La aceleración centrípeta

Mecánica
El vector aceleración centrípeta y el
cambio del vector velocidad tangencial
se relacionan de la siguiente forma:

 ∆ v
ac =
∆t
(1.16)
La ecuación (1.16) implica que el vector
aceleración centrípeta tiene la misma
dirección y el mismo sentido que el
cambio de velocidad.
�
� vi
vf
��
��
�
�r
rf
vf
�v
vi
La aceleración centrípeta
En un movimiento circular cualquiera, la aceleración puede tener
una componente en dirección tangencial a la circunferencia y otra
componente en dirección radial y dirigida hacia el centro de la
trayectoria. A la primera se le llama aceleración tangencial y a
la segunda, aceleración centrípeta.
La aceleración tangencial se manifiesta como un cambio en el
módulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración
centrípeta aparece como un cambio en la dirección y sentido de
la velocidad.
En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo de
la velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleración
que cambia la dirección y el sentido de la velocidad, es decir, la
aceleración centrípeta.
El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centro


de curvatura, al igual que la aceleración centrípeta ac .
( )
�
ri
�

Figura 1.9. ∆r es el cambio de posición de un móvil en M.C.U. en un

intervalo de tiempo muy pequeño. ∆v
corresponde al cambio de velocidad
en el mismo intervalo.
vf
-vi
vi
De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U.
se cumplen las siguientes condiciones:
 

ri = rf = r
 

vi = v f = v

(1.17)
Δv
vf
rf

ri
Además, r ⊥ v en todo momento, por lo
tanto:  AOB ∼ A ′O ′B ′ (son triángulos
semejantes).

(Continúa en la página 23)



Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, ∆ v = v f − vi , que
experimenta un móvil en un pequeño intervalo de tiempo ( ∆t ) , se ve que

∆v es radial y está dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, por
lo tanto, también tiene esa dirección y sentido, y por eso se denomina
aceleración centrípeta.
22
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Capítulo 1: Movimiento Circular
De acuerdo a la ecuación (1.26), para determinar la aceleración
centrípeta se puede utilizar la siguiente relación:
(Continuación)
Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleración
centrípeta también puede ser determinada como:
Dadas las condiciones geométricas de
las ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9
y la relación de semejanza entre los
triángulos AOB y  A ′O ′B ′ , podemos ver que:
(1.19)
(1.23)
2
ac = v
r
ac = ω 2 ⋅ r
(1.18)
La fuerza centrípeta


En la mecánica de Newton, los cambios en el movimiento son
explicados por medio de fuerzas de interacción. En particular,
la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma de
todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es proporcional a la
aceleración del cuerpo:



F neta = ∑ F = ma
(1.20)
Considerando solo el módulo de los vectores, también podemos
escribir la ecuación (1.20) como:
Fneta = ma
(1.21)
En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo de
trayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura y
la denominamos fuerza centrípeta.
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta
provoca una aceleración centrípeta y, por lo tanto, en términos de
sus módulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma:
Fc = mac


∆v
∆r
=
v
r
(1.22)
Ejemplo 4
En el contenido de física de 2º medio, aprendimos que el radio
orbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 · 1011 m
y su masa es de 5,98 · 1024 Kg.
a)
¿Cuál es la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta
que ejerce el Sol sobre la Tierra?
b)
De acuerdo a este resultado, ¿nuestro planeta puede ser
considerado como un sistema inercial?
Al sustituir ac =
(1.23), se obtiene:

∆ v , en la ecuación
∆t
ac ⋅ ∆t ∆r
=
v
r
∆
r
⋅
v
ac =
r ⋅ ∆t
∆
ac = r ⋅ v
∆t r
2
ac = v ⋅ v = v
r
r
(1.24)
Donde hemos simplificado la notación,
ya que:


ac = ac

∆ r = ∆r
(1.25)
Es decir, en términos de magnitudes
podemos escribir el módulo de la aceleración centrípeta como:
2
ac = v
r
(1.26)
Por lo tanto, la magnitud o módulo de
la aceleración centrípeta es constante
en un M.C.U.
∑ es la letra griega “sigma” y se usa
para representar una sumatoria.
Sección 1: Movimiento circular uniforme
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Mecánica
a:
Para determinar la aceleración centrípeta, necesitamos saber
la rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra con
respecto al Sol.
Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo de
traslación de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente:
Fc
ω = ∆θ
∆t
ω = 2 πrad
T
2
πrad = 1, 99 ⋅ 10 −7 rad
ω=
s
3,16 ⋅ 10 7 s
ac
Figura 1.10. La fuerza de gravitación
actúa sobre la Tierra como una fuerza
centrípeta y provoca su órbita alrededor
del Sol. La intensidad de la fuerza es
relativamente grande, en cambio, la
aceleración que experimenta el planeta
es pequeña. La explicación de esta
diferencia se relaciona con la gran
magnitud de la masa de la Tierra.
De acuerdo a la ecuación (1.19), la aceleración centrípeta
es:
ac = ω 2 ⋅ r
(
ac = 1, 99 ⋅ 10 −7 rad
s
ac = 5 , 9 ⋅ 10 −3 m2
s
) ⋅1, 49 ⋅10
2
11
m
Con este resultado podemos determinar el módulo de la
fuerza centrípeta:
Fc = mac
Fc = 5 , 98 ⋅ 10 24 kg ⋅ 5 , 9 ⋅ 10 −3 m2
s
22
Fc = 3, 53 ⋅ 10 N
Aunque comúnmente se menciona la
fuerza centrífuga, en el contexto de
la mecánica newtoniana esta fuerza
no existe, ya que solo se trata de un
efecto inercial.
b:
Observamos en el resultado anterior que la aceleración
centrípeta tiene un valor muy bajo con respecto a la aceleración de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo que
la aceleración experimentada por la Tierra en su traslación
es prácticamente cero. Esta es la razón por la que nuestro
planeta puede ser considerado un sistema aproximadamente
inercial.
En cambio, la fuerza centrípeta alcanza un valor muy
grande, ya que se necesita una gran fuerza para mantener
el planeta en órbita.
Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande,
¿por qué nuestro planeta se acelera tan poco?
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Capítulo 1: Movimiento Circular
ci
S ec ó n
1
Movimiento circular uniforme (M.C.U.)
La trayectoria circular
Un móvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria.
Por ejemplo, en una carretera un automóvil puede moverse describiendo una línea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada,
generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia.
Para describir la distancia, la posición o el desplazamiento en
un movimiento rectilíneo, utilizamos como unidad de medida el
metro [m]; en cambio, en la descripción del movimiento circular
usamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, y
para determinar la posición y el desplazamiento utilizamos también
una unidad angular, conocida como radián [rad].
Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamental
la relación entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1:
el arco recorrido (∆s), el radio de curvatura (r) y el ángulo descrito (∆θ).
Figura 1.2. La trayectoria de un planeta
en torno al Sol puede ser considerada
como una trayectoria circular.
∆ es la letra griega “delta” que utilizamos en física para indicar diferencia
o cambio. θ es la letra griega “theta”
que utilizamos para indicar una medida
angular. Por lo tanto, ∆θ indica una
diferencia angular.
longitud = r
1 rad
r
móvil
r
∆s
∆θ
eje de referencia
Figura 1.3. Representación geométrica
de 1 rad.
Un radián (1 rad) es la unidad para medir
ángulos o desplazamiento angular en el
Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
Corresponde al cuociente entre un arco
de circunferencia (∆s), cuya longitud
es igual al radio (∆s = r), y el valor del
radio r:
∆θ = ∆s = r = 1 rad
r
r
Figura 1.1. Movimiento circular de un automóvil en una pista de carreras, r es el radio de curvatura, ∆s es el arco recorrido y ∆θ es el ángulo
descrito.
La posición de un móvil en movimiento circular queda definida
por el ángulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ángulo
se mide en radianes.
(1.1)
1 radián mide, aproximadamente, 57,3°
y una vuelta o revolución mide
360° = 6,28 rad = 2π rad.
El radián, al no tener dimensión, opera
como neutro multiplicativo, es decir:
1rad · 1m = 1m
(1.2)
Sección 1: Movimiento circular uniforme
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Mecánica
Cuando cambia la posición del móvil, decimos que realiza un
desplazamiento angular ∆θ, desde un ángulo inicial θi hasta un
ángulo final θf:
∆θ = θf − θi
Δs
r
Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimiento
describe un desplazamiento angular ∆θ, expresado en radianes,
hay un arco de circunferencia ∆s asociado a este desplazamiento.
Estos elementos se relacionan a través del radio de curvatura, de
la siguiente manera:
θf
Δθ
θi
∆θ = ∆s
r
Figura 1.4. Cambio de posición de un
móvil en movimiento circular. La posición
inicial del móvil es θi y su posición final
es θf, de modo que el desplazamiento
angular es ∆θ = θf – θi.
(1.4)
De la ecuación (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia,
quedando la relación como sigue:
∆θ ⋅ r = ∆s
(1.5)
La ecuación (1.5) muestra que la distancia recorrida es directamente proporcional al ángulo descrito por el móvil. Si ahora
relacionamos el cambio de posición con el intervalo de tiempo
(∆t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relación
fundamental:
ω es la letra griega “omega”.
Los conceptos de rapidez angular media
y rapidez tangencial media se pueden
expresar, en el límite, como medidas
instantáneas de la rapidez angular y la
rapidez tangencial.
ω m ⋅ r = vm
Lo anterior se puede hacer considerando
que el intervalo de tiempo que transcurre
entre dos posiciones sucesivas es muy
cercano a cero. Esta condición se expresa
a través del concepto de límite, de la
siguiente forma:
En la ecuación (1.6), ω m = ∆θ es la rapidez angular media y
∆t
vm = ∆s es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapidez
∆t
tangencial media es directamente proporcional a la rapidez
angular media.
ω = lim ∆θ
∆t → 0 ∆t
v = lim ∆s
∆t → 0 ∆t
Cuando el movimiento del móvil es uniforme, entonces su rapidez
angular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todo
el proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimiento
circular uniforme (M.C.U.).
(1.7)
(1.8)
Las ecuaciones (1.7) y (1.8) definen la
rapidez angular instantánea y la rapidez
tangencial instantánea, respectivamente.
Con esta definición, la ecuación (1.6) se
puede expresar como:
ω⋅r = v
16
(1.3)
(1.9)
∆θ ⋅ r = ∆s
∆t
∆t
(1.6)
¿Cuál es el desplazamiento angular del minutero de un
reloj analógico cuando se mueve desde los 15 a los 45
minutos?
Física 3° Año Medio
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Capítulo 1: Movimiento Circular
Ejemplo 1
El segundero de un reloj analógico tiene una longitud radial de 20 cm
y describe un ángulo de 90° en un tiempo de 15 s.
a)
¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes?
b)
¿Cuál es el valor de la rapidez angular media?
c)
¿Cuál es el valor de la rapidez tangencial media?
a:
Una vuelta o revolución corresponde a un ángulo de 360°.
Expresado en radianes, este ángulo corresponde a 2π rad,
entonces podemos establecer la siguiente proporción:
360° = 2 πrad
90°
∆θ
π
∆θ = rad
2
b:
La rapidez angular media es, entonces:
ω = ∆θ
∆t
π rad
ω= 2
15 s
π
rad = 0 ,1 rad
ω=
30 s
s
c:
De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radio
del segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es:
v = ω⋅r
v = 0 ,1 rad ⋅ 0 , 2 m
s
v = 0 , 02 m
s
Donde hemos expresado el radio en metros.
¿Cuánto tiempo, expresado en segundos, se demora
el puntero del horario de un reloj analógico en dar
una vuelta?
En la cinemática del movimiento rectilíneo, aprendimos que la rapidez es el
módulo del vector velocidad.
En el movimiento circular, también podemos hablar de velocidad tangencial y
velocidad angular, que definen el sentido
y el plano de giro, respectivamente.
De acuerdo a lo anterior, la rapidez
tangencial y la rapidez angular son los
módulos de los correspondientes vectores
velocidad:

v =v

ω =ω
(1.10)
De acuerdo a esto, la ecuación (1.9) se
puede expresar vectorialmente como
un producto vectorial de la siguiente
forma:
  
(1.11)
v=ω×r

En esta expresión, r es el vector posición del móvil.

ω
trayectoria

r

v

Figura 1.5. ω es perpendicular
al

plano del movimiento. v es siempre
tangencial a la trayectoria. La dirección
de ambos vectores se relaciona a través
de la regla de la mano derecha: cuando
el pulgar se apunta en la dirección de

ω , la mano, extendida tangencialmente a la trayectoria,
apunta en la

dirección de v .
Sección 1: Movimiento circular uniforme
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