Líneas del campo eléctrico.

Campo eléctrico.
Introducción a la Física Ambiental.
Tema 7.
Tema7. IFA (Prof. RAMOS)
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Tema 7.- Campo eléctrico.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
El campo eléctrico: unidades.
Líneas del campo eléctrico.
Potencial eléctrico: unidades.
Fuerza electromotriz.
Flujo del campo eléctrico.
Ley de Gauss: superficie plana y esfera sólida uniformemente
cargadas.
Conductor en un campo eléctrico.
Polarización eléctrica: vector polarización.
Desplazamiento eléctrico: permitividad y susceptibilidad. Ley de
Gauss en medios materiales.
Capacidad eléctrica: condensadores.
Energía del campo eléctrico.
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1
El campo eléctrico: unidades.
• El vector campo determina la distribución espacial de las fuerzas eléctricas
que aparecen sobre la unidad de carga situada en cada punto del espacio.
r
r F
E=
q
[Er ] = NC
» Unidades:
−1
[
= mKgs −2C −1 = LMT −2C −1
]
• Campo eléctrico para una carga puntual.
– Fuerza eléctrica entre dos cargas:
r
F=
q' q r
ur
4πε 0 r 2
– Campo eléctrico generado por una carga q’:
r
E=
q'
4πε 0 r
2
r
ur
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Distribución discreta de cargas:
campo eléctrico.
• Sobre una carga testigo q0, actúan las fuerzas eléctricas correspondientes a
q11.....q3.
r
r
F = ∑ Fi
r
r F
– El efecto sobre q0, es como si sobre esta carga actuase un campo eléctrico: E =
q
– de tal forma que la fuerza resultante fuera:
r
r
F = q0 E
– Campos eléctricos en el medio ambiente:
•
•
•
•
•
Cables domésticos
Ondas de radio
En la atmósfera
Luz solar
Nube tormentosa
Problema 1 y 2. Hoja IFA7
10-2 N/C
10-1 N/C
102 N/C
103 N/C
104 N/C
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2
Líneas del campo eléctrico.
• Las líneas de campo son las trayectorias que seguiría una carga prueba situada
en la zona de existencia del campo eléctrico.
r
• El campo eléctrico E es tangente en cada punto a las líneas de campo.
• La fuerza ejercida sobre una carga prueba es paralela en cada punto a las
líneas de campo.
• Características de las líneas de campo:
– Comienzan en las cargas (+) y terminan en las (-).
– El nº de líneas que entran o salen es proporcional a la carga, q, neta que genera el
campo.
r
– La densidad de líneas que salen o entran es proporcional al campo E en ese punto.
– A grandes distancias r>>>; las líneas de campo se configuran como procedentes de
una carga puntual.
– Las líneas de campo no se cortan en ningún punto.
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Potencial eléctrico: unidades.
• Al ser la fuerza eléctrica conservativa, se verifica la existencia de un potencial
r
r
eléctrico que cumple:
E = −∇V
• La diferencia de potencial expresa el trabajo (negativo) realizado por el
r
campo E sobre una carga unidad (+), cuando se desplaza entre los puntos, a
y b.
b
b
r r r
r
r r
dW = − F .dr ; F = q0 E ⇒ ∆W = − ∫ q0 E.dr = q0 ∫ dV = q0 (Vb − Va )
a
a
[V ] = JC −1 = Voltio = [L2 MT −2C −1 ]
– Unidades del potencial eléctrico:
– Las líneas de campo señalan la dirección en la que disminuye el potencial
eléctrico.
• Potencial eléctrico generado por una carga puntual:
q
dV
q 1
=−
⇒ V (r ) =
+ cte
4πε 0 r 2
dr
4πε 0 r
q
V (∞) = 0 ⇔ cte = 0 ⇒ V (r ) =
4πε 0 r
E=
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Fuerza electromotriz.
• Trabajo realizado contra el campo eléctrico al desplazar la unidad de carga
del punto “a” al “b" a lo largo de la trayectoria “L”.
b r r
b
Wa −b = ∫ E.dr = − ∫ dV = Va − Vb
a
a
• Cuando la trayectoria a lo largo de la cual se calcula el trabajo es cerrada, se
denomina a esta energía fuerza electromotriz.
r r
Wa − aLL ' = ∫ E dr
a −a
• Para campos eléctricos estáticos (independientes del tiempo, t) se verifica:
r r
∫ E dr = 0
a−a
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Flujo del campo eléctrico.
• Definición general de flujo de campo eléctrico:
– En una superficie abierta:
r
r
φ = lim ∑ E.nri ∆S i = ∫∫ E.nrdS
∆S →0
i
S
– En una superficie cerrada:
r
φ = E.nrdS
∫∫
r
• La densidad de líneas de campo es proporcional al campo E .
• El flujo de campo eléctrico, relaciona el número de líneas de fuerza que
atraviesan la superficie.
φ ∝ n º líneas ⇒ φ = ES
r
φ = E . nr S = ES cos θ
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Ley de Gauss.
• El flujo neto del campo eléctrico es proporcional a la carga situada en el
interior de una superficie cerrada, independientemente de la forma de la
superficie.
rr
q
φ = ∫∫ E.n dS =
• Ejemplos:
ε0
; q = ∑ qi
i
– El flujo del campo eléctrico es proporcional al nº de líneas de campo que
atraviesan la superficie. El flujo neto es el balance entre las líneas que entran y
las que salen de la superficie cerrada escogida.
– El flujo neto a través de una superficie esférica de carga interior Q es:
r
φ = ∫∫ E.nrdS = ∫∫ En dS = En ∫∫ dS =
Q
ε0
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Campo eléctrico en una superficie plana.
• Consideramos una superficie plana e infinitamente extensa, con una
densidad, σ, uniforme de carga.
– Escogemos un cilindro como superficie gaussiana.
– Flujo neto a través de la superficie cilíndrica:
rr
φ = ∫∫ E.ndS =
rr
E.n dS +
∫∫
Sup .lateral
rr
∫∫ E.ndS = 0 + 2 E A
n
Bases
– Campo eléctrico en las proximidades de la superficie y perpendicular a ella:
φ = 2 EA =
Problema3. Hoja IFA7
Q int
ε
0
=
σA
σ
⇒ E =
ε0
2ε
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0
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Campo eléctrico en una esfera.
• Consideramos una esfera, de radio R, homogénea y maciza con una
densidad uniforme de carga, ρ.
– Campo eléctrico en el espacio exterior a la esfera, r>R:
r
φ = ∫∫ E.nrdS =Er ∫∫ dS = Er 4πr 2 =
⇓
Er =
Q
4πε 0 r 2
Qint
ε0
;r > R
– Campo eléctrico en el espacio interior de la esfera, r<R.
φ = Er 4πr 2 =
Qint
ε0
; Qint = ρV ' = Q
Q ⇓
Er =
r; r ≤ R
4πε 0 R 3
Problema 4. Hoja IFA7
r3
R3
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Conductor en un campo eléctrico.
• La movilidad de las cargas generan dentro del conductor una
corriente de desplazamiento hasta situarlas en la superficie y alcanzar
el equilibrio electrostático. “Toda la carga de un conductor reside en
su superficie”.
– Si
φ =0
Eint = 0 ⇒
entonces por la ley de Gauss:
Qint
ε0
=0
• El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a
ella, con el siguiente valor:
r
Q
σA
φ = ∫∫ E.nrdS = ∫∫ En dS + ∫∫ En dS = En ∫∫ dS = En A = int =
A
A'
A
ε0
ε0
– Fuera del conductor:
En =
σ
ε0
Dentro del conductor:
En = 0
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Polarización eléctrica.
• La existencia de cargas muy próximas a nivel molecular generan dipolos
eléctricos:
– Momento dipolar eléctrico del agua (6.2 10
-30
Cm):
r r
r
P1 = P2 = qa
• Cuando los dipolos constituyentes de la materia se alinean, debido a un
campo eléctrico externo o espontáneamente (ferroeléctricos). Se dice que la
sustancia está polarizada.
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Vector Polarización.
• Dieléctricos: materiales no conductores susceptibles a la polarización.
• Momento dipolar de un medio dieléctrico homogéneo:
– Momento dipolar:
P(lS ) = ( PS )l
– Carga total en la superficie S, Q = PS , el vector polarización P representa la
carga por unidad de superficie.
r
• Vector Polarización P : Es el momento dipolar eléctrico del material por
unidad de volumen.
• La componente normal Pn , en cada punto a la superficie del medio, del
vector polarización. Expresa la densidad superficial de carga en ese punto.
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7
Vector desplazamiento eléctrico.
• Entre dos placas conductoras se crea un campo eléctrico homogéneo
generado por una densidad de carga σ libre
• Al introducir un dieléctrico, éste se polariza produciendo una distribución de
r
r
carga superficial:
σ pol . = ± Pn ⇒ E0 > E
• El campo generado neto, será consecuencia de la carga superficial neta:
E =
1
ε0
(σ libre − P ) ⇒ σ libre = ε 0 E + P
• Vector desplazamiento
eléctrico:
r
r
r r »D
Campo creado por las cargas libre situadas en el conductor.
D = ε 0 E + P » Pr Campo generado por los momento dipolares eléctricos.
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Permitividad y susceptibilidad eléctricas.
• En general cuando se aplica un campo eléctrico externo a un dieléctrico, el
r r
vector polarización inducido es proporcional al campo aplicado: P ∝ E
– La constante de proporcionalidad se expresa como:
la susceptibilidad eléctrica (valor adimensional).
– El vector desplazamiento eléctrico se escribe como:
r
r
P = ε0χeE
donde χe, es
r
r r
r
r
r
r
D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = (1 + χ e )ε 0 E = εE
⇓
r
r
D = εE ⇒ ε = (1 + χ e )ε 0 ⇒ [ε ] = m −3 Kg −1s 2C 2
– Permitividad relativa:
• Ley de Gauss generalizada:
r r
ε
= (1 + χ e )
ε0
r r
r r
φ = ∫∫ D.dS = ∫∫ εE.dS ⇒ ∫∫ E.dS =
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qlibre
ε
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Valores de la susceptibilidad eléctrica.
Susceptibilidad χe x 104
Sustancia (gas 1atm y 20ºC)
Hidrógeno
5.0
Nitrógeno
5.5
Oxígeno
5.0
Dióxido de carbono
9.2
Vapor de agua
7.0
Aire
5.5
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Capacidad eléctrica: condensadores.
• La capacidad de un condensador es la relación entre la carga acumulada por
el dispositivo dividido por la diferencia de potencial a la que se le somete.
C=
Q
⇒ [C ] = CV −1 = Faradio( F )
V
• Condensador plano:
εS
ε S
C = (dieléctrico)
C = 0 (vacío)
d
d
• Demostración:
E=2
σ
2ε 0
=
σ
ε0
σ=
Q
S
V = Ed =
σd Qd
=
ε 0 Sε 0
• Condensador esférico:
V=
Q
⇒ C = 4πε 0 R(vacío)
4πε 0 R
Problema5. Hoja IFA7.
C = 4πε R(dieléctrico)
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Energía del campo eléctrico.
• Para cargar un condensador hay que depositar cargas en su interior
realizando un trabajo sobre el campo eléctrico interno.
δW = Vdq ⇒ δW =
q
dq
C
• La energía necesaria para aumentar en, dq, la carga de un condensador de
capacidad “C”, será:
2
Q
Q
0
0
W = ∫ Vdq = ∫
q
Q
dq =
C
2C
• Para un condensador esférico será:
1  Q2 

W = 
2  4πεR 
• Ecuación general:
W=
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ε
E dV
2 ∫∫∫
2
19
10