ADA Evaluación Alternativa. Ej. 1 Teoría y Práctica Curso 2006/2007

ADA Evaluación Alternativa. Ej. 1 Teoría y Práctica Curso 2006/2007
Teoría. Ejercicio 1.
Dado el siguiente algoritmo:
func alternativa06(ent/sal a: array[1..k] de Entero, i: Entero, j: Entero) dev (Entero: max)
var
terc, prim, seg: Entero
alg
si i = j ó a[i] < a[j] :
max := a[j]
otras :
terc := ( j –i ) / 3
prim := i + terc
seg := j – terc
max := maximo6(a[i], a[prim], a[prim + 1], a[seg - 1], a[seg], a[j])
si max = a[i] ó max = a[prim]:
max := alternativa06(a, i, prim)
(*1)
otras:
si max = a[prim + 1] ó max = a[seg - 1]:
max := alternativa06(a, prim +1, seg -1)
(*2)
otras:
max := alternativa06(a, seg, j)
(*3)
fsi
fsi
fsi
fin
(a) ¿Cómo escogería el tamaño de problema n para cada llamada a la función recursiva alternativa06?
(b) Determine el caso mejor y el tiempo de ejecución T(n) para la función alternativa06 con el tamaño de
problema seleccionado en el apartado a).
(c) Determine el caso peor y el tiempo de ejecución T(n) para la función alternativa06 con el tamaño de
problema seleccionado en el apartado a).
NOTAS:
• Utilizar las constantes que se crean necesarias para englobar los costes de las operaciones.
• Suponer que la llamada inicial es siempre alternativa06(a, 1, k).
• El número de elementos del array recibido es potencia de 3.
• La función maximo6 tiene un coste constante (puede llamarlo kmax6).
Solución:
a) n = j – i +1. El tamaño del problema corresponde con los elementos que van de i a j ambos incluidos.
b) El caso mejor se da cuando en la primera llamada se cumple a[i] < a[j], es decir, cuando a[1] < a[k]. En ese
caso: T(n) = K1
c) El caso peor se da cuando en todas las llamadas se incumple siempre que a[i] < a[j], y max = a[i] y max =
a[prim], hasta llegar al tamaño 1. En cada llamada recursiva el tamaño del problema disminuye a la tercera parte,
y sólo una llamada recursiva es posible dada la estructura de sentencias selectivas. La diferencia entre realizar
una u otra llamada recursiva radica en que se realicen más o menos operaciones previas, pero todas estas
operaciones previas son de tiempo constante. Veamos como se deduce el tamaño en las tres llamadas recursivas.
(*1): tamaño n1 = prim – i + 1 = i + terc – i + 1 = terc +1 = ( j - i ) / 3 + 1 = [( n - 1) / 3] + 1 = [n /3 – 1] + 1= n / 3
Teniendo en cuenta que n = j – i + 1, y n es siempre potencia de 3, se deduce que [(n - 1) / 3] = [n/3 – 1]
(*2): tamaño n2 = seg – 1 – (prim + 1) + 1= (j – terc) – 1 – ((i + terc) + 1) + 1 = j – i – 2*terc + 1=terc + 1 = n / 3
(*3): tamaño n3 = j – seg + 1 = j – (j – terc) + 1 = terc + 1 = n / 3
De los cálculos se deduce que n1 = n2 = n3 y por tanto el tamaño en todas las posibles llamadas es el mismo.
K1
n=1
T(n)
T(
n
) + K2 + Kmax6 n > 1
3
K1 := Engloba las operaciones del caso base
K2 := Coste de las operaciones del caso recursivo excepto la llamada recursiva y la llamada al método maximo6
Resolviendo el caso recursivo: T(n) - T(
n
) = K3 . Realizando el cambio de variable n = 3k se deduce que:
3
tk – tk-1 = K3, La ecuación resultante es no homogénea. Usando b = 1 y d = 0, se obtiene una solución doble r1 =
1. Con esta raíz y deshaciendo el cambio de variable por log3 n = k se obtiene:
T(n) = C1 + C2 log3n =T(n). Usando T(1) = K1 y T(3) = K1 + K2+ Kmax6 resulta C1 = K1 y C2 = K2+ Kmax6
Por tanto el orden es Θ(log n), que es a su vez cota superior e inferior.
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Prácticas. Distribución de libros en estanterías mediante técnica voraz.
Un librero acaba de abrir un negocio en el que vende libros de diversos temas, que se ofrecen
al público en una serie de estanterías. Dicho librero pretende minimizar el número de
estanterías a utilizar, de forma que se optimice el espacio del local. Esto debe hacerlo teniendo
en cuenta que todos los libros de una misma temática deberían estar siempre colocados
en una misma estantería. En el caso de que no exista ninguna estantería con capacidad
suficiente para una temática determinada, no se colocará dicha temática. Una estantería puede
estar ocupada por libros de diversas temáticas mientras tenga capacidad para ello. Todas las
estanterías tienen la misma capacidad, y todos los libros ocupan el mismo espacio.
Vamos a modelar el problema a resolver mediante una clase denominada ProblemaLibreria,
que posee los siguientes atributos:
int [] numLibros.- array ordenado de forma decreciente tal que numLibros[t] indica
el número de libros referentes a la temática t.
int capacidadEstanterias.- indica el número de libros capaz de albergar cada una de
las estanterías.
int numMaximoEstanterias.- número de estanterías que caben en el local.
a) Completa el código de la clase LibreriaVoraz que aparece a continuación, teniendo en
cuenta que la estrategia voraz que se debe seguir consiste en recorrer las diferentes
temáticas de mayor a menor número de unidades, de forma que se asigne una
estantería a cada temática. La estantería elegida será aquélla que tenga espacio
libre para la temática completa y que además sea la que tenga menor espacio
libre. La solución se almacenará en el atributo estanteriaAsignada de la clase
LibreriaVoraz, de forma que estanteriaAsignada[t] indica la estantería en la que se
ubicará la temática t. En el caso de no encontrar ninguna estantería con capacidad
suficiente para una temática determinada se asignará el valor -1.
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package soluciones.libreria;
import esquemas.EsquemaVZ;
import soluciones.EstrategiaSolucion;
import problemas.ProblemaLibreria;
extends EsquemaVZ implements EstrategiaSolucion
public class LibreriaVoraz
/* Array que indica el número de libros que compone cada temática. Se obtiene
de
la clase ProblemaLibreria */
int[] numLibros;
/* Array que indica el espacio libre que tiene cada una de las estanterías en
un
momento del algoritmo, de forma que espacioLibreEstanterias[e]= n indica que la
estantería e tiene sitio libre para n libros */
int[] espacioLibreEstanterias;
// Capacidad de cada una de las estanterías
int capacidadEstanterias;
// Número máximo de estanterías
int numMaximoEstanterias;
// Array en el que se almacena la solución al problema
int[] estanteriaAsignada;
/* Representa el índice de la temática que se está analizando en cada momento
del
algoritmo */
int tematicaActual;
/* Se utiliza para buscar la estantería más adecuada para tematicaActual en
cada
iteración del algoritmo */
int estanteriaAAsignar;
public LibreriaVoraz(ProblemaLibreria pl) {
this.numLibros = pl.getNumLibros();
this.capacidadEstanterias = pl.getCapacidad();
this.numMaximoEstanterias = pl.getNumMaximoEstanterias();
}
public void procesamientoInicial() {
}
protected void inicializa() {
this.espacioLibreEstanterias = new int[numMaximoEstanterias];
for (int i = 0; i < numMaximoEstanterias; i++) {
this.espacioLibreEstanterias[i] = capacidadEstanterias;
}
estanteriaAsignada = new int[numLibros.length];
tematicaActual = 0;
}
protected boolean fin() {
return (tematicaActual == numLibros.length);
}
{
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protected void seleccionaYElimina() {
estanteriaAAsignar = -1;
int minValor = Integer.MAX_VALUE;
boolean enc = false;
for (int i = 0; i < numMaximoEstanterias && !enc; i++) {
if (espacioLibreEstanterias[i] >= numLibros[tematicaActual]
&& espacioLibreEstanterias[i] < minValor) {
minValor = espacioLibreEstanterias[i];
estanteriaAAsignar = i;
if(espacioLibreEstanterias[i]
==
numLibros[tematicaActual]){
enc = true;
}
}
}
if (estanteriaAAsignar != -1) {
espacioLibreEstanterias[estanteriaAAsignar] =
espacioLibreEstanterias[estanteriaAAsignar]
- numLibros[tematicaActual];
}
}
protected boolean prometedor() {
return true;
}
protected void anotaEnSolucion() {
estanteriaAsignada[tematicaActual] = estanteriaAAsignar;
tematicaActual++;
}
public void solucion() {
voraz();
}
public void procesamientoFinal() {
}
}