EI sistema Hondt, el método de los cocientes electorales

EI sistema Hondt , el método de los cocientes
electorales decrecientes y la representación
proporcional
por JULIO MIRÁS
Instituto Nacional de Estadística
INTRODUCCIUN
La reforma política que trata de ponerse en marcha en Espa^ia (escribo esto
en marzo de 1977, cuando está^n a punto de decretarse las normas electorales)
pone de actualidad el interés sobre los distintos mecanismos aritméticos mediante
los cuales se asignan los escaños correspondientes a una circunscripción electoral a
las distintas listas (o partidos) en función del número de votos que alcancen.
Este artículo trata de analizar algunos de los métodos más conocidos, estudiándolos en términos comparativos con el criterio de representación proporcional. Los resultados que se presentan son bien conocidos por quienes se han preocupado del tema y puede llegarse a ellos mediante razonamientos ernp;ricos sobre
cascs particulares. Se pretende sblamente aportar un análisis formalizado de este
tipo de cuestiones.
I.
LA REPRESENTACION PROPORCIONAL
Supongarnos que de las K listas que se han presentado a las elecciones en una
circunscripción, la i ha obtenido X^ votos; entonces
k
X-`^ X!
^=1
^s el número total de votos emitidos y si es E el número de escaños a repartir
^ntre las K listas, se denomina cociente electorat al cociente
v=
l02
ESTADIS t[CA ESNANOLA
E1 cociente electoral v representa el número de votos necesarios a una lista
para obtener un escaño, de modo que
X^
V^ ^
v
es el número de escaños que corresponderían a ia lista i en un reparto proporcional de los mis^mos.
Es claro que se cumple
k
^, V^=E
i-I
pero en general el número de escaños de la lista i, V1, no será un número entero.
Podemos descomponerlo de la siguiente forma:
Vt=^.V^]+r^
siendo (Vi] la «parte entera^ de V^ y rt el uresto decimal» que estará dentro del
intervalo 0 ^ r^ < 1.
Si designamos por ( V) la suma de los escaños enteros de las K listas y por R
la suma de los restos, se cumple:
^
^V]=^,^- _ ^ÍV:1
;
(V ] -}- R = E
R - ^'
r-^
Esto ímplica que la suma de los restos equivale a un número entero de escafos (por ser enteros i V1 y E) que s+erá siempre menor que el número de listas,
puesto que los K restos son menores que la unidad.
En un reparto proporcional de los Escaños, a la lista
i° le corresponden
[Vzl
y de los R que quedan se agrega uno a cada una de las listas que tengan Ios R
mayores restos rt.
II.
EL SISTEMA HONDT
Consiste en calcular los cocientes que resultan de dividir el número de votos
de cada lista por la serie de los números naturales:
1
(
i= 1,2,...,K
l
1--1,2,...
y a continuación aplicar la siguiente regla:
1O3
EL S15TEMA HONDT, EL MLTODO DE LOS C4CIENTE^ ^1.ECTORALES...
Si es E el número de escaños a repartir, a la lista i le corresponden tantos
como cocientes Ct; están en el cor^ ^ unto de los E mayores.
^JEMPLO 1.
En el cuadro 1 se muestra el reparto de 32 escaños entre 7 listas que han
obtenido 2020; 124^; 107U; 870; 700; 340, y 16^0 votos. Se han subrayado hos 32
mayores cocientes, correspondiendo once a la primera lista, siete a la segunda,
etcétera.
CU ^1DR0 1
LISTAS
DIVISORES
1
3
4
1í070
870
',
435
I
2^0
__ ____
i
217
i
1
2J20
!
1240
2
1010
;
^
62í^
____ _ ^..._
3
673
,
413
i, --
4
505
31^
______
267
i
I _.__._ _ . _.. ___
5
40^
248
^
^i ---
6
336
178
;
2^F^
_ - , _____._--_____.^
7
288
177
8
252
155
f
535
^_____ _. __
i
356
21-^
;
-__._ _
7
700
_ ------
350
--_ __..
340
^
160
170
233
175
176
152
i
0
10
Escaños
11
183
12
168
.......^.•...^
7
11
^
4
6
3
i
1.
i
II.1
E1 sistema Hondt expresando los votos en escaños
Si el número de votos de cada lista sre divide por un número positivo, v, el
resultado de aplicar el sistema Hondt a los números ^X,, X.,, ..., Xl, ..., XK, es el
mismo que si se aplica a los números
l
^
Xl
X^
xt
XK ^
v' v'^^' v'^^' v J
ESTADISTICA ESPAI^TOLA
Esta af irYnación queda probada por el hecho de que el orden de mayor a menor de los cocientes Ci^ es el mismo que el de los cocientes C'!^ _(Xi^jv). En efecto,
por ser v un número positivo, para todo ti, i` = 1, 2, .,., K; j, j" = 1, 2, ..., se cumple que:
X^ > Xs'
Xt
_
4---^
1
< 1'
jv
> ^Lz'
._._.
c 1'v
Esta propiedad nos permite analizar el sistema Hondt de una forma muy intuitiva si expresamos el número de votos, X f, de cada lista en escaí^ios. Esto es,
s^i se aplica a los números ^Vl, V.,, .,., V^, ..., V^.; en vez de a los números
^X1, X,, ..., XK^, lo cual, como hemos visto, es equivalente.
I1.2
A.II.1
C©mparación del sistema Hondt con Ia representación proporcional
El sisíemra Hondt, lo m.ismo que el proporcionat, asigncr^ a la lista i un
número de escar^os al menos i^^ ual a su parte entera ( V,^.
Para probar esta afirmaeión supongamos ordenados de mayor a menor los
númer:^s V^:
V1 ^VZ ^...^-Vi ^...^V rn^- ...^V ^{
y sea m la lista tal que V,,, es el menor número {de los Vt) superior o igual a la
unidad. En estas condiciones todos los cocientes
V
( i- 1, 2, ..., m
Cs f = t siendo 1
j
^ j_ 1, 2, ..., [1^^^ j
son superiares, o al menos iguales, a la unidad por ser
1^[V^) -^ V^
Y
Cualquier otro cociente Ci^ _(V^^j)
dad. Corno por otra parte
Vt ^ 1
para
iGm
para i> m, o j>( V^ ( es menor que la uni-
^ ^V ^^ _ (V ^^
i^I
que es el número de cocientes mayores o iguaies a la unidad, es menor que E,
como ya hemos visto antes, todos ellos están dentro de los E mayores, y por ser
precisamente las expresados en [ II.11 resulta que el sistema Hondt as7gna a la
tista i al menos [ V^^ escaí^os.
FL SISTEMA HONDT, EL METODO DE LOS COCIENTES :.d.ECTORALE5...
A.II2
l05
El sistema Hondt distorsivna la, prop^arcionalidad prim^ando a las listas con
mayor número de votos en el reparto de escar^os qu.e corresponden a los
resto8.
Para probar esta afirmación partimos de que después de haber repartído todos
Ios [V] escaños enteros, los cocientes que siguen a estos ( V] mayores son de la
f orma
C
i^r^^ . = V` ;
h = 1, 2, . . .
[ II.21
[Vi] -f- h
y es^to implica que al comenzar ' a aplicar a las listas divisores mayores que su
parte entera, el cociente no es proporcional al resto ri, sino que sigue una ley cuya
expresión matemática, teniendo en cuenta [ I I.21 y que V ^_( V ^)+ r,, es en la primera división (h - i):
1_ r-}- ( V{]
i+[ V^] i
i-}- [ V,]
[ II.3 l
y cuya gráfica se muestra en la figura i. A partir de la fórmula [II.3l, puede probarse que:
1) Después de hab^er asi^^ nado a cada lista,. el número entero de escaños que le
correspanden., a ig^ ualdad de resto obtiene mayor cociente la lista con mayor parte
entera.
En efecto:
Si de dos listas con igual resto r.^ r', la primera de ellas tiene mayor parte
entera [V ]>[V'], teniendo en cuenta la fórmula [ II.3l y después de un sencillo
cálculo, se obtiene que la diferencia de sus cocientes es:
^c^^ -` C^c^^ .--
siendo
H- (1 +[ V J) (1 -}- ( V']);
tiva y o ^ r< 1, re sulta ser
2)
^V] -- ^V'J
(1 ^ r)
H
por lo tanto, puesto que H es una cantidad posi-
C ^, ^> C' ^ ^^.
Después de haber asi^^ nado ar cada lista el número entero de escaños que le
corresponden, si una lista tiene mayor parte entera que otra, necesita un resto
menor que la segu^ndol para obtener un cociente superior.
En efecto:
Sean ( V' ) y r' la parte entera y el res^to de una lista, y sea ( V^^( V'] -}- N
la parte entera de otra lista (con N escaños enteros más que la primera). E1 resto
lOe
ESTAD[STICA ESPAÑQLA
a^
t
á
c
á^
^
^
^
`
_o
^
EL S15TEMA }i0i^1DT, EL METODO DE LOS COCIEIv'TES LrLECTORALES...
10?
que necesita la mayor para que su cociente C^„ iguale al C"„^ de la menor es,
después de un sencillo cálculo teniendo en cuenta la fórmula ( II.31:
N(1--r-')
r - r'-^
^ + [v']
N ^ 1--- r'}
1+ V^--- es una cantidad positiva, r es menor que r' y,
^ ^
en consecuencia, a la lista ) V] le basta tener un resto menor que r', cfln taI de que
sea superior a r, para que su cociente supere al de la lista ( V').
por lo tanto, puPSto que
EJEMPLO 2
En el cuadro 2 se muestra el resultado de aplicar a los datos del ejemplo 1 e]
sistema Hondt y el criterio proporcional. Se observa cómo mediante el sistema
Hondt las tres mayores listas se llevan, con menores restos, los tres escaños que
corresponderían a las tres listas minoritarias en un repa^rto proporcional.
CLJADRO 2
ISTA
Número
de votos
expresado
en escaños
Reparto
proporcional
Sistema
Hondt
10,10
6.20
5, 35
4,35
3, 50
1,70
0,80
10
6
5
4
4
2
1
11
7
6
4
29 -}- 3
32
32
V^
1
2
3
4
5
6
7
TOTAL
............
3
Z
3) Si una, lista alcanza un r^úmero de escaños enteros y un resto suficieníemente altos, pued^e o^btener más de un escaña adicio^nal por su resto^.
Puede comprobarse con el siguiente
EJEMPLO 3.
En el cuadro 3 se muestra el reparto por el sistema Hondt de 22 escaños entr^e
cinco listas que han obtenido, expresados en escaños: 1^0,75; 6,10; 3,24; 1,75, y
ESTADISTICA ESPAÑQLA
IO8
0,16 votos. Después de haber asignado los 24 escañ,os enteros quedan dos par
repartir y se agregan a la primera lista, puesto que los cocxentes
10,75
10,?5
= U,97?
y
= 0,895
11
12
son mayores que los cocientes
3,24
8,10
= 0,871
1,?5
= 0,81
;
;
4
7
- 0,875
y
0,16
2
CUADRO 3
ISTA
N úmero
de votos
expresado
en escaños
V^
Sistema
Horidt
Escaños
1
2
3
4
5
10,75
6,10
3,24
1.75
0,18
12
TOTAL .................
20 -}- 2
22
8
3
I
0
Por lo tanto, la cuarta lista con V4 -- 1,75 obtiene solamente un escaño y la
primera con Vl = 10,75 consigue doce.
II.3
Comentario sobre la Pigura 1
La figura 1 muestra cómo crece, en el sistema Hondt, el cociente correspondiente al primer divisor superior a la parte entera del número de votos expresado
en escaños, en función de ^éste. Cada segmento rectilíneo, correspondiente a un
V^ comprendido entre dos enteros consecutivos, termina en el valor i, pero tiene
su origen apoyado en las ordenadas correspondientes a las abscisas enteras de
la curva
,
V;
1 + V,
que es creciente.
Como ilustración se se^iala un cociente superior, a igualdad de resto, cuando
es mayor la parte entera:
EL SISTÉMA
A V^ = 5,4
HONDT,
EL METODO DE LOS C4CYEN't'ES
±:L.ECTdRALE5.. ,
le corresponde un cociente iguai a o,9,
1©g
y a V'; = 3,4 le corres-
ponde un cociente igual a 0,85. También se muestra cómo con un resto menor,
tanto en el caso
perior que con
II.4
V= = 3,4
como en el caso
V; = 5,4,
se obtiene un cociente su-
Vi = 1,8, cuyo resto es superior, pero su parte entera es menor.
Comentario sobre la figura 2
En la figura 2 se muestra la comparación del criteria proporcional con el
sistema Hondt, en el caso de una lista con 5,25 votos expresados en escar^os. La
recta P señala los restos que le van quedando a la lista en cuestión a medida
que se le van concediendo escaños en un reparto proporcional y la línea H seNa d e votos expresocb en escaña3 . Coc^entes y restos
FIGURA 2
110
ESTADISTICA ESPAI^TOLA
r^ala los cocientes del sistema Hondt. Después de que tanto un sistema como el
otro Ie han concedido cinco escaños (indicados por puntos sobre las líneas de la
^igural, al llegar al sexto la línea H presenta un cociente AC = 0,875, superior
al resto AB .= U,25 que presenta la linea F, que le correspondería a la lista con
el criterio proporcional.
II.S
La eliminación de listas que no alcancen un determinado porcentaje de votos
La eliminación de todas aquellas listas que no alcancen un determinado porcenta^ e del total de votos emitidos, no modifica en esencia los resultadfls anteriores; su efecto no hace más que aumentar la prima a las lista^s no eliminadas
al agregarles, con «orden de prioridad creciente^ (*) con el número de votos, Ios
escaños que corresponderian a la suma de los votos de las listas elimina.das.
En esta cuestión hay otro aspecto que puede tener interés y es el siguiente:
Si las circunscripciones electorales no son del mismo tamaño y el porcentaje mínim+o que se fija es el mismo en todas, por ejemplo, el 5 por 1U0; en una circunscrípción grande a la que, por ejemplo, le corresponden 32 escaños, con el 3,125
por l0U de los votos se alcanza un escaño; sin embar,go, en una circunscripción
pequeña a la que, por ejemplo, le correspondan cuatro escaños, el 5 por 10^0 de
los votos no es más que la quinta parte de los necesarios para obtener un escaño.
III.
EL METODO DE LOS COCIENTES ELECTORALES DECRECIENTE.S
Consiste en definir la serie de aCocientes electorales^
X
v^^^ - ^ + h
siendo
h = 1, 2, 3, ...
que para un número total X de votos emitidos y un número E de escaños a repartir, son decrecientes al dar valores a h. A. continuación se determina el menor
valor de h taI que al dividir el número de votos de cada lista, Xi, pflr v^,,^ se obtengan cocientes que, prescindiendo de su resto, ^umen el número E de escaños
a repartir. Cada uno de estos cocientes es entonces el número de escaños que
se as^igna a cada lista.
En primer lugar conviene destacar que no siempre existe un cociente eiectoral v^,,^ que cumpla la anterior condición, p^or lo que este método tiene el inconveniente de la necesidad de arbitrar un segundo criterio cuando se presenta
una situa,ción de este tipo. No obstante, vamos a estudiar algunas de sus propiedades
y trataremos
de probar que produce resultados muy próximos a los
_
_
del sistema Hondt.
'
En el sentido expresado por ta fármula [ II.31 y la figura 1.
EL SISTEMA HONDT, EL METODO DE LOS COCIENTl?S ^2.ECTORALES.
III.1
111
Comparación del método de los cocientes electorales decrecientes con el criterio de representación proporcional
A.III.1
El método de los cocientes electorales decrecientes, lo mismo que el sistema^ Hondt y el proporcional, asipna a cada lísta un n ^mero d.e esca,ños
al rn^enas i^^ ual a ta parte entera de su número de votos expresad,o en
escaí^os lVil
Para probar esta afirmación recordemos que
Xz
Vi=
v
=[Vt(+rc
es el número de votos de la lista i expresados en escaños en un reparto proporcional de los mismos, siendo ( V i) su parte entera y ri el resto. Por otra parte,
cualquiera que sea el valor de h(- 1, 2, 3, ...) se cumple que :
X
X
- v^'^' c v- E
E + h
por tanto, el cociente correspondiente a la li^ta i, de acuerdo con el mét©do, es
C s^h> `^
X{- > X:
v^ ^^^
. Vs
-
v
y, en consecuencia,
^^!(h)^ ^ t Vi^
A.III.2
El método de los cocientes electorales decrecientes distorsiona lc^ proporcionalidad primando a las listas con. rnayor número de votos, al repartir
los escar^os correspondientes a los restos.
Para probar esta afirmación partimos de la relación que existe entre el cociente electoral v(correspondiente al reparto proporcional) y los cocientes electorales
decrecientes v^,^ ^. Esta relación es
E
E + h v
v^^^, _
y, en consecuencia, el cociente que el mótodo asigna a la lista i es
(E + h^ X^
X^
=
Ci^^^^ ` ' v
Ev
=
^ i^ ^
_
(E + h)
E
(E + h)
E
V^=
_ (V.t] +
Eh (Vz) +
^(V,]-^r^,=
E + h- r^
E
[III.21
112
ESTADISTiCA E9PAÑOLA
L.a fórmula ( III.21 expresa que el incremento asignado a la lista i, sbbre su
núrnera entero de escaños ( Vs^, no es directamente proporcional a su resto r^, puesto qur
L^ Ct,r, ^ = Cs^i^^ -` ( Vii =
h i Vr^ -}E
E+ h r^
E
[III.3I
además de un sumando proporcional a ri tiene otro proporcional a[ V,^. La gráfica
de este incremento ap^arece en la figura 3 para el caso particular (h^E^ ^ 0,2,
tomado como ejemplo.
A partir de estas fórmulas, puede probarse que:
1. Después de haber asiqnado a cada lísta, el número entero de esca.ños que
le correspanden len un reparto proporcionat de los mismos^, el método de los
cocientes electorales decrecientes a i^^ ualdad de resto, r^, asi^^ na mayor incremento
de cociente a la lista con mayor pa,rte entera.
En efecto :
Si de dos listas con igual resto r= r', la primera tiene mayor parte entera [V] >( V'), teniendo en cuenta la fórmula III.3, se obtiene que la diferencia
entre los incrementos que se agregan a sus^ partes enteras es
^ (C(h1) ^ 0 (C (hl/
l r E
^
h \( [v ^ ^ ^
^ ^^Il
y por ser (h^E^ una cantidad positiva, esta diferencia tambi^n lo es, resultando:
a(C,h>)>(^'(^,,)
2.
Desp^ués de haber asignado a cada lista el núrnero entero de escaños que
le carrespanden ten un repa,^-to proporcianal de las mismo^s^, can el método de
los cocientes electorales decrecientes,
si una lista tiene mayor parte entera que
otra, necesita un resto menor que la segunda para obtener un incremento de cociente superior.
En ef ecto :
Sean [V' J y r' la parte entera y el resto de una lista, y sea
[ V ] - [ V'] -}- N ;
N - 1, 2, 3, . . .
la parte entera de otra lista (con N escaños enteros más que la primera). El resto
que necesita la mayor para que el incremento de su cociente, 0(C^,,^), íguale
al de la menor, después de un sencillo cálculo utilizando la fórmula III.3, es:
h
h
r- r'- E+ h ([V]--[V')^ = r'- E+ h N
il^
EL SISTEMA I-íOND'f, EL METOi^O DE LOS COCIENTES ^LECTORALES...
por lo tanto, ^uesto que (h / E+ h) ^V
es una cantidad positiva, r es menor que r'
y en ^ cc^nsecuencia a la lista ( V] le basta tener un resto menor que r', cor^ tal. de
que sea superior a r, para que el incremento a su númerci entero de escaños sea
superior al de la lista ( V'].
Incre^n^er^to
sabre ^ V^ ^ del cocier^fie er^tero,
para ( h /E ) = 0 2
( Metoclo
de los cocier^tes electorales decreci^ntss)
1
2
l
,
,
,
,
.
^,
,
I
2
3
4
S
^6
7
s^e^
Vi
N ^ da votos . expfesado
en
F^G. 3
ESTADISTIGA ESPAÑOLA.-$
escaños.
L^S?ADISTICA ESPAÑQLA
i ^.^
3.
Si una li8ta a^can^a un núrr^ero de escaños enteras ^ V, ] y un resto ri sufi-
ci^er^temente altos, pu^e^de con et método de los cocientes etectorales decrecientes
obtener má8 de ^cn escaí^o adicional.
Puede comprobarse con el siguiente
EJEMPLO 4
Si a^licamos el método de los cocientes electorales decrecientes a la situación
del ejernplo 3, en la que es E= 22, se encuentra que para h= 3, teniendo en cuenta
la fórmula III.2 que permite operar con los V^, ios cocientes C^^^^ son los que se
mues^tran en el cuadro 4. Se observa que a la primera lista con una parte entera
igual a 1©, se le asignan doce escañ.os. Por otra parte, comparando los cuadros 3 y 4
se observa la coincidencia, en el mismo ejemplo numérico, de este método con el
sistema Hondt.
CUADR04
LISTA
Número
de votos
expresado
en esca^ios
MÉTODO DS LOS COCIRNT63
B.LSrCTORALE8 DBCRECIENTES
Cocient®s
Escaños
et c3l
1
2
3
4
5
10,?5
8, IO
3, 24
12, 215
6, 931
12
6
3, 881
3
1,75
0,16
1,988
0,181
1
0
Por lo que respecta al ejemplo 1, es un caso en el que no existe un valor de
h(= t, 2, 3, ...) taI que la suma de las partes enteras de los cocientes C;^,,^ coincida
con el número E de escaños a repartir.
III.2
Comentario sobre la figura 3
La figura 3 muestra cómo crece, en el método de los cocientes electorales decrecientes, el incremento, sobre el número entero de escaños, del cociente correspondiente a una lista en f unción de V=. Se toma para la citada f igura un valor de h
tal que (h / E) .- 0,2. Todos los se,gmentos rectilineos^, correspondientes a cada Vi
comprendído entre dos enteros consecutivos, tienen la misma pendiente (E -}- h) / E,
pero su origen se apoya en las ordenadas correspondientes a las abscisas enteras
I1S
EL SIST'F.MA HONDT, EL MBTODO DB LOS COCIENTES ELECTORALES...
de la recta (h ;' E) V^ que son crecientes con Vs. En el caso considerado, (h l E) _
= 0,2, a partir de un valor Vs > 5, una lista puede obtener más de un escaño
adicional, si tiene un resto suficientemente alto, como, por ejemplo, si es 5,83 <
< V^ < e, como se observa en la mencionada figura.
IV.
VARIANTES DEL SISTEMA HONDT
Si en vez de la sucesión de números naturales i, 2, 3, ... se adopta otra sucesión creciente de divisores positivos dl, d^, d^, ..., d^, ... se obtiene una varíante del
sistema Hondt calculando los cocientes:
C^^ _
í
Xi
i-. 1,2,...,K
^ i = i, 2, . . .
df
y asi^nando a la lista i tantos escaños como cocientes Ct^ estén entre los E mayores.
CUADROS
Divisores
Hondt
Imperiali
St. Lague
Danés
dt
d2
2
3
4
1
3
5
4
^3
1
2
3
d;
1
1
^
3^--2
En el cuadro 5 se recog^en las sucesiones de divisores correspondientes al sistema Hondt y algunas de sus variantes más conocidas. Tratarernos en este apartado I^T del estudio comparativo de estas variantes, g^eneralizando algunos resultados a las del tipo aj -i- b.
En primer lugar recordernos lfl dicho en II.1 para el s^istema Hondt, en cuanto
a que al dividir el número de votos de cada lista, X^, por un número positivo v,
los resultados son equivalentes al aplicar el sistema, y sus variantes, a los números V^ _(X^ / v). Lo mismo que antes, utilizaremos^ como valor de v el cociente
electoral (X / E) de modo que V^ es el número de votas de la lista i en un reparto proporcional de los mismos.
Esta propiedad de invariancia de Ia relación de orden entre los cocientes C^^,
al dividirlos (multiplicarlos) por un mismo número positivo, hace que si la suce-
Y18
ESTADISTICA ESPAÑOLA
sión de divisores de una variante del sistema Hondt se rnultiplica por un nú^nero
positvo se abtiene una variante equivalente, Así, por ejemplo, la sucesión de
divisores naturales pares 2, ^4, 6, ... produce una variante equivalente al sistema
Hondt por ser igual a la sucesión natural 1, 2, 3, ... multiplicada por 2.
Las sucesiones de divisores que se muestran en el cuadro 5 pertenecen a la
clase de variantes {que denominaremos lineales afines) del sistema Hondt, del
tipo:
d^^a^ -}-b
;
j= 1,2,...
[IV.iI
con las condiciones
1)
a>0
2)
a+ b> o
[ IV.21
la primera de las cuales asegura que la sucesión
de divisores es creciente, y la
segunda, que el prirner divisor, y por tanto todos los demás, es positivo.
t V. i
A.IV.i
Caracterización de las variantes lineales afínes del sistema Hondt
Un valar, mayor que -- 1, de la relación (b / a) i-dentifi^a a, u^na, y sólo
una, de las variantes lineales afines del sistema Hondt ^y a todas sus
equ^ivalentes).
En efecto:
Por ser a> 0, de acuerdo con la condición 1) de [ IV.21, la sucesión de divisores
dj=aj-l-b ;
j-1,2,3,...
es «equivalente» a la sucesión
i
d^, --
b
d, = j -^-
a
;
a
j= 1, 2> 3,
Como, por otra, la condición 2) de [IV.21 exige que sea a^- b> 0, resulta que
debe ser:
l^
_.:.__.._ ^^ __
a
y, en consecuencia, todas las variantes lineales afines del sistema Hondt son del
tipo
d1_j^--z
;
siendo z una constante mayor que - 1.
j=1,2,3,...
EL SIS`I'EMA }iONDT,
IV.2
EL METODO
DE LOS COCIENTES ?1.ECTORALES...
11?
Estudio áe las variantes lineales afines del sistema Hondt en función del
parámetro z
Puesto que cada una de las variantes lineales afines del sistema Hondt queda
caracterizada por un valor del parámetro z>- 1, su estudio puede hacerce en
función de éste. Nos limitaremos a establecer algunos resultados generales
1. A medida que z toma valores positivos crecientes, la variante definida
por la sucesión de divisores d^ - j^- z favorece cada vez más (que el sistema
Hondt) a las listas grandes.
Esta afirmación se desprende de que siendo z> 0:
a)
b^
De dos listas, una rnayor que otra, V> V`, la prirnera puede obtener cocientes de orden [ V 1-^ 1, [ V l-^- 2, ..., superiores al de orden [ V' l de la
segunda, y, por el contrario,
En ningún caso la menor puede obtener un cociente de orden [ V' 1 -^- 1
superior al de orden [ V l de la mayor.
En consecuencia, cuanto más pequeña es una lis^ta, rnenor posibilidad tien^
de alcanzar un escaño adicional por su resto, pudiendo darse el caso de que no
alcance ni el número de escaños indicado por su parte entera. Este efecto se
agudiza a medida que crece z.
2. A medida que z toma valores negativos, alejándose de cero hacia - 1, la
variante definida por la sucesión de divisores d^ - j-}- z favorece cada vez menos
(que el sistema Hondt) a las listas grandes, si bien las pequeñas no resultan
favorecidas tanto como las grandes cuando z crece por encima de cero.
Esta af irmación se desprende de que, siendo -- 1 c z G 0:
a^
b^
c^
3.
Ninguna lista, V, puede obtener un cociente de orden [ V l -}- 2 superior
al de orden [ V' 1 de cualquier otra lista V'.
Si V' c V, la menor puede obtener un cociente de orden [ V' 1 -}- 1 superior
al de orden [ V l de la mayor, y
La mayor no puede obtener un cociente de orden [ V] --}- i superior al
de orden [ V' 1 de la menor.
Un valor de z que puede considerarse equilibrado, en el sentido de que
producirá K en promedio» resultados análogos al reparto proporci^onal es z=-- ], /2
(variante St. Lague). Decimos en promedio porque, según cuál sea la configuración particular del conjunto de valores V,, V.,, ...,
Vt,
..., V^^, puede coincidir
c^on el reparto propflrcional, puede favorecer a algunas listas pequeñas y puede
favorecer a algunas grandes.
4. Si se quiere aplicar el método a un número cualquiera, E, de escaños a
repartir, el único valor de z que garantiza que todas las listas obtendrán un
número de escaños al menos igual al indicado por su parte entera es z= 0 (sistema Hondt). Para asegurar esta propiedad con un val^or de z distinto de cer^
es precis^o estipular en cada caso el valor máximo que puede tomar F.
118
ESTADIBTICA ESPAÑOLA
t^iNE7C0 A 1V.2
La parte a^^ de la afírmacíón primera de IV.2 puede verse con un ejemplo:
Si V= 10,9, con ia variante Imperiali (z = 1), dicha lista alcanza un cociente
de orden 1? superior al de orden i de la lista V' = 1,1; un cociente de orden
14 superior al orden 2 de la lísta V" = 2,1; un cociente de orden 13 superior al
de orden 3 de la lista V"' = 3, 1, etc,
Para ver la parte b^ del gunto i de IV.2, sean dos listas cualesquiera V' < V.
La diferencia entre el cociente de orden [ V 1 de la mayor y el de orden [ V' l+]
de la menor es:
i
H ^ v(^v'^ + ^^--v'^V^ + z(V--V'^;
siendo
H = ([V ^ + zl ([v'1 + 1 + z) > o
Por ser z> v, se tiene
z(V-V')>0
y además siempre es
V =^ [vl
y
[V'1 + 1 > v'
luego la citada cliferencia es siempre positiva.
Para ver la parte a) del punto 2 de IV.2, sean V y V' dos listas cualesquiera.
La diferencía entre eI cociente de orden [V J+ 2 de la primera y el de orden [V']
de la segunda es
1
^v([V'l+z)-v'^([Vl +2+z)#
siendo
H = ([V^ + 2 + z) ([v'J + z) > o
Por ser -- 1<` z< 0 se cumple:
V'>[V']+z
I
CV)-^-2+z>[Vj+l>V j
por tánto, la citada diferencia es siempre negativa.
La parte b^ del punto 2) puede verse con un ejemplo. Para z=-- (1/2), si
V' = 1,8 y V.= 10,2, la lista menor alcanza un cociente de orden 2(1,8/1,5 .= 1,20)
superior al de orden 10 (10,2; 9,5 .= 1,07) de la mayor. En cuanto a la parte c^,
si V' < V la diferencia entre el cociente de orden [V'] de la menor y el de orden ( V]+ 1 de la mayor es
1
H. ^V' ([vJ + 1) - V [v'J + z (V' - V)^
EL SISTEMA HbN^I', EL METODO bE LOS
COCIENTES E^LECTORALE5...
119
siendo
H = ([V') + z) ([V^ + 1 + z) > o
Por ser
-- i< z< 0,
se cumple que
z(V'-V)>0
y además siempre es
V' ^[V']
Y
[ Vl + 1> V
por tanto, la citada diferencia es siempre positiva.
Por lo que se refiere a lo dicho en el punto 3) de IV.2, relat^vo a la variante
St. Lague, en los cuadros 6.A y 6.B, se muestran dos ejemplos; en eI A resultan
desfavorecidas dos listas mayores frente a dos menores, y en el B resultan favorecidas las dos mayores frente a las dos menores.
CUADRO B.A
CUADRO g.B
Vi
Reparto
proporcional
St. L.ague
z = - 1J2
V;
Reparto
proporcional
St. Lague
z = -- 1/2
10, 85
11
4,61
10
4
10, 40
5,41
10
5
2, 59
1,55
0, 80
5
2
1
1
3
2
2,3I
1,43
1
0, 45
2
2
1
11
6
2
20,00
20
20
20, 00
20
1
0
20
Respecto de lo dicho en el punto 4), ya quedó visto en Ii.2 que el sistema
Hondt garantiza que todas las listas alcanzarán al menos un número de escaños
igual al indicado por su parte entera y, por otra parte, si z^ 0, pueden encontrarse configuraciones de los V f en las que no se cumpla tal propiedad. Ello se
consigue teniendo en cuenta que, por ejemplo, cuando - 1< z< 0, una lista
V' < V puede alcanzar un cociente de orden [V'^ -}- i superior al de orden [V^ de
la mayor; por tanto, si hay un númerv suficientemente grande de listas V'
isupongamos todas iguales) la suma de los incrementos ( i-- r^) sobre su resto,
puede ser superior a 1, pudiendo dejar a la lista V con sólo [V] --1 escaños.
Análogamente pueden construirse ejemplos cuando z> 0. Es claro que si E está
restringido puede garantizarse tal propiedad para variantes con z^ 0 dentro de
ciertos límites.
V.
BIBLIOGRAFIA
J. M. CoTTER^r y C, EMERI: Los sistemas ele^ctarales. Ed. Oikos-tau.
J. NicoL,^s Mv^iz: Capítulo XI de El praceso electo^ral, por J. de Esteban y otros. Ed. Labor Politei^a,.
D. NOHLEN: «Sistemas electorales y tipos de democracia representativa^, publicado en
Ley electoral y consecuenctias politicas. Ed. CITEP.