RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
I. LÓGICA PROPOSICIONAL
A. Proposiciones
B. Conectivos proposicionales
B.1.
B.2.
B.3.
B.4.
B.5.
B.6.
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Otros conectivos
C. Fórmulas lógicas
D. Reglas de inferencia
E. La demostración
II. EJEMPLOS Y APLICACIONES AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
INTRODUCCIÓN
La lógica es la disciplina que trata de los métodos de los razonamientos. Ofrece
reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido. A grandes rasgos la
historia de la lógica se divide en 3 etapas: lógica griega, lógica escolástica y lógica
matemática.
El primer estudio sistemático del razonamiento lógico lo da Aristóteles que
enuncia las fórmulas lógicas con palabras del lenguaje ordinario, sujetas a las reglas
sintácticas.
Durante la segunda etapa la lógica se abstrajo del lenguaje ordinario.
En la tercera etapa quedó marcada por el uso de un lenguaje artificial en el que
los signos y palabras estaban regidos por una sintaxis exacta. Mientras que en las dos
primeras etapas los teoremas lógicos se derivaban del lenguaje usual, en la tercera la
lógica procede al contrario. A veces se considera a Leibnitz como un precursor de este
último punto de vista pues pretendía reducir todas las cosas a un orden.
La fecha del nacimiento de la lógica contemporánea es cuando Boole publica
su primer libro y la lógica formal de De Morgan (1847). Más tarde (1854) Boole
construye y desarrolla la lógica formal como un nuevo tipo de álgebra y demuestra que
su tipo general de álgebra suministra un algoritmo fácil para el razonamiento
silogístico.
Después hubo un desvanecimiento hasta la aparición de “Principia
Mathematica” de Russell y Whitehead. En esta obra se programa que toda la
matemática pura puede deducirse de un pequeño número de principios lógicos
1
fundamentales. A partir de ésta y de las obras de otros lógicos y matemáticos del s.
XX se disponen de potentes herramientas. Gödel (1931) demostró que existen dentro
del sistema ciertas afirmaciones bien definidas, que no pueden ser demostradas ni
refutadas a partir de los axiomas. Así el teorema de Gödel se considera como el
resultado más importante de la lógica matemática.
I. LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica de proposicional se ocupa de proposiciones, de frases descriptivas en
el seno de una teoría. No todas las frases son proposiciones.
A. Proposiciones
Definición
Una proposición es una frase de la que se pueda decir que es verdadera o
falsa.
Observación
- No son proposiciones las frases interrogativas o exclamativas o enunciados
prescriptivos.
- Existen lógicas en las que se consideran más de 2 valores lógicos, pero verdadero y
falso son los únicos valores de verdad de las proposiciones. Rige el llamado principio
de bivalencia: “Toda proposición es o bien verdadera o bien falsa”.
La lógica proposicional se ocupa de las relaciones de inferencia entre
proposiciones tomadas en bloque. No se analiza la estructura interna de las
proposiciones, son estas las unidades de análisis. Como primer nivel del análisis
lógico, lo que se pretende es analizar la validez de aquellos razonamientos en los que
se parte de premisas, que son proposiciones sin analizar, para llegar a conclusiones
que son proposiciones que tampoco se analizan. Desde el punto de vista de la lógica
proposicional sólo se tienen en cuenta aquellas formas de deducir una proposición a
partir de otras que sean válidas sin necesidad de analizar interiormente cada una de
ellas. Los elementos que componen una proposición son irrelevantes. Sólo interesan
las proposiciones como tales, cada una de ellas considerada como un todo.
Como es indiferente el contenido de cada proposición, éstas se representan
mediante variables proposicionales: p,q,r,s,... símbolos que sustituyen a proposiciones
cualesquiera. Cada proposición tiene un único valor de verdad. La variable p, que
reemplaza a una proposición cualquiera, podrá tener el valor de verdad (v ó 1) o el
valor falso (F ó 0).
B. Conectivos proposicionales
Definición
Una proposición se llama molecular cuando es una composición de otras. Se
llama atómica si no lo es.
Se llaman conectivos proposicionales a las diversas formas de enlazar o
transformar proposiciones. Cada conectivo proposicional queda determinado
conociendo su función de verdad, la relación existente entre la verdad o falsedad de
las proposiciones componentes y la resultante.
Es normal dar una función de verdad mediante una tabla de verdad, que son
tablas en la que junto a cada posible combinación de valores de verdad de las
proposiciones componentes figura el de la proposición compuesta.
Según el número de componentes se habla de conectivos monádicos o
singulares, diádicos o binarios, ternarios, etc.
2
Observaciones
- Como para n variables proposicionales existen 2n asignaciones distintas de los
valores de verdad y como para cada una de ellas la función de verdad puede tomar
cualquiera de los 2 valores, existen 2(2n) operaciones distintas con n proposiciones.
- Sólo algunos conectivos proposicionales corresponden a expresiones normales del
lenguaje y aparecen en la exposición natural de los razonamientos. En la práctica se
representan por símbolos que se conocen con el mismo nombre que el conectivo al
que representan.
B.1. Negación
Dada una proposición p, su negación es la proposición ̚p, que será verdadera
si p es falsa y falsa si p es verdadera. Se lee “no p” y corresponde a la negación del
lenguaje usual. Su tabla de verdad es:
p p
̚
1 0
0 1
B.2. Conjunción
Dadas 2 proposiciones p y q, su conjunción es la proposición p∧q, que será
verdadera sólo cuando p y q son verdaderas y falsa en los demás casos. Se lee p y q
y se corresponde con la “y” o con la yuxtaposición del lenguaje usual. Su tabla de
verdad es:
p
1
1
0
0
q p∧q
1 1
0 0
1 0
0 0
B.3. Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, su disyunción es la proposición p∨q, que será
falsa cuando p y q son falsas y verdaderas en los demás casos. Se lee “p ó q” y se
corresponde con la “o” no excluyente del lenguaje usual. Su tabla de verdad es:
p
1
1
0
0
q p∨q
1 1
0 1
1 1
0 0
B.4. Condicional
Dadas dos proposiciones, p y q, su condicional es la proposición p → q, falsa
sólo si q es falsa y p verdadera y verdadera en los demás casos. Se dice que p es el
antecedente y q el consecuente del condicional. Se lee “si p entonces q” y se
corresponde con expresiones tales como: “si ... entonces ...”, “cuando ... entonces ...”
del lenguaje verbal. Su tabla de verdad es:
p
1
1
0
0
q p→q
1 1
0 0
1 1
0 1
3
B.5. Bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q, su bicondicional es la proposición p↔q, que
será verdadera si ambas son verdaderas o si ambas son falsas y falsa en los demás
casos. Se lee “p si y sólo si q”. Supone un doble condicional en el lenguaje usual: “si p
entonces q y si q entonces p”. Su tabla de verdad es:
p
1
1
0
0
q p↔q
1 1
0 0
1 0
0 1
B.6. Otros conectivos
Es escaso el interés que presentan los restantes conectivos singulares o
binarios de los otros 3 conectivos singulares: dos son constantes, independientes de la
variable; el tercero es la identidad. De los restantes 12 conectivos binarios sólo la
disyunción exclusiva (que es verdadera sólo si una sólo una de las proposiciones lo
es) tiene sentido en el lenguaje usual aún cuando se utilice muy raramente en el
razonamiento matemático.
Estrictamente hablando sería suficiente considerar dos únicos conectivos: la
negación y uno cualquiera de entre la conjunción, la disyunción o el condicional, ya
que los demás se podrían definir en término de esos dos, tal como veremos más
adelantes. Incluso, este número mínimo de conectivos puede reducirse a uno: el
conectivo incompatibilidad o el conectivo negación conjunta.
C. Fórmula lógicas
La aplicación reiterada de conectivos permite formar proposiciones moleculares
más complejas.
Definición
Se llama fórmula lógica a toda expresión formada por la aplicación de un
número finito de conectivos proposicionales a variables proposicionales. Los
conectivos se aplican de izquierda a derecha salvo que se indique otra cosa. Las
variables proposicionales se denotan por letras mayúsculas: A,B,C...
A toda fórmula lógica le corresponde una única función de verdad que asocia a
cada combinación de valores de las variables el valor de verdad resultante en la
fórmula Se representa mediante una tabla de verdad.
Observación
Una fórmula lógica resulta al sustituir en una proposición molécula cada
proposición por una misma variable y una variable por una misma proposición.
Definición
Si una fórmula lógica es siempre verdadera se llama tautología (T). Si siempre
es falsa se llama contradicción (K) y si toma los dos valores de verdad se llama
indeterminada.
Si una fórmula lógica A es una tautología ⇒ ̚A es una contradicción y viceversa.
Las tautologías que son fórmulas universalmente ciertas se llaman leyes de la lógica
proposicional. De ellas se obtienen las reglas de inferencia que permitirán pasar de
proposiciones verdaderas a otras propoposiciones verdaderas.
4
Proposición
Toda fórmula lógica es lógicamente equivalente a otra en la que sólo aparecen
los conectivos , ̚,∧,∨.
Demostración
p↔q≡(p→q)∧(q→p) y que: p→q≡( ̚p)∨q
Proposición
Sean A, B y C fórmulas lógicas. Se verifican las siguientes equivalencias
lógicas:
1.) Doble negación:
˥(˥A)≡A
A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C
2.) Asociativa:
3.) Conmutativa:
A∧B≡B∧A
A∧(˥A)≡K
6.) Elemento absorbente:
7.) Elemento neutro:
A∨B≡B∨A
A∧A=A
4.) Idempotencia:
5.) De complemento:
A∨(B∨C)≡(A∨B)∨C
A∨A≡A
A∨(˥A)≡T
A∧K≡K
A∧T≡A
A∨T≡T
A∨K≡A
8.) Simplificativa:
A∧(A∨B)≡A
9.) Distributiva:
A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C)
A∨(A∧B)≡A
A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C)
10.) De Morgan:
˥(A∧B)≡( ˥A)∨( ˥B)
˥(A∨B)≡( ˥A)∧( ˥B)
Demostración
Es muy fácil, veamos cómo se hace por ejemplo 10.) y los demás igual.
A B ˥A ˥B A∧B ˥(A∧B) (˥A)∨( ˥B) ˥(A∧B)↔(( ˥A)∨( ˥B))
1 1 0 0
1
0
0
1
1 0 0 1
0
1
1
1
0 1 1 0
0
1
1
1
0 0 1 1
0
1
1
1
Observación
- La equivalencia lógica “≡” es una relación de equivalencia en el conjunto de las
fórmulas lógicas. Si en el conjunto cociente respecto de ≡ se definen las operaciones
˥,∧,∨ por medio de los representantes se obtiene que dicho cociente forma con las
operaciones un álgebra de Boole.
- Las fórmulas lógicas pueden, salvo equivalencia, formarse sólo con los conectivos ˥ y
∧.
D. Reglas de inferencia
Las tablas de verdad son útiles cuando el número de variables es pequeño
pero cuando hay muchas no es conveniente. Ahora proponemos otro sistema.
Definición
Se dice que q es una consecuencia tautológica de las proposiciones p1,p2,...,pn
si (p1∧p2∧...∧pn)→q es una tautología. Se simboliza en una columna. También se dice
que p1,p2,...,pn implican lógicamente q, que q se deriva o se deduce de las pi u otras
expresiones análogas. Así, si p1,p2,...,pn son tautologías lo es q.
Las reglas que permite derivar unas tautologías de otras se llaman reglas de
inferencia. Existen infinitas reglas de inferencia ya que cualquier fórmula tautológica
5
condicional determinará una. Se han propuesto sistemas basados en cantidades
reducidas de reglas que permiten derivar todas las leyes de la lógica proposicional.
A continuación enunciamos las reglas de inferencias más importantes:

Modus poniendo ponens (Regla de separación): Si tenemos A y A→B ⇒
tenemos B

Modus tollendo tollens: Si tenemos A→B y ˥B ⇒ tenemos ˥A

Modus tollendo ponens: Si tenemos A∨B y ˥A ⇒ tenemos B

Transitividad del condicional o modus barbara: Si tenemos A→B y B→C ⇒
tenemos A→C
Contraposición del condicional: A→B es equivalente a (˥B→˥A)
Simbólicamente se representa por:

PP: A→B
TT: A→B
TP: A∨B
TC: A →B
CC: A→B
A
˥B
˥A
B→C
B
˥A
B
A→C
˥B→˥A
Observaciones
- Como un bicondicional equivale a un doble condicional, cada equivalencia lógica
engendra reglas de inferencia.
- De las definiciones de los conectivos se desprende que A∨B y A→B son
consecuencias tautológicas de B y que A∧B y A↔B lo son de A y B.
D. La demostración
Se llama demostración o prueba al proceso lógico que permite obtener de unas
premisas una conclusión. Se parte de unas proposiciones que se llaman premisas y se
busca llegar a otra proposición que se llama conclusión usando las reglas de
inferencia. El paso lógico de las premisas a la conclusión es la deducción. La idea de
la demostración consiste en que de premisas verdaderas sólo se pueden obtener
conclusiones que sean verdaderas.
Una demostración de la proposición p a partir de las proposiciones del conjunto
de premisas S, es una secuencia finita de líneas cada una de las cuales está formada
por una premisa o por una consecuencia tautológica de proposiciones de líneas
anteriores y cuya última línea es la proposición p.
El uso de las 2 reglas de sustitución siguientes facilita la deducción de la
conclusión.
Proposición
Si en una tautología A se sustituyen sus proposiciones atómicas p1,p2,...,pn por
otras proposiciones q,,q2,...,qn, la proposición B resultante es una tautología.
Demostración
Cualesquiera que sean los valores de verdad que se asignen a las
proposiciones atómicas de B resultarán unos valores de verdad para q1,q2,..,qn. El
correspondiente valor lógico de B coincidirá con el que toma A cuando las
proposiciones p1,p2,...,pn toman los valores de verdad obtenidos para q1,q2,...,qn ⇒
como A es tautología, B también.
Proposición 2
Si p↔q es una tautología y B resulta de A reemplazando una o más ocurrencia
de p por ocurrencias de q, entonces A↔B es una tautología y B es una tautología si y
sólo si lo es A.
Demostración
6
Al tomar p y q los mismos valores de verdad, el valor de verdad de A no se
altera al hacer la sustitución. La última parte es enunciar la equivalencia lógica de A y
B.
III. EJEMPLOS Y APLICACIONES AL RAZONAMIENTO
Como la lógica proposicional es demasiado simple se recurre a la lógica de
predicados para expresar formalmente cualquier razonamiento matemático. En el
desarrollo de una teoría matemática no todas las proposiciones son demostrables. La
progresiva reducción de unos enunciados a otros más simples conduce a resultados
que no se derivan de otros. Son enunciados cuya veracidad se ha establecido en una
teoría previa o se toma por convenio. Son los axiomas o postulados de la teoría y a
ellos se recurre en las demostraciones.
Los enunciados matemáticos se expresan normalmente en forma condicional:
h→t, negando e intercambiando antecedente y consecuente se deducen otros 3:
teorema recíproco (t→h), teorema contrario (˥h→˥t) y teorema contrarrecíproco
(˥t→˥h).
Si son ciertos un teorema y su recíproco, el bicondicional h↔t es cierto y se
dice que el enunciado es una equivalencia.
- Ejemplo: Teorema de Euclides:”si un número m divide a un producto de dos factores
a·b y es primo con uno de ellos a, divide al otro factor b”.
m.c.d.(m,a)=1 ⇒ m.c.d.(mb,ab)=b. Como m∣ab y m∣b ⇒ m∣m.c.d.(mb,ab)=b
Desde el punto de vista formal aparecen las siguiente proposiciones:
p=”m∣ab”
q=”m es primo con a” r=”m∣m”
v=”m∣m.c.d.(mb,ab)”
s=”m∣mb”
u=”m.c.d.(m,a)=1”
w=”m.c.d.(mb,ab)=b” t=”m∣b”
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
p
q
r
r→s
s
q→u
u
u→w
w
Hipótesis
Hipótesis
Conocimiento previo
Conocimiento previo
Modus ponens (4) y (3)
Conocimiento previo
Modus ponens (6) y (2)
Conocimiento previo
Modus ponens (8) y (7)
(10)
p∧s
Regla de unión (1) y (5)
(11)
(12)
(p∧s)→v
v
Conocimiento previo
Modus ponenes (11) y (10)
(13)
v∧w
Regla de unión (12) y (9)
(14)
(15)
(v∧w)→t
t
Conocimiento previo
Modus ponens (14) y (13)
A continuación analizamos algunos de los métodos usuales de demostración.



Demostración directa: son aquellas demostraciones en las que la conclusión se
deduce directamente de las premisas por aplicación de las reglas de inferencia, sin
que se efectúen suposiciones sobre otras proposiciones.
Demostración por implicación: son razonamientos en los que se realiza la
demostración de una proposición condicional empleándose la regla de
demostración condicional.
Demostración por reducción al absurdo: para deducir la proposición p de un
conjunto de axiomas S, a menudo, se realiza infiriendo a partir de la hipótesis de la
negación p una cierta proposición q, cuya negación se deduce en seno de los
7
axiomas S. De las proposiciones (˥p→q) y ˥q se sigue, en virtud de la regla de
inferencia modus tollens, la veracidad de ˥˥p y con ello la de p.

Demostración por recurrencia: el razonamiento por recurrencia necesita para
una formulación rigurosa de la lógica de predicados. Sin pretender desarrollar un
cálculo de predicados.
Veamos algunos conceptos:
Dado un conjunto A se llama forma proposicional de una variable sobre A a
toda expresión conteniendo una variable x, que se convierte en una proposición al
darle a x valores de A. Se representan por p(x), q(x)... Si para cada a∈A la proposición
p(a) es verdadera, se escribe: ∀x∈A p(x) (para todo x perteneciente a A, p(x)). El
símbolo ∀ que expresa la transformación de la forma proposicional en una proposición
es el cuantificador universal.
En un razonamiento por recurrencia, la proposición que se demuestra es de la
forma ∀n∈ℕ p(n), es decir, la aplicación del cuantificador universal a una forma
proposicional de una variable sobre el conjunto de los números naturales. La
demostración se apoya en una propiedad especial de los números naturales que es el
5º axioma de Peano:”si un subconjunto M de ℕ contiene al = y siempre que contiene a
un número también contiene a un sucesor, entonces M=ℕ”.
En el razonamiento por recurrencia primero se demuestra p(0) y luego que
∀n∈ℕ p(n)→p(n+1). El 5º axioma de Peano asegura que M=ℕ. La aplicación
reiterada de modus ponens a la cadena de proposiciones p(0), p(0)→p(1), p(1)→p(2),
etc. permite deducir p(1), p(2), etc., luego, si fuera posible efectuar una infinidad de
pasos, que para cualquier valor de n, p(n) es verdadera. La inducción completa
garantiza la validez del proceso.
CONCLUSIONES
La lógica y las matemáticas han estado siempre muy relacionadas aunque han
surgido diversas corrientes, que apoyándose en unas teorías u otras, siguen una
determinada matemática. Esto es lo que veremos en el tema siguiente: las corrientes
matemáticas. Pero lo que no cabe a la duda es que la relación existe y que las
matemáticas pueden apoyarse con consistencia en la lógica para demostrar
resultados.
En este tema, lo que hemos visto sin profundizar y a groso modo es la lógica
proposicional y los elementos que la componen. Además hemos introducido unas
cuantas técnicas de demostración que se utilizan para el desarrollo de las
matemáticas.
BIBLIOGRAFÍA
- Deaño, A.: “Introducción a la lógica formal”.
- Mates, S.: “Lógica matemática elemental”
- Valdes, J. Y Santos, J.J.: “Matemáticas comunes C.O.U.”
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