C´ALCULO. Hoja 3. Derivadas parciales.

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M.
Cálculo.
Derivadas parciales.
CÁLCULO. Hoja 3.
Derivadas parciales.
1. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = x cos x cos y
(b) g(x, y) = (x2 + y 2 ) log(x2 + y 2 )
(c) h(x, y) = xex
2 +y 2
x2 + y 2
x2 − y 2
(e) j(x, y) = exy log(x2 + y 2 )
(d) i(x, y) =
(f) k(x, y) = (cos y)exy sin x
Solución:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
∂
f (x, y) = cos x cos y − x sin x cos y
∂x
∂
f (x, y) = −x cos x sin y
∂y
∂
g(x, y) = 2x ln (x2 + y 2 ) + 2x
∂x
∂
g(x, y) = 2y ln (x2 + y 2 ) + 2y
∂y
∂
2
2
2
2
h(x, y) = ex +y + 2x2 ex +y
∂x
∂
2
2
h(x, y) = 2xyex +y
∂y
∂
−4xy 2
i(x, y) = 2
∂x
(x − y 2 )2
∂
4yx2
i(x, y) = 2
∂y
(x − y 2 )2
∂
y (ln(x2 +y 2 ))x2 +y 3 ln(x2 +y 2 )+2x
j(x, y) = exy
x2 +y 2
∂x
3
2
2
∂
x ln(x +y )+x(ln(x2 +y 2 ))y 2 +2y
j(x, y) = exy
x2 +y 2
∂y
∂
k(x, y) = (cos y) yexy sin x + (cos y) exy cos x
∂x
∂
k(x, y) = − (sin y) exy sin x + (cos y) xexy sin x
∂y
2. Calcular todas las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) =
2xy
(x2 + y 2 )2
(x, y) 6= (0, 0)
Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Cálculo.
Derivadas parciales.
ez + 1
g(x, y, z) =
x 6= 0
x + xe−y
h(x, y) = cos(xy 2 )
1
j(x, y) =
2
cos x + e−y
x
k(x, y) = x arctan( )
y
p
l(x, y) = cos x2 + y 2
(g) m(x, y) = e−x
2 −y 2
(h) n(x, y) = sin(x2 − 3xy)
(i) p(x, y) = x2 y 2 e2xy
(j) q(x, y) = e−xy + y 3 x4
2
Solución:
∂
∂
2 −y 2
2
2
f (x, y) = −2y (x3x2 +y
f (x, y) = 2x (xx2 −3y
2 )3
2 )3
+y
∂x
∂y
2
∂2
∂
2 −y 2
x2 −y 2
f
(x,
y)
=
24xy
f (x, y) = −24xy (xx2 +y
4
2
2
2 )4
2
2
(x
+y
)
∂x
∂y
∂2
4 −6x2 y 2 +y 4
f (x, y) = −6 x (x
2 +y 2 )4
∂y∂x
∂
∂
z
ez +1
e−y
(b)
g(x, y, z) = − (1+e
g(x, y, z) = e x+1 (1+e
−y )x2
−y )2
∂x z
∂y
(a)
e
x(1+e−y )
2
∂
g(x, y, z) =
∂z
∂
∂2
z
ez +1
e−y −1
g(x,
y,
z)
=
2
g(x, y, z) = e x+1 e−y (1+e
−y )3
(1+e−y )x3
∂x2
∂y 2
∂2
∂2
ez
ez +1
−y
g(x,
y,
z)
=
g(x, y, z) = − x2 (1+e
−y )2 e
x(1+e−y )
2
∂z
∂y∂x
∂2
∂2
z
ez−y
g(x, y, z) = − (1+ee−y )x2
g(x, y, z) = x1 (1+e
−y )2
∂z∂x
∂z∂y
∂
∂
(c)
h(x, y) = − (sin xy 2 ) y 2
h(x, y) = −2 (sin xy 2 ) xy
∂x
∂y
∂2
∂2
2
4
h(x, y) = − (cos xy ) y
h(x, y) = −4 (cos xy 2 ) x2 y 2 − 2 (sin xy 2 ) x
∂x2
∂y 2
∂2
h(x, y) = −2 (cos xy 2 ) y 3 x − 2 (sin xy 2 ) y
∂y∂x
∂
∂
−y
2x
j(x, y) = (cos2sin
j(x, y) = (cos2 ex+e−y )2
(d)
x+e−y )2
∂x
∂y
2
2
4
∂
3 cos x−2 cos x−e−y +2(cos2 x)e−y
j(x,
y)
=
2
cos6 x+3(cos4 x)e−y +3(cos2 x)e−2y +e−3y
∂x2
2
∂
−e−y +cos2 x
j(x, y) = −e−y cos6 x+3(cos4 x)e
−y +3(cos2 x)e−2y +e−3y :
2
∂y
∂2
2e−y sin 2x
j(x, y) = (cos
2 x+e−y )3
∂y∂x
∂
∂
2
k(x, y) = arctan xy + x2xy
k(x, y) = x−x
(e)
2 +y 2
+y 2
∂x
∂y
2
2
∂
∂2
∂
2
2y 3
2yx2
k(x,
y)
=
k(x,
y)
=
k(x, y) = (x−2xy
2
2
2
2
2
2
2 +y 2 )2
(x +y )
(x +y )
2
2
∂x
∂y
∂y∂x
Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M.
Cálculo.
Derivadas parciales.
√
√
∂
∂
sin (y 2 +x2 )
sin (y 2 +x2 )
√
√
(f)
l(x, y) = −
x
l(x, y) = −
y
(y 2 +x2 )
(y 2 +x2 )
∂x
∂y
√
√
√
cos (y 2 +x2 ) x2 (y 2 +x2 )+ sin (y 2 +x2 ) y 2
∂2
√
3
l(x,
y)
=
−
∂x2
(y 2 +x2 )
√
√
√
sin (y 2 +x2 ) x2 + cos (y 2 +x2 ) y 2 (y 2 +x2 )
∂2
√
3
l(x, y) = −
∂y 2
(y 2 +x2 )
p
p
p
∂2
l(x, y) = − cos (y 2 + x2 )
(y 2 + x2 ) − sin (y 2 + x2 ) x √ y 3
∂y∂x
(y 2 +x2 )
∂
∂
2
2
2
2
m(x, y) = −2xe−x −y
m(x, y) = −2ye−x −y
∂x
∂y
2
∂2
∂
2
2
2
2
−x2 −y 2
2 −x2 −y 2
m(x,
y)
=
−2e
+4x
e
m(x, y) = −2e−x −y +4y 2 e−x −y
2
2
∂x
∂y
2
∂
2
2
m(x, y) = 4yxe−x −y
∂y∂x
∂
∂
(h)
n(x, y) = 2 (cos (x2 − 3yx)) x−3 (cos (x2 − 3yx)) y
n(x, y) = −3 (cos (x2 − 3yx)) x
∂x
∂y
∂2
n(x, y) = −4 (sin (x2 − 3yx)) x2 + 12 (sin (x2 − 3yx)) yx − 9 (sin (x2 − 3yx))
∂x2
y 2 + 2 cos (x2 − 3yx)
∂2
n(x, y) = −9 (sin (x2 − 3yx)) x2
2
∂y
∂2
n(x, y) = 6 (sin (x2 − 3yx)) x2 − 9 (sin (x2 − 3yx)) yx − 3 cos (x2 − 3yx)
∂y∂x
∂
∂
(i)
p(x, y) = 2xy 2 e2yx + 2x2 y 3 e2yx
p(x, y) = : 2x2 ye2yx + 2x3 y 2 e2yx
∂x
∂y
∂2
p(x, y) = 2y 2 e2yx + 8xy 3 e2yx + 4x2 y 4 e2yx
∂x2
∂2
p(x, y) = 2x2 e2yx + 8x3 ye2yx + 4x4 y 2 e2yx
∂y 2
∂2
p(x, y) = 4xye2yx + 10x2 y 2 e2yx + 4x3 y 3 e2yx
∂y∂x
∂
∂
2
2
(j)
q(x, y) = −y 2 e−xy + 4x3 y 3
q(x, y) = −2yxe−xy + 3x4 y 2
∂x
∂y
2
∂2
∂
2
2
4 −xy 2
2 3
q(x,
y)
=
y
e
+
12x
y
q(x, y) = −2xe−xy + 4y 2 x2 e−xy + 6x4 y
2
2
∂x
∂y
2
∂
2
2
q(x, y) = −2ye−xy + 2y 3 xe−xy + 12x3 y 2
∂y∂x
(g)