d d a e Ex d i s r e tre v i n Cálculo I Sucesiones de números racionales Matemáticas de U to 03 · 10 · 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones y van a permitir definir los números reales. Para ello se necesita definir qué son sucesiones convergentes y cómo a partir de ellas se puede definir el conjunto R de números reales. Definición. Una sucesión en Q es una aplicación x : N −→ Q 1 x(1) = x1 2 x(2) = x2 3 x(3) = x3 ··· d d a e Ex d i s r e tre v i n Se suele representar mediante sus imágenes x = (x1 , x2 , x3 , . . .) = (xn )n∈N = (xn )n = (xn ). En adelante, se utilizará cualquiera de estas notaciones. Se designa por {xn : n ∈ N} al conjunto de valores que toman los términos de la sucesión. Por ejemplo, si (xn ) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) entonces el conjunto de valores es {xn : n ∈ N} = {0, 1}, un conjunto de dos elementos. Para las sucesiones (1, 2, 3, . . .) y (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) el conjunto de valores es N. Al conjunto de todas las sucesiones de números racionales se le designará por S . A partir de las operaciones en Q es posible definir ciertas operaciones en S : – Suma: (xn ) + (yn ) = (xn + yn ), es decir, las sucesiones se suman haciendo las sumas término a término. – Producto: (xn ) · (yn ) = (xn · yn ), las sucesiones se multiplican haciéndolo término a término. – Producto por escalares: α · (xn ) = (α · xn ), para α ∈ Q y (xn ) ∈ S . Se puede comprobar fácilmente que la suma es asociativa, conmutativa, tiene a la sucesión cero (0) = (0, 0, 0, . . .) como elemento neutro y todo elemento tiene opuesto: −(xn ) = (−xn ). El producto es asociativo, conmutativo y tiene elemento unidad Matemáticas de U to Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura z - Departam e che n án e rnand F a r u o d S a m 3. Sucesiones de números racionales – 1 Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura 3 z - Departam e che n án e rnand F a r u o d S a m d d a e Ex d i s r e tre v i n z - Departam e che n án (1) = (1, 1, 1, . . .). Sin embargo no toda sucesión no nula tiene elemento inverso. El inverso de una sucesión (xn ) es (xn )−1 = (x−1 n ), que existe si todos los términos xn son no nulos. Ası́, (S , +, ·) es un anillo conmutativo unitario y no es un cuerpo. Se dice que es un anillo con divisores de cero, ya que puede haber elementos no nulos cuyo producto es cero: (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) · (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . .) = (0) La definición de sucesión convergente es esencial en el Cálculo. Es necesario insistir en la importancia de entender correctamente esta forma de escribir un concepto que puede resultar más o menos intuitivo. Definición. Se dice que una sucesión (xn ) de números racionales converge a a ∈ Q, y se escribe (xn ) → a o también a = n→∞ lı́m (xn ), si ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : n > ν ⇒ |xn − a|< ε. Dado cualquier valor ε > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se llega a nada importante), todos los términos xn con n > ν están en el intervalo (a − ε, a + ε), o lo que es lo mismo, |xn − a|< ε. Matemáticas de U to · ) e rnand F a r u o d S a m ( · d d a e Ex d i s r e tre v i n lı́m n→∞ 1 =0 n En la definición de convergencia aparece el valor absoluto como distancia entre números: |a − b| es la distancia entre a y b. Este valor absoluto se define para cada número a ∈ Q como a si a ≥ 0 |a|= máx{a, −a} = −a si a < 0 y tiene las siguientes propiedades (para a, b ∈ Q) 1. |a|≥ 0 y |a|= 0 ⇔ a = 0 2. |a + b|≤ |a|+|b| (desigualdad triangular) Matemáticas de U to Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Utilizando la propiedad arquimediana es fácil comprobar que z - Departam e che n án Por ejemplo, es fácil probar que toda sucesión constante es convergente, y su lı́mite es el término general de la sucesión. Si (xn ) = (a, a, a, . . .) entonces |xn − a|< ε para cualquier valor n ∈ N. Sin embargo, una sucesión como (xn ) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) no puede ser convergente. a |a| 3. |a · b|= |a|·|b|. Por tanto |−a|= |a|, |a−1 |= |a|−1 si a 6= 0, y = si b 6= 0 b |b| 3. Sucesiones de números racionales – 2 Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura e rnand F a r u o d S a m e rnand F a r u o d S a m 4. |a|−|b| ≤ |a ± b| d d a e Ex d i s r e tre v i n Por ejemplo, a = 10 9999 . . . = 10 9Û y b = 2 verifican |a − b|< ε sea cual sea el valor ε > 0. Por tanto a = b. Definición (conjunto acotado). Un Conjunto A ⊂ Q es acotado si existe M > 0 tal que |x|≤ M para todo x ∈ A, es decir, si A ⊂ [−M, M ]. Una sucesión (xn ) se dice que está acotada si todos los términos están contenidos en algún intervalo: existe M > 0 que verifica xn ∈ [−M, M ] para n = 1, 2, 3, . . . Proposición. Toda sucesión convergente está acotada. Demostración. Se considera una sucesión convergente (xn ) → a. Dado ε = 1 existe ν ∈ N tal que |xn − a|< 1 para n > ν. Por tanto |xn |< 1 + |a| para esos valores n > ν. Ası́, M = máx{|x1 |, . . . , |xν |, 1 + |a|} Matemáticas de U to es una cota máxima para la sucesión. Proposición. La suma (respectivamente el producto) de sucesiones convergentes es una sucesión convergente y su lı́mite es la suma (resp. el producto) de sus lı́mites. Ası́, si dos sucesiones (xn ) y (yn ) son convergentes entonces (xn + yn ) y (xn · yn ) también lo son y se cumple lı́m (xn + yn ) = n→∞ lı́m (xn ) + n→∞ lı́m (yn ) n→∞ e rnand F a r u o d S a m lı́m (xn · yn ) = lı́m (xn ) · lı́m (yn ). n→∞ n→∞ n→∞ d d a e Ex d i s r e tre v i n |(xn + yn ) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε para n > ν, lo que prueba que (xn + yn ) → a + b. El argumento para el producto es similar. Como las sucesiones son convergentes también son acotadas. Como ambas sucesiones son acotadas, se puede encontrar M > 0 que verifique |a|< M, |b|< M, |xn |< M, |yn |< M para todo n. Dado ε > 0 existen ν1 , ν2 ∈ N tales que |xn − a|< ε/2M si n > ν1 y |yn − b|< ε/2M si n > ν2 . Ası́ |xn · yn − a · b| = |xn yn − ayn + ayn − ab| ≤ |xn yn − ayn | + |ayn − ab| = |xn − a|·|yn | + |a|·|yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε Matemáticas de U to Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura z - Departam e che n án Demostración. Sean (xn ) → a, (yn ) → b. Entonces, dado ε > 0 existe ν1 tal que |xn − a|< ε/2 si n > ν1 y existe ν2 tal que |yn − b|< ε/2 si n > ν2 . Por tanto, si ν = máx{ν1 , ν2 } se tiene para n > máx{ν1 , ν2 }. Ejercicio. Es fácil probar que las tres sentencias siguientes son equivalentes: 3. Sucesiones de números racionales – 3 Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura z - Departam e che n án El valor absoluto indica la distancia entre dos números. Resulta útil a veces para comparar números a y b, ya que |a − b|< ε ∀ε > 0 ⇒ a = b d d a e Ex d i s r e tre v i n Ä ä Además, si (yn ) es acotada y (xn ) → a entonces yn (xn − a) → 0. Con este ejercicio se podrı́a haber probado de otra forma la segunda parte de la proposición anterior. Sin embargo, cuando alguna de las sucesiones no es convergente, con la suma y el producto puede resultar una sucesión convergente o no, por ejemplo • (n) no es convergente, (−n) no es convergente, pero la suma sı́ lo es • (1, 0, 1, 0, . . .) no es convergente, (0, 7, 0, 7, . . .) no es convergente, y el producto sı́ es convergente • (n) no es convergente, (1/n2 ) es convergente, y el producto sı́ es convergente • (n2 ) no es convergente, (1/n) es convergente, y el producto no es convergente Definición. Se dice que una sucesión (xn ) de números racionales es de Cauchy si Matemáticas de U to ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : n, m > ν ⇒ |xn − xm |< ε. Dado cualquier valor ε > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se llega a nada importante), todos los términos xn y xm con n, m > ν están muy próximos entre sı́, como mucho a distancia ε. Proposición. Toda sucesión convergente es de Cauchy. Demostración. Sea (xn ) → a. Dado ε > 0 existe ν ∈ N tal que |xn − a|< ε/2 si n > ν. Por tanto, si p, q > ν se tiene |xp − xq |≤ |xp − a|+|xq − a|< ε. e rnand F a r u o d S a m d d a e Ex d i s r e tre v i n < 1/10 < 1/102 < 1/103 ... (∀p, q > 1) (∀p, q > 2) (∀p, q > 3) También es de Cauchy la sucesión (x2n ), ya que es convergente y converge a 2. Sin embargo (xn ) no converge en Q, ya que su único posible lı́mite es un número cuyo cuadrado es 2, y ese número no existe en Q. El conjunto C de sucesiones de Cauchy en Q, o el conjunto Co de sucesiones convergentes y el conjunto A de sucesiones acotadas, con las operaciones usuales de suma y multiplicación son subanillos del anillo S de todas las sucesiones en Q. Además, se tienen las inclusiones (todas son estrictas) Co ⊂ C ⊂ A ⊂ S Matemáticas de U to Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura |xp − xq | |xp − xq | |xp − xq | z - Departam e che n án Sin embargo, existen sucesiones de Cauchy en Q que no son convergentes. Por ejemplo, se puede considerar la sucesión (xn ) = (1, 10 4, 10 41, 10 414, 10 4142, . . .) cuyos términos verifican (x2n ) → 2. Esta sucesión es de Cauchy ya que sus términos verifican Proposición. Toda sucesión de Cauchy es acotada. 3. Sucesiones de números racionales – 4 Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura • (xn ) → a, • (xn − a) → 0, • (|xn − a|) → 0. z - Departam e che n án e rnand F a r u o d S a m d d a e Ex d i s r e tre v i n z - Departam e che n án Demostración. Si (xn ) es de Cauchy, dado ε = 1 existe ν ∈ N tal que |xn − xm |< ε = 1 para n, m ≥ ν. Por tanto, |xn |< 1 + |xν | para n > ν y la sucesión está acotada por M = máx{|x1 |, . . . , |xν |, 1 + |xν |}. Ejercicio. Probar que si (xn ) no está acotada, es posible encontrar términos n1 < n2 < n3 < . . . tales que |xn1 |> 1000, |xn2 |> 2000, |xn3 |> 3000, . . . Esto hace que una sucesión ası́ no pueda ser de Cauchy ni convergente. Con este ejercicio se podrı́a haber probado la proposición anterior, utilizando el contrarrecı́proco. Proposición. La suma y producto de sucesiones de Cauchy es una sucesión de Cauchy. Demostración. Sean (xn ) e (yn ) sucesiones de Cauchy. Dado ε > 0 existen ν1 y ν2 tales que |xn − xm |< ε/2 y |yp − yq |< ε/2 para m, n > ν1 y p, q > ν2 . Por tanto para valores n, m > máx{ν1 , ν2 } se tiene |xn + yn − (xm + ym )|≤ |xn − xm |+|yn − ym |< ε y la sucesión (xn + yn ) es de Cauchy. Para el producto es similar. Al ser sucesiones de Cauchy son acotadas: |xn |≤ N y |yn |≤ M para todo n ∈ N y se puede escribir Matemáticas de U to |xn yn − xm ym | = |xn yn − xm yn + xm yn − xm ym | ≤ |xn − xm |·|yn |+|yn − ym |·|xm | ≤ |xn − xm |·M + |yn − ym |·N de donde se obtiene que (xn yn ) es de Cauchy. Definición. Dos sucesiones de Cauchy de números racionales (xn ) e (yn ) se dice que son equivalentes, y se escribe (xn ) ∼ (yn ), si (xn − yn ) → 0. e rnand F a r u o d S a m R = C /∼ z - Departam e che n án d d a e Ex d i s r e tre v i n Es fácil comprobar que esta relación es de equivalencia: reflexiva, simétrica y transitiva. Por tanto induce una clasificación C /∼ es el conjunto de sucesiones de Cauchy. A este conjunto cociente se le llama conjunto de los números reales y se denota R: Matemáticas de U to Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Cada número real es una clase de sucesiones Cauchy equivalentes de números racionales. 3. Sucesiones de números racionales – 5 Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura e rnand F a r u o d S a m