03. Sucesiones de números racionales. Sucesiones convergentes y

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Cálculo I
Sucesiones de números
racionales
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03 · 10 · 2015
Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas
aproximaciones se llaman sucesiones y van a permitir definir los números reales. Para ello
se necesita definir qué son sucesiones convergentes y cómo a partir de ellas se puede definir
el conjunto R de números reales.
Definición. Una sucesión en Q es una aplicación
x : N −→ Q
1
x(1) = x1
2
x(2) = x2
3
x(3) = x3
···
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Se suele representar mediante sus imágenes x = (x1 , x2 , x3 , . . .) = (xn )n∈N = (xn )n = (xn ).
En adelante, se utilizará cualquiera de estas notaciones. Se designa por {xn : n ∈ N}
al conjunto de valores que toman los términos de la sucesión. Por ejemplo, si (xn ) =
(0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) entonces el conjunto de valores es {xn : n ∈ N} = {0, 1}, un conjunto de
dos elementos. Para las sucesiones (1, 2, 3, . . .) y (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) el conjunto de valores
es N.
Al conjunto de todas las sucesiones de números racionales se le designará por S . A partir
de las operaciones en Q es posible definir ciertas operaciones en S :
– Suma: (xn ) + (yn ) = (xn + yn ), es decir, las sucesiones se suman haciendo las sumas
término a término.
– Producto: (xn ) · (yn ) = (xn · yn ), las sucesiones se multiplican haciéndolo término a
término.
– Producto por escalares: α · (xn ) = (α · xn ), para α ∈ Q y (xn ) ∈ S .
Se puede comprobar fácilmente que la suma es asociativa, conmutativa, tiene a la
sucesión cero (0) = (0, 0, 0, . . .) como elemento neutro y todo elemento tiene opuesto:
−(xn ) = (−xn ). El producto es asociativo, conmutativo y tiene elemento unidad
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(1) = (1, 1, 1, . . .). Sin embargo no toda sucesión no nula tiene elemento inverso. El
inverso de una sucesión (xn ) es (xn )−1 = (x−1
n ), que existe si todos los términos xn son no
nulos.
Ası́, (S , +, ·) es un anillo conmutativo unitario y no es un cuerpo. Se dice que es un anillo
con divisores de cero, ya que puede haber elementos no nulos cuyo producto es cero:
(1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) · (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . .) = (0)
La definición de sucesión convergente es esencial en el Cálculo. Es necesario insistir en
la importancia de entender correctamente esta forma de escribir un concepto que puede
resultar más o menos intuitivo.
Definición. Se dice que una sucesión (xn ) de números racionales converge a a ∈ Q, y se
escribe (xn ) → a o también a = n→∞
lı́m (xn ), si
∀ε > 0
∃ν ∈ N : n > ν ⇒ |xn − a|< ε.
Dado cualquier valor ε > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se llega
a nada importante), todos los términos xn con n > ν están en el intervalo (a − ε, a + ε), o
lo que es lo mismo, |xn − a|< ε.
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lı́m
n→∞
1
=0
n
En la definición de convergencia aparece el valor absoluto como distancia entre números:
|a − b| es la distancia entre a y b. Este valor absoluto se define para cada número a ∈ Q
como


 a si a ≥ 0
|a|= máx{a, −a} = 

−a si a < 0
y tiene las siguientes propiedades (para a, b ∈ Q)
1. |a|≥ 0 y |a|= 0 ⇔ a = 0
2. |a + b|≤ |a|+|b| (desigualdad triangular)
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Utilizando la propiedad arquimediana es fácil comprobar que
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Por ejemplo, es fácil probar que toda sucesión constante es convergente, y su lı́mite es el
término general de la sucesión. Si (xn ) = (a, a, a, . . .) entonces |xn − a|< ε para cualquier
valor n ∈ N. Sin embargo, una sucesión como (xn ) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) no puede ser
convergente.
a
|a|
3. |a · b|= |a|·|b|. Por tanto |−a|= |a|, |a−1 |= |a|−1 si a 6= 0, y =
si b 6= 0
b
|b|
3. Sucesiones de números racionales – 2
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4. |a|−|b| ≤ |a ± b|
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Por ejemplo, a = 10 9999 . . . = 10 9Û y b = 2 verifican |a − b|< ε sea cual sea el valor ε > 0.
Por tanto a = b.
Definición (conjunto acotado). Un Conjunto A ⊂ Q es acotado si existe M > 0 tal
que |x|≤ M para todo x ∈ A, es decir, si A ⊂ [−M, M ]. Una sucesión (xn ) se dice que
está acotada si todos los términos están contenidos en algún intervalo: existe M > 0 que
verifica xn ∈ [−M, M ] para n = 1, 2, 3, . . .
Proposición. Toda sucesión convergente está acotada.
Demostración. Se considera una sucesión convergente (xn ) → a. Dado ε = 1 existe ν ∈ N
tal que |xn − a|< 1 para n > ν. Por tanto |xn |< 1 + |a| para esos valores n > ν. Ası́,
M = máx{|x1 |, . . . , |xν |, 1 + |a|}
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es una cota máxima para la sucesión.
Proposición. La suma (respectivamente el producto) de sucesiones convergentes es una
sucesión convergente y su lı́mite es la suma (resp. el producto) de sus lı́mites.
Ası́, si dos sucesiones (xn ) y (yn ) son convergentes entonces (xn + yn ) y (xn · yn ) también
lo son y se cumple
lı́m (xn + yn ) = n→∞
lı́m (xn ) + n→∞
lı́m (yn )
n→∞
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lı́m (xn · yn ) = lı́m (xn ) · lı́m (yn ).
n→∞
n→∞
n→∞
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|(xn + yn ) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b|
< ε/2 + ε/2 = ε
para n > ν, lo que prueba que (xn + yn ) → a + b.
El argumento para el producto es similar. Como las sucesiones son convergentes también
son acotadas. Como ambas sucesiones son acotadas, se puede encontrar M > 0 que
verifique |a|< M, |b|< M, |xn |< M, |yn |< M para todo n. Dado ε > 0 existen ν1 , ν2 ∈ N
tales que |xn − a|< ε/2M si n > ν1 y |yn − b|< ε/2M si n > ν2 . Ası́
|xn · yn − a · b| = |xn yn − ayn + ayn − ab|
≤ |xn yn − ayn | + |ayn − ab|
= |xn − a|·|yn | + |a|·|yn − b|
< ε/2 + ε/2 = ε
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Demostración. Sean (xn ) → a, (yn ) → b. Entonces, dado ε > 0 existe ν1 tal que
|xn − a|< ε/2 si n > ν1 y existe ν2 tal que |yn − b|< ε/2 si n > ν2 . Por tanto, si
ν = máx{ν1 , ν2 } se tiene
para n > máx{ν1 , ν2 }.
Ejercicio. Es fácil probar que las tres sentencias siguientes son equivalentes:
3. Sucesiones de números racionales – 3
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El valor absoluto indica la distancia entre dos números. Resulta útil a veces para comparar
números a y b, ya que
|a − b|< ε ∀ε > 0 ⇒ a = b
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Ä
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Además, si (yn ) es acotada y (xn ) → a entonces yn (xn − a) → 0. Con este ejercicio se
podrı́a haber probado de otra forma la segunda parte de la proposición anterior.
Sin embargo, cuando alguna de las sucesiones no es convergente, con la suma y el producto
puede resultar una sucesión convergente o no, por ejemplo
• (n) no es convergente, (−n) no es convergente, pero la suma sı́ lo es
• (1, 0, 1, 0, . . .) no es convergente, (0, 7, 0, 7, . . .) no es convergente, y el producto sı́ es
convergente
• (n) no es convergente, (1/n2 ) es convergente, y el producto sı́ es convergente
• (n2 ) no es convergente, (1/n) es convergente, y el producto no es convergente
Definición. Se dice que una sucesión (xn ) de números racionales es de Cauchy si
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∀ε > 0
∃ν ∈ N : n, m > ν ⇒ |xn − xm |< ε.
Dado cualquier valor ε > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se
llega a nada importante), todos los términos xn y xm con n, m > ν están muy próximos
entre sı́, como mucho a distancia ε.
Proposición. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Demostración. Sea (xn ) → a. Dado ε > 0 existe ν ∈ N tal que |xn − a|< ε/2 si n > ν. Por
tanto, si p, q > ν se tiene |xp − xq |≤ |xp − a|+|xq − a|< ε.
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< 1/10
< 1/102
< 1/103
...
(∀p, q > 1)
(∀p, q > 2)
(∀p, q > 3)
También es de Cauchy la sucesión (x2n ), ya que es convergente y converge a 2. Sin embargo
(xn ) no converge en Q, ya que su único posible lı́mite es un número cuyo cuadrado es 2, y
ese número no existe en Q.
El conjunto C de sucesiones de Cauchy en Q, o el conjunto Co de sucesiones convergentes y
el conjunto A de sucesiones acotadas, con las operaciones usuales de suma y multiplicación
son subanillos del anillo S de todas las sucesiones en Q. Además, se tienen las inclusiones
(todas son estrictas)
Co ⊂ C ⊂ A ⊂ S
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|xp − xq |
|xp − xq |
|xp − xq |
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Sin embargo, existen sucesiones de Cauchy en Q que
no son convergentes. Por ejemplo, se puede considerar
la sucesión (xn ) = (1, 10 4, 10 41, 10 414, 10 4142, . . .) cuyos
términos verifican (x2n ) → 2. Esta sucesión es de Cauchy ya que sus términos verifican
Proposición. Toda sucesión de Cauchy es acotada.
3. Sucesiones de números racionales – 4
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• (xn ) → a,
• (xn − a) → 0,
• (|xn − a|) → 0.
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Demostración. Si (xn ) es de Cauchy, dado ε = 1 existe ν ∈ N tal que |xn − xm |< ε = 1
para n, m ≥ ν. Por tanto, |xn |< 1 + |xν | para n > ν y la sucesión está acotada por
M = máx{|x1 |, . . . , |xν |, 1 + |xν |}.
Ejercicio. Probar que si (xn ) no está acotada, es posible encontrar términos n1 < n2 <
n3 < . . . tales que |xn1 |> 1000, |xn2 |> 2000, |xn3 |> 3000, . . . Esto hace que una sucesión
ası́ no pueda ser de Cauchy ni convergente.
Con este ejercicio se podrı́a haber probado la proposición anterior, utilizando el
contrarrecı́proco.
Proposición. La suma y producto de sucesiones de Cauchy es una sucesión de Cauchy.
Demostración. Sean (xn ) e (yn ) sucesiones de Cauchy. Dado ε > 0 existen ν1 y ν2 tales
que |xn − xm |< ε/2 y |yp − yq |< ε/2 para m, n > ν1 y p, q > ν2 . Por tanto para valores
n, m > máx{ν1 , ν2 } se tiene |xn + yn − (xm + ym )|≤ |xn − xm |+|yn − ym |< ε y la sucesión
(xn + yn ) es de Cauchy.
Para el producto es similar. Al ser sucesiones de Cauchy son acotadas: |xn |≤ N y |yn |≤ M
para todo n ∈ N y se puede escribir
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|xn yn − xm ym | = |xn yn − xm yn + xm yn − xm ym |
≤ |xn − xm |·|yn |+|yn − ym |·|xm |
≤ |xn − xm |·M + |yn − ym |·N
de donde se obtiene que (xn yn ) es de Cauchy.
Definición. Dos sucesiones de Cauchy de números racionales (xn ) e (yn ) se dice que son
equivalentes, y se escribe (xn ) ∼ (yn ), si (xn − yn ) → 0.
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R = C /∼
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Es fácil comprobar que esta relación es de equivalencia: reflexiva, simétrica y transitiva.
Por tanto induce una clasificación C /∼ es el conjunto de sucesiones de Cauchy. A este
conjunto cociente se le llama conjunto de los números reales y se denota R:
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Cada número real es una clase de sucesiones Cauchy equivalentes de números racionales.
3. Sucesiones de números racionales – 5
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