Problemas tema 6: Sistemas paso banda con ruido.

Tema 6: Canales digitales paso banda con ruido
TEMA 6: CANALES DIGITALES PASO BANDA CON RUIDO
PROBLEMA 1
Se desea transmitir una señal digital, cuyo régimen binario es de 4 kbits/sg, a través de
un canal ideal cuya atenuación es de 30 dB.
a. Indicar cual sería el ancho de banda necesario, en una transmisión en banda base, para
que no exista interferencia entre símbolos.
Si se trata de una señal polar cuya amplitud es A=2mV y se sabe que la densidad
espectral de potencia de ruido η0/2=-71 dbm/Hz.
b. Calcular la probabilidad de error.
c. Calcular la probabilidad de error suponiendo que se tratase de una transmisión
unipolar con una señal de amplitud A.
Si la transmisión se realiza mediante una modulación ASK y se utiliza un
demodulador ASK no coherente, calcular:
d. Ancho de banda necesario para la transmisión.
e. Probabilidad de error suponiendo que la relación Es/η0 en el receptor, toma el mismo
valor que en el caso polar.
f. Indicar cual será el valor de la amplitud de la portadora transmitida.
Se desea transmitir la señal modulada en FSK y se va a demodular mediante un
demodulador FSK no coherente, si se desea mantener la misma probabilidad de error que en
la transmisión en banda base polar, calcular:
g. Amplitud de la portadora transmitida.
PROBLEMA 2
Se desea realizar una transmisión digital binaria a una velocidad de 2000 baudios, para
ello se modula la señal en DPSK. La portadora recibida tiene una amplitud AR= 2 mV y se
desea tener una probabilidad de error de 10-5. Obtener:
a. Relación Es/η0 , en recepción.
b. Potencia de ruido a la entrada del demodulador.
c. Obtener la relación Es/η0 necesaria para mantener la probabilidad de error si se
transmite en ASK y se demodula con un demodulador ASK no coherente.
Transmisión digital
6:1
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PROBLEMA 3
Se modula en ASK una señal digital binaria con código RZ unipolar y se transmite con
un régimen binario de 50 kbits/sg. El sistema se pretende utilizar para enviar señales
analógicas codificadas previamente en PCM de 8 bits.
El modulador ASK suministra un tono de amplitud A=10 V., la atenuación del canal
es de 22 dB y la densidad espectral de potencia de ruido η0/2 = -73 dB/Hz. La demodulación
de la señal se va a realizar mediante un demodulador ASK coherente.
a. Obtener el ancho de banda máximo de la señal analógica en este caso.
b. Obtener el ancho de banda máximo de la señal analógica si se va a utilizar un
modulador 4-ASK
c. Calcular la probabilidad de error para 2-ASK y para 4-ASK.
PROBLEMA 4
Se desea realizar una transmisión digital con un régimen binario de 2.08 Mbits/sg y
con una probabilidad de error Pe ≤ 10-6. El canal introduce un ruido cuya densidad espectral
de potencia es η0/2 = -80 dB/Hz.
Determinar el ancho de banda así como la potencia requerida a la entrada del receptor,
para cada uno de los siguientes casos:
a.
b.
c.
d.
e.
Binario unipolar.
Binario polar.
16-ASK.
16-PSK.
16-QAM.
PROBLEMA 5
Se modula en BPSK una secuencia continua de bits, cuyo régimen binario es de 5
kbits/sg. La transmisión se realiza a través de un canal cuya densidad espectral de potencia de
ruido es η 0 / 2 = −113 dB / Hz y que introduce una atenuación de 70 dB. El modulador
transmite las señales s 0 (t ) = 2 cos(ω p t ) y s 1 (t ) = −2 cos(ω p t ) . Para la demodulación se
utiliza un demodulador BPSK coherente.
a. Obtener el número de errores que se cometen en un día de transmisión.
b. Obtener el ancho de banda necesario para la transmisión.
c. Si se desea reducir el número de errores a la mitad, indicar que parámetros se deberían
modificar, indicando sus nuevos valores.
Transmisión digital
6:2
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PROBLEMA 6
Para realizar una transmisión digital se dispone de un canal centrado a una frecuencia
de 450 kHz y con un ancho de banda de 50 kHz, el canal introduce una atenuación de 3 dB y
un ruido blanco Gaussiano cuya densidad espectral de potencia es η0/2=-78,24 dB/Hz y la
probabilidad de error debe ser Pe ≤ 10-3.
Se desea transmitir una señal digital binaria formada por las señales s0(t) y s1(t):
s 0 (t ) = 0 ⎫
−6
⎬⇒0 ≤ t ≤ 5 ⋅ 10 sg
s1 (t ) = A ⎭
Se dispone de una serie de receptores coherentes cuyas probabilidades de error son las
mostradas en la siguiente gráfica.
a. Indicar justificadamente, cual será el tipo de modulador más adecuado para realizar la
transmisión.
b. Valor de A (s1(t)) para que se cumplan las especificaciones del enunciado.
c. Manteniendo el mismo modulador y las condiciones del canal se desea reducir la
probabilidad de error hasta 10-7, indicar que parámetros se deben modificar así como
sus valores.
Transmisión digital
6:3
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PROBLEMA 7
Dado un sistema de comunicación digital que consiste en un MDT (Múltiplex por
División en el Tiempo) de 9+1 (el canal de sincronismo del mismo tamaño que los canales de
información).
Si la frecuencia de muestreo de cada una de las señales es de 10 kHz, calcular:
a. Número de bits por muestra si el régimen binario es de 106 bits/sg.
b. Duración de una trama completa.
c. Calcular la frecuencia de corte máxima de los filtros de entrada del MDT-MIC para
evitar el solapamiento.
d. Dibujar el diagrama de bloques del transmisor MDT-MIC. Suponga que sólo utiliza
un conversor A/D.
La señal MIC se modula mediante un modulador 8-PSK cuyo diagrama de asignación
de fases es el indicado en la siguiente figura.
e. Indicar la forma de la onda de la señal por la línea para la siguiente señal de datos:
010001101. Tomar como referencia de la portadora: Fase inicial cero y un ciclo de
portadora cada tres bits.
f. Calcular el ancho de banda de línea ocupado, transmitiendo con este módem.
Transmisión digital
6:4
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PROBLEMA 8
Se desea transmitir una señal digital binaria equiprobable, cuyo régimen binario es de
5 Mbits/sg, a través de un canal ideal cuya atenuación es de 30 dB y que introduce un ruido
blanco cuya densidad espectral de potencia es η0/2=– 83 dBm/Hz.
a. Indicar cual sería el ancho de banda necesario para transmitir la señal en banda base.
Si la transmisión se realiza mediante una modulación ASK cuya portadora es
p(t ) = 2 cos(ω p t ) , siendo fp mucho mayor que el ancho de banda de la señal digital y se utiliza
un demodulador ASK no coherente, calcular:
b. Ancho de banda necesario para la transmisión.
c. Probabilidad de error de la señal demodulada.
d. Indicar, justificadamente, como sería posible reducir el valor de la probabilidad de
error a la mitad.
Se desea transmitir la señal modulada en FSK y se va a demodular mediante un
demodulador FSK no coherente, si se desea mantener la misma probabilidad de error que en
la transmisión ASK:
e. Amplitud de las portadoras utilizadas para la transmisión.
Transmisión digital
6:5
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PROBLEMA 9
Una fuente de información digital de tipo binario y con símbolos equiprobables,
genera un mensaje cada T segundos, para transmitir dichos mensajes se va a utilizar un
sistema de comunicación digital paso banda que modula la señal en PSK, transmitiéndose las
señales:
(
s i (t ) = A p cos 2πf p t + kπ
)
∀k = 0,1
NOTA: en el tiempo T se tiene un número entero de ciclos de la señal si(t).
El canal de transmisión introduce ruido blanco Gaussiano de media nula y cuya
densidad espectral de potencia es η0/2. El receptor utilizado está basado en la representación
vectorial de señales. Se pide:
a. Determinar la dimensión mínima del espacio vectorial de señales, necesario para
representar las señales si(t).
b. Obtener una posible base de funciones ortonormales que permita representar las
señales si(t).
c. Indicar la región de decisión correspondiente a cada una de las hipótesis.
d. Obtener la expresión correspondiente a la probabilidad de error en función de Q:
2
e. Q(x ) =
1
∞ −u
e 2
∫
2π x
du
f. Si las funciones de la base ortonormal que utiliza el receptor sufren un desfase de π/8
radianes, indicar justificadamente, que influencia va a tener sobre la probabilidad de
error calculada en el apartado anterior.
PROBLEMA 10
Una fuente binaria genera 7200 bits/seg. Se desea utilizar un modem para convertir los
símbolos binarios a un formato capaz de ser transmitido a través de un canal telefónico de
2400 Hz de ancho de banda.
a. Indicar justificadamente si es posible utilizar los siguientes sistemas de modulación,
para conseguir dicho propósito.
i.
Modulación híbrida de amplitud y fase, cuya constelación se muestra en la
figura 1, con las siguientes señales:
Transmisión digital
6:6
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ϕ (t)
2
ϕ1 (t ) =
2
cos ω o t
T
ϕ (t)
1
2
ϕ 2 (t ) =
senω o t
T
ii.
Figura 1
Constelación de la figura 2, con las siguientes señales.
ϕ (t)
2
ϕ 1 (t ) =
2
cos ω1 t
T
ϕ (t)
1
2
ϕ 2 (t ) =
cos ω 2 t
T
Figura 2
0,7
(este es el mínimo valor de separación posible, para
T
conseguir que ϕ1(t) y ϕ2(t) sean ortogonales.
donde ∆f = f 2 − f 1 =
iii.
Modulación M-ASK, cuya constelación es la mostrada en la figura 3, con
2
ϕ1 (t ) =
cos ω o t , donde todos los puntos de la constelación están separados
T
una distancia d.
Figura 3
iv.
ϕ (t)
1
d
Constelación mostrada en la figura 4, donde las señales están situadas en los
vértices de un cubo, siendo sus coordenadas (±d/2, ±d/2, ±d/2).
ϕ (t)
2
ϕ1 (t ) =
cos ω1 t
T
ϕ 2 (t ) =
2
2
cos ω 2 t
T
ϕ (t)
1
2
ϕ 3 (t ) =
senω 3 t
T
Figura 4
ϕ (t)
3
b. Escribir la expresión de las señales utilizadas para la transmisión.
Transmisión digital
6:7
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PROBLEMA 11:
Una fuente de información digital binaria, genera una secuencia de códigos
equiprobables con un régimen binario de 40 bits/seg. La señal generada por la fuente es
codificada según el código Manchester y se utiliza una modulación PSK binaria para su
transmisión. La señal se transmite a través de un canal que añade ruido blanco Gaussiano
η
cuya densidad espectral de potencia es 0 = 10 −9 W
.
2
Hz
s (t)
s (t)
0
1
T/2
T
t
T/2
T
t
Código Manchester
a. Diseñar el esquema correspondiente al receptor óptimo.
b. Obtener la energía media por símbolo transmitida, si la probabilidad de error ha de ser
inferior a 10-6 y la atenuación del canal es de 30 dB.
PROBLEMA 12
La modulación M-DPSK es una extensión de la modulación DPSK, donde la fase
transmitido en el instante actual (ϕn) por el modulador, depende del símbolo que se desea
transmitir y la fase transmitida en el instante anterior (ϕn-1). La probabilidad de error de la
modulación M-DPSK viene determinada por la siguiente expresión:
⎛ 2E s
⎛ π ⎞ ⎞⎟
Pe = 2Q⎜⎜
sen⎜
⎟ ⎟ para M≥4
η
2
M
⎝
⎠⎠
0
⎝
Se pide:
a.- Determinar el factor por el que habría que incrementar la energía media por símbolo,
para que la modulación M-DPSK tenga la misma probabilidad de error que la
modulación M-PSK, cuando M≥4.
b.- Para M=4, indicar cuantos decibelios es peor la modulación M-DPSK con respecto a
M-PSK.
Transmisión digital
6:8
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PROBLEMA 13
Una fuente de información binaria genera una secuencia de bits con un régimen
binario de 500 kbits/sg, para la transmisión de la información se va a utilizar un canal cuyo
ancho de banda es de 400 kHz.
Figura 1
Pe
Pe
M=32
M=32
M=8
M=16
M=8
M=16
M=4
M=2
M=4
M=2
Es
(dB )
η0
Es
(dB)
η0
M-ASK
M-PSK
Pe
M=64
M=16
M=4
Es
(dB )
η0
M-QAM
a.- Indicar, justificadamente, cual debe ser el método de modulación que utilice menor
energía media, a partir de las gráficas de la figura 1.
b.- Obtener, a partir del apartado a, la relación Es/η0 requerida para que la probabilidad de
error sea inferior a 10-5.
M-ASK
Pe = 2
M − 1 ⎛⎜
Q⎜
M
⎝
3
Es
(M − 1)(2M − 1) η0
⎛ 2 ⋅ Es
⎛
π⎞
Q⎜⎜
⋅ sen ⎟⎟ ≤ Pe ≤ 2 ⋅ Q⎜⎜
M⎠
⎝ η0
⎝
3 Es
M-QAM Pe ≅ 4⎛1 − 1 ⎞ Q⎛⎜
⎟ ⎜
⎜
M ⎠ ⎝ (M − 1) η0
⎝
M-DPSK Pe = 2 ⋅ Q⎛⎜ 4n ⋅ E s ⋅ sen π ⎞⎟
n ⎜⎝
η0
2M ⎟⎠
2 ⋅ Es
π⎞
⋅ sen ⎟⎟
M⎠
η0
M-PSK
Transmisión digital
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
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Tema 6: Canales digitales paso banda con ruido
PROBLEMA 14
Un sistema de transmisión binaria, con una potencia media de salida de 200 mW, con unas
perdidas en el canal de 90 dB y con una densidad espectral de potencia de ruido de
η0
= 5 ⋅10 −16 W
, debería tener una probabilidad de error inferior a 10-4. Indicar cual es la
Hz
2
velocidad de transmisión si se utiliza los siguientes sistemas de modulación:
a.- FSK no coherente
b.- DPSK
c.- BPSK coherente.
PROBLEMA 15
Se desea transmitir una señal digital con un régimen binario de 500 Kbits/sg, para ello se
dispone de un canal cuya banda de frecuencias disponible está comprendida entre 950 KHz y
1100 KHz, además dicho canal introduce ruido blanco gaussino cuya densidad espectral de
η0
= −110 dBW
y una atenuación fija de 30 dB más una atenuación que
Hz
2
depende de la distancia al transmisor y de valor α = 0,3 ⋅ d (dB ) , con “d” en Km.
potencia es
Para evitar que el transmisor se sature la potencia media de la señal transmitida no debe
superar los 5 W. Se pide:
a. Indicar, JUSTIFICADAMENTE, el tipo de modulación que se elegiría para realizar la
transmisión.
Suponiendo que se elige una modulación de amplitud, y se dispone de su correspondiente
demodulador, obtener de forma JUSTIFICADA:
b. Margen de valores que puede tomar la frecuencia de la portadora utilizada en la
modulación, si se desea obtener la mínima probabilidad de error.
c. Ancho de banda de la señal modulada para obtener la mínima probabilidad de error.
d. Máxima probabilidad de error posible.
e. Cual sería la máxima distancia posible a la que se podría situar el receptor para que la
probabilidad de error sea menor de 10-7.
PROBLEMA 16
Se transmite una señal digital cuyo régimen binario es de 2.5 Mbits/sg, para ello se
dispone de un canal cuyo ancho de banda es de 600 KHz, introduciendo ruido blanco
α T = 20 + 0,3 ⋅ d
Transmisión digital
η0
= 10 −11 W
, atenuación
Hz
2
(dB ) , con “d” en Km. El transmisor transmite con una potencia de 5 W.
gaussino cuya densidad espectral de potencia es
6:10
Tema 6: Canales digitales paso banda con ruido
Se pide:
f. Indicar, JUSTIFICADAMENTE, si se podría utilizar una modulación de amplitud
para realizar la transmisión.
Suponiendo que se transmite utilizando modulación de fase, y se dispone de su
correspondiente demodulador, obtener de forma JUSTIFICADA:
g. Calcular JUSTIFICADAMENTE el ancho de banda de la señal modulada para obtener
la mínima probabilidad de error.
h. Máxima probabilidad de error posible.
i. Cual sería la máxima distancia posible a la que se podría situar el receptor para que la
probabilidad de error sea menor de 10-7.
PROBLEMA 17
Se desea transmitir una señal digital de símbolos equiprobables, para ello se va a
utilizar un sistema de modulación ASK polar coherente con una potencia de pico de 1 W . El
canal utilizado para transmitir la información introduce ruido blanco gaussiano cuya densidad
espectral de potencia es η0 2 = 0,25 µW / Hz y atenuación de 30 dB. La tasa de error en los bits
debe ser inferior a 10-6.
Para M=2 y 4 se pide:
a.- Para los dos valores de M, indicar cuanto vale la energía media por símbolo de la
señal transmitida.
b.- Para los dos valores de M, calcular la máxima velocidad de transmisión.
c.- Para los dos valores de M, obtener el valor de régimen binario de la fuente de
información digital, antes del modulador
Transmisión digital
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Tema 6: Canales digitales paso banda con ruido
PROBLEMA 18
Un sistema de comunicación digital utiliza una modulación PSK M-aria, de forma que
cada T segundos emite una de las siguientes señales:
si (t ) =
2E
2π
cos(2πf p t +
(i − 1)) ∀i = 1, ... , M
T
M
Si consideramos el caso de M = 8, E = 15 mJ . y teniendo en cuenta que la señal se transmite a
través de un canal que introduce una atenuación de 65 dB y ruido blanco gaussiano con
η0
2
= 10 −10 W
Hz
, se pide:
a.- Dibujar la constelación del sistema.
b.- Calcular la distancia mínima entre dos señales.
c.- Dibujar las regiones de decisión.
d.- Calcular la probabilidad de error de la constelación suponiendo símbolos
equiprobables.
Transmisión digital
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