = 16
b) ¿Tiene alguna solución este sistema?:
° x+y=0
§
¢ x–y=2
§7y – x = 16
£
°x + y = 0
a) I) ¢
Solución: x = 1, y = –1
£x – y = 2
° x+y=0
II) ¢
Solución: x = –2, y = 2
£ 7y – x = 16
° x–y=2
III) ¢
Solución: x = 5, y = 3
£ 7y – x = 16
b) No, porque las tres rectas no tienen ningún punto en común.
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