DPTO. FISICA APLICADA II

EU
AT
I-
Capı́tulo 6
IC
AD
6.1.
AI
Estática de fluidos
Introducción
6.1.1.
IC
AA
PL
La segunda parte del curso está dedicada al estudio de los fundamentos
fı́sicos de las instalaciones arquitectónicas. Los temas 6 y 7 tienen por objeto,
respectivamente, el estudio del comportamiento estático y dinámico de los fluidos, que colectivamente se conoce como Mecánica de Fluidos. Las aplicaciones
de la Mecánica de Fluidos en el ámbito de la construcción son muy variadas.
Por ejemplo: redes de tuberı́as para el agua o el gas, embalses (de lı́quidos e
incluso de tierras), piscinas, etc.
Sólidos, lı́quidos, gases
FIS
La materia suele presentarse en uno de los siguientes tres estados, llamados
estados de agregación: sólido, lı́quido y gaseoso. Las propiedades fı́sicas que
presenta la materia en estos estados están estrechamente ligadas a la intensidad
de las interacciones entre las partı́culas (átomos o moléculas) que constituyen
la materia. Ası́, tenemos que:
sólido
En un lı́quido, la interacción entre las partı́culas es más débil que la
existente en los sólidos, por lo que éstas no ocupan posiciones fijas en
una red sino que tienen cierta libertad para moverse. En consecuencia,
los lı́quidos carecen de forma propia, adoptando la del recipiente que los
contiene. Sin embargo, como los sólidos, tienen volumen propio y son
poco compresibles y dilatables.
lı́quido
DP
TO
.
En un sólido, la interacción entre las partı́culas es tan fuerte que éstas
ocupan posiciones fijas en un retı́culo tridimensional (red cristalina) y
sólo están permitidos movimientos oscilatorios de pequeña amplitud en
torno a sus posiciones de equilibrio. Consecuencia de ello es que los sólidos tienen forma y volumen propios, siendo éste último prácticamente
invariable frente a cambios de presión (incompresible) y de temperatura
(no dilatable).
165
Estática de fluidos
EU
AT
166
6.1.2.
da
→
dFt
FIGURA 6.1: Componentes normal y
tangencial de una fuerza.
AI
→
dF
A los gases y a los lı́quidos se les denomina genéricamente fluidos. Sin embargo, la clasificación precisa de una substancia como fluido se efectúa en función
de su respuesta a la aplicación de un esfuerzo cortante.
Supongamos que sobre una substancia se aplica una fuerza distribuida sobre
una cierta superficie. Sea dF~ la fuerza que se ejerce sobre un área infinitesimal
da. Dicha fuerza puede descomponerse en una componente normal, dF~n , y otra
tangencial, dF~t (fig. 6.1). Se denomina esfuerzo 1 a la fuerza que actúa por
unidad de área:
dF~
~τ =
.
(6.1)
da
El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante son, respectivamente, las componentes
normales y tangenciales del vector esfuerzo:
IC
AD
→
dFn
y
→
V
tc
→
tc
0
(a)
(b)
dF~n
,
da
dF~t
~τc =
.
da
~τn =
(6.2)
(6.3)
En este contexto, una substancia se clasifica como fluido si se pone en movimiento, deformándose, bajo la acción de un esfuerzo cortante, sin importar cuán
pequeño sea éste, y continúa deformándose hasta que cesa el esfuerzo cortante.
El comportamiento de los fluidos frente a un esfuerzo cortante es, por tanto,
completamente distinto al que presentan los sólidos. Un sólido, como el que se
muestra en la fig. 6.2a, puede resistir un esfuerzo cortante mediante una deformación estática, de magnitud ∆x, proporcional al esfuerzo cortante aplicado,
siendo
∆x
τc ∝
.
(6.4)
h
Cuando el esfuerzo cortante aplicado cesa, el sólido recupera su forma original.
Consideremos en cambio un fluido alojado entre dos placas planas paralelas
(fig. 6.2b). Según dicta la experiencia, las partı́culas de fluido en contacto con
una superficie sólida se adhieren a la misma y se desplazan con la velocidad
de ésta (condición de no deslizamiento). Por tanto, si se aplica una fuerza
horizontal sobre la placa superior (y = h) se estará también ejerciendo un
cierto esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido. De acuerdo con la
definición de fluido, éste no podrá entonces permanecer en reposo y se pondrá en
movimiento. Experimentalmente se observa que el esfuerzo cortante aplicado es
proporcional a la velocidad V que adquiere la placa y la capa de fluido superior
DP
TO
.
FIS
FIGURA 6.2: Comportamiento de un
sólido elástico (a) y de un fluido (b)
ante la aplicación de un esfuerzo cortante.
IC
AA
∆x
h
Concepto de fluido
PL
fluidos
I-
En un gas, por último, la interacción entre las partı́culas es muy débil
y puede ignorase habitualmente. Este hecho se traduce en que los gases
carecen de forma y volumen propios (tienden a ocupar todo el volumen
disponible) y se comprimen y dilatan con facilidad. A temperatura ambiente y presión atmosférica, los gases son tı́picamente 1000 veces menos
densos que los sólidos y los lı́quidos.
gas
τc ∝
1 En
V
.
h
ciertos textos, a la fuerza por unidad de superficie se le denomina tensión.
(6.5)
Algunas propiedades de los fluidos
167
Algunas propiedades de los fluidos
IC
AD
6.2.
AI
I-
El fluido continuará moviéndose hasta que cese todo esfuerzo cortante. Sin
embargo, cuando esto ocurra, el fluido no recuperará su forma original sino que
quedará permanentemente deformado.
El comportamiento de los sólidos que hemos descrito al principio es el de los
sólidos elásticos. Los llamados sólidos plásticos tienen un comportamiento intermedio entre sólidos y fluidos. Dichos materiales pueden resistir mediante una
deformación estática esfuerzos cortantes que no superen un cierto valor lı́mite
y no estén actuando durante un perı́odo de tiempo prolongado. Sin embargo,
cuando se supera dicho lı́mite o el esfuerzo se aplica durante largo tiempo, el
sólido plástico fluye deformándose permanentemente.
EU
AT
6.2
partı́cula de fluido
6.2.1.
Densidad
FIS
IC
AA
PL
El estudio de los fluidos pueden efectuarse desde dos puntos de vista distintos: macroscópico o microscópico. El punto de vista que adoptamos aquı́ es el
macroscópico. Éste es el enfoque que adopta la mecánica de los medios continuos, que considera al fluido como un medio continuo sin espacios vacı́os, tal como
aparece a nuestros sentidos, ignorando partı́culas materiales (átomos o moléculas) que los constituyen. Por tanto, cuando hablemos de partı́cula de fluido o
partı́cula fluida nos estaremos refiriendo a una porción de fluido con dimensiones infinitesimales comparadas con el volumen total, pero suficientemente
grande como para poder asumir un punto de vista macroscópico, es decir, la
partı́cula fluida contendrá un número muy elevado de las partı́culas materiales
que constituyen el fluido. Por el contrario, el enfoque microscópico del estudio
de los fluidos considera que la materia está formada por átomos o moléculas y
obtiene las propiedades macroscópicas de los fluidos como promedio sobre un
gran número de estas partı́culas materiales. Ası́, por ejemplo, la temperatura
puede relacionarse con la energı́a cinética media de los átomos o moléculas.
Ésta es la forma de proceder de la teorı́a cinético-molecular y de la mecánica
estadı́stica.
Presentamos seguidamente algunas de las propiedades más relevantes de los
fluidos desde un enfoque macroscópico.
Se define la densidad ρ como
ρ = lı́m
TO
.
∆V →0
densidad
∆m
.
∆V
(6.6)
DP
donde ∆m es la masa contenida en el volumen ∆V . En el SI la densidad se
mide en kg/m3 . Fı́sicamente no podemos hacer ∆V → 0, ya que a medida
que ∆V se hace muy pequeño, la masa contenida en ∆V variará de manera
discontinua dependiendo del número de átomos o moléculas que haya en ∆V .
En realidad, el cero en la definición de densidad deberı́a reemplazarse por un
cierto volumen lı́mite por debajo del cual la hipótesis del continuo falla. Para
todos los lı́quidos y gases a presión atmosférica, un valor tı́pico de dicho volumen
lı́mite es 10−9 mm3 . Por ejemplo, 10−9 mm3 de aire en condiciones normales
contiene aproximadamente 3 × 107 moléculas, lo cual es suficiente para definir
una densidad constante de acuerdo con la ec. (6.6). Este volumen es, a su vez,
el volumen más pequeño que podemos considerar para una partı́cula fluida.
Estática de fluidos
EU
AT
168
6.2.2.
Peso especı́fico
Se define el peso especı́fico γ como
AI
peso especı́fico
I-
Tı́picamente, la densidad de los gases es unas mil veces menor que la de
los lı́quidos. Por ejemplo, la densidad del aire a presión atmosférica y 15◦ C de
temperatura es 1,23 kg/m3 . La del agua es 103 kg/m3 .
La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si la
densidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que es
homogéneo. En caso contrario, se dice que es heterogéneo.
γ = lı́m
∆V →0
∆mg
,
∆V
(6.7)
Viscosidad
En el seno de un fluido en movimiento surgen esfuerzos normales y cortantes
entre una partı́cula fluida y sus vecinas. Tales esfuerzos frenan o aceleran la
partı́cula fluida, de forma que por su acción la partı́cula tiende a igualar su
velocidad con la de las partı́culas que la rodean. Estos esfuerzos están relacionados con la propiedad del fluido denominada viscosidad. La viscosidad es
una propiedad importantı́sima en dinámica de fluidos. Como veremos más adelante, la viscosidad controla la cantidad de fluido que puede ser transportada
por una conducción y las pérdidas de energı́a que se producen asociadas a este
transporte. Además, su valor es decisivo para que en el flujo se produzcan o no
turbulencias. En esta sección centraremos nuestra atención sobre los esfuerzos
cortantes viscosos.
Consideremos nuevamente el fluido confinado entre dos placas paralelas
mostrado en la fig. 6.2b. Según ya se ha visto, la aplicación de un esfuerzo
cortante sobre la capa superior de fluido (y = h) pone en movimiento a la
misma con una velocidad V , siendo el esfuerzo cortante proporcional a razón
V /h. Debido la viscosidad del fluido, la capa de fluido superior ejerce un esfuerzo
cortante sobre la capa subyacente, tirando de la misma y poniéndola a su vez
en movimiento. Este hecho se repite en las capas inferiores consecutivas hasta
alcanzar la placa inferior (y = 0). La velocidad del fluido junto a la placa
inferior es cero, por encontrarse ésta en reposo. En las capas intermedias, se
observa que la velocidad del fluido es proporcional a su distancia a la placa
inferior, de forma que
V
(6.8)
v(z) = z.
h
Por analogı́a con la capa de fluido superior, en las capas de fluido intermedias
también existirá un esfuerzo cortante debido a la viscosidad, de valor
ley de la viscosidad de newton
v(z)
V
= .
(6.9)
z
h
De forma más general, los esfuerzos cortantes de origen viscoso que surgen entre
capas de fluidos que se mueven a distinta velocidad satisfacen la denominada
ley de la viscosidad de Newton,
DP
FIS
IC
AA
PL
TO
.
6.2.3.
IC
AD
donde g es el módulo de la aceleración debida al campo gravitatorio terrestre
en la superficie de la tierra (g = 9,8 m/s2 ). El peso especı́fico es pues el peso
por unidad de volumen. Las unidades de peso especı́fico en el SI son N/m3 . La
relación entre el peso especı́fico y la densidad es γ = ρg.
τc ∝
Algunas propiedades de los fluidos
τc = η
169
dv
,
dz
(6.10)
coeficiente de viscosidad dinámica
Compresibilidad
DP
6.2.4.
TO
.
El volumen de un fluido depende de la presión y de la temperatura a la
que se encuentre. La compresibilidad de un fluido viene caracterizada por su
coeficiente de compresibilidad, que mide la variación (por unidad de volumen)
del volumen del fluido con la presión a temperatura constante.
George Gabriel Stokes (Skreen,
1819;
Cambridge,
1903):
Matemático y fı́sico irlandés
que contribuyó a la ciencia de
la hidrodinámica con su ley de
viscosidad. Stokes investigó el
movimiento de fluidos incompresibles, la fricción en los fluidos y el
movimiento elástico de los sólidos.
plástico
ideal
dilatante
esfuerzo cortante
newtoniano
pseudoplástico
razón de deformación
FIGURA 6.3: Dependencia del esfuerzo cortante con la razón de deformación en fluidos newtonianos, nonewtonianos y en plásticos.
reopéctico
esfuerzo cortante
FIS
IC
AA
PL
IC
AD
AI
I-
La constante de proporcionalidad η se denomina coeficiente de viscosidad dinámica o, simplemente, viscosidad dinámica del fluido. De esta manera, la viscosidad es una propiedad fı́sica del fluido que caracteriza la resistencia al deslizamiento relativo de capas contiguas del fluido. La magnitud dv/dz representa
el cambio de velocidad en la dirección normal a la de la propia velocidad y se
denomina gradiente de velocidad o razón de deformación. Teniendo en cuenta la ec. (6.8), la razón de deformación del fluido en el ejemplo que estamos
considerando es precisamente dv/dz = V /h.
Las unidades de τc en el SI son N/m2 (ó Pa). Las unidades de η son pues
Pa s. En el sistema cegesimal la unidad empleada es el poise (p), 1 poise =
2
1 dina s/cm . El factor de conversión al SI es: 10 poise = 1 Pa s. Relacionada
con la viscosidad dinámica, la viscosidad cinemática se define como ν = η/ρ,
donde ρ es la densidad del fluido. Sus dimensiones en el SI son m2 /s, mientras
que en el sistema cegesimal es el stoke (st), 1 stoke = 10−4 m2 /s.
La ec. (6.10) es aplicable a los fluidos newtonianos, tales como el agua, el
aire o el aceite. Existen otros fluidos (fluidos no-newtonianos) en los cuales el
esfuerzo cortante viscoso no es directamente proporcional a la razón de deformación, sino que guarda otro tipo de relación más compleja (fig. 6.3). Ejemplos
de fluidos no newtonianos son los fluidos pseudoplásticos (sangre, leche, cemento antes de fraguar) y los fluidos dilatantes (almı́bar). Por otro lado, también
existen fluidos en los que el esfuerzo cortante que ha de aplicarse para mantener una razón de deformación constante (dv/dz = cte) cambia en el tiempo
(fig. 6.4). Tales fluidos se clasifican como fluidos tixotrópicos (ciertos tipo de pinturas, cementos y hormigones) ó fluidos reopécticos (substancias bituminosas).
No obstante, lo que sı́ es común para todos los fluidos es que los esfuerzos
cortantes debidos a la viscosidad sólo aparecen cuando existe un gradiente de
velocidad. En caso de que la velocidad sea constante o, simplemente, el fluido
esté en reposo, tales esfuerzos no existirán.
La viscosidad de un fluido depende de su temperatura. En los lı́quidos la
viscosidad disminuye conforme aumenta la temperatura, mientras que en los
gases sucede lo contrario. La dependencia con la temperatura es, además, mucho
más fuerte en lı́quidos que en gases. El motivo de este distinto comportamiento
se debe a que en los lı́quidos la viscosidad se ve influenciada principalmente
por las fuerzas de cohesión que existen entre sus moléculas, mientras que en
los gases las fuerzas de cohesión son despreciables y son las colisiones entre
moléculas las que provocan los esfuerzos internos de fricción.
En caso de que los efectos de la viscosidad en un fluido puedan despreciarse
(matemáticamente, cuando la viscosidad tiende a cero) se dice que el fluido es
un fluido perfecto. En el seno de un fluido perfecto no hay esfuerzos cortantes
de origen viscoso. Si, además, la densidad es constante en todos sus puntos, se
dice que es un fluido ideal.
EU
AT
6.2
newtoniano
tixotrópico
tiempo
FIGURA 6.4: Variación en el tiempo
del esfuerzo cortante que ha de aplicarse para mantener una razón de deformación constante en el fluido.
fluido perfecto
fluido ideal
compresibilidad
Estática de fluidos
EU
AT
170
6.2.5.
IC
AD
AI
I-
Todos los fluidos se comprimen en cierta medida cuando se ejerce sobre ellos
una presión, y el resultado de dicha compresión se manifiesta como un incremento de su densidad. La compresibilidad de los gases es bastante aparente.
Por el contrario, las presiones requeridas para cambiar el volumen de un lı́quido
son tan elevadas que éstos pueden considerarse prácticamente incompresibles.
Ası́, por ejemplo, para causar un cambio del 1 % en la densidad del agua se
requiere una presión de 21 × 106 Pa (aproximadamente 210 atmósferas).
Sin embargo, pequeños cambios en la densidad de un lı́quido pueden ser
muy significativos si están presentes cambios de presión grandes. Por ejemplo,
el efecto llamado golpe de ariete se produce al cerrar rápidamente una válvula
en una tuberı́a, lo que da lugar a un aumento súbito de presión junto a la
válvula. Se genera entonces una onda de presión interna que se propaga aguas
arriba a lo largo de la tuberı́a, se refleja en el extremo, y retorna de nuevo hacia
la válvula, repitiéndose este movimiento de forma periódica. Como resultado,
se produce un sonido de martilleo debido al movimiento de la tuberı́a cuando
la onda se refleja en la válvula cerrada.
Tensión superficial y capilaridad
El coeficiente de proporcionalidad σ recibe el nombre de coeficiente de tensión
superficial o, simplemente, tensión superficial. El factor numérico 2 es debido a
que la pelı́cula de lı́quido posee dos caras, por lo que la fuerza ha de ser también
doble. La tensión superficial depende de la naturaleza del lı́quido, del medio
que lo rodea y de la temperatura. En general, la tensión superficial disminuye
con la temperatura, pues las fuerzas de cohesión disminuyen al aumentar la
agitación térmica. La tensión superficial tiene dimensiones de fuerza por unidad
de longitud y, por tanto, se mide en N/m. Para el agua a 15◦ C su valor es
σ = 0,0741 N/m.
Cuando un lı́quido entra en contacto con las paredes del recipiente, el lı́quido
adopta una forma curva que se denomina menisco (fig. 6.6). La formación del
menisco se debe a que las moléculas del lı́quido no solo interaccionan con el
resto del fluido (fuerzas de cohesión) sino también con las moléculas de la pared
sólida del recipiente (fuerzas de adhesión). La forma final que adopta el menisco
surge de la competencia entre las fuerzas de cohesión y de adhesión. El menisco
se caracteriza por el ángulo de contacto entre la pared y el lı́quido. Ası́, si el
ángulo de contacto es θ < π/2 se dice que el lı́quido moja la pared, y si θ > π/2
el lı́quido no moja la pared. El ángulo de contacto entre el agua y el vidrio
limpio es θ = 0, lo que corresponde a una mojabilidad perfecta.
FIS
tensión superficial
IC
AA
PL
Las moléculas situadas en la superficie de un lı́quido están sujetas a fuerzas
atractivas de cohesión ejercidas por las moléculas vecinas, de forma que la superficie se encuentra en un estado de tensión similar al que se tiene en una
membrana. Debido a esta tensión, la superficie libre de un lı́quido tiende a ser
mı́nima. Para ilustrar el efecto de esta tensión podemos considerar el experimento que se muestra en la fig. 6.5. Un alambre en forma de U está cerrado
por otro alambre recto, de longitud d, que puede deslizar sin fricción sobre
el primero. Si colocamos una delgada pelı́cula de lı́quido sobre el alambre, la
pelı́cula tiende a colapsar a causa de la tensión de su superficie. Para evitarlo, es
necesario ejercer sobre el alambre móvil una fuerza proporcional a su longitud,
tal que
F = σ2d.
(6.11)
θ
_
q> π
2
TO
.
_
q< π
2
DP
FIGURA 6.6: Ángulo de contacto en
la interfaz para un lı́quido que moja
la pared del recipiente (izda.) y otro
que no moja dicha pared (dcha.).
Presión
171
EU
AT
6.3
→
F
I-
d
varilla deslizante
varilla deslizante
FIGURA 6.5: Experimento para ilustrar la existencia de las fuerzas
de tensión superficial. Si no actúa
ninguna fuerza, las fuerzas de tensión superficial de la pelı́cula de fluido hacen que la varilla deslizante
esté en la posición de la izquierda.
Sólo si actúa una fuerza se logra estirar la pelı́cula de fluido como se ilustra a la derecha.
AI
película de fluido
película de fluido
2σ cos θ
,
γR
PL
h=
IC
AD
La curvatura que adopta la interfaz lı́quido-aire en el equilibrio da origen a
una sobrepresión ∆p en el lı́quido debido a tensión superficial. A consecuencia
de esta sobrepresión, el nivel de un lı́quido en un tubo capilar (tubo de pequeño
diámetro) difiere del nivel del mismo lı́quido en un vaso ancho comunicante
con aquel. El nivel del lı́quido en el tubo capilar es más alto (más bajo) que
en el vaso comunicante si el lı́quido moja (no moja) sus paredes (fig. 6.7). La
magnitud de la elevación capilar está dada por
(6.12)
IC
AA
donde σ es la tensión superficial, γ el peso especı́fico y R el radio del capilar.
El fenómeno del ascenso capilar del agua es de suma importancia en construcción. Ası́, los cimientos de las estructuras pueden humedecerse por la acción de la capilaridad sobre las aguas freáticas, provocando la corrosión del
acero de refuerzo usado en estos. Cuando los niveles de ascenso capilar son
muy altos, el agua puede alcanzar las paredes de la edificación, generándose
problemas en los ladrillos y los acabados de la edificación.
Presión
6.3.1.
Concepto y unidades
FIS
6.3.
FIGURA 6.7: Elevación capilar de un
lı́quido que moja la pared (izda.) y de
otro que no moja la pared (dcha.).
TO
.
Según hemos visto en la sección anterior, los únicos esfuerzos que pueden estar actuando sobre un fluido en reposo son esfuerzos normales. Dichos esfuerzos
son de compresión y definen la presión, p, en un punto del fluido según
p = |~τn | =
d|F~n |
,
da
(6.13)
donde dF~n es la fuerza normal que actúa sobre el área elemental da que contiene
al punto. Nótese que la presión es una magnitud escalar. Su unidad fundamental
en el SI es el newton por metro cuadrado (N/m2 ) o pascal (Pa). Como el pascal
es una unidad de presión muy pequeña, frecuentemente se expresa la presión
en kilopascales (kPa) o megapascales (MPa). Por ejemplo, la presión de la
atmósfera a nivel del mar es 101,2 kPa.
Otras unidades de presión habitualmente usadas y sus equivalencias son:
DP
presión
pascal
Estática de fluidos
z
EU
AT
172
pq dldx
dl
dz
q
I-
pydxdz
y
→
dW
dx
AI
FIGURA 6.8: Equilibrio de una cuña
elemental de fluido en reposo. Por
claridad se omiten las fuerzas de presión paralelas al eje x.
x
q
dy
IC
AD
pzdxdy
Atmósfera (atm o atmos), es la presión promedio en la atmósfera de la
Tierra a nivel del mar. 1 atm = 101,325 kPa ≈ 105 Pa.
Baria (ba), es la unidad de presión CGS. 1 baria = 1 dina/cm2 = 0,1 Pa.
Bar (b). 1 bar = 105 Pa ≈ 1 atm.
Evangelista Torricelli (Faenza,
1608; Florencia, 1647): Fı́sico italiano que investigó el vacı́o y construyó el primer barómetro de mercurio.
TO
.
PL
6.3.2.
DP
pman = p − patm .
(6.14)
y puede adquirir valores tanto positivos como negativos. En contraste, la presión
absoluta, p, siempre es positiva y sólo alcanza el cero cuando se logra un vacı́o
ideal, esto es, cuando no quedan moléculas o átomos en un espacio.
FIS
presión absoluta
Frecuentemente, los valores de la presión suelen darse referidos a la presión
atmosférica local. Dicha presión se denomina presión manométrica, pman ,
IC
AA
presión manométrica
Milı́metro de mercurio (mm Hg ó torr, es la presión que ejerce sobre su
base una columna de mercurio de un milı́metro de altura a nivel del mar.
760 mm Hg = 1 atm.
Presión en un punto
La presión en un punto de un fluido en reposo se ha definido como el módulo
de la fuerza normal dividida entre el área infinitesimal sobre la que actúa. Cabe
preguntarse si el valor de la presión ası́ obtenido se modificarı́a al cambiar la
orientación del área infinitesimal.
Para mostrar que esto no sucede, consideremos el elemento de volumen en
forma de cuña, que se muestra en la fig. 6.8. Sea pθ la presión que actúa sobre
la cara de área dx dl, dispuesta con inclinación θ, y sean py y pz las presiones
que actúan sobre las caras vertical y horizontal, de áreas respectivas dx dy y
dx dz. Por sencillez, supondremos que la única fuerza de volumen presente es
el peso de la cuña, de módulo
dW =
1
dx dy dzρg.
2
(6.15)
Según vimos en la sección V-A del capı́tulo 2, la nulidad de la resultante de
las fuerzas que actúan sobre un sistema material es condición necesaria de
Presión
173
equilibrio para dicho sistema. Si exigimos esta nulidad para las componentes y
y z de las fuerzas presentes resulta,
py dx dz − pθ dx dl sen θ = 0,
1
pz dx dy − pθ dx dl cos θ − dxdydzρg = 0.
2
(6.16)
(6.17)
I-
Teniendo en cuenta que
(6.18)
(6.19)
AI
dz = dl sen θ,
dy = dl cos θ,
py − pθ = 0,
1
pz − pθ − dzρg = 0.
2
(6.20)
IC
AD
las ecuaciones (6.16) y (6.17) quedan como
(6.21)
El último término de la segunda ecuación es un infinitésimo que puede despreciarse frente a los otros sumandos. Resulta entonces,
(6.22)
PL
py = pz = pθ ,
cualquiera que sea el ángulo θ. Si la orientación de la cuña fuese a lo largo del
eje x en lugar del eje y, un razonamiento similar conducirı́a a
IC
AA
px = pz = pθ .
(6.23)
TO
.
FIS
Puesto que la orientación de los ejes x e y es arbitraria, podemos entonces
concluir que la presión en un punto es independiente de la orientación del
área infinitesimal elegida en su definición. En otras palabras, la presión es una
función del punto.
La ec. (6.13) no puede usarse como definición de presión en un fluido en
movimiento, pues en estos existen esfuerzos normales de naturaleza viscosa que
dependen de los gradientes de velocidad, y éstos son diferentes en cada dirección
de espacio. Por tanto, el valor de la presión que se obtendrı́a a partir de (6.13)
dependerı́a (aunque en general débilmente) de la orientación elegida para da.
Sin embargo, en los flujos incompresibles, que serán los que trataremos aquı́,
puede demostrarse que el promedio de los esfuerzos normales que actúan según
las tres direcciones del espacio es independiente de la razón de deformación
del fluido. Por dicho motivo, en los fluidos en movimiento, se define la presión
como
1
(6.24)
p = (|~τnx | + |~τny | + |~τnz |) .
3
En un fluido perfecto, sin viscosidad, los esfuerzos viscosos están ausentes tanto
si el fluido está en reposo como si está en movimiento. En tal caso, la definición
de presión según (6.13) sigue siendo válida.
DP
EU
AT
6.3
Estática de fluidos
p(x,y,z+ _12 dz) dxdy
z
dx
(x,y,z)
→
dW
dz
p(x,y+ _12 dy,z) dxdz
I-
p(x,y− _12 dy,z) dxdz
FIGURA 6.9: Equilibrio de una
partı́cula de fluido en reposo en el
seno de un campo gravitatorio. Por
claridad se omiten las fuerzas de
presión paralelas al eje x.
AI
dy
p(x,y,z− _12 dz) dxdy
x
Ecuación fundamental de la estática de fluidos
en el campo gravitatorio
IC
AD
6.4.
y
Consideremos una partı́cula de fluido de forma paralelepipédica centrada
en el punto de coordenadas (x, y, z) (fig. 6.9). Si el fluido está en reposo, la
partı́cula estará sometida a la acción de fuerzas normales sobre cada una de sus
seis caras y, además, la fuerza de volumen debida a su propio peso. La presión
que actúa sobre cada una de las caras de la partı́cula puede obtenerse mediante
un desarrollo de Taylor. Ası́, por ejemplo, la presión en la cara perpendicular
al eje z situada a la altura z − 12 dz se expresará como
PL
Brook Taylor (Edmond, 1685;
Londres, 1731): Matemático inglés. El desarrollo que lleva su
nombre era ya conocido por James
Gregory (Drumoak (Aberdeen),
1638; Edimburgo, 1675).
EU
AT
174
IC
AA
∂p dz
,
(6.25)
∂z 2
donde se ha limitado el desarrollo hasta términos infinitésimos de primer orden.
Análogamente, la presión del fluido en la cara opuesta valdrá
p(x, y, z − 21 dz) = p(x, y, z) −
DP
TO
.
FIS
∂p dz
.
(6.26)
∂z 2
Expresiones análogas se obtienen para las restantes caras.
Puesto que la partı́cula fluida está en equilibrio, la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre ella ha de ser necesariamente nula. El balance de
fuerzas en la dirección z es entonces
p(x, y, z + 12 dz) = p(x, y, z) +
p(x, y, z − 12 dz)dxdy
−p(x, y, z + 12 dz)dxdy
−ρgdxdydz = 0,
(6.27)
y teniendo en cuenta las ecuaciones (6.25)–(6.26) resulta
∂p
+ ρg = 0.
(6.28)
∂z
En las direcciones x e y del espacio no actúa ninguna fuerza de volumen, por
lo que los respectivos balances de fuerzas resultan ser
∂p
= 0,
∂x
∂p
= 0.
∂y
(6.29)
(6.30)
Ecuación fundamental de la estática de fluidos en el campo gravitatorio
El conjunto de las ecuaciones (6.28)–(6.30) puede escribirse como una única
ecuación vectorial que recibe el nombre de ecuación fundamental de la estática
de fluidos en el campo gravitatorio,
~ = ρ~g,
∇p
(6.31)
z
zB'
H
AI
I-
~ es el gradiente de la presión,
donde ~g = −g~k es el vector gravedad y ∇p
∂p ∂p ∂p
~
∇p =
,
,
.
(6.32)
∂x ∂y ∂z
175
EU
AT
6.4
pB
zB
dp = −
pA
ρgdz.
zA
PL
Si la densidad del fluido es constante resulta entonces
IC
AD
De las ecs. (6.29)–(6.30) se deduce que la presión en el campo gravitatorio
es independiente de las coordenadas x e y. Por tanto, las superficies isobaras
(lugares geométricos de los puntos de igual presión) son planos horizontales.
Por el contrario, como lo muestra la ec. (6.28), la presión sı́ cambia con la
coordenada z. Puesto que el cambio de presión por unidad de longitud en la
dirección z (∂p/∂z) es negativo (−ρg), la presión en el fluido disminuye con
la altura. Teniendo en cuenta que p = p(z), la ec. (6.28) puede integrarse
fácilmente entre dos puntos arbitrarios de alturas zA y zB y presiones pA y pB
respectivamente,
Z
Z
pB − pA = −ρg(zB − zA ),
IC
AA
o bien
pA + ρgzA = pB + ρgzB .
(6.33)
(6.34)
(6.35)
Claramente, si la presión en el punto B es conocida, la presión en el punto A
puede determinarse en función de la presión en el punto B y la diferencia de
alturas entre los dos puntos (fig. 6.10). Frecuentemente, el punto B se toma
en la superficie libre del fluido (B ′ ), donde la presión es igual a la presión
atmosférica. La presión en el punto A vale entonces
(6.36)
FIS
pA = patm + ρgH,
TO
.
donde H = zB − zA es la profundidad del punto A respecto de la superficie
libre.
Debido a la baja densidad del aire, la variación de la presión atmosférica con
la altura es mucho más pequeña que en los lı́quidos, por lo que su valor puede
considerarse prácticamente constante. Ası́, por ejemplo, para que la presión atmosférica disminuya en un 10 % respecto de su valor a nivel del mar tendrı́amos
que ascender hasta una altura H tal que ρaire gH = 0,1 atm. Teniendo en cuenta
que la densidad del aire es aproximadamente 1,3 kg/m3 , resulta
DP
H=
0,1 atm
∼ 800 m.
ρaire g
(6.37)
Evidentemente, tales distancias quedan prácticamente fuera del interés arquitectónico, por lo que no se comete un error apreciable al suponer patm =cte en
todos los puntos. La densidad de los lı́quidos, por el contrario, es tı́picamente
1000 veces superior a la densidad del aire. En el agua, por ejemplo, la presión
se incrementa en aproximadamente 1 atm por cada 10 m de profundidad.
pB' = patm
B'
zB
zA
pB
B
pA
A
0
FIGURA 6.10: Presión en los puntos
de un fluido situados a distintas alturas.
Estática de fluidos
EU
AT
176
AI
I-
Numerosos experiencias cotidianas referentes al equilibrio de lı́quidos encuentran su explicación en la aplicación de la ec. (6.36). Consideremos, por
ejemplo, la horizontalidad de la superficie libre de un lı́quido en reposo, o la
igualdad de los niveles alcanzados por un lı́quido en las distintas ramas de un
vaso comunicante. El equilibrio de la superficie libre impone la igualdad de la
presión en el lı́quido y en el aire para todos y cada uno de los puntos de la
superficie libre. Sin embargo, según hemos probado, la presión en el aire es
constante, por lo que la interfaz lı́quido-aire debe necesariamente coincidir con
una superficie isobara del lı́quido, esto es, una superficie horizontal (H = 0).
La ec. (6.35) se escribe frecuentemente en términos de alturas en lugar de
presiones, para lo cual se divide toda la ecuación por ρg,
pA
pB
+ zA =
+ zB = constante.
ρg
ρg
IC
AD
(6.38)
Los sumandos reciben los siguientes nombres:
Altura geométrica, z.
Altura de presión, p/ρg.
IC
AA
PROBLEMA RESUELTO 6.1:
PL
Altura piezométrica, z + p/ρg.
DP
TO
.
FIS
En la figura se muestra un depósito de agua conectado a otro de aceite mediante
un tubo en U. El depósito de agua está cerrado por su parte superior, siendo la
presión del aire encerrado pB = 6,4×104 Pa. El depósito de aceite, por el contrario,
está abierto a la atmósfera. Para evitar que aceite y agua entren en contacto, un
tercer lı́quido, de densidad ρ′ = 1,6 × 103 kg/m3 , se interpone entre el aceite y el
agua en el tubo en U. Para la situación que se muestra en la figura, determine el
desnivel d entre el aceite y el agua.
Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3 , ρaceite = 0,8 × 103 kg/m3 .
PROBLEMA RESUELTO 6.1
B
aire
d
6m
0,5 m
aceite
agua
C
E
Principio de Pascal
177
Solución:
Mediante la ecuación fundamental de la estática de fluidos, la presión en el punto
E (de contacto entre el aceite y el lı́quido de densidad ρ′ ) se puede relacionar con
la presión atmosférica a la que se encuentra el aceite que está en la superficie en
el depósito de la derecha (abierto a la atmósfera):
(P1.1)
I-
pE = patm + ρaceite g(6,5 − d),
EU
AT
6.5
IC
AD
Sustituyendo los datos y despejando la única incógnita llegamos a que
d = 2,5 m.
(P1.3)
Principio de Pascal
PL
6.5.
AI
o bien con la presión a la que se encuentra el aire encerrado en el depósito de la
izquierda:
pE = pB + ρagua g6 + ρ′ g0,5.
(P1.2)
FIS
IC
AA
Llamado “principio” por razones históricas es, en realidad, una consecuencia
importante de la variación lineal de la presión con la profundidad en un lı́quido
en reposo. Este principio fue establecido experimentalmente por primera vez
por Pascal y puede enunciarse como sigue: si la presión ejercida en un punto
de un fluido incompresible en equilibrio cambia en una cantidad ∆p, entonces
la presión cambia en la misma cantidad ∆p en todos los puntos del fluido.
En efecto, sean dos puntos A y B de un fluido incompresible en equilibrio.
Como ya sabemos, las presiones en dichos puntos están relacionadas mediante
la ec. (6.35). Supongamos ahora que la presión del fluido se modifica por alguna
causa, de forma que en el punto A pasa a ser pA +∆pA y en el punto B pasa a ser
pB + ∆pB . Si el fluido continúa en equilibrio, tendrá que cumplirse nuevamente
que
pA + ∆pA + ρgzA = pB + ∆pB + ρgzB ,
(6.39)
Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,
1623; Parı́s, 1662): Filósofo,
matemático y fı́sico, destaca por
sus contribuciones a la geometrı́a
de cónicas, la combinatoria, cálculo de probabilidades. Descubrió la
utilidad del barómetro como
altı́metro y fue el fundador de
la estática de fluidos. En 1642
construyó la primera calculadora.
y teniendo en cuenta la ec. (6.35) resulta
∆pA = ∆pB .
(6.40)
DP
TO
.
Una de las aplicaciones más importantes del principio de Pascal es la prensa
hidráulica. Básicamente, una prensa hidráulica es un recipiente cerrado, dotado
de dos émbolos de distinta superficie, y que contiene un lı́quido incompresible en
su interior. Al aplicar sobre el émbolo de menor superficie, SA , una fuerza normal de módulo FA , la presión del fluido situado tras el émbolo se modificará en
la cantidad ∆pA = FA /SA . Según el principio de Pascal, dicho incremento de
presión se transmite a todos los puntos del fluido y, en particular, a los puntos
del fluido situados bajo el émbolo de mayor superficie. Para equilibrar dicho
émbolo, de superficie SB , deberá aplicarse una fuerza normal de módulo FB
tal que
FA
FB
∆pA =
=
= ∆pB .
(6.41)
SA
SB
prensa hidráulica
Estática de fluidos
EU
AT
178
I-
Por tanto, si la superficie de los émbolos se elige de forma que SA ≪ SB se
tendrá que FA ≪ FB , de donde se desprende la utilidad de este dispositivo
para amplificar la fuerza ejercida. El principio del funcionamiento de la prensa
hidráulica se utiliza en otras muchas aplicaciones prácticas, por ejemplo en
sistemas de elevación electro-hidráulicos de cargas o en los frenos de discos de
los coches y motocicletas.
Empuje sobre paredes sumergidas
6.6.1.
Empuje sobre una pared horizontal
IC
AD
AI
6.6.
IC
AA
PL
Sea una pared horizontal, de superficie S, en contacto con un lı́quido de
densidad ρ en una de sus caras. Sobre cada punto de dicha cara el lı́quido ejerce
una presión de idéntico de valor, p = patm + ρgH, donde H es la profundidad
de la pared respecto de la superficie libre. Por tanto, la pared está sometida
a una fuerza distribuida homogéneamente por su superficie y el módulo de la
fuerza total será entonces
Z
F =
p da
S
Z
= p da
S
= pS
= (patm + ρgH)S.
(6.42)
FIS
La dirección de la fuerza es vertical y su sentido es siempre hacia la pared. El
punto de aplicación de dicha fuerza es siempre el del centroide de la superficie
S.
Si al otro lado de la pared hay aire, la fuerza neta ejercida sobre la pared
será entonces
Fneta = pS − patm S = ρgHS.
(6.43)
6.6.2.
DP
TO
.
FIGURA 6.11: Fuerzas hidrostáticas
sobre una pared inclinada.
Empuje sobre una pared inclinada
Sea una pared rectangular, inclinada un ángulo θ respecto de la horizontal,
tal que una de sus caras está en contacto con un lı́quido de densidad ρ y la
cara opuesta está en contacto con la atmósfera (fig. 6.11). Consideremos el
elemento de superficie mostrado en la fig. 6.11, de área da = wdl, y situado a
una profundidad h respecto de la superficie libre. Siendo la presión constante
en todos los puntos de dicho elemento, la fuerza neta ejercida por el fluido y la
atmósfera tendrá por valor
dFneta = p da − patm da
= ρghwdl,
(6.44)
estará aplicada en el centroide del elemento de área y su dirección será normal
a la pared. La fuerza neta por unidad de longitud que actúa sobre la pared
Empuje sobre paredes sumergidas
179
I-
EU
AT
6.6
IC
AD
AI
FIGURA 6.12: Densidad de fuerzas
hidrostáticas sobre una pared inclinada (izda.) y fuerza neta equivalente
(dcha.).
puede expresarse entonces como
dFneta
dl
= ρghw.
f =
(6.45)
IC
AA
PL
Tal distribución de fuerzas varı́a linealmente con la profundidad, siendo cero
en la superficie libre (h = 0) y adquiriendo su máximo valor, f = ρgHw, en
el extremo inferior de la pared (h = H). Se trata pues de una distribución
triangular de fuerzas (fig. 6.12), análoga a las cargas planas estudiadas en la
sección 3.11 del capı́tulo 3. Por tanto, la fuerza neta total será igual al área de
la superficie de carga, esto es
Fneta =
1
H2
ρgw
,
2
sen θ
(6.46)
y estará aplicada a una altura 13 H respecto del extremo inferior de la pared. El
punto de aplicación de la fuerza Fneta recibe el nombre de centro de presiones.
En el caso de una pared vertical, θ = π2 , y se tiene
1
ρgwH 2 .
2
FIS
Fneta =
(6.47)
TO
.
PROBLEMA RESUELTO 6.2:
El depósito de la figura, abierto a la atmósfera, contiene agua hasta una altura de
2 m. El tubo en U que sale del depósito está parcialmente lleno de un fluido (de
tono más oscuro) de densidad ρfluido = 1200 kg/m3 . La pared AB pesa 18 × 104 N
y está empotrada en el suelo. En estas condiciones, calcula:
DP
(a) La altura h que alcanza el fluido oscuro en el tubo en U respecto del fondo
del depósito, sabiendo que la interfaz agua-fluido (punto C) está a una altura
de 0,5 m respecto del fondo del depósito.
(b) Para la pared vertical AB, los vectores fuerza de reacción vincular y momento
en el empotramiento B.
centro de presiones
Estática de fluidos
EU
AT
180
5m
A
2m 3m
C
I-
h
0,5 m
B
AI
PROBLEMA RESUELTO 6.2
IC
AD
Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3 .
Solución:
PL
(a) La presión en el contacto entre el fluido y el agua se puede relacionar mediante
la ecuación fundamental de la estática de fluidos con la presión atmosférica a la
que se encuentra el agua en el depósito abierto a la atmósfera o bien con la presión
atmosférica a la que se encuentran los puntos del fluido en U que distan una altura
h respecto del fondo del depósito:
pC = patm + ρfluido g(h − 0,5),
(P2.1)
pC = patm + ρagua g(2 − 0,5).
(P2.2)
h = 1,75 m.
(P2.3)
A
2m
F
2/3 m
P
fBy
B
MB
TO
.
fBx
FIGURA P2a: Diagrama de fuerzas
del apartado (b).
DP
(b) La pared vertical AB se puede considerar como un sólido rı́gido vinculado en
el punto B mediante un empotramiento. Para estudiar el equilibrio aplicamos el
principio de liberación y sustituimos el empotramiento por dos fuerzas de reacción
~ Bx y φ
~ By , que impidan respectivamente las posibles traslaciones horivincular φ
~ B que impida los posibles
zontal y vertical, y un momento de reacción vincular M
giros alrededor de B.
El diagrama de fuerzas se ilustra en la fig. P2a. Las fuerzas activas son el peso de
la pared y la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular debido a la
presencia de los fluidos agua y aire a la izquierda y derecha, respectivamente, de
la pared. Este sistema de fuerzas distribuidas puede reducirse a una única fuerza
de componentes las de la resultante y aplicado en el centro de vectores paralelos, que en el caso de una carga triangular se encuentra a h3 desde el punto de
empotramiento, donde h es la altura de la columna de agua (fig. P2a).
FIS
G
IC
AA
Por tanto, despejando
Las ecuaciones de equilibrio del sólido rı́gido en el plano son:
X
Fx = 0,
X
Fx = 0,
X
MOz = 0.
(P2.4)
(P2.5)
(P2.6)
Teniendo en cuenta que la pared es de grosor despreciable, la ecuaciones de equilibrio quedan
F − φBx = 0,
(P2.7)
Empuje de tierras
181
φBy − P = 0,
h
MB − F = 0,
3
donde la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular es
1
ρgah2 ,
2
(P2.9)
(P2.10)
I-
F =
(P2.8)
EU
AT
6.7
siendo a = 5 m y h = 2 m.
6.7.
Empuje de tierras
(P2.11)
(P2.12)
IC
AD
~ B = (−105 , 18 104) N,
φ
~ B = (0, 0, 2 × 105 ) N m.
M
3
AI
Resolviendo el sistema de ecs. (P2.7)–(P2.9) y expresando la solución en forma
vectorial obtenemos
DP
TO
.
FIS
IC
AA
PL
Si se deja caer un chorro de arena seca sobre un plano horizontal se forma un
cono. Las generatrices de dicho cono forman con el plano horizontal un ángulo
bien definido, llamado ángulo de talud natural, de forma que cualquier talud de
mayor pendiente serı́a inestable. La presencia de humedad en la tierra puede
alterar su cohesión, por lo que el ángulo de talud natural podrı́a verse afectado
por el grado de humedad.
Cuando se requiere que un apilamiento de tierras tenga una pendiente superior a la de su ángulo de talud natural es necesario emplear un muro de
contención o de sostenimiento que impida el deslizamiento de las tierras. La resultante de las fuerzas que ejercen las tierras sobre el muro se denomina empuje
y, en ciertas circunstancias, guarda gran similitud con el empuje hidrostático
sobre una pared sumergida en un fluido.
Existen dos teorı́as aceptadas comúnmente para el cálculo del empuje de
tierras: la teorı́a de Coulomb (1776) y la teorı́a de Rankine (1857). Ambas
teorı́as presuponen que el terreno del suelo es no cohesivo (sin componentes
arcillosos), homogéneo (no es una mezcla variable de distintos materiales),
isotrópico (presenta propiedades similares en todas las direcciones), semi-infinito
(el muro de contención es muy largo y la tierra contenida termina lejos del
muro) y bien drenado (no acumula agua).
Tanto en la teorı́a de Rankine como en la teorı́a de Coulomb se tiene en
cuenta la fricción interna del terreno, aunque desde enfoques diferentes. En la
teorı́a de Coulomb, además, se considera la fricción entre la pared y la tierra
retenida y puede aplicarse a muros de contención dispuestos con inclinación
arbitraria. Cuando en la teorı́a de Coulomb se desprecia la fricción en la pared
y se considera que el muro de contención es vertical, sus resultados coinciden
con la teorı́a de Rankine si el terraplén tras el muro es horizontal. En las
condiciones expresadas, el empuje que ejerce el muro de contención (fig. 6.13)
está dado por
1
ψ
E = ρt gw tan2 45◦ −
H 2,
(6.48)
2
2
ángulo de talud natural
William John Macquorn Rankine (Edimburgo, 1820; Glasgow,
1872): Es uno de los fundadores
de la teorı́a de las máquinas de
fuerza termodinámica; investigó la
máquina de vapor y la resistencia
por fricción en los barcos.
w
H
→
E
H/3
FIGURA 6.13: Densidad de fuerzas
que actúan sobre un muro de contención vertical según la teorı́a de
Rankine.
Estática de fluidos
EU
AT
182
I-
donde ρt es la densidad de la tierra, w la longitud del muro, H la altura de la
tierra contenida y ψ el ángulo de talud natural de dichas tierras. La ec. (6.48)
es formalmente idéntica a la correspondiente al empuje hidrostático ejercido
por un fluido de densidad
ψ
ρ′ = ρt tan2 45◦ −
.
(6.49)
2
AI
Además, como en dicho caso, el punto de aplicación del empuje del terreno
está aplicado a una altura h = H/3 medida desde la base del muro.
FIGURA 6.14: Realización práctica de
un muro de contención de tierras.
Clase de terreno
PL
IC
AD
Tierra de aluvión seca
Tierra de aluvión mojada
Tierra colorada compacta
Arcilla seca
Arcilla mojada
Arena seca
Arena húmeda
Arena mojada
Gravilla seca
Gravilla húmeda
Piedra partida
psup bc
c
6.8.
b
TO
.
pinf bc
~ que actúa
FIGURA 6.15: El empuje E
sobre el paralelepı́pedo surge de la
diferencia de presiones que actúa sobre las caras inferior y superior.
DP
Teorema de Arquı́medes
Un cuerpo sumergido (parcial o totalmente) en un fluido experimenta un
empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplazado.
FIS
a
→
E
40
30
40
40
20
31
40
29
30
25
45
IC
AA
TABLA 6.1: Ángulos de talud natural.
ψ (◦ )
centro de empuje
Aún cuando el teorema de Arquı́medes tiene validez general, la demostración
de este teorema la efectuaremos para un paralelepı́pedo, de dimensiones a×b×c,
completamente sumergido en un fluido de densidad ρ (fig. 6.15). Las fuerzas
sobre las cuatro caras laterales se anulan dos a dos, pues las fuerzas debida a la
presión son idénticas. El empuje que experimenta el paralelepı́pedo surge pues
de la diferencia de presiones entre la cara inferior y la cara superior,
E = (pinf − psup )bc
= ρgabc
= ρgV = P,
(6.50)
donde P es el peso que tendrı́a el volumen V del paralelepı́pedo si estuviera
ocupado por el fluido. El punto de aplicación de dicho empuje es el centroide
del paralelepı́pedo y se le denomina centro de empuje o de carena.
Teorema de Arquı́medes
183
PROBLEMA RESUELTO 6.3:
I-
Una barra cilı́ndrica, de sección S = 5 cm2 y de longitud L = 1 m, encuentra atada
mediante un cable de 25 cm de longitud al techo de un depósito de agua. El agua
del depósito dista 50 cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en el
agua según se muestra en la figura. Determine
(a) Ángulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio.
AI
(b) La longitud l de la barra que está sumergida.
EU
AT
6.8
Dato adicional: ρbarra /ρagua = 0,84.
A
FIS
Solución:
IC
AA
PL
B
IC
AD
(c) La tensión del cable.
TO
.
(a) El peso de la barra y el empuje que experimenta la porción de barra sumergida
son fuerzas verticales. Por tanto, la única posibilidad para que exista equilibrio es
que la tensión que ejerce el cable sea también vertical, luego el ángulo que forma
el cable con la vertical es 0◦ .
(b) Dibujamos el diagrama de fuerzas. Hay dos fuerzas activas: el peso P~ de la
~ y una fuerza de reacción vincular: la tensión T~ del cable.
barra y el empuje E,
DP
En el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la dirección vertical debe ser el
vector nulo. Por tanto,
E − P + T = 0.
(P3.1)
Además, la suma de los momentos de todas las fuerzas en un punto también debe
ser el vector nulo. Tomando momentos en el punto B obtenemos:
L
l
P cos α − E L −
cos α = 0.
(P3.2)
2
2
PROBLEMA RESUELTO 6.3
Estática de fluidos
EU
AT
184
Teniendo en cuenta el teorema de Arquı́medes, el módulo del empuje vale
E = Slρagua g,
Por otro lado, el módulo del peso vale,
I-
P = SLρbarra g.
AI
Sustituyendo en la ec. (P3.2) y sacando factor común cos α,
L
l
P −E L−
cos α = 0.
2
2
(P3.3)
(P3.4)
(P3.5)
IC
AD
En este problema cos α 6= 0, puesto que en el enunciado nos dicen que la barra
está parcialmente sumergida (y no totalmente sumergida y horizontal). Por tanto,
L
l
SLρbarra g − Slρagua g L −
= 0.
(P3.6)
2
2
Eliminando S g, dividiendo por ρagua y multiplicando por 2,
T
L2
PL
que es una ecuación de segundo grado en l. Resolviendo llegamos a que
r
ρbarra
l =L 1± 1−
.
ρagua
E
l
P
IC
AA
a
B
(P3.7)
(P3.8)
Como la longitud sumergida l tiene que ser menor que la distancia total L = 1 m,
la única solución válida es
l = 0,6 m.
(P3.9)
A
(c) De la ec. (P3.1) podemos despejar la tensión del cable,
TO
.
FIS
FIGURA P3a: Diagrama de fuerzas
del apartado (b).
DP
ρbarra
− 2lL + l2 = 0,
ρagua
T = P −E
= SLρbarra g − Slρagua g
= 1,2 N.
(P3.10)
185
EU
AT
Problemas propuestos
Problemas propuestos
(b) ¿Cuánto vale la fuerza que el lı́quido ejerce sobre el
fondo del recipiente?
(c) la fuerza neta ejercida por el agua y el aire sobre la
compuerta y la distancia de su punto de aplicación al punto O.
IC
AD
(c) ¿Cuánto vale la fuerza neta ejercida sobre una pared
lateral por el fluido y el aire?
(b) la fuerza neta ejercida por el lı́quido y el aire sobre la
válvula V .
AI
(a) ¿Cuál es el peso del lı́quido contenido en el recipiente?
I-
6.1. Un depósito prismático de base 2 × 2 m y de altura de longitud y 1,5 m de anchura, articulada en su extremo
5 m está abierto a la atmósfera y se encuentra parcialmente superior O y con un tope T en su parte inferior. Para la
lleno de aceite de densidad ρaceite = 0,85 × 103 kg/m3 . A situación descrita, calcula:
40 cm del fondo se ha instalado un manómetro que marca
una presión manométrica o diferencial de 3 × 104 Pa.
(a) la presión del lı́quido en la válvula V .
Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa.
Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa.
PL
6.2. Dos tubos de igual sección están comunicados como
se indica en la figura. Al principio la llave L está cerrada.
El tubo de la izquierda contiene agua y el de la derecha
aceite de densidad 0,8 g/cm3 , estando los dos tubos llenos
hasta la misma altura H = 1 m. El volumen del tubo de
comunicación se supone despreciable.
O
3m
IC
AA
(a) Calcula los niveles alcanzados por los lı́quidos después
de abrir la llave si h0 = 0,2 m.
(b) Calcula los niveles alcanzados por los lı́quidos si h0 =
0,02 m.
FIS
h0
H
6m
T
1m
1m
4,5 m
V
PROBLEMA 6.3
L
TO
.
6.4. El muro vertical que se muestra en la figura está empotrado en el suelo y sirve de contención de tierra. Sabiendo
que el muro posee una masa de 500 kg por metro lineal, que
3
6.3. La figura representa la sección de un depósito, abier- el peso especı́fico de la tierra es γ = 4000 kp/m y que su
◦
to a la atmósfera, que contiene un lı́quido de densidad ángulo de talud natural es de 10 , determine, de acuerdo
ρ = 1200 kg/m3 y, por encima de éste, agua, de densi- con la hipótesis de Rankine,
dad ρagua = 1000 kg/m3 , tal y como se indica en la figura.
Del depósito parte una tuberı́a de 0,03 m2 de sección, tam- (a) La fuerza de reacción (por metro) en el empotramienbién llena del primer lı́quido y cerrada mediante una válvula to.
V , perpendicular a la tuberı́a. Una de las paredes laterales
del depósito consiste en una compuerta rectangular de 9 m (b) El momento (por metro) en el empotramiento.
DP
PROBLEMA 6.2
Estática de fluidos
EU
AT
186
PROBLEMA 6.4
PL
IC
AD
6.5. Una pared vertical de 2 m de altura, 0,25 m de anchura
y 1 m de profundidad, cuyo peso es 104 N, se apoya sobre el
suelo mediante un contacto rugoso, siendo el coeficiente de
rozamiento estático suelo-pared µ = 0,1. A ambos lados de
la pared hay sendos depósitos que contienen agua. El nivel
de la izquierda alcanza una altura h1 = 1 m, mientras que
a la derecha la altura es h2 , desconocida. Se sabe que si
no hubiese agua en el depósito de la derecha (h2 = 0),
la pared no estarı́a en equilibrio a causa de las fuerzas de
presión que se ejercen desde la izquierda.
AI
I-
2m
¿Qué altura mı́nima deberı́a alcanzar el agua del depósito
de la derecha para garantizar el equilibrio de la pared?
IC
AA
0,25 m
1m
h1= 1 m
FIS
h2
PROBLEMA 6.5
DP
TO
.
6.6. Un depósito de agua de anchura unidad se cierra mediante una compuerta tal y como la que muestra la figura,
con un tramo horizontal de longitud b y un tramo inclinado 60◦ respecto de la horizontal. La compuerta, que se
considera un único sólido rı́gido plano de peso despreciable,
se encuentra apoyada en A y articulada al exterior en O.
Determina:
(a) Las fuerzas de reacción en A y en O en función de h
y b.
(b) La altura del nivel de agua para la que se abre la compuerta.
h
60o
O
A
b
PROBLEMA 6.6
187
Cuestiones
6.1. La presión en un fluido en equilibrio sometido a un
campo gravitatorio
(a) está dirigida verticalmente hacia abajo.
(b) 25 kp.
(c) 50 kp.
EU
AT
Cuestiones
(d) No se puede calcular sin conocer la densidad del fluido
que conecta los émbolos.
I-
(b) está dirigida normalmente sobre cualquier superficie.
PL
IC
AD
AI
(c) tiene el mismo valor en todos los puntos de una su- 6.6. En la figura se muestra una alberca de grandes dimenperficie vertical.
siones que se cierra mediante una compuerta articulada en
su parte inferior y dispuesta verticalmente. Para vaciar la
(d) Todas las otras respuestas son incorrectas.
alberca, la compuerta se libera y se abate lentamente ha6.2. Un recipiente de fondo horizontal, abierto a la cia el exterior. Entonces, podemos afirmar que durante la
atmósfera y en el seno de un campo gravitatorio ~g = −g~k, apertura de la compuerta, y en tanto que el agua de la
está lleno de un lı́quido incompresible de densidad ρ has- alberca no la rebase, el empuje hidrostático neto sobre la
ta una altura h. Si se sustituye ese lı́quido por otro cuya compuerta
densidad es el doble, ¿hasta qué altura hay que llenar el
recipiente para que la presión que el segundo lı́quido ejerce (a) no cambia.
sobre el fondo sea el doble que la que ejercı́a el lı́quido (b) aumenta.
inicial?
(c) disminuye.
(a) h.
(d) No puede responderse a esta pregunta sin conocer las
dimensiones de la compuerta.
(b) h + patm /ρg.
(c) h + 2patm /ρg.
IC
AA
(d) h + patm /2ρg.
6.3. La presión a 40 m de profundidad en el mar es aproximadamente
(a) 1 atm.
(b) 4 atm.
(c) 5 atm.
FIS
(d) 40 atm.
CUESTIÓN 6.6
DP
TO
.
6.4. Se suelta una burbuja de aire a 10 m de profundidad
bajo el agua. A medida que la burbuja asciende, suponiendo 6.7. De acuerdo con la hipótesis de Rankine, la fuerza total
ejercida por un terreno de densidad ρ0 sobre una pared de
temperatura constante, el volumen que ocupa el aire
un muro de contención vertical
(a) aumentará porque la presión del agua disminuye.
(a) es equivalente a la que ejercerı́a un hipotético fluido
(b) permanecerá constante.
con la misma densidad ρ0 que la tierra en cuestión.
(c) disminuirá porque la presión del agua aumenta.
(b) es equivalente a la de un fluido hipotético cuya den(d) aumentará aunque la presión del agua es la misma en
sidad se obtendrı́a a partir de ρ0 y del ángulo de talud
todos los puntos.
natural del terreno, ψ.
6.5. En una prensa hidráulica, la superficie del émbolo (c) es la misma para terrenos con el mismo ángulo de
pequeño es de 25 cm2 y la del émbolo mayor 100 cm2 . talud natural ψ.
¿Qué fuerza debemos aplicar sobre el émbolo mayor para
(d) puede calcularse en módulo si se sustituye el terreno
sostener un cuerpo de 100 kp de peso colocado sobre el
por un fluido hipotético de densidad adecuada, pero la
émbolo pequeño?
recta de acción de la fuerza total que ejerce el terreno no
coincidirá con la que corresponde al fluido.
(a) 400 kp.