Series de Tiempo

Series de Tiempo
Miguel Ángel Chong R.
[email protected]
12 de abril del 2012
Miguel Chong
CNSF IIMAS-UNAM
Introducción
Una primera defición de serie de tiempo es
Un conjunto de observaciones de cierto fenomeno registradas
secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones serán denotadas por
{xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {xti : i ∈ T } = {xti }i∈T donde xti es el valor de la
variable x en el instante ti . Y donde T es un conjunto de ı́ndices.
Si el cojunto de ı́ndices es numerable, es decir, T = N ó T = Z, diremos
que la serie es a tiempo discreto, mientras que si el conjunto de ı́ndices es
un conjunto no numerable (T = R), dirémos que la serie de tiempo es
continua.
Cuando ti+1 − ti = k, para i ∈ {1, . . . , n − 1}, se dice que la serie es
equiespaciada. En adelante trabajarémos con el supuesto de que tenemos
series de tiempo discreta, equiespaciadas en cuyo caso asumiremos sin
perdida de generalidad que:
{xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {x1 , x2 , . . . , xn }
n
= {xi }i=1
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Objetivo
Descripción Con la información que nos da una serie de tiempo
observada usaremos métodos descriptivos y gráficos
para saber como está conformada la serie, si existen
datos atı́picos.
Explicación En este paso buscaremos un modelo del cual
podamos decir que nuestra serie observada es una
realización de ese modelo.
Predicción Una vez que podamos asumir que nuestra serie
observada es una realización de un modelo
buscaremos hacer predicción de valores futuros a
partir de los datos del presente y el pasado.
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Ejemplos de Series de tiempo
Series económicas: Precios de divisas, tasas, ı́ndice de precios
Series Fı́sicas: Meteorológica, temperatura, energia solar
Series de telecomunicacion: Análisis y procesamiento de señales
El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la
serie. A continuación graficaremos las siguientes series
1
uspop
2
USAccDeaths
3
sunspot.year
4
JohnsonJohnson
5
AirPassengers
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USAccDeaths
7000
9000
11000
200
150
100
uspop
50
0
1800
1850
1900
1950
1973
1975
1977
1979
Time
10
0
5
JohnsonJohnson
100
50
0
sunspot.year
150
15
Time
1700
1800
1900
Time
1960
1965
1970
Time
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1975
1980
600
500
400
AirPassengers
300
200
100
1950
1952
1954
1956
1958
Time
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1960
La inspeción gráfica puede sugerir la posibilidad de representar los datos
como una realización de un proceso que puede tener todas o alguna de
las siguientes componentes:
(
mt + st + Yt
Xt = f (mt , st , Yt ) =
mt · st · Yt
modelo aditivo
,
modelo multiplicativo
donde
mt es la componente de tendencia,
st es el componente estacional de periodo d,
Yt es el componente aleatorio.
A continuación vamos a veremos algunos métodos que se han propuesto
para identificar y describir la serie.
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Eliminación de la Tendencia en ausencia de la parte estacional
Xt = mt + Yt , t ∈ {1, . . . , n}
Un ejemplo de este tipo de series es el crecimiento poblacional de
los Estados Unidos.
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Método 1
Estimación de mt vı́a mı́nimos cuadrádos
Procederemos a estimar la tendencia de entre una familia de
funciones
mt = a0 + a1 t + a2 t 2 ,
y escogeremos al a0 , a1 y a2 que minimize
Y ası́ obtener
P
t
(Xt − mt )2 .
m̂t = â0 + â1 t + â2 t 2 .
Y por lo tanto
Ŷt = Xt − m̂t , t ∈ {1, . . . , n}
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Método 2
Suavizamineto de la media vı́a un promedios moviles.
Sea q un entero no negativo y considederemos el promedio movil
de dos lados como
m̂t =
q
X
aj Xt+j , para t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} ,
j=−q
donde
q
X
aj = 1.
j=−q
Un caso particular de este tipo de ajuste de la tendencia es si
1
, es decir
suponemos que aj = 2q+1
q
1 X
m̂t =
Xt+j , t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} .
2q + 1 −q
P
1
Notemos que hay 2q + 1 sumandos, por lo tanto, q−q 2q+1
= 1.
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Antes de describir el siguiente método introduzcamos los
operadores retraso y diferencia.
El operador retraso, denotado por B, actua sobre el tiempo de la
siguiente manera
BXt = Xt−1
B 2 Xt = B (BXt ) = BXt−1 = Xt−2
..
.
B j Xt = Xt−j .
Definamos a B 0 Xt = Xt .
A partir del operador retraso definimos el operador diferencia
como
∇Xt = (1 − B) Xt = Xt − Xt−1 .
Entonces el operador diferencia lo podemos manipular como si
fuera un polinomio es decir
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Método 3
Cuando tenemos una tendencia lineal, digamos mt = at + b
entonces al aplicar un el operador diferencia ∇ obtenemos
∇mt = a.
De la misma forma, si nosotros tenemos una serie de tiempo
Xt = mt + Yt donde la tendenca es polinomial de grado k,
k
X
mt =
aj t j , entonces al aplicar el operador diferencia a la
j=0
tendencia tenemos que ∇k mt = k!ak y por lo tanto tenemos que
∇k Xt = k!ak + ∇k Yt .
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