TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI.

Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales
T4-1
TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI.
INDICE:
• SISTEMAS COMBINACIONALES
• METODOLOGÍA DE DISEÑO
• MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN
o MAPAS DE KARNAUGH
• EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE SUMA DE
PRODUCTOS
• EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE PRODUCTO DE
SUMAS
• EXPRESIÓN MÍNIMA PARA FUNCIONES
INCOMPLETAS
Maurice Karnaugh (1924-)
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales
T4-2
SISTEMAS COMBINACIONALES
LOS SISTEMAS COMBINACIONALES SON AQUELLOS EN LOS QUE
EN CADA INSTANTE, EL ESTADO LÓGICO DE SU SALIDA DEPENDEN
ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE DE SUS ENTRADAS.
UN SISTEMA COMBINACIONAL PUEDE TENER MÚLTIPLES
SALIDAS. CADA SALIDA DEBE REPRESENTARSE POR UNA FUNCIÓN
LÓGICA DIFERENTE.
EL DISEÑO DE SISTEMAS COMBINACIONALES SE REALIZA
MEDIANTE EL USO CIRCUITOS ELECTRÓNICOS:
• SSI (SMALL SCALE OF INTEGRATION) QUE CONTIENEN UN
NÚMERO PEQUEÑO DE PUERTAS BÁSICAS.
• MSI (MEDIUM SCALE OF INTEGRATION) DÓNDE EL NÚMERO
DE PUERTAS BÁSICAS PUEDE LLEGAR A 100. SON BLOQUES
CONSTRUCTORES MÁS COMPLEJOS.
• LSI (LARGE SCALE OF INTEGRATION ~1000). ALGUNOS
SISTEMAS YA PROGRAMABLES.
• VLSI (VERY LARGE SCALE OF INTEGRATION >1000). ALGUNOS
PROCESAORES.
• ULSI (ULTRA LARGE SCALE OF INTEGRATION >100000).
ÚLTIMAS TECNOLOGÍAS.
• ...
• EL DISEÑO DE SISTEMAS COMBINACINALES SSI, SE
REALIZA CON PUERTAS BÁSICAS.
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T4-3
METODOLOGÍA DE DISEÑO
1. EL DISEÑO SE REALIZA A PARTIR DEL PLANTEAMIENTO DE UN
PROBLEMA.
2. SE OBTIENE PRIMERO LA TABLA DE VERDAD DE CADA UNA DE
LAS SALIDAS Y, OPCIONALMENTE, LAS EXPRESIONES
CANÓNICAS.
3. LUEGO SE PROCEDE A LA SIMPLIFICACIÓN PARA OBTENER UNA
EXPRESIÓN BOOLEANA MÍNIMA PARA CADA FUNCIÓN.
4. POR ÚLTIMO SE REALIZA EL DIAGRAMA LÓGICO Y EL CIRCUITO
DE MÍNIMO TAMAÑO.
Ejemplo:
Para abrir una caja fuerte se dispone de tres llaves, la caja se abre si:
• Están giradas A y B independientemente de si lo está C.
• Cuando estando girada C, estén giradas A o B.
TABLA DE VERDAD:
C
B
A
F(C,B,A)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
EXPRESIÓN CANÓNICA
F(C,B,A) = C’BA + CB’A + CBA’ + CBA
F(C,B,A) = m3 + m5 + m6 +m7 = Σ m(3,5,6,7)
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T4-4
MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN (I)
CRITERIOS:
1. MENOR NÚMERO DE TÉRMINOS
EQUIVALEN A PUERTAS LÓGICAS)
EN
LA
FUNCIÓN
(QUE
2. MENOR NÚMERO DE VARIABLES EN CADA TÉRMINO (QUE
EQUIVALEN A ENTRADAS DE LAS DIVERSAS PUERTAS)
3. MENOR VALOR ASOCIADO:
Nº_TÉRMINOS+Nº_VARIABLES–Nº_TÉRMINOS_CON_UN_SOLO_LITERAL-1
MÉTODOS:
SIMPLIFICACIÓN ALGEBRAICA, APLICANDO DIRECTAMENTE
EL ÁLGEBRA DE BOOLE.
ES ÚTIL PARA FUNCIONES CON POCAS VARIABLES.
EJEMPLO:
F(C,B,A)= C’BA + CB’A + CBA’ + CBA
F(C,B,A)= BA + CA + CB
SIMPLIFICACIÓN TABULAR, MEDIANTE TABLAS Y MAPAS QUE
REPRESENTAN LA TABLA DE VERDAD.
ÚTIL PARA FUNCIONES CON HASTA CINCO O SEIS
VARIABLES. EL MÉTODO MÁS USUAL ES EL MAPA DE
KARNAUGH.
SERÁ EL ÚNICO QUE SE APLIQUE EN ESTA ASIGNATURA. Y SE
EXPLICARÁ A CONTINUACIÓN.
SIMPLIFICACIÓN NUMÉRICA DE QUINE-McCLUSKEY, QUE
PERMITE ESCOGER DE TODAS LAS SIMPLIFICACIONES POSIBLES
DE UNA FUNCIÓN, LA QUE PUEDA SER IMPLEMENTADA CON EL
MENOR NÚMERO DE ELEMENTOS.
SE USA PARA FUNCIONES CON MUCHAS VARIABLES Y/O
MULTISALIDAS.
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T4-5
MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN (II)
MAPAS DE KARNAUGH
ES UN DIAGRAMA DE CUADROS O CELDAS DÓNDE CADA UNA DE
ELLAS REPRESENTA UNA LÍNEA DE LA TABLA DE VERDAD DE LA
FUNCIÓN, O SEA, UN MINTÉRMINO O UN MAXTÉRMINO.
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
D
0
0
0
0
0
•
C
0
0
0
0
1
•
B
0
0
1
1
0
•
A
0
1
0
1
0
•
F
CD
AB
00
01
11
10
00
01
11 10
(0)
(2)
(3)
(1)
(8)
(10)
(11)
(9)
(12)
(14)
(15)
(13)
(4)
(6)
(7)
(5)
LA PRINCIPAL CARACTERÍSTICA DEL MAPA ES QUE LAS CELDAS
ADYACENTES FÍSICAMENTE, CORRESPONDEN A TÉRMINOS
ADYACENTES LÓGICAMENTE, O SEA, LA DIFERENCIA ENTRE UNA
CELDA Y LAS ADYACENTES ES EL CAMBIO EN UNA Y SOLO UNA DE
LAS VARIABLES.
Celda (2)
0010
D’C’BA’
Celda (8)
1000
DC’B’A’
Celda (10)
1010
DC’BA’
Celda (14)
1110
DCBA’
Celda (11)
1011
DC’BA
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T4-6
EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE SUMA DE
PRODUCTOS
1. MARCAMOS EN EL MAPA UN 1 EN CADA MINTÉRMINO QUE
REPRESENTA LA FUNCIÓN.
2. MEDIANTE RECTÁNGULOS HACEMOS AGRUPACIONES DE 1s
ADYACENTES. ESTOS RECTÁNGULOS PUEDEN CONTENER UN
NÚMERO DE 1s CORRESPONDIENTE A POTENCIAS DE 2, O SEA,
1, 2, 4, 8,... .
3. SE DEBEN ESCOGER EL MENOR NÚMERO DE RECTÁNGULOS
PERO QUE CONTENGAN EL MAYOR NÚMERO DE 1s, DE
MANERA QUE TODOS LOS 1s QUEDEN CUBIERTOS.
4. PARA OBTENER LA EXPRESIÓN, CADA RECTÁNGULO
REPRESENTA UN PRODUCTO. LA VARIABLE QUE CAMBIE DE
VALOR DENTRO DEL RECTÁGULO QUEDA ELIMINADA. EL
PRODUCTO SE OBTIENE ASIGNANDO LA VARIABLE
VERDADERA AL 1 Y LA NEGADA AL 0.
La agrupación de las celdas 10 y 14, eliminaría la variable C y
el producto resultante sería DBA’.
5. LA EXPRESIÓN MÍNIMA ES LA SUMA DE LOS PRODUCTOS
RESULTANTES DE CADA RECTÁNGULO.
EJEMPLO:
Simplificar la función F(D,C,B,A) = Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14).
CD
AB
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
(0)
(8)
(12)
(4)
1
1
1
11
(2)
(3)
(10)
(11)
(14)
(15)
(6)
(7)
Hemos formado 3 rectángulos:
{(0),(8),(12),(4),(1),(9),(13),(5)}
{(0),(2),(4),(6)}
{(12),(14),(4),(6)}
POR TANTO
D’A’
CA’
F = D’A’ + CA’ + B’
B’
10
1
1
1
1
(1)
(9)
(13)
(5)
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T4-7
EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE PRODUCTO DE
SUMAS
1. MARCAMOS EN EL MAPA UN 0 EN CADA MAXTÉRMINO QUE
REPRESENTA LA FUNCIÓN.
2. MEDIANTE RECTÁNGULOS HACEMOS AGRUPACIONES DE 0s
ADYACENTES. ESTOS RECTÁNGULOS PUEDEN CONTENER UN
NÚMERO DE 0s CORRESPONDIENTE A POTENCIAS DE 2, O SEA,
1, 2, 4, 8,... .
3. SE DEBEN ESCOGER EL MENOR NÚMERO DE RECTÁNGULOS
PERO QUE CONTENGAN EL MAYOR NÚMERO DE 0s, DE
MANERA QUE TODOS LOS 0s QUEDEN CUBIERTOS.
4. PARA OBTENER LA EXPRESIÓN, CADA RECTÁNGULO
REPRESENTA UNA SUMA. LA VARIABLE QUE CAMBIE DE
VALOR DENTRO DEL RECTÁGULO QUEDA ELIMINADA. LA
SUMA SE OBTINE ASIGNANDO LA VARIABLE VERDADERA AL
0 Y LA NEGADA AL 1.
La agrupación de las celdas 10 y 14, eliminaría la variable C y
la suma resultante sería (D’+B’+A).
5. LA EXPRESIÓN MÍNIMA ES EL PRODUCTO DE LAS SUMAS
RESULTANTES DE CADA RECTÁNGULO.
EJEMPLO:
Simplificar la misma función F(D,C,B,A) = ΠM(3,7,10,11,15).
CD
AB
00
01
11
10
00
01
(0)
(8)
0
11
(2)
(10)
(12)
(14)
(4)
(6)
0
0
0
0
10
(3)
(1)
(11)
(9)
(15)
(13)
(7)
(5)
Hemos formado 2 rectángulos:
{(3),(11),(15),(7)}
{(10),(11)}
POR TANTO
(B’ + A’)
(D’ + C + B’)
F = (D’ + C + B’) (B’ + A’)
Se puede comprobar que es la misma función
F = (D’+C+B’)(B’+A’) = D’B’+D’A’+CB’+CA’+B’+B’A = B’+D’A’+CA’
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T4-8
EXPRESIÓN MÍNIMA PARA FUNCIONES INCOMPLETAS
1. PARA FUNCIONES INCOMPLETAS, AQUELLAS QUE NO ESTÁN
DEFINIDAS PARA ALGUNAS COMBINACIONES DE LAS
VARIABLES DE ENTRADA, MARCAMOS EN EL MAPA DE
KARNAUGH UNA X EN EL LUGAR CORRESPONDIENTE A LA
INESPECIFICACIÓN.
2. ESTAS X PODEMOS CONSIDERARLAS 0s Ó 1s Y PROCEDER
COMO EN LOS CASOS ANTERIORES.
3. SOLO ES NECESARIO CUBRIR TODOS LOS 0s Ó TODOS LOS 1s,
LAS INESPECIFICACIONES SÓLO DEBEN COGERSE PARA QUE
EL RECTÁNGULO CONTENGA UN NÚMERO MAYOR DE
TÉRMINOS.
EJEMPLO:
Simplificar la función F(D,C,B,A) = Σm(0,2,12,14) + Φ (5,6,7,8,9,10).
CD
AB
00
01
11
10
00
1
X
1
01
(0)
(8)
(12)
(4)
1
X
1
X
11
(2)
(3)
(10)
(11)
(14)
(15)
(6)
X
(7)
10
X
X
(1)
(9)
(13)
(5)
Hemos formado 2 rectángulos:
{(0),(2),(8),(10)}
{(8),(10),(12),(14)}
POR TANTO
C’A’
DA’
F = DA’ + C’A’
COMO SE VE, HEMOS TRATADO LAS INESPECIFICACIONES (8) Y (10)
COMO 1s Y EL RESTO COMO 0s.
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T4-9
MÁS MAPAS:
PARA FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES:
F(B,A)
B
A
0
0
1
F(C,B,A)
1
BC
(0)
(1)
(2)
(3)
A
0
00
01
11
10
1
(0)
(1)
(4)
(5)
(6)
(7)
(2)
(3)
C
AB
00 01 11 10
0
1
(0)
(2)
(3)
(1)
(4)
(6)
(7)
(5)
PARA FUNCIONES DE 5 VARIABLES: F(E,D,C,B,A)
CD
AB
00
01
11
10
E=0
00 01 11 10
CD
(0)
(2)
(3)
(1)
(8)
(10)
(11)
(9)
(12)
(14)
(15)
(13)
(4)
(6)
(7)
(5)
AB
00
01
11
10
E=1
00 01 11 10
(16)
(18)
(19)
(17)
(24)
(26)
(27)
(25)
(28)
(30)
(31)
(29)
(20)
(22)
(23)
(21)
EJEMPLO DE SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES CON 5 VARIABLES:
F(E,D,C,B,A) = Σm(0,2,3,6,7,9,11,13,15,16,25,27,29,31)
CD
E=0
AB
00
1
00
01
11
10
(0)
01
1
(2)
(8)
(10)
(12)
(14)
(4)
1
(6)
11
1
1
1
1
(3)
(11)
(15)
(7)
10
1
1
(1)
(9)
(13)
(5)
CD
AB
00
01
11
10
E=1
00
1
(16)
(24)
(26)
(28)
(30)
(20)
(22)
D’C’B’A’
{(2),(3),(6),(7)}
E’D’B
{(11),(9),(15),(13),(27),(25),(31),(29)}
POR TANTO
F = DA + E’D’B + D’C’B’A’
11
10
(18)
Hemos formado 3 rectángulos:
{(0),(16)}
01
DA
1
1
(19)
(27)
(31)
(23)
1
1
(17)
(25)
(29)
(21)