Temario Primera Prueba Matemáticas II

Temario Primera Prueba Matemáticas II
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile.
2007
Para la prueba del dı́a sábado 1 de Septiembre de 2007, a las 9:00, los
estudiantes deben demostrar que :
1. Conocen la definición de funciones diferenciables.
2. Interpretan geométricamente y fı́sicamente de la derivada.
3. Conocer ejemplos de funciones diferenciables (trigonométricas, polinomiales, etc)
4. Conocen el teorema:“Toda función diferenciable es continua” y muestran contraejemplos del recı́proco.
5. Calculan derivadas de funciones que resultan ser la suma, producto
escalar, resta, producto, cuociente de funciones conocidas.
6. Utilizan la regla de la cadena.
7. Resuelven problemas de “tasas relacionadas” como aplicación de la
regla de la cadena.
8. Derivan funciones que resultan ser la inversa de otras conocidas.
9. Derivan la funciones inversas de las funciones trigonométricas.
10. Conocen y utilizan el resultado “Una función diferenciable que tiene
un máximo o un mı́nimo en un punto interior, entonces tiene derivada
nula en ese punto.” Muestran contraejemplos del recı́proco.
11. Conocen y utilizan el teorema de Rolle y el TVM y sus corolarios:
a) Dos funciones que tiene igual derivada en un intervalo son iguales
salvo una constante.
b) Una función de derivada no negativa en un intervalo es creciente.
c) Una función de derivada no positiva en un intervalo es decreciente.
Nota: Importante es notar que si el dominio no es un
intervalo los resultados son falsos
1
12. Calculan derivadas de orden superior.
13. Conocen la relación entre el signo de la segunda derivada y la concavidad o convexidad del gráfico.
14. Grafican funciones, al menos dos veces diferenciables, indicando intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mı́nimos, intervalos
de concavidad y de convexidad, puntos de inflexión, ası́ntotas, etc.
15. Resuelven problemas de máximos y mı́nimos.
16. Calculan sumas inferiores y superiores de Riemann.
17. Demuestran propiedades de sumas inferiores y superiores.
18. Deciden, en casos simples, si una función es integrable según Riemann.
Ejemplo: Muestre que toda función constante es integrable en un intervalo cerrado.
Ejemplo: Muestre que la función f : [0, 1] → R definida por
½
1 si x ∈ Q
f (x) =
0 si x ∈
/Q
no es integrable.
19. Reconoce a las funciones continuas como funciones integrables y conoce
ejemplos de funciones integrables que no son continuas.
20. Conocen el resultado Sea f : [a, b] → R continua y sea
Pn = {a = x0,n , x1,n , x2,n , x3,n , . . . , xn,n }, una familia de particiones
de [a, b], tal que ∆Pn = max{xk,n − xk−1,n / 1 ≤ k ≤ n} → 0, y sea
x∗k,n ∈ [xk−1,n , xk,n ], entonces el lı́mite
lı́m
n→∞
n
X
(xk,n − xk−1,n )f (x∗k,n ) =
Z
b
f (x)dx
a
k=1
y lo utiliza para calcular integrales.
21. Reconocen lı́mites de sumas como integrales y calculan los lı́mites.
Ejemplo: Calcule el lı́mite
lı́m
n→∞
n−1
X
sen
k=0
µ
kπ
n
¶µ ¶
1
n
22. Conoce y utiliza propiedades de las integrales.
Sean f, g : [a, b] → R integrables, c ∈ [a, b] y λ ∈ R, entonces
2
Z
b
Z
b
Z
b
(f (x) + λg(x))dx =
a
f (x)dx = −
b
f (x)dx + λ
Z
b
g(x)dx
a
a
a
f (x)dx
b
a
a
Z
Z
f (x)dx =
Z
a
c
f (x)dx +
Z
b
f (x)dx
c
23. Conoce y utiliza el teorema fundamental del cálculo.
24. Demuestra propiedades de funciones utilizando el TFC.
Ejemplo: Muestre que la función F (x) =
siempre creciente. Grafique F
Rx
0
t2 + 1dt es una función
25. Utiliza el método de integración por partes para calcular integrales y
primitivas.
26. Utiliza el método de integración por sustitución para calcular integrales y primitivas.
3