El debilitamiento de las ondas al propagarse Las ondas se debilitan

Movimiento ondulatorio
Física 2º Bachillerato
Curso 2008–2009
El debilitamiento de las ondas al propagarse
Las ondas se debilitan al propagarse, lo que significa que su intensidad disminuye. ¿Por qué
ocurre este debilitamiento? Hay dos causas bien distintas que hacen que se produzca esto: La
atenuación y la absorción.
1. La atenuación de una onda.
Supongamos que tenemos una onda esférica que se propaga por un espacio homogéneo e
isótropo. Supongamos también que no existen pérdidas energéticas.
A medida en que avanza la onda, la energía inicial se reparte cada vez más entre las
partículas que la perturbación se va encontrando en su camino. Esto hace que la amplitud
de la onda disminuya a medida en que la perturbación se aleja del foco emisor, siendo esa
disminución de la forma que sigue:
1
A∝
[1]
r
Otra consecuencia de ello es el que la intensidad sea inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia al foco emisor:
I∝
1
r2
[2]
Vamos a deducir estas dos afirmaciones
A. Demostración de que la amplitud, A, es inversamente proporcional a la distancia
entre el foco emisor y el frente de onda, r.
Sea una onda que se transmite armónicamente. Una partícula de masa m que se ve
afectada por esta onda tendrá la siguiente energía mecánica:
E mec = E c + E p = (Ec )máx =
1
1
1
2
mv 2máx = mω 2 A 2 ⇒ Emec = m (2π) f 2 A 2
2
2
2
[3]
Si no existen pérdidas por rozamiento, la energía mecánica ha de ser constante. En
ese caso, la energía de las partículas que forman un frente de ondas de radio r1 , E 1 ,
será la misma que la energía de las partículas que forman un frente de onda de radio
r2 , E 2 , por lo que:
E1 = E 2 ⇒
1
1
2
2
m 1 ( 2π) f 2 A 12 = m 2 ( 2π) f 2 A 22 ,
2
2
[4]
siendo m 1 y m 2 la masa de las partículas que están en el primer y segundo frentes
de onda respectivamente.
1
Juan J. Pascual
Movimiento Ondulatorio
Atenuación y Absorción
Pero m 1 y m 2 pueden expresarse así:
m 1 = 4πr12 drρ y m 2 = 4πr22 ⋅ dr ⋅ ρ ,
[5]
en donde 4πr12 y 4πr22 es la superficie esférica de los dos frentes de onda, de grosor
dr y ρ la densidad del medio.
Si llevamos [4] a [3], obtenemos:
1
1
2
2
4πr12 ⋅ dr ⋅ ρ (2π) f 2 A 12 = 4πr22 ⋅ dr ⋅ρ (2π) f 2 A 22 ⇒ r12 ⋅ A 12 = r22 ⋅ A 22 ⇒
2
2
⇒ r1 ⋅ A 1 = r2 ⋅ A 2 = cte ⇒ A i ∝
1
ri
[6]
B. Demostración de que la intensidad, I, es inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre el foco emisor y el frente de onda, r.
La intensidad de un moviendo ondulatorio en un punto viene dada por:
I=
E
P
= ,
S⋅t S
[7]
en donde E es la energía, S la superficie, t el tiempo y P la potencia.
Para llegar al resultado apetecido, vamos a calcular el cociente entre las intensidades
de dos frentes de onda que tienen un mismo foco:
Para el primer frente:
1
2
4πr12 ⋅ dr ⋅ ρ (2π) f 2 A 12
E1
I1 =
=2
S1 ⋅ t
4πr12 ⋅ dr ⋅ ρ⋅ t
[8]
Para el segundo frente:
1
2
4πr22 ⋅ dr ⋅ρ (2π) f 2 A 22
E2
I2 =
=2
S2 ⋅ t
4πr22 ⋅ dr ⋅ρ⋅ t
[9]
Entonces:
I 1 A 12
= 2 ⇒ I i ∝ A i2
I2 A2
[10]
Por otro lado, recordando que r12 ⋅ A 12 = r22 ⋅ A 22 , podemos escribir:
Juan J. Pascual
2
Atenuación y Absorción
Movimiento Ondulatorio
I 1 r22
1
= 2 ⇒ Ii ∝ 2
I 2 r1
ri
[11]
2. La absorción de una onda.
En ocasiones, si hay pérdidas energéticas asociadas a la propagación de la onda. Se
observa que, en ese caso, un desplazamiento dx del frente de onda implica una
disminución de la intensidad de la onda, I, en dI.
Matemáticamente:
dI = −λIdx ,
[12]
en donde λ representa el coeficiente de absorción del medio. El signo negativo indica la
disminución de la intensidad de la onda al avanzar por el medio.
La variación de la intensidad en función del desplazamiento se deduce integrando [12]:
dI = −λIdx ⇒
I dI
x
dI
I
= −λdx ⇒ ∫
= ∫ −λdx ⇒ ln I − ln I 0 = −λx ⇒ ln = −λx ⇒
I0 I
0
I
I0
ln
e
I
I0
= e−λx ⇒
I
= e−λx ⇒ I = I 0 e−λx
I0
[13]
*****
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