fundamentos de física general
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Agustín E. González Morales FUNDAMENTOS DE FÍSICA GENERAL Y X t t x y( x , t ) A sen 2 T Agustín E. González Morales 1 TEMA I CÁLCULO VECTORIAL Magnitudes escalares y vectoriales Suma o composición de vectores Sistemas de referencia vectoriales. Componentes. Cosenos directores. Vectores unitarios Producto escalar de vectores Ángulo de dos vectores Perpendicularidad Proyección Producto vectorial Momento de un vector respecto a un punto. Momento respecto a un eje Derivación e integración vectorial Ejercicios TEMA II CINEMÁTICA Mecánica, Cinemática y Cinética Punto material. Móvil puntual. Sistema de referencia inercial Trayectoria, vector de posición y vector desplazamiento Velocidad Aceleración Componentes intrínsecas de la aceleración Movimientos rectilíneos Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.) Gráficas v-t y r-t del M.R.U. Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (M.R.U.A.) Gráficas a-t, v-t y r-t del M.R.U.A. Lanzamiento vertical Movimiento circular El vector velocidad angular El vector aceleración angular Relación entre y a n Período y frecuencia Movimiento circular uniforme (M.C.U.) Movimiento circular uniformemente acelerado (M.C.U.A.) Composición de movimientos. Tiro parabólico Tiempo de vuelo Alcance Altura máxima Tiempo en alcanzar la altura máxima Ecuaciones paramétricas y cartesianas de la trayectoria Agustín E. González Morales 2 Ángulo y módulo del vector velocidad en cada punto Parábola de seguridad Movimientos relativos Ejes en traslación Ejes en rotación Ejercicios TEMA III DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA Introducción Leyes de Newton El principio de relatividad de Galileo y la 1ª ley de Newton Cantidad de movimiento o momento lineal 2ª ley de Newton Masa y peso. Reposo y equilibrio. Impulso mecánico Tercera ley de Newton. Acción y reacción Cinética del punto material Resistencia al deslizamiento Cuerpos apoyados en superficies Cuerpo apoyado en un plano inclinado sometido a una fuerza de tracción Método para determinar el coeficiente estático de rozamiento Varios cuerpos apoyados Cuerpos enlazados. Tensión Fuerza centrípeta en el movimiento curvilíneo Fuerzas ficticias: Fuerza de inercia y centrífuga Ejercicios TEMA IV DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Introducción a los sistemas de partículas Sistema de partículas. Sistemas discretos y continuos Fuerzas internas y externas Conservación de la cantidad de movimiento en sistemas aislados Interacción entre sistemas Centro de masas. Centro de gravedad Propiedades del centro de masas Centro de gravedad Sistema de referencia situado en el cdm Momento angular de una partícula Teorema del momento angular de una partícula Conservación del momento angular de una partícula Agustín E. González Morales 3 Fuerzas centrales Teorema de las áreas Impulso angular Momento angular de un sistema de partículas Conservación del momento angular de un sistema de partículas Momento angular respecto al cdm Ejercicios TEMA V TRABAJO Y ENERGÍA Trabajo Potencia. Rendimiento Energía Energía cinética. Teorema de la energía cinética Fuerzas conservativas Energía potencial Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica Energía mecánica Sin rozamiento Con rozamiento Determinación de la fuerza conservativa mediante la energía potencial Campos escalares Gradiente Campos vectoriales Circulación Flujo Divergencia Rotacional Choques entre cuerpos Choque oblicuo Choque elástico Choque inelástico Choque no perfectamente elástico Choque central Ejercicios TEMA VI DINÁMICA DE ROTACIÓN DEL SÓLIDO RÍGIDO Sólido rígido Movimiento alrededor de un eje fijo Momento de Inercia Agustín E. González Morales 4 Energía cinética de rotación Teorema de las figuras planas Momentos de inercia de cuerpos compuestos Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Algunos momentos de inercia Radio de giro Momento angular total. Momento angular respecto a un eje Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje Ecuación fundamental de la Dinámica de rotación Rodadura y deslizamiento Trabajo de rotación. Potencia Analogías entre la traslación y la rotación Ejercicios TEMA VII TERMODINÁMICA Sistemas termodinámicos. Paredes Variables o coordenadas termodinámicas Presión Volumen Temperatura Ecuación de estado. Equilibrio. Procesos reversibles Gases ideales. Leyes y ecuación de estado de los gases ideales Calor. Calor específico. Calor latente Trabajo termodinámico. Diagramas p–V Primer principio de la Termodinámica. Aplicaciones Procesos cíclicos Proceso isócoro Proceso isóbaro. Entalpía Proceso adiabático Procesos en gases ideales Energía interna de un gas ideal Procesos isóbaros en gases ideales. Fórmula de Meyer Procesos adiabáticos en gases ideales. Ecuaciones de Poisson Segundo principio de la Termodinámica. Máquina térmica. Entropía Necesidad del segundo principio de la termodinámica Conversión de calor en trabajo Enunciado del segundo principio de la termodinámica Máquina térmica Rendimiento Entropía S Cálculo de las variaciones de entropía en procesos reversibles Proceso reversible y adiabático Proceso reversible e isotermo Proceso reversible no isotermo Cálculo de las variaciones de entropía en procesos irreversibles Cálculo de las variaciones de entropía en los cambios de fase. Medida del desorden Entropía de fusión Entropía de vaporización Agustín E. González Morales 5 La entropía como medida del desorden Ciclo de Carnot Rendimiento del ciclo de Carnot Máquinas frigoríficas y bombas térmicas Eficiencia de una máquina frigorífica Eficiencia de una bomba térmica Ejercicios TEMA VIII CAMPO GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO Concepto de campo gravitatorio y eléctrico Intensidad del campo gravitatorio y eléctrico Intensidad del campo gravitatorio: g Intensidad del campo eléctrico: E Representaciones gráficas Leyes de Kepler Ley de gravitación universal Ley de Coulomb Campos creados por una o varias masas o cargas puntuales Potencial y energía potencial gravitatoria Velocidad de escape. Órbitas Velocidad de escape Órbitas Órbita circular Órbita elíptica Órbita parabólica Órbita hiperbólica Potencial y energía potencia eléctrica Teorema de Gauss Teorema de Gauss para el campo gravitatorio Teorema de Gauss para el campo eléctrico Dieléctricos y conductores Dieléctricos Conductores Inducción electrostática Conductor cargado en equilibrio electrostático con una cavidad interior Conductor descargado con una carga situada dentro de una cavidad interior Ejercicios TEMA IX ELECTROMAGNETISMO Electromagnetismo. Imanes y corrientes Agustín E. González Morales 6 Dipolos magnéticos atómicos Fuerza magnética. Ley de Lorentz Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme Espectrógrafo de masas. Ciclotrón Campo magnético. Ley de Biot y Sabart. Permeabilidad magnética Momento magnético. Galvanómetro Campo creado por una corriente rectilínea indefinida Fuerzas entre corrientes paralelas. Amperio Campo creado por una espira circular uniforme, un solenoide abierto y un solenoide cerrado Espira circular Solenoide abierto Solenoide cerrado Circulación del campo magnético. Ley de Ampere. Corriente de desplazamiento de Maxwell Ejercicios TEMA X INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Flujo magnético a través de una superficie cerrada Experiencias de Faraday–Henry Fuerzas electromotriz inducida. Ley de Faraday–Henry. Corriente inducida. Carga inducida Ley de Lenz Generalización de la Ley de Faraday–Henry Autoinducción Coeficiente de autoinducción L. Inductancia de una bobina de n espiras F.e.m. de autoinducción Caía de tensión en una bobina Corrientes de cierre y apertura Energía magnética almacenada en una bobina. Densidad de energía de un campo electromagnético Inducción mutua Transformadores Fundamentos de la generación de la corriente alterna Ejercicios TEMA XI ONDAS Movimiento vibratorio armónico Energías potencial y cinética en el M.V.A. Movimiento ondulatorio Tipos de ondas Ecuación del movimiento ondulatorio Fase Agustín E. González Morales 7 Periodicidad Ecuación general de ondas Velocidad de propagación de las ondas Energía asociada al movimiento ondulatorio Intensidad del movimiento ondulatorio Atenuación de las ondas armónicas mecánicas esféricas Absorción de ondas Principio de Huygens Reflexión Refracción Interferencias Ondas estacionarias Difracción Polarización Intensidad sonora. Tono. Timbre Efecto Doppler Características y espectro de las ondas electromagnéticas Ejercicios TEMA XII MECÁNICA CUÁNTICA Radiación térmica Radicación térmica El cuerpo negro El efecto fotoeléctrico El efecto fotoeléctrico Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico La dualidad onda-corpúsculo de la luz La doble naturaleza de la luz Hipótesis de De Broglie. Cuantización de las órbitas de los electrones Mecánica cuántica ondulatoria. El principio de incertidumbre de Heisenberg TEMA XIII FÍSICA NUCLEAR El núcleo atómico El núcleo atómico Elemento químico, núclido e isótopo Unidad de masa atómica, u Masa y energía Interacciones nucleares Interacción nuclear fuerte Energía de enlace nuclear Interacción nuclear débil Radiactividad Radiaciones α, β+, β─ y γ Agustín E. González Morales 8 Familias o series radiactivas Desintegración radiactiva Velocidad de desintegración radiactiva Ley integrada de la desintegración radiactiva Período de semidesintegración T0.5 Vida media τ Reacciones nucleares de fisión y fusión Reacción nuclear de fisión Reacción nuclear de fusión Efectos de la radiación Efectos biológicos Dosis de radiación Aplicaciones de la radiactividad Agustín E. González Morales 9 TEMA I CÁLCULO VECTORIAL Magnitudes escalares y vectoriales Suma o composición de vectores Sistemas de referencia vectoriales. Componentes. Cosenos directores. Vectores unitarios Producto escalar de vectores Ángulo de dos vectores Perpendicularidad Proyección Producto vectorial Momento de un vector respecto a un punto. Momento respecto a un eje Derivación e integración vectorial Ejercicios Agustín E. González Morales 10 TEMA I MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Las magnitudes escalares son las que para identificarlas basta saber el número que indica su medida (7 manzanas, 30 segundos, 20 km/h, etc.). Mientras que en las magnitudes vectoriales se necesitan tres datos: el módulo, la dirección y el sentido del vector que las representa. La cantidad 20 km/h, citada como ejemplo de magnitud escalar, es sólo el módulo de la velocidad que lleva un móvil; pero, para disponer de toda la información, tendríamos que conocer la carretera por la que circula; es decir, su dirección, y en qué sentido lo hace. En definitiva, un vector V es un segmento orientado, que se representa con una flecha, donde Desde el punto de vista vectorial, esta señal no significa dirección A es el origen y B es el extremo; v prohibida, sino “sentido” prohibido B la recta que lo contiene es la dirección; el sentido es el indicado A por la punta de la flecha; y el módulo, cuya representación tipográfica es V o V , es la longitud AB del segmento. Clasificación de los vectores Los vectores se clasifican en: - Libres. Aquéllos que se pueden trasladar paralelamente a sí mismos hasta un origen arbitrario. Por ejemplo, el vector que representa la rotación de las aspas de un helicóptero se representa según una dirección perpendicular al plano de giro de dichas aspas; su origen puede ser cualquier punto de dicho plano o de un plano paralelo; el sentido es el de avance de un sacacorchos que gire con las aspas; y su módulo es la velocidad de rotación. F F - Deslizantes. Aquéllos que se pueden trasladar a lo largo de su dirección. Por ejemplo, el vector fuerza F con el que tiramos de un cuerpo mediante una cuerda. - Ligados. Aquéllos cuyo punto de aplicación, dirección y sentido son fijos. Por ejemplo, la intensidad del campo gravitatorio, eléctrico o magnético en un punto del espacio. - Equipolentes. Dos o más vectores son equipolentes si tienen direcciones paralelas; pero, el mismo módulo y sentido. SUMA O COMPOSICIÓN DE VECTORES Sumar o componer vectores es determinar un vector, llamado resultante, que produzca los mismos efectos que los sumandos, si éstos actuasen simultáneamente. Agustín E. González Morales 11 Imaginémonos una batea empujada por dos fuerzas F1 y F2 como las representadas en la figura. El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza resultante R (y, por tanto, el camino que seguiría la batea) se determina efectuando cualquiera de las tres gráficas que se indican: en (a) se construye un paralelogramo con los vectores como lados; en (b) se traza el vector equipolente a F2 por el extremo de F1 , y en (c) se dibuja el equipolente a F1 por el extremo de F2 . Teniendo en cuenta que el efecto producido por R es el mismo que el provocado por F1 y F2 si éstos actúan a la vez, podemos escribir la siguiente igualdad vectorial: F 1 (a) R F 2 F 1 R R batea (b) (c) F 2 F 2 F 1 R F1 F2 Pero, obsérvese que R –el módulo de la resultante– no es igual a la suma de los módulos F1 + F2, pues en todo triángulo se cumple que un lado es siempre menor que la suma de los otros dos. R < F1 + F2 La relación que liga dichos módulos se determina aplicando el teorema del coseno al triángulo ABC: F 1 A )α F 2 B R AC2 AB2 BC 2 2AB·BC·cos B̂ C es decir R 2 F12 F22 2F1F2 cos B̂ pero, el ángulo en el vértice B es precisamente el suplementario de α: B̂ 180 . Como cos B̂ cos(180 ) entonces R 2 F12 F22 2F1F2 cos Para realizar la operación de restar vectores basta sumar con los vectores opuestos; es decir: T F1 F2 F1 (F2 ) T F 2 F 1 )α R F 2 Obsérvese en la figura que si R es una de las diagonales del paralelogramo cuyos lados son F1 y F2 , T es la otra diagonal cuyo módulo al cuadrado es: T 2 F12 F22 2F1F2 cos Agustín E. González Morales 12 Para realizar gráficamente la adición (suma o resta) de tres o más vectores se podrían tomar los vectores de dos en dos y obtener los vectores resultantes que, a su vez, también se compondrían de dos en dos; pero, este procedimiento es muy laborioso cuando su número es elevado. Es mucho más práctico elegir un punto P, arbitrario, al que se traslada uno cualquiera de los vectores a componer; es decir, se dibuja su vector W equipolente; a continuación, se transporta otro V colocando su origen en el extremo del anterior; y así P sucesivamente. Para construir el vector resultante de S U U la composición de todos, basta unir P con el extremo V del último vector trasladado. El resultado es independiente del orden seguido, como se aprecia en W V la figura. S U W S El proceso se puede realizar al revés: cualquier vector es posible descomponerlo de infinitas maneras en suma de varios vectores. P SISTEMAS DE REFERENCIA VECTORIALES COMPONENTES. COSENOS DIRECTORES. VECTORES UNITARIOS. Sistemas de referencia vectoriales El resultado de medir una magnitud depende del sistema de referencia (SR) elegido; así, por ejemplo, la posición de la Luna, un día concreto y a una hora determinada, es distinta para un observador de Madrid que para otro de París. Con el uso de un SR, situado en un origen de coordenadas O, se puede identificar cualquier punto del espacio con un vector, llamado vector de posición del punto, sin más que situar el origen del vector en O y el extremo en el punto considerado. El SR espacial más empleado en Física –de los infinitos que se pueden elegir– es el cartesiano constituido por tres vectores que forman un triedro ortogonal dextrógiro1. Si establecemos, además, una forma de medir el tiempo, el conjunto constituye un SR espacio-temporal. Componentes de un vector Elegido un SR cartesiano ortogonal dextrógiro OXYZ, todo vector V se puede descomponer según tres vectores Vx , Vy , Vz situados sobre cada uno de los ejes X, Y y Z, de manera que: V Vx Vy Vz Y Si ahora en cada eje elegimos vectores de módulo unidad u x , u y , u z , cuyos sentidos sean los positivos en el SR, Vz O podemos sustituir cada sumando de la expresión anterior por sus productos por unos escalares x, y, z, de manera que: Vx x u x Vy y u y Vz z u z Z Vy V Vx X Vx Vy por tanto V x ux y uy z uz 1 Un triedro es cartesiano ortogonal dextrógiro si el producto vectorial de dos vectores colocados en dos aristas es un vector dirigido en la dirección y el sentido de un vector situado en la tercera arista. Agustín E. González Morales 13 Los escalares x, y, z son las coordenadas o componentes del vector en el SR elegido, y los vectores u x , u y , u z se suelen identificar como i , j, k; tal que: V x i y jzk Y y j V i k Z z o V (x, y, z) Siendo las coordenadas de i , j, k : x i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1) X O Para determinar el módulo de un vector, conocidas sus componentes cartesianas, basta aplicar el teorema de Pitágoras: V x 2 y2 z2 Obsérvese que el módulo de los vectores i , j y k es 1. Si se elige otro SR O’X’Y’Z’, el mismo vector V se expresa: V Vx ' Vy ' Vz ' x' i ' y' j ' z ' k ' pues el propio vector V permanece invariante; es decir, es independiente del SR. Para calcular la adición de varios vectores basta sumar sus componentes en el SR elegido: V1 V2 ... Vn (x1 x 2 .... x n ) i ( y1 y 2 .... y n ) j (z1 z 2 .... z n )k Cosenos directores Si α, β y γ son los ángulos que el vector V forma con los semiejes positivos del SR cartesiano ortogonal dextrógiro, se cumple que: Y x = V cos α y = V cos β z = V cos γ donde cos α, cos β y cos γ son los cosenos directores del vector. Como y z x X O Z x 2 y 2 z 2 V 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) pero V 2 x 2 y 2 z 2 , entonces cos 2 cos 2 cos 2 1 Agustín E. González Morales 14 Vectores unitarios Un vector es unitario si su módulo es la unidad. Ya hemos empleado tres: los vectores unitarios i , j y k. Pero, existen infinitos, pues en cada punto P del espacio podemos determinar un vector unitario por cada una de las infinitas direcciones y sentidos que se pueden elegir. Todos ellos tienen su origen en P, y su extremo en la superficie de una esfera de radio unidad centrada en P. Un vector unitario asociado a V es el que tiene por componentes los cosenos directores de V. Para determinarlo basta dividir V por su módulo. Por tanto, el vector unitario u v según la dirección y el sentido del vector V es: V 1 uv ( x i y j z k) V x 2 y2 z2 V V u v PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Se define el producto escalar de dos vectores V1 y V2 como el escalar que se obtiene al multiplicar sus módulos y el coseno del ángulo φ que forman2. Se representa mediante un punto (·)3: V1 ·V2 V1 V2 cos V 1 Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa: V1 ·V2 V2 · V1 Distributiva: V1 ·(V2 V3 ) V1·V2 V1·V3 ) Asociativa: V1 ·(V2 ·V3 ) (V1·V2 )·V3 V 2 Asociativa mixta: (V1 )·V2 (V1 ·V2 ) V1 ·(V2 ), siendo λ un escalar. Vector nulo: V·V 0 si, y sólo si V 0 Partiendo de la definición, podemos calcular los productos escalares de los vectores i , j y k : i · i 1·1·cos 0º 1 Análogamente: i · i j· j k·k 1 i · j 1·1·cos 90º 0 i · j i ·k j·k 0 y teniendo en cuenta estos resultados y las propiedades: 2 El producto escalar no es una operación interna en el conjunto de los vectores, pues su resultado no es un vector. 3 De hecho en algunos textos escritos en inglés se llama “dot product”. Agustín E. González Morales 15 V1 ·V2 (x1 i y1 j z1 k)·(x 2 i y 2 j z 2 k) x1x 2 y1 y 2 z1z 2 V1 ·V2 V1 V2 cos x1x 2 y1 y 2 z1z 2 Al calcular el producto escalar de un vector por sí mismo se obtiene su módulo al cuadrado: V·V V V cos 0º xx yy zz x 2 y 2 z 2 V 2 V·V V 2 Ángulo de dos vectores Con el producto escalar se puede determinar el ángulo φ que forman dos vectores: V1 ·V2 cos V1V2 x1 x 2 y1 y 2 z1z 2 x12 y12 z12 x 22 y 22 z 22 Perpendicularidad La condición necesaria y suficiente para que dos vectores no nulos sean perpendiculares es que su producto escalar sea cero. En efecto, si ninguno de los vectores es el vector nulo, sus módulos son distintos de cero, y si son ortogonales cos = 0, por tanto V1 ·V2 0. Y, recíprocamente, si V1 ·V2 0 y los módulos de ambos vectores son distintos de cero, entonces = 90º. Un corolario interesante es que si dos vectores son perpendiculares el módulo de su suma es igual al de su diferencia. V1 V2 V1 V2 En efecto, como 2 V1 V2 V1 V2 · V1 V2 V1 ·V1 2V1 ·V2 V2 ·V2 2 V1 V2 V1 V2 · V1 V2 V1 ·V1 2V1 ·V2 V2 ·V2 para que V1 V2 V1 V2 debe cumplirse que: 2V1 ·V2 2V1 ·V2 . Es decir: 4V1 ·V2 0. Por tanto, V1 ·V2 0. Proyección El producto escalar permite calcular la proyección de un vector sobre una recta o sobre otro vector. Para dibujar la proyección de V sobre una recta r, es decir la componente del vector sobre dicha recta, basta trazar dos perpendiculares a r, una por el origen y otra por el extremo de V; el segmento interceptado en r por estas normales es el vector proyección de V sobre r. Agustín E. González Morales V ) ur Pr oy oy r V V Pr r r 16 El producto escalar de V por el vector unitario u r contenido en la recta r es: V·u r V· 1·cos V cos pues el ángulo que forman V y u r es . Y el vector Pr oy r V es: Pr oy r V V · u r u r Para calcular la proyección de V1 sobre V2 basta determinar la proyección de V1 sobre la recta que contiene a V2 , a través del vector unitario según la dirección y el sentido de V2 . Y viceversa. Por tanto: V1·V2 V2 Pr oy V V1 V2 V2 PrProyoyVVV2 v1 2 1 V 1 ) Pr oy V V1 Pr V1 ·V2 V1 Pr oy V V2 V1 V1 2 V 2 v2 1 2 1 Obsérvese que: Pr oy V V1 Pr oy V V2 2 1 PRODUCTO VECTORIAL Se define el producto vectorial de dos vectores V1 y V2 como el vector que se obtiene de la siguiente manera: i V1 x V2 x1 j k y1 z1 x2 y2 z2 y1 y2 z1 x1 i z2 x2 z 1 x1 j z2 x2 y1 k con y2 a b c d ad bc Se representa mediante los símbolos x ó : V1 x V2 V1 V2 Tiene las siguientes propiedades y características: Anticonmutativa: V1 x V2 V2 x V1 Distributiva: V1 x (V2 V3 ) V1 x V2 V1 x V3 Asociativa mixta: (V1 ) x V2 (V1 x V2 ) V1 x (V2 ), siendo λ un escalar. Agustín E. González Morales 17 No cumple la propiedad asociativa: V1 x (V2 x V3 ) (V1 x V2 ) x V3 Perpendicularidad: V1 x V2 V1 V1 x V2 V2 (V1 x V2 ) · V1 0 (V1 x V2 ) · V2 0 V1 x V2 es un vector normal al plano que forman V1 y V2 . de donde por tanto El sentido de V1 x V2 se determina según el avance de un sacacorchos que gira de V1 a V2 siguiendo el ángulo menor que formen ambos vectores, de tal manera que la terna ( V1 , V2 , V1 x V2 ) está orientada de la misma forma que la terna ( i , j, k ). V xV 1 2 El módulo de V1 x V2 es: O V1 x V2 V1 V2 sen V 2 )α V xV 2 1 A h V C 1 B de donde se deduce que el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero. Como h = V2 sen α, entonces V1 x V2 V1 h el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo OABC formado por ambos vectores, lo que permite definir el vector superficie como: S V1 x V2 Los productos vectoriales de i , j y k son: i xi jx jkxk0 i x jk i xk j i k + j jxk i Una regla nemotécnica para calcularlos consiste en situarlos, por orden alfabético, sobre las horas de un reloj; por ejemplo, i en las 12.00, j en las 04.00 y k en las 08.00: como al multiplicar i x j se sigue el sentido del giro de las agujas del reloj su resultado es positivo: k; pero, al realizar j x i se gira en sentido contrario; por tanto: k. Análogamente: k x j i . Otras identidades en las que intervienen productos vectoriales son: V1 x (V2 x V3 ) V2 ·(V1 ·V3 ) V3 ·(V1 ·V2 ) (V1 x V2 ) x V3 V2 ·(V1·V3 ) V1 ·(V2 ·V3 ) Agustín E. González Morales 18 (V1 x V2 )·(V3 x V4 ) (V1 ·V3 )·(V2 ·V4 ) (V1 ·V4 )·(V2 ·V3 ) x1 V1 ·(V2 x V3 ) x 2 y1 y2 z1 z 2 ; V1 ·(V2 x V3 ) Volumen del paralelepípedo de lados V1 , V2 , V3 x3 y3 z3 MOMENTO DE UN VECTOR DESLIZANTE RESPECTO A UN PUNTO MOMENTO RESPECTO A UN EJE. Momento de un vector deslizante respecto a un punto El momento M de un vector deslizante V respecto a un punto O es el producto vectorial M r xV Se trata, por lo tanto, de un vector perpendicular al plano π que contiene a r y a V. En la figura es necesario tener en cuenta que los orígenes de r y V no coinciden; por lo que para obtener el sentido correcto de M debe realizarse el giro según se señala en el arco del ángulo α. M M eje O d V r P eje El valor de M no varía aunque V se deslice a lo largo de su dirección, pues su módulo es: M = r V sen α = V (r sen α) = Vd donde d es la mínima distancia de O a la línea de acción de V. Por otro lado, el teorema de Varignon afirma que si un vector es la suma de otros vectores concurrentes, su momento respecto a un punto es la suma de los momentos de los sumandos respecto al mismo punto. En efecto, si V V1 V2 ... Vn , entonces M r x V r x (V1 V2 ... Vn ) r x V1 r x V2 ... r x Vn M1 M 2 ... M n Momento de un vector respecto a un eje El momento de V respecto a un eje M eje es la proyección sobre dicho eje del momento del vector respecto a cualquier punto del eje. V r' O’ r O M eje Pr oy eje ( r x V) Demostremos que M eje es independiente del punto del eje elegido. Para ello tomamos un punto O’ distinto de O y calculamos la proyección sobre el eje del momento respecto a O y a O’: eje Agustín E. González Morales 19 M eje Pr oy eje ( r ' x V ) Pr oy eje ( r OO') x V Pr oy eje ( r x V) Pr oy eje (OO' x V ) Pero Pr oy eje (OO' x V) 0 pues (OO' x V) es perpendicular a OO' . Por tanto: M eje Pr oy eje ( r ' x V ) Pr oy eje ( r x V ) DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE VECTORES Todas las técnicas del cálculo infinitesimal de funciones reales son aplicables a los vectores. En este apartado nos limitamos sólo a puntualizar algunos matices. Los conceptos de gradiente, circulación, flujo, divergencia y rotacional se estudian en el tema V. Derivada de un vector respecto a un escalar Si V( t ) es un vector que depende del parámetro escalar t, la función derivada de V( t ) es: dV V( t t ) V (t ) lim dt t 0 t de donde se deduce que dV dVx dVy dVz dt dt dt dt Tenemos que tener presente lo siguiente: - Si V V (s) y s = s(t) : dV dV ds dt ds dt - Si V f ( t ) W ( t ) : dV df dW Wf dt dt dt - Derivada del producto escalar: d(V·W ) dV dW ·W V· dt dt dt - Un vector de módulo constante (como ocurre en los vectores unitarios) y su derivada con respecto a t son perpendiculares. En efecto, efectuemos el producto escalar V( t ) · V( t ) : V( t ) · V( t ) =V2 derivando respecto a t ambos miembros: dV( t ) dV (t ) dV 2 ·V V· dt dt dt teniendo en cuenta la propiedad conmutativa del producto escalar y que el módulo V es constante: dV ( t ) 2 ·V 0 dt Agustín E. González Morales dV ( t ) ·V 0 dt 20 dV ( t ) por tanto, V si V es constante. dt - - d ( V x W ) dV dW Derivada del producto vectorial: xWVx dt dt dt donde, debido a la propiedad anticonmutativa, debe respetarse el orden en el que están escritos los productos vectoriales del segundo miembro. El producto vectorial de un vector de dirección constante por su derivada con respecto a t es cero. En efecto, sea V = V · u , donde u es el vector unitario correspondiente al instante t y V el módulo de V en el mismo instante, si V es constante en dirección, su variación en el tiempo sólo se puede realizar sobre dicha dirección –en el sentido de u o en el contrario–, por tanto: dV dV u dt dt dV dV u dt dt ó entonces: dV (t ) dV Vx Vu x u V dV (u x u ) 0 dt dt dt como queríamos demostrar. Integración vectorial Si V es la función vectorial, derivada de W respecto a t, entonces la integral indefinida de V es: V( t )dt W ( t ) C donde C es un vector constante en todas sus características; es decir, constante en módulo, dirección y sentido. La integral definida entre t = a y t = b es: tb V(t )dt W(b) W(a ) t a El proceso de integración vectorial se realiza componente a componente: tb b b b V( t )dt i Vx dt j Vy dt k Vz dt Wx (b) Wx (a ) i Wy (b) Wy (a ) j Wz (b) Wz (a ) k t a a a a Agustín E. González Morales 21 EJERCICIOS 1. Un barco navega hacia el Norte a 12 nudos y la marea lo arrastra hacia el Este a 9 nudos. Calcular el rumbo y la velocidad real del buque. Resp.: 36º 52’; 15 nudos 2. Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el Este. Calcular el módulo de la velocidad y el rumbo del avión si el viento sopla a 80 km/h hacia a) el Sur; b) el Sureste; c) el Suroeste. Resp.: a) 506.36 km/h 80º 54’ 35”, b) 447.02 km/h 82º 43’ 48”, c) 549.44 km/h 84º 11’ 47” 3. Dos fuerzas coplanarias concurrentes de 5 y 7 N forman 60º y –30º con el semieje OX. En la fuerza resultante calcular el módulo y el ángulo que forma con el semieje OX. Resp.: 8.6 N 5º 32’ 16” 4. Si un vector de módulo 4 forma con los ejes X e Y ángulos de 60º, calcular el ángulo que forma con el eje Z y sus componentes. Resp.: 45º; 2(1,1, 2 ) 5. 6. 7. 8. 9. Dados los vectores a de módulo 3 y cosenos directores proporcionales a 2, 1 y –2; b que tiene su origen respecto a un cierto SR en el punto O (–1, –2, 1) y el extremo en P (3, 0, 2); y c (2,0,3) . Calcular 2a 3b c . Resp.: –(6,4,10) Dados los vectores a 2 i 3 j k ; b tiene la dirección del eje OX y su módulo es el del momento del vector 7k aplicado en el punto (1, 3, 3) con respecto a la recta r y = 3x – 2 situada en el plano XY; y c está sobre la recta r’ de ecuaciones x = y, z = 0, su módulo es 2 y sus componentes son positivas. Calcular el momento respecto al origen del sistema de vectores deslizantes A a b , B b c , C a c que pasan respectivamente por los puntos (1, 0, 0), (0, 0, 0) y (0, 1, 0). Resp.: (–1,1,–6) El vector V1 , de módulo 10, tiene los cosenos directores proporcionales a 0, 3 y 4 y está situado en una la recta que pasa por el origen de coordenadas, V2 (1, –1, –2) y su momento respecto al origen es (1, 3, 2), y V3 (–1, 0, 1) está situado en la recta de acción que pasa por el punto (2, 1, –2). Calcular el vector resultante y el momento resultante respecto al origen de coordenadas. Resp.: (0,5,7); (0,–1,1) Calcular el momento del vector V (1, 2, 5) aplicado en el punto (1, 2, 3) respecto al eje x 1 y 2 z definido por la ecuación . 2 3 1 65 Resp.: (2,3,1) 14 Calcular el momento del vector V (2, 1, 2) que pasa por el punto P (3, 1, –2) respecto al punto A (1, 0, 1), el módulo del momento respecto al eje que pasa por A y B(1, 2, 1) y la distancia entre P y el eje AB. Resp.: –(1,2,0); M = –2; d = 3 10. Descomponer el vector V dirigido según i j k , de módulo u i j , v j k, w i k. Resp.: 27 , según las direcciones 3 (u v w ) 2 Agustín E. González Morales 22 11. Dados los vectores V1 2 i 2 j k y V2 i 2 j , calcular las componentes de un vector unitario perteneciente al plano determinado por V1 y V2 perpendicular al vector V V1 2V2 . Resp.. 1 (5,2,4) 45 12. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son V 5 i 4 j 7k y W i k. Resp.: 3 13. Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) y D(1, 2, –1). Calcular las coordenadas de C, el área del paralelogramo y el ángulo en B. Resp.: (2,4,–3); 3 5 14. Los vectores A(3, 2, 1), B(2, 4, 0), C(4, 1, 8) son concurrentes en el punto (3, 1, 2). Calcular el momento del vector resultante respecto al origen de coordenadas. Resp.: (15,–21,–12) 15. Sea v = (5t2, 25 t , ln t), calcular el módulo de la derivada y la derivada del módulo para el valor t = 1. 1029 725 Resp.: ; 2 2 650 16. Calcular el volumen del V1 (1, 2, 3), V2 (4, 5, 6), V3 (8, 7 ,9). Resp.: 9 paralelepípedo cuyos lados son los vectores 17. Calcular el ángulo que forman las diagonales de un cubo. Resp.: 70º 31’ 43” 18. Demostrar que, si se cumple que a OA b OB c OC d OD 0 , la condición necesaria y suficiente para que los puntos extremos A, B, C y D de los vectores sean coplanarios es a + b + c + d = 0. Agustín E. González Morales 23 TEMA II CINEMÁTICA Mecánica, Cinemática y Cinética Punto material. Móvil puntual. Sistema de referencia inercial Trayectoria, vector de posición y vector desplazamiento Velocidad Aceleración Componentes intrínsecas de la aceleración Movimientos rectilíneos Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.) Gráficas v-t y r-t del M.R.U. Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (M.R.U.A.) Gráficas a-t, v-t y r-t del M.R.U.A. Lanzamiento vertical Movimiento circular El vector velocidad angular El vector aceleración angular Relación entre y a n Período y frecuencia Movimiento circular uniforme (M.C.U.) Movimiento circular uniformemente acelerado (M.C.U.A.) Composición de movimientos. Tiro parabólico Tiempo de vuelo Alcance Altura máxima Tiempo en alcanzar la altura máxima Ecuaciones paramétricas y cartesianas de la trayectoria Ángulo y módulo del vector velocidad en cada punto Parábola de seguridad Movimientos relativos Ejes en traslación Ejes en rotación Ejercicios Agustín E. González Morales 24 TEMA II MECÁNICA, CINEMÁTICA Y CINÉTICA La Mecánica es la parte de la Física que estudia, entre otras materias, los movimientos de los cuerpos y las causas que los producen. De los movimientos –los efectos– se ocupa la Cinemática y de las fuerzas que los provocan –las causas–, la Cinética o Dinámica. Parecería razonable empezar el estudio por las causas; sin embargo, es mucho más didáctico analizar primero los efectos, independientemente de qué los provoque; es decir, observamos y estudiamos un cuerpo en movimiento, sin preocuparnos todavía de cómo se ha conseguido que esté moviéndose. En definitiva, en este tema abordamos la Cinemática de un punto material; para, a continuación, en el tema siguiente, entrar de lleno en la Cinética. PUNTO MATERIAL. MÓVIL PUNTUAL. SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL Un punto material o una masa puntual es una simplificación en la que se considera que un cuerpo es un punto y que, como tal, no tiene tamaño, aunque sí masa. Dicha simplificación será válida en determinadas circunstancias que, a lo largo de los temas, iremos delimitando. También emplearemos móviles puntuales; es decir, puntos materiales que se desplazan. Establecido un SR espacio-temporal S, podemos situar un móvil puntual P, de manera que si éste ocupa posiciones diferentes en el tiempo respecto a S, afirmamos que está en movimiento respecto a S. Si S está fijo, el movimiento de P es absoluto; pero, si S a su vez se mueve, P tiene un movimiento relativo respecto a S. Aunque en el Universo conocido todos los movimientos son relativos ya que no existen SR fijos o inmóviles, supondremos que ciertos SR –denominados sistemas de referencia inerciales– son fijos o se desplazan rectilíneamente a velocidad constante; es decir, sin aceleración. Los resultados que obtendremos serán, pues, aproximados, pero lo suficientemente precisos como para enfrentarnos con garantías a muchos de los problemas de la Mecánica. TRAYECTORIA, VECTOR DE POSICIÓN Y VECTOR DESPLAZAMIENTO Elijamos un SR cartesiano, ortogonal, dextrógiro como el de la figura (O,X,Y,Z)4. Puesto que un móvil puntual se desplaza a lo largo de la curva que describe en el espacio, o sea, de su trayectoria s, el vector de posición r es función del tiempo: r r ( t ) x( t ) i y(t) j z(t) k donde las expresiones x(t), y(t) y z(t), dependientes del parámetro t, se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento. Z s r1 k O i r trayectoria r2 Si en el instante t1 el móvil está en la posición j r1 r ( t1 ) x (t 1 ) i y(t1 ) j z(t1 ) k ; y en t2 X está en r2 r ( t 2 ) x (t 2 ) i y(t 2 ) j z(t 2 ) k ; se define el vector desplazamiento r entre t1 y t2 mediante la siguiente expresión: Y r r2 r1 4 Aunque podríamos haber elegido uno que no fuese ni cartesiano, ni ortogonal ni dextrógiro. Agustín E. González Morales 25 Como se aprecia en la figura, en general el módulo del vector desplazamiento, ∆r, en el intervalo ∆t = t2 – t1 no coincide con el camino recorrido sobre la trayectoria, s, salvo en los movimientos rectilíneos cuyo vector velocidad sea constante, o cuando ∆t tiende a cero. Otra función que se estudia es s = s(t), llamada ecuación intrínseca o ecuación del movimiento sobre la trayectoria con la que se obtiene la distancia recorrida por el móvil respecto, por ejemplo, al punto de partida. Sin embargo, tenemos que tener presente que la representación gráfica de s(t) no es la trayectoria real del móvil; así, por ejemplo, la trayectoria de una piedra lanzada verticalmente en el vacío, en una Tierra sin rotación, es una línea recta, pero su gráfica cartesiana t-s(t) es una parábola. VELOCIDAD Se define el vector velocidad media v m de un móvil entre los instantes t1 y t2 mediante la siguiente expresión: r r r vm 2 1 t 2 t 1 t Z A r1 r2 v s r B De la definición se deduce que v m es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. vm Y Y se define el vector velocidad instantánea v como el límite de v m cuando ∆t tiende a cero, o, lo que es lo mismo, cuando t2 tiende a t1. De acuerdo con esta definición, la velocidad instantánea para cada t es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo: X r d r v lim t 0 t dt cuyas componentes en el SR cartesiano XYZ de la figura son: dx dy dz v i j k v x i v y j vz k dt dt dt En la figura se representan tanto v como v m . Obsérvese que al tender ∆t a cero, el punto B va acercándose al A y la cuerda AB tiende a convertirse en tangente a la trayectoria en el punto A; por tanto, la velocidad instantánea en un punto es un vector tangente a la trayectoria en dicho punto, cuyo sentido es el del movimiento. Además, si ∆t0, la cuerda AB se confunde con el arco ∆s, por lo que el módulo de la velocidad instantánea es: v d r ds dt dt de ahí que podamos expresar el vector velocidad de la siguiente manera: d r ds v v dt dt Agustín E. González Morales 26 donde v v es la celeridad o rapidez del movimiento y un vector unitario tangente a la trayectoria, del mismo sentido que v. Una aclaración: si realizamos un viaje en coche a lo largo de una carretera MN con curvas, el indicador de velocidad o velocímetro nos da la celeridad o rapidez v cada vez que lo miramos, mientras que el cuentakilómetros marca el valor que toma s(t) conforme avanzamos. Supongamos que, tras dos horas de M viaje, hemos ido desde M hasta N recorriendo 100 km sobre la trayectoria; según los conceptos que acabamos de explicar, 100/2 = 50 km/hora no es la velocidad media, sino la celeridad N media, puesto que para calcular el módulo de la velocidad media hemos de medir la distancia MN en línea recta. En el S.I. tanto la velocidad como la celeridad se miden en m/s. ACELERACIÓN Si el movimiento de un punto es rectilíneo, la dirección de su vector velocidad permanece invariable. Además, si el módulo y el sentido de dicha velocidad son constantes, se dice que el movimiento es uniforme. Por tanto, en un movimiento rectilíneo y uniforme: v( t ) C, t siendo C constante en módulo, dirección y sentido en todo instante. Basta con que una de las tres características del vector velocidad varíe con el tiempo (el módulo, la dirección o el sentido, o dos de ellas, o las tres), para que necesitemos una magnitud, llamada aceleración, que mida dichas variaciones. Se define el vector aceleración media a m de un móvil entre los instantes t1 y t2 mediante la siguiente expresión: v v1 v am 2 t 2 t1 t Asimismo, se define el vector aceleración instantánea a como el límite de a m cuando ∆t tiende a cero. De acuerdo con esta definición, la aceleración instantánea para cada t es la derivada de la velocidad instantánea con respecto al tiempo y, por tanto, la segunda derivada del vector de posición con respecto al tiempo: v dv d 2 r a lim t 0 2 t dt dt y en el SR cartesiano XYZ: dv dv y dv z d 2 x d 2 y d 2 z a x i j k 2 i 2 j 2 k a x i a y j a zk dt dt dt dt dt dt COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN No sólo se necesita medir la aceleración en sus componentes cartesianas ax, ay, y az, sino también respecto a un SR intrínseco que se mueva acompañando al punto móvil a lo largo de la trayectoria, porque de las expresiones de las componentes intrínsecas de la aceleración se deducen propiedades del movimiento que no se aprecian en las cartesianas ax, ay, y az. Partimos para ello de Agustín E. González Morales 27 vv Derivando, calculamos el vector aceleración: dv d( v ) dv d a v dt dt dt dt Analicemos los dos sumandos que se han generado en el proceso de derivación: o dv dv es un vector cuyo módulo es la derivada del módulo de la velocidad , y su dt dt dirección y sentido están indicados por ; es decir, por el vector unitario en la dirección tangente a la trayectoria, cuyo sentido es el del avance del movimiento. Por todo ello, este sumando es la componente intrínseca que se conoce con el nombre de aceleración tangencial a t : dv at at dt o d El vector v es perpendicular a , pues, como se demuestra en el tema anterior, al dt d ser un vector unitario, su módulo es constante; por tanto, . Y podemos dt escribir: v d d v n dt dt (1) siendo n un vector unitario perpendicular a . d . Para ello, dt elegimos dos puntos A y B de la trayectoria, separados una distancia infinitesimal ds. Trazamos sus vectores unitarios tangentes A y B . En el punto A efectuamos la construcción gráfica de la figura trasladando paralelamente a sí mismo B y determinando el vector d. En el triángulo formado por A , B y d se cumple la siguiente identidad vectorial: A Calculemos ahora el módulo v A ) dθ B R n ds d B B ) dθ O d B A Obsérvese que d apunta hacia el centro de la curva, concretamente hacia el punto O, llamado centro de curvatura; y el vector unitario n también está dirigido hacia O, pues tiene la misma dirección y sentido que d. Para determinar el centro de curvatura5 se trazan dos perpendiculares a A y B , cuyo punto de corte es precisamente O; por ello, el ángulo dθ en O es el mismo que el que forman A y B en el punto A. Además, el carácter infinitesimal de dθ permite afirmar que valor del radio de curvatura R es OA = OB. 5 El centro de curvatura es el centro de la llamada circunferencia osculatriz determinada por tres puntos infinitamente próximos de la trayectoria. Agustín E. González Morales 28 Teniendo en cuenta v ds podemos escribir la siguiente identidad: dt d d ds d v dt ds dt ds (2) Como la longitud de un arco de circunferencia es igual al producto del radio por el ángulo (medido en radianes), entonces: (3) ds Rd Aplicando la misma relación al triángulo infinitesimal formado por A , B y d, el módulo dτ es equivalente al del arco subtendido por el ángulo en radianes dθ, multiplicado por el radio τA = τB = 1. Por tanto: (4) d d Dividiendo (4) entre (3): d 1 d 1 ; sustituyendo en (2): v; y después en (1): ds R dt R v d v 2 n dt R Por tanto, la segunda componente intrínseca de la aceleración, conocida con el nombre de aceleración normal o centrípeta, es: v2 a n a nn n R En resumen: O dv dv v 2 a at an n dt dt R a R an at Algunas matizaciones: dv dv con el módulo de la aceleración tangencial . dt dt o No debe confundirse o Tampoco debe confundirse la curvatura C con el radio de curvatura R. Su relación es: C 1 R así, una trayectoria recta tiene una curvatura nula, pero un radio de curvatura infinito. Por eso, un móvil que se desplace en línea recta puede tener aceleración tangencial, pero no centrípeta. o Si un móvil describe una curva con una velocidad de módulo constante, no tiene aceleración tangencial, pero está dotado de aceleración normal. Agustín E. González Morales 29 La aceleración normal está dirigida hacia el centro de curvatura –no hacia fuera–. No existe, como erróneamente se dice, una aceleración centrífuga, sino centrípeta. De hecho, cuando un coche se sale de la carretera al patinar en una curva, lo hace siguiendo la tangente a la curva en el punto donde ha perdido el agarre de las ruedas con la superficie de la carretera. o El vector aceleración a también se llama aceleración total, para distinguirla de la tangencial y la centrípeta. Su módulo es: o a a 2t a 2n a 2x a 2y a 2z En el S.I. todas la aceleraciones citadas se miden en m/s2. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Acabamos de decir que un móvil describe una trayectoria rectilínea si su curvatura es nula o su radio de curvatura infinito, lo que equivale a afirmar que el móvil no está dotado de aceleración centrípeta o que la dirección de su vector velocidad es constante. Movimiento rectilíneo C 0 C0R R an 0 a n 0 v tiene dirección constante A continuación, estudiamos varios movimientos rectilíneos de especial interés. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (M.R.U.) En un M.R.U. el vector velocidad es constante en todas sus características (módulo, dirección y sentido); por lo que, tanto la aceleración total, como la tangencial y la centrípeta son nulas6. Para determinar su ecuación partimos de la definición de velocidad instantánea, que podemos escribir d r vdt. Si integramos entre los instantes t0 y t, a los que corresponden las posiciones r0 y r , como v es constante: trayectoria Z v( t t 0 ) r0 r r Y r0 X t dr v dt t0 por tanto: r r0 v(t t 0 ) r0 r En muchas ocasiones es útil emplear un A B O SR (+) punto de la trayectoria O como origen espacial, y la propia trayectoria como eje de medida del SR. De esta manera, el problema se simplifica pues los vectores sólo tienen una dimensión, y la ecuación vectorial se puede convertir en escalar, con la precaución de respetar el signo de los sumandos; así, por ejemplo, 6 El movimiento de vaivén que describe una masa que oscila unida a un resorte, es rectilíneo, pero no uniforme, pues su velocidad cambia de sentido. Este movimiento se estudia en el Tema XI. Agustín E. González Morales 30 obsérvese en la figura que, en un móvil que se desplaza con celeridad v desde A hasta B, r0 está dirigido en sentido contrario al indicado como positivo en el SR; por tanto, la posición del móvil en cualquier instante es: r r0 v( t t 0 ) Gráficas v-t y r-t del M.R.U. v(t) r(t) r1 v r0 )α v = tg α v(t1 - t0) t0 t1 t t0 t1 t Al ser la velocidad constante, se representa en la gráfica v-t paralela al eje de tiempos, y el área v(t1 – t0) indica el camino recorrido entre t0 y t1. La gráfica r-t es una recta cuya pendiente, tg α, es precisamente la velocidad. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) En un M.R.U.A. el vector aceleración es constante en todas sus características (módulo, dirección y sentido). Como el movimiento es rectilíneo su aceleración normal o centrípeta es nula; por lo que la aceleración total coincide con la aceleración tangencial. Para determinar sus ecuaciones partimos de la definición de aceleración instantánea, que podemos escribir dv adt. Si integramos entre los instantes t0 y t, a los que corresponden las velocidades v 0 y v, como a es constante: v t dv a dt v0 t0 por tanto: v v 0 a( t t 0 ) (1) Para determinar la posición integramos la velocidad instantánea entre los instantes t0 y t, a los que corresponden las posiciones r0 y r , sustituyendo v por el valor que acabamos de obtener y teniendo presente que t0, v 0 y a son constantes: r r0 dr t v 0 a (t t 0 ) dt t0 por tanto: 1 r r0 v 0 (t t 0 ) a (t t 0 ) 2 2 Agustín E. González Morales (2) 31 Eliminando t – t0 entre (1) y (2), obtenemos una ecuación muy útil, en la que no aparece el tiempo: v 2 v 20 2a ( r r0 ) (3) De nuevo, en muchas ocasiones es práctico emplear un punto de la trayectoria como origen espacial, y la propia trayectoria como eje de medida del SR, para que el problema se simplifique con vectores de una sola dimensión que permiten escribir las ecuaciones (1), (2) y (3) como si fuesen escalares, respetando los signos de las magnitudes que intervienen. Obsérvese que si en (1) y (2) hacemos a 0, se obtiene que la velocidad es siempre la misma v v 0 , y que la ecuación de la posición es la de un M.R.U.: r r0 v 0 (t t 0 ). Gráficas a-t, v-t y r-t del M.R.U.A. a(t) v(t) v1 a v0 )α a = tg α a(t1 - t0) t1 t0 t t1 t t0 r(t) r1 )θ r0 t0 v0 = tg θ t1 t Al ser la aceleración constante, se representa en la gráfica a-t paralela al eje de tiempos, y el área a(t1 – t0) indica el cambio de velocidad que se ha producido entre t0 y t1. La gráfica v-t es una recta cuya pendiente, tg α, es precisamente la aceleración. La curva r-t es una parábola (a pesar de ser un movimiento rectilíneo), cuya pendiente, tg θ, en cada punto es la velocidad instantánea. Lanzamiento vertical Un caso particular de M.R.U.A. es el que se produce al lanzar verticalmente, en el vacío, una masa puntual expuesta a la fuerza de atracción gravitatoria, suponiendo que la Tierra es un SR inercial (sin aceleración de ningún tipo; por tanto, sin rotación) y que la aceleración de la gravedad es constante. Para resolver este movimiento se emplean las ecuaciones (1), (2) y (3) en las que basta sustituir a por g. MOVIMIENTO CIRCULAR Estudiemos el movimiento de un punto material cuya trayectoria es una circunferencia. En primer lugar, la relación que existe entre el ángulo φ –medido en radianes– y el arco s es: Agustín E. González Morales 32 s=φR R Si derivamos esta expresión con respecto al tiempo, con R constante: φ s ds d R dt dt Teniendo en cuenta que v ds d , y llamando ω a : dt dt v=ωR Derivando de nuevo: dv d R dt dt Pero, a t dv d , y llamando α a : dt dt at = α R Como además sabemos que a n v2 , sustituyendo v = ω R: R an = ω2 R El vector velocidad angular Acabamos de encontrarnos con la expresión Z R C v ωx r ωxR A ) θ r O Y X d dt que mide el ángulo –en radianes– que gira el móvil en la unidad de tiempo; de ahí que la llamemos velocidad angular y sus unidades sean rad/s. Pero, podemos darle carácter vectorial si tenemos en cuenta que el vector velocidad lineal v, al ser tangente a la trayectoria, es normal al radio. En efecto, en la figura se aprecia que, si se dibuja el vector perpendicular al plano donde se produce el giro del móvil, y echamos mano del producto vectorial, se cumple la siguiente relación: v x r siendo r el vector de posición respecto al SR OXYZ. El módulo de la expresión anterior es: v = ω r sen θ Pero, en el triángulo OAC, rectángulo en el vértice C: R = r sen θ Agustín E. González Morales 33 Por tanto v x r xR es decir, el módulo de la expresión v x r x R es precisamente v = ω R. El vector aceleración angular De manera similar, antes nos encontramos con la expresión Z R C r ω xR ωx xr xR A a tv ) θ r O d dt que mide la variación de la velocidad angular en la unidad de tiempo; es decir, la aceleración angular cuyas unidades son rad/s2. De nuevo, podemos darle carácter vectorial si tenemos en cuenta que el vector aceleración tangencial a t es tangente a la trayectoria y normal al radio, por lo que si, como hicimos antes, se dibuja el vector perpendicular al plano donde se produce el giro del móvil, se cumple la siguiente relación: Y at x r X siendo r el vector de posición respecto al SR OXYZ. El módulo de la expresión anterior es: at = ω r sen θ Pero en el triángulo OAC, rectángulo en el vértice C: R = r sen θ Por tanto at x r x R es decir, el módulo de la expresión a t x r x R es precisamente at = α R. Relación entre y a n La relación escalar a n 2 R se puede completar expresándola de manera vectorial de la siguiente forma: a n x ( x r ) x ( x R ) Período y frecuencia Un móvil que recorre una circunferencia completa describe un ángulo de 2π radianes. El tiempo T invertido en realizar este recorrido es el período del movimiento. Su unidad en el S.I. es el segundo. Agustín E. González Morales 34 El número de vueltas f, que da el móvil en un segundo, es la frecuencia del movimiento. Se mide en hertzios (Hz) en el S.I. Por tanto, la relación que existe entre T y f es: T de manera que 1 Hz 1 f 1 s 1 . 1s Si ω es constante, de la definición de período se deduce: 2 2f T Es corriente medir la velocidad angular en revoluciones por minuto (RPM). Como una revolución son 2π radianes y el minuto tiene 60 segundos: 1 RPM 2 rad/s 60 En el siguiente cuadro se presentan todas las ecuaciones del movimiento circular que acabamos de deducir: RELACIONES ESCALARES s R con φ en radianes v R 2 2f T at R con RELACIONES VECTORIALES d dt v x r xR si ω es constante con at x r d dt a n x ( x r ) x ( x R ) a n 2 R MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.) Al igual que sucedía con el M.R.U. si el vector velocidad angular es constante en todas sus d características, el móvil describe un M.C.U. Como , entonces: dt dφ = ω dt integrando entre φ0 y φ, y entre t0 y t, resulta: 0 ( t t 0 ) ecuación escalar análoga a la del M.R.U., en la que debe establecerse un SR para medir los giros, respectando el signo de las magnitudes que intervienen. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A) Si el vector aceleración angular es constante en todas sus características, el móvil describe un M.C.U.A. Agustín E. González Morales 35 La misma analogía que existe entre el M.C.U. y el M.R.U. se manifiesta entre el M.C.U.A. y el M.R.U.A., por eso podemos escribir las ecuaciones de este movimiento, sin más que sustituir r por φ, v por ω y a por α: 0 ( t t 0 ) 1 (t t 0 )2 2 2 20 2 ( 0 ) 0 0 ( t t 0 ) COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. TIRO PARABÓLICO Cuando un punto material realiza varios movimientos simultáneos (por ejemplo, se traslada y gira), los vectores de posición, velocidad y aceleración del movimiento resultante son la composición vectorial de los movimientos que lo constituyen. Y v 0 sen θ v ) g v0 g g α O A h g v 0 cos B X Un movimiento particularmente interesante es el del lanzamiento de una masa puntual en el vacío, expuesta sólo a la atracción gravitatoria, suponiendo que la Tierra es un SR inercial (sin aceleración de ningún tipo; por tanto, sin rotación) y que la aceleración de la gravedad es constante. En estas condiciones, la trayectoria está contenida en un plano, precisamente en el que reside, en todo momento, el vector velocidad. Considerando un SR OXY como el de la figura, en el que O es el punto de lanzamiento, OX es el eje horizontal y OY es el vertical, el vector aceleración de la gravedad es g gj y el vector velocidad inicial es v 0 v 0 cos θ i v 0 sen θ j De estos valores deducimos que la proyección del movimiento de la masa puntual sobre el eje X es un M.R.U., pues siempre está sometida a la misma velocidad v0 cos θ, mientras que la proyección sobre el eje Y es un M.R.U.A., que comienza con una velocidad inicial v0 sen θ y evoluciona con una aceleración constante cuyo valor es –g (negativo, según el SR elegido). A continuación se aplican las ecuaciones a cada movimiento en sus ejes respectivos: Eje X: M.R.U. Ecuación general: Aplicación con x0 = 0 v = v0 cos θ y t0 = 0: r r0 v(t t 0 ) x (v 0 cos )t (1) v v 0 a( t t 0 ) v y v 0 sen θ gt (2) Eje Y: M.R.U.A. 1ª Ecuación general: Aplicación con v = vy, v0 sen θ, a = –g y t0 = 0: 2ª Ecuación general: Agustín E. González Morales 1 r r0 v 0 (t t 0 ) a (t t 0 ) 2 2 36 Aplicación con y0 = 0, v0 sen θ, a = –g y t0 = 0: 3ª Ecuación general: 1 2 gt (3) 2 v 2 v 20 2a ( r r0 ) y ( v0 sen θ)t v 2y v 02 sen 2 θ 2gy (4) Aplicación con v0 sen θ, a = –g e y0 = 0: Veamos como, empleando convenientemente las ecuaciones (1), (2), (3) y (4), podemos obtener el tiempo de vuelo, el alcance, la altura máxima, la trayectoria, etc. Tiempo de vuelo En la figura, sería el tiempo que tarda en llegar el móvil al punto B. Como B se encuentra en el eje horizontal, basta hacer y = 0 en la ecuación (3): 0 ( v 0 sen θ)t 1 2 gt 2 es decir, 1 0 t v 0 sen θ gt 2 La solución t = 0 es la correspondiente al punto O. Por tanto, la de B es: tB 2v 0 sen θ g Alcance En la figura, sería la distancia OB. Basta sustituir t por tB en la ecuación (1): OB v 0 cos 2v 0 senθ g como sen 2θ = 2 sen θ cos θ: OB v 02 sen 2 g El alcance máximo se consigue con el máximo valor sen 2θ = 1; es decir, 2θ = 90º: θ = 45º ' 90 θ O B También es posible alcanzar B con dos ángulos θ y θ’ complementarios. En efecto, si en la identidad trigonométrica sen γ = sen (180 – γ) hacemos γ = 2θ: sen 2θ = sen (180 – 2θ) entonces Agustín E. González Morales 37 OB v 20 sen (180 2) g por tanto, el mismo alcance OB se consigue con un ángulo 2θ’ = 180 – 2θ; es decir θ’ = 90 – θ Altura máxima En la figura, sería h. Para calcularla hacemos vy = 0 con y = h en la ecuación (4), puesto que la velocidad vertical del móvil en el punto más alto es nula: 0 v02 sen 2 θ 2gh por tanto h v 02 sen 2 2g Tiempo en alcanzar la altura máxima Dada la simetría del movimiento, podemos afirmar que para alcanzar la máxima altura se necesita la mitad del tiempo de vuelo calculado anteriormente. tA v 0 sen θ g Al mismo resultado se llega haciendo vy = 0 para t = tA en la ecuación (2). Ecuaciones paramétricas y cartesiana de la trayectoria Precisamente (1) y (3) son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria en función del parámetro t. La ecuación cartesiana se calcula despejando t en (1), sustituyendo en (3) y operando: y 2v 20 g x 2 tg · x cos 2 ecuación de 2º grado de la forma y = –ax2 + m x es decir, una parábola sin término independiente que, por tanto, pasa por el punto (0,0). Igualando a cero la derivada de y con respecto a x: dy 2ax m 0 dx obtenemos x m 1 OB 2a 2 Sustituyendo este valor de x en la ecuación cartesiana, resulta: Agustín E. González Morales 38 y a m2 m m2 m h 2a 4a 4a 2 d2y 2a 0 , como ya hemos dx 2 deducido anteriormente siguiendo otros procedimientos. siendo este punto (x,y) = (½OB, h) un máximo, pues Ángulo y módulo del vector velocidad en cada punto La componente horizontal del vector velocidad es v0 cos θ en todos los puntos de la trayectoria, y la ecuación (2) proporciona la componente vertical. El ángulo α que forma el vector velocidad con la horizontal en cada punto es: arctg v0 sen θ gt v 0 cos El módulo de la velocidad en cada punto es: v (v 0 sen θ gt ) 2 v02 cos 2 Si sustituimos t por tB en las dos expresiones anteriores podríamos comprobar que el móvil en B tiene el mismo módulo de la velocidad que en el instante del lanzamiento, y que impacta con un ángulo α = –θ. Si sustituimos t por tA veríamos que α = 0 y que el módulo de la velocidad se reduce a la componente horizontal v0 cos θ. Parábola de seguridad Imaginemos un cañón que dispara proyectiles con distintos ángulos de lanzamiento θ. Determinemos la zona de seguridad del plano del tiro donde no es posible que se produzca un impacto. Parábola de seguridad Partimos de la ecuación cartesiana de la trayectoria: y 2v 20 g x 2 tg · x cos 2 Introduciendo la identidad trigonométrica 1 1 tg 2 y reordenando, obtenemos cos 2 una ecuación de 2º grado en tg θ: a·tg 2 b·tg θ c 0 cuyos coeficientes a, b y c son: a 1 b 2 v 20 g x c 1 2 v 20 y g x2 Esta ecuación no tiene solución real si b 2 4ac 0 : Agustín E. González Morales 39 2 2 2 v 20 4·1·1 2 y v 0 0 g x g x2 despejando y: y g 2 v 20 x 2g 2v 02 Por tanto, por encima de la parábola y g 2 v 02 x 2g 2v 20 no se puede producir un impacto. De ahí que esta curva, envolvente de todas las trayectorias posibles, se llame parábola de seguridad. 0o0 Una aclaración: como puede observar el lector, ninguna de las ecuaciones obtenidas ha sido destacada con un recuadro. El motivo es que sólo tienen validez para las condiciones del tiro que se han establecido. Si se cambia el SR, o el disparo no se efectúa desde y = 0, o el punto de impacto no está en B, etc., los resultados no se corresponden con los que se obtendrían sustituyendo valores en ellas. v0 Por tanto, se aconseja plantear las cuatro ecuaciones de partida, análogas a las ecuaciones (1), (2), (3) y (4), que satisfagan las condiciones de cada problema particular, y resolverlas de manera similar. (0,-h) g h (xaa,0) (-x ,0) xa ) α X Por ejemplo, calculemos el alcance xa y el ángulo α de la figura, que forma la velocidad con la horizontal, en un móvil que se lanza horizontalmente a velocidad v0, desde una altura h. Como el SR lo podemos elegir a nuestro gusto, optamos por uno cuyo origen espacial está en el punto de impacto, el eje X es horizontal, pero con sentido positivo hacia la izquierda, y el eje Y es vertical, pero con sentido positivo hacia abajo; además, en t = 0 el móvil está en el punto de impacto. Con ello queremos dar a entender que los resultados que se obtienen serán válidos sólo para este SR espacio-temporal donde, por ejemplo, el vector v 0 es negativo: v0 i , al igual que la posición del punto de lanzamiento: h j. Y Eje X: M.R.U. Ecuación general: Aplicación con x0 = 0, v v 0 y t0 = 0: r r0 v(t t 0 ) x v 0 t (1) v v 0 a( t t 0 ) v y v 0 y gt (2) Eje Y: M.R.U.A. 1ª Ecuación general: Aplicación con v = vy, v0 = v0y, a = g y t0 = 0: Agustín E. González Morales 40 1 r r0 v 0 (t t 0 ) a (t t 0 ) 2 2 1 2 Aplicación con y0 = 0, v0 = v0y, a = g y t0 = 0: y v oy t gt (3) 2 3ª Ecuación general: v 2 v 20 2a ( r r0 ) 2ª Ecuación general: v 2y v 02 y 2gy Aplicación con v0 =v0y, a = g e y0 = 0: (4) Para calcular el tiempo de vuelo obtenemos previamente v0y en (4), con vy = 0 e y = –h: v 0 y 2gh Este valor se sustituye en (2), con vy = 0: t 2gh g el valor negativo de t se debe a que, al elegir el SR temporal, hemos decidido que el instante correspondiente al impacto sea t0 = 0. Por tanto, el móvil debe haber partido del punto de altura h, antes de t0. Empleando este tiempo en (1), el valor de x debe ser xa: 2gh x a v0 g es decir xa v0 g 2gh La componente horizontal de la velocidad es –v0 en todo instante, y ya hemos calculado la velocidad vertical en el instante del impacto: v 0 y 2gh . Por tanto, el ángulo α de la figura, que forma el vector velocidad con la horizontal, es: arctg 2gh v0 MOVIMIENTOS RELATIVOS Ya dijimos al principio del tema que, aunque en el Universo conocido no existe ningún SR sin aceleración, suponemos que ciertos sistemas son inerciales; es decir, se desplazan a velocidad constante. Sea S un SR inercial, cuyos ejes son XYZ, y S’ otro no inercial, de ejes X’Y’Z’. Estudiaremos la posición, velocidad y aceleración de un móvil respecto a S y a S’ en dos casos: a) Si S’ se traslada paralelamente a sí mismo (sin girar) con respecto a S b) Si S’ rota, sin trasladarse, con velocidad angular ω con respecto a S Como el principio de superposición de efectos permite afirmar que cualquier movimiento se puede descomponer en una traslación y una rotación, el estudio de los casos a) y b) resuelve los problemas de la cinemática del móvil puntual, asumiendo que el error cometido al considerar S inercial es despreciable en la mayoría de los casos. Agustín E. González Morales 41 a) Ejes X’Y’Z’ en traslación En una traslación como la representada en la figura, la trayectoria entre S y S’, indicada por la línea de puntos, puede ser cualquiera –curvilínea o rectilínea–; pero, en cada posición de S’, sus ejes X’, Y’ y Z’ son paralelos a los ejes inerciales X, Y y Z respectivamente. La posición absoluta de un punto P respecto a S está definida por r , la posición relativa de P respecto a S’ por r ' , y rS' S es el vector de posición del origen de S’ medido desde S. En el triángulo PSS’ se cumple la siguiente igualdad vectorial: Y’ r r ' rS' S P Si derivamos respecto al tiempo, resulta: r Y v v' vS' S S k de S’ medida desde S. i' S’ j donde v es la velocidad absoluta de P respecto a S, v' es la velocidad relativa de P respecto a S’, y vS' S es la velocidad r' j' i' i j' j k' k rs ' s i k' X’ Z’ X Z Si volvemos a derivar respecto al tiempo: a a ' a S' S donde a es la aceleración absoluta de P respecto a S, a ' es la aceleración relativa de P respecto a S’, y a S' S es la aceleración de S’ medida desde S. En el caso particular de que S’ se desplace con un M.R.U. con respecto a S, entonces a S' S 0 y, por tanto: a a' de donde se deduce que ambos sistemas son inerciales y que la aceleración de P, medida desde ambos sistemas (o desde cualquier sistema que se mueva con un M.R.U. respecto a S), es la misma. b) Ejes X’Y’Z’en rotación Examinamos, ahora, el caso en el que S’ gira, sin trasladarse, con velocidad angular alrededor de un eje fijo de S, con los orígenes de ambos SR coincidentes. Esta situación se produce, por ejemplo, en la rotación de la Tierra en torno a su eje NorteSur que, además, como sabemos, es prácticamente uniforme (ω constante) si en los cálculos se considera un intervalo de tiempo que permita despreciar los efectos de la traslación de nuestro planeta alrededor del Sol. Sean S y S’ cartesianos, ortogonales y dextrógiros7. Al coincidir los orígenes de S y S’, el vector de posición absoluta de P es el mismo que el vector de posición relativa: r r' 7 Porque resulta más didáctico. Se podrían emplear otros SR. Agustín E. González Morales 42 el mismo vector de posición se puede expresar en coordenadas de ambos SR: r r ' x i yj zk x' i ' y' j 'z ' k ' y el mismo vector velocidad de P se puede calcular derivando r y r ' respecto al tiempo: X X' P k' i i' S S’ k j' r r' j x x' y y' Z' z Z z' Y Y' dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt (1) dr ' d v ( x' i ' y' j 'z ' k ' ) dt dt (2) Al ser S inercial, los vectores i , j y k son constantes en todas sus características, y como tales se tratan en el proceso de derivación; pero, en (2), i ' , j ' y k' están cambiado continuamente de dirección al girar con S’ a velocidad . Desarrollando (2): dx' d i ' dy' d j ' dz' dk ' v i ' x ' j' y' k 'z ' dt dt dt dt dt dt Agrupando: dx ' dy' dz' d i ' d j ' d k ' v i ' j' k' x ' y' z' dt dt dt dt dt dt Analicemos esta expresión: – – El primer paréntesis es la velocidad relativa de P respecto a S’; es decir, v'. En el segundo paréntesis aparecen las derivadas de los vectores unitarios i ' , j ' y k'. Así, di ' por ejemplo, es la velocidad lineal de un punto cuyo vector de posición es i ' , que dt se mueve describiendo un movimiento circular con velocidad angular ; por lo que, según la relación que liga a la velocidad lineal con la angular: Agustín E. González Morales 43 di ' ω x i' dt análogamente d j' ω x j' dt dk ' ω x k' dt Por tanto, (2) se puede escribir: v v ' x ' ( ω x i ' ) y ' ( ω x j ' ) z ' ( ω x k ' ) v ' x ( x ' i ' y ' j ' z ' k ' ) v ' x r ' v ' x r En definitiva, la expresión que relaciona las velocidades medidas desde S y S’, es: v v' x r donde vemos que la velocidad absoluta v del punto P es la composición de la velocidad relativa v ' , medida desde S’, con la velocidad lineal x r que tiene S’ respecto a S. Para calcular las aceleraciones de P derivamos la anterior expresión: dv dv' d(ω x r ) dv' dω d r a x r ωx dt dt dt dt dt dt como d dr y v v'ω x r : dt dt dv' dv ' a α x r ω x (v' ω x r ) α x r ω x v' ω x (ω x r) dt dt pero, al calcular dv' d dx ' dy' dz' i ' j ' k ' dt dt dt dt dt nuevamente nos encontramos con que los vectores unitarios i ' , j ' y k' están cambiando continuamente de dirección. Por tanto, siguiendo un razonamiento similar obtenemos que: dv ' a 'ω x v' dt donde a ' es la aceleración relativa, medida desde S’. Sustituyendo: a a 'α x r 2ω x v' ω x (ω x r ) Analizando esta expresión vemos que a , la aceleración absoluta del móvil puntual P, tiene cuatro sumandos: – – – a ' , la aceleración relativa, medida desde S’. α x r , la aceleración tangencial, generada al girar S’. 2ω x v' , denominada aceleración de Coriolis. Agustín E. González Morales 44 – ω x (ω x r) , la aceleración normal o centrípeta, generada también al girar S’. La lógica nos puede hacer pensar, erróneamente, que la aceleración absoluta debería estar formada por sólo tres sumandos: la aceleración lineal relativa y las aceleraciones tangencial y centrípeta ocasionadas por el giro de S’. Sin embargo, en el proceso de derivación aparece el sumando de Coriolis, cuya intuición no es evidente. La realidad es que existe y en nuestro planeta es el responsable, por ejemplo, de que un observador solidario con el SR relativo S’, que mire desde el Norte, perciba como una masa puntual en movimiento se desvía hacia la derecha en el hemisferio Norte, y hacia la izquierda en el hemisferio Sur. En efecto, la aceleración relativa a ' que se mide desde S’ es: a ' a α x r 2ω x v' ω x (ω x r ) siendo el término de Coriolis que detecta un observador solidario con S’ 2ω x v' un vector perpendicular tanto a como a v' , y con el sentido establecido por el producto vectorial ω x v' . Así, por ejemplo, si en una Tierra esférica, con gravedad constante, en el vacío, que sólo gira en torno a su eje Norte-Sur a razón de una vuelta cada 24 horas, se suelta una masa puntual desde 60 metros de altura, en el Ecuador, en caída libre e inicialmente en reposo, debido a la rotación terrestre impactará a 7.4 mm hacia la derecha (mirando desde el Norte) de su proyección vertical. Por último, es importante destacar que el sumando de Coriolis sólo existe si P tiene velocidad relativa con dirección distinta de la de . En otra palabras, si P permanece siempre en la misma posición relativa r ' , aunque S’ gire no se genera aceleración de Coriolis. Agustín E. González Morales 60 m También, este fenómeno permite explicar, en parte, la circulación de vientos como los alisios respecto a la superficie de la Tierra, o que los ciclones tengan sentido antihorario en el hemisferio Norte, mientras que en el hemisferio sur giren en el mismo sentido que las agujas del reloj. mm 7.4 Es Norte te 45 EJERCICIOS 1. Un ciclista circula por una región donde existen subidas y bajadas, ambas de igual longitud. En las subidas va a 5 km/h, en las bajadas a 20 km/h. Calcular su celeridad media. Resp: v = 8 km/h 2. Dos nadadores cruzan un canal entre dos puntos A y B. Uno sale de A y otro de B, al mismo tiempo. Suponiendo que inician el viaje de regreso en cuanto llegan a la orilla opuesta, y sabiendo que a la ida se han cruzado a 300 m de A, y a la vuelta lo han hecho a 400 m de B, calcular la distancia entre las dos orillas. Resp.: d = 500 m 3. Una partícula que parte del reposo se mueve siguiendo una trayectoria recta con una aceleración dada por la expresión a = a0 exp(–kt), donde a0 y k son constantes. Hallar la velocidad límite y el camino recorrido al cabo de t segundos. a a 1 Resp.: v 0 , x 0 (e kt 1) t k k k 4. Dos discos separados 0.5 m, están montados en un mismo eje horizontal que gira a 1600 RPM. Se dispara una bala, paralelamente al eje, que atraviesa los dos discos, pero el agujero del segundo está desviado del primero un ángulo de π/15 rad. Calcular la velocidad de la bala. Resp.: 400 m/s 5. Calcular la altura en metros desde la que debe caer un cuerpo en el vacío para recorrer una longitud de g metros (el valor de g es el de la aceleración de la gravedad), durante el último segundo de su caída. 9 Resp.: h g 8 6. Un cuerpo cae libremente sin velocidad inicial. Demostrar que el tiempo que invierte en recorrer el enésimo metro de su trayectoria es t 2 g n n 1 7. Demostrar que la inclinación de los tejados debe ser de 45º para que el agua permanezca en ellos el menor tiempo posible, si la superficie horizontal que cubren es fija. 8. En un movimiento rectilíneo se mantiene constante el producto del camino recorrido por velocidad x·v= 8 m2/s. Si para t = 0 es x = 0, hallar la posición para t = 4 s. Resp: x = 8 m 9. Un móvil recorre la mitad del camino a 15 m/s. El resto lo hace a 12 m/s la mitad del tiempo restante, y a 8 m/s la otra mitad. Determinar la velocidad media. Resp.: 12 m/s 10. La trayectoria descrita por una partícula está definida por la ecuación: (x2 + y2)2 = 4 (x2 – y2). Calcular el módulo del radio vector cuando éste forma 30º con la horizontal. Resp.: r 2 11. El plato de una bicicleta enorme tiene 30 cm de radio. Parte del reposo con una aceleración de 0.4 π rad /s2 y transmite su movimiento a un piñón de 18 cm de radio mediante la cadena. Determinar el tiempo que tarda el piñón en alcanzar 300 RPM. Resp.:15 s 12. Calcular el radio de curvatura mínimo de la trayectoria de un proyectil disparado con una velocidad inicial v y con grados de elevación. Agustín E. González Morales 46 Resp.: v 2 cos 2 α g 13. Una canoa, a 5 m/s sobre el fondo, cruza un río de 280 m cuya corriente es de 3 m/s. ¿Cuánto tarda si toma el rumbo preciso para que el trayecto sea el más corto posible? Resp.: 70 s 14. Se apunta con un dispositivo seguidor de aeronaves a un avión que vuela horizontalmente con velocidad v, a una altura h. Calcular la velocidad y la aceleración angulares de la visual para cualquier ángulo. 2 Resp.: ω v v cos 2 θ , α sen 2θ cos 2 θ h h 15. En un MRUA, ¿cómo se representa el espacio en la gráfica velocidad-tiempo? 16. Si, como hipótesis de un tiro con un cañón, se supone que el alcance x es una función de la forma x = va gb mc f(), donde v es la velocidad inicial, g es la aceleración de la gravedad, m la masa del proyectil y f() es una función adimensional del ángulo de lanzamiento; calcular a, b y c efectuando exclusivamente un análisis dimensional. Analizar el valor obtenido de c. Resp.: a = 2, b = –1, c = 0. De c = 0 se desprende que el alcance no depende de la masa del proyectil. 17. Una diligencia viaja en línea recta desde A hasta B a 5 km/h. ¿En qué pueblo debe bajarse un viajero para seguir andando a 3 km/h y llegar a P lo antes posible si la distancia PC es 4 km. Resp: x = 3 km 18. Un punto M describe una circunferencia de radio R cm estando sometido a la atracción de un punto C de la misma. Su velocidad areolar es k cm2/s. Hallar los módulos de la velocidad y aceleración y el tiempo que tarda en recorrer un arco ¾ π que termina en C. Resp.: v k α k2 α R 2 3π sec 2 , a 3 sec 5 , t 2 4k 2 R 2 2 R 19. Un proyectil se lanza desde el origen de coordenadas O con un ángulo α respecto al eje horizontal OX, e impacta sobre un plano inclinado un ángulo β < α respecto al eje OX que pasa por O. Calcular: a) α en función de β, si la velocidad en ese instante es perpendicular al plano, b) el punto de impacto en el plano en función de β y de la velocidad inicial del proyectil. 2v 2 sen β Resp.: a) tg α = 2 tgβ + cotg β, b) OP o g 1 3 sen 2β 20. Determinar el ángulo bajo el cual debe lanzarse un móvil en el vacío, desde un punto O, para alcanzar la recta AB en el menor tiempo posible. Resp.: α = 90º – B 21. Una recta se mueve normalmente a su dirección con velocidad constante c. En su movimiento corta a una circunferencia fija de centro O en un punto variable M. Hallar la velocidad y la aceleración de M sobre la circunferencia y sobre la recta, en función de c, R y α. c2 Resp.: v1 = c cotg α , a , Rsen 3 α c2 a1 Rsen 3 α A M c O B O Ejercicio nº 20 Agustín E. González Morales Ejercicio nº 21 47 22. Una partícula se mueve sobre una trayectoria de ecuación r = 2θ. Para θ = 60º, determinar su velocidad, si θ = t2. Resp.: 5.927 m/s 23. La prueba de una espoleta de una granada de fragmentación se realiza en el centro del fondo de un pozo cilíndrico de profundidad H. Los fragmentos que se forman durante la explosión, cuyas velocidades no sobrepasan la velocidad v0, no deben caer en la superficie de la tierra que circunda al agujero. ¿Cuál debe ser el diámetro mínimo D del pozo? 2v Resp.: Para v 02 2gH, D puede tomar cualquier valor. Para v 02 2gH, D 0 v 02 2gh g 24. Por una calle de anchura a = 10 m circulan, uno tras otro y perfectamente alineados, coches a v = 24 km/h, de anchura b = 2 m, distanciados entre sí c = 8 m (distancia del parachoques posterior del precedente al anterior del siguiente). Calcular: a) el tiempo necesario para que un peatón cruce la calle en línea recta lo más despacio posible, y b) la velocidad y la trayectoria del peatón. Resp.: a) 6.375 s, b) 1,6169 m/s, 75º 57’ 50” respecto a la dirección de la calle. 25. Una partícula se mueve en el plano XY con aceleración constante ‘a’ en el sentido negativo del eje OY. La ecuación de la trayectoria es y = px – qx2, siendo p y q constantes. Determinar la velocidad en el origen de coordenadas. Resp.: (1 p 2 ) a 2q 26. Un móvil se desplaza por un arco de circunferencia de radio R. Su velocidad depende del recorrido según la relación v = k s donde k es constante. Determinar el ángulo que forman los vectores aceleración total y velocidad, en función de s. 2s Resp.: arctg R 27. Un movimiento rectilíneo es tal que su velocidad en función del desplazamiento es v = 3x +1. Hallar las ecuaciones horarias sabiendo que para t = 0 se encuentra en el origen. Resp.: x e 3t 1 , v = e3t, a = 3 e3t 3 28. Una partícula parte del reposo y sigue una trayectoria recta con una aceleración cuya variación en el tiempo viene dada por la quebrada ABCM en un plano de ejes aceleración – tiempo. Las coordenadas (a, t) de los vértices de la quebrada en el S.I. son las siguientes: A(60,0), B(–90,10), C(30,14) y M(30,20). Calcular la posición y la velocidad para t = 20. Resp.: xM = –1580 m, vM = –90 m/s 29. Dos puntos A y B se encuentran en reposo, situados a una distancia s entre ambos. En la recta que los une hay otro punto C, también en reposo, que distan de A el doble que de B. Los puntos A y B se ponen en movimiento sobre su recta soporte con aceleraciones de 4 y 1 m/s2 respectivamente. ¿Hallar la aceleración de C de manera que dicho móvil se encuentre siempre a una distancia de A doble que de B. Resp.: 2 m/s2 30. Una partícula se mueve a lo largo de una curva x = 2t2, y = t2 – 4t, z = 3t – 5, donde t es el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad y la aceleración en la dirección del vector cartesiano (1, –3, 2) cuando t = 1. 2 16 Resp.: Proyección de v(1) , Proyección de a 14 14 31. Un móvil describe un M.R.U. a 360 km/h en una trayectoria horizontal a 1000 m de altura sobre el plano horizontal. En un instante dado, pasa por la vertical de un punto P del plano y, en ese mismo instante, se lanza un proyectil de 10 kg desde P con una velocidad que forma un ángulo α Agustín E. González Morales 48 con el plano horizontal. Calcular el valor de la tag α, sabiendo que el móvil fue alcanzado por el proyectil 3 segundos después del instante anterior. Resp.: tg α = 3.48 32. ¿Bajo qué ángulo respecto a la horizontal es necesario lanzar una piedra a 14 m/s desde un acantilado de 20 m de altura, para que llegue al mar a una distancia máxima del borde del precipicio? Resp.: 30º 33. La velocidad de la corriente de un río de anchura c crece proporcionalmente a la distancia desde la orilla, alcanzando su valor máximo v0 en el centro. Junto a las orillas la velocidad de la corriente es cero. Un bote flota de modo que su velocidad u con respecto al agua es constante y perpendicular a la orilla. Hallar la distancia a la cual será llevado por la corriente al cruzar el río y determinar la trayectoria del bote. v c cu Resp.: x 0 ; la trayectoria es la parábola y 2 x hasta el centro del río, y entre el centro v0 2u del río y la orilla opuesta B es la parábola simétrica a la anterior, respecto al centro del río. 34. Dos móviles parten del mismo punto y en el mismo sentido recorriendo una circunferencia de 2 m de radio. El primero se mueve con una velocidad angular de 2 rad/s, y el segundo con una aceleración de 1 rad/s2. ¿Cuánto tiempo tardarán en reunirse de nuevo? ¿Qué aceleraciones tangencial y radial tienen en ese instante? ¿Qué ángulo forman las aceleraciones totales de ambos móviles? Resp.: t = 4 s, la aceleración tangencial del móvil 1 es cero, su aceleración radial es 8 rad/s2, la aceleración tangencial del móvil 2 es 2 rad/s2, su aceleración radial es 32 rad/s2, el ángulo que forman las aceleraciones totales es 86º 25’ 25.2 ” 35. Un punto material describe una trayectoria circular de 1 m de radio dando 30 vueltas en un minuto. Calcular el período, la frecuencia, la velocidad lineal, la velocidad areolar y la aceleración. Resp: T = 2 s, f = ½ s-1, v = π m/s, la velocidad areolar es ½ π m2/s, la aceleración es π2 rad/s2 36. Desde una boya situada en el centro de un río parten dos botes A y B tomando direcciones perpendiculares: el bote A a lo largo del río y el B a lo ancho. Al separase la misma distancia de la boya emprenden el regreso. Hallar la relación entre el tiempo empleado por cada bote tA/tB, si la velocidad de cada uno es 1.2 veces la de la corriente del río. t Resp.: A 1.809 tB 37. Un avión en vuelo horizontal rectilíneo, a una altura de 7840 m y a 450 km/h, deja caer una bomba al pasar por la vertical de un punto A del suelo. a) ¿Al cabo de cuánto tiempo se produce la explosión de la bomba por impacto con el suelo?, b) ¿qué distancia ha recorrido entre tanto el avión?, c) ¿a qué distancia del punto A se produce la explosión?, d) ¿cuánto tiempo tarda en oírse la explosión desde el avión, a contar desde el instante de lanzamiento, si el sonido se propaga a 330 m/s Resp.: a) 40 s; b)5000 m; c) 5000 m; d) 65.67 s 38. Se dispara un cañón con 15º de elevación y una velocidad inicial de 200 m/s. Calcular: a) la velocidad con la que llega a tierra?, b) ¿tropieza con una colina de 300 m de altura, situada en la mitad del alcance?; en caso afirmativo, ¿qué solución podríamos dar si queremos hacer blanco en el mismo objetivo, disparando con el mismo cañón y desde el mismo punto? Resp.: a) 200 m/s; b ) Tropieza. Disparar con un ángulo de 75º 39. Un muchacho, que está a 4 m de una pared vertical, lanza una pelota contra la pared desde una altura de 2 m, con una velocidad inicial de 10 i 10 j m/s. Cuando la pelota choca en la pared se invierte la componente horizontal de su velocidad, pero permanece constante la vertical. ¿Dónde chocará la pelota contra el suelo? Resp.: A 18.243 m de la pared Agustín E. González Morales 49 40. Un avión bombardero en vuelo horizontal a 360 km/h y 1000 m de altura, lanza una bomba. a) ¿A qué distancia de un objetivo inmóvil, medida horizontalmente, debe lanzar?, b) si el objetivo se mueve por una carretera horizontal a 72 km/h en la misma dirección y plano vertical, ¿a qué distancia debe lanzar, si el objetivo se mueve en el mismo o en distinto sentido? Resp.: a) 1428.57 m; b) 1714.29 m; 1142.86 m 41. Un móvil situado en el origen de coordenadas, tiene una velocidad inicial v en el sentido positivo del eje OX. Simultáneamente se le aplican dos aceleraciones constantes del mismo módulo, una dirigida según el sentido negativo del eje OX y la otra en el sentido positivo del eje OY. Calcular: a) la trayectoria, b) las coordenadas del punto de velocidad mínima, y c) el valor de la velocidad mínima. 2v 2 v 3v 2 v2 Resp.: a) x 2 y 2 2xy y 0 ; b) v t min ; c) x min ; y min a 8a 8a 2 42. El movimiento de un cuerpo, que cae en un medio resistente partiendo del reposo, está definido dv por la ecuación A Bv, con A y B constantes. Calcular en función de A y B: a) la dt aceleración inicial, b) la velocidad para la cual la aceleración es nula, c) la expresión de la velocidad en cualquier instante. A A Resp.: a) a = A; b) v ; c) v(t ) 1 e Bt B B 43. Un punto se mueve en el plano XY según la ley x = pt, y = pt(1 – qt), con p y q constantes. Determinar: a) la ecuación de la trayectoria, b) la velocidad y aceleración en función del tiempo, y c) el instante en el que el vector velocidad forma un ángulo de ¼ π radianes con la aceleración. q 1 Resp.: a) Parábola: y x x 2 ; b) v p 1 (1 2qt ) 2 ; a = 2pq; c) t p q 44. Un móvil, que parte del origen de coordenadas, recorre la curva x2 = 2y. La proyección del movimiento sobre el eje OX es un MRU a 2 m/s. Hallar al cabo de 2 segundos: a) el módulo de la velocidad, b) las componentes intrínsecas de la aceleración, y c) el radio de curvatura. Resp: a) v 2 = 6 m/s; b) a 2 = 8 32 t m/s2; a n 4 m/s2; c) R = 27 m 3 45. Una partícula se mueve sobre la trayectoria y = x2 + x + 1 de manera que para x = 1 vy = 3 m/s. Calcular el vector velocidad en ese instante. Resp.: v (1,3) 46. Una partícula que tiene un movimiento rectilíneo recorre una distancia de 7 m antes de empezar a contar el tiempo, y cuando t = 2 s posee una velocidad de 4 m/s. Si la ecuación de la aceleración es a = 3t2 – 1, calcular: a) la velocidad y la posición, b) la velocidad media entre t = 2 y t = 4, y c) la distancia a la posición inicial para t = 7. t4 t2 Resp.: a) v( t ) t 3 t 2 ; x ( t ) 2t 7 ; b) 25 m/s; c) 568.75 m 4 2 47. La barra de la figura se desliza sobre el poste vertical y está sujeta al bloque A que se mueve hacia la derecha con velocidad constante v. Determinar la velocidad angular de la barra. v Resp.: ω sen 2 θ a a θ( x A 48. Un avión vuela a velocidad constante con un ángulo β de ascensión respecto a la horizontal. Cuando está a 6000 m de altura sobrevuela un cañón enemigo que, en ese instante, abre fuego con una velocidad inicial del proyectil de 600 m/s. Poco después la bala pasa rozando el avión. Cuando el avión está a 9604 m de altura el proyectil vuelve a pasar rozando, explotando en el Agustín E. González Morales 50 suelo 20 segundos después. Calcular: a) el ángulo de elevación del cañón, b) el ángulo β, y c) la velocidad del avión en km/h. Resp.: a) 74º 30’ 28”, b) 12º 55’ 25.6”, c) 591.95 km/h 49. Un bombardero vuela en picado a 300 m/s y deja caer una bomba desde 180 m de altura, estando su proyección horizontal a 60 m del objetivo. Con g = 10 S.I., ¿con qué ángulo con respecto a la horizontal debe picar? Resp.: 71º 16’ 47.83” 50. Una partícula se mueve en línea recta con una aceleración a = 2 v . En t = 2 s su posición es 64 m y su velocidad 16 m/s. Determinar la posición, velocidad y aceleración en t = 3 s. 3 Resp.: 41.66 m, 25 m/s, 10 m/s2 51. Tres turistas tienen que llegar a un lugar en el plazo de tiempo más corto, contándose el tiempo hasta que el último llega al citado lugar. Andando caminan a 4 km/h, pero disponen de una bicicleta con la que dos de ellos pueden ir a 20 km/h. Deciden que uno de ellos lleve a otro en la bici hasta un punto determinado del camino, desde donde el segundo continúa a pie, y el otro vuelve con la bici a recoger al tercero. Hallar la velocidad media. Resp.: 10 km/h 52. Tres puntos A, B y C, en el momento inicial, están situados sobre la misma recta horizontal. El punto A comienza a moverse verticalmente hacia arriba con velocidad v constante, y el punto C, sin velocidad inicial, verticalmente hacia abajo con aceleración a constante. Si los tres puntos empiezan a moverse simultáneamente, ¿de qué modo debe moverse B verticalmente para encontrarse en todo momento en la recta que une A con C? Resp.: B debe moverse con velocidad inicial ½ v y aceleración ½ a 53. Cuando un coche que se mueve a 90 km/h da la vuelta a una esquina, se encuentra con otro que circula delante de él en la misma dirección y sentido a 45 km/h. Si la máxima deceleración que sus frenos pueden proporcionar es de 6 m/s2, calcular la distancia mínima entre ambos que impedirá el choque si el tiempo de reacción del conductor es de 0.5 segundos. Resp.: 19.25 m 54. Un coche posee una aceleración máxima a, constante para velocidades altas, y una desaceleración máxima 2a. Debe recorrer una distancia corta L, empezando y finalizando el trayecto en reposo en un tiempo mínimo T. ¿En qué posición de L debe empezar a decelerar, y en qué fracción del tiempo total debe estar decelerando? 2 2 Resp.: L, t 3 3 55. Por O pasa un plano inclinado un ángulo β con la horizontal. Un proyectil se lanza desde O con una velocidad v e impacta en un punto A del plano. Determinar el ángulo α de lanzamiento, con respecto a la horizontal, para que la distancia OA sea mínima. Resp.: 45º + ½ β 56. Un coche marcha por una carretera a 25 m/s. En el momento de pasar por un cruce perpendicular un gamberro le lanza una piedra, en el plano normal al movimiento del coche, con un ángulo de elevación de 45º, desde una altura de 1,2 m. Si el módulo de la velocidad inicial de la piedra, relativa al coche, es de 10 m/s, calcular: a) la velocidad inicial de la piedra relativa a la carretera, y b) lugar de la trayectoria donde alcanzará al coche. Resp.: Si la carretera esta en el eje X: 25 i 5 2 ( j k ); 39.9 i 11.3 j 57. Una partícula, que se abandona en la parte superior de un plano de 10 m, inclinado 30º con la horizontal, desliza sin rozamiento. Simultáneamente el plano se mueve con una velocidad horizontal de 3 m/s de forma que la partícula no se separa del plano. Si g = 10 m/s2, calcular: a) la velocidad y aceleración absoluta de la partícula cuando llegue al final del plano, y b) la trayectoria absoluta de la partícula en ecuaciones paramétricas. Agustín E. González Morales 51 Resp.: Con un sistema cartesiano con el origen en la parte superior del plano y el eje X 5 5 5 horizontal: a) v (3 5 3 ) i 5 j; a 3 i j; b) x 3t 3t 2 y t 2 2 4 4 58. Un nadador es capaz de nadar a la mitad de la velocidad de la corriente de un río que quiere atravesar de manera que la corriente lo arrastre lo menos posible. a) ¿Con qué ángulo con respecto a la orilla debe nadar?, y b) ¿a qué distancia se lo llevará la corriente si la anchura del río es de 200 m? Rep.: 60º, 200 3 59. Dos nadadores tienen que atravesar un río desde el punto A de una de las orillas hasta el B, situado en la orilla opuesta enfrente al primero. Uno de ellos decide atravesar según la recta AB, pero el otro quiere mantenerse en todo momento perpendicular a la corriente, de manera que la distancia que lo arrastre la recorrerá andando a velocidad u. ¿Con qué valor de u alcanzarán ambos nadadores el punto B al mismo tiempo si la velocidad a la que nadan es de 2.5 km/h y la de la corriente es 2 km/h? Resp.: 3 km/h 60. Un pato volaba por una recta horizontal a velocidad constante u. Un cazador inexperto le disparó un proyectil a velocidad v con una dirección orientada hacia la posición del pato en el instante de disparar. ¿A qué altura volaba el pato si, a pesar de todo, fue alcanzado? 2u Resp.: h (v cos θ u ) tg 2 θ g 61. Desde una altura H se lanzan dos pelotas con la misma velocidad, una hacia arriba con un ángulo α y otra hacia abajo con un ángulo β (ambos respecto a la horizontal). Demostrar que las dos pelotas chocan contra el suelo a la misma velocidad. 62. ¿Con qué velocidad mínima debe lanzarse un cuerpo desde 30 m de altura para que caiga a 40 metros de su proyección horizontal? Resp.: 14 m/s 63. Un punto gira retardadamente en una trayectoria circular de radio R de modo que, en todo momento, sus aceleraciones normal y tangencial tienen el mismo módulo. Si en el instante inicial su velocidad es v0, calcular la velocidad en función del recorrido. Resp.: v v 0 e s R 64. Dos carritos se mueven siguiendo los ejes X e Y, unidos mediante una barra de longitud L. Uno de ellos sube por el eje Y a velocidad v. Determinar el movimiento del otro. v2t Resp.: Se mueve con una velocidad u L2 v 2 t 2 65. Un vehículo, cuyas ruedas tienen un diámetro de 80 cm y 14 radios, desciende por una pendiente sin rozamiento. El movimiento es registrado por una cámara que toma 24 fotos por segundo. Al proyectar la película se aprecia que para t = 20 s la velocidad de rotación de las ruedas es aparentemente nula. Calcular la pendiente. Resp.: 1º 15’ 34” B A 66. Un alambre está doblado en forma de arco de radio R. En él se asienta, sin rozamiento, una cuenta que puede moverse a lo largo del alambre. En el instante inicial la cuenta está en la posición O. ¿Qué velocidad horizontal es necesario trasmitirle a la cuenta para que al llegar a A alcance el punto B, si el ángulo central que mide el arco AB es 2α? Resp.: 1 gR 2 2 cos cos Agustín E. González Morales O 52 67. Dos móviles A y B están obligados a moverse sobre los semiejes OX y OY en busca del origen de coordenadas a velocidades constantes u y v respectivamente. Inicialmente A se encuentran a distancia a y B a distancia b del origen. Determinar: a) el movimiento del punto medio P del segmento AB, y b) el instante en el que la distancia OP es mínima. Resp.: a) Es un M.R.U. cuya velocidad es au bv 1 u 2 v 2 ; b) t 2 2 u v2 68. La barra G se puede desplazar siguiendo un movimiento de vaivén según el eje Y guiada por los cojinetes perfectamente lubricados C y D, debido a una varilla AB de 5 metros cuyo extremo A se mueve según el Y eje X accionado por un émbolo a una velocidad constante de 1 m/s en el sentido positivo del eje OX. Calcular la C B velocidad y aceleración de la barra G en el instante en el que el segmento BO mida 3 metros. X A O Resp.: v = 4 25 m/s; a = m/s2 3 27 G D 69. El coche A gira en una curva de 134 m de radio a 48 km/h. En el instante indicado en la figura ambos coches están separados 30.48 m y el coche B se mueve a 72 km/h, pero disminuye su velocidad a razón de 3 m/s2. Determinar el módulo de la velocidad y la aceleración de A observadas desde B. El vector velocidad de B observado desde A, ¿es la opuesta a la velocidad de A observada desde B? Calcularla. Y B X A 13 4 Resp.: vA/B = 86.5 km/h; aA/B = –4.33 m/s2; v B / A 20 i 16.36 j m/s, de módulo 93 km/h Agustín E. González Morales 53 TEMA III DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA Introducción Leyes de Newton El principio de relatividad de Galileo y la 1ª ley de Newton Cantidad de movimiento o momento lineal 2ª ley de Newton Masa y peso. Reposo y equilibrio. Impulso mecánico Tercera ley de Newton. Acción y reacción Cinética del punto material Resistencia al deslizamiento Cuerpos apoyados en superficies Cuerpo apoyado en un plano inclinado sometido a una fuerza de tracción Método para determinar el coeficiente estático de rozamiento Varios cuerpos apoyados Cuerpos enlazados. Tensión Fuerza centrípeta en el movimiento curvilíneo Fuerzas ficticias: Fuerza de inercia y centrífuga Ejercicios Agustín E. González Morales 54 TEMA III INTRODUCCIÓN Tras estudiar la cinemática del móvil puntual, pasamos a las causas que provocan ese movimiento. De este aspecto se ocupa la Cinética o Dinámica como parte de la Mecánica que analiza las relaciones existentes entre los sistemas de fuerzas que no están en equilibrio y las variaciones del movimiento que originan. Continuaremos empleando una masa puntual; es decir, un cuerpo sin tamaño, pero con masa que eventualmente llamaremos también partícula. En el tema siguiente veremos como esta aproximación queda plenamente justificada cuando introduzcamos el concepto de centro de masa. LEYES DE NEWTON En 1686, Sir Isaac Newton publicó su famoso libro “Philosophiae Naturales Principia Matematica”, en el que enunció, entre otras, las tres leyes fundamentales de la Mecánica clásica, basadas en las teorías de Kepler, Copérnico y, especialmente, Galileo. En enunciado del propio Newton es el siguiente: Ley I. Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme sobre una línea recta, a no ser que se le obligue a variar dicho estado mediante fuerzas que actúan sobre él. Ley II. La variación del movimiento es proporcional a la fuerza motora a la que se le somete; y se realiza en la dirección de la recta en la que la fuerza actúa. Ley III. A toda acción se le opone siempre una reacción igual; o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos uno sobre el otro se dirigen siempre hacia las partes contrarias. Corolario. Un cuerpo sobre el que actúan dos fuerzas simultáneamente describirá la diagonal de un paralelogramo en el mismo tiempo que describiría los lados del mismo mediante la acción de dichas fuerzas por separado. Los enunciados modernos de las mismas leyes son: 1ª ley de Newton o ley de inercia. Dado un cuerpo situado en un SR inercial, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula, el cuerpo permanece en reposo o se mueve con un M.R.U. 2ª ley de Newton. En un SR inercial, la variación con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre él. 3ª ley de Newton. Si un cuerpo A ejerce sobre otro cuerpo B una fuerza FBA , entonces B ejerce sobre A una fuerza igual, pero opuesta, FAB . FAB FBA EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO Y LA 1ª LEY DE NEWTON La primera ley de Newton introduce un cambio conceptual respecto a las ideas preponderantes hasta su enunciado, que exigían la presencia de una fuerza para que se produjese el movimiento de un cuerpo. Se razonaba, erróneamente, de la siguiente manera: “es de sentido común que para que un cuerpo se mantenga en movimiento se necesita la acción de una fuerza. De hecho, si un cuerpo se Agustín E. González Morales 55 desliza sobre una superficie horizontal, acaba deteniéndose”. Fue Galileo8, antes que Newton, quien postuló, que si la superficie de contacto estuviese exquisitamente pulimentada, el cuerpo continuaría moviéndose indefinidamente en línea recta, sin cambiar su velocidad. Desde entonces se admite que para que un cuerpo varíe su vector velocidad, en cualquiera de sus características (en módulo, dirección o sentido), es necesario que interactúe con otros cuerpos. Es más, se aceptan como posibles tanto la situación de reposo como la de M.R.U., frente a las hipótesis anteriores a Galileo que propugnaban que sólo el reposo es la situación natural de un cuerpo. Principio de relatividad de Galileo Ya sabemos que para medir el movimiento de un cuerpo necesitamos un SR. Pero, ¿podemos saber con certeza la velocidad absoluta de un cuerpo? La respuesta nos la da de nuevo Galileo, quien afirma en su Principio de relatividad que El movimiento absoluto no puede ser detectado mediante ningún experimento; o, lo que es lo mismo, no es posible saber si un SR se encuentra realmente en reposo o se desplaza con un MRU. En realidad, en el tema II ya entrevimos este principio cuando estudiamos la traslación representada en la figura. Dedujimos que r r ' rS' S v v' vS' S a a ' a S' S Y’ P r Y Pero, en el caso particular de que S’ se desplace con un M.R.U. con respecto a S, entonces a S' S 0 y, por tanto: a a' r' j' i' i j' j k' k i' S’ j S k rs ' s i k' X’ Z’ X de donde se deduce que –puesto que supusimos que S es Z inercial, y estamos diciendo que S’ se desplaza con un M.R.U. respecto a S– ambos sistemas son inerciales y la aceleración de P, medida desde ambos sistemas (o desde cualquier sistema que se mueva con un M.R.U. respecto a S), es la misma. Este resultado ratifica la afirmación de Galileo, pues si las aceleraciones de P, responsables del cambio de velocidad, son iguales en ambos sistemas de referencia, sólo podemos afirmar que S’ se desplaza con un M.R.U. respecto a S, pero nada nos asegura que S’ sea inercial y, por tanto, tampoco seremos capaces de detectar si lo es S. Como consecuencia, postulamos que un SR es inercial si en él se cumple la 1ª ley de Newton (a la que desde ahora denominaremos también ley de inercia). Obsérvese que, de esta manera, deja de ser ley para convertirse en definición, ya que, de lo contrario, nos toparíamos con la pescadilla que se muerde la cola: la ley de inercia se cumple sólo en los SR inerciales, y en los SR inerciales se cumple la ley de inercia… Una aclaración más: ya dijimos en el tema anterior que en el Universo conocido no existe ningún SR inercial; es más, no puede ser inercial un sistema que esté girando, pues la rotación exige la existencia de al menos una aceleración centrípeta y, por tanto, de la fuerza que la provoca. Como consecuencia, ni la Tierra ni el Sol son SR inerciales; sin embargo, en muchas experiencias podremos despreciar sus aceleraciones, sin que influya sustancialmente en los resultados. 8 Galileo Galilei (1564-1642) en su obra: “Diálogo relativo a los dos sistemas mundiales principales – Ptolomeico y Copernicano”. Curiosamente, Newton nació el mismo año que murió Galileo. Agustín E. González Morales 56 CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL Se define el vector cantidad de movimiento o momento lineal de un cuerpo, p, como el producto de la masa m por su vector velocidad. p mv Como consecuencia p tiene la misma dirección y sentido que v, su módulo es el de la velocidad multiplicado por la masa, y sus unidades en el S.I. son kg·m/s. 2ª LEY DE NEWTON La 2ª ley de Newton, conocida también como ley fundamental de la Mecánica, relaciona la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, F, con la variación en el tiempo que experimenta su cantidad de movimiento. Concretemos en términos matemáticos lo que acabamos de decir: supongamos que en el instante t0 una partícula posee cierta cantidad de movimiento p 0 , y en el instante t1 es p1. Puesto que hay una variación de dicha magnitud, podemos afirmar que sobre la partícula actúa una fuerza neta media, cuyo valor es: p p p 1 0 F t1 t 0 t Si se reduce el intervalo de tiempo, hasta hacerlo infinitamente pequeño: p dp F lim t 0 t dt Por tanto, la expresión matemática de la 2ª ley de Newton es: dp F dt Efectuemos la derivada con respecto al tiempo de p : d(mv ) dm dv dm F vm v ma dt dt dt dt y analicemos los dos sumandos que se han generado: o dm . No podemos dt asegurar que, en todos los casos, la masa permanezca constante y que, por tanto, esta derivada se anule. Pensemos, por ejemplo, en un vehículo que va perdiendo progresivamente la masa del combustible que consume para mantenerse en movimiento. No obstante, en muchos problemas la masa es constante o varía tan poco que el error cometido al anular este sumando es despreciable, de manera que: En el primero aparece la derivada de la masa con respecto al tiempo, F ma (m constante) o En el segundo sumando encontramos la aceleración absoluta del móvil. Otra vez nos topamos con el inconveniente de no conocerla, al no existir ningún SR inercial. Pero, de nuevo, debemos insistir en que considerar como absoluta una aceleración medida, Agustín E. González Morales 57 tomando, por ejemplo, a la Tierra o al Sol, según los casos, como un SR inercial, es una aproximación aceptable en la mayoría de las situaciones. MASA Y PESO. REPOSO Y EQUILIBRIO. IMPULSO MECÁNICO Masa inercial, masa gravitatoria y peso Podemos comprobar experimentalmente la 2ª ley de Newton tirando de un cuerpo de masa m con fuerzas F1 , F2 , F3 ... , y midiendo las aceleraciones a1 , a 2 , a 3 ... provocadas. Veríamos que, en todos los casos, se cumple la siguiente relación: F1 F2 F3 ... a1 a 2 a 3 Fi m ai Es decir, la constante de proporcionalidad entre las fuerzas y las aceleraciones es la masa del cuerpo, de manera que si aplicamos una determinada fuerza, cuanto mayor sea la masa del cuerpo, menor será la aceleración provocada. La masa es, pues, un escalar que proporciona una medida cuantitativa de la inercia de los cuerpos a mantener su estado de movimiento. De ahí que reciba también el nombre de masa inercial. Pero, a veces identificamos la masa a partir del hecho de que, para un mismo punto de la Tierra, todos los cuerpos en caída libre adquieren la misma aceleración g (9.8 m/s2 aproximadamente) debido a la fuerza con la que nuestro planeta los atrae. Esta fuerza se denomina peso. Su módulo es: P = mg Si P es el peso de una masa m y el peso de una masa patrón m0 es P0, resulta: P mg m P0 m 0 g m 0 comparando estos pesos, obtenemos la masa m que, así medida, se denomina masa gravitatoria. La unidad del S.I. de medida del peso, como la de toda fuerza, es el N. Sin embargo, es muy corriente emplear otra llamada el kilopondio, kp, o kilogramo fuerza correspondiente a la fuerza con que la Tierra atrae a la masa de un kg, al nivel del mar y a 45º de latitud, donde g = 9.80665 m/s2 (aproximadamente 9.8): 1 kp = 1kg ·9.8 m/s2 = 9.8 N No obstante, este procedimiento conduce a un error muy frecuente: la confusión entre masa y peso, pues resulta que la medida de la masa en kg es la misma que la del peso en kp. El peso es una fuerza y tiene, por tanto, carácter vectorial, mientras que la masa es un escalar. Además, el valor del peso depende del punto de la Tierra donde se efectúe la medición, mientras que la masa es una característica propia del cuerpo, sea cual sea el lugar donde se encuentre. Reposo y equilibrio A la luz de la 2ª ley de Newton podemos definir los conceptos de reposo y equilibrio. Un cuerpo se encuentra en reposo respecto a un observador, si su velocidad, medida por dicho observador, es nula. Mientras que se encuentra en equilibrio respecto a un observador situado en un SR inercial, cuando su aceleración en dicho sistema es nula; es decir, cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. Obsérvese que un cuerpo puede encontrarse en equilibrio, pero no en reposo respecto a un observador inercial, pues puede estar dotado de un M.R.U. También se da el caso contrario de Agustín E. González Morales 58 que no esté en equilibrio, pero sí en reposo, como le sucede, por ejemplo, a una piedra lanzada verticalmente en el punto de altura máxima, donde no tiene velocidad, pero sí aceleración respecto al suelo. Impulso mecánico Otra magnitud que podemos definir a partir de la 2ª ley de Newton es el impulso mecánico. En dp efecto, de F : dt F dt dp Pues bien, el producto F dt es el impulso mecánico infinitesimal provocado en el móvil puntual por la fuerza F actuando durante un tiempo dt. De la expresión anterior se deduce que el impulso mecánico es igual a la variación infinitesimal de la cantidad de movimiento dp. Integrando entre dos instantes t1 y t2, en los que el móvil tiene unas cantidades de movimiento p1 y p 2 , obtenemos el impulso mecánico total: t2 Fdt p 2 p1 t1 Si la fuerza es constante: F( t 2 t1 ) p 2 p1 si, además, la masa del móvil es constante: F( t 2 t1 ) m (v 2 v1 ) La unidad del S.I. de impulso mecánico es el N·s. TERCERA LEY DE NEWTON. ACCIÓN Y REACCIÓN La 3ª ley de Newton afirma que si un cuerpo A ejerce una fuerza FBA sobre otro B, llamada acción, entonces B realiza sobre A otra fuerza igual FAB y de sentido opuesto, denominada reacción. A Este enunciado podría inducirnos a pensar, erróneamente, que al ser las fuerzas de acción y reacción iguales, pero opuestas, se anulan mutuamente. Nada más lejos de la realidad: ya Newton lo advirtió cuando escribió que las acciones mutuas de dos cuerpos uno sobre el otro se dirigen siempre hacia las partes contrarias; es decir, las fuerzas están aplicadas en cuerpos diferentes, ¡nunca se anulan entre sí! FAB FBA B CINÉTICA DEL PUNTO MATERIAL Estamos ya en condiciones de abordar los problemas de la Mecánica que se resuelven aplicando las leyes de Newton. Para ello se sigue el procedimiento siguiente: o En primer lugar se dibuja el denominado diagrama del sólido libre, en el que se representa el cuerpo puntual objeto de estudio sometido a todas las fuerzas o interacciones provocadas por que el resto del Universo. Agustín E. González Morales 59 o o Identificadas todas las fuerzas, se aplica la 2ª ley de Newton a la resultante, para determinar la aceleración. En muchos casos resultará conveniente descomponer las fuerzas según ciertos sistemas de referencia apropiados. Por último, conocida la aceleración, se pueden abordar los cálculos que permiten determinar la velocidad y la posición. Se ha dividido el estudio de la Cinética del punto material en cuatro secciones: la primera está dedicada a la resistencia al deslizamiento o rozamiento, la segunda a los cuerpos puntuales apoyados en superficies, la tercera a los cuerpos puntuales enlazados y la cuarta a los problemas en los que interviene la fuerza centrípeta. RESISTENCIA AL DESLIZAMIENTO Efectuemos la siguiente experiencia: empecemos a tirar de un cuerpo –inicialmente en equilibrio y en reposo, apoyado sobre una superficie– con una fuerza F creciente, paralela al plano de apoyo. Observaremos que inicialmente sigue sin moverse, por lo que deducimos que tiene que existir alguna fuerza que compense la que nosotros estamos haciendo. En efecto, se trata de la resistencia al deslizamiento o rozamiento con la superficie de contacto. F Además, mientras que el cuerpo sigua sin moverse, al ir aumentando F, también lo hará la resistencia al deslizamiento que, en todo momento, debe ser igual y de sentido contrario a F. También apreciaremos que, hasta que F no alcance un valor concreto, el cuerpo continúa inmóvil. Pero, una vez que esté en movimiento, la fuerza necesaria para que se desplace a la misma velocidad es menor que la que hubo que aplicar para que dejase de estar en reposo. Por último, con el cuerpo ya en movimiento, mediante la 2ª ley de Newton podemos comprobar que, aunque varíe la fuerza de Rozamiento Rozamiento R tracción, las aceleraciones del estático cinético cuerpo son tales que la (reposo) (movimiento) resistencia al deslizamiento es Rmax= μeN prácticamente constante. B Todos estos resultados los plasmamos en una curva. En el eje horizontal se representa el módulo F de la fuerza de tracción aplicada, y en el vertical, el módulo R del rozamiento. En la gráfica se destacan los siguientes matices: o o o o R= μN D E C R=F A 45º F El tramo AB se corresponde con la situación en la que el cuerpo todavía está en reposo. Como en este caso el valor del rozamiento es igual a la fuerza de tracción, la pendiente de la curva es de 45º. En B se produce el máximo valor del rozamiento; pero, en cuanto el cuerpo se pone en movimiento, desciende bruscamente hasta C. En el tramo CD el valor del rozamiento es constante e independiente de la fuerza de tracción aplicada y de la velocidad que adquiera el cuerpo. A partir de D se aprecia un ligero descenso del valor del rozamiento. Experimentalmente se comprueba que esta disminución está relacionada con la velocidad del cuerpo. Si repitiésemos la experiencia anterior para cuerpos de naturaleza distinta, de varios pesos, incluso modificando el tamaño de la superficie de contacto, la inclinación del plano de apoyo y la dirección de la fuerza de tracción, llegaríamos a las siguientes conclusiones: Agustín E. González Morales 60 o o o La resistencia al deslizamiento se opone siempre al movimiento y depende de la naturaleza de las superficies en contacto; es decir, cambia de valor si rozan, por ejemplo, madera con hierro o madera con madera. El rozamiento es directamente proporcional al peso del cuerpo apoyado. El rozamiento es independiente de la cantidad de superficie en contacto. A primera vista podríamos pensar que la resistencia al deslizamiento debe de ser proporcional al área de contacto entre las dos superficies; sin embargo, ya Leonardo da Vinci comprobó experimentalmente lo contrario. o o o El rozamiento es directamente proporcional a la componente normal de la fuerza de reacción que la superficie de contacto ejerce sobre el cuerpo. La máxima resistencia al deslizamiento con el cuerpo en reposo es mayor que la que existe cuando ya está en movimiento. El rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo. Sólo a partir de ciertas velocidades se detecta un decremento de su valor. Todos estos hechos permiten expresar el módulo de la resistencia al deslizamiento, R, mediante las siguientes expresiones: Mientras el cuerpo permanezca en reposo (ver la gráfica anterior): R e N donde μe es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente estático de rozamiento, y N es el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción que la superficie de contacto ejerce sobre el cuerpo. Cuando el cuerpo ya esté en movimiento: R N donde μ es el coeficiente cinético o dinámico de rozamiento. Las experiencias demuestran que μ < μe CUERPOS APOYADOS EN SUPERFICIES Estudiaremos cuatro ejemplos significativos que nos ayudarán a aclarar las ideas: o o o un cuerpo apoyado en un plano inclinado. un método para determinar el coeficiente estático de rozamiento. dos casos de varios cuerpos interactuando. Cuerpo apoyado en un plano inclinado sometido a una fuerza de tracción Sea un cuerpo de masa m, apoyado sobre un plano inclinado un ángulo α, sobre el que actúa una fuerza F que forma un ángulo θ con la horizontal, tal como se representa en la figura (a). Determínese el F θ( valor de la fuerza de tracción que permite que el cuerpo suba por el plano a velocidad constante. α( Figura (a) Lo primero que debemos hacer es elaborar el diagrama del sólido libre del cuerpo objeto de estudio, figura (b), sin olvidarnos de ninguna fuerza. Se destacan en él los siguientes aspectos: Agustín E. González Morales 61 o o o La resistencia al deslizamiento R actúa en el sentido contrario al movimiento del cuerpo. El peso del cuerpo mg , dibujado verticalmente, es la acción de la atracción gravitatoria ejercida por la F N θ( Tierra. La fuerza N, dibujada perpendicularmente a la superficie de contacto, es la reacción que presenta el R plano al hecho de estar el cuerpo apoyado sobre él. α( En estas condiciones hemos conseguido aislar al cuerpo del Figura (b) mg resto del Universo, puesto que las interacciones que ejercen la atracción gravitatoria y el plano han sido sustituidas por las fuerzas que las cuantifican (de ahí que en esta figura aparezca el plano difuminado). Este es el motivo de que se denomine diagrama del sólido libre, ya que el cuerpo, así dibujado, está libre de toda Y influencia exterior. X Fx Fy F N θ( El siguiente paso es emplear la 2ª ley de Newton. Para ello es conveniente descomponer las fuerzas según un sistema de referencia apropiado. El más adecuado suele ser uno cartesiano en el que un eje coincida con la dirección del movimiento previsto. En la figura (c) se han elegido los ejes X e Y indicados, y se ha hecho la descomposición según estos ejes del peso y la fuerza de tracción aplicada. Px Figura (c) R ( Py α α( mg Aplicación de la 2ª ley de Newton: Según el eje X: Fx ma x : Fx Px R ma x Según el eje Y: Fy ma y : Fy N Py ma y Pero de la figura se deduce que: Px mg sen Py mg cos Fx F cos Fy F sen Además, sabemos que: R N pero, para que el cuerpo no se despegue del plano, la aceleración en el eje Y debe ser cero: ay 0 Sustituyendo en las ecuaciones de cada eje: F cos mg sen N ma x F sen N mg cos 0 Con estas ecuaciones y las de la Cinemática que estudiamos en el tema anterior, se resuelve completamente el problema de la Mecánica de este cuerpo. Agustín E. González Morales 62 Para determinar el módulo de la fuerza de tracción, necesaria para que el cuerpo suba por el plano con velocidad constante, basta hacer ax = 0 en la primera ecuación y calcular N en la segunda: F cos mg sen N 0 N mg cos F sen Sustituyendo N y despejando F: F mg cos μ sen θ sen α cos Método para determinar el coeficiente estático de rozamiento Un método para determinar el coeficiente estático de rozamiento entre dos cuerpos dados consiste en fabricar un plano inclinado con el material de uno de ellos y el mismo grado de pulimentado, cuyo ángulo de inclinación podamos variar a voluntad, sobre el que se apoya el otro cuerpo. Se sigue el siguiente proceso: partiendo de una pendiente del plano que permita que el otro cuerpo todavía permanezca en reposo, se va aumentando la inclinación9 poco a poco hasta que se aprecie que el cuerpo comienza a deslizar. Justo en ese momento se mide el ángulo del plano. La tangente trigonométrica de dicho ángulo es el valor del coeficiente estático de rozamiento. En efecto, en la figura se representa el diagrama del sólido libre del cuerpo apoyado, justo en el instante en el que empieza a deslizar. La aplicación de la 2ª ley de Newton en cada uno de los ejes elegidos es: Según el eje X: Y Fx ma x : Px R ma x N Según el eje Y: R Px Fy ma y : N Py ma y De la figura se deduce que: Px mg sen ( X Py α α( mg Py mg cos Además, sabemos que R e N. Por otro lado, para que el cuerpo no se despegue del plano, la aceleración en el eje Y es cero, a y 0; y, justo en el momento de comenzar a deslizar, la aceleración en el eje X también es cero, a x 0. Sustituyendo: mg sen e N 0 N mg cos 0 de donde deducimos que: e tg α 9 Cuando en las señales de tráfico se indica que una carretera tiene una pendiente del 7 %, se nos está informando de que, si recorremos 100 metros sobre ella, ascenderemos 7 metros verticalmente; de ahí que la inclinación o pendiente de un plano inclinado no se mida con la tangente trigonométrica, sino con el seno del ángulo que forma con la horizontal. Agustín E. González Morales 63 Varios cuerpos apoyados En este apartado veremos tres ejemplos significativos: 1. Sea un plano inclinado un ángulo α = 30º sobre el que se apoya un cuerpo de masa m1 = 10 kg que, a su vez, tiene encima otro de masa m2 = 5 kg. El coeficiente dinámico de rozamiento entre m1 y m2 es μ1 = 0.15 y entre el plano y m2 es μ2 = 0.3. Se trata de determinar las aceleraciones de ambos cuerpos y el valor mínimo de μ2 para que m2 no se mueva. En la figura (b) se representan los diagramas de sólido libre de las masas m1 y m2. En ellos cabe destacar: o o o o o La reacción N1 es la que m2 ejerce sobre m1; pero, también N1 es la que m1 provoca en m2 R1 P1x según la 3ª ley de Newton. R1 es la fuerza de rozamiento P1y entre m1 y m2, aplicada en m1; m1 g N1 pero, de nuevo, en virtud de la m1 Y N2 3ª ley, también está aplicada en m2 R2 m2 en sentido contrario. Para P2x X definir esta fuerza supongamos R α ( 1 como hipótesis que m1 se P2y desliza más rápidamente sobre Figura (a) Figura (b) m2 que lo que lo hace m2 sobre m2g el plano inclinado. Si en la resolución del problema se detectase que esta hipótesis no se puede cumplir, tendríamos que rehacer los diagramas del sólido libre de ambos cuerpos, dibujando R1 en sentido contrario. La reacción N2 es la fuerza ejercida por el plano sobre m2. R2 es el rozamiento entre el plano y m2. Los pesos se han descompuesto según unos ejes cartesianos X e Y, comunes para ambos cuerpos. La aplicación de la 2ª ley de Newton en cada uno de los ejes elegidos es: Para m1: Según el eje X: Fx ma x : P1x R1 m1a 1 Según el eje Y: Fy ma y : N1 P1y 0 De la figura se deduce que: P1x m1g sen P1y m1g cos Y sabemos que: R1 1 N1 Con todas estas ecuaciones obtenemos: a1 g(sen α 1 cos ) Agustín E. González Morales 64 Sustituyendo valores: Resp.: a1 = 3.63 m/s2 Para m2: Según el eje X: Fx ma x : P2 x R1 R 2 m 2 a 2 Según el eje Y: Fy ma y : N 2 N1 P2 y 0 De la figura se deduce que: P2 x m 2 g sen P2 y m 2 g cos Y sabemos que: R1 1 N1 R 2 2N2 Con todas estas ecuaciones obtenemos: m m m2 a 2 g sen α 1 1 cos 2 1 cos m m 2 2 Sustituyendo valores: Resp.: a2 = 1.72 m/s2 El mínimo valor del coeficiente de rozamiento necesario para que m2 no se mueva se calcula haciendo a2 = 0: 2e m m 2 sen α 1 1 cos m2 (m1 m 2 ) cos Resp.: 2 e 0.435 2. Dos esferas de radio R y masa m están en equilibrio en la posición indicada en la figura (a). La línea que une sus centros forma un ángulo α = 30º con la horizontal. Calcular las fuerzas ejercidas en los puntos de apoyo A, B, C y D. Y X D C A 30º FA FD FD FC mg ) 60º mg ) 60º FB B Figura (a) Agustín E. González Morales Figura (b) 65 Si suponemos que las esferas son perfectamente lisas, entonces las reacciones en los puntos A, B, C y D son perpendiculares a las superficies de contacto. En ese caso, el diagrama del sólido libre de cada esfera aparece en la figura (b), en el que se observa que FD se aplica en ambas esferas en virtud de la 3ª ley de Newton. La aplicación de la 2ª ley de Newton en cada uno de los ejes elegidos, teniendo en cuenta que las esferas no se mueven, es: Para la esfera de la izquierda: Según el eje X: Fx 0 : FA FD cos 30 0 Según el eje Y: Fy 0 : FB FD sen 30 mg 0 Para la esfera de la derecha: Según el eje X: Fx 0 : FD FC sen 60 0 Según el eje Y: Fy 0 : FD sen 30 FC cos 60 mg 0 Estas cuatro ecuaciones permiten determinar los valores: FA 3 mg 3 FB 7 mg 4 3. La viga uniforme de 5.4 m pesa 540 kp. Está cargada en el plano vertical por tres fuerzas paralelas de 300, 200 y 100 kp (ver figura). Calcular las reacciones en los apoyos A y B. Se aprecia que, gracias a los apoyos A y B, la viga se encuentra en equilibrio. En estas condiciones la resultante de todas las fuerzas verticales que actúan es cero; por tanto, considerando las fuerzas hacia abajo positivas: FC FD mg 300 kp 100 kp A B 200 kp 1.8 m 0.6 m 0.6 m 1.2 m 300 kp RA 100 kp P = 250 kp RB RA – RB + 250 + 300 – 200 + 100 = 0 es decir: 1.2 m 1. 8 m 0. 6 m RA – RB = 450 200 kp 0.3 m 1 .2 m 0. 6 m 1 .2 m (1) Obsérvese que aplicando sólo la ley de Newton no tenemos ecuaciones suficientes para calcular las dos reacciones. Necesitamos, pues, encontrar otra relación que ligue a estas fuerzas. Para ello Agustín E. González Morales 66 recurrimos al momento de todas las fuerzas respecto a un punto cualquiera10. En efecto, si como ocurre en este caso, estamos en presencia de una situación de equilibrio (o de reposo) el momento resultante de todas las fuerzas que actúan, respecto a un punto cualquiera, debe ser nulo. En otras palabras, si el momento de una fuerza respecto a un punto permite determinar el posible giro que dicha fuerza produciría en torno a ese punto, como en este caso la barra no gira, la resultante F3 de todos los momentos debe ser cero. En los temas IV SR F4 y VI estudiaremos con más profundidad los (+) momentos de las fuerzas y las rotaciones que F producen. F1 5 d1 Es práctico elegir como punto respecto al cual se toman momentos aquél en el que se concentren más fuerzas a determinar, bien porque estén aplicadas en d2 F2 él o porque por él pasen sus líneas de acción. Así, por ejemplo, en el sólido de la figura, las líneas de acción de fuerzas F3, F4, F5 y F6 pasan por el punto O, de manera que sus momentos respecto a este punto son todos nulos. Como consecuencia, si el cuerpo está en equilibrio o en reposo, la suma de todos los momentos respecto a O se reduce a: F6 O F2·d2 – F1·d1 = 0 donde hemos supuesto, en el sistema de referencia SR indicado, que las fuerzas que producirían giros a derechas generan momentos positivos (se podría haber establecido el criterio contrario). Volviendo a la barra, si tomamos momentos respecto al extremo de la izquierda de manera que los giros a derechas sean positivos: RA·0.6 – RB·2.4 + 250·2.7 + 350·3.6 – 200·4.2 + 100·5.4 = 0 es decir: 0.6 RA – 2.4 RB = 1455 (2) Hemos encontrado la segunda relación que necesitábamos. Con (1) y (2) determinamos: RA = – 208.3 Kp; RB = – 658.3 kp Los signos negativos no significan que exista un error, sino que las reacciones están representadas en el diagrama de sólido libre en sentido contrario. CUERPOS ENLAZADOS. TENSIÓN Estudiemos el caso en el que varias masas puntuales están enlazadas mediante cuerdas tensas (o cables, o barras, o cadenas, o cualquier elemento que permita que una masa sea arrastrada por otra). En cada una de las masas aparece una fuerza, llamada tensión, debida a la presencia de la cuerda11 que la enlaza con otras masas. La tensión es la fuerza que mediría un dinamómetro intercalado en la cuerda. Para nuestro análisis supondremos que la masa de la cuerda es despreciable, lo que conlleva que el valor de la tensión sea el mismo en todos sus puntos, incluso cuando en su desplazamiento se provoca el giro de poleas, si el F A B F T A T B 10 Ver capítulo I: “Momento de un vector deslizante respecto a un punto. Momento respecto a un eje”. Diremos cuerda en lo sucesivo. Pero, nada impide emplear otro elemento de enlace como un cable, una cadena, etc. 11 Agustín E. González Morales 67 rozamiento es despreciable. Una regla para dibujar la tensión en su sentido correcto consiste en representar la cuerda cortada, pintando flechas que tiendan a volver a unir los dos trozos, como se aprecia en la figura. En ausencia de rozamientos, la tensión T es igual a la componente horizontal de la fuerza aplicada en el cuerpo B. Si no se despreciase la masa de la cuerda, ésta se curvaría por su propio peso y las tensiones tendrían componentes verticales que T2 T1 no serían iguales a lo largo de la cuerda. En la práctica, una ligera T1 = T2 si existe equilibrio o la masa de la cuerda es despreciable. curvatura indica que podemos despreciar su masa. En efecto, en el diagrama del sólido libre de la cuerda las tensiones T1 y T2 deben satisfacer la 2ª ley de Newton: T1 T 2 m c a donde mc es la masa de la cuerda. Se producirá la igualdad T1 = T2 si el valor de mc es despreciable. A continuación se resuelven cuatro ejercicios que permiten afianzar los conceptos explicados. 1. Un cuerpo está suspendido de un dinamómetro sujeto al techo de un ascensor, como se representa en la figura (a). Cuando el ascensor sube a 1.2 m/s2 el dinamómetro indica 22.5 kp. a) ¿Cuál es el verdadero peso del cuerpo? b) ¿En qué circunstancias el dinamómetro indicará 17.5 kp? c) ¿Qué marcará si se rompe el cable del ascensor? a) Hay que tener en cuenta que el dinamómetro mide, en todo momento, la tensión del cable del que está suspendido el cuerpo. Con esta premisa, en la figura (b) se presenta el diagrama del sólido libre de la masa m. La 2ª ley de Newton establece que: T a T – mg = ma mg Figura (a) Despejando m: Figura (b) m T ga El verdadero peso del cuerpo es P = mg: P mg T ma T P 22.5 T g aT ga ga 9.8 20.045 kp 9.8 1.2 Resp.: 20.045 kp b) Como la masa del cuerpo es 20.045 kg, cuando el dinamómetro mida 17.5 kp = 17.5·9.8 N, la aceleración debe ser: a T mg 17.5·9,8 20.045·9.8 1.244 m/s2 m 20.045 Agustín E. González Morales 68 Resp.: – 1.244 m/s2 El signo menos indica que el ascensor debe descender. c) Si se rompe el cable, la masa m se mueve con la aceleración de la gravedad; es decir, a = g: T – mg = – mg Resp.: T = 0 2. Dos masas puntuales deslizan por planos inclinados, perfectamente pulidos, como se indica en la figura (a). La cuerda y la polea son ideales (de masa despreciable) y no existe rozamiento con la polea. Determínese la aceleración y la tensión de la cuerda. m1 8 kg X m 2 10 kg (+ ) X T (+ ) T P2x P1x 50º ( ) 40º m2g m1g Figura (a) Figura (b) En la figura (b) se representa la parte que interesa de los diagramas del sólido libre de las masas m1 y m2. No se han dibujado las normales a cada plano ni los rozamientos (en el enunciado se dice que los planos están “perfectamente pulidos”, lo que indica que los rozamientos son despreciables). También se han representado las componentes P1x y P2x del peso de los cuerpos. Y, por último, se han elegido dos ejes X, uno para cada masa, con el sentido positivo indicado. Supongamos que m2 arrastra a m1 y que ambas masas se desplazan por sus planos respectivos con la misma aceleración a. Apliquemos la 2ª ley de Newton a cada masa, según su eje X: Para m1: Fx m1a : T P1x m1a con P1x m1 g sen α ΣFx m 2 a : P2 x T m 2 a con P2 x m 2 g sen β Para m2: Despejando: a g m 2 sen β m1 sen α m1 m 2 T m1 (a g sen α) Resp.: a = 1.37 m/s2 T= 61.37 N Aplicando los datos: El resultado positivo obtenido para la aceleración asevera que la suposición de que m2 arrastra a m1 es correcta. Si hubiese sido al revés; es decir, si m1 arrastrase a m2, el valor de la aceleración hubiese sido negativo. Agustín E. González Morales 69 3. En el sistema de la figura (a) no hay rozamientos y tanto las poleas como los hilos son ideales (sin masa). Hallar la aceleración de m1. X(+) m0 m0 T0 a0 T0 T X(+) T T T aa1 1 m1 m2 a2 m1g m2g Figura (a) Figura (b) En la figura (b) se representa la parte que interesa de los diagramas del sólido libre de las masas m0, m1, m2 y la polea inferior (la superior se limita a cambiar la orientación de la cuerda). Además, se han elegido dos ejes X, uno para la masa m0 y otro para la polea inferior y las masas m1 y m2, con el sentido positivo indicado. Aplicando la 2ª ley de Newton: Para m0: T0 m 0 a 0 Para la polea: 2T T0 m p a 0 , pero la masa de la polea, mp, es cero: (1) 2T T0 0 (2) Para m1: m1g T m1 (a1 ) (3) Para m2: m 2g T m 2a 2 (4) Todas las aceleraciones empleadas son absolutas, como exige la 2ª ley de Newton. Si llamamos ar a la aceleración relativa de las masas m1 y m2 respecto a la polea (la que vería un observador situado en la polea: la misma para las dos masas), podemos decir que: a1 a r a 0 (5) a2 ar a0 (6) Al sustituir (1), (2) y (5) en (3); (1), (2) y (6) en (4), obtenemos un sistema de dos ecuaciones cuyas incógnitas son a0 y ar que, una vez calculadas, se emplean en (5) para obtener a1: Resp.: a1 g 4m1m 2 m 0 (m1 m 2 ) 4m1m 2 m 0 (m1 m 2 ) 4. Un hilo vertical inmóvil, de masa m, homogéneo, de longitud L, está suspendido del techo como se aprecia en la figura (a). Calcular la tensión del hilo a una distancia x del punto de suspensión. ¿ x g dm T(x) dx T(x + dx) Figura (a) En la figura (b) se representa el diagrama del sólido libre de un elemento infinitesimal del hilo de longitud dx y masa dm, situado a una distancia x del punto de suspensión. En este caso no podemos afirmar que la tensión sea la misma en todos los puntos, puesto que es el propio peso del hilo la causa de dicha tensión. Figura (b) Agustín E. González Morales 70 Aplicamos la segunda ley de Newton al elemento diferencial con a = 0 (pues está en equilibrio), considerando que las fuerzas que apuntan hacia abajo son positivas: T (x dx) T (x ) g dm 0 Pero, al tratarse de un hilo homogéneo la relación λ entre la masa m de todo el hilo y su longitud L (es decir, la densidad lineal), es la misma que la que existe entre dm y dx: m dm m , por tanto dm dx L dx L de donde T (x dx ) T ( x ) mg dx 0 L como T(x + dx) – T(x) es dT: dT mg dx L Al integrar la expresión anterior debemos tener en cuenta que para x = L la tensión del hilo es cero: T(x) x dT 0 L mg dx L Por tanto x Resp.: T mg1 L FUERZA CENTRÍPETA EN EL MOVIMIENTO CURVILÍNEO Cuando estudiamos la Cinemática dijimos que si una masa puntual m describe un movimiento curvilíneo, está sometida al menos a una aceleración, dirigida hacia el centro de curvatura, la aceleración normal o centrípeta, cuyo módulo es: ac v2 2 R R donde v es la velocidad lineal, R es el radio de curvatura12 y ω la velocidad angular. Si el módulo de la velocidad lineal es constante no existe aceleración tangencial y, por tanto, de acuerdo con la 2ª ley de Newton, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre m debe tener la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta. Fc ma c m v2 R Esta resultante es la fuerza centrípeta, responsable de que el vector velocidad lineal cambie de dirección. 12 El radio de la circunferencia osculatriz. Agustín E. González Morales 71 Pero, si el módulo de la velocidad lineal no es constante, el móvil tiene, además, aceleración tangencial y ha de existir otra fuerza, en la dirección y sentido de esta aceleración, encargada de generar estos cambios en el módulo. Un error muy frecuente es añadir en el diagrama del sólido libre la fuerza centrípeta como si fuese “otra” fuerza distinta de las ya existentes. Nada más lejos de la realidad, pues –insistimos– la fuerza centrípeta es precisamente la resultante de todas aquellas fuerzas que provocan el cambio de dirección en la velocidad del móvil; en otras palabras, que gire. Veremos, a continuación, cuatro ejemplos donde se manifiesta esta fuerza de manera palpable. 1. Un vehículo de masa m se dispone a tomar una curva de radio r, peraltada un ángulo α. El coeficiente de rozamiento entre la carretera y las ruedas del coche es μ. Calcúlese a) la máxima velocidad v con la que puede tomar la curva sin derrapar, b) ídem, sin peralte, pero con rozamiento, c) con peralte, pero sin rozamiento, y d) sin peralte y sin rozamiento. G R' Figura (a) α( v r O’ 1 G R A 2 r Ny )α N Ry Rx Nx mg Y α( R R O O Figura (b) X r O’ O Figura (c) En la figura (a) se presenta una perspectiva de la situación, en la figura (b), se dibuja a vista de pájaro, y en la (c), de frente. Obsérvese que en la figura (b) aparecen dos fuerzas cuyos módulos son R y R’. Se trata de las dos resistencias al desplazamiento del vehículo provocadas por la carretera. El rozamiento R’ es el que se opone a que avance de frente. Como suponemos que el vehículo va a la velocidad v que tratamos de determinar, será la fuerza de empuje del motor (no representada en la figura) la que tendrá que vencer a R’ para conseguir dicha velocidad; pero, v es independiente del ángulo del peralte, pues se puede alcanzar dicha velocidad esté o no la carretera peraltada. Por lo tanto, no es R’ sino R el rozamiento que debemos considerar. En la figura (b), el sentido de R es hacia dentro de la curva. Analicemos por qué. Un error muy corriente es razonar de la siguiente manera: «si v fuese cero, el coche descendería por la pendiente del peralte empujado por su propio peso, de ahí que la fuerza de rozamiento R (que siempre se opone al movimiento) deba estar dirigida hacia el exterior de la curva». No, en absoluto, ese argumento sería válido si v fuese realmente cero, pero estamos diciendo que el coche no está parado; en este caso, si no existiese R, no habría ninguna fuerza en la dirección perpendicular a v y, como consecuencia, el coche, situado en la posición 1, seguiría en línea recta, dirigiéndose hacia el punto A; pero, es precisamente la fuerza R la que se opone a ese movimiento, obligándole a tomar la curva y a llegar hasta la posición 2. Agustín E. González Morales 72 Pasemos a resolver los apartados a), b), c) y d): a) En la figura (c) se representa el diagrama del sólido libre en el que se han descompuesto la reacción del plano N y R según los ejes XY elegidos. Para aplicar la 2ª ley de Newton tenemos que tener en cuenta que sólo existe la aceleración centrípeta, relacionada con la velocidad v y el radio r, dirigida hacia O’ en el eje X, mientras que el eje Y hay equilibrio. Como el máximo valor del rozamiento es R N : v2 r Fx ma x : R x N x ma c N cos N sen α m Fy 0 : N y R y mg 0 N cos N sen α mg 0 (1) (2) De (1) y (2) deducimos que: v rg tg α 1 μ tg α 1 , el valor de v se hace infinito, por lo que podríamos tomar la tg α curva a cualquier velocidad, sin que exista peligro de derrapar. Obsérvese que si b) Si no hubiese peralte, pero sí rozamiento, como α = 0, basta hacer tg α = 0 en la expresión anterior, y la máxima velocidad a la que el coche puede tomar la curva es: v rg c) Si hubiese peralte, pero no rozamiento, hacemos μ = 0. El valor de v es: v rg tg α d) Si no hubiese peralte (tg α = 0) ni rozamiento (μ = 0), la máxima velocidad sería v=0 es decir, el vehículo no podría girar en la curva, pues, al no haber rozamiento, no existe interacción entre las ruedas y la carretera. Agustín E. González Morales 73 2. Una partícula de masa m está suspendida de una cuerda ideal (inextensible y sin masa), de longitud L, que se mueve con velocidad constante v sobre una circunferencia horizontal de radio r. Determínense la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la vertical. Tx T sen ) Este dispositivo se denomina péndulo cónico. En el diagrama del sólido libre, aplicado a la masa m, la tensión T de la cuerda se descompone según los ejes X e Y elegidos: Ty T cos θ La aceleración centrípeta está provocada por la única fuerza que está dirigida hacia el centro de curvatura en el eje X; es decir, Tx: Tx m L θ v2 r T sen m v2 r r Y (1) X Ty mg 0 T cos mg 0 ) En el eje Y tiene que haber equilibrio para que la masa mantenga el plano de giro: T θ (2) r Ty Tx mg Con (1) y (2) obtenemos: Resp.: T m v4 g2 r2 tg θ v2 rg 3. Una masa puntual, atada a una cuerda inextensible y sin peso, de longitud L, se mueve sobre una circunferencia vertical movida por su propio peso, tal como se representa en la figura. Calcúlense la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda cuando forme un ángulo con la vertical, si en ese instante su velocidad es v. En este caso la velocidad no es constante, por tanto habrá aceleración tangencial y centrípeta. Por ello, conviene emplear el SR representado en la figura, pues, de esta manera, en el eje X se manifiesta sólo la aceleración tangencial, provocada por la componente Px del peso; mientras que en el eje Y sólo existe la centrípeta, generada por las fuerzas Py y T. ) θ Aplicando la 2ª ley de Newton: L En el eje X: Px ma t Resp.: a t g sen θ En el eje Y: X Px mg ) T Py ma c Y T mg sen θ ma t Py θ v2 T mg cos m L v 2 Resp.: T m g cos L Agustín E. González Morales 74 4. La masa m de cada una de las dos esferas del regulador centrífugo de la figura (a) es de 2.5 kg. La altura H es 25 cm cuando el sistema gira con una velocidad ω de 200 rpm. Los cuatro cables flexibles son ideales. Determínense a) la masa M y b) el aumento de velocidad ω que provocará que M se levante una altura h de 3 cm sobre la posición anterior. a) H ω + ω ) T2 ω ω=0 m α H T2 m T2 y α T2 x h R T1x M Figura (a) Figura (a) Y T1yα En la figura (a) se presentan tres posiciones del regulador: en la de la izquierda, está parado; en la central, está girando a ω rpm; y en la derecha, ha aumentado su velocidad ω. T1 T1 mg En la figura (b) se dibujan los diagramas del sólido libre de M y una de las masas m (no es necesario representar los de las dos, porque son similares), teniendo en cuenta que las tensiones T1 y T2 son distintas. También se representa el SR elegido, XY. T1x T1y T1 X T1x Mg Figura (b) Aplicando la 2ª ley del Newton a la masa m: En el eje X, donde se manifiesta la aceleración centrípeta, resulta: Fx ma c ; T2 sen α T1 sen α m 2 R Pero, R = H tag α, por lo tanto: T2 T1 m 2 H cos (1) En el eje Y, donde existe equilibrio: Fy 0; T2 cos T1 cos mg 0 o sea T2 T1 mg cos (2) En la masa M, existe equilibrio en el eje Y: Fy 0;2T1 cos Mg 0 o sea M 2T1 cos g Agustín E. González Morales (3) 75 De las ecuaciones (1), (2) y (3) se deduce que: 2 H M m 1 g (4) Introduciendo los datos, obtenemos: Resp.: M = 25.475 kg b) Para calcular la revoluciones a las que debe girar el dispositivo para que M se eleve una altura h, debemos tener presente que, dada la simetría del aparato, las masas m suben una altura hd, cuyo valor es exactamente la mitad que h. Basta aplicar (4) sustituyendo ω por ωd y H por Hd: 2 H M m d d 1 g con Hd H h 2 operando, resulta: 2H d 1 2H h y con los datos: Resp: ω = 6.284 rpm FUERZAS FICTICIAS: FUERZAS DE INERCIA Y CENTRÍFUGA T φ ) A Tx Ty A mg B Figura (a) B Figura (b) Estudiemos la siguiente experiencia: En la figura (a), se representa una plataforma parada, solidaria a un eje vertical. Sobre ella se encuentra un observador A. Una masa m cuelga de una cuerda ideal, atada a un gancho clavado en el eje. El conjunto se encuentra dentro de una urna cilíndrica, opaca para el observador A, pero transparente para otro B, inmóvil, situado en el exterior. Agustín E. González Morales 76 La plataforma se pone a girar muy lentamente, arrastrando al observador A y provocando que la masa m se vaya separando del eje conforme aumenta su velocidad angular, hasta que alcanza el valor en el que se mantiene. En la figura (b), la plataforma ya está girando a velocidad constante, y la masa m se sitúa en la posición dibujada. Analicemos lo que aprecian A y B. Si la aceleración de la plataforma es lo suficientemente pequeña, el observador A “no siente” que está girando, pues la urna le impide ver lo que hay fuera de ella. Algo parecido a lo que nos sucede a todos nosotros en un día de niebla espesa: no percibimos que la Tierra está girando porque lo hacemos con ella y la niebla nos impide ver el Sol, cuya posición cambiante delataría el movimiento de nuestro planeta. En definitiva, A “no sabe” que está girando, pero “ve” que la masa m se va levantando poco a poco, hasta alcanzar la posición de la figura (b) en la que permanece “estática”. Sin embargo, el observador B aprecia que tanto A como m giran con la plataforma, y que m se separa del eje hasta situarse en la posición de la figura (b), en la que deja de ascender, pero sigue girando. Pues bien, A es un observador no inercial, mientras que B es un observador inercial13. Pero, A puede pensar de sí mismo que es inercial, porque «no siente» que está girando, entonces, se pregunta, sorprendido, ¿por qué la masa se mueve si no hay nada ni nadie que provoque ese movimiento?, ¿por qué, llegado un momento, m deja de moverse, pero permanece separada del eje, como levitando? Es más, si colocamos al observador A en la plataforma con los ojos vendados, y le decimos que se quite la venda cuando m ya está en la posición de la figura (b), entonces A piensa –si persiste en creerse inercial– que, al estar m en reposo (sin aceleración, según él), la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la masa es cero, y que, por tanto, tiene que haber una fuerza F que compense la componente horizontal de la tensión de la cuerda Tx T sen , dirigida en sentido contrario. Tx mg T Ty φ ) φ ) T F Ty Tx mg A B Figura (d) Figura (c) Pero, ¿cuál?, si no hay nada ni nadie que interactúe con m. Entonces A, conocedor de la 1ª ley de Newton, afirma que la fuerza F tiene que existir, figura (c), aunque no sepa quién o qué la ejerce, porque, de lo contrario, no se cumpliría esa ley: F 0 : F T sen 0 es decir: 13 Ya sabemos que no existen en el Universo observadores inerciales, pero la aproximación es válida. Agustín E. González Morales 77 F T sen (1) y la denomina «fuerza de inercia», en sintonía con la 1ª ley de Newton o ley de inercia. También decide llamarla «fuerza centrífuga», porque se dirige hacia el exterior de la plataforma. Por el contrario, para el observador B, figura (d), el fenómeno es perfectamente explicable a la luz de la 2ª ley de Newton. No necesita «inventar» ninguna fuerza para aplicar esta ley, pues en el eje horizontal la componente horizontal de la tensión del hilo es la responsable de generar la aceleración centrípeta a la que está sometida la masa m: F ma : T sen ma c o sea T sen m 2 r (2) siendo r la distancia horizontal que hay entre m y el eje. Comparando (1) y (2) resulta que la fuerza centrífuga o de inercia que «se inventa» el observador A es, en realidad, el segundo miembro de la 2ª ley de Newton; es decir, el producto de la masa por la aceleración centrípeta del cuerpo. Este punto de vista de A, en el que m está en reposo cuando es constante, que permite resolver los problemas dinámicos a base de crear un estado artificial de equilibrio –incorporando una fuerza ficticia: la centrífuga–, se conoce con el nombre de principio de D’Alembert14. En este texto no se emplea el Principio de D’Alembert, porque se considera que inventar una fuerza que no existe para describir una situación real –que, como tal, sí existe– es mezclar causas con efectos, como si fuesen lo mismo. Se comprende que en tiempos de D’Alembert, cuando los conocimientos de la Estática eran muy superiores a los que se tenían de la Dinámica, los científicos abogasen por llevar los problemas a un terreno donde se sentían más capacitados; pero, hoy, tras más de dos siglos y medio de experiencia, no parece justificable. Por lo tanto, desechemos definitivamente la fuerza centrífuga porque no tiene razón de ser, ¡no existe! Sí, pero, entonces, ¿cómo se explica que los columpios colgados con cadenas de la periferia de un tiovivo no se dirijan hacia el centro, empujados por la fuerza centrípeta, la única que realmente existe? Hay quienes argumentan, erróneamente, que «la fuerza centrípeta se compensa con la fuerza centrífuga». Según esto, si se rompiesen las cadenas de un columpio, éste saldría despedido en línea recta, empujado por la fuerza centrífuga, «en dirección radial», la misma que tiene dicha fuerza. No, no sucede así porque, mientras que las cadenas resisten, es su tensión la que continuamente está obligando al columpio a describir la trayectoria curva; pero, si se rompiesen y desapareciese dicha tensión, el columpio conservaría la velocidad lineal que lleva en ese instante que, como sabemos, es tangente a la curva que describe, y saldría despedido «por la tangente», como realmente ocurre. El mismo fenómeno se manifiesta con un satélite en órbita alrededor de la Tierra, donde la tensión de la cadena es sustituida por la fuerza de atracción gravitatoria. De hecho, si el satélite se quedase sin velocidad lineal, caería sobre la Tierra empujado por la fuerza de la gravedad. 14 Fue enunciado por D’Alembert en 1743 en su «Traité de Dynamique». Al estado artificial de equilibrio lo denominó «equilibrio dinámico». Agustín E. González Morales 78 EJERCICIOS 1. Una cuerda inelástica, sin peso, sujeta dos masas de 2 y 3 kg que cuelgan de sus extremos sobre una polea sin rozamiento. ¿Qué fuerza ejerce la cuerda sobre la polea? (g = 10 m/s2) Resp.: 48 N 2. Un peso de 70 Kg se encuentra sobre una báscula de resorte, en un ascensor, a 30 cm de altura. Demostrar que, para g = 10 m/s2, la relación entre lo que marca la báscula al subir y al bajar con aceleración constante de 2 m/s2 es 3/2. ¿Depende de la masa? ¿Depende de la altura? 3. Tenemos un bloque de m kg, situado a R metros del centro de una plataforma horizontal giratoria, que tiene un coeficiente estático de rozamiento μe. Demostrar que la máxima velocidad angular que puede comunicarse a la plataforma sin que el bloque deslice es μe g R 4. Un aviador se lanza en picado a 98 m/s y termina su descenso describiendo un arco de circunferencia en el plano vertical. Si el peso aparente es ocho veces el real, ¿cuál es el radio de la trayectoria? Resp.: 140 m 5. Un cuerpo de 64 kg se deja caer en paracaídas. Si la fuerza ejercida por el paracaídas es F = 10 v2 (S.I.). Calcular la velocidad límite en km/h con g = 10 m/s2. Resp.: 28.8 6. Demostrar que el valor mínimo de la fuerza horizontal que debe aplicarse sobre el eje de una rueda de radio r y masa m, para que suba un escalón de altura h < r es mg cotg α, siendo α el ángulo formado por la fuerza y el radio en el punto de contacto con el escalón. 7. Colocamos una cuerda flexible de longitud L sobre una mesa de forma que parte de ella cuelga por un extremo. Calcular la máxima longitud de cuerda que puede colgar, sin que se caiga, si el coeficiente estático de rozamiento es μe. e Resp.: x L 1 e 8. Una cisterna descarga agua a 500 litros/segundo sobre un tren aljibe de masa m y volumen V. Calcular la fuerza que ejerce la locomotora, cuando va a velocidad constante de 2 m/s, durante la carga de agua. Resp.: 1000 N 9. Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad inicial de v0. Un viento lateral ejerce una fuerza horizontal igual a la quinta parte del peso del móvil. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento caerá? Resp.: 2 v 02 5 g 10. Sobre un plano inclinado α grados sobre la horizontal se coloca un cuerpo. Calcular la aceleración horizontal que hay que comunicar al plano para que el movimiento del cuerpo sea vertical y en caída libre. Resp.: g cotg α 11. Un bloque de masa M descansa sobre una superficie horizontal. Sobre dicho cuerpo se coloca otro de masa m que necesita una fuerza horizontal F para que deslice sobre M estando éste fijo. Calcular la fuerza horizontal máxima que se puede aplicar sobre M sin que deslice m. Todas las superficies son perfectamente lisas. Mm Resp.: F m Agustín E. González Morales 79 12. Un bloque de masa m está encima de otro de masa M que se apoya en un suelo horizontal liso. El coeficiente de rozamiento entre ambos bloques es . ¿Cuál es la fuerza horizontal mínima aplicada en el bloque de abajo para que el bloque de arriba deslice sobre el inferior? Resp.: mg 13. Un bloque de 2 kg está encima de otro de 5 kg que se apoya en un suelo horizontal liso. Una fuerza horizontal aplicada en el bloque de abajo genera una aceleración de 0.8 m/s2 a la masa de 5 kg. Si la fuerza de rozamiento entre ambos bloques es de 1.2 N, calcular la fuerza aplicada y la aceleración del bloque superior. Resp.: 5.2 N, 0.6 m/s2 14. Se dejan caer, a la vez, desde la misma altura, dos objetos esféricos del mismo tamaño y distinta masa. La resistencia del aire es la misma para los dos. Demostrar que el cuerpo de mayor masa llega antes al suelo. 15. Una ametralladora dispara n proyectiles por segundo a v m/s. La masa del proyectil es m. ¿Cuánto vale la fuerza media ejercida sobre el blanco? Resp: nmv 16. Un bloque de 2 kg está a punto de deslizar por un plano rugoso de 30º. Calcular la fuerza mínima necesaria, paralela al plano, para que empiece a subir por él cuando esté inclinado 45º. 1 1 Kp Resp.: 2 6 2 17. Un hombre se encuentra sobre una balanza de resorte en un ascensor que posee una aceleración ascendente. La balanza marca 960 N. Pero, si coge una masa de 20 kg en sus masas, la balanza indica 1200 N. Con g = 10 m/s2 calcular la aceleración del ascensor. Resp.: 2 m/s2 18. Un camión que circula a 108 km/h transporta un cuerpo frágil sobre el suelo de su caja con coeficiente estático de rozamiento caja-cuerpo 0.3. El conductor quiere detener el camión sin que el cuerpo se deslice. Con g = 10 en el S.I., ¿cuál es la distancia mínima de parada del camión? Resp.: 150 m 19. Un vagón se mueve a 5 m/s2. Un objeto de 2 kg cuelga del techo por una cuerda sin peso, ¿qué ángulo forma la cuerda con la vertical? (g = 10 en el S.I.) Resp: 26.56º 20. Un revolver dispara un proyectil de 15 gramos a 100 m/s sobre una pared homogénea, que le ofrece una resistencia constante a la penetración de 6 N. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse? Resp.: 0.25 s 21. Un coche de 1500 kg desciende una pendiente del 5% sin que funcione el motor. El conjunto de las resistencias que se oponen al movimiento viene dado por la expresión 0.6·v2 en el SI, siendo v la velocidad. Calcular la velocidad límite alcanzada. Resp.: 35 m/s 22. La fuerza de los gases que impulsan a un proyectil de 20 gramos cuando se dispara viene dada por la expresión 800 – 2·104t (S.I.). Tarda en salir por la boca del fusil 0.01 s. Calcular su velocidad al final del ánima. Resp.: 350 m/s 23. Una barra homogénea de longitud L se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento debido a una fuerza F que tira de ella en la dirección de la superficie. Calcular el valor de la fuerza que una parte de la barra de longitud x ejerce sobre la otra. x Resp.: F L Agustín E. González Morales 80 24. Un avión se desplaza a 200 m/s en un M.R.U. En un determinado instante dispara un misil de 100 kg de peso con la ley de empuje T de la figura. Si la masa del misil se reduce desde sus 100 kg iniciales hasta 50 kg durante la fase en la que existe empuje y la variación temporal de la masa es igual ·T , calcular el valor de la constante . Calcular la a m velocidad del misil a los 8 segundos de vuelo y el espacio recorrido por el misil a los 4 segundos de vuelo. 1 Resp.: = , v(8) = 1300 m/s, s = 2134.606 m 900 T(N) 10000 2 t(s) 7 25. Una mesa horizontal de 80 cm de altura está fija a un vagón de ferrocarril en reposo. Se coloca sobre ella una bola. El vagón, de 4 toneladas, se pone en marcha y la bola cae al piso del mismo a una distancia de 60 cm de la proyección del borde de la mesa, sobre la que la bola ha recorrido 1 metro antes de caer. Despreciando el rozamiento y suponiendo que el arranque del vagón se ha realizado con aceleración constante, determinar la fuerza de tracción aplicada al vagón. Resp.: 3438.7 N 26. Se deja caer una caja sobre una cinta transportadora que se mueve a 3 m/s. Si la caja está inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento es 1/3, ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que deje de deslizar? Resp.: 0.918 s 27. Sobre un plano horizontal con coeficiente de rozamiento se encuentran dos cuerpos A y B, separados L metros, que pueden deslizar. El cuerpo B, de masa la mitad que la de A, tiene un carretel donde se va enrollando una cuerda que tira de A con aceleración constante a. ¿Al cabo de cuánto tiempo los cuerpos chocan? Resp.: t 2L 3a μg 28. Un bloque de 10 kg descansa sobre un plano liso de 30º que puede girar alrededor del eje indicado en la figura. La longitud L es 2 m. ¿Cuál es la tensión de la cuerda cuando la velocidad angular del bloque y el plano es 10 RPM? ¿Qué haría que el cuerpo estuviese justo en contacto con el plano? ¿Cuál es la tensión de la cuerda en estas condiciones? L α 30 ω Resp.: 65. 45 N, 3.13 rad/s, 196 N 29. Se desea subir una caja a lo largo de una pendiente con movimiento uniforme. Para ello se tira de una cuerda que lleva atada. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la pendiente para que la fuerza que hay que realizar sea mínima? = 0.1. Resp.: 5º 42’ 38.14” 30. Sobre el bloque A de masa M que puede deslizar por un plano inclinado grados con la horizontal, se apoya el bloque B de masa m < M que puede deslizar a su vez sobre aquél. Ambos cuerpos están unidos por un hilo ideal. El coeficiente de rozamiento es k en todas las superficies. a) Hallar el valor mínimo de en función de M, m y k para que el sistema inicie el movimiento. b) Si k = 0.2 hallar la relación M/m para que el movimiento comience cuando = 45º. M 3m Resp.: a) α arctg k , b) 2 Mm B A α 31. Colocamos un objeto sobre un plano cuya inclinación vamos aumentando gradualmente. Cuando el ángulo de inclinación es de 25º comienza a moverse y observamos que recorre 80 cm en 1.4 s. Calcular los coeficientes estático y dinámico de rozamiento. Resp.: μe = 0.466, μ = 0.374 Agustín E. González Morales 81 32. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el suelo y una caja de 100 N, si la fuerza mínima necesaria para moverla es de 60 N? Resp.: 0.75 M1 C M M 33. El carro de masa M1 = 1000 kg desliza sobre el carril C ( = 0.05). Del carro cuelgan tres poleas de peso despreciable a través de las que laborea una cuerda ideal. Si M2 = 2000 kg, M = 100 kg, calcular: a) La fuerza que es necesario aplicar al carro para mantener la velocidad constante de 1 m/s; b) el tiempo que tarda M2 en recorrer una longitud vertical de 20 m si parte del reposo. (g = 10 m/s2). Resp.: a) 863.63 N, b) 2.211 s M2 34. En el sistema de la figura m1 = 2 kg, m2 = 1 kg, la constante del resorte es k = 500 N/m y su longitud natural L0 = 20 cm. Determinar la longitud L del resorte cuando el sistema se pone en movimiento. Resp.: a) 863.63 N, b) 2.211 s 35. Entre dos puntos A y B, en el centro, hay un punto móvil inicialmente en reposo. A y B permanecen fijos. El móvil es atraído por A y B con una fuerza proporcional a las distancias respectivas. kA y kB son las constantes de proporcionalidad. Hallar la relación kB/kA suponiendo que el móvil efectúa su inversión del movimiento en B. Resp.: 3 m2 m1 36. Una barra AB homogénea, de longitud 2L y peso P, se apoya en el suelo por su extremo A y también en M sobre un disco de peso P’ y radio R. El coeficiente de rozamiento del disco con el suelo es 1. El de la barra con el suelo 2. El de la barra B con el disco 3. Calcular: a) las reacciones en A, C y M, y b) las condiciones que deben cumplir 1, 2, 3 para M que exista equilibrio. 37. Los goznes A y B de una puerta, de 1.5 m de anchura y 40 kp de peso, distan entre sí 3 metros. El peso es soportado en sus 2/3 partes por el gozne superior. Calcular las fuerzas que ejercen los goznes sobre la puerta. 10 50 Resp.: El superior 73 kp, el inferior kp B 3 3 A C 38. Una escalera de peso P1 y longitud 2L se apoya en A sobre el suelo y en B sobre una pared vertical. Un hombre de peso P2 sube por la escalera hasta una posición H tal que AH = a. Los coeficientes de rozamiento con el suelo y con la pared son 1 y 2. Hallar: a) el valor máximo del ángulo que forma la pared con la escalera sin que resbale; b) dicho ángulo si el hombre sube hasta el extremo B. Resp.: a) arctg H A 2Lμ1 (P1 P2 ) 2μ1 (P1 P2 ) , b) arctg (LP1 aP2 )(1 μ1μ 2 ) 2Lμ1μ 2 (P1 P2 ) 2P2 (1 μ1μ 2 )P1 39. Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte espiral (k = 1 Kp/cm) de masa despreciable cuya longitud natural es 48 cm. Hacemos girar al conjunto como un péndulo cónico a 60 rpm. Calcular: a) El alargamiento del resorte; b) el ángulo que forma la altura del cono con la generatriz. Resp.: a) 2 cm aprox., b) 60º aprox. 40. Una caja prismática de 20 cm de anchura, a la que le falta la base inferior, contiene dos cilindros iguales de 6 cm de radio y 0.5 kg, que se apoyan entre sí y contra las paredes de la caja. La Agustín E. González Morales 82 longitud de la caja es la misma que la de los cilindros. Calcular el peso mínimo de la caja para que no sea volteada por el peso de los cilindros. Resp.: ⅔ kg M B A 41. En un aro circular hay una anilla A que puede resbalar sobre él sin rozamiento y de la que pende un peso P. La anilla está unida a un hilo ideal que pasa por un eje normal al aro en B, de cuyo extremo cuelga otro peso Q. El ángulo AOM es 60º y el MOB es 30º cuando el sistema está en equilibrio. Calcular, en estas condiciones, la razón P/Q. O P Q Resp.: 2 3 A O α 42. Un hilo, de masa despreciable, sujeto en O, tiene una anilla C que puede resbalar a lo largo de la varilla AB que forma con la horizontal un ángulo = 60º. Del extremo del hilo cuelga un peso P. La distancia OA es 1 metro. Calcular AC de manera que la anilla esté en equilibrio. Resp.: 1 m C B 43. Al extremo de una cuerda flexible, homogénea, de sección constante y densidad lineal ρ, que se encuentra totalmente apilada en el suelo, le aplicamos una fuerza variable capaz de elevarla con velocidad constante v. Calcular dicha fuerza en función de la altura L del extremo sobre el suelo. Resp.: F = ρ (Lg + v2) 44. Determinar la tensión T del cable que se indica en la combinación de poleas que soporta el peso P. P Resp.: T 7 T P 45. Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de masa m. La resistencia del aire es constante, de valor R. Demostrar que, si tb es el tiempo que está bajando y ts el que está subiendo, se cumple la relación tb ts mg R mg R de la que se deduce que el tiempo de bajada es “mayor” que el de subida. 46. Un automóvil de 1425 kg parte del reposo sobre una pista horizontal. Suponiendo que la resistencia al avance es de 15 kp, calcular: a) la aceleración necesaria para alcanzar 120 km/h en 800 m. En el instante en el que se alcanza esa velocidad se desconecta el motor de la transmisión, b) determinar la distancia recorrida antes de pararse, y c) el tiempo que tarda en hacerlo. Resp.: a) 0.694 m/s2, b) 5393.74 m, c) 323.6 s 47. Un punto móvil de masa m es atraído por otro fijo de masa M con un fuerza proporcional a m y M e inversamente proporcional al cubo de la distancia que los separa, con una constante de atracción de valor k. Determinar el tiempo que invierte m en llegar hasta M si, partiendo del reposo, L es la separación inicial. Resp.: t L2 kM Agustín E. González Morales 83 TEMA IV DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Introducción a los sistemas de partículas Sistema de partículas. Sistemas discretos y continuos Fuerzas internas y externas Conservación de la cantidad de movimiento en sistemas aislados Interacción entre sistemas Centro de masas. Centro de gravedad Propiedades del centro de masas Centro de gravedad Sistema de referencia situado en el cdm Momento angular de una partícula Teorema del momento angular de una partícula Conservación del momento angular de una partícula Fuerzas centrales Teorema de las áreas Impulso angular Momento angular de un sistema de partículas Conservación del momento angular de un sistema de partículas Momento angular respecto al cdm Ejercicios Agustín E. González Morales 84 TEMA IV INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS Hasta aquí, tanto en la Cinemática como en la Cinética, hemos estudiado móviles puntuales, con masa, pero sin tamaño. Sin embargo, una ballena, ¿es una masa puntual? La respuesta es: depende. En efecto, una ballena se aproxima a un punto material en el medio del océano, pero difícilmente se verá como tal en un acuario. Compárense las cajas de las figuras (a) y (b), llenas de bolas indeformables, macizas y homogéneas. ¿En cuál podemos considerar que las bolas son puntos materiales? Seguro que todos nosotros nos decantamos por la (a), sin dudarlo. Pues bien, en aquellos casos en los que un sistema indeformable no pueda ser considerado como una masa puntual, cabe estudiarlo como si fuese un sistema de partículas, a cada una de las cuales se le aplican los cálculos que hemos realizado con un punto material. Algo parecido a lo que se representa en la figura (c), donde las tres bolas de la figura (b) se han sustituido por un conjunto de bolas que sí podríamos suponer puntuales. Figura (a) Figura (b) Figura (c) Pero, analicemos el movimiento de las bolas de las figuras (d) y (e). La bola grande (d) –en adelante identificaremos las bolas grandes como (d) y (e), simplemente– sigue siendo, indeformable, maciza y homogénea, aunque en su b2 centro se ha marcado un b1 punto P y, también, se ha Q elegido otro punto Q P cualquiera; mientras que en (e), la bola central b1 ocupa el lugar análogo al H H de P, y la bola b2 está Figura (d) Figura (e) Figura (f) situada en un puesto similar al de Q. Cuando (d) rueda sobre la superficie H, P sólo se desplaza, sin girar, puesto que se trata de un punto y, como tal, no tiene dimensiones (ni superficie ni volumen). Al girar (e), b1 y b2 se comportan muy aproximadamente como P y Q Q respectivamente; de manera que P y b1 se Q trasladan siguiendo una trayectoria Q P paralela a la superficie H, representada en la figura (f); mientras que b2 y Q se mueven P H a lo largo de una curva15, trazada también en la figura (f). H Figura (g) Figura (g) Ahora bien, el comportamiento de b1 y b2, y sus homólogos P y Q, se puede explicar, también, aplicando el principio de superposición de efectos, porque si en la figura (g) se traslada (d) “sin girar”, “resbalando” sobre la superficie H, de manera que el segmento PQ se mantenga paralelo a sí mismo y, una vez que llegue a la posición de la derecha, se gira hasta que Q se 15 Si (d) y (e) ruedan sin deslizar (sin resbalar) por una línea recta, la curva descrita por Q y b2 es una cicloide. Agustín E. González Morales 85 coloque en la posición definitiva, habremos conseguido el mismo efecto que si, como antes, (d) rodase sin deslizar sobre H. Pero, todavía podemos ir más lejos. Basta que a P le asociamos toda la masa de la bola (d) y, simplemente, conociendo la posición relativa de Q respecto a P, traslademos P y después tengamos en cuenta el giro de Q en torno a P, figura (h). Q Análogamente con (e), b1 y b2. Q Aunque se han empleado las bolas (d) y (e), obsérvese que nada impide ampliar el razonamiento a cualquier forma geométrica. P P H H En definitiva, con estos argumentos podemos afirmar que, cuando un sistema se traslada (sin girar), se comporta como una masa puntual, del mismo valor que la masa total del sistema, situada en P (un lugar llamado centro de masas). Una vez efectuada esta traslación, basta que el sistema gire en torno a P, hasta conseguir que cada una de sus partículas se sitúe en la posición deseada. Figura (h) SISTEMA DE PARTÍCULAS. SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS Según los ejemplos anteriores podemos definir un sistema de partículas como un conjunto de partículas que ocupa un espacio perfectamente delimitado. Puesto que cualquier materia está constituida por infinidad de partículas, al seleccionar una porción de materia, estamos eligiendo un sistema de partículas; por ejemplo, un fluido (líquido o gas) contenido en un recipiente, un trozo de madera, etc. Pero, tenemos que distinguir entre sistemas discretos y continuos. Un sistema es discreto si es posible conocer el número de partículas que tiene, sin que debamos llegar al infinito para ello; por ejemplo, una bolsa llena de canicas es un sistema discreto, porque podemos saber cuántas bolitas hay en la bolsa si consideramos que cada una es una partícula. Por el contrario, un sistema continuo está formado por infinitas partículas; por ejemplo, un recipiente con agua es un sistema continuo, pero si establecemos el volumen de una gota en tres milímetros cúbicos, entonces el sistema podría convertirse en discreto, pues sabríamos cuántas gotas tiene. En vez de seguir poniendo ejemplos para distinguir entre sistemas discretos y continuos, lo que debemos hacer es establecer un criterio físico-matemático que no deje lugar a dudas. Para ello, recurrimos a la masa total del sistema, M: o El valor de M en un sistema discreto formado por n partículas es: n M m1 m 2 ... m i ... m n m i i 1 o dm , donde dm es un elemento dV diferencial de masa y dV el volumen infinitesimal que ocupa– el valor de M es: Mientras que en un sistema continuo –de densidad V2 M dm dV V1 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS Las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden clasificar en internas o externas a dicho sistema. Las fuerzas internas son las que ejercen las partículas entre sí, y las fuerzas externas son las ejercidas por agentes exteriores al sistema. Agustín E. González Morales 86 Esta clasificación exige que el sistema esté perfectamente delimitado; por ejemplo, si se estudia el formado por la Tierra y la Luna, la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Luna sobre la Tierra es interna, pero si se considera la Tierra como sistema (sin la Luna), la misma fuerza de atracción lunar es externa. Consideremos un sistema discreto formado por tres masas puntuales m1, m2 y m3, unidas entre sí por resortes elásticos, que está cayendo atraído por la Tierra. Sobre m1 actúa una fuerza externa al sistema: el peso m1g, y dos fuerzas internas, debidas a la interacción con las otras masas: F12 y F13 . Aplicando a la partícula m1 la 2ª ley de dp Newton F 1 : dt m1 F12 m2 m1g F13 F31 F21 F23 m 2g F32 m3 m3g dp m1g F12 F13 1 dt Análogamente para m2 y m3: dp m 2 g F21 F23 2 dt dp 3 m 3g F31 F32 dt Además, las fuerzas internas cumplen el principio de acción y reacción establecido en la 3ª ley de Newton: F12 F21 1 F12 F21 F13 F23 g dm F31 3 F32 g dm 2 g dm F13 F31 F23 F32 Si en vez de tratarse de un sistema discreto, fuese uno continuo, como, por ejemplo, una gran piedra que cae atraída por la Tierra, cada una de las infinitas partículas del sistema puede equipararse a un elemento diferencial de masa, dm, sobre el que actúa tanto una fuerza externa, la gravitatoria g dm, como un conjunto de fuerzas internas provocadas por la interacción con los demás elementos infinitesimales de masa. En la figura se han representado sólo tres partículas, señaladas con los números 1, 2 y 3. Generalicemos los resultados de los dos ejemplos que acabamos de estudiar. o De acuerdo con la 3ª ley de Newton, en un sistema discreto o continuo de partículas, la partícula i ejerce sobre la partícula j una fuerza Fij , y la partícula j ejerce sobre la i otra fuerza Fji tal que: Fij Fji o Si Fi es la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre la partícula i de un sistema discreto de n partículas, la 2º ley de Newton establece: Agustín E. González Morales 87 n dp Fi Fij i j i dt n donde Fij es la suma de todas las fuerzas internas que actúan sobre la partícula i. j i o En el caso de un sistema continuo, basta pasar al límite la expresión anterior: n dp Fi lim Fij i n j i dt CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS AISLADOS Supongamos que un sistema de n partículas (discreto si n es contable, o continuo si n ∞), cuyas masas se mantienen constantes, está completamente aislado del resto del Universo, por lo que no actúan fuerzas externas sobre él; pero, las partículas interaccionan, de manera que cada una de ellas –de masa mi, dotada con una velocidad v ia – actúa sobre las demás, y viceversa. Después de la interacción sabemos que tienen que modificar sus respectivas cantidades de movimiento; pero, como sus masas no varían en el proceso, han de ser sus velocidades las que cambien y pasen a ser v id . Supongamos que la cantidad de movimiento total del sistema no varía. Parece lógico pensar así, pues nada externo al sistema puede influir sobre él, ya que, como hemos dicho, está aislado del resto del Universo. Veamos si, a la luz de las leyes de Newton, podemos demostrar esta hipótesis. La cantidad de movimiento del sistema, antes de la interacción, es: pa m1v1a m 2 v 2a .... m n v na y después de la interacción: p d m1v1d m 2 v 2d ... m n v nd si pa p d entonces m1v1a m 2 v 2 a ... m n v na m1v1d m 2 v 2 d ... m n v nd Para simplificar el razonamiento –pero sin restarle generalidad– supongamos que son sólo dos partículas las que interaccionan: m1 v1a m 2 v 2 a m1v1d m 2 v 2 d (1) Como las variaciones de las cantidades de movimiento de cada partícula son: p1 m1v1d m1v1a y p 2 m 2 v 2d m 2 v 2a la expresión (1) se convierte Agustín E. González Morales 88 m1v1d m1v1a (m 2 v 2d m 2 v 2a ) entonces p1 p 2 Dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo transcurrido en la interacción, pasando al límite cuando dicho intervalo tiende a cero, y, por último, aplicando la 2ª ley de Newton: p1 p 2 lim t 0 t t 0 t lim obtenemos F12 F21 donde F12 es la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la 1, y F21 la ejercida por la 1 sobre la 2, que, como se aprecia, son iguales y de sentido contrario, tal como establece la 3ª ley de Newton. Al mismo resultado hubiésemos llegado para cualquier pareja de partículas como la i y la j: Fij Fji Concluimos que la hipótesis de partida es cierta porque satisface las leyes de Newton. Por lo tanto, podemos afirmar que, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total de un sistema permanece constante: m1v1a m 2 v 2 a ... m n v na m1v1d m 2 v 2 d ... m n v nd Es decir, las fuerzas internas no modifican la cantidad de movimiento total del sistema. En otras palabras, si varía la cantidad de movimiento de una parte de un sistema aislado, dicha variación se verá compensada por la de otra parte del sistema, de manera que no se altere la cantidad de movimiento total. La expresión anterior se conoce como principio de conservación de la cantidad de movimiento, uno de los pilares fundamentales de la Física, pues en la actualidad no se conocen excepciones que lo incumplan. Tanto es así, que si un investigador observa en una experiencia una violación de este principio, lejos de ponerlo en entredicho, se afana en encontrar alguna partícula imprevista (normalmente no observada con los medios que en ese momento tiene) que sea la responsable de la aparente falta de conservación. De esta manera se han descubierto los neutrones y la mayoría de las partículas subatómicas. Además, p1 p 2 , generalizada para dos partículas cualesquiera pi p j permite afirmar que la interacción entre partículas no es más que un simple intercambio de cantidad de movimiento entre ellas. Ejemplos: 1. 2. No podemos levantarnos del suelo tirando, nosotros mismos, hacia arriba de una cuerda amarrada a nuestros pies. Un velero no puede avanzar con un ventilador a bordo que esté inflando las velas. Agustín E. González Morales 89 3. El vehículo de la figura no se puede mover a expensas, únicamente, de la fuerza de repulsión entre los imanes. Otra forma de llegar a la misma conclusión es la siguiente: sea S un sistema de n partículas, cuya la cantidad de movimiento total, p , es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas. N N S S p p1 p 2 ... p n La 2ª ley de Newton establece que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema es igual a la variación de su cantidad de movimiento total del sistema: dp Fext Fint dt donde Fext es la resultante de todas las fuerzas externas al sistema, y Fint es la resultante de las fuerzas internas; es decir, de las interacciones entre partículas del propio sistema S. Pero, según la 3ª ley de Newton, las fuerzas internas se cancelan dos a dos, y si S está aislado del resto del Universo, no existen fuerzas externas, por lo tanto: dp 0 dt de donde se deduce que p es constante. Obsérvese que en este segundo razonamiento se parte de la anulación de la fuerza resultante total para dictaminar que la cantidad de movimiento se conserva, mientras que en el primero se empezó por suponer que la cantidad de movimiento se conservaba para demostrar que la resultante de las fuerzas es cero. Interacción entre sistemas Todavía podemos ir más allá, ampliando el marco de aplicación de la interacción entre partículas a la interacción entre sistemas. En efecto, en vez de un único sistema consideremos dos, S y S’, que interaccionan; pero, con la condición de que el conjunto formado por los dos sistemas esté aislado del resto del Universo, de modo que la cantidad de movimiento total ps ps ' debe permanecer constante, por lo que cualquier variación que se produzca en la cantidad de movimiento del sistema S tiene que compensarse con una variación igual, pero de sentido opuesto en el sistema S’: p s p s' Vemos, pues, que la interacción entre sistemas, como sucede con la interacción entre partículas, puede describirse también como un mero intercambio de cantidad de movimiento entre ellos. Dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo transcurrido en la interacción, pasando al límite cuando dicho intervalo tiende a cero, y, por último, aplicando la 2ª ley de Newton: ps ps ' lim t 0 t t 0 t lim obtenemos Fss ' Fs 's Agustín E. González Morales 90 donde F´ss ' es la fuerza externa a S, ejercida por la interacción con S’; y Fs 's es la fuerza externa a S’, ejercida por la interacción con S, que, como vemos, satisfacen la 3ª ley de Newton. En resumen, podemos aplicar a la interacción entre sistemas los conceptos empleados en la interacción entre partículas. Además, como las únicas fuerzas capaces de modificar la cantidad de movimiento total de un sistema son las externas a él, la 2ª ley de Newton aplicada a un sistema que interactúa con otros sistemas, es: dp Fext dt CENTRO DE MASAS. CENTRO DE GRAVEDAD Al principio del tema dijimos que cuando un sistema se traslada (sin girar), se comporta como una masa puntual, del mismo valor que la masa total del sistema, situada en un lugar llamado centro de masas (cdm), y que, una vez efectuada esta traslación, basta que el sistema gire en torno al cdm, hasta conseguir que cada una de sus partículas se sitúe en la posición deseada. También, acabamos de ver que es posible aplicar las leyes de Newton a sistemas de partículas considerándolos como un todo. Habrá ocasiones en las que será suficiente conocer la trayectoria descrita por el cdm de un cuerpo; por ejemplo, para determinar la posición de un barco que navega por el océano Atlántico basta pintar un punto en la carta de Barco navegación; pero, otras veces necesitaremos muelle muelle saber, además de la trayectoria del cdm, la rotación en torno a este punto, como ocurre a la hora de atracar el mismo barco en un puerto, ya que, si, en ese momento, siguiésemos considerándolo un punto material, daría lo mismo amarrarlo por un costado, por la popa o enfilando el muelle con la proa. En definitiva, queda justificado el hecho de poder tratar a los cuerpos como si fuesen masas puntuales, tanto desde el punto de vista cinemático como cinético, teniendo presentes las consideraciones que acabamos de exponer. Pero, ¿cómo determinamos el cdm, ese punto en el que supondremos concentrada toda su masa? Y, ¿es ese punto, y no otro, el que satisface las ecuaciones de la Cinemática y la Dinámica de la masa puntual? Z vi mi ri rcdm v cdm X S Y Para contestar a estas preguntas volvamos a considerar que un cuerpo es un sistema discreto S de n partículas de masa mi, que se mueven con velocidad v i , situadas en la posición ri de un sistema de referencia OXYZ. Pues bien, denominamos centro de masas de S a un punto cuya posición viene dada por el vector: n n m1 r1 m 2 r2 ... m n rn i1 m i ri i1 m i r rcdm n m1 m 2 ... m n M mi i 1 donde M es la masa total del sistema S. Las componentes del vector rcdm son: x cdm n n n mi x i m i yi mi zi i 1 M ycdm i 1 M Agustín E. González Morales z cdm i 1 M 91 Si en lugar de tratar al cuerpo como un sistema discreto, lo equiparásemos a un sistema continuo, cada partícula pasaría a ser un elemento diferencial de masa dm, situada en la posición r ( x, y, z ), y los sumatorios anteriores se convertirían en integrales con M dm : rcdm r dm M x cdm x dm M ycdm y dm M z cdm z dm M Para determinar la velocidad con la que se mueve el cdm, v cdm , supondremos constante la masa de cada partícula de un sistema discreto: d rcdm 1 d 1 dr1 d r2 drn v cdm (m1 r1 m 2 r2 ... m n rn ) m1 m2 ... m n dt M dt M dt dt dt dr Pero, como la velocidad de la partícula i es v i i , podemos escribir: dt 1 v cdm (m1 v1 m 2 v 2 ... m n v n ) M es decir M vcdm m1v1 m 2 v 2 ... m n v n y como la cantidad de movimiento de la partícula i es pi m i v i , entonces: M vcdm p1 p 2 ... p n p donde p es la cantidad de movimiento total del sistema. El producto M v cdm es la cantidad de movimiento de una partícula cuya masa es la masa total del sistema y cuya velocidad es la del cdm. Por tanto, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas es la de su cdm, con toda la masa del sistema concentrada en él: p p cdm M vcdm Al mismo resultado hubiésemos llegado considerando un sistema continuo. Por otra parte, sabemos que las únicas fuerzas capaces de modificar la cantidad de movimiento total de un sistema son las externas a él; es decir: dp dp cdm d(Mv cdm ) Fext dt dt dt y, si la masa del sistema es constante: dv cdm Fext M M a cdm dt Ecuación de la que se deduce que el cdm de un sistema se mueve como si fuese una única partícula, cuya masa es la masa total del sistema, sobre la que están aplicadas todas las fuerzas externas al sistema. Agustín E. González Morales 92 Propiedades del centro de masas Además de la propiedad que acabamos de exponer, el cdm cumple las siguientes: o Si un sistema tiene algún elemento de simetría, el cdm forma parte de dicho elemento. Por ejemplo, el cdm se encuentra en el centro de una esfera homogénea, en el punto de corte de las diagonales de un paralelepípedo, en un punto de la altura de un cono o de un prisma recto, etc. o Las fuerzas internas de un sistema no pueden modificar el movimiento de su cdm. En el proceso de disparo de un cañón, las únicas fuerzas que actúan son internas, siempre y cuando se considere que el sistema S a estudiar es el formado por el propio cañón, los gases de la pólvora y la bala disparada. En tal caso, el movimiento que tendrá el cdm de S tras el disparo será el mismo que el que poseía antes del tiro. Una situación análoga se produce en los choques, en las desintegraciones atómicas, en las B colisiones entre átomos y B3 partículas elementales, o en las B1 explosiones como la de la figura, B2 en la que B se lanza en el vacío, estalla en el aire y se rompe en cdm los trozos B1, B2 y B3; aunque cada trozo caiga en los lugares representados, el cdm describe la trayectoria parabólica que seguiría B si no hubiese explotado. cdm o El cdm de un sistema S tiene carácter aditivo; es decir, se puede calcular dividiendo S en partes y determinando el cdm de cada una de ellas. Y 6 9 cdm 2 : 3, 2 1 2 5 5 cotas en cm 7 cdm t : 2, 2 1 cdm1 : ,2 2 X 1 Figura (a) Figura (b) Por ejemplo, podemos dividir la escuadra homogénea de la figura (a) en dos partes rectangulares 1 y 2, figura (b), en las que se aprecia que cdm1 y cdm2 se encuentran en el centro de cada una, en las posiciones indicadas. El cdmt de la escuadra completa se determina considerando que la masa de cada rectángulo está localizada en sus respectivos cdm: x cdm t m1x1 m 2 x 2 m y cdm t m1 y1 m 2 y 2 m siendo m = m1 + m2. Como la escuadra es homogénea, su densidad lineal λ es constante, tal que: Agustín E. González Morales 93 m m L1 L 2 4 6 pero también: m1 m 2 4 6 de donde deducimos que: m1 2 m 5 m2 3 m 5 por lo que x cdm t 2 1 3 m· m·3 5 2 5 2 m y cdm t 2 3 9 m·2 m· 5 5 2 7 m 2 Obsérvese que cdm1, cdmt y cdm2 están alineados. El cdm puede estar localizado fuera del cuerpo o sistema. Como sucede, por ejemplo, en la escuadra que acabamos de estudiar. o Centro de gravedad Se define el centro de gravedad (G) como aquel punto en el que se supone aplicado el peso de un cuerpo o sistema de partículas. Si el cuerpo es de un tamaño tal que permita decir, como una buena aproximación, que la aceleración de la gravedad g es constante (en módulo, dirección y sentido)16 para todos los puntos del cuerpo, la posición de G coincide con la del cdm. En efecto, sabemos que en el cdm es donde se consideran aplicadas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo considerado como un sistema de partículas; como el peso total –suma del peso de todas las partículas– es una fuerza externa que actúa en G (como acabamos de establecer en la definición), si el peso de cada partícula es independiente del lugar que ocupa dentro del sistema, entonces la posición del cdm y de G coinciden. G Figura (a) A C A B Esta equivalencia entre G y el cdm permite utilizar técnicas muy sencillas para determinar el cdm. Por ejemplo, un cuerpo, como el de la figura (a), D permanece en equilibrio si el punto de apoyo está B Figura (b) situado en G (y, por tanto, en el cdm); y, análogamente, al colgar el cuerpo de la figura (b) por el punto A, la acción de la gravedad provoca que busque el equilibrio; cuando lo alcanza podemos afirmar que G se encuentra en algún punto de la línea AB; por lo tanto, basta repetir la experiencia, suspendiéndolo de otro punto C, para situar G en el corte de las líneas AB y CD. G Las líneas de campo del vector g están dirigidas hacia el centro de la Tierra; por lo tanto, g no es constante en dirección; pero, para un cuerpo cuyo tamaño sea despreciable frente al de la Tierra, las líneas de campo de g son prácticamente paralelas. 16 Agustín E. González Morales 94 SISTEMA DE REFERENCIA SITUADO EN EL CDM En la figura aparece un cuerpo de forma arbitraria cuyo cdm, G, describe la trayectoria representada. Pero, el cuerpo no sólo se traslada, sino que gira en torno a G, como se puede apreciar fijándose en la evolución de dos puntos cualesquiera, P y Q, a lo largo de las posiciones (1), (2), (3), (4) y (5). Elegido el sistema de referencia absoluto OXYZ, y, por ejemplo, la situación (4), las posiciones de de G y P están determinadas por rG y rP . Si a GP le asignamos (3) el vector rP G , entonces: Q P Y G rP G rP rG P (2) Obsérvese que rP G es un vector relativo a G; es decir, es la posición de P vista desde G; por eso decimos que rP G es el vector de posición de P respecto a G. G (4) rP G Q Q G P rG G (1) X rP G Q P (5) P O P Q Además, un observador situado en Z G apreciaría que los puntos P y Q sólo están girando a su alrededor si, en cada posición del cuerpo, elige un SR con centro en G y ejes que se trasladan con G, pero que no giren (a este sistema de referencia, no representado en la figura, lo identificamos con las siglas SRG) . Para calcular la velocidad de P relativa a G, v P G ; es decir, la velocidad de P medida desde SRG, o lo que es lo mismo, la velocidad de P respecto a G, se deriva con respecto al tiempo la expresión anterior d rP G dt d rP d rG dt dt o sea v P G vP vG donde v P y v G son las velocidades absolutas de P y G respectivamente Y para calcular la aceleración basta derivar de nuevo: aP G aP aG donde a P G es la aceleración de P relativa a G; es decir, la aceleración de P respecto a G, y a P y a G son las aceleraciones absolutas de P y G respectivamente Analicemos el valor de la cantidad de movimiento total respecto al sistema de referencia SRG. Para un sistema discreto de n partículas la velocidad de la partícula 1 especto a G es: v1 G v1 v G multiplicando por m1: Agustín E. González Morales 95 m1 v1 G m1v1 m1v G análogamente para el resto de partículas: m2 v2 G m2 v2 m 2vG .................. mn v n G mn v n mn vG sumando miembro a miembro las expresiones anteriores: m1v1 G m 2 v 2 G ... m n v n G m1v1 m 2 v 2 ... m n v n (m1 m 2 ... m n ) v G pero, teniendo en cuenta el valor de la velocidad absoluta del cdm: m v m 2 v 2 ... m n v n vG 1 1 m1 m 2 ... m n es decir (m1 m 2 ... m n ) vG m1 v1 m 2 v 2 ... m n v n entonces: m1 v1 G m 2 v 2 G ... m n v n G 0 A la misma conclusión se llega si se considera un sistema continuo de partículas. Es decir, la cantidad de movimiento total respecto al sistema de referencia SRG es cero. MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA Dado un punto fijo O y una masa puntual m que se mueve a velocidad v, el momento angular, momento cinético o momento de la cantidad de movimiento de m respecto a O es el vector L o definido por el producto vectorial L o r x p r x mv donde r es el vector de posición de m respecto a O. Lo v r O Se deduce del producto vectorial que L o es perpendicular al plano formado por r y p (o v) , su módulo es Lo = rmv sen α y su sentido es el representado en la figura. En los movimientos rectilíneos se puede conseguir que el momento angular sea cero, para ello basta situar O en cualquier punto de la recta sobre la que se desplaza el móvil. En cambio, todos los movimientos que impliquen un giro de la partícula en torno a un punto tendrán un valor concreto del momento angular respecto a dicho punto. Agustín E. González Morales 96 TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA Analicemos la derivada de L o con respecto al tiempo: dL o d ( r x p) d r dp xp r x dt dt dt dt Teniendo en cuenta que: dr v dt dp F dt dr x p v x mv m (v x v) 0 dt por lo tanto dL o r x F M o dt siendo M o el momento resultante de las fuerzas F respecto al punto fijo O. La expresión anterior es el teorema del momento angular de una partícula. Conservación del momento angular de una partícula dL o Según el teorema anterior, si M o 0 entonces L o es constante; es decir, se conserva. dt M o 0 L o es constante Fuerzas centrales Un caso particularmente interesante de conservación del momento angular es el de las denominadas fuerzas centrales; o sea, el de aquéllas cuya línea de acción pasa por un punto fijo, el centro de fuerzas, y cuyo módulo depende de la distancia a dicho punto. v En efecto, el momento angular respecto al centro de fuerzas es constante porque el vector de posición r y una fuerza central F tienen la misma dirección, por lo que el producto vectorial r x F es nulo. En el Tema VIII estudiaremos que las fuerzas de atracción gravitatoria son centrales; concretamente, cualquier planeta de nuestro sistema solar gira en torno al Sol sometido a una fuerza central; por lo tanto, el momento angular del planeta respecto al Sol, L, permanece constante en módulo, dirección y sentido, lo que conlleva que: r F Sol Si L es constante en módulo, se cumple el denominado teorema de las áreas que se demuestra en el párrafo siguiente. Si no varía la dirección del momento angular, el movimiento del planeta ha de estar confinado en un plano perpendicular a L; es decir, el planeta no puede cambiar el plano de su órbita. Agustín E. González Morales 97 Y si el momento angular es constante en sentido, el planeta no puede cambiar el sentido de giro dentro de su órbita. Teorema de las áreas Este teorema establece que en el movimiento de una masa puntual bajo la acción de una fuerza central, el vector de posición respecto al centro de la fuerza barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho en otras palabras, la velocidad areolar de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central es constante. En efecto, como se aprecia en la figura, la superficie infinitesimal dS barrida por el vector de posición en el intervalo dt es: dS 1 1 r x d r r x vdt 2 2 Q P y el área barrida en la unidad de tiempo; es decir, dS la velocidad areolar , es: dt r O dr R r dr Área del paralelogramo OPQR = r x d r dS 1 r xv dt 2 Área barrida por el vector de posición OQR = 1 r x dr 2 pero, L L r x mv m r x v , por lo tanto: dS L dt 2m Como L y m son constantes, también lo es la velocidad areolar. En virtud de la ley de las áreas, la superficie OAB barrida en un tiempo t tiene que ser la misma que la superficie OCD en el mismo tiempo, por lo que la partícula debe ir más rápido cuánto más cerca esté de O. La ley de las áreas se identifica con la 2ª ley de Kepler17 en el estudio de las órbitas descritas por los cuerpos celestes sometidos a las fuerzas de atracción gravitatorias. Impulso angular Otra magnitud que podemos definir a partir del teorema del momento angular es el impulso dL o angular o cinético. En efecto, de M o : dt M o dt dL o 17 Las leyes de Kepler se enuncian en el tema VIII. Agustín E. González Morales 98 Pues bien, el producto M o dt es el impulso angular infinitesimal provocado en el móvil puntual por el momento M o actuando durante un tiempo dt. De la expresión anterior se deduce que el impulso angular es igual a la variación infinitesimal del momento angular dL o . Integrando entre dos instantes t1 y t2, en los que el móvil tiene momentos angulares L o1 y L o2 , obtenemos el impulso angular total: t2 M o dt L o 2 L o1 t1 Si M o es constante: M o ( t 2 t1 ) L o 2 L o1 La unidad del S.I. de impulso angular es el N·m·s. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Consideremos un sistema discreto formado por dos partículas de masas m1 y m2, sometidas a la acción de dos fuerzas externas F1 y F2 . Además, ambas partículas interaccionan mediante dos fuerzas internas F12 y F21 que, según la 3ª ley de Newton son iguales y de signo contrario: F12 F21 (1) El momento angular total del sistema respecto a un punto O, L s , es la suma de los momentos angulares de cada partícula respecto al mismo punto, L1 y L 2 : L s L1 L 2 , por lo tanto: Y m 1 F1 F21 F2 m2 F12 r2 r1 y sustituyendo la expresión (1): X O dL s dL1 dL 2 r1 x (F1 F12 ) r2 x (F2 F21 ) dt dt dt dL s r1 x F1 r1 x F12 r2 x F2 r2 x F21 dt dL s r1 x F1 r2 x F2 ( r2 r1 ) x F21 dt pero, como los vectores ( r2 r1 ) y F21 tienen la misma dirección, su producto vectorial es nulo; o sea: Z dL s r1 x F1 r2 x F2 M1 M 2 dt Hubiésemos alcanzado un resultado similar con las n partículas de un sistema discreto o con las infinitas partículas de un sistema continuo: dL s M ext dt Agustín E. González Morales 99 Hemos llegado a la importante conclusión de que sólo los momentos de las fuerzas externas, M ext , pueden modificar el momento angular total, L s , de un sistema; análoga a la obtenida para la relación existente entre cantidad de movimiento total, p, y las fuerzas externas que actúan sobre un sistema. Conservación del momento angular de un sistema de partículas dL s Obsérvese que si M ext 0 entonces 0 y L s es constante; es decir, se conserva. dt M ext 0 L s es constante que constituye el principio de conservación del momento angular de un sistema aislado. Este principio tiene una relevancia similar al de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado, y como aquél, constituye uno de los pilares fundamentales de la Física, hasta tal punto que si un investigador observa un aparente incumplimiento de este principio, en vez de ponerlo en entredicho, se empeña en buscar alguna partícula que no ha sido capaz de observar con los medios que en ese momento tiene. Momento angular respecto al cdm Para completar el estudio, sólo debemos analizar si en las rotaciones, como ocurría en las traslaciones, es lícito tratar a los cuerpos constituidos por muchas partículas como si fuesen puntos materiales con toda la masa concentrada en su cdm. Retomemos el sistema formado por las partículas de masa m1 y m2, situadas en las posiciones r1 y r2 , que se mueven con velocidades absolutas v1 y v 2 medidas en el sistema de referencia OXYZ. Si el vector de posición del cdm es rG , SRG Y la posición de las partículas, según un sistema m2 de referencia SRG, con centro en el cdm G, es: r 2G r1 G m1 G rG r1 r1 G r1 rG r2 X r2 G r2 rG y sus velocidades, medidas desde SRG, son: O v1 G v1 v G Z v 2 G v2 vG siendo v G la velocidad absoluta del cdm (medida desde OXYZ). En estas condiciones, el momento angular total respecto a O es: L s r1 x p1 r2 x p 2 ( r1 G rG ) x m1 (v1 G vG ) ( r2 G rG ) x m 2 ( v 2 G v G ) reordenando términos: L s ( r1 G x m1v1 G ) ( r2 G x m 2 v 2 G ) rG x (m1 m 2 ) v G que podemos escribir con la siguiente nomenclatura: Agustín E. González Morales 100 L1 G r1 G x m1v1 G L 2 G r2 G x m 2 v 2 G L G rG x (m1 m 2 ) vG donde L1 G y L 2 G son los momentos angulares de la partículas 1 y 2 medidos desde el sistema de referencia SRG, y L G es el momento angular del cdm respecto a O, con toda la masa del sistema concentrada en G. Es decir: L s L1 G L 2 G L G Esta expresión se puede generalizar para n partículas de un sistema discreto o para las infinitas partículas de uno continuo: Ls Ls G LG De modo que el momento angular total de un sistema, L s , es la suma del momento angular del sistema medido por un observador situado en el cdm, L s G , y el de toda la masa del sistema concentrada en el cdm, L G . Si el único movimiento de un sistema es el de rotación en torno a un eje fijo que pasa por el cdm, el momento angular respecto a cualquier punto en reposo es L s G , pues si la velocidad del cdm es cero, v G 0, entonces L G 0. Agustín E. González Morales 101 EJERCICIOS 1. Un proyectil de masa m, lanzado con una velocidad v 0 4 i 3k, cuando se encuentra en el punto más alto de su trayectoria, hace explosión y se parte en dos pedazos, uno de ellos de masa 1 m. Si el trozo mayor lleva una velocidad 8 i inmediatamente después de la explosión, ¿cuál es 3 la velocidad del menor? Resp.: (–4,0,0) 2. Se dispara una granada a 600 m/s con 45º de elevación respecto al plano horizontal. Al llegar al punto más alto explota en dos fragmentos de igual masa, uno cae verticalmente al suelo con velocidad inicial nula, si el valor de g es 10 m/s2, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento cae el otro? Resp.: 54000 m 3. Sobre las aguas tranquilas de un lago flota una tabla de 20 kg y 1 metro de longitud. En uno de sus extremos hay un gato de 5 kg que se mueve hasta el otro extremo. ¿Cuánto avanza el animal respecto al agua? Resp.: 80 cm 4. Un cuerpo de 0.2 Kg sigue una trayectoria cuyo vector de posición es r1 (2t, 3t2, –3) y otro de masa doble sigue la trayectoria indicada por r2 8 i 2t j 4 t 2 k. ¿Cuál es la velocidad del cdm en el instante t =1 s? Resp.: 5. 88 3 Una partícula de 2 kg se mueve con una velocidad de 3 j m/s en el plano XY a lo largo de la recta x = 5. Hallar el momento cinético respecto al origen. Resp.: 30 k 6. Un niño de 50 kg está en reposo sobre un tabla horizontal lisa. Lanza una piedra de 2 kg con 60º de elevación a 100 m/s. Calcular la velocidad con la que retrocede el niño. Resp.: 2 m/s 7. Un vagón de masa M se desliza sin rozamiento por una vía horizontal. Cuando la velocidad del tren es V, un hombre de masa m se pone a correr hacia la parte trasera del vagón hasta que adquiere una velocidad v con respecto al vagón. En ese preciso momento se tira del tren. ¿A qué velocidad circula el tren cuando el hombre lo abandona? m Resp.: V v Mm 8. Una persona de 75 kg se encuentra en reposo sobre un bote de 225 kg que flota en un lago en calma. Inicialmente la persona está a 20 m de la orilla, mientras que el cdm del bote está a 15 m. ¿A qué distancia de la orilla estará la persona cuando se haya desplazado 10 m sobre el bote en busca de la orilla? Resp.: 12.5 m 9. Un hombre de masa m salta desde una lancha de masa M a la orilla de un lago, impulsándose a una velocidad v. La lancha retrocede, pero debe vencer una resistencia del agua R = kV2, donde k es constante y V es la velocidad variable de la lancha. Calcular: a) la velocidad inicial de la lancha; b) el impulso del hombre; c) la velocidad de la lancha en función del tiempo. 1 1 k m Resp.: a) v; b) mv; c) t V V0 M M 10. Dos canoas de masa M navegan paralelamente a velocidades iguales v, la una al encuentro de la otra. Cuando se hayan a la misma altura, de una canoa se lanza una carga de masa m hacia la otra, después de la segunda canoa se lanza a la primera una carga de la misma masa. A Agustín E. González Morales 102 continuación se lanzan simultáneamente las mismas cargas. ¿En qué caso la velocidad de las canoas será mayor? Resp.: Cuando el lanzamiento no es simultáneo. 11. Un recipiente se 20 toneladas se está moviendo a 11 m/s. Está lloviendo y las gotas caen verticalmente en su interior. Una vez que ha recogido 2 toneladas de agua, ¿cuál es la velocidad del recipiente? Resp.: 10 m/s 12. Un hombre de 80 kg está montado en un carrillo de 40 kg que se mueve sobre el suelo horizontal a 2 m/s. Salta fuera del carrillo de modo que su velocidad con respecto al suelo es de 1 m/s en sentido opuesto al movimiento del carrillo. Calcular: a) la velocidad del cdm del sistema antes y después de que salte; b) la velocidad del carrillo después de saltar; c) la velocidad del cdm después de que el hombre llegue al suelo y quede en reposo; d) la fuerza responsable de la variación de la velocidad del cdm, si tarda una décima de segundo en saltar. 8 Resp.: a) 2 m/s; b) 8 m/s; c) m/s; d) 800 N 3 13. Un globo de 120 kg, estacionario, lleva colgando una escala con un joven en ella de 80 kg. El joven empieza a subir por la escala a 5 m/s respecto al globo. ¿Con qué velocidad baja el globo respecto al suelo? Resp.: 2 m/s 14. Un vagón de 1400 kg, vacío, con una capacidad de 3.5 m3, se mueve horizontalmente a 12 km/h, sin rozamiento. Su paltaforma interior tiene una superficie de 2 m2 y lleva descubierta la cara superior. Empieza a llover a razón de un mililitro por centímetro cuadrado, cada segundo. Calcular la ecuación de la velocidad en función del tiempo desde que comenzó a llover y la velocidad del vagón cuando cuando se haya llenado de agua. 16800 Resp.: ; 3.43 km/h 1400 20 t 15. Un chorro de bolitas de 0.5 gramos sale de un tubo horizontal a razón de 100 bolitas por segundo, y choca contra uno de los platillos de una balanza. En su marcha caen a la balanza a lo largo de una distancia de 0.5 m y rebotan hasta la misma altura. Calcular el valor de la masa que debe colocarse en el otro platillo de la balanza para que el fiel permanezca en el cero. Resp.: 319.4 gramos 16. Dos cuñas lisas de masas m y M y anchuras a y b descansan sobre una base sin rozamiento, como se muestra en la figura. Determinar el retroceso de la cuña inferior hasta el instante en que la cara vertical de la superior llega al punto A. m Resp.: (b a ) mM a m M b A 17. Calcular el cdm de un sistema formado por tres partículas de 1 kg, 2 kg y 3 kg, situadas respectivamente en los puntos (0, 3, 1), (3, 0, 52 ) y (4, 2, 1). Resp.: ½ (6,3,3) 18. Calcular el cdm de un sistema de dos partículas de 1 kg y 2 kg situadas respectivamente en (1, 0, –1) y (0, 1, 1). Si sobre cada partícula actúan las fuerzas (0, 1, t) y (1, t, 2t); calcular la posición del cdm al cabo de 2 segundos. 1 16 5 Resp.: rcdm (0) (1,2,1); rcdm (2) 1, , 3 9 3 19. Una varilla delgada de longitud L tiene una densidad variable que aumenta de forma proporcional a la distancia a partir de un extremo, de acuerdo con la relación = o (1 + x/L). Calcular la posición del cdm. Agustín E. González Morales 103 Resp.: 5 L 9 20. Hallar el cdm de una esfera homogénea de 4 cm de radio con un hueco esférico de 1 cm de radio cuyo centro dista del otro 2 cm. 2 Resp.: a cm del centro en la semiesfera sin el hueco. 63 21. Calcúlense las coordenadas (x, y) del cdm de un disco homogéneo de radio r, centrado en (0, 0), que tiene un orificio de radio ½ r tangente al diámetro OY. r Resp.: ,0 6 22. En una máquina de Atwood (formada por una polea y una cuerda ideal) cuelgan dos masas de 50 y 100 kg a la misma altura. Al cabo de un segundo, ¿cuánto habrá descendido el cdm del sistema con g = 10 m/s2? 5 Resp.: m 9 23. En el dispositivo de la figura, la polea y las cuerdas no tienen masa y las masas 2M y M están inicialmente en reposo. Determinar la aceleración de las masas; la tensión de la cuerda y la aceleración del cdm del sistema. 1 4 1 Resp.: a = g; T = Mg; acdm = g 3 3 9 M 2M 24. El vector de posición de una partícula respecto a un sistema de referencia inercial es (3t, 2t, t). El vector de posición del cdm del sistema de partículas al que pertenece es (t, 4t, 4t). Calcular el módulo de la velocidad de la partícula respecto al cdm del sistema. Resp.: 17 25. De un cuadernal de 11 kg cuelgan dos masas de 6 y 8 kg unidas por un cabo de masa despreciable que laborea por él. El cuadernal se iza mediante una fuerza de 320 N. Calcular la aceleración del cdm del sistema. Resp.: 3 m/s2 26. Dos personas de 76 y 60 kg están colocadas en los extremos de una barra de 400 kg y 4 m de longitud. Calcular la distancia del cdm del sistema al cdm de la barra. Resp.: 6 cm 27. Calcular las coordenadas del cdm de la superficie limitada por la curva y2 = 4x, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 3. Resp.: (2.086567, 1.42988) 28. Se tiene una masa distribuida sobre un semicírculo de radio r. ¿A qué altura sobre el diámetro se encuentra el cdm? 4r Resp.: 3π 29. Hallar el cdm de un arco de circunferencia de radio R y amplitud 2. R Resp.: sen α α 30. Un satélite de la Tierra de masa m describe una órbita elíptica. Las distancias máxima y mínima a la superficie de la Tierra son 2600 y 350 km respectivamente. Si la velocidad máxima del satélite es 26000 km/h, hallar su velocidad en los puntos de mínimo acercamiento, sabiendo que el radio de la Tierra es de 6400 km. Resp.: 19500 km/h Agustín E. González Morales 104 31. Un objeto pequeño está unido a una cuerda que pasa por el interior de un tubo, como indica la figura. El objeto describe un movimiento circular de 0.5 m de radio en el plano horizontal, con velocidad angular de 20 rpm. Al tirar de la cuerda hacia abajo se reduce el radio de la trayectoria. Calcular la velocidad tubo angular cuando el radio mide 0.25 m. cuerda Resp.: 80 rpm Agustín E. González Morales 105 TEMA V TRABAJO Y ENERGÍA Trabajo Potencia. Rendimiento Energía Energía cinética. Teorema de la energía cinética Fuerzas conservativas Energía potencial Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica Energía mecánica Sin rozamiento Con rozamiento Determinación de la fuerza conservativa mediante la energía potencial Campos escalares Gradiente Campos vectoriales Circulación Flujo Divergencia Rotacional Choques entre cuerpos Choque oblicuo Choque elástico Choque inelástico Choque no perfectamente elástico Choque central Ejercicios Agustín E. González Morales 106 TEMA V TRABAJO Se define el trabajo infinitesimal, dW, desarrollado por una fuerza F como el producto escalar de dicha fuerza por el desplazamiento d r que provoca en un cuerpo o sistema18. dW F·d r F dr cos α En un desplazamiento finito desde el punto A hasta el B –figura (a)–, el trabajo es la suma de los trabajos infinitesimales realizados en los sucesivos desplazamientos infinitesimales d r ; es decir, la integral entre las posiciones ra y rb : A dr Fn ra F Ft rb W F·d r ra B rb Su unidad en el S.I. es el Julio (J). De manera que 1 J = 1 N · 1 m. Figura (a) El trabajo es una magnitud escalar positiva, negativa o nula. Es cero si la fuerza o el desplazamiento son nulos, o si la fuerza es perpendicular al desplazamiento; de ahí que las fuerzas que provocan aceleraciones centrípetas no realicen trabajo, porque son normales a los desplazamientos, como se aprecia en la figura (b). dr F Figura (b) Obsérvese, también, en la figura (a), que la fuerza F se ha descompuesto en dos: Ft según la dirección del desplazamiento d r , tangente a la trayectoria; y Fn , normal a Ft . El trabajo desarrollado por Fn es nulo precisamente por ser perpendicular a d r . Por lo tanto, su expresión se simplifica: Ft B W Ft ds B A W Ft ds A A B Figura (c) s donde ds es el camino infinitesimal recorrido sobre la trayectoria. Si se conoce como varía Ft con el desplazamiento, el valor de W se corresponde gráficamente con el área representada en la figura (c). Y si Ft fuese constante entonces: W Ft s(B) s(A ) Pero, si la fuerza viene expresada en función de la posición, no es necesario calcular la componente tangencial. En efecto, dadas, por ejemplo, sus componentes cartesianas: 18 Usaremos indistintamente “cuerpo” y “sistema” porque, como vimos en el tema anterior, todo cuerpo puede considerarse un “sistema de partículas”. Agustín E. González Morales 107 F Fx i Fy j Fz k y las del desplazamiento: d r dx i dy j dz k el trabajo desarrollado entre las posiciones (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), es: 2 2 W F·dr Fx dx Fy dy Fz dz 1 1 Y si cada una de las componentes de la fuerza depende únicamente de la variables de su subíndice; es decir: Fx = f(x) Fy = g(y) Fz = h(z) La expresión anterior se puede integrar de la siguiente manera: x2 W y2 f (x )dx x1 z2 g( y)dy y1 h(z)dz z1 Otro aspecto que se deduce de la definición de trabajo es que si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas F1 , F2 , ... , Fn , el trabajo total WT es el que realizaría la fuerza resultante F. En efecto: WT W1 W2 ... Wn F1·d r F2 ·d r .... Fn ·d r (F1 F2 .... Fn )·d r F·d r Por último, no debe confundirse el concepto físico de trabajo con el término coloquial «esfuerzo». Si empujamos un coche parado; pero, a pesar de poner todo nuestro empeño, no conseguimos que se mueva, estaremos realizando un gran esfuerzo, pero ningún trabajo sobre el sistema, porque el desplazamiento es nulo. POTENCIA. RENDIMIENTO La potencia es el trabajo realizado en la unidad de tiempo. P dW d r F· F· v dt dt Es una magnitud escalar que se mide en vatios (W) en el S.I., de tal manera que 1W 1J . 1s Otras unidades de uso corriente son el caballo de vapor (CV): 1 CV = 735 W y el caballo de vapor inglés (HP): 1 HP = 746 W Hay que tener presente que el kilovatio-hora (KW·h) no es una unidad de potencia, sino de trabajo: 1 KW·h = 1000 W · 3600 s = 3.6 ·106 J Agustín E. González Morales 108 La expresión de la potencia permite explicar por qué los vehículos con gran capacidad de tracción deben moverse a poca velocidad, pues cuanto mayor velocidad desarrollen, menos fuerza tractora ejercen para una potencia dada. Rendimiento η En las máquinas se emplea el rendimiento para cuantificar la relación que existe entre la potencia útil PU y la potencia total PT empleada (en esta última se incluye la necesaria para vencer los rozamientos) al desarrollar una actividad: PU PT Pero el rendimiento también se puede medir mediante el trabajo útil WU y el trabajo total WT si se usa la misma unidad de tiempo t para calcular tanto la potencia útil como la potencial total, es decir: WU ·t WU WT ·t WT ENERGÍA Decimos que un cuerpo posee cierta cantidad de energía cuando puede realizar transformaciones a expensas de ella. En otras palabras, la energía es la capacidad que posee un sistema para realizar transformaciones. Como la mayoría de estas transformaciones se pueden medir en términos de fuerzas y desplazamientos; es decir, mediante el trabajo, podemos asociar un tipo concreto de energía a cada trabajo realizado. Se distinguen, entre otros, los siguientes: - Energía cinética Ec. Dado que los sistemas en movimiento pueden realizar trabajo, la energía cinética es la que posee un cuerpo por el hecho de moverse. - Energía potencial Ep. En los casos en los que la posición que ocupe un sistema permita la realización de trabajo, la energía asociada a esa posición se denomina potencial. Son ejemplos de energía potencial la que existe en cada lugar de los campos gravitatorio y electrostático o la asociada a la deformación elástica de un resorte. - Energía mecánica E. Es la suma de las diversas energías potenciales y la energía cinética que posee un cuerpo. - Energía interna U. Es la que tiene un sistema debido a su agitación, su masa, su posición en un campo de fuerzas, etc. Dado que la energía es una forma de cuantificar la capacidad de realizar trabajo, su unidad en el S.I. es el J, la misma que la del trabajo. ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA Definición de energía cinética Se define la energía cinética Ec que posee un punto material de masa m que se mueve a velocidad v, mediante la siguiente expresión: Ec 1 mv 2 2 De la definición se desprende que la energía cinética es una magnitud escalar positiva o nula. Agustín E. González Morales 109 También la definición permite asegurar que la energía cinética de un sistema discreto S, de n partículas, es la suma de las energías cinéticas de sus partículas. Ecs n 1 1 1 1 m1v12 m 2 v 22 ... m n v 2n m i v i2 i 1 2 2 2 2 En el caso de que S sea un sistema continuo, en el que una partícula infinitesimal dm se mueve con una velocidad de módulo v, la energía cinética infinitesimal que posee esa partícula es: dEcs 1 2 v dm 2 Y, teniendo en cuenta las propiedades que posee el cdm de un sistema, también se puede calcular su energía cinética sumando la que posee el cdm –como si toda la masa del sistema estuviese concentrada en ese punto– y la de las partículas respecto al cdm, es decir: Ecs EcG Ecs G siendo Ec G Ecs G 1 mv2G 2 n 1 1 1 1 m1v12 G m 2 v 22 G ... m n v 2n G m i v i2 G i 1 2 2 2 2 donde m es la masa total del sistema, vG es el módulo de la velocidad absoluta del cdm, mi es la masa de cada partícula (dm para un sistema discreto) y v i G es la velocidad de la partícula i respecto a G, o sea, medida desde el sistema de referencia SRG. De las expresiones anteriores se deduce que en un sistema que sólo se traslada (no gira), como sus partículas están en reposo respecto a su cdm, su energía cinética será sólo la de su cdm; mientras que si sólo gira en torno a su cdm, su energía cinética será exclusivamente la de sus partículas. Teorema de la energía cinética El teorema de la energía cinética, conocido también como teorema de las fuerzas vivas, establece que, si la masa es constante, el trabajo total WT realizado en un desplazamiento finito de un sistema desde la posición A hasta la B, tanto por las fuerzas internas19 como las externas, es igual a la variación de su energía cinética. WT = Ec = EcB– EcA = 1 m (vB2 – vA2) 2 En efecto, si F es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema de masa m dv constante, según la segunda ley de Newton, F m : dt 19 Como sabemos, la resultante de las fuerzas internas es nula; pero, el trabajo total desarrollado por estas fuerzas no es necesariamente nulo, pues en un cuerpo elástico pueden existir movimientos de partículas producidos por dichas fuerzas. Agustín E. González Morales 110 r dv v dr v WT = F·d r m ·d r m ·dv mv·dv dt dt r r v v rB B B B A A A A pero d(v2) = d( v·v) dv·v v·dv 2v·dv 1 v·dv d( v 2 ) 2 por tanto: vB 1 1 WT = m d( v 2 ) m (vB2 – vA2) 2 2 vA Analicemos lo que acabamos de demostrar desde otra perspectiva. Podemos interpretar que al realizar un trabajo sobre un sistema, éste incrementa el «saldo» de su energía cinética precisamente en una cantidad igual a dicho trabajo. En efecto, del teorema de las fuerzas vivas se deduce que: Ec B Ec A WT En otras palabras, al realizar un trabajo sobre un cuerpo se le está transfiriendo una cantidad de energía igual a dicho trabajo. Por lo tanto, el trabajo es energía en tránsito; o sea, energía que pasa de un cuerpo a otro mediante la acción de una fuerza que se desplaza, de manera que el sistema que realiza el trabajo disminuye su «saldo» de energía cinética en la misma cantidad que lo que aumenta el «haber» de energía cinética del cuerpo que lo recibe. Por lo tanto, podemos evaluar los trabajos realizados por un sistema haciendo balances, calculando las variaciones de energía cinética, sin preocuparnos ni de las trayectorias, ni de las fuerzas que actúan, ni de los desplazamientos. En definitiva, la energía cinética es esa magnitud cuya variación es exactamente igual al trabajo total ejercido sobre un cuerpo o sistema, sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúen sobre él. FUERZAS CONSERVATIVAS Realicemos el siguiente experimento: elevemos hasta una altura h el cdm del cuerpo de masa constante de la figura, aplicando para ello una fuerza F1 exactamente igual a su peso P mg. Supongamos que el tamaño del cuerpo y la altura h son tales que permiten afirmar h G que la aceleración de la gravedad es prácticamente constante. v cte G FF1 r2 h j r1 0 P mg mg( j) En estas condiciones, al ser nula la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, el trabajo total es cero y, por lo tanto, en virtud del teorema de las fuerzas vivas, el cuerpo no varía su energía cinética, o, lo que es lo mismo, asciende con velocidad constante. Como el valor de F1 es constante y su módulo es mg, el trabajo WF1 que realiza es Agustín E. González Morales 111 r2 h WF1 F1 ·d r mg j · dh j mgh r1 0 Este trabajo es positivo pues la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. Por lo tanto, la acción de F1 sobre el cuerpo a lo largo de la distancia h provoca una transferencia de energía cuyo valor es mgh. Calculemos el trabajo realizado por la fuerza peso P a lo largo del mismo recorrido: r2 h WP P·d r mg ( j ) · dh j mgh r1 0 Como vemos, la fuerza peso «gasta» totalmente la energía transferida por la fuerza F1; es decir, la energía suministrada por F1 se invierte en vencer la fuerza de atracción gravitatoria. Pero si dejamos de aplicar la fuerza F1 , el cuerpo desciende en caída libre desde h hasta la posición h = 0, y el trabajo desarrollado por la fuerza peso es: r1 0 WP P·d r mg ( j ) · dh ( j) mgh r2 h es decir, el trabajo efectuado por el peso se manifiesta en devolver íntegramente toda la energía que se empleó para situar al cuerpo en la posición de altura h. De este modo podemos afirmar que, cuando actúan fuerzas de naturaleza análoga a la del peso, el trabajo realizado para contrarrestarlas no se pierde, sino que se «almacena» en el cuerpo en forma de energía, permaneciendo latente a la espera de ser devuelto. Las fuerzas que, como el peso, tienen la propiedad de devolver el trabajo que se realiza para vencerlas, se denominan fuerzas conservativas. Y el tipo de energía almacenada, asociada con la posición del cuerpo, se llama energía potencial. ¿Cuándo un fuerza es conservativa? En el experimento anterior, prestemos atención al trabajo realizado por el peso P. A lo largo del trayecto de ascenso hasta la altura h (mientras se está empleando la fuerza F1 ) el trabajo efectuado por el peso es: WP ( ascenso ) mgh pero, en un descenso en caída libre hasta la posición inicial (h = 0), es: WP ( descenso ) mgh Si tenemos en cuenta la totalidad del recorrido del cuerpo; es decir, el ascenso y el descenso hasta retornar a la posición inicial, el trabajo realizado por P es cero: WP ( ascenso ) WP ( descenso ) 0 Agustín E. González Morales 112 Pero vamos a demostrar que esta propiedad, que manifiesta el peso P, también la tiene una fuerza constante (en módulo, dirección y sentido), como la F de la figura, que está actuando sobre un cuerpo o sistema que se desplaza siguiendo cualquier trayectoria cerrada como la ABCDA de la figura. En efecto, el trabajo que realiza F, cuando el cuerpo se desplaza desde A hasta C por el camino B es: rC WABC rA r C F·d r F· d r F·( rC rA ) C rA Ff el realizado por F desde C hasta A, a lo largo del camino D, es: rA WCDA rC D r A F·dr F· d r F·( rA rC ) rC rC rC rA O rA y el trabajo total a los largo de la trayectoria cerrada ABCDA es: B fF A WABCD WABC WCDE 0 W C W W W W A W Pero, si para ir desde A hasta C, a través, por ejemplo, del camino de puntos, se realiza el trabajo W; para regresar hasta A se puede elegir uno de los trayectos arbitrarios como los representados, pues el resultado de las integrales sólo depende de las posiciones rA y rC . En cualquiera de los recorridos de regreso el trabajo ejecutado por F es siempre –W; de manera que, el trabajo total de F, a lo largo de cualquier trayectoria cerrada, es cero. Pues bien, decimos que una fuerza es conservativa si es nulo el trabajo que realiza sobre un cuerpo que describe una trayectoria cerrada. En otras palabras, decimos que una fuerza que actúa sobre un sistema es conservativa si el trabajo no depende del recorrido elegido para calcularlo, sino sólo de las posiciones inicial y final del cuerpo. Por tanto, si la trayectoria descrita es cerrada; es decir, si la posición inicial y la final coinciden, el trabajo es nulo. Y, recíprocamente, si el trabajo efectuado en una trayectoria cerrada S es nulo, la fuerza que lo ejecuta es conservativa. WS F·d r 0 F conservativa S S: trayectoria cerrada Así, la expresión recuadrada se puede emplear para definir si una fuerza es conservativa o no; pues podemos asegurar que, si la integral es cero, entonces la fuerza es conservativa; mientras que si es distinta de cero, la fuerza no es conservativa. Obsérvese que es posible expresar el trabajo realizado por una fuerza conservativa F, a lo largo de cualquier recorrido entre dos puntos M y N, mediante la diferencia de dos valores de cierta función f que depende únicamente de las posiciones de M y N: Agustín E. González Morales 113 F conservativa WM N f ( rN ) f ( rM ) Esta función f ( r ), relacionada exclusivamente con las fuerzas conservativas y la posición, es la energía potencial que estudiaremos a continuación. Por último, digamos como anticipo que, además de la atracción gravitatoria, todas las fuerzas centrales (como las que provocan la interacción electrostática y las fuerzas elásticas), cuya dirección pasa siempre por un punto fijo, son conservativas; mientras que el rozamiento, sin embargo, es una fuerza no conservativa. ENERGÍA POTENCIAL Energía potencial gravitatoria Retomemos el ejemplo de la masa m que elevábamos hasta una altura determinada. El trabajo realizado por la fuerza no conservativa F1 para situarla en la posición M, a una altura hM, es: hM h G v cte G FF1 WF1 mghM r2 h j hNr1 0 P mg mg( j) y para alcanzar la altura hN es: WF1 mghN Como estos trabajos se almacenan en el cuerpo en forma de una energía asociada exclusivamente con su posición, podemos definir que la energía potencial (gravitatoria, en este caso) que tiene el cuerpo en cada altura h es: Ep(h) = mgh tal que Ep(hM) = mghM Ep(hN) = mghN Así, a medida que el cuerpo baja en caída libre, mientras actúa solamente la fuerza conservativa peso, su energía potencial disminuye (EpN < EpM), y su variación al pasar de la posición M a la N es: Ep = EpN – EpM < 0 A lo largo de la caída libre, el trabajo Wpeso desarrollado por la fuerza conservativa peso es positivo (ya que el peso actúa en la misma dirección y sentido que el desplazamiento) y del mismo valor que la variación de la energía potencial Ep; pero, de signo opuesto; por lo tanto: Ep Ep N EpM Wpeso Nada impide generalizar la expresión anterior para cualquier fuerza conservativa que actúe sobre un cuerpo realizando un trabajo Wc entre la posición de partida A y la de llegada B, en cada una de las cuales el cuerpo tiene una energía potencial EpA y EpB: EpA B Ep B EpA Wc Energía potencial elástica Se dice que un muelle o resorte cumple la ley de Hooke si su fuerza elástica recuperadora es proporcional y de signo contrario a su deformación x: Agustín E. González Morales 114 F = – kx donde k es una constante característica de la naturaleza de cada resorte. Esta fuerza elástica es central ya que su dirección es siempre la del muelle, y –como toda fuerza central– es conservativa. En efecto, en la figura se representa un cuerpo unido a un resorte deformado hasta la posición B, respecto a su posición de no deformación A. El trabajo We desarrollado por la fuerza elástica (recuperadora) del resorte F kx j para trasladar al cuerpo desde una posición xB hasta xA es positivo, puesto que F y d r dx j tienen el mismo sentido: rA xA rB xB We F·d r 1 2 2 kx j·dx j 2 k(xB x A ) que, como vemos, sólo depende de las posiciones xA y xB. De ahí que podamos definir la energía potencial elástica, Epe, que posee un resorte de constante k deformado una longitud x, mediante la siguiente expresión: XA XB X dx F Epe 1 2 kx 2 Así, la energía potencial elástica asociada a la posición xA es 1 2 1 2 1 kx A y a xB es kx B , siendo su variación Epe B A k (x 2A x 2B ) : 2 2 2 Epe B A EpeA EpeB de manera que la relación que existe entre We y Epe es: Epe We expresión formalmente análoga a la obtenida para cualquier fuerza conservativa: Ep Wc . ENERGÍA MECÁNICA Sea WT el trabajo total ejecutado por un sistema, suma del trabajo desarrollado por la fuerzas internas Wint y las fuerzas externas Wext WT = Wint + Wext Desglosemos el trabajo de las fuerzas externas en el realizado por las fuerzas conservativas Wc y las no conservativas Wnc: Wext = Wc + Wnc por lo que WT = Wint + Wc + Wnc Supongamos que estamos ante un sistema rígido donde las fuerzas internas no pueden modificar las distancias entre sus partículas; por lo tanto, Wint = 0. Y teniendo en cuenta que Wc = – Ep: WT = – Ep + Wnc Pero, según el teorema de la energía cinética WT = Ec. De donde: Agustín E. González Morales 115 Ec = –Ep + Wnc es decir: Wnc = Ec + Ep = E donde E es la energía mecánica y E su variación. Obsérvese que, si Wnc = 0, sólo pueden actuar fuerzas conservativas y la energía mecánica tiene que conservarse ya que E = 0. De esta manera, llegamos al conocido como teorema de conservación de la energía mecánica, cuyo enunciado dice que si sobre un sistema actúan sólo fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la potencial que posee en la posición A es la misma que la que tiene en la posición B. En efecto: Ec + Ep = 0 como Ec = EcB – EcA y Ep = EpB – EpA entonces E Ec A Ep A Ec B Ep B si Wint 0 y Wnc 0 A la luz de este teorema podemos evaluar el movimiento del cuerpo de la figura de la página siguiente. Si elegimos el plano XY como nivel de referencia para medir alturas y suponemos que el cuerpo parte del reposo desde la posición 1, su energía mecánica en ese punto es sólo la potencial: E1 = mgh1 La energía mecánica en la posición i es: E i Eci Epi 1 mvi2 mgh i 2 Pero en la posición 6 la altura es cero, por lo que la energía mecánica es sólo la cinética: E6 1 mv 62 2 Estudiemos dos casos: sin rozamiento y con rozamiento; y contestemos las siguientes preguntas: ¿Supera el cuerpo las alturas h4 y h5?, ¿supera la altura h 5 ' ?, ¿conseguirá, con el tiempo, detenerse en algún lugar del recorrido?, ¿en qué punto adquiere la máxima velocidad? Sin rozamiento Si en el recorrido sólo interviene el peso como fuerza conservativa, o, lo que es lo mismo, el rozamiento es despreciable, entonces la energía mecánica se conserva: E1 = … = E i = … = E6 Agustín E. González Morales 116 por lo tanto E1 = E4 = E5 mgh1 1 1 mv 24 mgh 4 mv52 mgh 5 2 2 de donde v 4 2g ( h1 h 4 ) v 5 2g ( h1 h 5 ) como 5' h1 > h4 h1 > h5 1' Z 1 2 el cuerpo supera las alturas h4 y h5. Y Pero, si se moviese por el camino de puntos, la velocidad en la cima 5' sería 3 4 v 5 ' 2g ( h1 h 5 ' ) 5 6' imposible de alcanzar, pues 6 h1 h1' h 5' X por lo tanto, no puede superar la altura h 5' ni, por supuesto, llegar a la posición 6'. Además, si siguiese el camino de puntos permanecería oscilando permanentemente entre las posiciones 1 y 1' , pues h1 h1' es decir, estaría continuamente efectuando el recorrido 1, 2, 3, 4, 1' , 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 1' , … Pero, si siguiese el otro recorrido llegaría a la posición 6 con la máxima velocidad, sin detenerse: v 6 2g(h1 h 6 ) 2gh1 pues h6 = 0. Con rozamiento El rozamiento es una fuerza no conservativa, por lo tanto, la energía mecánica no permanece constante, pues Wnc = Ec + Ep = E La expresión anterior, evaluada entre dos posiciones A y B, puede escribirse de la siguiente manera: Ec A EpA Ec B Ep B Wnc donde Wnc es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas; en este caso, el rozamiento. Es decir, la diferencia de energía mecánica que existe entre las posiciones A y B se emplea en vencer la fuerza de rozamiento. Por lo tanto, entre las posiciones 1 y 4, se cumple Agustín E. González Morales 117 mgh1 1 mv 24 mgh 4 Wroz 14 2 mgh1 1 mv52 mgh 5 Wroz 15 2 y entre 1 y 5 donde Wroz 14 y Wroz 15 son los trabajos desarrollados por la fuerza de rozamiento a lo largo de las trayectorias 1-4 y 1-5. Por lo tanto v 4 2g (h 1 h 4 ) 2Wroz14 m v 5 2g ( h 1 h 5 ) 2Wroz15 m y el cuerpo alcanzará las altura h 4 y h 5 si 2g(h1 h 4 ) 2g(h1 h 5 ) 2Wroz 14 m 2Wroz 15 m 0 0 Además, no puede llegar hasta la altura h 5 ' , y la velocidad máxima se alcanza en el punto 6: v 6 2g ( h1 h 6 ) 2Wroz 16 m Por último, si sigue el camino de puntos empieza a oscilar de manera amortiguada: en primer lugar, entre la posición 1 y otra de altura inferior a la de 1' , para, a continuación, retroceder y alcanzar la posición 2, y, así sucesivamente, hasta que, tras sucesivas idas y venidas, se detiene en 3, el punto de esta trayectoria en el que el cuerpo posee la menor energía potencial. DETERMINACIÓN DE LA FUERZA CONSERVATIVA MEDIANTE LA ENERGÍA POTENCIAL Hasta ahora hemos obtenido las energías potenciales a expensas de las fuerzas conservativas. Efectuemos el proceso inverso: conocida la energía potencial de un cuerpo o sistema, calculemos la fuerza conservativa que actúa sobre él. Como el trabajo desarrollado por una fuerza conservativa F es WF F·d r Ep entonces F·d r dEp donde dEp es la variación infinitesimal que experimenta la energía potencial al actuar F a lo largo del recorrido infinitesimal d r . F Teniendo el cuenta la expresión del producto escalar: dr F dr cos α dEp Fr Agustín E. González Morales 118 observamos que la máxima variación (en valor absoluto) de la energía potencial se produce en la dirección que coincide con la dirección de la fuerza ( cos 1; es decir, 0). Y si Fr F cos es la proyección de la fuerza sobre la dirección d r , entonces Fr dEp dr Como vemos, la componente según dr de la fuerza conservativa es la derivada de la energía potencial en la dirección en la que la variación de dicha energía es máxima. Además, si la energía potencial permanece constante en cierta dirección, entonces la componente de la fuerza en esa dirección es nula. Matemáticamente, el proceso anterior se denomina derivada direccional y puede calcularse empleando un operador denominando gradiente, que estudiamos someramente a continuación, al definir los campos escalares. CAMPOS ESCALARES Si a cada punto P de una región R del espacio se le asigna un número real U (como sucede, por ejemplo, con la energía potencial gravitatoria o la altura sobre el nivel del mar), se dice que R es un campo escalar, tal que U U ( r ), donde r es el vector de posición de P. Si P se define mediante sus coordenadas cartesianas x, y, z; entonces U = U(x, y, z). En particular, la región R puede ser plana, entonces bastan dos coordenadas: U = U(x, y). Se llama superficie de nivel o superficie equiescalar al lugar geométrico de los puntos de R en los cuales U toma el mismo valor (por ejemplo, donde la energía potencial gravitatoria o la altura es constante). Una propiedad que cumplen las superficies de nivel es que no se pueden cortar, pues, de lo contrario, U tomaría valores distintos en los puntos de corte. Si R es plana hablamos de las llamadas líneas o curvas de nivel. Gradiente de U: grad (U) ó U Definimos el operador nabla como el pseudo vector i j k x y z Para evaluar las variaciones que sufre U, al desplazarnos de un punto a otro infinitamente próximo, se define el gradiente U (léase nabla de U o gradiente de U) en un punto P como el vector perpendicular en P a la superficie de nivel que pasa por ese punto en la dirección de la máxima variación del campo escalar, cuyo sentido es el de los valores crecientes de U y cuyas coordenadas son las derivadas parciales de U en P. U U U U i j k x y z El cambio experimentado por U se calcula mediante la siguiente expresión: Agustín E. González Morales 119 dU U U U dx dy dz U · d r x y z Un ejemplo de campo escalar 840 860 En un mapa geográfico, a cada punto P(x,y) le corresponde un número real U que expresa la altura de P: U = U(x, y). Todos los puntos que tienen la misma altura forman las curvas de nivel (840, 860, 880). El gradiente representa la pendiente máxima del terreno en un punto. Es mayor en las zonas donde más se juntan las curvas de nivel y menor donde más se separan: a mayor gradiente, mayor pendiente del terreno. 880 Dire n de cci ó or men gr nte adie Ma yor gra die n te CAMPOS VECTORIALES Si a cada punto P de una región R del espacio se le asigna un vector V, se dice que R es un campo vectorial, tal que V V( r ), donde r es el vector de posición de P. Las componentes de V son, en general, funciones de las coordenadas de P. Si P se define mediante sus coordenadas cartesianas, entonces: V = f1(x,y,z) i + f2(x,y,z) j + f3(x,y,z) k Las líneas vectoriales de un campo son las tangentes a V en cada punto P. Por cada punto de R pasa una sola línea de campo, pues, de lo contrario, V tomaría valores distintos en los puntos de corte. Si los vectores del campo son fuerzas, el campo se llama campo de fuerzas y las líneas de campo se denominan líneas de fuerza. Circulación Г Supongamos una curva C en el seno de un campo vectorial V; si d r es un elemento diferencial de longitud sobre C, definimos la circulación de V a lo largo de C mediante la siguiente integral curvilínea: V·d r C Si estamos en presencia de un campo de fuerzas, la circulación es el trabajo realizado por V a lo largo del camino C. Como dijimos, en los campos conservativos la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula. Flujo Si en un campo vectorial V consideramos una superficie infinitesimal dA, el flujo elemental del campo a través de esta superficie es dФ = V dA cos α, siendo α el ángulo formando por V y la Agustín E. González Morales 120 normal a la superficie. Si representamos dA por un vector perpendicular a la superficie, el flujo infinitesimal es: d V·dA Y para calcular el flujo total a través de una superficie A: V·dA A Imaginemos un fluido que circula por una tubería. Intuimos que el flujo sería la cantidad de fluido que, por unidad de tiempo, atraviesa una superficie perpendicular situada en su seno. Divergencia: ·V (también div V) La divergencia de V es el producto escalar simbólico del operador nabla por V. · V i j y z x k · (f 1 i f 2 j f 3 k) f f f ·V 1 2 3 x y z Consideremos un pequeño volumen τ en el espacio ocupado por el campo V donde está el punto P, y sea A la superficie que lo envuelve. La divergencia de V también es el flujo que, por unidad de volumen, atraviesa A. 1 ·V lim 0 V·dA A Para aclarar la idea de divergencia imaginemos un pequeño cilindro, situado en el seno de un líquido, con sus generatrices paralelas a la dirección de la velocidad del fluido. Por una base del cilindro entra líquido y por la otra sale. Si la cantidad que entra es la misma que la que sale, la divergencia es nula. Pero, si en ese cilindro existiese un manantial o un sumidero de fluido, la cantidad que entra sería distinta de la que sale. Pues bien, la divergencia mediría esa diferencia de flujo. El teorema de la divergencia (de Gauss-Ostrogradsky), establece que la integral del flujo a lo largo de una superficie cerrada A es igual a la divergencia de V en el volumen encerrado por A. La idea intuitiva es análoga a la explicada en el párrafo anterior. A V·dA div V d Vol Rotacional: x V (también rot V) El rotacional de V es el producto vectorial simbólico del operador nabla por V. i xV x f1 j y f2 k f3 f 2 f1 f3 f 2 f1 i k j x y z z x x y f3 Agustín E. González Morales 121 Si x V 0 entonces las derivadas cruzadas de las componentes de V deben ser iguales. Esta anulación es condición necesaria y suficiente para afirmar que existe un campo escalar de energía potencial asociado al campo vectorial de V. Por eso se dice que un campo vectorial en el que es posible definir una energía potencial es irrotacional. De ahí que en los campos irrotacionales las superficies de nivel asociadas se llamen también superficies equipotenciales. Además, el campo escalar asociado a uno vectorial es conservativo si y sólo si el campo vectorial es irrotacional. El Teorema de Stokes establece que la circulación de V a lo largo de una línea cerrada C es igual al rotacional de V a lo largo de una superficie A limitada por C. V·dr (rot V) · dA C A Intuitivamente, podemos imaginarnos que si hacemos remolinos (rotacionales) en la superficie de una bañera con agua, el agua llegará a rotar por el borde de la bañera con una circulación provocada por dichos remolinos. Ejemplos de campos vectoriales. La corriente de un río es un campo vectorial de velocidades. En un instante determinado cada punto P del agua tiene una velocidad. Las líneas vectoriales en estos campos se llaman líneas de flujo y si los campos son estacionarios (aquéllos cuyas velocidades en cada punto no dependen del tiempo, aunque pueden cambiar de punto a punto) representan las trayectorias de las gotas de agua, esto es, las líneas de corriente. Si la corriente es laminar el campo es irrotacional; pero, si es turbulenta, los torbellinos provocan que el rotacional no se anule. Los campos gravitatorio y electrostático son campos vectoriales irrotacionales, por eso podemos definir en ellos campos escalares asociados. Precisamente las energías potenciales gravitatoria y electrostática son esos campos escalares. Sin embargo, como veremos en el tema IX, el campo magnético es rotacional, de ahí que no sea conservativo ni sea posible definir una energía potencial magnética. Además la divergencia del campo magnético es nula, pues es imposible aislar un solo polo magnético: si existe el polo Norte también debe existir el Sur. CHOQUES ENTRE CUERPOS Durante los choques entre cuerpos se generan fuerzas de contacto relativamente intensas que actúan durante un tiempo muy breve. Si se considera como sistema en estudio al formado por los cuerpos que chocan, dichas fuerzas son internas; por lo tanto, debe conservarse la cantidad de movimiento total del sistema. Además, estas fuerzas de contacto no pueden modificar la posición del cdm del sistema. Choque oblicuo Consideremos dos puntos materiales 1 y 2 de masas m1 y m2 que se mueven en un mismo plano, cuyas velocidades un instante infinitesimal antes del choque son v1 y v 2 . Las direcciones de dichas velocidades se miden respecto al sistema de referencia n-t de la figura, donde n es el eje perpendicular en el punto de contacto y t el normal a n, con los sentidos positivos que se indican. Un instante infinitesimal después del rebote, los cuerpos adquieren las velocidades v1d y v 2d . Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento: Agustín E. González Morales 122 m1 v1 m 2 v 2 m1v1d m 2 v 2 d Descomponemos esta ecuación vectorial en dos ecuaciones escalares, según los ejes n y t. En el eje n: m1 v1 sen 1 m 2 v 2 sen 2 m1v1d sen 1d m 2 v 2d sen 2d (a) Como en el eje t no existe impulso, los cuerpos 1 y 2 no sufren variación de velocidad en dicha dirección: v1 cos 1 v1d cos 1d (b) v 2 cos 2 v 2d cos 2d (c) v 2d n 2d v1d 1d v2 Conocidas las masas m1 y m2 y los valores antes del choque v1, v2, θ1 y θ2; las ecuaciones (a), (b) y (c) tienen cuatro incógnitas: v1d, v2d, θ1d y θ2d. Por tanto, se necesita una cuarta relación para determinarlas. Para ello, se define el coeficiente de restitución k como el cociente entre las velocidades relativas entre ambos cuerpos después del choque y antes del choque con signo negativo. t 2 v1 k Velocidad relativa de separación Velocidad relativa de acercamiento 1 En el caso de la figura es: k v1d sen 1d v 2d sen 2d v1 sen 1 v 2 sen 2 Choque elástico Un valor de k = 1 indica que la capacidad de los dos cuerpos para restaurarse es exactamente igual a la de deformarse; es decir, ambos cuerpos son perfectamente elásticos, de ahí que este tipo de choque sea llamado choque elástico (o perfectamente elástico). En él no se produce pérdida de energía. Por lo tanto, en un choque perfectamente elástico se conserva la energía cinética: 1 1 1 1 m 1 v12 m 2 v 22 m1 v12d m 2 v 22d 2 2 2 2 En la Naturaleza no se produce ningún choque perfectamente elástico, porque siempre existen consumos de energía en la deformación durante el impacto, en la creación de ondas elásticas internas a los cuerpos que chocan y en la generación de calor y energía sonora. Sin embargo, podemos suponer con gran aproximación que el choque entre dos bolas de billar es elástico. Otros choques que se pueden considerar elásticos son las colisiones entre átomos, núcleos y partículas atómicas, etc. Analicemos el siguiente caso: Un cuerpo, perfectamente elástico, choca oblicuamente con otro, también elástico, en reposo y de masa mucho mayor. Determinar la velocidad después del choque y la relación entre los ángulos de impacto y rebote. Agustín E. González Morales 123 Es el problema clásico de la bola de billar que choca oblicuamente en la banda de la mesa, donde se puede suponer que el choque es perfectamente elástico. En la figura se aprecian las velocidades antes del choque v y después del choque v d , descompuestas en v a , v b , v da y v db . La componente v a no se ve alterada, pues sólo produce un movimiento de avance paralelo a la banda; es decir: v a v da va vb v v db vd Y, como el choque es perfectamente elástico: v b v db v da En estas condiciones, los módulos de v y v d son iguales v = vd y también se cumple que θ=α=β Choque inelástico Cuando k = 0 estamos en presencia del llamado choque inelástico o plástico, en el cual los cuerpos quedan unidos tras el choque y la pérdida de energía es máxima. Como la velocidad de ambos cuerpos después del choque, v d , es la misma, entonces: m 1 v1 m 2 v 2 (m 1 m 2 ) v d La energía cinética del sistema antes del choque es mayor que la que tiene después. El choque de un proyectil que impacta contra un blanco sin traspasarlo puede considerarse perfectamente inelástico. Choque no perfectamente elástico En el resto de los casos, cuando el valor del coeficiente de restitución está comprendido entre cero y uno 0 < k < 1, el choque se denomina no perfectamente elástico. Son los choques reales. Choque central Un choque es central cuando las direcciones de las velocidades de choque y de rebote definen una misma recta. Por lo tanto, los ángulos θ1, θ1d θ2 y θ2d son todos de 90º. Veamos dos ejemplos: 1. Se deja caer una pelota desde una altura h y rebota en el suelo hasta una altura 0.64h. Calcular el coeficiente de restitución. Si el cuerpo 1 es la pelota y el 2 es el suelo inmóvil, la expresión de k se reduce a: k v1d v1 Agustín E. González Morales SR v1 v1d (+) 124 La velocidad v1d es positiva según el sistema de referencia de la figura, y será la necesaria para alcanzar la altura 0.64h; mientras que v1 es la adquirida por la pelota al caer desde una altura h y su signo es negativo. Por tanto: k 2g·0.64h v1d 0.8 v1 2gh 2. Dos bolas de billar de masas m1 y m2 se desplazan hacia la derecha por la misma línea recta con velocidades v1 y v2 tal que v1 > v2. Chocan de manera que la bola 1 alcanza y golpea a la 2. Suponiendo que el choque es elástico, calcular las velocidades tras el choque. m1 v1 m 2 v 2 m1v1d m 2 v 2 d Considerando que tras el choque ambas bolas se siguen desplazando hacia la derecha, la igualdad vectorial anterior se convierte en escalar: m1 v1 m 2 v 2 m1v1d m 2 v 2 d Agrupando términos: m1 ( v1 v1d ) m 2 ( v 2 d v 2 ) (a) Como el choque es elástico, se conserva la energía cinética: 1 1 1 1 m1v12 m 2 v 22 m1v12d m 2 v 22 d 2 2 2 2 Simplificando y agrupando términos: m1 (v12 v12d ) m 2 (v 22d v 22 ) es decir: m1 ( v1 v1d )(v1 v1d ) m 2 ( v 2d v 2 )(v 2 d v 2 ) (b) Dividiendo (b) entre (a): v1 v1d v 2 v 2 d (c) Resolviendo el sistema formado por (a) y (c), tomando como incógnitas v1d y v2d: v1d m1 m 2 2m 2 v1 v2 m1 m 2 m1 m 2 v 2d m 2 m1 2m1 v2 v1 m1 m 2 m1 m 2 Estas dos ecuaciones permiten resolver cualquier choque central (frontal o en persecución, incluso con un móvil parado), sin más que establecer un criterio de signos para las velocidades. Así, si el choque es frontal porque, por ejemplo, v 2 se dirige hacia la izquierda, y v1 0, entonces v 2 0 ; es decir, bastaría cambiar el signo de v2 en las expresiones anteriores. Agustín E. González Morales 125 EJERCICIOS 1. Se diseña una columna cilíndrica con discos iguales de 1 m de altura y 50 kg cada uno, que han de colocarse uno encima del otro. Hallar el trabajo necesario para construir una columna que tenga 10 m. (g = 10 m/s2). Resp.: 24750 J 2. Un móvil de 1 kg se desplaza según la trayectoria x = 3t2, y = –2t, z = 3t en el S.I. Hallar la potencia desarrollada en t = 1 s. Resp.: 36 W 3. Una bala de 10 g incide horizontalmente a 400 m/s sobre un bloque en reposo de 390 g, incrustándose en él. Calcular la pérdida de energía mecánica, si se desprecian los rozamientos. Resp.: 780 J 4. Un proyectil de 15 g sale a 100 m/s por la boca del cañón de un fusil, cuya ánima mide 75 cm de largo. ¿Qué fuerza impulsa al proyectil, supuesta constante? Resp.: 100 N 5. Un motor de 12.5 KW eleva un montacargas de 500 kg a 50 m de altura en 25 segundos. Calcúlese el rendimiento del motor (g = 10 m/s2). Resp.: 80% 6. Un resorte de masa despreciable y longitud AB cuelga del techo por A. En el extremo B una masa m oscila desde B (posición inicial del resorte sin la masa m colgada) hasta C. El segmento BC mide h. Calcular la energía elástica cuando pasa por C. Resp.: mgh 7. Un vagón de 10000 kg parte del reposo y viaja 300 m cuesta bajo por una pendiente del 1%. Con la velocidad adquirida sube 60 m por una pendiente del 2% hasta detenerse. Calcular la fuerza de rozamiento, supuesta constante, que existe durante todo el recorrido (g = 10 m/s2). Resp.: 400 N 8. Un ciclista pesa con su bicicleta 700 N y sube una pendiente del 5% a 36 km/h. Despreciando rozamientos, ¿qué potencia desarrolla? Resp.: 350 W 9. Un bloque de masa M comprime un resorte una longitud x. Se deja en libertad de manera que el bloque se desplaza por una superficie horizontal sin rozamiento a velocidad v. El mismo muelle proyecta un segundo bloque de masa 4M con una velocidad 3v. ¿Qué distancia se comprimió en este segundo caso? Resp.: 6x 10. Un futbolista da una patada a un balón de 0.5 kg con una fuerza de 500 N. El balón sale con un ángulo de 45º y cae a una distancia de 40 m. Calcular el tiempo que duró el contacto del pie con el balón. (g = 10 m/s2). Resp.: 0.02 s 11. Un cuerpo se mueve según la trayectoria x = 2t, y = t2 – t, z = 5. Sobre él actúa una fuerza fx = 5, fy = 3t, fz = t2 – t (todas las unidades en el S.I.). Calcular el trabajo efectuado por la fuerza desde t = 2 s hasta t = 3 s. Resp.: 40.5 J 12. Una bola A de 2 kg avanza a una velocidad 3 i + 4 j m/s hacia otra B de 3 kg que está en reposo. Tras el choque, la B sale a 2 i + 3 j m/s. Calcular la velocidad de A. Resp.: 0.5 j Agustín E. González Morales 126 13. Un fusil dispara balas de 2 gramos a 400 m/s. La fuerza variable de los gases de la combustión de la carga de proyección ejercen sobre el culote del proyectil, viene dada por la expresión 320 – 300 x, donde x se expresa en metros y mide la distancia desde el cierre hasta el proyectil. Calcular la longitud del cañón. Resp.: 0.8 m 14. Una bola de 10 g está suspendida de un hilo de 1 m sin masa. Se desplaza de modo que el hilo forma 60º con la vertical. Al soltarla, ¿con qué velocidad pasa por la posición de equilibrio? (g = 10 S.I.). Resp.: 10 m/s 15. Un péndulo balístico consta de una masa de 1.5 kg suspendida de una cuerda de 1 m. Un proyectil de 10 gramos posee una velocidad de 400 m/s y pasa a través de la masa de 1.5 kg. Después del choque el péndulo oscila formando un ángulo máximo de 24º. Calcular la velocidad del proyectil y la energía perdida durante el choque. Resp.: 204.74 m/s, 589.12 J 16. En el campo dado por f(x,y,z) = xy2 + 2xyz – z2, calcular el módulo del gradiente en el punto (1, 1, 0). Resp.: 3 17. Una masa de 20 kg se mueve a 0.5 m/s y choca con otra de 35 kg que está en reposo. Tras el choque, la segunda se mueve a 0.3 m/s en el mismo sentido que llevaba la primera. Calcular el coeficiente de restitución. Resp.: 0.65 18. Calcular el trabajo desarrollado por la fuerza F 2x i yj 3zk cuando su punto de aplicación se traslada desde A (0, 0, 0) hasta B (2, −1, 3). Resp.: 17 19. Señalar cuál de los siguientes campos de fuerzas es conservativo: a) Va = (xy2z, x – y, y2 – x2z); b) Vb = (3e2x, – sen y, x2); c) Vc = (3xy, –2y2, 0); d) Vd = (2xy, x2, 0). Calcular el rotacional y la divergencia de cada campo. Resp.: el campo d es conservativo. 20. Dos bolas de billar de masas 1 y 2 kg, que se desplazan hacia la derecha por la misma línea recta a 20 y 10 m/s respectivamente, chocan de manera que la bola de 1 kg golpea a la de 2 kg. Suponiendo que el choque es elástico, calcular las velocidades tras el choque. 20 50 Resp.: v1d m/s; v 2 d m/s 3 3 21. Una bola de billar (1), que avanza por el eje X a 5 m/s, choca con otra de igual masa (2) que está en reposo en el origen de coordenadas. Tras la colisión las bolas salen desviadas 36º 52’ 11.63” y –53º 7’ 48.37” respectivamente. Calcular la velocidad de cada bola. Demostrar que se trata de un choque elástico. 25 Resp.: 4 y 3 m/s. La energía cinética antes y después del choque es m 2 22. Un bloque de 20000 kg, que se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, impacta a 36 km/h contra otro en reposo de 10 gramos. Suponiendo el choque elástico, calcular la velocidad del segundo. Resp.: 20 m/s 23. Dos bolas B1 y B2 de masas m1 y m2 están suspendidas de dos hilos inextensibles de longitud L. Las bolas se tocan cuando los hilos están verticales. Separamos B1 de su posición de equilibrio un ángulo α, manteniendo el hilo extendido y en el mismo plano vertical que el otro hilo. Al soltar B1 choca con B2 que estaba Agustín E. González Morales α L 127 inmóvil. Calcular: a) la velocidad de B1 cuando choca con B2; b) las velocidades de ambas bolas después del choque supuesto perfectamente elástico; c) las alturas a las que ascienden después del choque. m m2 2 m1 v1 v' 2 Resp.: a) 2gL(1 cos α) , b) v'1 1 v1 , c) En v = 2gh basta m1 m 2 m1 m 2 aplicar los valores v'1 y v'2 calculados en b) para calcular h1 y h2 respectivamente. 24. Una pelota muy elástica de 30 gramos puede rebotar hasta el 90% de su altura original. a) Calcular la energía que se pierde en el primer rebote cuando cae desde 3 metros; b) Si cae desde una altura h inicial y realiza n botes, calcular la altura del bote enésimo; c) ¿Cuántos botes se necesitan para que la altura sea el 1% de la original? Resp.: a) 0.0882 J, b) 0.9n h, c) 44 botes 25. El cable del que cuelga un ascensor de 800 kg mide 120 m y su peso varía uniformemnte desde 15 kg/m metro en el extremo superior a 10 kg/m en el inferior. Calcular el trabajo que se realiza para subir el ascensor, suponiendo que todo el cable se arrolla sobre un torno. Resp.: 1764000 J 26. Sobre un plano inclinado 30º con la horizontal se lanza hacia arriba un cuerpo de 100 gramos, por la línea de máxima pendiente, a 10 m/s. El coeficiente de rozamiento es 0.2. Calcular: a) el espacio que recorre el cuerpo hasta detenerse; b) el incremento máximo de energía potencial; c) el calor desprendido por efecto del rozamiento; d) Si al alcanzar la máxima altura, el cuerpo desciende, ¿cuál es su velocidad al pasar por la posición incial? Resp.: a) 7.5787 m, b) 3.7136 J, c) 0.3087 J, d) 6.973 m/s B 27. Un bloque de 10 kg se desliza sin rozamiento desde A hasta B siguiendo la trayectoria de la figura. Durante el movimiento está solicitado por la fuerza F = (2x2 , 3y2, z2) N. Sabiendo que la velocidad en A es 20 m/s, calcular la velocidad en B. (g = 10 m/s2). Resp.: 21.12 m/s 5 A 6 3 3 28. Sobre unos carriles, sin rozamiento, inicialmente horizontales (zona A de la figura), circula un vagón. En la zona B se convierten en un bucle circular de 0.7 metros de B radio. Finalizan en C, de nuevo horizontalmente. ¿Con C qué velocidad habrá que 1 m A 0.5 m lanzar el vagón desde A para que llegue a C rizando el rizo en B? ¿Con qué velocidad llegará en este caso a C? Resp.: 5.1439 m/s, 4.0817 m/s 29. Sobre una partícula actúa una fuerza F = (4y, 5) (unidades en el S.I.). Demostrar que no es conservativa calculando el trabajo realizado para desplazarse desde el origen al punto (2,2) a lo largo de dos trayectorias: una según el eje X, hasta el punto (2,0) y después continúa paralelamente al eje Y; y la otra que discurre primero por el eje Y, hasta el punto (0, 2) y después continúa paralelamente al eje X. Resp.: 26 30. Una partícula de masa m gira en una trayectoria circular de radio R, con una aceleración normal que varía con el tiempo según an= kt2, donde k es constante. Hallar el valor medio de la potencia durante los primeros T segundos. Resp.: ½ mkRT 31. Se lanza una pelota de 15 gramos mediante una pistola que posee un muelle cuya constante es 600 N/m y que puede comprimirse hasta 5 cm. Calcular: a) la altura que puede alcanzar la Agustín E. González Morales 128 pelota si se dispara verticalmente; b) la distancia horizontal máxima que puede recorrer si se dispara con el ángulo adecuado. Resp.: a) 5.102 m, b) 10.204 m 32. Un esquiador de 70 kg inicia el descenso desde la parte superior de una colina circular con una velocidad inicial pequeña. Despreciando el rozamiento, calcular: a) la velocidad en función de ; b) el ángulo en el que pierde el contacto con la pendiente. Resp.: a) v 2gR (1 cos α) , b) 48º 11’ 23” 33. Desde la superficie de la Tierra se empieza a levantar un cuerpo de masa m aplicándole una fuerza que varía con la altura h según la ley F = 2(k h –1) m g , donde k es una constante positiva. Determinar el incremento de la energía potencial en la primera mitad del camino de ascenso y el trabajo de esta fuerza. Resp.: ½ mgH, ¾ mgH 34. Un bloque de 5 kg se sujeta contra un muelle, cuya constante es 20 N/cm, comprimiéndolo 3 cm. Se deja en libertad y el muelle se alarga empujándolo por una superficie horizontal rugosa con un coeficiente de rozamiento 0.2. a) Determinar el trabajo ejercido por el muelle cuando se alarga desde la posición comprimida hasta la de equilibrio; b) calcular el trabajo ejercido por la fricción sobre el bloque entre las mismas posiciones; c) determinar la velocidad del bloque cuando el muelle está en la posición de equilibrio; d) si el bloque no estuviera unido al muelle, ¿qué distancia recorrería sobre la superficie rugosa? Resp.: a) 0.9 J, b) –0.294 J, c) 0.492 m/s, d) 6.184 cm 35. Un motor eléctrico, cuyo rendimiento es del 85%, acciona un montacargas que pesa vacío 437 kg y que puede cargarse con 1537 kg más. Ha de elevarse hasta 24.6 metros en 35 segundos. a) calcular la potencia media del motor; b) si el arranque (tiempo que tarda en adquirir la velocidad de ascensión) lo realiza en 2.1 segundos, determinar la potencia del motor en ese intervalo; c) calcular la potencia necearia para subir el montacargas vacío a la misma velocidad. Resp.: a) 15.996 kW, b) 8.536 kW, c) 3.651 kW 36. Se dispone de una cuerda elástica de longitud natural L y constante k. Cuando se cuelga de ella verticalmente un objeto de masa m, se alarga hasta una longitud L’. Uno de los extremos de la cuerda se ata a la parte superior de un plano inclinado sin rozamiento que forma 30º con la horizontal. Una vez que la cuerda descansa sobre el plano, se ata a ella el objeto de masa m, que se libera desde una posición en que la cuerda posee su longitud original. Calcular la distancia recorrida por el objeto a lo largo del plano antes de alcanzar el primer punto de reposo. Resp.: L’ – L 37. Se lanza una pelota a 19.6 m/s formando 15º con la horizontal y rebota en una pared sin rozamiento situada a 4.9 m, de manera que vuelve al punto de lanzamiento. Calcular el coeficiente de restitución. Resp.: ⅓ 38. Un móvil de masa M gira sin fricción en el exterior de un carril circular de radio R y centro O. Se mueve bajo la acción de la gravedad y de un resorte de constante k, con el extremo unido a un punto fijo Q tal que OQ = ½ R. El resorte está sin tensión cuando el móvil está en S. a) Si el móvil se encuentra en T, hallar la energía potencial del móvil en función del ángulo que forma OQ con OT; b)determinar la energía cinética mínima que debe tener el móvil en S para que llegue a recorrer toda la circunferencia. Resp.: a) Resp.: EpT = MgR (cos – 1) + 0.125 kR 2 ( 5 4 cos 1) 2 b) Ecmin = –2MgR + ½kR2 Agustín E. González Morales S Q O T P 129 39. Colocamos una cuerda flexible de longitud L sobre una mesa de tal forma que parte de ella cuelga por un extremo. Se deja caer desde una posición en la que se equilibran el peso del trozo que cuelga y el rozamiento dinámico de coeficiente μ. Calcular la velocidad de la cuerda cuando el extremo que está sobre la mesa llega al borde de la misma. gL Resp.: v 1 40. Dos partículas de 4 y 6 kg están situadas en los puntos (0,3) y (4,0) del plano OXY y se mueven a 2 i y 3 j m/s respectivamente. a) calcular el momento angular total respecto a O y respecto al sistema de referencia del cdm; b) determinar la energía cinética total relativa a O y al sistema de referencia del cdm; c) supongamos ahora que las partículas están unidas a un resorte de constante 2·103 N/m, incialmente sin estirar, ¿cómo afecta a la posición del cdm?; d) si en un instante el resorte está alargado 4 cm, hallar las energías cinética y potencial del sistema. Resp.: a) 48 k, 14.4 k , b) 35 J, 19.4 J, c) No afecta, d) 14 J, 1.6 J 41. Una partícula se mueve en una dimensión bajo un campo de fuerzas conservativo. Su energía potencial viene dada por la expresión U (x ) senx (con x en m y U en J). x Determinar: a) la fuerza f(x) que actúa sobre dicha partícula; b) el trabajo que realiza el campo cuando la partícula se desplaza desde el punto x1 = π/6 hasta x2 = π/3. Resp.: a) f ( x ) sen x - x2 cos x , b) 0.1279363 J x 42. La fuerza de resistencia ejercida por el agua sobre el casco de un determinado buque de 12·106 kg, para velocidades de 10 a 20 km/h, es una función de la velocidad del tipo F = – kv3. a) Calcular k sabiendo que, cuando el motor suministra una potencia de 4 MW, la velocidad límite es 18 km/h; b) determinar la distancia recorrida por el buque lanzado y con el motor parado mientras su velocidad disminuye de 16 a 13 km/h, ¿cuál es la duración de este decrecimiento? Resp.: a) 6400, b) 97.4 m, 24.4 s 43. Un cordón flexible, que pasa por una polea muy pequeña, lleva en sus extremos dos masas de P y Q kg. El segundo resbala a lo largo de una barra perfectamente pulida. Hallar la velocidad de Q en función del camino recorrido, suponiendo que en el instante inicial se encuentra en reposo a la altura de la polea. Resp.: v 2gf Qx P( f a ) Q Px 2 Qf a x 44. La cantidad de energía que un cierto sistema pierde por unidad de H Q tiempo en un instante determinado es directamente proporcional a la P energía total del sistema en ese instante. a) Determinar una ecuación diferencial que relacione la energía E con su variación por unidad de y tiempo según la hipótesis del enunciado; b) resolver la ecuación diferencial para obtener una ecuación general correspondiente a la Nivel de ref. energía del sistema en función del tiempo; c) hallar la constante de integración sabiendo que se pierde el 10% de energía en 10 segundos; d) en estas condiciones, ¿cuánto tiempo necesitará el sistema para perder la mitad de su energía? dE Resp.: a) C·E , b) E = E0 exp (– C·t), c) C = 0.0105 s-1, d) 65.79 s dt 45. Dos varillas homogéneas de masas M y m y longitudes A y B, que pueden girar independientemente alrededor de la misma articulación, caen desde su posiciones iniciales de reposo y . Determinar la relación que debe existir entre estos ángulos para que ambas lleguen a la posición inferior con la misma energía cinética. Agustín E. González Morales 130 Resp.: sen 2 sen 2 mB mA 46. Un móvil de 2 kg sigue una trayectoria horizontal merced a una fuerza horizontal dirigida siempre en la dirección de la velocidad, con una potencia constante de 1 W. Calcular: a) la ecuación del movimiento si el móvil inicia el movimiento en t = 0; b) la velocidad, la aceleración y el tiempo invertido a los 144 m de recorrido. 2kt 1 Resp.: a) x t , b) 6 m/s , m/s2, 36 s 3 12 47. Una pelota de peso P atada a una cuerda se pone en rotación en una circunferencia vertical, manteniendo constante su energía mecánica. Si A es la tensión de la cuerda en el punto más alto y B en el más bajo, demostrar que B = A + 6P. Agustín E. González Morales 131 TEMA VI DINÁMICA DE ROTACIÓN DEL SÓLIDO RÍGIDO Sólido rígido Movimiento alrededor de un eje fijo Momento de Inercia Energía cinética de rotación Teorema de las figuras planas Momentos de inercia de cuerpos compuestos Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Algunos momentos de inercia Radio de giro Momento angular total. Momento angular respecto a un eje Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje Ecuación fundamental de la Dinámica de rotación Rodadura y deslizamiento Trabajo de rotación. Potencia Analogías entre la traslación y la rotación Ejercicios Agustín E. González Morales 132 TEMA VI SÓLIDO RÍGIDO La característica que define a un sólido rígido es que las distancias entre todas sus partículas no varían con el tiempo. Por lo tanto, en los movimientos de traslación todas ellas tienen la misma velocidad v, con trayectorias (rectilíneas o curvilíneas) paralelas, mientras que en los movimientos de rotación describen trayectorias circulares en planos perpendiculares al eje de rotación. Además, en un instante dado, todas se mueven con la misma velocidad angular ; pero, la velocidad lineal de cada una es directamente proporcional a su distancia al eje de giro. En realidad, los sólidos rígidos no existen en la Naturaleza, pues todos los cuerpos se deforman al estar sometidos a la acción de fuerzas. Precisamente en la entidad de esta deformación reside la validez de la aproximación como sólido rígido; así, un trozo de acero a temperatura ambiente es un excelente sólido rígido; pero, por el contrario, esta aproximación sería inadecuada en un resorte cuya característica principal es su capacidad para deformarse. MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Dadas las características del sólido rígido que acabamos de definir, podemos afirmar que en él se cumple la siguiente relación, que ya conocemos, entre la velocidad angular del sólido en torno a un eje (como el Y de la figura) y la velocidad lineal de una de sus partículas como la i: v i x ri x R i Y siendo Ri = ri sen φ R i con el módulo de θ d dt φ y Z O r i v i X vi = ω ri sen φ = ω Ri También se cumple en el sólido rígido que la aceleración total de la partícula i se puede escribir en función de sus componentes intrínsecas; es decir, de la aceleración tangencial y la aceleración normal o centrípeta, de manera que: a i a ti a ni siendo a ti x ri x R i ; a ni x ( x ri ) x ( x R i ) Agustín E. González Morales 133 Todo ello, permite descomponer el movimiento general de un sólido rígido en una traslación de su cdm y en una rotación en torno a él; siéndole, por tanto, de aplicación todos los cálculos y aproximaciones que hemos realizado en los temas anteriores. MOMENTO DE INERCIA: I Supongamos que un sólido rígido sólo gira alrededor de un eje fijo. En este caso, la energía cinética de cada partícula es Ec ri 1 m i v 2i 2 Acabamos de escribir Ecr, en vez de Ec, para denotar que se trata de una energía cinética asociada a la «rotación», pues, insistimos, el sólido sólo gira en torno a un eje fijo. Sustituyendo vi = ωRi, y teniendo en cuenta que ω es un factor común, pues todas las partículas tienen la misma velocidad angular, entonces: Ec ri 1 2 m i R 2i 2 Y la energía cinética de todas las partículas, o sea, la del sólido rígido completo es: Ec r 1 2 (m i R i2 ) 2 (1) El contenido del paréntesis de la expresión anterior se conoce con el nombre de momento de inercia I del sólido respecto al eje, que, según lo consideremos como un sistema discreto o continuo de partículas, podemos expresarlo de las siguientes maneras: I = miRi2 (sistema discreto) I= 2 r dm (sistema continuo) Como se puede apreciar, el valor de I depende de la distribución de la masa en torno al eje de giro, de manera que las partículas más alejadas tienen mayor contribución que las más cercanas a él. También debemos tener presente que a cada eje de rotación le puede corresponder un momento de inercia de valor distinto. Por último, el momento de inercia es una magnitud escalar positiva, y su unidad en el S.I. es el kg·m2. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN Basta sustituir el paréntesis de (1) por I para obtener la expresión de la energía cinética de rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje fijo: Ec r 1 2 I 2 Además, teniendo en cuenta las propiedades que ya conocemos del cdm, se cumple que: EcG 1 I G 2 2 Agustín E. González Morales 134 donde EcG es la energía cinética de rotación de un sólido rígido que gira alrededor de un eje que pasa por el cdm, cuyo momento de inercia en torno a ese eje es IG. Obsérvese que, en el caso de que el giro se produzca en torno al cdm, no es necesario que el eje de rotación esté fijo, pues, como hemos dicho, el movimiento arbitrario de un sólido rígido de masa m se puede descomponer siempre en una traslación del cdm a velocidad vG y una rotación alrededor de uno de estos ejes. De esta manera, la energía cinética total, Ec, es la suma de la de traslación y la de rotación respecto al eje considerado: Ec 1 1 mv 2G I G 2 2 2 TEOREMA DE LAS FIGURAS PLANAS En una figura plana (contenida en el plano YZ, por ejemplo), considerada como sistema continuo, el momento de inercia respecto al eje X es Z y IX = r2dm dm al eje Y es r 2 IY = z dm z y al eje Z es X IZ = y2dm Y Pero, al cumplirse la relación pitagórica r2 = y2 + z2, entonces: IX = I Y + I Z Expresión conocida como teorema de las figuras planas. Al mismo resultado hubiésemos llegado considerando que la figura plana es un sistema discreto. MOMENTOS DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS Las expresiones matemáticas del momento de inercia permiten afirmar que el momento de inercia de un sólido es igual a la suma de los momentos de inercia de cada una de las partes en las que puede dividirse. Así, aplicando esta propiedad podríamos calcular el momento de inercia del disco de la figura restando al momento de inercia del disco completo el del trozo que le falta. TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS Sea IG el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el cdm de un cuerpo de masa M, e I el momento de inercia respecto a un eje paralelo a aquél, situado a una distancia d. El teorema de Steiner establece que: I = IG + Md2 En efecto, si en la figura el eje Y pasa por el cdm, la distancia a dicho eje es: Agustín E. González Morales 135 R i2 x i2 z i2 Y Y' Mientras que la distancia al eje Y’, paralelo al Y, respecto al cual queremos conocer el momento de inercia I, es: mi yi d G R 'i Z' R 'i2 ( x i d) 2 z i2 x i2 2x i d d 2 z i2 X z i X' xi Ri El momento de inercia IG, respecto al eje Y, es: Z I G m i R i2 m i ( x i2 z i2 ) y respecto al eje Y’ es: I m i R 'i2 m i ( x i2 z i2 ) m i 2x i d m i d 2 I I G Md 2 2dm i x i Pero, la coordenada xG del cdm es: xG m i x i M y, como los valores de x están referidos al origen de coordenadas, que coincide con el cdm, entonces xG = 0; por tanto, 2dm i x i 0; es decir, I = IG + Md2 El proceso se ha realizado considerando al sólido como un sistema discreto, pero se obtiene el mismo resultado empleando el modelo de sistema continuo. Hay que tener muy presente que, para aplicar el teorema de Steiner, es imprescindible que uno de los ejes pase por el cdm y que ambos ejes sean paralelos. ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA En la siguiente tabla se presentan algunos momentos de inercia de figuras características: Cuerpo Eje I 1 12 mL2 Barra delgada de longitud L Disco o cilindro macizo de radio R Aro o cilindro hueco de paredes finas y radio R Aro o cilindro hueco de paredes gruesas y radios R y r Disco de radio R Perpendicular por su cdm Eje del disco o cilindro Eje del aro o cilindro Eje del aro o cilindro Diámetro Esfera maciza de radio R Diámetro ½ mR2 mR2 ½ m(R2+r2) ¼ mR2 2 2 mR Esfera hueca de radio R y paredes finas Chapa delgada (a·b) Chapa delgada (a·b) Diámetro El lado b Perpendicular por su cdm ⅔ mR2 ⅓ ma2 1 m(a2+ b2) 12 5 RADIO DE GIRO El radio de giro, k, es la distancia al eje de giro donde podríamos suponer concentrada toda la masa de un sólido rígido, de modo que su momento de inercia sea Agustín E. González Morales 136 I = mk2 Así, por ejemplo, en un anillo delgado de radio R, que gira en torno a un eje que pasa por su centro, I es mR2; y su radio de giro es k = R. Pero, el momento de inercia, en torno al mismo eje, 1 R de un disco homogéneo, del mismo radio y la misma masa, es mR2; y, entonces, k . 2 2 MOMENTO ANGULAR TOTAL. MOMENTO ANGULAR RESPECTO A UN EJE Como decíamos en el tema IV, el momento angular, también llamado momento cinético, es el momento de la cantidad de movimiento respecto a un punto del eje de giro. Y R θ φ Z O Así, en la figura de la izquierda, el momento angular de la partícula de masa mi, respecto al punto O, es: i r i L i ri x m i vi v i X Y se define L e , el momento angular de la partícula de masa mi respecto al eje de giro e, como la componente, según dicho eje, del momento angular respecto a cualquier punto del eje. Se demuestra que su módulo es: Le = Iω sea cual sea el punto del eje elegido. Pero, hay que tener en cuenta que con la expresión anterior no se puede calcular el momento angular total 20 de un sólido rígido sumando los momentos de todas sus partículas L L i . L L Sin embargo, en todos los cuerpos existen al menos tres ejes, perpendiculares entre sí, llamados ejes principales de Eje principal Eje no principal rotación o de inercia, respecto a los cuales el momento L e I L I angular total está alineado con el eje de giro. En tal caso, la expresión anterior puede escribirse en forma vectorial y el momento de inercia se denomina momento principal de inercia21. L I (sólo en los giros en torno a un eje principal) Si el cuerpo es simétrico, los ejes principales de rotación coinciden con algún eje de simetría donde, necesariamente, debe encontrarse el cdm. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO Y RESPECTO A UN EJE Hasta aquí hemos venido hablando del giro de un sólido rígido; pero, ¿qué provoca ese giro? La relación general que liga el momento angular total con la velocidad angular es matricial: L [I] , donde [I] es una matriz simétrica de tres filas y tres columnas, conocida como matriz de inercia. 21 En ese caso, la matriz de inercia es diagonal, de manera que los valores propios de la matriz son los momentos principales de inercia, y los ejes principales de inercia coinciden con los vectores propios. 20 Agustín E. González Morales 137 Para contestar a esta pregunta intentemos hacer girar el objeto de la figura (a). Si el cuerpo no está apoyado en ningún lugar, la acción de una única fuerza como la F sólo sirve para trasladarlo, pero no para conseguir que gire. Basta, sin embargo, aplicar dos fuerzas F' iguales, como las de la figura (b), para lograrlo. Pero, si el eje sobre el que F F deseamos que gire está fijo, parece que sería suficiente una fuerza F, figura (c); sin embargo, es sólo una apariencia, ya que, al Figura (a) Figura (b) estar el eje fijo, cuando aplicamos F, aparece sobre los puntos del cuerpo en contacto con el eje otra fuerza igual y de sentido contrario, F' , ejercida por el eje, figura (d). Pues bien, tanto en la figura (b) como en la (d), el giro está provocado por el F' par de fuerzas F y F'. F F Para caracterizar estos pares de fuerzas se define una nueva magnitud: el momento del par M, tal que si O es el punto de Figura (c) Figura (d) aplicación de una de las fuerzas del par, y r es un vector cuyo origen es O y cuyo extremo es el punto de aplicación de la otra fuerza del par, entonces: MrxF Si comparamos esta definición con la del momento de un vector deslizante respecto a un punto, del capítulo I, vemos que M es el M momento de F respecto al punto fijo O, y, como tal, se trata de un vector F perpendicular al plano formado por F y r O r , cuyo sentido viene dado por la regla del F' avance de un sacacorchos, y cuyo módulo d M F r sen F·d es el producto de una de las fuerzas del par por la distancia perpendicular que las separa, d, también llamada brazo. De esta forma, el momento de una fuerza permite calcular el valor que toma la magnitud causante de la rotación provocada por dicha fuerza, de tal manera que cuanto mayor sea el momento, mayor será la entidad de la rotación, teniendo en cuenta que el momento puede aumentar tanto si lo hace la fuerza como el brazo. Obsérvese que no todas las fuerzas producen movimientos de rotación, como sucede si la dirección de F coincide con la del eje fijo de rotación o con la dirección de r. En ambos casos el momento de F es nulo. Momento de una fuerza respecto a un eje Al igual que hicimos en el capítulo I, definimos el momento de F respecto a un eje M eje como la proyección sobre dicho eje del momento de F respecto a cualquier punto del eje. Agustín E. González Morales 138 M eje Pr oy eje ( r x F) que, como allí demostramos, es independiente del punto del eje elegido. Esta propiedad permite tomar el punto del eje más próximo al punto de aplicación de la fuerza para calcular el momento. Como en muchos casos la fuerza está aplicada tangencialmente en la periferia del cuerpo, como se aprecia en la figura, y en esta situación, F es perpendicular a r (sen α = 1), entonces M es paralelo al eje de rotación, coincidiendo, por tanto, con su proyección, siendo su módulo: M r F Eje “fijo” M M eje r · F ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN Considerando al sólido rígido como un sistema de partículas indeformable, podemos aplicar la siguiente expresión que ya obtuvimos en el tema IV: dL M ext dt (1) que relaciona los momentos exteriores aplicados con la variación del momento angular que provocan, de ahí que sea conocida como la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, en la que hay que tener presente que L y M ext deben determinarse respecto al mismo punto. Si, como suele ser muy habitual, la masa y la forma geométrica del cuerpo permanecen constantes, I es constante y, por tanto: dL d(I) d M ext = I I dt dt dt M ext I (Si I es constante) (2) Por otro lado, como hicimos también en el tema IV, ya sabemos que el impulso angular es el producto M ext dt , cuyo valor según (1) es: M ext dt d(I) Obsérvese que, si no hay fuerzas externas aplicadas, o cuando éstas tienen momento nulo respecto al eje de rotación, la ecuación (1) exige que L = I sea constante (principio de conservación del momento angular); además, según (2), 0; por lo tanto, es constante. De ahí que, despreciando el rozamiento, cuando un patinador en una pista de hielo está girando sobre sí mismo, mantiene L constante al no actuar momentos externos, por lo que tiene que rotar con velocidad angular constante mientras no perturbe su momento de inercia (moviendo, por ejemplo, los brazos o las piernas). Pero, si abre los brazos, entonces aleja parte de su masa del eje de giro, provocando que I aumente y disminuya para que L se conserve. Agustín E. González Morales 139 Rodadura y deslizamiento Una aplicación interesante es el análisis de las circunstancias que permiten que un sólido ruede sin deslizar o ruede y a la vez deslice sobre una superficie determinada. Veamos el siguiente ejemplo: Determinar la condición que debe cumplir el ángulo de un plano inclinado para que un disco de radio R ruede sin desliza. Si el disco rodase y deslizase, calcular la aceleración de su cdm y la aceleración angular. N En el eje X, del sistema de referencia de la figura, aplicamos la 2ª ley de Newton: F = ma y + mg sen – FR = ma O FR x Y empleamos la ecuación fundamental de la dinámica de rotación considerando que los momentos de las fuerzas que provocan giros en el sentido contrario a las agujas del reloj son positivos. Tomando momentos respecto a O: M = I φ φ 2 FR R = ½ mR a/R mg Nótese que es precisamente la fuerza de rozamiento la responsable de que el cilindro gire. Si no existiese tal rozamiento con el plano, el sólido deslizaría sin girar. De las expresiones anteriores deducimos que: a = ⅔ g sen FR = ½ ma Para que el disco ruede sin deslizar es necesario que se cumpla la siguiente condición: FR e N Es decir, la fuerza de rozamiento entre el plano y el disco debe ser menor o igual que la máxima que puede ofrecer el contacto entre el disco y el plano, porque si FR superase este valor, el disco patinaría. Experimentalmente se comprueba que se debe emplear el coeficiente estático de rozamiento μe, pues el movimiento se puede considerar como si fuese una serie de sucesivos instantes en cada uno de los cuales el cuerpo inicia el proceso de rodar. Por tanto: ½ ma emg cos Y sustituyendo el valor de la aceleración, deducimos que φ debe cumplir la siguiente condición: tag 3e Si ahora el disco rueda y a la vez desliza, entonces el valor de la fuerza de rozamiento es: FR = mg cos Obsérvese que aquí tenemos que emplear el coeficiente dinámico de rozamiento. Con FR se puede calcular la aceleración del cdm del disco en la 2ª ley de Newton: Agustín E. González Morales 140 a = g(sen – cos ) Como al deslizar la aceleración tangencial no es igual al producto de la aceleración angular por el radio: a R para calcular la aceleración angular tendremos que retomar la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: M = I FR R = ½ mR2 y sustituir en ella FR = mg cos . Con estas consideraciones obtenemos: 2g cos R TRABAJO DE ROTACIÓN. POTENCIA Obsérvese en la figura que sólo puede realizar trabajo la componente tangencial Fs de F, pues la normal Fn no se desplaza debido a que el eje está apoyado en dos puntos fijos A y B; por tanto: A e dW = Fs · d s = F sen φ ds pero ds = rdθ, luego: r dθ ds φ O Fn Fs F dW = F·r sen φ dθ como F·r sen φ es el valor del momento M de la fuerza F respecto al eje e, el trabajo asociado con la rotación del sólido rígido es: B dW = M dθ Este trabajo se invierte, como sabemos, en aumentar la energía cinética que, en este caso, sólo es de rotación en torno al eje e: 1 dW d I2 2 Si, como suele ser corriente, I es constante, la diferencial del paréntesis es Iω dω; por tanto: dW = Iω dω El trabajo necesario para que se produzca un giro entre la posición angular θ1 y la posición angular θ2 es: 2 W1 2 1 Md 2 I 1 2 2 1 2 I1 2 Agustín E. González Morales 141 Y la potencia desarrollada en la rotación es: P dW Md d M dt dt dt es decir: P=Mω ANALOGÍAS ENTRE LA TRASLACIÓN Y LA ROTACIÓN Si comparamos, por ejemplo, las expresiones p mv y L I, observamos que I y desempeñan en la rotación el mismo papel que m y v en la traslación. Además, en la traslación las fuerzas son las responsables de las variaciones de p, mientras que en la rotación los momentos provocan las variaciones de L. Existen, pues, tres claras analogías entre p y L, m e I, y v y ; pero, podemos encontrar otras. En el siguiente cuadro se muestran las más importantes: TRASLACIÓN Masa Fuerza Desplazamiento Velocidad Aceleración tangencial Impulso mecánico M dp F dt F ma p mv s v = ds/dt at = dv/dt Fdt dp Trabajo Energía cinética Potencia W = F ds ½ mv2 P = Fv Cantidad de movimiento ROTACIÓN Momento de inercia Momento de la fuerza dL M dt M I Momento angular L I θ Ángulo ω =dθ/dt Velocidad angular α = dω/dt Aceleración angular Impulso angular Mdt dL I W = M dθ ½ Iω2 P = Mω Agustín E. González Morales Trabajo Energía cinética Potencia 142 EJERCICIOS 1. Si el momento cinético respecto a un punto es 5t2 k (S.I.), ¿cuál es el momento resultante de las fuerzas que actúan respecto al mismo punto en el instante t = 3? Resp.: 30 k 2. Un cilindro y una esfera de masas iguales y del mismo radio ruedan sin deslizar con velocidades iguales, calcular la relación entre la energía cinética del cilindro E y la de la esfera E1. E 14 Resp.: 1 E 15 3. Rueda sin deslizar una bola maciza de 1 kg por un plano inclinado 30º. El coeficiente de rozamiento estático es 0.4. Calcular la fuerza de rozamiento. Resp.: 1.4 N 4. En lo alto de un plano inclinado 30º de 15 m se coloca un cilindro que baja rodando sin deslizar. Calcular la velocidad de llegada al suelo con g = 10 m/s2. Resp.: 10 m/s 5. Un cuerpo tiene los tres momentos principales de inercia iguales de valor I, ¿cuánto vale el momento de inercia respecto a un eje que, pasando por el cdm, forma ángulos α, β y γ con los ejes principales? Resp.: I 6. Un disco de radio R y masa m rueda sin deslizar sobre un plano horizontal con velocidad V ; a) calcular r , el vector de posición del punto P de la figura respecto al punto de contacto O; b) calcular v P , el vector velocidad de P; c) demostrar que el ángulo formado por r y v P es 90º; d) demostrar que si V es el módulo de la velocidad angular del disco, también resulta ser R vP , donde vP el módulo de la velocidad de P y r el del vector r Y de posición de P; e) los cálculos anteriores demuestran que en el caso de rodar sin deslizar, el movimiento es el mismo que si el P disco estuviese girando instantáneamente alrededor del punto de r' V V contacto O con velocidad angular . Calcular la energía r R R cinética del disco suponiendo que el giro instantáneo se realiza en X O torno a O; f) calcular la energía cinética del disco sumando la energía cinética de traslación del cdm y la de rotación alrededor del cdm y comparar el resultado con el del apartado anterior. Resp.: V V v 3 a ) r r' (cos θ, sen θ); b) v P V r' sen θ, r' cos θ ; c) v P r ; d) ω P ; e) y f) mR 2 R R r 4 7. Un disco homogéneo de 12 cm de radio y 30 kg está rodando sin deslizar sobre una superficie horizontal con una velocidad del cdm de 2 m/s. Calcular el trabajo necesario para detenerlo. Resp.: 90 J 8. Un pegote de masa m y velocidad v choca inelástica y perpendicularmente con el extremo de una barra de masa 6m y longitud L, colgada verticalmente por el otro extremo alrededor del cual puede girar. Después del choque el pegote se adhiere a la barra. Hallar la velocidad angular del conjunto barra-pegote tras el choque. v Resp.: 3L 9. Sobre un plataforma horizontal, que gira a ω rad/s alrededor de su eje vertical, se coloca un objeto cuyo coeficiente estático de rozamiento es . Calcular la máxima distancia al eje a la que se debe situar para que gire sin ser lanzado hacia el exterior. Agustín E. González Morales 143 Resp.: μg/ω2 10. Una polea de momento de inercia I y radio r, está colgada del techo y gira alrededor de su eje. Tiene enrollada una cuerda sin masa de la que cuelga un cuerpo de masa m. Hallar la aceleración con la que desciende el cuerpo al desenrollarse la cuerda. Resp.: a g mr 2 I mr 2 11. Dos pesas de 1 y 2 Kg cuelgan de los extremos de un hilo que laborea a través de una polea cilíndrica de 1 kg que cuelga del techo. Hallar la aceleración de las pesas. 2 Resp.: a g 7 12. a) Un cilindro, una esfera y un aro de la misma masa y radio parten del reposo y desde la misma altura sobre un plano inclinado rodando sin deslizar, ¿cuál llega al pie del plano en último lugar?; b) ahora se lanzan desde el extremo inferior del plano con la misma velocidad de sus cdm, ¿cuál llega más alto?; c) por último, se lanzan desde el pie del plano con la misma energía cinética, ¿cuál llega más alto? Resp.: a) el aro llega el último; b) el aro llega más alto; c) alcanzan la misma altura. 13. Un disco macizo de 1 kg y 0.1 m de radio gira a razón de 10 r.p.s. Mediante una zapata de frenado le aplicamos una fuerza de 10 π N. El coeficiente de rozamiento entre la zapata y el disco es 0.25. ¿Cuántas vueltas da el disco hasta pararse? Resp.: 2 vueltas 14. Un disco metálico de M = 100 gramos gira alrededor de su eje a 360 rpm. Le adosamos en un punto de su periferia un imán, considerado puntual, y el conjunto pasa a girar a 2 rps. ¿Cuál es la masa m del imán? Resp.: 100 gramos 15. Una persona de m = 75 kg se encuentra en el borde de un disco circular de M = 200 kg y 2 m de radio que gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro a 4 rpm. Se pone a caminar hacia el centro y se detiene. ¿Cuál es la nueva velocidad de la plataforma? Resp.: 7 rpm 16. Suponiendo que la contracción que experimenta la Tierra (supuesta esférica) a causa de un enfriamiento global, provoca un acortamiento de un radio en un valor nR, tal que 0>n>1. Calcular la nueva velocidad angular de rotación. 1 Resp.: ω’ = ω ω (1 + 2n) (1 n ) 2 17. Un tiovivo de 2 m de radio está girando sin rozamientos a π rad/s. Un muchacho de m = 60 kg da un salto radial y se sitúa en su borde, con lo que el tiovivo reduce su velocidad a 2π/3 rad/s. Determinar el momento de inercia. Resp.: 480 kg m2 18. Una rueda de masa M y radio R gira alrededor de un eje de radio r, sin masa, que pasa por su centro. En el eje se arrolla un hilo del que pende una masa m que en su descenso hace girar al sistema. Suponiendo que la masa de la rueda está concentrada en su periferia. ¿Cuál es el camino recorrido por m al cabo de t segundos de iniciarse el movimiento? Resp.: s 1 mgr 2 t2 2 mr 2 MR 2 19. Un triángulo equilátero de lado L está formado por tres varillas de densidad lineal λ. Tiene un momento de inercia, respecto a un eje perpendicular al plano del triángulo que pasa por un vértice, cuyo valor es kλL3. Calcular k. Resp.: k = 1.5 Agustín E. González Morales 144 20. La hoja de una bisagra de medidas a y b y espesor despreciable gira alrededor del gozne a. Calcular su radio de giro. b Resp.: k = 3 21. Una varilla de 3 metros de longitud y masa despreciable lleva soldadas en sus extremos dos esferas de 1 kg y otra de 4 kg en el centro, todas puntuales. Calcular el radio de giro respecto al eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos. Resp.: 2 22. Una varilla de masa m y longitud L cuelga verticalmente, suspendida por un extremo, de un eje horizontal sobre el que puede girar libremente. a) Calcular la velocidad con la que se debe impulsar el extremo inferior para que la varilla alcance la posición horizontal; b) si ahora se deja caer libremente partiendo de la posición horizontal, determinar la velocidad angular cuando pasa por la vertical. Resp.: a) V = 3gL ; b) ω = 3g L 23. a) Determinar el momento de inercia de un disco respecto a un eje que pase por su centro y sea perpendicular a su plano. b) Calcular el de un cilindro que gira en torno a su eje. Resp: a) y b) ½ MR2 24. Calcular momento de inercia de una esfera respecto a un eje diametral. 2 Resp: mR 2 5 25. Calcular el momento de inercia de una lámina de espesor despreciable en forma de sector circular de 90º, con respecto a uno de los lados rectos. IX = IY = ¼ mR2 26. Tres masas de 4 kg están colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 metro de lado. Calcular el momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular al plano del triángulo, que pase por el punto medio de un lado. Resp.: 5 kg m2 27. Una obra de arte de 10 kg está hecha con una plancha metálica que tiene un perfil aleatorio salvo dos bordes rectos AB y CD, paralelos, separados L = 1 m. También está perforada por muchos orificios de formas arbitrarias. Se desea colgar de una pared, de manera que los bordes paralelos queden verticales. Si los momentos de inercia respecto a AB y CD son respectivamente 16 y 21 kg m2. ¿A qué distancia del borde AB debemos colgarla? Resp.: x = 25 cm A C D B x 1m 28. El momento de inercia de una varilla delgada uniforme de masa m y longitud L respecto a un eje perpendicular a ella es I = m (⅓L)2. Determinar la posición del eje. Resp.: a ⅓ de un extremo. 29. Calcular el momento de inercia de un cilindro de masa m y radio R con respecto a un eje perpendicular a su eje geométrico que pase por el centro de su altura h. Resp.: ¼ m(R2 + ⅓ h2) 30. Un motor de 0.5 CV se acopla durante 20 segundos a una rueda cuyo momento de inercia es 147 kg m2. Calcular la velocidad angular de la rueda. Resp.: 10 rad/s Agustín E. González Morales 145 31. Con seis varillas delgadas y homogéneas de masa m y longitud L se construye un hexágono regular. Calcular su momento de inercia respecto a un eje perpendicular a su plano y que pase por el centro. Resp.: 5mL2 32. En un cuerpo de masa m y forma arbitraria se conoce el momento de inercia I1 respecto al eje 1, que dista d1 metros del cdm y está situado a su izquierda. Calcular el momento de inercia I2 respecto a un eje paralelo al anterior, situado a la derecha del cdm y que dista d2 del eje 1. Resp.: I2 = I1 +m(d22 – 2d1d2) 33. a) Hallar el momento de inercia de una varilla homogénea de longitud L y masa m, respecto a un eje que forma un ángulo con ella y que pasa por uno de sus extremos. b) Calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por su cdm. Resp.: a) I = ⅓ m L2 sen2 ; b) Icdm = 112 m L2 sen2 34. Calcular el momento de inercia de un cono respecto a su eje de simetría. 3 Resp.: mR 2 10 35. Calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre un plano inclinado 30º y un cilindro que rueda sin deslizar. 1 Resp.: e 3 3 36. Una bola homogénea de masa m y radio r rueda sin deslizar por un plano inclinado grados con la horizontal. Hallar a) los valores del coeficiente de rozamiento que permiten que no haya deslizamiento; b) la energía cinética después de t segundos. 2 5 Resp.: a) e tag; b) Ec = m(gt sen)2 7 14 37. Un cilindro de masa m = 30 kg y radio R = 60 cm parte del reposo sobre un plano horizontal (coeficiente de rozamiento 0.3) tras aplicarle en su cdm y horizontalmente una fuerza variable con el tiempo F = ⅓ gt2. Calcular a) el tiempo al cabo del cual empieza a deslizar; b) la aceleración del cdm cuando empieza a deslizar; c) la aceleración del cdm y la aceleración angular al cabo de 4 segundos. Resp.: a) 9 s; b) 5.88 m/s2; c) 1.1615 m/s2; 1.9358 rad/s2 38. Un sistema está constituido por: una polea doble P, cuyo diámetro mayor mide 2R y el menor 2r, de momento de inercia respecto a su eje de giro I; una polea P’ de diámetro 2R’ y momento de inercia I’; una correa de transmisión de masa m que une ambas poleas, montada sobre el diámetro mayor de P; un cable sin masa, que se enrolla un número suficiente de veces sobre el diámetro menor de P, del que cuelga una masa M. Calcular a) la energía cinética del sistema cuando la velocidad de descenso de la masa M es v; b) la aceleración de descenso de M; c) la tensión del cable; d) la potencia que recibe P’ cuando la velocidad de descenso es v. Resp.: a) Ec = ½ v2N con N = M I I' v Mg R N rR ' 1 r2 m R2 r2 I' R2 r 2 R '2 ; b) Mg/N ; c) M(g – a) ; d) P’ = 2 39. En un cilindro macizo homogéneo de masa m y radio r se enrollan unos hilos finos. Los extremos libres de los hilos se fijan al techo de un ascensor que empieza a ascender con una aceleración a, al mismo tiempo que los hilos se desenrollan. Hallar a) la aceleración a’ del cilindro con respecto al ascensor; b) la fuerza que ejerce el cilindro sobre el techo a través de los hilos. Resp.: a) a’ = ⅔ (g + a); b) ⅓ m (g + a) Agustín E. González Morales 146 40. Calcular el momento de inercia, respecto al eje que pasa por las bisagras, de una puerta prismática de m = 50 kg, cuyas medidas son: a = 0.75 m, b = 1.95 m y c = 0.05 m. Resp.: 25.22 kg/m2 41. Una masa m = 1Kg cuelga del extremo de una cuerda sin masa, que pasa por una polea sin rozamiento, después se enrola en un cilindro de masa M = 8 kg y radio R = 10 cm, que rueda sobre un plano horizontal. Calcular a) la aceleración de m; b) la tensión de la cuerda; c) la aceleración angular del cilindro Resp.: a) 2.45 m/s2; b) 7.35 N; c) 12.25 rad/s2 42. Dos discos inicialmente en reposo, cuyas periferias rugosas son tangentes entre sí, giran rodando uno sobre otro sin deslizamiento. Sus masas son m = 30 kg y M = 120 kg, y sus radios son r = 1 m y R = 2 m. Después de haber absorbido un trabajo W = 502 J, calcular las revoluciones de cada disco. Resp: n1 = ½ n2 = 20· 3 RPM 43. Un yo-yo tiene dos discos de diámetro 2R = 6 cm y anchura h = 2 mm, unidos por otro de diámetro 2r = 1 cm y de la misma anchura. Los tres son coaxiales, homogéneos y de la misma materia. La masa del conjunto es m = 73 gramos. Se enrolla en el menor un hilo ideal que se fija por un extremo a un punto inmóvil. Calcular a) la velocidad lineal cuando el yo-yo ha descendido 60 cm partiendo del reposo; b) la tensión que tiene entonces el hilo. Resp.: a) 0.793 m/s; b) 0.677 N 44. Un cilindro homogéneo de radio r y masa m gira alrededor de su eje hasta alcanzar una velocidad angular ω. Después de coloca dentro de un ángulo recto. El coeficiente de rozamiento con las paredes es . ¿Cuántas vueltas da el cilindro antes de detenerse? 2mgx Resp.: = rL(M 2m) mg F2 F1 45. Un cilindro macizo homogéneo de radio r y masa M puede girar alrededor de un eje horizontal fijo O. Se le enrolla un cordón fino de longitud L y masa m. Determinar la aceleración angular del cilindro en función de la longitud x de la parte del cordón que cuelga, considerando que el cdm de la parte enrollada se encuentra en el eje del cilindro. 2mgx Resp.: rL(M 2m) 46. Un disco homogéneo de masa m = 2 kg y radio r = 10 cm, lleva enrollada una cuerda que cuelga del techo por un extremo. Si el sistema parte del reposo, calcular a) la aceleración del cdm del disco; b) la tensión de la cuerda; c) la velocidad angular cuando se hayan desenrollado L = 2 metros de cuerda. Resp.: a) 6.53 m/s2; b) 6.53 N; c) 51.12 rad/s R mg - R 47. Una barra homogénea de longitud L, está apoyada en O mg A x su extremo A y articulada en un punto O respecto al que puede girar sin rozamiento. En un cierto instante se suprime el apoyo A. Calcular a) la posición de O, de manera que la reacción en O al iniciar el giro sea la misma que la que existía en dicho punto antes de desaparecer el apoyo A; b) la velocidad alcanzada por el extremo que estaba apoyado en A, cuando la barra pase por la vertical. Resp.: a) x = ⅓ L; b) 2 gL 3 Agustín E. González Morales 147 TEMA VII TERMODINÁMICA Sistemas termodinámicos. Paredes Variables o coordenadas termodinámicas Presión Volumen Temperatura Ecuación de estado. Equilibrio. Procesos reversibles Gases ideales. Leyes y ecuación de estado de los gases ideales Calor. Calor específico. Calor latente Trabajo termodinámico. Diagramas p–V Primer principio de la Termodinámica. Aplicaciones Procesos cíclicos Proceso isócoro Proceso isóbaro. Entalpía Proceso adiabático Procesos en gases ideales Energía interna de un gas ideal Procesos isóbaros en gases ideales. Fórmula de Meyer Procesos adiabáticos en gases ideales. Ecuaciones de Poisson Segundo principio de la Termodinámica. Máquina térmica. Entropía Necesidad del segundo principio de la termodinámica Conversión de calor en trabajo Enunciado del segundo principio de la termodinámica Máquina térmica Rendimiento Entropía S Cálculo de las variaciones de entropía en procesos reversibles Proceso reversible y adiabático Proceso reversible e isotermo Proceso reversible no isotermo Cálculo de las variaciones de entropía en procesos irreversibles Cálculo de las variaciones de entropía en los cambios de fase. Medida del desorden Entropía de fusión Entropía de vaporización La entropía como medida del desorden Ciclo de Carnot Rendimiento del ciclo de Carnot Máquinas frigoríficas y bombas térmicas Eficiencia de una máquina frigorífica Eficiencia de una bomba térmica Ejercicios Agustín E. González Morales 148 TEMA VII SISTEMAS TERMODINÁMICOS. PAREDES Sistemas termodinámicos Un sistema termodinámico es cualquier porción macroscópica del Universo separada del resto por una superficie o pared cerrada. Sistema cerrado es aquel que no permite intercambios de materia con su entorno. Mientras que un sistema aislado no permite intercambios ni de materia ni de energía (ya sea en forma de calor o de trabajo). Paredes Dos sistemas están separados por una pared adiabática si al modificar las variables de uno de ellos no se produce ningún efecto sobre las del otro. Estas paredes impiden el intercambio de energía en forma de calor. Ej. Los asbestos gruesos. Dos sistemas están conectados por una pared diatérmica si los cambios en las variables de un sistema influyen sobre las del otro. Se dice que ambos sistemas están en contacto térmico, y sus paredes permiten el intercambio de energía en forma de calor. Ej. Una plancha fina de metal. VARIABLES O COORDENADAS TERMODINÁMICAS Son magnitudes que se pueden medir y con las cuales se define el estado de un sistema. En los sistemas hidrostáticos son la presión (p), el volumen (V) y la temperatura (T). Se clasifican en extensivas e intensivas, según dependan o no de la cantidad de masa del sistema. Así, el volumen es una variable extensiva, mientras que la presión y la temperatura son coordenadas intensivas. Presión La presión es una magnitud escalar que mide la relación que existe entre la fuerza ejercida y la superficie sobre la que está actuando dicha fuerza. Por tanto, si sobre una superficie infinitesimal dA está aplicada una fuerza dF, la presión es: p dF dA La unidad de presión del S.I. es el Pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m2 Otras unidades de presión de uso corriente son: 1 atm = 760 mm Hg = 1.01325 bar = 101325 Pa Volumen Mediante el volumen se mide el espacio ocupado por un sistema termodinámico. La unidad de volumen del S.I. es el metro cúbico (m3). Su relación con el litro es: Agustín E. González Morales 149 1 m3 = 1000 litros Temperatura Es la propiedad que caracteriza el equilibrio térmico. Si dos sistemas están en equilibrio térmico entre sí, ambos están a la misma temperatura. Las escalas más usuales para medir la temperatura son: o Celsius o centígrada (ºC): Basada en la temperatura de fusión del hielo (0 ºC) y la de vaporización del agua (100 ºC). o Fahrenheit (ºF). Su relación con la centígrada es: º F 32 º C 180 100 o Absoluta , Rankine o Kelvin (ºK). Basada en la medida del cero absoluto. Su relación con la centígrada es: ºK = ºC + 273.15 La unidad de medida de la temperatura en el S.I. es el grado Kelvin (ºK). ECUACIÓN DE ESTADO. EQUILIBRIO. PROCESOS REVERSIBLES Ecuación de estado Sólo dos –de las tres variables termodinámicas que caracterizan el estado de un sistema– son independientes. Fijados los valores de estas dos, la tercera se determina a través de la llamada ecuación de estado: F(p, V, T) = 0 Existen muchas ecuaciones de estado; como, por ejemplo, la de los gases ideales, la de Van Der Waals, la de Nobel y Abel, etc., cada una aplicable a sistemas concretos. No debe confundirse estado de un sistema (cualquier situación del sistema en la que p, V y T tienen valores concretos) con el estado de agregación de la materia. Es muy corriente afirmar que la materia puede presentarse en “estado” sólido, líquido o gaseoso; para evitar esta confusión se debe emplear el vocablo fase: fase sólida, fase líquida y fase gaseosa. Existen otras variables termodinámicas (que dependen de p, V y T) llamadas funciones de estado como la energía interna, la entalpía, la entropía, etc. Equilibrio En el estudio de los sistemas termodinámicos se consideran dos tipos de equilibrio: el termodinámico y el térmico. – Equilibrio termodinámico. Un sistema se encuentra en un estado de equilibrio termodinámico cuando sus variables termodinámicas permanecen constantes. Sólo en la situación de equilibrio termodinámico se puede emplear la ecuación de estado para calcular la relación entre p, V y T. – Equilibrio térmico. Cuando dos sistemas se encuentran en contacto térmico a través de una pared diatérmica, sus variables p, V y T varían espontáneamente hasta alcanzar un estado de equilibrio conjunto conocido como equilibrio térmico. Agustín E. González Morales 150 Procesos reversibles Para tratar un proceso termodinámico de manera que todos los estados por los que pasa un sistema sean de equilibrio termodinámico se definen los procesos reversibles. Son transformaciones lentísimas que se suponen provocadas por desequilibrios infinitesimales, de manera que el sistema pasa por una sucesión de infinitos estados de equilibrio termodinámico que incluso puede recorrer en sentido inverso, de ahí su nombre. En la Naturaleza no existen procesos reversibles. GASES IDEALES. LEYES Y ECUACIÓN DE ESTADO DE LOS GASES IDEALES. Gas ideal22 El modelo de gas ideal es el de una sustancia en fase gaseosa formada por moléculas de volumen despreciable que no experimentan fuerzas de interacción entre ellas, salvo cuando colisionan entre sí o con las paredes del recipiente que las contiene. En la Naturaleza no existen gases ideales, aunque muchos se comportan prácticamente como tales; como, por ejemplo, el aire entre 200 y 2250 ºK. Además, cualquier gas real a muy baja presión se comporta muy aproximadamente como un gas ideal. Leyes de los gases ideales Ley de Boyle–Mariotte de las transformaciones isotermas (T constante) pV = constante 1ª ley de Gay–Lussac de las transformaciones isóbaras (p constante) V = Vo T To 2ª ley de Gay–Lussac de las transformaciones isócoras (V constante) p = po T To Ecuación de estado de un gas ideal (Ley de Clapeyron) pV = nRT R es la llamada constante de los gases ideales y n es le número de moles. R = 0.082 atm litro mol–1 ºK–1 = 8.3149 (S.I.)(J mol–1 ºK–1) 2 cal mol–1 ºK–1 m n= , siendo m la masa del gas y M, su masa molecular. M De la ecuación de estado deducimos: pV p 0 V0 T T0 22 Algunos autores usan la expresión gas perfecto. Agustín E. González Morales 151 Se denominan condiciones normales o normalizadas a aquellas en las que un gas se encuentra a la presión de 1 atm y a 0 ºC (273.15 ºK). De la ecuación de estado de un gas ideal deducimos que el volumen que ocupa un mol de cualquier gas ideal en condiciones normales es: V= nRT 1 (mol)·0.082·273.15(º K ) 22.4 litros p 1 (atm) CALOR. CALOR ESPECÍFICO. CALOR LATENTE Calor Si dos sistemas a temperatura diferente se ponen en contacto térmico la temperatura del caliente disminuye mientras que la del frío aumenta, mediante una transferencia de energía del primero al segundo, hasta que ambos alcanzan el equilibrio térmico a la misma temperatura. Pues bien, se llama calor a la energía “en tránsito” de un sistema a otro durante un contacto térmico, y sólo mientras dicha energía “se está transfiriendo”. El calor absorbido por el sistema más frío no se almacena en forma de calor, sino de energía interna. El calor no es una función de estado, por eso no es correcto hablar del calor que “tiene” un sistema. La unidad de calor en el S.I. es el Julio (J). Otra unidad muy empleada es la caloría (cal), definida como la cantidad de energía necesaria para elevar un grado centígrado, desde 14.5 a 15.5 C, la temperatura de un gramo de agua. Su relación con el Julio es: 1 cal = 4.1869 J Calor específico Calor específico (c). Es la cantidad de calor ∆Q necesaria para que la unidad de masa de una sustancia aumente su temperatura un grado Kelvin (o centígrado, pues ambas unidades de medida tienen el mismo tamaño). Se toma como referencia el calor específico del agua, cuyo valor es 1 cal/g/ºK. Por ejemplo, el calor específico del hielo es la mitad 0.5 cal/g/ºK. De la definición de c deducimos la siguiente expresión: c= 1 Q m T ∆Q = m c ∆T El calor específico de una sustancia depende de su naturaleza y del proceso realizado para elevar la temperatura. Los más importantes son: Calor específico a presión constante (cp). Es el de una transformación isóbara. cp = 1 Q m T p cp = 1 Q 23 (Transformación infinitesimal) m dT p Calor específico a volumen constante (cv). Es el de una transformación isócora. 23 Nótese que en el numerador de la fracción no aparece dQ sino Q. El símbolo se utiliza para indicar que el calor no es una función de estado y que, por tanto, Q no es la diferencial de una función, sino una “cantidad de calor” infinitesimal. Agustín E. González Morales 152 cv = 1 Q m T v cv = 1 Q (Transformación infinitesimal) m dT v Calor específico molar. Es la cantidad de calor necesaria para que un mol de una sustancia aumente su temperatura un grado (ºK ó ºC). Los más importantes son el calor específico molar a presión constante (Cp) y el calor específico molar a volumen constante (Cv). Las expresiones son análogas a las anteriores, basta sustituir m por n (número de moles). En la siguiente tabla se presenta el valor del calor específico molar a presión constante de los gases ideales monoatómicos, biatómicos y triatómicos en función de la constante R: Cp en los gases ideales en función de R Monoatómicos Biatómicos Triatómicos 7 5 R R 4R 2 2 Además, en los gases ideales se cumple la relación de Meyer, que demostraremos más adelante: Cp – Cv = R Calor latente Experimentalmente se puede comprobar que durante un cambio de fase no se producen variaciones de la temperatura del sistema, aunque sí transferencia de energía en forma de calor. Pues bien, el calor latente (de fusión: Lf, de vaporización: Lv, etc.) es la cantidad de calor que absorbe o desprende el sistema por unidad de masa durante dicho cambio de fase. L= Q m ∆Q = m L Por ejemplo, el calor latente de fusión del hielo es Lf = 79.9 cal/gramo = 334.4 J/gramo; mientras que el de vaporización del agua es Lv = 539.1 cal/gramo = 2257 J/gramo. TRABAJO TERMODINÁMICO. DIAGRAMAS p–V Trabajo termodinámico Si un sistema ejerce una fuerza sobre sus alrededores, de modo que el punto de aplicación de dicha fuerza se desplaza, decimos que dicho sistema realiza un trabajo sobre su entorno. Sea el sistema un gas encerrado en un cilindro provisto de un émbolo, capaz de deslizarse sin dx rozamiento. Al desplazar el émbolo, se modifican las variables termodinámicas del gas; Gas Se quita pero, salvo que el movimiento se realice con gran una pesa p, V, T lentitud, el gas no puede adquirir inmediatamente el equilibrio termodinámico, ya que inicialmente la presión en las proximidades del émbolo es distinta de la del resto del cilindro. Hasta que no se iguale la presión en todo el recinto, no se produce el equilibrio y, mientras tanto, no se pueden asignar variables termodinámicas al sistema. Pero, si se realizasen desplazamientos muy cortos del émbolo, estaríamos hablando de una sucesión de cuasi estados de equilibrio que ahora sí sería posible describir mediante las citadas variables. Supongamos que el gas se encuentra sometido a una presión superior a la exterior, gracias a una serie de pesas infinitesimales situadas sobre el émbolo. Si quitamos una, el émbolo se desplaza Agustín E. González Morales 153 verticalmente una distancia infinitesimal dx, expansionando el gas y realizando un trabajo. La fuerza que el gas ejerce es F = pA, donde p es la presión y A el área del émbolo. El trabajo termodinámico infinitesimal realizado24 por F es W = pAdx; pero, Adx es el incremento de volumen dV que ha experimentado el gas. Por tanto: W = pdV Diagramas p–V p A Cada estado de un sistema hidrostático se representa mediante un punto en el diagrama de coordenadas p–V. Para indicar que el sistema experimenta un proceso muy lento al pasar de un estado a otro, se traza en el diagrama una línea continua que une los estados inicial y final. W B V (a) p Consideremos que el sistema realiza tres diagramas (a), (b) y (c), siguiendo los respectivamente, siendo las coordenadas (pA,VA); análogamente, las de los puntos sistema realiza en cada expansión es: expansiones como las de los caminos AB, AMB y ANB termodinámicas del punto A B, M y N. El trabajo que el A M W B V (b) p M B W(a) = pdV A W(b) = B pdV pdV A M Cero N W(c) = A B pdV pdV A N N W (c) Cero B V p Como el trabajo es el área sombreada en cada diagrama; se aprecia que: T1 T2 W(a) W(b) W(c) T3 es decir, depende del camino seguido para ir desde A hasta B (podríamos haber elegido otros recorridos) porque, al igual que sucede con el calor, el trabajo no es una función de estado. (d) Gas ideal V En los diagramas p–V, se utilizan las líneas isotermas como referencia. En la fig. (d) se representan las isotermas T1, T2 y T3 de un gas ideal; en la fig. (e) aparecen las de una sustancia que se contrae al solidificarse; y en la (f) las de una que, como el agua, se dilata al solidificarse. En las fig. (e) y (f) también se representan los diagramas p–T en los que se visualiza mejor el punto triple, un estado de agregación de la materia en el que existen al mismo tiempo las tres fases: sólida, líquida y gaseosa. Además, se aprecia la llamada isoterma crítica, aquélla correspondiente a una temperatura Tc por debajo de la cual se puede licuar un vapor (que todavía no es un gas) a temperatura constante. Por encima de Tc no existe vapor, sólo gas. En el punto de inflexión de la isoterma Tc está el punto crítico, en el máximo de la llamada curva de saturación. Esta curva limita la zona en la que coexisten las fases de líquido y vapor. Cada sustancia tiene su punto crítico que se identifica mediante sus coordenadas críticas pc, Vc y Tc. (e): Se contrae al solidificarse (f): Se dilata al solidificarse (agua) 24 Nótese que no aparece dW sino W. De nuevo, el símbolo se utiliza para indicar que el trabajo tampoco es una función de estado y que, por tanto, W no es la diferencial de una función, sino una “cantidad de trabajo” infinitesimal. Agustín E. González Morales 154 En la siguiente tabla se presentan los puntos críticos y triples de algunas sustancias: O2 N2 CO2 H2O Puntos críticos T ºC p (bar) –119 50.5 –147 33.9 30.8 73.9 374.1 220.9 Puntos triples T ºC p (bar) –218 0.0027 –210 0.1285 –56.6 5.1279 +0.01 0.0061 PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. APLICACIONES Sabemos que la temperatura de un sistema, por ejemplo, la de un recipiente con agua, aumenta cuando lo calentamos con una llama. Pero, también podríamos elevar su temperatura realizando un trabajo sobre el agua, ya sea mecánico (por ejemplo, agitándola) o eléctrico (sumergiendo en ella una resistencia por la que hacemos circular una corriente eléctrica). Consideremos un sistema de paredes adiabáticas. Joule demostró que el trabajo necesario para que el sistema cambie de estado no depende del tipo de trabajo realizado ni del proceso seguido, sólo del estado inicial y final del sistema. Pues bien, la función de estado cuya variación coincide con el trabajo realizado sobre dicho sistema adiabático es la energía interna U; es decir, la energía total que posee el sistema, debido a su agitación, su masa, su posición en un campo, etc. Pero, si el sistema no está protegido por paredes adiabáticas, el trabajo para pasar de un estado a otro tiene que depender del tipo de proceso, porque el sistema puede intercambiar calor con el entorno. En este caso, la diferencia entre el calor absorbido ∆Q y el trabajo realizado ∆W, es igual a la variación de energía interna que experimenta el sistema al pasar del estado 1 al 2. ∆Q – ∆W = U2 – U1 ∆Q – ∆W = Si la transferencia de calor y el trabajo realizado son infinitesimales, entonces: Q – W = dU Obsérvese que dU, por ser una función de estado, es una diferencial exacta, obtenida restando dos que no lo son. Estas expresiones son la formulación matemática del primer principio de la termodinámica y se emplean para realizar balances energéticos del sistema. De ellas se deduce que la energía ni se crea ni se destruye, sólo cambia de nombre; otra forma de expresar el conocido principio de conservación de la energía. Por convenio, se establece que tanto el trabajo que realiza el sistema como el calor que absorbe son positivos. Q>0 W>0 sistema W<0 Agustín E. González Morales Q<0 155 Aplicaciones Procesos cíclicos Un sistema cerrado experimenta un proceso cíclico si coinciden sus estados inicial y final. Por tanto, en todo proceso cíclico es nula la variación de la energía interna del sistema, dU = 0. Y el primer principio establece que: Q = W de ahí que para que un sistema cerrado, que experimenta un proceso cíclico, realice trabajo es necesario entregarle energía en forma de calor. Es decir, no se puede construir el llamado móvil perpetuo de primera especie (aquél móvil que violaría este enunciado). Proceso isócoro En este proceso el volumen es constante, por tanto pdV = W = 0. El primer principio establece que: Q = dU Proceso isóbaro. Entalpía En este proceso la presión es constante; por tanto, si pasamos del estado (p, V1) al estado (p, V2), el trabajo que realiza el sistema es ∆W = p (V2 – V1). El primer principio establece que existe un flujo de calor de valor: ∆Q = U2 – U1 + p (V2 – V1) ∆Q = (U2 + p V2) – (U1 + pV1) Se define la entalpía H mediante la siguiente expresión: H = U + pV La entalpía es otra función de estado que en los procesos isóbaros desempeña el mismo papel que la energía interna en los isócoros ya que. ΔQ = ΔH O en términos infinitesimales: Q = dH Proceso adiabático En este proceso no existe intercambio de calor con el entorno: Q = 0. Por tanto: – W = dU Procesos en gases ideales Energía interna de un gas ideal Se demuestra que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura. Como en un proceso a volumen constante es W = pdV = 0, entonces Q = n Cv dT; Por tanto: dU = n Cv dT Agustín E. González Morales 156 Procesos isóbaros en gases ideales. Fórmula de Meyer Según la definición de Cp, tenemos que Q = n Cp dT, y acabamos de ver que dU en los gases ideales es dU = n Cv dT; por lo tanto, el primer principio se concreta en: n Cp dT – pdV = n Cv dT (1) Si diferenciamos la ecuación de estado pV = nRT, obtenemos pdV + V dp = nR dT Pero en los procesos isóbaros: dp = 0 por tanto pdV = nR dT sustituyendo en (1) resulta: n Cp dT – nR dT = n Cv dT y, simplicando, obtenemos la relación de Meyer: Cp – Cv = R Procesos adiabáticos en gases ideales. Ecuaciones de Poisson Sabemos que en los procesos adiabáticos Q = 0. Si sustituimos este valor en (1): 0 – pdV = nCv dT (2) si diferenciamos la ecuación de estado pV = nRT, obtenemos pdV + V dp = nR dT Dividiendo por R: n dT = pdV Vdp R R y sustituyendo este resultado en la expresión (2): pdV Vdp 0 – pdV = Cv R R teniendo en cuenta la relación de Meyer y multiplicando por R: 0 = Cp p dV + Cc V dp dividiendo por (Cv V p) y llamando coeficiente adiabático γ a: = Cp Cv Agustín E. González Morales 157 entonces dV dp 0 V p Integrando: ln V + ln p = ln K siendo ln K la constante de integración, obtenemos: p·V = K Con V = nRT/p, resulta: T·p 1 = K’ Y eliminando p: T·V – 1 = K” En el siguiente cuadro se presentan las ecuaciones de Poisson, de los procesos adiabáticos de los gases ideales, que acabamos de obtener. p·V p =K 1 T·p = K’ Ecuaciones de Poisson de los procesos adiabáticos de los gases ideales Isoterma Adiabática T·V –1 = K” = Cp Cv V En el diagrama p–V se aprecia que la pendiente de la curva adiabática es mayor que la de la isoterma que pasa por el mismo punto, debido a que el coeficiente adiabático es siempre mayor que 1. Por ejemplo, para el aire a temperatura ambiente, el valor de es aproximadamente 1.4. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA MÁQUINA TÉRMICA. ENTROPÍA Necesidad del segundo principio de la termodinámica Sabemos que si abrimos la válvula de un neumático inflado, el aire sale al exterior y si movemos una superficie rugosa en contacto con otra, ambas se calientan debido a la fricción. Pero, hagámonos las siguientes preguntas: ¿el aire del exterior entra por sí sólo en el neumático vacío?; y, si se calientan las superficies rugosas, ¿se ponen por sí solas en movimiento? La experiencia nos enseña que la respuesta a ambas preguntas es no. Si analizamos estos procesos, inversos de los que espontáneamente se han producido primero, vemos que poseen ciertas características comunes: a) Jamás ocurren de manera espontánea. b) Si sucediesen no violarían el enunciado del primer principio de la termodinámica. c) Se pueden realizar aportando energía al sistema en forma de trabajo. Agustín E. González Morales 158 Existe, por tanto, una asimetría en su ejecución, de manera que uno de los sentidos es espontáneo, mientras que el otro es provocado. Como el primer principio no informa sobre el sentido, espontáneo o provocado, de un proceso, es necesario introducir un segundo principio que nos proporcione este dato. Conversión de calor en trabajo Experimentalmente se comprueba que el trabajo puede ser convertido íntegramente en calor, ∆W = ∆Q, sin que se produzcan modificaciones en el entorno. De hecho sólo se necesitan dos sistemas: uno que realice el trabajo y otro que reciba la energía en forma de calor. Sin embargo, también experimentalmente se demuestra que para convertir calor en trabajo en un proceso cíclico tienen que intervenir tres sistemas: el primero, la fuente térmica, también conocida como foco caliente, que suministra energía en forma de calor; el segundo, llamado sistema activo o máquina térmica, que recibe esa energía y realiza un trabajo; y el tercero, el foco frío, que refrigera al sistema activo. Por lo tanto, el sistema activo realiza un trabajo menor que el calor que recibe de la fuente, ya que parte de la energía la cede en forma de calor al refrigerante. Conversión de trabajo en calor: ∆W = ∆Q Conversión de calor en trabajo: ∆Q > ∆W Con lo dicho, ya estamos en disposición de entender el enunciado del segundo principio, tal como lo estableció Lord Kelvin. Enunciado del segundo principio de la termodinámica Es imposible construir una máquina térmica que, funcionando cíclicamente, convierta en trabajo toda la energía que recibe en forma de calor de una fuente térmica. Es decir, no se puede construir el denominado móvil perpetuo de segunda especie (aquél que violaría este enunciado). Máquina térmica Una máquina térmica es todo aparato que, mediante un proceso cíclico, es capaz de transformar energía calorífica en trabajo, extrayendo calor de un foco caliente y cediendo una parte de ese calor a un foco frío. En el motor de un automóvil, el calor extraído del combustible realiza el trabajo de mover los pistones, pero una parte de ese calor tiene que cederse al agua de refrigeración del motor, al aceite, al ambiente a través del tubo de escape, etc. Rendimiento El rendimiento de cualquier máquina térmica se pondera evaluando el cociente entre el trabajo realizado y el calor absorbido: = W Q a De la figura se deduce que: ∆W = ∆Qa – ∆Qc donde ∆Qa y ∆Qc se consideran en valor absoluto. Por tanto: Agustín E. González Morales 159 = Q c W Q a Q c = =1– Q a Q a Q a Como el segundo principio exige que, en un proceso cíclico, se ceda parte del calor absorbido al foco frío, el rendimiento es siempre menor que uno. Esta afirmación sería otra forma de enunciar dicho segundo principio. Es importante tener presente la siguiente nomenclatura: Th: Temperatura del foco caliente Tf: Temperatura del foco frío ∆Qa: Calor absorbido ∆Qc: Calor cedido Entropía S En los procesos cíclicos reversibles se cumple que el conjunto formado por el sistema y su entorno (es decir, la totalidad del Universo) no experimenta variaciones energéticas; pero, en los procesos cíclicos irreversibles, si el sistema retorna al estado inicial, el entorno no; por lo tanto, el Universo sí sufre variaciones energéticas. Una de las causas que provocan esta irreversibilidad es el rozamiento. La entropía es la función de estado cuyo comportamiento, referido al conjunto sistema-entorno, permite medir la entidad de la irreversibilidad que se produce en los procesos. De hecho, la definición de entropía es otra manera de formular el segundo principio. La expresión de la variación de entropía es: S Q T dS = Q T De manera que: En procesos reversibles: ∆S (sistema + entorno) = 0 En procesos irreversibles: ∆S (sistema + entorno) > 0 La entropía de un sistema aislado, que experimenta un proceso irreversible, siempre aumenta, de manera que ese sistema no puede evolucionar en el sentido de disminuir su entropía. Por lo tanto, la entropía permite medir si un proceso es posible o no. Cuando un proceso irreversible finaliza y el sistema alcanza el equilibrio, la entropía deja de aumentar, alcanzando el máximo valor posible, lo que permite caracterizar el estado final del sistema. Cálculo de las variaciones de entropía en procesos reversibles Proceso reversible y adiabático Como el proceso es adiabático, el sistema no intercambia energía en forma de calor; por lo tanto, Q = 0, y la entropía inicial S1 y la final S2 del sistema son iguales. También tiene que permanecer constante la entropía del entorno para que la del Universo no varíe. S1 = S2 De ahí que los procesos reversibles y adiabáticos también se llamen procesos isentrópicos (o isoentrópicos). Agustín E. González Morales 160 Proceso reversible e isotermo Si T es constante; como, por ejemplo, sucede durante un cambio de fase, la variación de entropía del sistema es: 2 dQ Q1 2 T 1 T ∆S = S2 – S1 = La variación de entropía del entorno es igual y de signo opuesto a la del sistema, de manera que la del Universo permanezca constante. Ej. Un mol de un gas ideal experimenta una expansión reversible e isoterma a 200 ºK hasta triplicar su volumen. Calcular la variación de entropía del gas y la del entorno. ∆Sgas = Q V 3 V 200 Para calcular el calor absorbido recurrimos al primer principio, teniendo presente que al ser ∆T = 0, por tratarse de un gas ideal, entonces ∆U = 0. De donde: 3V ∆Q = ∆W = 3V pdV nRT v ∆Sgas = dV V = nRT ln 3 V nRT ln 3 = nR ln 3 = 1·8.3149 ln 3 = 9.135 J/ºK T La variación de entropía del entorno es – 9.135 J/ºK. Proceso reversible no isotermo Supongamos que un sistema de masa m y calor específico c pasa, mediante un proceso reversible, de un estado a temperatura T1 a otro a T2. Si tenemos en cuenta que Q = m c dT, la variación de entropía es: T2 ∆S = S2 – S1 = T1 mcdT T si c es constante en este intervalo de temperatura, entonces: ∆S = S2– S1 = mc ln T2 T1 Cálculo de las variaciones de entropía en procesos irreversibles Cuando dos sistemas idénticos se encuentran en el mismo estado inicial y evolucionan hasta el mismo estado final; pero, uno lo hace de manera reversible y el otro irreversiblemente, la variación de entropía de ambos sistemas es la misma. La que es diferente es la variación de entropía del entorno y, por lo tanto, la del conjunto sistema-entorno. Ej. Un recipiente contiene un litro de agua a 333ºK y se coloca en un ambiente a 300ºK. Transcurrido el tiempo suficiente el agua alcanza la temperatura del ambiente. Calcular: a) la variación de entropía del agua, b) la variación de entropía del ambiente y del Universo. a) Dado que el salto de temperatura es de 33ºK el proceso debe considerarse irreversible. Sin embargo, calculamos la variación de entropía del sistema (el agua) a través del proceso reversible asociado, con m = 1 kg, c = 4186. 9 J/kg: Agustín E. González Morales 161 ∆Ssis = S2 – S1 = mc ln T2 300 = 1·4186.9 ln = – 436.94 J/ºK T1 333 b) Aunque el ambiente recibe el calor cedido por el agua al enfriarse, su temperatura se mantiene constante porque su capacidad calorífica es muy grande (teóricamente infinita). Por tanto, el ambiente absorbe calor de manera isoterma. Su variación de entropía es: ∆Samb = Q recibido T El calor recibido por el ambiente procede del agua: ∆Q = mc(T2 – T1) = 1 · 4186.9 · (300 – 333) = – 138167.7 J Obsérvese el valor negativo de este calor, porque, de acuerdo con el convenio de signos, es el “cedido” por el agua. El “recibido” por el ambiente es el mismo, pero positivo. Por tanto: ∆Samb = 138167.7 = 460.559 J/ºK 300 La variación de entropía del universo es la suma de la del agua y la del ambiente: ∆Suniverso = ∆Ssis + ∆Samb = – 436.79 + 460.559 = 23.769 J/ºK > 0 Nótese que ∆Suniverso > 0, como corresponde a cualquier proceso irreversible. Cálculo de variaciones de entropía en los cambios de fase. Medida del desorden Entropía de fusión Calculemos, por ejemplo, la variación de entropía que se produce al fundir un gramo de hielo a 0 ºC en agua a la misma temperatura 0 ºC (273.15 ºK). Como el calor latente de fusión del hielo es 334.4 J/g, la entropía aumenta: ∆Sfusión = 1 · 334.4 = 1.22 J/ºK 273.15 Entropía de vaporización Ahora, convirtamos un gramo de agua a 100 ºC (373.15 ºK) y una atmósfera de presión en vapor en las mismas condiciones (100 ºC y 1 atm) y calculemos la variación de entropía que se produce. Como el calor latente de vaporización del agua es 2257 J/g, la entropía aumenta: ∆Svaporización = 1 · 2257 = 6.05 J/ºK 373.15 La entropía como medida del desorden Imaginémonos una molécula de agua en fase sólida a 0 ºC, y otra en fase líquida también a 0 ºC. Intuimos que la molécula sólida está más confinada que la líquida, porque tiene menos libertad de movimientos. De esta manera, podríamos decir que un líquido está más desordenado que un sólido, y, como dedujimos anteriormente, el paso a una situación de mayor desorden va acompañado de un aumento de entropía. El mismo razonamiento podemos emplear en la vaporización. El vapor tiene mayor libertad de movimientos que el líquido, y, de nuevo, este paso a una situación de mayor desorden genera un aumento de entropía. Además este incremento es mayor que el de la Agustín E. González Morales 162 fusión, porque mientras que un líquido ocupa un volumen determinado, el vapor se adapta al del recipiente que lo contiene; es decir, las moléculas de vapor tienen mayor capacidad de dispersión espacial. Por tanto, podemos emplear la variación de entropía como una manera de medir el desorden que sufre un sistema al cambiar de estado, tal que cuanto mayor es el desorden provocado, mayor es el aumento de entropía experimentado. CICLO DE CARNOT Una máquina térmica de Carnot es una máquina ideal que, mediante un gas ideal, desarrolla un ciclo reversible formado por dos isotermas (1–2 y 3–4) y dos adiabáticas (2–3 y 4–1). p 1 El ciclo se puede explicar encerrando un gas ideal en un cilindro con un émbolo para someterlo a los siguientes procesos: Qa 2 1–2: En contacto con un foco caliente a temperatura Th, el gas (es decir, el sistema) experimenta una expansión isoterma, pasando del estado 1 al 2, absorbiendo el calor Qa del foco caliente y realizando trabajo sobre su entorno. Th 4 3 Tf Qc V 2–3: Después sufre una expansión adiabática (sin intercambio de calor) pasando del estado 2 al 3, enfriándose y realizando un trabajo. 3–4: Luego, en contacto con el foco frío a temperatura Tf, el gas experimenta una compresión isoterma, cediendo el calor Qc al foco frío a expensas del trabajo de comprimirlo. 4–1: Por último, para cerrar el ciclo, se comprime adiabáticamente hasta que adquiere el estado inicial, calentándose a expensas del trabajo de comprimirlo. Rendimiento del ciclo de Carnot Dado que la máquina de Carnot describe un ciclo reversible, la entropía del sistema activo al comenzar el ciclo es la misma que al finalizarlo. Como en las dos etapas adiabáticas (la 2–3 y la 4–1) la variación de entropía es nula, sólo se modifica en las etapas isotermas: ∆S1–2 = Q a Th ∆S3–4 = – Q c Tf pero, teniendo presente el signo negativo de ∆S3–4, y que ∆S1–2 + ∆S3–4 = 0, deducimos que: Carnot = T W Q a Q c = =1– f Q a Th Q a El rendimiento de una máquina térmica de Carnot es siempre menor que la unidad. Obsérvese que sólo depende de las temperaturas de los focos entre los que funciona, sea cual sea la naturaleza del sistema activo. Ninguna máquina real que funcione entre dos temperaturas determinadas Th y Tf , cualquiera que sea el ciclo que desarrolle, puede superar el rendimiento del ciclo de Carnot correspondiente a esas temperaturas. Agustín E. González Morales 163 Ej. Una central nuclear (máquina térmica) trabaja entre dos focos a 285 y 40 ºC extrayendo 109 Julios del foco caliente durante cada ciclo, ¿cuál es su mayor rendimiento posible y cuánto trabajo puede efectuar durante cada ciclo? Una máquina de Carnot que trabaje entre esos mismos focos tiene un rendimiento: Carnot = 1 – Tf 40 273.15 =1– = 0.4389 = 43.89% Th 285 273.15 ∆W = ∆Qa Carnot = 109 · 0.4389 = 4.389·108 J Cualquier otra máquina que trabaje entre esos mismos focos tiene menor rendimiento y desarrolla menos trabajo. Se han conseguido rendimientos en centrales nucleares “reales”, que trabajan entre las temperaturas de los focos citados, del orden del 34%, aproximadamente el 80% del rendimiento de Carnot. MÁQUINAS FRIGORÍFICAS Y BOMBAS TÉRMICAS La función de las máquinas frigoríficas25 es extraer calor del foco frío, mientras que la de las bombas térmicas26 es suministrar calor al foco caliente. El ciclo de una máquina frigorífica es el mismo que el de una bomba térmica (de hecho, aunque con matices, una misma máquina puede funcionar como máquina frigorífica o como bomba térmica), por eso, en la siguiente figura, siguiendo el mismo esquema, se ha dibujado de mayor tamaño la flecha que identifica el cometido predominante. El foco frío de una máquina frigorífica es, por ejemplo, el interior de nuestro frigorífico casero, mientras que el foco caliente es el serpentín de la parrilla trasera de dicho frigorífico que suele estar en contacto con el medio ambiente. Si el mismo frigorífico estuviese en una habitación y lo usásemos como bomba térmica para calentarla, el serpentín de la parrilla trasera estaría suministrando el calor a la habitación: el foco caliente. Sea como sea que empleásemos nuestro frigorífico, necesita un motor eléctrico que aporte el trabajo necesario para que el ciclo se desarrolle. Ahora bien, su eficiencia, ¿será la misma empleándolo como máquina refrigerante o como bomba térmica? Eficiencia de una máquina frigorífica La eficiencia de una máquina frigorífica se mide evaluando el cociente entre el calor absorbido del foco frío y el trabajo aportado. 25 26 También llamadas refrigeradores o máquinas refrigerantes. También llamadas termobombas o bombas de calor. Agustín E. González Morales 164 Q a Q a 1 W Q c Q a Carnot Tf 1 Th Tf La expresión de la derecha es la eficiencia de una máquina frigorífica que describe un ciclo de Carnot invertido27 (llamada máquina frigorífica de Carnot). La eficiencia de una máquina frigorífica real siempre es menor que la de Carnot. Obsérvese que, a diferencia de lo que ocurre con el rendimiento, es siempre mayor que la unidad. Ej. Calcular la mayor eficiencia posible de una máquina frigorífica que trabaja entre dos focos a 400 y 300 ºK. Carnot = Tf 300 = =3 Th Tf 400 300 Como la eficiencia de la máquina frigorífica de Carnot es 3, cualquier otra máquina que trabaje entre los mismos focos debe tener una eficiencia menor. Eficiencia de una bomba térmica Análogamente, la eficiencia de una bomba térmica se mide evaluando el cociente entre el calor cedido al foco caliente y el trabajo aportado. Q c Q c 1 W Qc Q a Carnot Th 1 Th Tf La expresión de la derecha es la eficiencia de una bomba térmica que describe un ciclo de Carnot invertido (bomba térmica de Carnot). La eficiencia de una bomba térmica real es siempre menor que la de Carnot. Obsérvese que, de nuevo, es mayor que la unidad. Ej. Se desea que la temperatura de una habitación sea 20 ºC, siendo la temperatura exterior 5 ºC. Calcular la eficiencia de la bomba térmica de Carnot y analizar el resultado. Th = 273.15 + 20 = 293.15; Tf = 273.15 + 5 = 278.15 Carnot = Th 293.15 = 19.54 Th Tf 293.15 278.15 El resultado es muy superior a la eficiencia de una calefacción eléctrica que, a lo sumo, si no tiene pérdidas, proporciona en forma de calor la energía eléctrica que consume, es decir, su eficiencia es la unidad. Además, la misma instalación sirve para refrigerar en verano y para calentar en invierno. 27 Compárense los esquemas de una máquina frigorífica (o el de una bomba térmica) con el de una máquina térmica. Obsérvense las flechas: están pintadas al revés. Por eso se llama ciclo invertido. Agustín E. González Morales 165 EJERCICIOS 1. Un calorímetro de latón (calor específico 0.09 cal/ºC/g) de 125 gramos contiene 250 gramos de hielo (calor específico 0.5 cal/ºC/g) a – 15 ºC. Calcular la cantidad de vapor de agua, a 100 ºC y a la presión normal, que es necesaria para que todo el sistema llegue a la temperatura de 15 ºC. Resp.: 41.54 gramos 2. Un mol de un gas ideal sufre un calentamiento isobárico de 72 ºK comunicándole 1.6 KJ de calor. Determinar: a) el trabajo realizado por el gas; b) el incremento de su energía interna y c) la magnitud . Resp.: a) 598.67 J; b) 1001.33 J; c) 1.5978 3. ¿Cuántas calorías se necesitan o se desprenden al comprimir isotérmicamente 10 litros de un gas ideal a 27 ºC y 1 atm hasta reducir su volumen a la décima parte? Resp.: 557.24 cal 4. Un mol de un gas ideal monoatómico se encuentra a 273 ºK y 1 atm. Calcular la variación de energía interna y el trabajo realizado cuando absorbe 500 J a) a presión constante y b) a volumen constante. Resp.: a) U = 301.87 J, W = 198.13 J; b) U = 500 J, W = 0 5. Una máquina de vapor trabaja entre la temperatura de la caldera a 250 ºC y la del condensador a 50 ºC y desarrolla una potencia de 8 CV. Sabiendo que el rendimiento es del 30% respecto al de una máquina ideal que trabaje entre las mismas temperaturas, hallar la cantidad de calor que debe aportar la caldera en la unidad de tiempo. Resp.: 12245 cal/s 6. En un recipiente de 5 litros, cerrado, se encuentra hidrógeno en condiciones normales. Se enfría 55 ºK. Hallar la variación de energía interna del gas y la cantidad de calor transmitido. Resp.: U = –255.03 J; Q = –255.03 J 7. En un recinto de 1 m3 se han introducido 224 gramos de hidrógeno, 224 gramos de helio, 224 gramos de nitrógeno y también 224 gramos de oxígeno. La temperatura es de 17 ºC. Suponiéndolos gases ideales, calcular la presión de la mezcla. Resp.: 4.354 atm 8. Un recipiente de 1 m3 contiene 1 kg de oxígeno a 100 ºC. Otro igual tiene 1 kg de hidrógeno a la misma temperatura. Estando el conjunto aislado del exterior, se comunican entre sí los dos recipientes de modo que ambos gases se mezclan por completo. Luego se introduce en el interior una mezcla de 4 kg de agua y 200 gramos de hielo fundente, volviendo a aislar el conjunto. Sabiendo que el calor específico molar a volumen constante de la mezcla de oxígeno e hidrógeno es 5 cal/mol, ¿cuál es la temperatura de equilibrio? Resp.: 36.41 ºC 9. En un calorímetro, cuyo equivalente es agua es 50 gramos, hay 200 gramos de agua y 20 gramos de hielo, todo a 0 ºC. Si se introducen 100 gramos de agua a 50 ºC, ¿cuál es la temperatura final? Resp.: 9.189 ºC 10. Una masa de agua cae desde una altura de 854 m. Si toda la energía desarrollada se invirtiera en calentar el agua, hallar la temperatura que adquiriría si estaba a 20 ºC. Resp.: 2 ºC 11. Se colocan en el interior de un calorímetro, dotado con un termómetro y un agitador, 50 gramos de agua que se agita hasta que adquiere una temperatura estable de 15.2 ºC. Entonces se introducen 250 gramos de agua a 22.62 ºC. Se agita de nuevo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio de 20.5 ºC. Las pérdidas de calor son despreciables. Determinar el equivalente en agua del calorímetro. Resp.: 50 gramos Agustín E. González Morales 166 12. Un montacargas sube 427 kg a una altura de 36 m a 0.6 m/s. La energía perdida por resistencias pasivas en el motor que lo acciona se transforma en calor, y su valor es tal que 100 ascensiones elevan la temperatura de una mezcla de 5 kg de hielo y 5 kg de agua a 0 ºC hasta 122 ºF. Calcular el rendimiento y la potencia en CV del motor. Resp.: 80%; 4.27 CV 13. ¿Qué variación de entropía experimenta 1 gramo de hielo a 0 ºC cuando a presión normal se convierte en vapor de agua a 100 ºC? Resp.: 8.591 J/ºK 14. Cinco moles de nitrógeno se comprimen desde 1 a 100 atm a la vez que su temperatura crece de –20 ºC a 200 ºC. Calcular la variación de entropía. Resp.: –100.45 J/ºK 15. Un gas ideal con valores iniciales p1 y V1 se expande adiabática y cuasiestáticamente hasta alcanzar los valores p2 y V2. Calcular el trabajo y la variación de energía interna. p V p 2 V2 Resp.: ΔW ΔU 1 1 γ 1 16. Un mol de un gas ideal cuyo Cv es 3 cal/mol/ºK, que inicialmente está a 1 atm, describe el siguiente ciclo reversible: partiendo del estado inicial, experimenta una compresión adiabática hasta duplicar su temperatura; a continuación se calienta a presión constante y por último sufre un enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado inicial. Calcular: a) el rendimiento y b) la variación de entropía de cada una de las transformaciones. Resp.: a) 23.6%; b) 0, 7.5 ln 2, 9 ln 2 17. 8 kg de O2 a 2 atm y 400 ºK se expansionan isotérmicamente hasta un estado B a 1 atm. Luego lo enfriamos a presión constante hasta un estado C y, por último se comprime adiabáticamente hasta el estado inicial A. Determinar: a) el calor que absorbe o cede en cada transformación; b) el trabajo realizado, y c) el rendimiento. Resp.:a) ∆QAB = 576344.95 J; ∆QBC = 522824.33 J; ∆QCA = 0; b) ∆WAB = 576344.95 J; ∆WBC = 149378.38 J; ∆WCA = 375008.45 J; c) 9% 18. Un cilindro de 10 cm2 de sección y 20 cm de altura, tapado por un émbolo, contiene un gas ideal biatómico a 1 atm y 27 ºC. Sobre el émbolo apoyamos una pesa de 10 kg que comprime el gas rápidamente; luego dejamos el tiempo suficiente para que el gas recupere la temperatura inicial; entonces se quita la pesa y el gas se expande rápidamente; y dejamos de nuevo que el gas recupere su temperatura inicial. a) Representar los procesos en el diagrama p–V, calculando los valores p, V, T de los extremos de cada proceso, y b) hallar los calores absorbidos y cedidos por el gas. Resp.: a) Escribiendo la respuesta en coordenadas (p, V, T) (Pa, litros, ºK): A (101325, 0.20000, 300.15), B (199325, 0.12335, 364.16), C (199325, 0.10167, 300.15), D (101325, 0.16484, 247.38); b) ∆QBC = 15,126 J; ∆QDA = 12.47 J 19. Un cilindro cerrado con paredes térmicamente aislantes tiene un émbolo en la parte central que se puede mover sin rozamiento. A cada lado del émbolo hay 54 litros de un gas ideal a 1 atm y 0 ºC, cuyo Cp es 4 cal/mol/ºK. Se suministra calor al lado izquierdo, esta porción de gas se expande y comprime la del lado derecho hasta 7.29 atm. Calcular: a) la temperatura final del gas en ambos partes; b) el trabajo realizado sobre el gas de la derecha, teniendo en cuenta que este gas, por estar totalmente aislado, no puede intercambiar calor, y c) calor suministrado al gas de la izquierda. Resp.: a) 3245.022 ºK; 737.505 ºK; b) –9301.635 J; c) 68832.099 J 20. Calcular la variación de entropía que se produce cuando se mezclan 200 gramos de agua a 30 ºC con 400 gramos de agua a 0 ºC. Resp.: 0.73 cal/ ºK 21. Una bomba térmica funciona entre dos focos a 5 ºC y 25 ºC. El trabajo aportado al ciclo es 1 Kw–h. Determinar: a) el coeficiente de eficacia o eficiencia de la termobomba funcionando Agustín E. González Morales 167 como máquina calorífica; b) la cantidad de calor comunicado al foco caliente, y c) el coeficiente de la termobomba funcionando como máquina frigorífica. Resp.: a) 14.9; b) 5.37·107 J; c) 13.9 22. Una máquina frigorífica produce 12 kg de hielo cada minuto y trabaja entre 0 ºC y 37 ºC según un ciclo reversible de Carnot. Calcular: a) el factor de eficiencia; b) el trabajo que consume la máquina por cada kilo de hielo, y c) su potencia en CV. Resp.: a) 7.382; b) 45371.5 J; c) 12.346 CV 23. Una máquina térmica que realiza trabajo para hinchar un globo, extrae 4 kJ de un foco caliente a 120 ºC. El volumen del globo aumenta en 4 litros y el calor se cede a un foco frío a temperatura T. Si su rendimiento es la mitad del de una máquina de Carnot que trabajase entre los dos mismos focos, calcular T. Resp.: 313.48 ºK 24. Una máquina de Carnot cuyo rendimiento es del 40% está conectada a su foco frío a 7 ºC. Calcular: a) temperatura del foco caliente, y b) ¿en cuántos grados debe aumentarse la temperatura del foco caliente para que el rendimiento sea del 50%? Resp.: a) 466.92 ºK; b) 93.38 ºK 25. Una bañera contiene 50 litros de agua a 25º C, ¿cuánto tiempo será preciso abrir el grifo de agua caliente para que la temperatura final sea 40º C? Temperatura del agua caliente 80º C. Caudal del grifo 5 litros/segundo. Resp.: 3.75 s 26. Al comprobar un termómetro, colocado en hielo fundente, marca – 5º C, y a la temperatura de ebullición del agua 103º C, ¿a qué temperatura verdadera está cuando marca 22º C? Resp.: 25 ºC 27. La masa de un gas que ocupa 3 litros a 20º C y 10 atm es 55 g. ¿De qué gas se trata? ¿Nitrógeno, vapor de agua, amoniaco o dióxido de carbono? (N=14, H=1, O=16, C=12). Resp.: CO2 28. Una bola de acero cuyo calor específico es 0.11 cal/g ºC se deja caer desde una altura de 2 m sobre un plano horizontal que ni se mueve ni se calienta, la bola rebota y se eleva 1.5 m. ¿Cuál es el incremento de temperatura experimentado por la bola? Resp.: 0.01064 ºC 29. Una máquina frigorífica realiza un ciclo de Carnot invertido entre dos fuentes a 37º C y –13º C. Extrae 1000 J de la fuente fría, ¿qué trabajo es necesario comunicarle? Resp.: 192.2 J 30. En un tubo de vidrio vertical de sección uniforme, cerrado por su extremo inferior hay aire encerrado bajo una gota de mercurio. A 20º C el aire alcanza en el tubo 25 cm de altura. ¿Qué altura alcanzará a 80º C? Resp.: 30.12 cm 31. El sol manda a la alta atmósfera una potencia de 1.4 KW/m2. A la superficie de la Tierra llega aproximadamente 1 KW/m2. La central solar de Almería tiene instalados 11980 m2 de colectores y produce 1.2 MW de potencia eléctrica. ¿Qué eficiencia de conversión tiene? Resp.: 10% 32. La figura muestra una máquina reversible que opera cíclicamente absorbiendo 1500 KJ de la fuente térmica a – 60º C y realizando un trabajo de 230 KJ. Supóngase que todos los focos mantienen su temperatura constante. Se desconoce el sentido de los flujos de calor Q2 y W = 230 KJ Q3=¿? Q1 = 1500 KJ Q2=¿? Foco 3 Foco 2 Foco 1 123 K 183 K - 60 C Agustín E. González Morales 168 Q3. Determine: a) la magnitud y el sentido de las interacciones energéticas con las otras dos fuentes; b) las variaciones de entropía originadas, y c) el aumento de entropía que tiene lugar en el ciclo. Resp.: a) Los focos 2 y 3 son fríos. Q2 = 1233.45 KJ; W2 = 203.217 KJ; Q3 = 36.5433 KJ; W3 = 26.7827 KJ; b) ∆s1 = +7.0373 KJ/ºK; ∆s2 = – 6.7401 KJ/ºK; ∆s3 = – 0.2971 KJ/ºK; c) cero. Agustín E. González Morales 169 TEMA VIII CAMPO GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO Concepto de campo gravitatorio y eléctrico Intensidad del campo gravitatorio y eléctrico Intensidad del campo gravitatorio: g Intensidad del campo eléctrico: E Representaciones gráficas Leyes de Kepler Ley de gravitación universal Ley de Coulomb Campo creado por varias masas o cargas puntuales Potencial y energía potencial gravitatoria Velocidad de escape. Órbitas Velocidad de escape Órbitas Órbita circular Órbita elíptica Órbita parabólica Órbita hiperbólica Potencial y energía potencia eléctrica Teorema de Gauss Teorema de Gauss para el campo gravitatorio Teorema de Gauss para el campo eléctrico Dieléctricos y conductores Dieléctricos Conductores Inducción electrostática Conductor cargado en equilibrio electrostático con una cavidad interior Conductor descargado con una carga situada dentro de una cavidad interior Ejercicios Agustín E. González Morales 170 TEMA VIII CONCEPTO DE CAMPO GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO Un cuerpo, por el mero hecho de tener masa, perturba las propiedades del espacio que le rodea, creando un campo gravitatorio en él, de manera que otro cuerpo, colocado en dicho espacio es atraído por aquél. Por otro lado, si un cuerpo está dotado de carga eléctrica, también perturba las propiedades del espacio que le rodea creando un campo eléctrico en él, de manera que otro cuerpo cargado, colocado en dicho espacio, es repelido o atraído por aquél, según sean sus cargas del mismo o de distinto signo. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO Intensidad del campo gravitatorio: g Se define la intensidad del campo gravitatorio en un punto del espacio g como el vector cuyo módulo, dirección y sentido coinciden con los de la fuerza F gravitatoria que actúa sobre la unidad de masa situada en dicho punto. Es decir: F g m Su unidad en el S.I. es el N/kg. Intensidad del campo eléctrico: E Análogamente, la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio E es un vector cuyo módulo, dirección y sentido coinciden con los de la fuerza F electrostática que actúa sobre la unidad de carga positiva situada en dicho punto. O sea: F E q Se mide en Newton/Culombio (N/C) en el S.I. Otra unidad empleada es el Voltio/metro (V/m). Representaciones gráficas Para plasmar gráficamente los campos gravitatorio y eléctrico28 se utilizan las líneas de fuerza o de campo, de manera que el vector intensidad de campo en un punto es tangente a la línea de fuerza que pasa por él, su sentido es el del movimiento que realizaría la unidad de masa o de carga positiva colocada en dicho punto, y su módulo se representa mediante el número de líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie situada perpendicularmente al campo29. 28 En lo sucesivo diremos indistintamente “campo” o “intensidad de campo” para referirnos a esta última, como es habitual en toda la bibliografía al uso. 29 Si el módulo del campo es 2.56 N/kg, ¿cómo pintamos 0.56 líneas de fuerza? No debe preocuparnos este aspecto. Lo importante no son las líneas pintadas sino la densidad de líneas del campo. El campo es denso en las zonas del espacio afectadas por una masa o una carga. El no pintar la línea de campo que pasa por un punto no quiere decir que no exista campo allí. Agustín E. González Morales 171 m M Líneas de campo gravitatorio Líneas de campo eléctrico LEYES DE KEPLER Johan Kepler (1571-1639) enunció tres leyes empíricas: Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. Segunda ley: Si se toma el cdm del Sol como origen del vector de posición del cdm de un planeta que orbita a su alrededor, las áreas barridas por este vector son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. Es decir, el movimiento del cdm de los planetas alrededor del Sol tiene velocidad areolar constante. Tercera ley: Los cuadrados de los períodos de las órbitas elípticas que describen los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de dichas elipses. Además, la constante de proporcionalidad es independiente de la masa del planeta, aunque Kepler afirmó que podría depender de la masa del Sol. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Basándose en las leyes de Kepler, en 1687 Newton demostró que: La fuerza de atracción gravitatoria F entre dos cuerpos de masas M y m, es directamente proporcional al producto M·m e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que separa sus cdm, y su línea de acción es la recta que une dichos cdm. Sea una masa M y otra m colocada en el extremo de r , como se aprecia en la figura, la expresión de la atracción gravitatoria que M ejerce sobre m es: Mm Mm F G 2 ur G 3 r r r m Z g r M Y X donde G es la constante de gravitación universal30, cuyo valor en el S.I. es 6.673·10–11. r Obsérvese que u r es un vector unitario en la dirección de r. El signo (–) indica que la fuerza r de atracción la ejerce M sobre m. Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton, existe otra fuerza, de la misma dirección y del mismo módulo, aunque de signo positivo según el SR empleado, que sería la de atracción de m sobre M. Entonces, el campo gravitatorio g creado por una masa M, es31: 30 31 Universal; es decir, no sólo de nuestro Sistema Solar, sino de todo el Universo. No debe confundirse la masa creadora del campo, con la masa sometida al campo creado por aquélla. Agustín E. González Morales 172 F M M g G 2 ur G 3 r m r r LEY DE COULOMB Enunciada por Coulomb en 1785, dice: La fuerza de atracción o de repulsión F entre dos cargas eléctricas Q y q, es directamente proporcional al producto Q·q e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa, y su línea de acción es la recta definida por ambas cargas. Sea Q una carga negativa, y q otra positiva, colocada en el extremo del vector r. La expresión de la atracción que Q ejerce sobre q es: q (+) Z r Qq Qq F k 2 ur k 3 r r r Q(-) E Y X Obsérvese el valor absoluto Qq . r De nuevo, u r es un vector unitario en la dirección de r. El signo (–) indica que la fuerza de r atracción la ejerce Q sobre q. Y, por el principio de acción y reacción, existe otra fuerza, de la misma dirección y del mismo módulo, pero de signo positivo: la de atracción de q sobre Q. Y si ambas cargas tienen el mismo signo entonces la fuerza es de repulsión, de valor: Qq Qq F k 2 ur k 3 r r r Se puede comprobar que, para obtener la expresión vectorial de F –ya sea una fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas cualesquiera Q y q– basta sustituir los valores de las cargas, con el signo que tengan, en la expresión anterior. Como consecuencia, el campo eléctrico E creado por una carga Q, positiva o negativa, es32: F Q Q E k 2 ur k 3 r q r r donde k es la constante de Coulomb, cuyo valor k0 en el vacío es muy aproximadamente 9·109 en el S.I. Habitualmente se expresa k en función de la permitividad dieléctrica del vacío (0) y la permitividad dieléctrica relativa del medio que estemos considerando (r): k k 1 0 4 0 r r Obsérvese que G es independiente de la naturaleza del medio en el que se encuentren las masas que se atraen, pero k depende del medio. CAMPO CREADO POR VARIAS MASAS O CARGAS PUNTUALES Gracias al principio de superposición podemos afirmar que, si tenemos una distribución discreta de masas o cargas puntuales, la fuerza resultante que se ejerce sobre una masa o una 32 Ídem que la nota anterior, pero hablando de cargas en vez de masas. Agustín E. González Morales 173 carga es la suma vectorial de todas las fuerzas existentes. Análogamente, la intensidad del campo resultante es la suma vectorial de todas las intensidades. POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Si una partícula de masa m se desplaza desde P hasta P’ siguiendo la trayectoria C, en presencia del campo creado por otra masa M, la fuerza gravitatoria realiza el siguiente trabajo: r P' P' P' M 1 WP P' F·dr mg·d r m ()G 3 r ·dr GMm 3 r ·d r r P, C P,C P, C r r P' P Pero, el producto escalar r ·d r es rdr, pues sólo influye la componente radial de d r ya que la otra es perpendicular a F en cada punto de la trayectoria, como se aprecia en la figura. Por tanto: rP ' WP P ' GMm rP WP P ' G 1 dr r2 Mm Mm G rP ' rP Obsérvese que, por ser el integrando una diferencial exacta; es decir, la diferencial total de una función, el resultado de la integral no depende de la trayectoria C seguida por la partícula, sino, únicamente, de las posiciones inicial y final. Si en vez de una masa m, se desplazase la unidad de masa, el trabajo sería el desarrollado por el campo g; es decir, su circulación a lo largo de cualquier trayectoria que una los puntos P y P’: rP ' g ·d r V rp PP' G M M G rP ' rP Pues bien, se define el potencial V(r) del campo creado por una masa M, a una distancia r de ella, mediante la siguiente expresión: V ( r ) G M r Obsérvese que g·d r dV Como, para r es V(∞) = 0, también se cumple que V(r) g·d r r es decir, el potencial gravitatorio es siempre negativo, salvo en el infinito donde se anula. Como consecuencia, el campo gravitatorio creado por M actúa desplazando a otra masa m, situada en su seno, en el sentido de los potenciales decrecientes. M V1 < V2 < V3 Nótese que si M está aislada del resto del Universo y es una masa puntual o una esfera homogénea, toda superficie Agustín E. González Morales 174 esférica centrada en M es equipotencial. Además, al desplazar una masa m por una superficie equipotencial, como el campo y el desplazamiento son perpendiculares, g no realiza trabajo y la energía potencial de m es constante. Tal es, muy aproximadamente, el caso de la Luna en su rotación alrededor de la Tierra o el de los satélites artificiales que orbitan siguiendo una trayectoria circular en torno al centro de la Tierra; como se desplazan por una superficie que es prácticamente equipotencial, apenas consumen energía; sólo necesitan gastar combustible para cambiar de una órbita a otra concéntrica; es decir, de una superficie equipotencial a otra. Cuando existen varias masas creadoras del campo, las superficies equipotenciales no son esféricas; pero, en todo caso, sean estas superficies esféricas o no, el vector campo en cada punto es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto. Si U(r) es la energía potencial gravitatoria asociada a un punto, de la definición de potencial deducimos que: U(r) = m V(r) = G Mm r como calculamos al principio que: WP P ' G Mm Mm G rP ' rP entonces WP P ' = UP – UP’ = m (VP – VP’) Pero, según el teorema de la energía cinética, si no existen fuerzas que provoquen pérdidas de energía (como el rozamiento), entonces: WP P' Ec 1 1 mv 2P ' mv 2P 2 2 O sea: 1 1 mv 2P U P mv 2P ' U P ' 2 2 Es decir, cuando m se traslada desde P hasta P’ se conserva la energía mecánica (suma de la energía cinética y la potencial), de ahí que los campos que derivan de un potencial se llamen conservativos. VELOCIDAD DE ESCAPE. ÓRBITAS. Velocidad de escape Hemos visto que la energía potencial de una masa m situada en el seno del campo gravitatorio creado por otra masa M, es: Mm U(r) = G r Pensemos, para tener una imagen clara, en un satélite de masa m y en la Tierra de masa M. Como el valor U(∞), a una distancia infinita de M, es cero, si m partiese del infinito sin velocidad, su energía cinética Ec(∞) sería nula; pero, una vez situada a una distancia r de M con velocidad ve, si el rozamiento es despreciable, conservará su energía mecánica; es decir: U(∞) + Ec(∞) = U(r) + Ec(r) Agustín E. González Morales 175 0 0 G Mm 1 mv e2 r 2 de donde se deduce que: 2GM r ve Recíprocamente, si m estuviese dotada, como mínimo, de una velocidad ve, podría escapar de la atracción de M y separarse de ésta una distancia infinita. Así, por ejemplo, para lanzar un cohete, situado en la superficie de la Tierra, de manera que sea capaz de escapar de la atracción terrestre (con r: radio de la Tierra 6370 km y M: masa de la Tierra 6·1024 kg), el valor de ve es de unos 11.2 km/s (40320 km/h aproximadamente). En realidad, debe ser algo mayor a la calculada para vencer los rozamientos con la atmósfera. Obsérvese que el valor de ve no depende de m. Órbitas Las trayectorias de una masa sometida a las fuerzas gravitatorias pueden ser circulares, elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Órbita circular Si sobre una masa m sólo está actuando la fuerza central de atracción gravitatoria creada por otra masa M, según la segunda ley de Newton, m describe una órbita circular a una distancia r de M, con una velocidad vo y una aceleración centrípeta de valor vo2 . Por lo r tanto: G Mm v 2o m r r2 de manera que la velocidad a la que orbita m es: vo GM r Obsérvese que el valor de vo no depende de m. Por otro lado, la energía cinética de m es: Ec 1 1 Mm mvo2 G 2 2 r Por lo tanto, su energía mecánica es: 1 Mm E Ec U G 2 r Nótese que la energía mecánica es negativa salvo en el infinito. Según lo que acabamos de exponer, ¿qué condiciones debe cumplir un satélite artificial para permanecer siempre en la vertical de un punto concreto de nuestro plantea (supuesto una esfera homogénea); es decir, para ser geoestacionario? Además de moverse a la misma velocidad angular que la Tierra, debe estar en la vertical del Agustín E. González Morales 176 Ecuador, pues en otro lugar de latitud distinta de cero, la fuerza central gravitatoria no le permitiría orbitar según un paralelo. Órbita elíptica Se demuestra que en una órbita elíptica la energía mecánica también es negativa y de valor análogo al de una órbita circular: 1 Mm E Ec U G 2 a donde «a» es el semieje mayor de la elipse. La velocidad característica a la que orbita una masa m en una trayectoria elíptica es: vo GM a Además, si la energía cinética de m es muy pequeña comparada con su energía potencial, las elipses son casi circulares. Por lo tanto, para poner un satélite en órbita, primero se coloca a una altura «a» y, después, se le comunica la velocidad vo, tangente a la órbita deseada. Órbita parabólica Se demuestra que en las órbitas parabólicas la energía mecánica es nula; por tanto, tal como calculamos anteriormente, la masa m orbita precisamente a la velocidad de escape. Órbita hiperbólica Se demuestra que en las órbitas hiperbólicas la energía mecánica es positiva y una masa m puede llegar, teóricamente, al infinito dotada de energía cinética, pero con una energía potencial nula. De lo anterior se deduce que para que una masa abandone el campo gravitatorio provocado por otra, tiene que seguir una trayectoria parabólica o hiperbólica. POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Un razonamiento similar al empleado en el campo gravitatorio se puede seguir para estudiar el potencial y la energía potencial correspondientes a un campo eléctrico. Si una carga q se desplaza desde P hasta P’ siguiendo la trayectoria C, en presencia del campo creado por otra carga Q, la fuerza de Coulomb realiza el siguiente trabajo, cualquiera que sea el signo de ambas cargas: r P' P' P' Q 1 WP P ' F·d r qE·d r qk 3 r ·d r kQq 3 r ·d r r P,C P,C P,C r r P' P Pero, el producto escalar r ·dr es rdr, pues sólo influye la componente radial de d r ya que la otra es perpendicular a F en cada punto de la trayectoria, como se aprecia en la figura. Por tanto: Agustín E. González Morales 177 rP ' WP P ' kQq rP WP P ' k 1 dr r2 Qq Qq k rP ' rP Obsérvese que, por ser el integrando una diferencial exacta; es decir, la diferencial total de una función, el resultado de la integral no depende de la trayectoria C seguida por la carga, sino, únicamente, de las posiciones inicial y final. Si en vez de una carga q, se desplazase la unidad de carga positiva, el trabajo sería el desarrollado por el campo E; es decir, su circulación a lo largo de cualquier trayectoria entre los puntos P y P’: rP ' E ·d r V rp eP P' k Q Q k rP ' rP Se define el potencial Ve(r) del campo creado por una masa Q, cualquiera que sea su signo, a una distancia r de ella, mediante la siguiente expresión: Ve (r ) k Q r Obsérvese que: E·d r dVe Como Ve(∞) = 0, también se cumple que: Ve (r) E·d r r es decir, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, según el valor de Q. Como consecuencia, el campo eléctrico creado por una carga Q, cualquiera que sea su signo, actúa desplazando otra carga q positiva, situada en su seno, en el sentido de los potenciales decrecientes. Pero, si q es negativa se desplaza en el sentido de los potenciales crecientes. Nótese que si Q está aislada del resto del Universo y es una carga puntual o una esfera homogénea, toda superficie esférica centrada en Q es equipotencial. Además, al desplazar una carga q por una superficie equipotencial, como el campo y el desplazamiento son perpendiculares, E no realiza trabajo y la energía potencial de q es constante. Cuando existen varias cargas creadoras del campo, las superficies equipotenciales no son esféricas; pero, en todo caso, sean estas superficies esféricas o no, el vector campo en cada punto es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto. Si Ue(r) es la energía potencial eléctrica asociada a un punto, se cumple que: Ue(r) = q Ve(r) = k Qq r como dijimos que: Agustín E. González Morales 178 WP P ' k Qq Qq k rP ' rP entonces: WP P ' = UeP – UeP’ = q (VeP – VeP’) De donde se deduce que el campo eléctrico es conservativo; es decir, al igual que g deriva del potencial V(r), el campo E deriva del potencial Ve(r). TEOREMA DE GAUSS Con el teorema de Gauss se puede abordar el estudio de ciertos campos creados por distribuciones continuas de masa o de carga que tengan algún tipo de simetría. Teorema de Gauss para el campo gravitatorio Consideremos una masa puntual M rodeada por una esfera imaginaria de radio r y superficie S (llamada superficie de Gauss), y calculemos el flujo del campo g creado por M a través de la superficie de dicha esfera: M g·dS ()G 2 r S S r M 1 M ·dS G 2 rdS cos G 2 4r 2 4GM r r r r S r donde se ha tenido en cuenta que, en una esfera, el ángulo que forman dS y r es cero. S S’ Hemos calculado el valor que representa el número de líneas del campo que atraviesan la superficie S de la esfera de radio r. Pero, si la rodeamos por una superficie cerrada arbitraria como la S’, está última está atravesada por el mismo número de líneas del campo, incluso aunque M no sea puntual. Por tanto, dada una distribución de masa M, el flujo del campo gravitatorio creado por M a través de cualquier superficie cerrada que la contenga es: 4GM Teorema de Gauss para el campo eléctrico Análogamente, dada una distribución de carga Q, el flujo del campo eléctrico creado por Q a través de cualquier superficie cerrada que la contenga es: e 4kQ DIELÉCTRICOS Y CONDUCTORES _ + _+ Dieléctricos _+ Al someter un dieléctrico o aislante a un campo externo E, sus cargas se orientan según una dirección que depende del campo y de la polaridad de sus moléculas. _+ _+ _+ _ + _ + E' _ + _+ _+ _+ _+ _+ _+ _+ Figura a) Figura (a) Agustín E. González Morales E _ + _ + _ + E'_ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + E _ + Figura b) Figura (b) 179 En la figura (a) se representa lo que sucede en una sustancia dieléctrica polar cuyas moléculas, incluso en ausencia de E, tienen sus cargas separadas. En la (b) aparece un dieléctrico apolar; es decir, una sustancia cuyas cargas están juntas en ausencia de E. En ambos casos el resultado es similar: el campo externo E induce un campo interno E' en la superficie del dieléctrico que se le opone; de ahí que el campo resultante en el interior del dieléctrico sea siempre menor que en el exterior. Conductores Las cargas de los conductores en equilibrio están en reposo. Por tanto, el campo eléctrico en su interior debe anularse, ya que, de lo contrario, las cargas dejarían de estar en reposo, debido a la facilidad con la que se pueden mover en estos materiales. E 0 V = cte Si un conductor en equilibrio está expuesto a la acción de un campo eléctrico externo, se manifiesta sobre cada carga del conductor una fuerza que desplaza las cargas positivas en el sentido del campo y las negativas en el opuesto, creando un nuevo campo que compensa al externo, de modo que el campo resultante en el interior del conductor vuelve a anularse, provocando que las cargas se sitúen en la superficie del conductor y que todos los puntos de dicha superficie se encuentren al mismo potencial. En resumen: las cargas de un conductor en equilibrio residen en su superficie, convertida en una superficie equipotencial; además, en el interior del conductor el campo es nulo y el potencial constante. Por ello, el campo creado por un conductor cargado es perpendicular a su superficie en cada punto. Y, si se pone en contacto con otro conductor, se produce un trasiego de cargas entre ambos hasta que el campo se anule y los dos se encuentren al mismo potencial. Calculemos el campo en las proximidades de un conductor en equilibrio. E dS + + + + + + + + + + ++ + + + + Ya sabemos que las cargas residen en la superficie del conductor en equilibrio y que el campo es perpendicular a dicha superficie. Apliquemos el teorema de Gauss a una superficie cerrada como la cilíndrica de la figura, que contiene a dS, en la que habrá una carga interior dQ: d e E·dS E·dS 4k·dQ si la densidad superficial de carga es dQ , sustituimos dQ y calculamos E: dS E 4k La expresión anterior permite demostrar la llamada propiedad de las puntas, fundamento del pararrayos, que establece que, si una carga está distribuida por la superficie de un conductor, el campo es más intenso en las proximidades de las zonas más agudas; es decir, en los puntos de la superficie con menor radio de curvatura. En efecto, consideremos dos esferas conductoras de radios R1 < R2. Si la misma carga Q está uniformemente distribuida por cada superficie esférica, entonces: 1 = Q 4R12 2 = Q 4R 22 de manera que: Agustín E. González Morales 180 1 > 2 lo que implica que: E1 > E2 Como un conductor cargado, de cualquier forma geométrica, se puede considerar formado por esferas de distintos radios que se adaptan a la curvatura de su superficie, el campo será mayor en las zonas de menor radio de curvatura. INDUCCIÓN ELECTROSTÁTICA Cuando en las proximidades de un cuerpo cargado, estado neutro, llamado inducido, las partes del inducido más alejadas del inductor se cargan con electricidad del mismo signo que el inductor, y las más próximas con las de signo contrario, debido a la atracción o repulsión que ejerce el inductor sobre las cargas del inducido. llamado inductor, se sitúa un conductor en + + + + + + + + + + + + + ++ + _ _ _ _ _ ++ + + + _ Este fenómeno de inducción electrostática explica por qué un cuerpo cargado atrae a un conductor en estado neutro. En efecto, la repulsión ejercida sobre las cargas del mismo signo es menor que la atracción sobre las de signo contrario, ya que estas últimas están más próximas. Conductor cargado en equilibrio electrostático con una cavidad interior Se puede comprobar que en un conductor cargado en equilibrio electrostático con una cavidad interior, la carga está localizada únicamente en la superficie exterior; además, en el interior de la cavidad el campo es nulo y el potencial constante. Es decir, el conductor se comporta igual que si no tuviese dicha cavidad. Conductor descargado con una carga situada dentro de una cavidad interior Sea +q la carga introducida, y supongamos alcanzado el equilibrio electrostático. Tomemos tres superficies arbitrarias S1, S2 y S3, y apliquemos el teorema de Gauss a cada una de ellas: (a) E·dS 4kq S3 S2 S1 +q S1 (b) E·dS 0 S2 pues E = 0 en S2, por ser puntos del conductor en equilibrio. (c) E·dS 4kq +q -q - - -+q -- --- S3 ¿Cómo se explica el resultado (b)? Aparentemente el segundo miembro no debería ser nulo, ya que parece que la carga encerrada dentro de S2 no es cero, pues existe la carga +q en el hueco. Ya que el campo es nulo en la zona del conductor que rodea al hueco, necesariamente en la superficie interior de la cavidad se ha tenido que inducir una carga –q, como se aprecia en la figura inferior, de manera que la carga neta contenida en S2 sea nula. Pero, el resultado (c) también es correcto, ¿cómo se explica? Si en la superficie del hueco se ha inducido una carga –q, dicha carga no se ha podido “crear” de la nada, sino que ha tenido que producirse un desplazamiento de cargas dentro del conductor. Por lo tanto, debe existir otra zona del conductor donde haya otra carga +q, de manera que la carga neta en el conductor sea cero. Como el conductor está en equilibrio electrostático, dicha zona tiene que ser su superficie exterior. Agustín E. González Morales 181 En resumen, en la superficie del hueco se induce una carga igual, pero de signo contrario a la introducida en él; mientras que en la superficie exterior del conductor se induce una carga igual y del mismo signo que la que hay en el hueco. Obsérvese que si conectamos el conductor “a tierra” (es decir, -q - - “a masa”); o sea, lo sometemos a potencial cero, las cargas positivas de la superficie exterior emigran hacia los potenciales más bajos (“se dirigen a tierra”) quedando dicha +q -superficie descargada. Desde el punto de vista eléctrico el - - espacio interior del hueco está apantallado del exterior, en el sentido de que si se le acerca otra carga, o si el conductor se somete a un campo exterior, el interior no se “entera” de lo que ocurre fuera. Este fenómeno se conoce como caja o jaula de Faraday, y se emplea para aislar ciertas zonas de las influencias de los campos eléctricos. FORMULARIO CAMPO GRAVITATORIO Mm F G 3 r F mg r M g G 3 r r g·d r dV M U (r) = mV(r) r WP P ' U P U P ' m(VP VP ' ) g·dS 4GM V ( r ) G CAMPO ELÉCTRICO Qq Fk 3 r F qE r Q Ek 3 r r E·d r dVe Q Ue(r) = qVe(r) r U eP U eP' q(VeP VeP ' ) e E·dS 4kQ Ve (r) K WP P ' S S Agustín E. González Morales 182 EJERCICIOS 1. Calcular el campo debido a una masa cilíndrica muy larga y homogénea de densidad y radio R en el interior, en el exterior y en la superficie. Resp.: 2Gr; 2GR 2 ; 2GR r 2. Calcular el campo gravitatorio en el interior, en el exterior y en la superficie de la Tierra supuesta esférica, homogénea, de densidad constante y el único astro del Universo. M M 4 Resp.: Gr; G 2 ; G 2 3 R r 3. En el espacio, fuera de la influencia de los cuerpos celestes, tres masas puntuales de 2, 4 y 2 Kg se encuentran en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado, ¿cuál es la fuerza que ejercen sobre una partícula de 1 gramo colocada en el cuarto vértice? Resp.: 3.222·10-13 N 4. Tres cuerpos de la misma masa se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado L. Calcular: a) la intensidad del campo creado en el centro del triángulo; b) la fuerza que ejercen dos masas sobre la tercera, y c) la velocidad a la que debería girar el sistema alrededor de su centro para que las distancias permanezcan fijas. Resp.: a) cero; b) 3G m2 ; c) L2 Gm L 5. Un satélite de 50 kg orbita a 500 km de altura sobre la Tierra (R = 6370 Km, g = 9.8 m/s2 en la superficie). Calcular: a) la velocidad que posee; b) su energía cinética; c) la energía que hubo que comunicarle para situarlo a esa altura, y d) la energía total comunicada al satélite. Resp.: a) 7608.06 m/s; b) 1.447·109 J; c) 2.2717·108 J; d) 1.674·109 J 6. Un satélite de masa m describe órbitas circulares de radio 2R en torno a un planeta aislado de radio R. Con una energía igual a la utilizada para ponerlo en órbita partiendo de la superficie del planeta, se pretende elevar otro satélite de masa 2m, ¿a qué distancia del centro del planeta orbitará? Resp: No puede ponerse en órbita 7. Desde la superficie de la Tierra, cuya masa es 6·1024 Kg, se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba; a) si se le comunica una velocidad de 8 Km/s, ¿qué distancia al centro de la Tierra alcanzaría si no existiese atmósfera?; b) ¿qué velocidad necesita para alcanzar, en ausencia de atmósfera, una altura igual al radio de la Tierra r = 6370 km? Resp.: 12.97·106 m; 7927.45 m/s 8. Se lanza un cohete desde la Tierra (masa 6·1024 Kg, radio 6370 Km, G = 6.67·10–11 SI), supuesta aislada en el universo, en dirección radial. Queremos que se aleje infinitamente, ¿cuál sería la velocidad que tendría que llevar a 10000 km sobre la superficie de la Tierra? Resp.: 6992.44 m/s 9. El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio medio r = 1.222·106 Km y su periodo es de T = 15.945 días. Determinar la masa de Saturno y su densidad si su radio medio es de 58545 Km (G = 6.67·10–11 SI). Resp.: 5.689·1026 kg; 676.83 kg/m3 10. Calcular la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de la Tierra en dirección horizontal para que se mueva en torno a la Tierra describiendo una trayectoria circular. (R = 6370 km; g = 9.8 m/s) Resp.: 28443.6 km/h 11. Suponiendo la Tierra esférica y homogénea (R = 6370 Km), calcular la profundidad de un pozo sabiendo que un péndulo que bate segundos en la boca, se retrasa 3 segundos por día en el fondo. Resp.: 442.3 m Agustín E. González Morales 183 3r 2 6 12. Se define un campo de fuerzas A r en unidades del SI. Calcular la diferencia de r potencial entre dos puntos P y Q situados a 1 m y 2 m del punto central del campo. Resp.: –0.3411 J 13. Calcular el potencial producido por un anillo de masa M y radio R en los puntos situados a lo largo del eje perpendicular al anillo que pasa por su centro. Calcular a) el potencial en el punto P y en el centro del anillo, y b) el campo. Mx M M Resp.: a) V( x) G ; V(0) G ; b) E( x ) G 3 2 2 R R x (R 2 x 2 ) 2 14. Calcular el campo y el potencial gravitatorio creado por una barra homogénea de masa m y longitud L a una distancia d de su centro y en su prolongación. L d m m 2 Resp.: .: g = G ; V = G ln 2 L L 2 L d d 2 2 15. Una carga positiva Q está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R, con una densidad volumétrica . Calcular el campo y en potencial: a) en el interior; b) en la superficie de la esfera, y c) en el exterior. 1 Q Q 4 Resp.: Interior con r < R: E = kr; Ve(r) = k 3 (3R 2 r 2 ) ; superficie: E = k 2 ; Ve(R) 2 R 3 R Q Q Q = k ; exterior con r > R: E = k 2 ; Ve(r) = k R r r 16. Una esfera conductora de 8 cm de radio posee una carga de 0.3 C. Calcular: a) la densidad de carga; b) el campo y el potencial en su superficie; c) el campo y el potencial en un punto a 12 cm del centro, y d) ídem, a 4 cm del centro. Resp.: a) 3.73·10-6 C/m2; b) 421875 N/C; 33750 V; c) 67500 N/C; 13500 V; d) 0; 33750 V 17. Hallar el campo en los puntos interiores y exteriores de una esfera de radio R cuya carga está distribuida con una densidad radial = o/r2, con o constante. 4ko R 4ko Resp.: Interior: E = ; exterior: E r r2 18. Una carga Q = + 10–10 C está repartida uniformemente en una esfera dieléctrica (r = 8, R= 30 cm). Calcular el campo dentro y fuera de la esfera en función de la distancia al centro. 9 1 25 Resp.: Dentro: E = r N/C; fuera: E = N/C 10 r 2 6 19. En una esfera conductora maciza, descargada de radio R, se hace un hueco esférico en su centro de radio r, y se coloca en el centro del hueco una carga puntual + q. Determinar: a) las densidades de carga en las superficies interna y externa; b)¿cómo se verá influida la densidad de carga en la superficie interior si la carga se desplaza del centro del hueco?; c) el campo en todas las regiones, y d) el potencial en todas las regiones. q q Resp.: a) Superficie interna: 1 ; superficie externa: 2 ; b) No se ve influida; c) 2 4r 4R 2 q q q E(a) = k 2 ; para a R; es nulo en el conductor; E(a) = k 2 ; para a < r; d) E(a) = k 2 ; para a a a q 1 1 1 a < r; V(a) = k ; para r a R; V(a ) kq ; para a < r R a R r Agustín E. González Morales 184 20. Una esfera maciza aislante de radio a está situada concéntrica en el interior de otra esfera conductora, hueca de radios interior y exterior b y c. La esfera aislante tiene una densidad uniforme de carga positiva , y la esfera hueca no tiene carga neta. La constante dieléctrica relativa del aislante es r. Calcular: a) la densidad de carga superficial inducida en la superficie interior de la esfera hueca; b) Ídem en la superficie exterior; c) la intensidad del campo a una distancia r > c; d) Ídem para c > r > b; e) Ídem para b > r > a; f) Ídem para r < a; g) el potencial a una distancia r > c, y h) el potencial para c > r > b. q q q q Resp.: a) b ; b) c ; c) E(r ) k o 2 ; d) E(r) = 0; e) E(r ) k o 2 ; f) 2 2 4b 4c r r q q q E(r ) k 2 ; g) Ve (r ) k o ; h) Ve (r) k o r c r 21. Una corteza esférica no conductora, de radio interior r y exterior R, posee una densidad volumétrica de carga uniforme . Calcular: a) la carga total; b) el campo a una distancia del centro z > R; para r < z < R; para z > R, y c) el potencial para z > R y para r < z < R. 4(z 3 r 3 ) 4 Resp.: a) Q = (R 3 r 3 ) ; b) E = 0 para r > z; E(z ) k ; para r < z < R; 3 3z 2 E( z ) k Q Q ; para z > R; c) V(z) k ; para z > R; 2 z z V ( z) k 2(3R 2 z 2r 3 z 3 ) ; para z r<z<R 22. Una corteza esférica de radio r posee una carga q uniformemente distribuida en su superficie. Una segunda corteza esférica, mayor, de radio R, concéntrica con la anterior posee una carga Q también uniformemente distribuida. Calcular: a) el campo a las distancias z < r; r < z < R, y z > R; b) el cociente q/Q y su signo relativo para que el campo sea cero en el exterior de la corteza mayor, y c) el potencial a las distancias z < r; r < z < R, y z > R. qQ q Resp.: a) E(z) = k 2 ; para z > R; E(z) = k 2 ; para r < z < R; E(z) = 0; para z < r; b) –1; c) z z qQ Q q Q q V(z ) k ; para z > R; V(z ) k ; para r < z < R; V(z ) k ; para z R z R z r<z<R 23. Una esfera metálica aislada se 10 cm de radio se carga a 5000 V. Calcular: a) su carga en columbios. Se pone en contacto con otra descargada y aislada de 8 cm de radio; determinar: b) carga de cada esfera, y c) potencial de ambas. Resp.: a) 5.55·10-8 C; b) 3.086·10-8 C, 2.469·10-8 C; c) 2.77·104 V 24. Una esfera de 20 cm de radio estada cargada a 10000 V. Otra esfera de 4 cm está inicialmente descargada. Se ponen en contacto y después se separan. Se descarga la esfera de 4 cm. Se repite el proceso 7 veces en total, ¿cuál es el voltaje final de la esfera de 20 cm? Resp.: 2790.81 V 25. Una esfera conductora tiene una densidad superficial de carga de 8.85·10–8 C/m2. Calcular su radio sabiendo que el campo creado por ella, en un punto situado exteriormente a 2 m de su superficie, es 3600 N/C. Resp.: 3 m 26. Dos esferas metálicas de radios r1 = 6 y r2 = 9 cm de radio se cargan con 1C cada una. Luego se unen con un hilo conductor. Calcular: a) el potencial de cada esfera aislada; b) el potencial después de la unión y la carga de cada esfera después de la unión, y c) la carga que circuló. Resp.: a) 100000 V; b) 120000; 0.8 μC; 1.2 μC; c) 0.2μC 27. El potencial a 20 cm de una esfera conductora cargada de 10 cm de radio es 800 V. Calcular: a) el potencial de la esfera, y b) el número de electrones que se han extraído del material. 1 Resp.: a) 1600 V; b) 1012 9 Agustín E. González Morales 185 28. Un conductor rectilíneo indefinido, cargado uniformemente crea un potencial de 20 V en los puntos situados a 2 m de él, y de 10 V en los situados a 4 m. Calcular su densidad lineal de carga . 5 Resp.: 10 9 C/m 9 ln 2 29. Un cilindro infinitamente largo de radio R tiene una densidad volumétrica de carga uniforme . Calcular el campo en el interior y en el exterior. 2R 2 k Resp.: Para r < R: E 2rk ; para r > R: E r 30. Una corteza cilíndrica de gran longitud, de radios r y R, transporta una densidad de carga uniforme . Calcular el campo a unas distancias z < r; r < z < R, y z > R. 2 k ( z 2 r 2 ) 2k(R 2 r 2 ) Resp.: E = 0; para z < r; E(z ) ; para r < z < R; E(z ) ; para z z z >R 31. Dos cortezas cilíndricas concéntricas, infinitamente largas, tienen radios r y R y poseen densidades superficiales uniformes de carga m y n. Calcular: a) el campo para z < r; r < z < R, y z > R; b) ¿cuál debe ser el cociente m/n y el signo relativo de ambas para que el campo sea nulo en el exterior? 4krm 4k (Rm rn) Resp.: a) E = 0; para z < r; E(z ) ; para r < z < R; E(z ) ; para z > R; b) z z m r n R 32. Dos conductores en forma de corteza cilíndrica, coaxiales, de longitud L poseen cargas iguales y opuestas. En la corteza interior de radio r hay una carga +q, y en la exterior de radio R, de –q. Hallar la diferencia de potencial entre las cortezas. q R Resp.: V(r) – V(R) 2k ln L r 33. a) Calcular el campo eléctrico creado por una superficie plana infinita, cargada uniformemente con una densidad superficial . b) Colocamos esta superficie verticalmente y colgamos de un hilo, de peso despreciable y sin carga, una esfera puntual cargada con 3 ·10–9 C de 1 gramo. El ángulo que forma el hilo con la vertical es de 30º, ¿cuál es la densidad superficial de carga de la superficie plana? Resp.: a) Resp.: E = 2k ; b) 5.77·10-5 C/m2 34. Dos planos infinitos paralelos están separados una distancia d. Hallar el campo en todas las regiones si ambos están uniformemente cargados a) con la misma densidad de carga positiva, y b) con la misma densidad de carga, pero de signo contrario. Calcular el potencial en todas las regiones y la diferencia de potencial entre los planos en ambos casos. Resp.: a) E 4k i , V(x ) = VA + 4kx para x < 0; E 0 , V(x ) = VA para 0 < x < d; E 4k i , V(x ) = VD – 4k(x – d) para x > d; VA – VD = 0 b) E 0 , V(x ) = VA para x < 0; E 4k i , V(x ) = VA – 4kx para 0 < x < d; E 0 , V(x ) = VD para x > d; VA – VD = 4kd = Ed 35. Un electrón (m = 9.11·10–31 Kg; e = –1.6·10–19 C) se dispara a 2·106 m/s contra una placa cargada con una densidad superficial de carga de –3·10–9 C/m2. Calcular la distancia máxima desde la que puede dispararse para que llegue a la placa. Resp.: 6.71 cm Y L y E s 36. En un tubo de rayos catódicos (TRC) un electrón (de masa m y carga q) se dispara a velocidad v por el centro del campo eléctrico uniforme E creado por un condensador plano de longitud L, cuyas Agustín E. González Morales X d 186 armaduras están separadas una distancia s. El campo está dirigido verticalmente hacia abajo y es nulo excepto en el espacio comprendido entre las armaduras. El electrón sale del condensador casi rozando el borde de la armadura superior. Calcular: a) el valor del campo; b) la dirección de salida del campo, y c) ¿a qué distancia vertical impacta en una pantalla situada a una distancia d del borde de salida? Se desprecian los efectos gravitatorios. 2 Resp.: a) E s mv s s ; b) arctg ; y d q L L L 37. Una partícula alfa (q = 3.2·10–19 C) se acelera mediante una ddp de 100000 V, ¿qué energía cinética adquiere? Resp.: 3.2·10-14 J 38. Un péndulo eléctrico está constituido por una esferita metálica de 1 gramo, colgada de un hilo despreciable de 150 cm, cargada con 1.3·10–8 C. Se le hace oscilar en una región donde existe un campo eléctrico vertical. Cuando el campo es vertical, de abajo a arriba, la esferita efectúa 100 oscilaciones en 316 segundos, y si el campo se orienta de arriba a abajo, tarda 208 segundos en realizar las 100 oscilaciones. Calcular: a) el campo eléctrico, y b) el valor de la intensidad de la gravedad. Resp.: a) E = 2.98·105 N/C; b) 9.81 m/s2 39. Una esfera puntual de 0.1 gramos está cargada con 3·10–9 C y atada a un hilo despreciable de 5 cm. El otro extremo del hilo está unido a la superficie de un conductor vertical, plano e indefinido, cargado con 25·10–7 C/m2. Hallar el ángulo que forma el hilo con la vertical. Resp.: 40º 52’ 39.09” 40. Una carga puntual de +10–9 C está situada en el origen de coordenadas. Otra de –2·10–8 C está sobre el eje Y a 1 m del origen. Determinar: a) el campo en el punto (2,0), y b) el trabajo que es necesario realizar para trasladar 3 C desde (2,0) hasta (4,2). 72 36 i j ; b) Resp.: –103.063 J Resp.: a) E E1 E 2 2.25 5 5 41. a) Calcular el campo eléctrico necesario para equilibrar la fuerza gravitatoria ejercida sobre un electrón (m = 9.11·10–31 Kg; q = –1.6·10–19 C). b) Si el campo eléctrico fuese producido por otro electrón, ¿cuál debería ser la distancia entre ambos? Resp.: a) 5.58·10–11 N/C: b) 5.08 m 42. Sobre un hilo de longitud L se distribuye uniformemente una carga q. Calcular la fuerza ejercida sobre una carga puntual Q situada en su prolongación a una distancia z del extremo. Qq Resp.: F k z ( z L) 43. Se tienen dos esferas puntuales cargadas positivamente. La suma de sus cargas es 5·10–5 C. Si la fuerza de repulsión es de 1 N cuando están separadas 2 m, ¿cómo está distribuida la carga entre ellas? Resp.: 3.844·10–5 y 1.156·10–5 C 44. Ciento veinticinco gotas idénticas de mercurio se cargan simultáneamente al mismo potencial de 100 V, ¿cuál es el potencial de la gota formada por la aglomeración de aquéllas? Resp.: 2500 V 45. Calcular el campo eléctrico generado por una carga Q distribuida uniformemente a lo largo de una línea localizada en el eje Y entre los puntos(0, –a) y (0, a) sobre un punto situado en la posición (s, 0) del eje X. kQ 1 Resp.: E 2 s a s2 46. Dos cargas puntuales positivas están separadas una distancia 2a. Por el punto medio del segmento que las une se traza un plano perpendicular a dicho segmento. El lugar geométrico de Agustín E. González Morales 187 los puntos de ese plano, donde la intensidad del campo es máxima, por razón de simetría, es una circunferencia. Calcular su radio. a Resp.: r 2 Agustín E. González Morales 188 TEMA IX ELECTROMAGNETISMO Electromagnetismo. Imanes y corrientes Dipolos magnéticos atómicos Fuerza magnética. Ley de Lorentz Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme Espectrógrafo de masas. Ciclotrón Campo magnético. Ley de Biot y Sabart. Permeabilidad magnética Momento magnético. Galvanómetro Campo creado por una corriente rectilínea indefinida Fuerzas entre corrientes paralelas. Amperio Campo creado por una espira circular uniforme, un solenoide abierto y un solenoide cerrado Espira circular Solenoide abierto Solenoide cerrado Circulación del campo magnético. Ley de Ampere. Corriente de desplazamiento de Maxwell Ejercicios Agustín E. González Morales 189 TEMA IX ELECTROMAGNETISMO. IMANES Y CORRIENTES En los imanes naturales, como la magnetita, existen dos polos magnéticos, el Norte (N) y el Sur 33 (S) que son las zonas donde la fuerza magnética es más intensa, con una línea neutra entre dichos polos. Por convenio se establece que las líneas de fuerza del campo magnético salen del N y entran en el S. Además, se observa que dos polos del mismo nombre se repelen, mientras que los de distinto nombre se atraen, en ambos casos con una fuerza magnética inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. También se aprecia que esta fuerza llega a desaparecer cuando aumenta la temperatura de los cuerpos. El comportamiento descrito en el párrafo anterior hizo pensar a los científicos, al principio, que los imanes se asemejaban a las cargas eléctricas; pero, en seguida detectaron diferencias como la imposibilidad de obtener un solo polo (un N solitario, sin el S correspondiente); en efecto, si se trocea un imán intentando aislar uno de sus polos, cada parte se convierte, a su vez, en otro imán con sus dos polos –un dipolo–, en contra de lo que sucede con las cargas, pues, como sabemos, es posible aislar una carga positiva, sin que ello exija la existencia de una carga negativa aparejada. Otra diferencia con el campo electrostático es que las líneas del campo magnético son siempre cerradas, precisamente debido a la presencia de los dos polos opuestos. Pero, los fenómenos magnéticos no sólo se manifiestan en los imanes naturales. Así, al hacer circular corriente eléctrica por dos hilos conductores paralelos o en forma de espira, aparecen fuerzas de atracción o repulsión, según el sentido de las corrientes. Estas fuerzas cesan cuando lo hacen las corrientes; lo que nos lleva a pensar que las corrientes –es decir, las cargas en movimiento– provocan interacciones magnéticas, de tal manera que es posible incluso asignar polos a una espira, comparando su comportamiento con el de un imán natural. En la figura se representa una misma espira por sus dos caras: la circulación de la corriente, indicada con flechas sobre la espira, sirve para identificar los polos de manera nemotécnica. En definitiva, toda carga en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. 33 Se denominan norte y sur porque si un imán pudiera girar libremente en la superficie de la Tierra, se orientaría de forma que uno de sus polos, el llamado norte, apuntaría al Norte geográfico. Éste es el fundamento de la brújula. El hecho hizo suponer a William Gilbert, en el año 1600, que la Tierra se comporta como un imán, cuyo polo sur magnético está próximo al polo norte geográfico. Hoy sabemos que el polo sur magnético está al norte de Canadá, a unos 1300 km del polo norte geográfico, algo por debajo de la superficie; por tanto, una brújula no apunta exactamente al Norte. Además, el eje magnético del imán terrestre va variando ligeramente con el tiempo; ahora, en la actualidad, forma un ángulo de 11.5º con el eje geográfico. Agustín E. González Morales 190 DIPOLOS MAGNÉTICOS ATÓMICOS Ya que toda carga en movimiento actúa como un imán o dipolo magnético, los electrones de los orbitales de los átomos se comportan también como dipolos magnéticos debido a su movimiento alrededor del núcleo, pero, sobre todo, al giro en torno a su propio eje de espín. También los protones del núcleo, debido a su espín, se comportan como dipolos magnéticos. En esta propiedad se fundamenta la resonancia magnética nuclear, profusamente empleada en medicina para obtener, mediante una técnica no invasiva, imágenes muy nítidas de los órganos del interior de los seres vivos. FUERZA MAGNÉTICA. LEY DE LORENTZ Antes de estudiar la intensidad del campo magnético, analizaremos los efectos que produce sobre una carga en movimiento. Pero, no debemos confundir esta carga q, que se desplaza en el seno de un campo magnético de intensidad34 B, con las cargas en movimiento que generan dicho campo (aunque pudiera ser creado por un imán natural, donde no existen tales cargas móviles). Admitamos, pues, que en cierta región del espacio existe un campo magnético B, sin que nos preocupe, de momento, su origen. Si una carga q se traslada en su seno a velocidad v, se aprecia que la fuerza magnética F que actúa sobre la carga q es: F q( v x B) cuyo módulo es F qvB sen . Obsérvese que la fuerza es perpendicular tanto al campo como a la velocidad, su sentido depende del signo de la carga y, si q se mueve en la dirección del campo, se anula, pues el ángulo que forma el campo con la velocidad es 0º ó 180º. Para escribir la expresión anterior en forma infinitesimal basta suponer un diferencial de carga dq que se mueve a velocidad v : dF dq (v x B) Pero, ya hemos dicho que las cargas en movimiento son corrientes eléctricas de intensidad I = dq/dt. Si dicha corriente recorre un camino infinitesimal dL (por un hilo conductor, por ejemplo) precisamente a la velocidad v dL / dt , entonces, eliminando dt: vdq IdL dF I(dL x B) La carga q puede estar expuesta también a un campo electrostático E cuyo comportamiento ya conocemos; en tal caso, la fuerza resultante, suma vectorial de la fuerza electrostática y la magnética, es la expresada mediante la ley de Lorentz: F q ( E v x B) 34 Como sucede con los campos gravitatorio y eléctrico, hablaremos de campo magnético para referirnos a su vector intensidad, también llamada inducción magnética. Agustín E. González Morales 191 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA DENTRO DE UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Sea una partícula de masa m y carga q, que se mueve con velocidad v en el seno de un campo magnético uniforme B perpendicular a v. Como la fuerza que actúa sobre ella F q( v x B) es normal a v, la aceleración provocada también lo es; es decir, se trata de una aceleración q vB F q v2 centrípeta a n ( v x B), de módulo ; por tanto, el radio de curvatura es: m m R m R mv qB De donde deducimos que una partícula cargada que penetra en un campo magnético uniforme con velocidad perpendicular al campo, describe un movimiento circular uniforme de radio R. Con la expresión anterior podemos determinar el módulo mv de la cantidad de movimiento de la partícula, si se conoce R. Además, si v es constante, también lo es la velocidad angular ω y el periodo del movimiento T: v q B R m T 2 2 m B q y si B es uniforme, T sólo depende de la relación m/|q|. Esta propiedad se aplica, por ejemplo, en el espectrógrafo de masas y en el ciclotrón. ESPECTRÓGRAFO DE MASAS. CICLOTRÓN Espectrógrafo de masas Se emplea para identificar partículas de elementos químicos mediante las desviaciones en sus trayectorias provocadas por un campo magnético. Su funcionamiento es el siguiente: los iones o isótopos, emitidos por una fuente, se aceleran al someterlos a una diferencia de potencial eléctrica ∆V elevada, hasta alcanzar una velocidad v, con la que se inyectan en el seno de un campo magnético uniforme B, perpendicular a dicha velocidad. Como consecuencia, describen una trayectoria circular de radio R hasta que chocan con una placa receptora situada a una distancia 2R del punto de entrada. Por tanto: R mv qB El valor de módulo de la velocidad se calcula igualando el trabajo realizado por el campo eléctrico con la energía cinética que adquiere la partícula: q V 1 mv 2 2 de donde: q m 2 V R 2 B2 Agustín E. González Morales 192 es decir, llegarán a la placa receptora sólo las partículas que cumplan esta ecuación. Así, por ejemplo, como los isótopos de un elemento químico tienen la misma carga, pero diferente masa, cada uno de ellos chocará en un lugar distinto de la placa receptora. Esta propiedad permite identificarlos. Ciclotrón Es un acelerador empleado para dotar de gran velocidad a partículas atómicas con carga. Esencialmente consiste en una caja metálica cilíndrica, dividida diametralmente en dos partes: D1 y D2 (llamadas des, debido a su forma), separadas entre sí por una ranura, y conectadas a una diferencia de potencial alterna del 2 m mismo periodo T que el de rotación de las B q partículas a inyectar, de manera que el campo eléctrico alterno está orientado durante un semiperiodo hacia D1 y en el siguiente semiperiodo hacia D2. Dispone también de un potentísimo campo magnético, perpendicular al campo eléctrico (en el esquema de la figura penetra en el papel). Su funcionamiento es el siguiente: se introduce una partícula cargada en el punto P; el campo eléctrico la arrastra con una fuerza F hacia una de las des (la D1 del dibujo, por ejemplo) en la que penetra a una velocidad v1. El interior de las des está apantallado contra el campo eléctrico; es decir, dentro de ellas sólo actúa el campo magnético citado, provocando que la partícula recorra una trayectoria circular de radio r1: r1 mv1 qB A la salida de D1 la partícula vuelve a ser «empujada» por el campo eléctrico con una fuerza F, igual pero opuesta a la anterior, que la acelera y la inyecta en D2 a una velocidad v 2 v1 con la que describe una trayectoria circular en D2, cuyo radio es r2 > r1: r2 mv2 qB y así sucesivamente, hasta que la partícula sale del ciclotrón a la velocidad deseada. CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE BIOT Y SABART. PERMEABILIDAD MAGNÉTICA Hasta aquí hemos aceptado la existencia de un campo magnético B en cierta región del espacio, sin ocuparnos de su origen. Estudiemos ahora, someramente, cómo se crea dicho campo. Fueron los trabajos de Ampère y Laplace los que condujeron a Biot y Sabart a formular la ley que lleva su nombre, con la que podemos calcular el campo B generado a una distancia r de una carga Q que se mueve a velocidad v : vQ Q B ut x ur vxr 2 4 r 4 r 3 donde u t y u r son vectores unitarios. Agustín E. González Morales 193 El medio juega un papel preponderante, condicionando el valor de B a través de la constante µ, llamada permeabilidad magnética, cuyo valor en el vacío es µ0 = 4π·10–7 en el S.I. En cualquier otro medio se calcula mediante la expresión µ = µrµ0, en la que µr es la permeabilidad relativa. En este sentido, distinguimos tres tipos de sustancias: o las diamagnéticas (hidrógeno, nitrógeno, mercurio, sodio, oro, plata, etc.). Se distinguen porque son repelidas en presencia de un campo magnético externo, desplazándose hacia las zonas donde este campo sea más débil. Se caracterizan porque su permeabilidad es ligeramente menor que la del vacío, de manera que el campo en su interior es de menos intensidad que en el exterior (las líneas de campo se separan en su interior). Además, sus átomos no forman dipolos magnéticos pues se contrarrestan los dipolos de sus electrones. o las paramagnéticas (estaño, magnesio, platino oxígeno, aluminio, cromo, etc.). Se distinguen porque son atraídas en presencia de un campo magnético externo, desplazándose hacia las zonas donde este campo sea más intenso. Se caracterizan porque su permeabilidad es ligeramente mayor que la del vacío (con líneas de campo más próximas). Además, los dipolos magnéticos de sus átomos son débiles pero no nulos, por lo que tienden a alinearse con un campo magnético externo, aunque dicha alineación está limitada por la agitación térmica de sus moléculas, provocando que estas sustancias no se imanten. o las ferromagnéticas (hierro, cobalto, níquel, gadolinio, acero y sus alineaciones, etc.). Se caracterizan porque su permeabilidad es mucho mayor que la del vacío por lo que amplifican extraordinariamente las fuerzas entre imanes construidos con estos materiales. En estas sustancias existen zonas, denominadas dominios magnéticos, donde todos los dipolos magnéticos de sus átomos son muy intensos y están alineados, pero la orientación es distinta en cada dominio de manera que no suelen presentar propiedades magnéticas. Sin embargo, al colocarlas en el seno de un campo magnético externo, la mayoría de sus dominios se orientan en la dirección de dicho campo, provocando que sean atraídas por el campo externo con una intensidad hasta 100 000 mayor que las paramagnéticas. El campo en su interior es muy intenso (con unas líneas de campo muy próximas) y se imantan con facilidad; en unas, como el hierro dulce, la imantación desaparece al retirar el campo externo; pero, en otras, como el acero, permanece aunque dejen de estar expuestas a dicho campo. Además, debido a la agitación térmica, sus propiedades magnéticas desaparecen por encima de la llamada temperatura de Curie, que depende del tipo de sustancia (1042 ºK en el hierro, 631 ºK en el níquel, etc.). La unidad de B en el S.I. es el Tesla (T). También se emplea el gauss: 1 gauss = 10–4 T, y el weber/m2 (Wb/m2). El Wb es la unidad de flujo magnético en el S.I., del que hablaremos en el siguiente capítulo. Para escribir la expresión del campo en forma infinitesimal basta suponer un diferencial de carga dQ que se mueve a velocidad v para crear un campo magnético infinitesimal dB : Agustín E. González Morales 194 vdQ dQ dB ut x ur vx r 4 r 2 4 r 3 Si la corriente I = dQ/dt recorre un camino infinitesimal dL a la velocidad v dL / dt , eliminando dt obtenemos vdQ IdL; cuyo módulo es vdQ = IdL. Es decir: IdL dB ut x ur 2 4 r de módulo: dB IdL sen 4 r 2 Con estas expresiones podemos calcular el campo magnético que crea una corriente eléctrica. MOMENTO MAGNÉTICO. GALVANÓMETRO Situemos una espira rectangular, indeformable, de dimensiones L1 y L2, por la que circula una corriente I, en el seno de un campo magnético uniforme B. La fuerza de Lorentz que actúa en cada lado de la espira es: F1 I(L1 x B) F2 I(L 2 x B) Obsérvese que las fuerzas F1 , ejercidas sobre los lados MN y PQ, se anulan por ser iguales y opuestas y la espira indeformable; mientras que las fuerzas F2 , que actúan sobre MQ y NP, provocan que la espira gire hasta situarse perpendicularmente al campo. El módulo de estas fuerzas es: F2 = IL2B y si, inicialmente, el vector superficie y el vector campo forman un ángulo , el módulo del momento del par de fuerzas es: M = F2d = F2 L1 sen = I L1L2 B sen . Pero, la superficie de la espira es S = L1L2. Por tanto: M = I S B sen expresión que podemos escribir en forma vectorial: M ISxBm xB donde se ha empleado el llamado momento magnético de una espira: m I S . Si en lugar de una espira tuviésemos n espiras formando una bobina o solenoide, el momento magnético del solenoide sería m n I S. Agustín E. González Morales 195 Aunque los cálculos se han hecho con una espira rectangular, los resultados son independientes de la forma, incluso podríamos haber usado un imán natural. En definitiva, una bobina (o un imán) por la que circula una corriente, colocada en el seno de un campo magnético B, se orienta de tal modo que su momento magnético m se alinea con el campo. En esta propiedad se fundamentan los generadores y motores eléctricos y los aparatos de medida de corriente y tensión como el galvanómetro de espira móvil. Galvanómetro Un galvanómetro de espira móvil consta de una aguja indicadora, unida a una espira o bobina que puede girar en el seno de un campo magnético uniforme creado por un imán. Al pasar por la espira la corriente I que se desea medir, el campo provoca el giro de la bobina desviando la aguja en función sólo de I, pues en la expresión de M tanto S como B son constantes para cada aparato. Al cesar la corriente, un resorte coloca la aguja en la posición cero de la escala. CAMPO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA La corriente que circula por el elemento dL de hilo conductor de la figura crea el vector dB que se clava perpendicularmente en el punto P, en el plano del papel. Para cualquier otro elemento infinitesimal dL' se genera un dB' paralelo al anterior. Por tanto, el módulo B del campo total será la suma de los módulos de los campos creados por todos los elementos infinitesimales, es decir: B pero dL IdL sen 4 r 2 db rd dL ; por tanto, sen d; que sustituimos en la anterior: sen (180 - ) sen r B 2 Id 4 r 2 a como, además, r : cos B 2 I cos d 4a 2 B I 2a Agustín E. González Morales 196 El vector B es perpendicular al hilo conductor en el sentido representado en la figura. Una regla práctica consiste en colocar el dedo pulgar de la mano derecha en la dirección y sentido de I, así los otros dedos, con el puño cerrado, señalarán la orientación de las líneas de fuerza del campo magnético. FUERZAS ENTRE CORRIENTES PARALELAS. AMPERIO Determinemos las fuerzas de atracción o repulsión que se producen entre dos conductores rectilíneos y paralelos de longitud L, separados una distancia d, por los que circulan dos corrientes I1 e I2. Para ello debemos tener en cuenta que el campo magnético B1 , creado por I1, actúa sobre I2; es decir, sobre las cargas en movimiento del otro conductor; mientras que el campo B2 , generado por I2, lo hace sobre I1. Los módulos de los campos son: B1 I1 2d B2 I 2 2d Como se aprecia en la figura, la corriente I2 circula en el seno del campo B1 , por lo que actúa sobre ella una fuerza que calculamos con la expresión de Lorentz: F I 2 (L x B1 ) cuyo módulo es F I1I 2 L 2d Análogamente, I1 circula en el seno del campo B2 , estando sometida a una fuerza: Agustín E. González Morales 197 F ' I1 (L x B2 ) cuyo módulo es el mismo que el de F: F ' I1I 2 L 2d Obsérvese que ambas fuerzas (de atracción en la figura) tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos. Si las corrientes circulasen en sentidos contrarios, las fuerzas serían de repulsión. En definitiva: Las corrientes que circulan en el mismo sentido por dos conductores paralelos se atraen, mientras que las que circulan en sentido contrario se repelen. Por otro lado, si calculamos el cociente: F I1I 2 L 2d con I1 = I2 = 1 A (amperio), = 0 = 4·10–7 y d = 1 metro, resulta: F 2·10 7 N/m L Esta expresión permite definir la unidad de intensidad de corriente del S.I.: el Amperio (A): Un amperio es la intensidad de corriente que circula por dos conductores rectilíneos paralelos, de longitud infinita y sección despreciable, separados un metro en el vacío, cuando la fuerza mutua que actúa entre ellos es 2·10–7 N, por metro de conductor. CAMPO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR, UN SOLENOIDE ABIERTO Y UN SOLENOIDE CERRADO Espira circular En el aparatado a) del ejercicio nº 1 se pretende demostrar que el campo magnético creado en el centro de una espira circular de radio R, por la que circula una corriente I, es un vector perpendicular al plano del circuito, de sentido el del avance de un sacacorchos que gira con la corriente, cuyo módulo es: B I 2R Mientras que en el apartado b) del mismo ejercicio se pretende demostrar que el módulo del campo en un punto del eje de la misma espira a una distancia d del centro (ver figura) es: Agustín E. González Morales 198 IR 2 B 2 R 2 d2 3 2 Solenoide abierto Un solenoide abierto es un conductor enrollado en forma de hélice sobre un núcleo cilíndrico, normalmente ferromagnético, que se comporta como un conjunto de espiras circulares del mismo radio. El campo magnético creado por una corriente I en su interior es uniforme (salvo en los extremos), está orientado de la misma manera que el de una espira circular y su módulo es B I n s donde s es la medida indicada en la figura y n el número de espiras. En la figura también se identifican sus polos N y S. La concentración de líneas de fuerza en el núcleo indica que el campo es más intenso en esa zona. El campo magnético creado en el exterior de un solenoide de longitud infinita es nulo pues podemos considerar que sus polos están infinitamente alejados. Solenoide cerrado Es un solenoide unido por sus extremos. Un solenoide recto, abierto e indefinido puede considerarse un solenoide cerrado de radio infinito, de ahí que para calcular el campo en su núcleo se emplee la expresión del solenoide abierto: B I n s donde s ahora es la longitud media del solenoide (la línea de puntos de la figura). Obsérvese que el valor del campo es independiente de la forma del solenoide cerrado. CIRCULACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL Ya sabemos que la condición que debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo es que la integral de su vector campo a lo largo de un camino cerrado C –es decir, su circulación– sea cero. También vimos que tanto el campo gravitatorio como el electrostático son conservativos. Pero, ¿es conservativo el campo magnético? Calculemos la circulación Γ del campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida I a lo largo de la circunferencia C de radio a: B·d r Bdr C C Agustín E. González Morales 199 Pasamos del producto escalar al producto de los módulos Bdr porque B y d r forman un ángulo de 0º. Como el módulo del campo es constante en todos los puntos de la circunferencia C, entonces I I 2a dr 2a dr C C pero dr 2a C es decir B·d r I C de donde se deduce que el campo magnético no es conservativo. Por tanto, no es posible definir en cada punto del espacio un potencial escalar asociado a B. La expresión anterior es la ley de Ampère. No se ha efectuado una demostración general, sino el cálculo de Γ en el caso particular de una corriente rectilínea e indefinida, pero Ampère demostró la validez del resultado anterior para cualquier corriente constante, con cualquier trayectoria cerrada C que se elija para la integración y para cualquier superficie continua limitada por C. Además, si existen varias corrientes que atraviesen una superficie de las elegidas, basta sumarlas algebraicamente para calcular Γ. Así, en el ejemplo de la figura: B·d r (I1 I 2 I3 ) C donde I4 no interviene porque no corta a la superficie limitada por C. En resumen, dado un campo magnético creado por corrientes constantes, su circulación a lo largo de una trayectoria cerrada C es el producto de por la corriente neta que atraviesa cualquier superficie continua limitada por la curva C. Corriente de desplazamiento de Maxwell En la ley de Ampère existe un inconveniente que detectó Maxwell cuando experimentaba con las corrientes eléctricas inducidas que se estudiarán en el capítulo siguiente. En efecto, la figura muestra el proceso de carga de las placas de un condensador mediante una corriente I. La línea C de integración limita tanto a la superficie S1 como a la S2. Al aplicar la ley de Ampère a S1 se obtiene B·d r I C pero, si se hace lo mismo con S2, el resultado es B·d r 0 C Agustín E. González Morales 200 pues la corriente I no atraviesa a S2. Es decir, se llega a dos resultados distintos para la misma situación física, lo que indica que la ley de Ampère no es de aplicación en este caso. El inconveniente radica en que al enunciarla se insiste en que las corrientes involucradas deben ser constantes, situación que no se produce durante el proceso de carga de un condensador. Maxwell lo resolvió generalizando la ley de Ampère al introducir una corriente de desplazamiento Id de manera que: B·d r (I Id ) C donde Id toma el valor necesario para que la suma I + Id permanezca constante a través de cualquier superficie limitada por C. Maxwell demostró que el valor de Id es Id d e d E·dS dt dt S donde d e / dt es la variación del flujo del campo eléctrico a través de la superficie S. Por tanto, la ley de Ampère, generalizada por Maxwell, es: C d B·d r I E·dS dt S es decir, cualquier variación del flujo de un campo eléctrico produce corrientes de desplazamiento que, a su vez, crean campos magnéticos. En resumen, los campos magnéticos están originados o por corrientes o por campos eléctricos variables con el tiempo. Agustín E. González Morales 201 EJERCICIOS 1. Demostrar que: a) el módulo del campo magnético creado en el centro de una espira circular de I radio R, por la que circula una corriente I, es B ; y b) el módulo del campo en un punto del 2R IR 2 eje a una distancia d del centro de la espira, es B 3 2 R 2 d2 2 2. La figura representa cuatro conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, por los que circulan 5 A (en a y b la corriente sale del papel, y en c y d entra). Calcular el vector inducción magnética en el centro del cuadrado de lado 10 cm. Resp: B = 4 2 10–5 3. La espira de la figura puede girar alrededor del eje Z. Circulan 10 A en el sentido señalado. L1 y L3 miden 0.08 m; L2 y L4 0.06 m. Calcular: a) la fuerza sobre cada lado y el momento para mantener la espira en la posición indicada, si está sometida a un campo de 0.2 T paralelo al eje Y; b) Ídem si el campo es paralelo al eje X. Resp.: a) F1 = 0.16 i N; F2 = – 0.06 k N; F3 = – 0.16 i N; F4 = 0.06 k N; M – 0.0048 3k Nm; b) F1 = – 0.16 j N; F2 = 0.06 3 k N; F3 = 0.16 j N; F4 = –0.06 3 k N; M – 0.0048 k Nm 4. Un alambre de cobre, de A = 2.5 mm2 de sección y de densidad ρ = 8.9 g/cm3, doblado en forma de , con los tres lados iguales, puede girar alrededor de OO’. Está en un campo magnético dirigido verticalmente. Calcular el campo si al circular I = 16 A el ángulo que forma con la vertical es φ = 20º. Resp.: 9.92·10–3 T 5. Calcular la distancia d necesaria para que el conductor PQ de 20 cm y 0.08 gramos se mantenga en equilibrio si por el circuito circulan 100 A. Resp.: 51 cm 6. Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos de λ = 20 gramos por metro de longitud, por los que circula la misma corriente I, pero en sentido contrario, están suspendidos de un eje común mediante dos cuerdas inextensibles y sin peso de a = 5 cm de longitud, que forman con la vertical un ángulo de 30º. Determinar el valor de I. Resp.: 168.2 A 7. Tres conductores rectilíneos, muy largos y paralelos a, b y c están separados entre sí 10 cm sobre el mismo plano. Por a y b circulan 10 A en el mismo sentido, y por c circulan 20 A en sentido contrario. Determinar el lugar geométrico del plano en el que el campo magnético se anula. 10 Resp.: En una recta situada a cm a la izquierda del conductor central. 3 8. Tres conductores rectilíneos, muy largos y paralelos pasan por tres vértices de un cuadrado. Calcular el campo magnético en el vértice no ocupado si el sentido de todas las corrientes es clavándose en el papel. Resp.: I 2 2I3 i 2I1 I 2 j 4L Agustín E. González Morales 202 9. La bobina de un galvanómetro tiene 50 vueltas y una superficie de 6·10–4 m2. El campo magnético es de 0.01 T y la constante de recuperación de l resorte es 10–8 N.m/grado. Determinar la desviación de la bobina para una corriente de 10–3 A. Resp.: 30º 10. La bobina de un galvanómetro tiene 400 espiras y una superficie de 6 cm2. Se suspende de un hilo en un campo de 1000 gauss. Por la bobina circula una corriente de 10–7 A. Hallar el momento de rotación si el plano de la bobina forma 60º con el campo magnético. Resp.: 1.2·10-9 N.m 11. Por una bobina circular grande de 60 vueltas y 10 cm de longitud, circula una corriente de 2 A. En el centro de ella hay otra pequeña, de 30 vueltas y 0.5 cm de radio, por la que circula una corriente de 0.5 A. Los planos de las dos bobinas son perpendiculares entre sí; ¿qué momento ejerce la bobina grande sobre la pequeña, admitiéndose que no hay alteración en el campo magnético producido por la bobina grande? Resp.: 1.78·10-5 N.m 12. Un solenoide de 0.25 m de diámetro y 0.3 m de longitud está formado por dos capas; la interna tiene 300 vueltas y la externa 250. Por ambas circulan 3 A en el mismo sentido. Calcular: a) el campo en el interior, y b) el flujo magnético que lo atraviesa. Resp.: a) 6.91·10-3 T; b) 3.392·10-4 Wb 13. Dos cargas fijas de q1 = 3 μC y q2 = –7 μC están separadas 2 m. En un cierto instante, en el punto medio entre las dos, se mueve una carga +q con una velocidad v dirigida hacia q1. El conjunto está sometido a un campo magnético de 2 T perpendicular al plano de la figura y hacia fuera. La fuerza resultante F tiene la dirección y el sentido representados. Calcular la velocidad en ese instante. Resp.: 4.5·104 m/s 14. Un protón (m = 1.673·10–27 Kg; q = 1.6·10–19 C) se mueve con una velocidad de 107 m/s que forma 30º con un campo de 1.5 T. Calcular: a) el radio de la hélice descrita; b) la distancia que avanza por revolución, y c) la frecuencia de rotación. Resp.: a) 0.034854 m; b) 0.3793 m; c) 2.283·107 Hz 15. Calcular: a) el radio de la trayectoria y el semiperiodo de un electrón (m = 9.11·10–31 kg; q = 1.6·10–19 C) que se mueve a 107 m/s perpendicularmente a un campo de 0.02 T; b) el número de vueltas que da en 0.01 segundos; c) la ddp necesaria para adquirir esa velocidad, y d) el radio de la órbita descrita si está dotado de una energía de 1000 electrón-voltios (eV) al desplazarse en un plano perpendicular a un campo de 100 gauss. Nota: Un eV es la energía que adquiere un electrón al estar sometido a la diferencia de potencial de un voltio. 1 eV= 1.6·10–19 Julios. Resp.: a) 2.847·10-3 m, 8.94·10-10 s; b) 5.59·106; c) 287.7 V; d) 1.067·10-2 m 16. Se aplica una ddp de 100 V a las armaduras de un condensador de placas paralelas horizontales, separadas 1 cm en el vacío. Se lanza horizontalmente un protón (m = 1.673·10–27 kg; q = 1.6·10– 19 C) entre las placas a 107 m/s y se aplica un campo magnético perpendicular a esta velocidad. Calcular: a) la intensidad del campo eléctrico entre las armaduras; b) la inducción magnética para que el electrón no se desvíe, y c) la órbita descrita por el electrón cuando se suprime el campo eléctrico. Resp.: a) 10000 N/C; b) 0.001 T; c) 104.56 m 17. Por el conductor de la figura pasa una corriente de 5 A. Calcular el campo magnético creado en el punto P por los arcos de circunferencia 4 y 2 cm de radio y los segmentos AD y BC, si = 90º. Resp.: 1.96·10-5 T 18. Por un conductor rectilíneo, largo, pasan 10 A. Forma un bucle circular de radio R y continúa de nuevo en línea recta. Calcular el radio del bucle si en su centro el campo vale 0.004 T. Resp.: 2.07·10-3 m Agustín E. González Morales 203 19. Por eje X, en el sentido positivo, circula una corriente I. Por el eje Y, también en el sentido positivo circula una corriente 0.5 I. Determinar el lugar geométrico de los puntos del plano XY donde el campo magnético se anula. Resp.: y = 2x 20. Un campo magnético uniforme de 0.02 T penetra perpendicularmente por la cara Sur de una espira de 0.04 m de radio por la que circula una corriente de 0.5 A. Calcular la fuerza ejercida sobre un cuadrante de la espira. Resp.: F 4·104 ( i j) 21. En la región limitada por los planos y = 0, y = 10 cm existe un campo eléctrico de –1000 j V/m. En la región comprendida entre y =10 cm y el infinito existe una campo magnético uniforme de 10–4 i T. Se abandona un electrón (m = 9.11·10–31 Kg; q = 1.6·10–19 C) en el origen de coordenadas sin velocidad inicial. Calcular: a) la velocidad del electrón en el punto (0,10,0), y b) el periodo del movimiento que describe. Resp.: a) 5.93·106 m/s; b) 24.6 μs 22. Un toroide de 20 cm de radio medio está constituido por un núcleo de material ferromagnético cuya permeabilidad relativa es 8000, y tiene arrolladas 1500 vueltas de un conductor por el que circulan 0.2 A. Calcular el campo magnético en el interior y en el exterior del toroide. Resp.: 2.4 T 23. Por un tubo conductor recto, de radios interior y exterior a y b, circula una corriente I en dirección axial distribuida uniformemente por toda su sección recta. Calcular la inducción magnética en un punto que dista r, cuando a) 0 < r < a; b) a < r < b, y c) r > b Resp.: a) B = 0; b) B I r 2 a 2 I ; c) B 2r b 2 a 2 2r 24. Un disco de radio 2 cm está cargado uniformemente con 5 C. Calcular la inducción magnética en el centro del disco si lo hacemos girar a n = 200 revoluciones por segundo. Resp.: 2·10-8 T 25. El campo magnético de un ciclotrón es de 0.3 T. El radio de la última trayectoria descrita por un protón (m = 1.673·10–27 kg; q = 1.6·10–19 C) antes de salir del ciclotrón es 70 cm. Calcular: a) la energía cinética del protón al abandonar el ciclotrón; b) la ddp necesaria para dotar a un protón que parte del reposo con la misma velocidad; c) el número de vueltas que da en el ciclotrón suponiendo que se inyecta en el eje del aparato con velocidad nula cuando la ddp entre las des alcanza su valor máximo de V = 30000 V, y d) la duración del recorrido. Resp.: a) 3.37·10–13 J; b) 2.11·106 V; c) 35 vueltas; d) 7.7 μs 26. El diámetro de un ciclotrón es 1.04 m. La frecuencia del oscilador es f = 12 MHz. Calcular la energía en mega electrón–voltios (MeV) de un protón acelerado (masa: 1.673·10–27 kg; carga: 1.6·10–19 C). Nota: Un eV es la energía que adquiere un electrón al estar sometido a la diferencia de potencial de un voltio. 1 eV= 1.6·10–19 Julios. Resp.: 8.0366 MeV 27. En un espectrógrafo de masas se separan dos isótopos. Uno de ellos es el isótopo 16 de O2 y el otro desconocido. Ambos penetran en la cámara, donde hay un campo de 0.3 Wb/m2, con una velocidad de 200 km/s. El desconocido describe una órbita más corta que el otro. La distancia que separa los puntos de impacto en la placa es de 1.38 cm. Calcular la masa atómica del ión desconocido (unidad de masa atómica u = 1.66·10–27 Kg). Resp.: 15 28. En un espectrógrafo de masas los campos del selector de velocidades son 200 V/cm y 500 gauss, y el campo que desvía los iones es de 15000 gauss. Calcular la separación que se observará en la placa para los iones C12 (m12 = 12.00368 u) y C13 (m13 = 13.00761 u) (unidad de masa atómica u = 1.66·10–27 Kg). Resp.: 5.555 mm Agustín E. González Morales 204 TEMA X INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Flujo magnético a través de una superficie cerrada Experiencias de Faraday–Henry Fuerzas electromotriz inducida. Ley de Faraday–Henry. Corriente inducida. Carga inducida Ley de Lenz Generalización de la Ley de Faraday–Henry Autoinducción Coeficiente de autoinducción L. Inductancia de una bobina de n espiras F.e.m. de autoinducción Caía de tensión en una bobina Corrientes de cierre y apertura Energía magnética almacenada en una bobina. Densidad de energía de un campo electromagnético Inducción mutua Transformadores Fundamentos de la generación de la corriente alterna Ejercicios Agustín E. González Morales 205 TEMA X FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE CERRADA Al estudiar los campos gravitatorio y electrostático se vio, mediante el teorema de Gauss, que su flujo depende de la masa o la carga contenida dentro de la superficie cerrada que se considere. Pero, en el caso del campo magnético, como no existen polos aislados, las líneas de campo siempre van del N al S; por tanto, el número de las que salen a través de una superficie cerrada es igual al de las que entran. En definitiva, el flujo magnético Φm, a través de una superficie cerrada, es nulo. m B·dS 0 para S: Superficie cerrada S La unidad del flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb). Por tanto, 1 Wb = 1 T · 1 m2. EXPERIENCIAS DE FARADAY–HENRY En 1831, Faraday en Inglaterra y Henry en EEUU, de manera independiente, llegaron a conclusiones semejantes experimentando con corrientes eléctricas provocadas por campos magnéticos. Esencialmente, son las siguientes: a) La mera presencia de un campo magnético no induce ninguna corriente sobre una espira que se encuentre en su seno. b) Pero, si se provoca un movimiento relativo entre la espira y el imán (o la bobina generadora del campo), en la espira se induce una corriente eléctrica, mientras dicho movimiento relativo persista; de manera que, si se le acerca un polo N, se origina en la espira una cara N que lo repele; pero, si se aleja un polo N, se genera una cara S que lo atrae. Análogamente si el polo es S. c) Si se produce un alejamiento entre la espira y el campo, la corriente inducida circula en la espira en un sentido. Si lo que se provoca es un acercamiento, la corriente circula en sentido contrario. d) Si se tiene un campo B que se clava en el plano del papel, mientras se esté introduciendo una espira en su seno, se está induciendo en ella una corriente que circula en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si, en vez de introducirla, se saca, la corriente inducida circula en el sentido de las agujas del reloj. Análogamente si B sale del plano del papel. e) Si el campo magnético está generado por una bobina o devanado –llamado inductor o primario, P–, que se enfrenta a otro devanado –llamado inducido o secundario, S–, al cerrar el interruptor K, se induce, durante un lapso de tiempo muy breve, una corriente en S aunque no Agustín E. González Morales 206 haya movimiento relativo entre ambos devanados. También se produce un fenómeno análogo durante la desconexión, al abrir K, pero la corriente circula en sentido contrario al anterior. Por último, se detecta corriente en S mientras se esté modificando la corriente que circula por el primario mediante, por ejemplo, una resistencia variable R; o mientras se introduce o se saca una barra de hierro dulce en el núcleo del primario. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA. LEY DE FARADAY–HENRY. CORRIENTE INDUCIDA. CARGA INDUCIDA. A la vista de las experiencias anteriores, Faraday y Henry concluyeron que todos los fenómenos se pueden explicar si se relacionan con variaciones del flujo magnético. Y enunciaron la ley que lleva sus nombres de manera cualitativa, diciendo que siempre que el flujo magnético que atraviesa un circuito varíe con el tiempo, aparece en él una corriente inducida. Como la corriente eléctrica depende del material del que esté hecho el circuito, es necesario caracterizar este fenómeno a través de la fuerza electromotriz (f.e.m.) ε; es decir, del trabajo realizado por unidad de carga para que circule la corriente. En definitiva la ley de Faraday– Henry es: d m dt En un circuito con una resistencia óhmica R, la intensidad de corriente inducida I se deduce de ε a través de la ley de Ohm: I 1 d m R R dt También se puede calcular la cantidad de carga inducida: dQ Idt 1 d m 1 dt d m R dt R integrando entre Φm0 y Φm1: Q 1 ( m 0 m1 ) R expresión que permite, por ejemplo, calcular el flujo que afecta a una espira, separándola del circuito inductor, pues Φm1 = 0; siendo, entonces, el flujo inicial Φm0 el valor requerido. También, sabiendo la superficie de la espira, se determina el campo B que la atraviesa. En definitiva, todo los cálculos se fundamentan en medir la f.e.m. inducida ε. A continuación se verá una forma elemental de hacerlo. Medida de la f.e.m. inducida ε En la figura se representa un campo magnético B en cuyo seno hay dos conductores rectos y paralelos, conectados a un galvanómetro. Otro conductor MN, de longitud L, se coloca perpendicularmente a los anteriores y en contacto con ellos. Si se desplaza MN a lo largo de los dos conductores paralelos, en el galvanómetro se detecta una corriente inducida, porque se Agustín E. González Morales 207 produce una variación de Φm al aumentar la superficie S de la espira que constituyen MN y los dos conductores (el circuito se cierra a través del galvanómetro). El flujo inicial Φm0 que soporta la espira es constante, y se corresponde con la posición MN indicada con línea discontinua. Tras mover el conductor hasta la posición M’N’; es decir, después de recorrer una distancia y, a una velocidad v dy / dt , el incremento de la superficie de la espira es el producto (L·y). El flujo en esta nueva situación es el inicial más el que acaba de incrementarse: m m0 B·L·y Como Φm e y varían con el tiempo, al derivar la expresión anterior se obtiene d m dy B·L· dt dt es decir, el valor absoluto de la f.e.m. inducida ε es: ε=BLv Otra forma, más general, de llegar a la esta conclusión es calcular la fuerza magnética que actúa sobre un conductor MN, que se desplaza a velocidad v en el seno de un campo B, por el que circula una corriente I, mediante la ley de Lorentz: F I( L x B ) El trabajo desarrollado por dicha fuerza en un desplazamiento infinitesimal cualquiera d r (no necesariamente sobre el eje Y) es: dq dr dW F·d r I(L x B)·d r (L x B)·dr dq (L x B)· dq (L x B)·v dt dt Para calcular el trabajo realizado por unidad de carga; es decir, la f.e.m. inducida por el movimiento de MN, basta dividir la expresión anterior por dq: dW / dq. Por tanto: v · (L x B) LEY DE LENZ Sólo tres años después de que Faraday y Henry enunciasen su ley, Lenz la matizó de la siguiente manera: el sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce. En realidad, este aspecto está implícito en el signo menos que precede a la variación del flujo magnético, pero el enunciado de Lenz tiene la virtud de asociar los fenómenos de inducción electromagnética con el principio de conservación de la energía. En efecto, todas las experiencias citadas se pueden analizar partiendo de la base de que no es posible crear energía de la nada. Por ejemplo, al acercar un polo N a una espira como se aprecia en la figura, se incrementa el número de las líneas de fuerza que la atraviesan en un valor ΔB, y, como consecuencia, en la espira se induce una corriente I, en el sentido indicado, que crea un campo inducido Bi del mismo valor pero de sentido contrario a ΔB. Es decir, la corriente I generada en la espira está provocada por el movimiento relativo del imán. En otras palabras, no se ha «creado» energía en la espira, sino que se ha convertido la energía del movimiento del imán en energía eléctrica. En la figura siguiente se representan los cuatro casos posibles. Agustín E. González Morales 208 GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE FARADAY–HENRY En el tema IX, cuando se explica la corriente de desplazamiento de Maxwell, se llega a la conclusión de que los campos eléctricos variables generan campos magnéticos. Cabe preguntarse ahora si existe una simetría en el proceso; es decir, si los campos magnéticos variables generan campos eléctricos. En efecto, así es. La ley de Faraday–Henry lo corrobora, e introduce un matiz muy importante que vamos a deducir. Para ello basta escribirla de otra manera, teniendo en cuenta que la f.e.m. inducida ε está relacionada con la existencia de un campo eléctrico inducido E en la espira o devanado por donde circula la corriente inducida; por tanto E·dL L donde la integral se calcula a lo largo del circuito que constituye la espira o devanado detector. Así, la ley de Faraday–Henry toma la forma: L d m E·dL dt A pesar de que la relación que existe entre campos magnéticos variables y campos eléctricos inducidos se ha obtenido para un circuito real (la espira o el devanado), en el que aparece una corriente inducida, la expresión anterior sigue siendo válida aunque no exista tal circuito por el que circule dicha corriente; es decir, si en una región del espacio el campo magnético B varía con el tiempo, en esa misma región se genera un campo eléctrico inducido E, aunque no haya corriente inducida. Como d m B·dS, la circulación de E a través de cualquier trayectoria cerrada L es: L d E·dL B·dS dt S Es importante reseñar que el campo eléctrico inducido no es electrostático como el producido por cargas eléctricas en reposo. Así, mientras que un campo electrostático es conservativo; es decir, su circulación, a lo largo de una trayectoria cerrada, es nula; la circulación de E es d B·dS 0. Por tanto, el campo eléctrico inducido no es conservativo. dt S Agustín E. González Morales 209 AUTOINDUCCIÓN Hasta aquí, en el estudio de los fenómenos de inducción, se han empleado dos circuitos (o un circuito y un imán): el inductor y el inducido. Pero, en seguida se verá que es posible provocar corrientes inducidas en un solo circuito; es decir, corrientes «autoinducidas», porque cualquier circuito está atravesado por su propio flujo magnético. Realicemos la siguiente experiencia: en la figura se representan dos bombillas iguales A y B. La A está en serie con un devanado D, bobinado sobre un núcleo de hierro dulce, cuya resistencia óhmica se conoce; mientras que la B está en serie con una resistencia R del mismo valor que la resistencia óhmica del devanado. Al cerrar el interruptor K la bombilla B se enciende instantáneamente, pero la A lo hace con más lentitud, porque el devanado D se opone a la variación de la corriente que le llega. En efecto, la corriente que circula por D crea un campo magnético en su interior con un flujo determinado. Cuando varía la corriente que recibe D, el flujo magnético también lo hace, generando una f.e.m. inducida –y, por tanto, una corriente inducida– que se opone a dicha variación; de ahí que A se encienda más lentamente. El fenómeno descrito se conoce con el nombre de autoinducción, y puede describirse expresando que cualquier variación del flujo magnético que soporta un circuito produce una f.e.m. autoinducida que tiende a oponerse a la causa que la origina. Para que en un circuito se manifieste la autoinducción (algunos autores lo denominan también efecto bobina) debe tener al menos una espira que acuse las variaciones del campo magnético. Pero, en realidad, todos los componentes que conforman los circuitos eléctricos presentan el efecto bobina, en mayor o menor medida. De hecho, no existen ni resistencias, ni bobinas, ni condensadores puros. Todos tienen algo de estos tres elementos básicos; de ahí que, en todos ellos se generen corrientes de autoinducción. Coeficiente de autoinducción L. Inductancia de una bobina de n espiras Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético B generado por una corriente I es directamente proporcional a dicha corriente; como el flujo también depende linealmente de B , se concluye que existe una relación lineal entre I y m. Por tanto, un devanado, por el que circulan I amperios, soporta un el flujo total Φm: m L I donde la constante de proporcionalidad es L, llamada coeficiente de autoinducción, inductancia o, simplemente, autoinducción. La unidad de L en el S.I. es el henrio (H). Un henrio es el cociente entre un weber y un amperio: 1H 1 Wb 1A Determinemos la inductancia de una bobina de n espiras y longitud s, por la que circula una corriente I. Sabemos que el campo magnético se confina en su núcleo, alineado con su eje. Su módulo es B I n s Agustín E. González Morales 210 El flujo Φm1 que atraviesa una espira será el producto de su área S por el módulo del campo B: n m1 BS I S s El flujo total Φm que atraviesa las n espiras será: Φm = n Φm1 = L I Sustituyendo Φm1 y despejando L: L n 2 S s Como se aprecia en la expresión anterior, L depende sólo de las características geométricas de la bobina, del número de espiras y del medio en el que esté. F.e.m de autoinducción Si una corriente I, variable en el tiempo, recorre una bobina de coeficiente de autoinducción L, genera una variación del flujo a través de ella que se cuantifica mediante la ley de Faraday– Henry: d ( m ) d(LI) dt dt si L es constante: L dI dt Caída de tensión en una bobina Una bobina se caracteriza por su coeficiente de autoinducción L y por la resistencia óhmica R del hilo que la forma (su efecto capacitivo es despreciable en la mayoría de las aplicaciones prácticas). Se puede representar una bobina real dibujando una ideal AB en forma de espiral, en la que se indica su valor L, y una resistencia óhmica BC, separada de ella, de valor R. Analicemos el circuito de la figura, alimentado por una f.e.m. (t) que genera una corriente variable I. Apliquemos la ley de Ohm, que establece que la suma de tensiones presentes en un circuito es igual a la suma de los productos de las resistencias por las corrientes que circulan por él: RI como las tensiones que hay son la propia (t) y la inducida en la bobina i(t), y el circuito sólo tiene una resistencia R, entonces: (t ) i ( t ) RI pero Agustín E. González Morales 211 i ( t) L dI dt por tanto ( t ) L dI RI dt ( t ) L dI RI dt Obsérvese que, si la bobina fuese pura (R = 0), entonces (t ) L dI . dt Corrientes de cierre y apertura Introduzcamos en el circuito de la figura anterior un interruptor K y una pila cuya d.d.p. ε es constante. Al cerrar el interruptor Al cerrar K se produce un aumento en la corriente I que circula por la bobina, induciéndose una f.e.m. εi(t) que se opone a la variación de I. Aplicando la la ley de Ohm: ε + εi(t) = RI, con i (t) = –LdI/dt resulta dI L RI dt Separando variables e integrando entre 0 e I(t) y entre 0 y t: I( t ) 0 I(t ) ln I) R 0 R L t t ; 0 t dI I R R L dt 0 I(t ) R R t; ln L R e R t L I( t ) R R despejando I(t) R I( t ) t 1 e L R (cierre) Obsérvese que para t = ∞ la corriente toma el valor límite I( ) , precisamente el que R tendría si sólo existiese en el circuito la resistencia R. Al abrir el interruptor Al abrir K se produce una disminución en la corriente I que circula por la bobina, induciéndose en ella una f.e.m. εi(t) que se opone a la variación de I. Al aplicar la ley de Ohm ahora sólo está presente εi(t); por tanto L dI RI dt Agustín E. González Morales 212 Separando variables e integrando entre 0 e I(t) y entre 0 y t: I( t ) 0 t dI R dt I L 0 resulta R I( t ) Lt e R (apertura) Obsérvese que para t = ∞ la corriente toma el valor límite I(∞) = 0. Tanto en el cierre como en la apertura el coeficiente R / L es el que influye en la “rapidez” con la que el circuito reacciona. Si se define la constante de tiempo del circuito τ como: L R la parte exponencial de la expresiones anteriores es e corriente I(t) tarda más en adquirir su valor límite t . De manera que cuanto mayor es τ, la ENERGÍA MAGNÉTICA ALMACENADA EN UNA BOBINA. DENSIDAD DE ENERGÍA DE UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Consideremos el circuito de la figura, el mismo que el empleado anteriormente, pero sin el interruptor K (o con él cerrado). Como – LdI/dt = RI, entonces = RI + LdI/dt. Multiplicando por I: ·I = RI2 + LI·dI/dt La interpretación de cada uno de los términos que intervienen en la expresión anterior es: - ε·I es la potencia o energía por unidad de tiempo aportada por el generador; esto es, la «rapidez» con la que el generador suministra energía al circuito. - RI2 es la energía por unidad de tiempo disipada por calentamiento, conocido como efecto Joule 35. - Si Em es la energía magnética contenida en la bobina, la «rapidez» con la que se «almacena en ella es precisamente el término LI·dI/dt. Por tanto: dEm/dt = LI·dI/dt o sea dEm = LI·dI e integrando desde 0 hasta I, se obtiene la energía total almacenada: 35 Efecto Joule. La resistencia óhmica R que existe en todos los circuitos provoca que, cuando circula una corriente I por ellos, parte de la energía eléctrica se transforme en calorífica, calentándolos. Como la potencia disipada en R es P = VI y, según la ley de Ohm, la caída de tensión que produce esta resistencia es V = RI, entonces P = RI2. Esta última expresión sirve para cuantificar el efecto Joule. Agustín E. González Morales 213 Em 1 2 LI 2 La energía almacenada en un solenoide de n espiras, superficie S y longitud s, por el que S n circula una corriente I, con L n 2 y B I es s s Em 1 2 S·s B 2 El producto S·s es el volumen del solenoide en cuyo interior está confinado el campo magnético. Se puede decir, por tanto, que en dicha zona del espacio existe una densidad de energía magnética (energía magnética por unidad de volumen) m : m E m 1 B2 S·s 2 Para calcular m se has empleado el caso particular de un solenoide; pero puede demostrase que la expresión obtenida es válida para cualquier campo magnético que exista en una región del espacio. Por otro lado, en el ejercicio nº 34 del tema VIII se trata de demostrar que la densidad de energía eléctrica es e 1 2 E 2 Por tanto, cuando en una región del espacio exista un campo electromagnético (eléctrico y magnético) su densidad de energía electromagnética em es: em e m 1 2 1 B2 E 2 2 INDUCCIÓN MUTUA En la experiencia e), descrita al principio del tema, se vio que si un campo magnético generado por un devanado –llamado inductor o primario, P–, se enfrentase a otro –llamado inducido o secundario, S–, al cerrar el interruptor K se induciría una corriente en S aunque no hubiese movimiento relativo entre ambos devanados. También se produce un fenómeno análogo durante la apertura de K, pero la corriente circularía en sentido contrario. Por último, se detecta corriente en S mientras se está modificando la corriente que circula por el primario, mediante, por ejemplo, una resistencia variable R; o mientras se introduce o se saca una barra de hierro dulce en el núcleo del primario. Como una parte del flujo del campo magnético creado por P atraviesa las bobinas de S, se puede definir un coeficiente de inducción mutua LPS, similar al de autoinducción. Sea ΦmS esa parte del flujo, si la corriente variable que circula por P es IP, entonces: mS L PS ·I P Agustín E. González Morales 214 El coeficiente LPS se mide en henrios (H), y depende sólo de las dimensiones de los devanados, de su posición relativa y de la naturaleza del medio. Además: LPS = LSP d mS d(L PS ·I P ) . Si dt dt las bobinas no cambian su posición relativa, son indeformables y no varía la permeabilidad magnética, entonces LPS es constante: La f.e.m. inducida en S se deduce de la ley de Faraday–Henry: S S L PS dI P dt Esta propiedad es la que se emplea en los transformadores. TRANSFORMADORES Un transformador es un dispositivo estático que permite modificar la tensión de una corriente variable. Está formado por un núcleo de material ferromagnético, normalmente hierro dulce, sobre el que se enrollan dos bobinas de distinto número de espiras. Uno de los arrollamientos, el de entrada, llamado primario, se conecta a la corriente cuya d.d.p. se quiere modificar; mientras que el otro, el de salida o secundario, es del que se extrae la corriente a la tensión deseada. Supongamos que el devanado primario, con n1 espiras, está conectado a un generador de corriente variable (alterna, por ejemplo) que proporciona una f.e.m. 1(t). Si la resistencia eléctrica del arrollamiento es despreciable, se puede considerar que la tensión variable V1(t) que existe en sus extremos es prácticamente igual a 1(t), de manera que por el primario circula una corriente I1(t) que produce un campo magnético variable en el núcleo del transformador. De acuerdo con la ley de Faraday–Henry, la tensión V1(t) está relacionada con la variación del flujo magnético en cada espira; por tanto, en las n1 espiras será: V1 ( t ) n1 d m dt Como el campo magnético está prácticamente confinado en el núcleo del transformador, es una buena aproximación considerar que todas las líneas de fuerza que atraviesan al primario también atraviesan las n2 espiras del devanado secundario, de manera que en éste se induce una corriente d m cuya f.e.m. es 2 ( t ) n 2 . Si la resistencia del secundario es despreciable, la tensión que dt existe en sus extremos V2(t) es prácticamente igual a 2(t). Por tanto: V2 ( t ) n 2 d m dt Dividiendo miembro a miembro las expresiones de V1(t) y V2(t), resulta: Agustín E. González Morales 215 V1 ( t ) n1 V2 ( t ) n 2 El cociente – – – n1 se denomina relación de transformación. n2 Si n1 > n2, entonces V1(t) > V2(t) y el transformador reduce la tensión. Si n1 < n2, entonces V1(t) < V2(t) y el transformador eleva la tensión. Si n1 = n2, entonces V1(t) = V2(t) y el transformador aísla eléctricamente; por ejemplo, si un circuito que esté conectado al primario tiene una masa o tierra indeseable, los circuitos alimentados por el secundario no se ven afectados por este percance. El rendimiento de los transformadores es excelente. Se calcula dividiendo la potencia eléctrica del secundario entre la del primario36, obteniéndose valores del orden del 90 al 98%. De ahí que se puede afirmar que, prácticamente, toda la potencia del primario se transfiere al secundario; es decir: P1(t) = V1(t)·I1(t) y P2(t) = V2(t)·I2(t) Si P1(t) = P2(t) y tenemos en cuenta la relación de las tensiones con el número de espiras, resulta: V1 (t ) n1 I 2 ( t ) V2 (t ) n 2 I1 ( t ) De la expresión anterior37 deducimos que, cuando un transformador eleva la tensión, reduce la intensidad y viceversa. Esta propiedad permite disminuir las pérdidas38 que se producen en las líneas de transporte de energía eléctrica. De ahí que la corriente que se genera en las centrales eléctricas sea de varios miles de voltios y que, a pesar de ello, se eleve mediante transformadores a valores del orden del medio millón de voltios, para enviarla por las líneas de alta tensión. Una vez en el lugar de consumo, se reduce la tensión, utilizando de nuevo transformadores, hasta el voltaje necesario (en nuestros hogares, por ejemplo, la corriente está a una d.d.p. de 220 V). FUNDAMENTOS DE LA GENERACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA Una de las aplicaciones más importantes de la inducción electromagnética es la generación de corrientes eléctricas, principalmente la llamada corriente alterna (c.a.). En el tema IX se vio que cuando una corriente I circula por la espira MNPQ, situada en el seno de un campo magnético B, F genera un momento de giro que provoca que B termine siendo perpendicular al plano de la espira. 36 Las pérdidas de potencia dentro de los transformadores son muy pequeñas. Se deben, principalmente, al calentamiento de las bobinas por efecto Joule y al calentamiento del núcleo, debido, este último, a las corrientes de Foucault inducidas en él al estar sometido a campos magnéticos variables. Para minimizar el efecto de las corrientes de Foucault se emplean núcleos laminados, aislados entre sí con capas de barniz. Y para reducir los calentamientos, los transformadores de cierta potencia suelen estar sumergidos en aceite y refrigerados con aire. 37 Nada impide colocar en la expresión recuadrada los valores eficaces o los máximos, tanto de la corriente como de la tensión. 38 Las pérdidas de potencia más importantes en las líneas de transporte se deben al calentamiento de los cables por efecto Joule RI2, siendo R la resistencia óhmica del cable. Obsérvese que la intensidad está al cuadrado; por eso es tan importante elevar la tensión para que la intensidad disminuya. Agustín E. González Morales 216 Pero, hagamos el proceso al revés: ¿qué ocurre si nosotros hacemos girar una espira sin corriente en el seno de un campo B ? En la figura se representa esta situación en la que el campo está producido por un imán natural39. Cuando la espira gira, el flujo magnético que la atraviesa varía con el tiempo; por tanto, según la ley de Faraday–Henry, se induce en ella una corriente I cuya f.e.m es: d m dt Si S, el vector que caracteriza a la superficie de la espira, forma un ángulo con B, entonces: d(B·S) d(BS cos ) dt dt Si B es uniforme y la superficie constante (la espira es indeformable), la expresión anterior queda: BS d(cos ) dt Si la espira gira con una velocidad angular ω constante, e inicialmente B y S forman un ángulo , transcurrido un tiempo t, el ángulo será = ωt + . Por tanto: (t ) BS dcos (t ) BS sen (t ) dt que se puede escribir de la siguiente manera: (t ) 0 sen (t ) con 0 BS En las expresiones del recuadro se observa que la f.e.m. depende del tiempo; de ahí que, para cada t, el valor de (t) se denomine f.e.m. instantánea. Se llama corriente alterna a aquélla cuya f.e.m varía de forma sinusoidal con el tiempo. Esta f.e.m. es, por tanto, una función periódica cuyo periodo es: 39 Nada impide sustituir el imán por dos solenoides, con sus polos enfrentados, por los que circule una corriente continua; pero no debe confundirse esta corriente que alimenta a los solenoides con la que se induce en la espira. Agustín E. González Morales 217 T 2 su frecuencia, para una pareja de polos, es: f 1 T 2 La velocidad angular ω se denomina también frecuencia angular. No debe confundirse con la frecuencia f de la onda sinusoidal. Obsérvese que se hubiese conseguido el mismo efecto si, en vez de que gire la espira, son los polos N y S los que lo hacen, mientras la espira permanece estática. Además, en los generadores reales no es una sola espira la que se usa, sino muchas enfrentadas al campo magnético creado por una o varias parejas de polos. En cualquier caso, es en las espiras o devanados en donde se induce la corriente que se desea obtener, de ahí que el conjunto de las espiras se llame inducido, y los polos sean el inductor. Además, la parte giratoria se denomina rotor, mientras que la estática es el estator. Generalmente, el inductor es el rotor y el inducido es el estator. En la figura se representa un alternador de cuatro polos con el inducido en el estator. La frecuencia f es directamente proporcional al número de parejas de polos, p: f p 2 El valor de f en Europa es de 50 Hz, mientras que en EEUU, por ejemplo, es de 60 Hz. En realidad, las corriente alternas, como las que alimentan nuestros hogares, no son ondas sinusoidales perfectas, sino que presentan ligeras distorsiones de muy diversos tipos; pero se estudian de una manera similar gracias al teorema de Fourier, según el cual cualquier curva periódica, por muy errática que parezca su forma, se puede descomponer en una suma de infinitas sinusoides. Agustín E. González Morales 218 EJERCICIOS 1. Un solenoide de 0.1 H se conecta en serie con una resistencia de 10 y un generador de 10 V. Calcular: a) la corriente en función del tiempo hasta que se alcanza el régimen estacionario al cerrar el interruptor K; b) la constante de tiempo del circuito; c) la corriente en régimen estacionario; d) la energía de la bobina cuando se alcanza el régimen estacionario; e) el tiempo necesario para que la corriente alcance la mitad del valor del apartado c); f) el tiempo necesario para que la corriente difiera en una milésima parte del valor final; g) la corriente en función del tiempo al desconectar el generador. h) Representar en una sola gráfica los apartados a) y g). Resp.: a) I(t) = 1 – e-100t A; b) 0.01 s-1; c) 1 A; d) 0.05 J; e) 0.00693 s; f) 0.0691 s; g) I(t) = e-100t 2. Calcular: a) la autoinducción de un solenoide de 10 cm de longitud, formado por 800 espiras de 5 cm2 de sección; b) la energía almacenada cuando circulan 20 A; c) el flujo magnético que lo atraviesa; d) la inductancia si las espiras están enrolladas en un núcleo de hierro dulce de permeabilidad relativa 5000, y e) la f.e.m autoinducida si la corriente aumenta uniformemente desde 0 a 20 A en 0.1 s, sin y con el núcleo de hierro. Resp.: a) 4.02·10-3 H; b) 0.804 W; c) 0.0804 Wb; d) 20.106 H; e) –4021.2 V 3. Un conductor rectangular de 0.6x0.3 m y 2.7 . Está situado en el plano YZ en el seno de un campo B (5 y) i T. Se desplaza en el sentido positivo del eje OY. En el instante inicial el lado izquierdo está sobre el eje OZ, calcular la corriente: a) si se desplaza con velocidad constante de 1.5 m/s, y b) al cabo de 20 s de comenzar el movimiento, partiendo del reposo con una aceleración de 3 m/s2. Resp.: a) 0.1 A; b) 4 A 4. Un alambre de 10 cm se desplaza a 0.5 m/s en una dirección que forma 60º con un campo de 0.2 T. Calcular: a) la f.e.m. inducida en él, e indicar qué parte del alambre está a más potencial; b) la potencia disipada en el movimiento si tiene una resistencia de 10 , y c) la fuerza necesaria para mantenerlo en movimiento. Resp.: a) –8.66·10-3 V; b) 7.5·10-6 W; c) 15·10-6 N 5. Determinar el flujo magnético que atraviesa la sección cuadrada de un toroide de hierro (permeabilidad relativa: 1200), de radios 10 y 15 cm, cuando lleva arrolladas 1000 vueltas de un cable por el que circula 1 A. Resp.: 4.865·10-2 Wb 6. Un solenoide de 50 cm y 5 cm de diámetro tiene n = 10000 espiras. Una bobina de n’ = 10 espiras, de hilo aislado, rodea la sección central del solenoide y se conecta a un galvanómetro, de manera que la resistencia total de la bobina, el galvanómetro y los conductores es 25 . Calcular la corriente que pasa por el aparato de medida cuando la intensidad que circula por el solenoide disminuye linealmente de 3 a 1 A en 0.5 s. Resp.: 7.896·10-5 A 7. Una bobina de 10 espiras y 100 cm2 de área gira a 10 RPM respecto a un eje de su plano en el seno de un campo magnético, uniforme y perpendicular, de 0.5 T. Hallar la f.e.m. inducida y su valor máximo. Resp.: (t ) sen t; max V 60 3 60 8. Una bobina rectangular plana, tiene 200 espiras de 2x1 metros cada espira. Está en el seno de un campo magnético uniforme, perpendicular a su plano. Si el campo varía de B’ = 0.6 T a B= 0.3 T en 0.1 s, calcular la f.e.m. inducida. Resp.: 1200 V Agustín E. González Morales 219 9. Una bobina circular de 4 cm de radio tiene de 200 espiras y una resistencia de 20 . Está situada en el plano XY en el seno de un campo magnético dirigido en el sentido positivo del eje Z, cuyo módulo es B = 0.5 exp (–½ t). Determinar el valor de la intensidad de la corriente inducida en cualquier instante y su sentido de circulación. 1 Resp.: 12.56·10 3 exp t A en el sentido contrario a las agujas del reloj. 2 10. Una bobina circular de 200 espiras y 0.1 m de radio se coloca perpendicularmente a un campo uniforme de 0.2 T. Hallar la f.e.m. inducida si en 0.1 s se realizan las siguientes operaciones: a) se duplica el campo; b) se anula el campo; c) se invierte el sentido del campo; d) se gira la bobina 90º respecto al eje paralelo al campo, y e) se gira la bobina 90º respecto al eje perpendicular al campo. Resp.: a) –4π V; b) 4π V; c) 8π V; d) cero; e) 4π V 11. En un campo magnético uniforme y constante, de módulo B, gira una varilla de longitud L, a velocidad angular ω constante, en torno a un eje perpendicular a ella por uno de sus extremos y paralelo a las líneas de campo. Calcular la f.e.m. inducida entre los extremos de la varilla. Resp.: ε = –½ BL2ω 12. Acercando un imán a una bobina de 2000 espiras y 20 Ω de resistencia, se incrementa linealmente el flujo magnético que la corta de 0 a 1.5·10-5 Wb en 0.1 s. Calcular la corriente media de inducción. Resp.: 0.015 A 13. Un avión totalmente metálico, cuya ala mide L = 18 m, vuela a 900 km/h en el mismo plano horizontal y paralelamente a un conductor por el que circula una corriente de 100 A. El extremo del ala más próximo al conductor dista 2 metros de él. Calcular la d.d.p. entre los extremos del ala si su permeabilidad relativa es 200. Resp.: 2.303 V 14. Por dos raíles metálicos, cerrados por la resistencia R, se mueve un conductor de longitud L con velocidad v como se representa en la figura. El conjunto se encuentra en un campo magnético, perpendicular al plano del papel, de módulo B = B0 + kt, con B0 y k constantes. En el momento inicial el área ABCD es S0. Determinar la intensidad de la corriente. 1 Resp.: I( t ) kS0 vL(B 0 2kt ) R 15. En una bobina de 600 espiras y 10 cm de longitud, por la que circulan 2 A, se origina un flujo de 3·10–4 Wb. Calcular: a) la f.e.m. inducida al interrumpir la corriente en 0.4 s; b) la inductancia; c) la superficie de la bobina, y d) la energía almacenada en ella. Resp.: a) 0.45 V; b) 0.09 H; c) 1.989·10-2 m2; d) 0.18 J 16. Por un hilo largo circula una corriente variable I(t) = 4 – 0.2t, tal como se representa en la figura. Calcular: a) la f.e.m. inducida en una espira rectangular indeformable de 5x10 cm, si el lado mayor, paralelo al hilo de corriente, dista de éste 10 cm; b) si por la espira, a su vez, circula una corriente de 5 A en sentido contrario a las agujas del reloj, calcular la fuerza neta ejercida sobre la espira en t = 2 para la primera corriente. Resp.: a) 1.62·10-9 V; b) 1.2·10-6 N (repulsiva) 17. El primario de un transformador está alimentado con 220 V. Del secundario se desean extraer 30 mA a 5 V con 100 espiras. Determinar en el primario a) la corriente; b) el número de espiras. Resp.: a) 0.682 mA; b) 4400 Agustín E. González Morales 220 18. La entrada de un transformador está conectada a una corriente alterna de intensidad máxima 10 A y 20000 V, ¿cuál es la intensidad máxima a la salida con 100 V si su rendimiento es del 90%? Resp.: 1800 A 19. En una bobina se inducen 5· 10–3 V cuando en otra cercana a ella la corriente varía a razón de 4 A/s. Determinar el coeficiente de inducción mutua. Resp.: 1.25 mH 20. Un solenoide de 1 m de longitud y 8 cm2 de sección consta de 5000 espiras. En su centro se enrollan 200 espiras. Calcular el coeficiente de inducción mutua. Resp.: 0.001 H 21. Si por un solenoide de 1000 espiras circulan 10 A cuando el flujo es de 10 Wb, calcular la energía magnética que encierra. Resp.: 50 kJ 22. ¿Cuántos metros de alambre fino se necesitan para construir un solenoide de 1 m de longitud y 1 mH, si el diámetro del alambre es despreciable frente a su longitud? Resp.: 100 m 23. En las bobinas de los superconductores se obtienen densidades de energía magnética del orden de 106 J/m3. Determinar el campo magnético en su interior. Resp.: 1.585 T 24. Un carrete plano, de espesor despreciable, tiene 100 espiras y 100 cm2 de sección por espira. Está situado inicialmente de forma que su plano es normal a un campo uniforme y estático de 0.2 T. Gira después a 100 r.p.s. alrededor de un eje contenido en su plano y perpendicular al campo. Calcular: a) la f.e.m inducida en función del tiempo; b) la intensidad máxima si se conecta a una resistencia de 10π Ω. Resp.: a) ε(t) = 40π sen 400πt; b) 4 A 25. En Europa la frecuencia de la corriente alterna doméstica es de 50 Hz. a) ¿A qué revoluciones deben girar los alternadores que la producen?; b) los transformadores, ¿pueden modificar dicha frecuencia? 3000 Resp.: a) siendo p el número de parejas de polos; b) No p Agustín E. González Morales 221 TEMA XI ONDAS Movimiento vibratorio armónico Energías potencial y cinética en el M.V.A. Movimiento ondulatorio Tipos de ondas Ecuación del movimiento ondulatorio Fase Periodicidad Ecuación general de ondas Velocidad de propagación de las ondas Energía asociada al movimiento ondulatorio Intensidad del movimiento ondulatorio Atenuación de las ondas armónicas mecánicas esféricas Absorción de ondas Principio de Huygens Reflexión Refracción Interferencias Ondas estacionarias Difracción Polarización Intensidad sonora. Tono. Timbre Efecto Doppler Características y espectro de las ondas electromagnéticas Ejercicios Agustín E. González Morales 222 TEMA XI MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO Se dice que un cuerpo oscila con un movimiento vibratorio armónico (M.V.A.) cuando realiza un movimiento periódico de vaivén por la misma trayectoria en torno a su posición de equilibrio, almacenando energía potencial (como la elástica de un muelle) con la que puede adquirir energía cinética. Toda oscilación de estas características no es más que un continuo intercambio de energía cinética y potencial. En la figura está representada la misma masa m en cuatro posiciones a, b, c y d. Se elige la posición de equilibrio “b” como origen del sistema de referencia (eje X). b m c m a Sea el rozamiento despreciable y el resorte perfectamente elástico y sin masa. m A Si m se coloca en “a”, el resorte reacciona x aplicando una fuerza elástica cuyo valor, según la ley de Hooke, es directamente F proporcional y de signo contrario a la deformación existente; es decir, a la distancia A en “a” y a la distancia x en cualquier posición como la “d”. Si llamamos k a la constante positiva de proporcionalidad, característica del resorte, se cumple que: A m d X F kx Si cuando m está en “a”, se deja en libertad, actúa solamente F. En estas circunstancias, la intuición nos dice que el movimiento de m será periódico, siguiendo la secuencia de posiciones abcbabc…, manteniéndose permanentemente el estado de vibración, debido a la ausencia de rozamientos. Corroborémoslo a la luz de su estudio dinámico. En efecto, en la posición “d” la 2ª d2r ley de Newton F m 2 establece que: dt d 2x kx m 2 dt Escribimos esta ecuación diferencial de la siguiente manera: d2x k x0 dt 2 m k es constante y positivo, pues k > 0 y m > 0. Por tanto, se puede igualar a m una constante elevada al cuadrado ω2: Pero, el cociente 2 k m Agustín E. González Morales 223 Integrando la ecuación diferencial, los valores x(t) que la satisfacen son: x ( t ) A sen (t ) donde A y φ son las dos constantes de integración. Se aprecia que la solución es sinusoidal y, por tanto, periódica; lo que confirma que el movimiento es una oscilación permanente. Para obtener la velocidad en cada instante, se deriva la expresión anterior con respecto al tiempo: v(t) A cos( t ) Volviendo a derivar, se calcula la aceleración: a(t) A2 sen (t ) Obsérvese que a (t ) 2 x. Es decir, a (t ) 2 x 0; que vuelve a ser la ecuación diferencial de partida. En resumen, cualquier M.V.A. responde a las expresiones: k m x ( t ) A sen (t ) v(t) A cos( t ) 2 a(t) v(t) v(0) = Aω cos φ a(t) A2 sen (t ) 2 x donde se términos: identifican los x(t) x(0) = A sen φ t siguientes a(0) = - Aω2 sen φ x: A: ω: ωt + φ: φ: elongación amplitud o elongación máxima frecuencia angular o pulsación fase constante de fase o fase inicial40 Como sen (ωt + φ) = sen (2π + ωt + φ), si la fase aumenta en 2π radianes, la masa m ocupa la misma posición tras haber completado una oscilación. Pero, si el tiempo empleado en realizar un ciclo completo es T, entonces ω(t + T) + φ = 2π + ωt + φ; por tanto ωT = 2π, es decir: 2 2f T donde T: f: periodo o tiempo invertido en realizar una oscilación completa. frecuencia, inversa del periodo; número de oscilaciones hechas en un tiempo T. 40 Existen discrepancias entre los autores a la hora de denominar a la constante φ. En este texto la llamaremos “constante de fase o fase inicial”, mientras que (ωt + φ) es la “fase”, y (ωt + φ) – (ωt’ + φ) = ω(t – t’) es la “diferencia de fase o desfase” entre dos instantes t y t’. Agustín E. González Morales 224 De las expresiones del M.V.A. se deduce que el módulo de la aceleración es cero en la posición “b” de equilibrio y máximo en los puntos “a” y “c” de elongación máxima, mientras que el módulo de la velocidad, como se aprecia en las gráficas, se comporta al revés: es máximo en “b” y cero en “a” y “c”. Por otro lado, si en la expresión anterior se sustituye ω por T 2 k y se despeja T: m m k se observa que el periodo es independiente de la amplitud de la oscilación; pero, aumenta si lo hace la masa oscilante y disminuye si se incrementa la constante elástica del resorte. ENERGÍAS POTENCIAL Y CINÉTICA EN EL M.V.A. Energía potencial Como la fuerza elástica del resorte es conservativa es posible calcular su energía potencial asociada. En efecto, si desde una posición x, distinta de la de equilibrio en x = 0, se deja al cuerpo en libertad, la fuerza elástica realiza el siguiente trabajo: 0 1 Wx 0 kx dx kx 2 2 x pero, si en la relación que existe entre el trabajo y la variación de la energía potencial Wx 0 Ep (Ep0 Ep x ), se establece que en la posición de equilibrio la energía potencial es nula, entonces la energía potencial elástica asociada a una deformación x es: Ep 1 2 kx 2 Sustituyendo k y x: Ep 1 2 1 kx m 2 A 2 sen 2 (t ) 2 2 cuyo valor máximo se obtiene para sen (ωt + φ) = 1: Epmax 1 kA 2 2 Energía cinética La energía cinética que tiene m en una posición x es: Ec 1 1 mv 2 mA cos( t )2 2 2 Por tanto Ec 1 m2 A 2 cos 2 (t ) 2 Agustín E. González Morales 225 Cuyo valor máximo, para cos (ωt + φ) = 1, es el mismo que el de la energía potencial. Con cos2 (ωt + φ) = 1 – sen2 (ωt + φ), y con x = A sen (ωt + φ), se obtiene otra expresión: Ec 1 1 m2 A 2 cos 2 (t ) m2 (A 2 x 2 ) 2 2 Comprobemos, ahora, que la energía mecánica E, suma de la potencial y la cinética es constante, como cabe esperar en presencia de, exclusivamente, fuerzas conservativas. En efecto, como sen 2 (t ) cos 2 (t ) 1 : E Ep Ec 1 1 m2 A 2 sen 2 (t ) m2 A 2 cos 2 (t ) 2 2 es decir: E Epmax Ec max 1 m2 A 2 2 Obsérvese que, como la velocidad máxima se consigue en la posición de equilibrio, la energía cinética es máxima cuando la energía potencial es nula y viceversa, demostrando lo que se afirmaba al principio del tema: todo M.V.A. es un continuo intercambio de energías cinética y potencial. También es interesante destacar que las variaciones periódicas, tanto de la energía potencial como de la cinética, se producen a una frecuencia doble que la del propio movimiento oscilatorio. Se puede comprobar sustituyendo en sus expresiones las identidades trigonométricas siguientes para t : sen 2 Ep 1 (1 cos 2) 2 1 1 m2 A 2 1 cos 2(t ) 2 2 cos 2 Ec 1 (1 cos 2) 2 1 1 m2 A 2 1 cos 2(t ) 2 2 Se aprecia que la pulsación es 2ω, el doble que la del M.V.A., de ahí que la frecuencia también lo sea MOVIMIENTO ONDULATORIO Dada una perturbación producida en una zona del espacio, llamamos movimiento ondulatorio u onda al fenómeno de transmisión de dicha perturbación a otros puntos del espacio, sin que en tal acción se produzca un transporte neto de masa. Citemos varios ejemplos: Quizás el más intuitivo se observa cuando lanzamos una piedra a un estanque: la perturbación producida en el lugar donde impacta contra el agua, se transmite a las partículas de agua circundantes, formándose unas ondas concéntricas que avanzan por la superficie. Si colocásemos un corcho flotando, veríamos que, en cuanto sea alcanzado por la onda, se pone a vibrar en su plano vertical, sin desplazarse lateralmente. Otro ejemplo es el de la vibración de una varilla metálica en la que la onda producida es cilíndrica y se propaga de manera radial. Un tercer ejemplo es la oscilación de las cuerdas de una guitarra, cuya propagación está limitada por los extremos donde se amarran a la estructura de la guitarra. Agustín E. González Morales 226 Otro es el propio sonido provocado por la vibración de las citadas cuerdas; movimiento ondulatorio –este último, el del sonido– que no debe confundirse con el que experimentan las cuerdas. Y una especial mención merecen las ondas electromagnéticas, como las emitidas por las emisoras de radio y TV, las empleadas en los rádares, la propia luz visible, etc., cuya propagación, al contrario de lo que sucede con las ondas citadas en los ejemplos anteriores, no requiere de un soporte físico para producirse; es decir, las ondas electromagnéticas viajan incluso en el vacío. Obsérvese que en ninguno de los ejemplos se produce transporte de masa a lo largo del espacio de la propagación (por ejemplo, el corcho que colocamos en el estanque sube y baja, pero no se desplaza lateralmente), porque en el caso de las ondas que necesitan un soporte material para propagarse lo que se transmite entre las partículas afectadas es la energía y la cantidad de movimiento; mientras que en las ondas electromagnéticas, al no precisar de materia para su sustentación, sólo se transporta energía al espacio circundante. TIPOS DE ONDAS Las ondas se pueden clasificar considerando, por ejemplo, el medio en el que se propagan, tal como implícitamente se ha hecho en los párrafos anteriores. Así, se llaman ondas materiales o mecánicas a las que precisan de un soporte material para trasladarse, mientras que las demás son las ondas electromagnéticas cuya propagación se puede producir hasta en el vacío. Otra forma de clasificación es comparar la dirección de la perturbación con la dirección de avance del movimiento ondulatorio. Así, en el estanque la perturbación se produce en dirección vertical, mientras que la onda viaja horizontalmente; en este caso se dice que la onda es transversal. Las ondas electromagnéticas también son transversales. Sin embargo, el sonido es una onda longitudinal, pues está provocado por compresiones y dilataciones del medio (el aire, por en reposo ejemplo) que avanzan en la misma dirección en la que se produce la propia perturbación. En la figura se representa un fluido (líquido o gas) confinado en en reposo un tubo, cerrado con un pistón. Si el pistón se mueve hacia la derecha, las partículas del fluido comienzan a desplazarse en la misma dirección que el émbolo. De esta manera se genera una perturbación longitudinal, similar a la onda de presión que constituye el sonido. Otra clasificación puede hacerse atendiendo a la forma de avance de la onda. Si, transcurrido un tiempo desde que se produjo la perturbación, se unen los puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración, se obtiene una figura llamada frente de ondas. Según la forma geométrica de este frente, se habla de ondas circulares (como las del estanque), cilíndricas (como la provocada al vibrar una varilla metálica recta, de espesor despreciable), esféricas (como las del sonido en el aire libre), planas (como la producida en el tubo de la figura), etc. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO En este apartado se analizan las ondas mecánicas sinusoidales producidas por un M.V.A. existente en un punto del espacio, las denominadas ondas armónicas. Centramos la atención en este tipo de ondas porque según el teorema de Fourier cualquier función periódica, por muy errática que parezca su forma, se puede descomponer en una suma de sinusoides, llamadas armónicos. Para abordar el estudio de estas ondas es muy útil tener presente la imagen del estanque, sin que el empleo de este ejemplo reste generalidad a las ecuaciones obtenidas. En el punto donde cae la piedra, llamado foco, se genera un M.V.A. de la partícula de agua que allí se encuentra, que estará subiendo y bajando continuamente, si se desprecian las pérdidas energéticas. En estas condiciones, la energía y la cantidad de movimiento de esta partícula se trasmite a las circundantes, de una manera similar a como lo hace una bola de billar cuando Agustín E. González Morales 227 choca contra otra, provocando que cada una de ellas se ponga a oscilar con un M.V.A. análogo al de la partícula situada en el foco. Lo mismo sucederá con las que rodeen a las que acaban de ponerse a vibrar, propagándose la perturbación por todo el estanque sin distorsiones41. Para conocer el estado de vibración de cualquier partícula hay tener en cuenta la distancia al foco, pues cuanto más alejadas estén más tarde empezarán a oscilar. Sea un sistema de coordenadas cartesiano con el origen en el foco, el eje X, horizontal, y el eje Y, vertical. Además, en el instante t = 0 se produce la perturbación en el punto situado en el foco, con una amplitud A y una pulsación ω, representada en la gráfica por las sucesivas posiciones de la partícula de agua que se desplaza por el eje Y. Y A y(x,t) X Se llama longitud de onda a la distancia que hay entre dos puntos que tengan la misma velocidad, aceleración y elongación; o lo que es lo mismo, que estén en el mismo estado de vibración. Estos puntos pueden ser dos cualesquiera que cumplan estos requisitos, como sucede, por ejemplo, con dos máximos o dos mínimos consecutivos. Por otro lado, si v es la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en el eje X, también llamada velocidad de fase, el período T es el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda a la velocidad v, y f es la frecuencia, inversa del período. Es decir: v f T Se debe tener presente que, mientras que la onda recorre , la partícula del foco realiza una oscilación completa con su pulsación ω. De ahí que el periodo de la onda coincida con el del M.V.A. que la genera. Por tanto: 2 2f T En estas condiciones, la elongación del foco (x = 0) en cada instante t es: y(0, t ) A sen t y la de un punto cualquiera, situado a una distancia x del origen, al que tarda en llegar la perturbación un tiempo t’, será: y(x,t) = A sen ω(t – t’) pues se pondrá a vibrar un tiempo t’ después que el foco. Pero, como la onda se propaga por el x eje X a velocidad v, entonces t’ : v x 2 x x t y( x, t ) A sen t A sen t A sen 2 v T v T vT Por tanto: 41 Para que no existan distorsiones es necesario que el medio (el agua del estanque en nuestro ejemplo) sea homogéneo e isótropo; es decir, tenga las mismas propiedades en cualquier dirección. Agustín E. González Morales 228 t x y( x, t ) A sen 2 T Obsérvese que y(0,0) = 0, pero nada impide que en la ecuación obtenida hagamos que en x = 0, en el instante inicial, exista una elongación y(0,0) = A sen : t x y( x, t ) A sen 2 T Otra forma de escribir la llamada función o ecuación de ondas es: y( x, t ) A sen (t kx ) En la que se ha empleado la constante k, llamada 2 número de onda: k , que no debe confundirse con la constante elástica del resorte que se utilizó al principio del tema. En definitiva, para determinar la elongación de cualquier punto en un instante t, basta sustituir en las expresiones el valor de x con su signo, positivo o negativo, según el sistema de referencia establecido. Y X t t x y(x, t ) A sen 2 T Fase t x Como sucedía en el M.V.A., 2 es la fase del movimiento ondulatorio armónico T en la que se suele llamar fase inicial. Además, se dice que dos puntos están en fase cuando su diferencia de fase es un múltiplo de 2. La distancia que separa a tales puntos es precisamente un múltiplo de . Periodicidad Una propiedad de estas ondas es que son doblemente periódicas. Ya hemos visto que la ecuación de ondas tiene un período espacial , pues los valores de y(x,t) son los mismos si se eligen dos puntos separados una distancia ; pero, también presenta un período temporal T, transcurrido el cual se repiten de nuevo. En efecto, reemplazando t por T + t en la ecuación de la onda, obtenemos: Tt x t x t x y( x, T t ) A sen 2 A sen 2 2 A sen 2 T T T por tanto y(x,t + T) = y (x,t) Ecuación general de las ondas Aunque hemos estudiado las ondas armónicas mecánicas, la función de ondas obtenida es una de las soluciones de la siguiente expresión: 2 2y 2 y v t 2 x 2 Agustín E. González Morales 229 que también satisface a las ondas electromagnéticas. En el ejercicio nº 1 se trata de comprobar que las ondas armónicas mecánicas cumplen esta ecuación diferencial. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS Ya hemos identificado la velocidad de propagación, también llamada velocidad de fase, como el cociente entre la longitud de onda y el periodo. Dicha velocidad es constante y depende de las características del medio. La calcularemos para una onda de presión longitudinal. En las demás ondas sólo citaremos las expresiones que la determinan. Al explicar los tipos de ondas, empleamos un pistón para generar una perturbación longitudinal en un fluido (líquido o gas). Calculemos la velocidad de propagación de esta onda por un tubo de sección A. En la figura ponemos el pistón en movimiento con velocidad vo, aplicando una presión p (superior a la presión p que existe en el fluido en reposo) mediante una fuerza F = p·A. El pistón empuja a las partículas del fluido más próximas a él, que comienzan a moverse en la misma dirección. Transcurrido un tiempo t el pistón recorre una distancia vot, mientras que la perturbación del fluido, a su velocidad de propagación v, alcanza la distancia vt. El volumen de fluido inicialmente puesto en movimiento es v t A. Si su densidad en reposo es , la masa de fluido en movimiento es: m=vtA Calculemos el módulo de compresibilidad42 B; es decir, el cociente entre p y la variación que experimenta el volumen del fluido V = votA por unidad de volumen afectado por la perturbación V = vtA: B p p V vo t A V vtA El signo menos indica que a un aumento de presión le corresponde una disminución de volumen. pA pA en reposo vt vot (p+p)A vo vo pA en reposo Despejando p: p B vo v La fuerza neta que actúa sobre el fluido en movimiento es: F = (p + p) A – pA Es decir: F B vo A v Si esta fuerza actúa durante un tiempo t, su impulso F t provoca un incremento de la cantidad de 42 B mide la variación de volumen que experimenta una sustancia al someterla a un incremento de presión. Cuanta más presión se necesite para comprimirla hasta un volumen dado mayor será su módulo de compresibilidad. Los sólidos y líquidos son relativamente incompresibles, de ahí que posean valores de B muy grandes comparados con los de los gases. Algunos autores prefieren utilizar la compresibilidad C en vez del módulo de compresibilidad B. Ambas cantidades son inversas: C = 1/B. Agustín E. González Morales 230 movimiento en el fluido m(vo – 0) en el mismo sentido que la fuerza aplicada: F t = mvo B vo A t ( v t A ) v o v así obtenemos la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en líquidos y gases: v B Calculemos la velocidad de propagación de una onda mecánica longitudinal en el aire libre. Sabemos que el aire se comporta siguiendo fielmente el modelo de gas ideal en un amplísimo margen de presiones y temperaturas. En el tema VII, cuando analizamos los procesos adiabáticos ( Q 0 ) en un gas ideal obtuvimos la siguiente expresión: 0 = Cp p dV + Cv V dp Podemos suponer que los procesos que se generan al propagarse las ondas mecánicas en el aire Cp libre son adiabáticos. Dividiendo por Cv y recordando que el coeficiente adiabático es , Cv obtenemos: 0 = p dV + V dp en la que podemos sustituir dV y dp por sus correspondientes incrementos V y p: 0 = p V + V p operando: p p V V y, recordando la definición de B, obtenemos: B = p pero, la ecuación de estado de los gases ideales es pV = nRT, con n m V , siendo M la M M masa molecular del gas. De donde: B RT M Por tanto, la velocidad de propagación de las ondas mecánicas longitudinales en los procesos adiabáticos en gases ideales es: v RT M El valor de R en el S.I. es 8.3149, y en el caso del aire M = 28.88·10–3 y = 1.4. Si calculamos la velocidad a la que se propaga una onda mecánica longitudinal en el aire a una temperatura ambiente de 15º C = 288.15 ºK, obtenemos: Agustín E. González Morales 231 v = 341 m/s que se corresponde con la velocidad de propagación del sonido medida experimentalmente. 0o0 Siguiendo razonamientos similares se obtienen los siguientes resultados: Velocidad de propagación de las ondas mecánicas transversales producidas, por ejemplo, en una cuerda de una guitarra tensada en su armazón con una fuerza F, cuya masa por unidad de longitud es : v F Velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío: v 1 00 Si sustituimos los valores de la permeabilidad magnética 0 y la permitividad dieléctrica 0, se obtiene una velocidad de 299792 km/s que se corresponde con la velocidad de la luz en el vacío. Este resultado, entre otros, sirvió para asegurar que uno de los comportamientos de la luz es el de onda electromagnética. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO Ya hemos visto que en el movimiento ondulatorio se produce una transmisión de energía de una zona a otra del espacio sin que exista transporte neto de materia. Determinemos dicha energía en el caso de las ondas armónicas materiales. Para ello basta tener presente que cada partícula de masa m, en cuanto es alcanzada por la perturbación, se pone a vibrar con un M.V.A. cuyas ecuaciones energéticas ya conocemos. La energía potencial de las partículas es: Ep 1 m2 y(x, t )2 2 t x sustituyendo y( x, t ) A sen 2 : T Ep 1 1 m2 y( x, t )2 m2 A 2sen 2 2 2 t x 2 T Para determinar la energía cinética en cada posición x calculamos la velocidad de vibración v(x,t) –que no debe confundirse con la velocidad de propagación v– efectuando la derivada parcial de y(x,t) con respecto al tiempo: v(x , t ) t x t x y 2 A cos 2 A cos 2 t T T T Agustín E. González Morales 232 1 Si sustituimos v(x,t) en la expresión de la energía cinética mv( x, t )2 : 2 Ec t x 1 1 mv(x, t )2 m 2 A 2 cos 2 2 2 2 T 1 m2 A 2 , los mismos que los del 2 M.V.A. que generó la perturbación. También, como sucede en el M.V.A., las variaciones periódicas, tanto de la energía potencial como la de cinética, se producen a una frecuencia doble que la del propio movimiento ondulatorio. Obsérvese que los valores máximos de la Ec y la Ep son Además, la energía mecánica E = Ep + Ec es constante, del mismo valor que la del M.V.A: E Epmax Ec max 1 m2 A 2 2 Como todas las partículas del medio poseen la misma energía mecánica en todo momento, podemos definir , la densidad de energía o energía por unidad de volumen V; es decir, E . Si la densidad del medio es : V 1 2 A 2 2 INTENSIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO La intensidad de una onda en un punto es la energía que progresa por el medio atravesando a la unidad de superficie, perpendicular a la dirección de propagación, en la unidad de tiempo. Se mide en vatios/m2 (W/m2) en el S.I. Si E es la energía de una onda que atraviesa una superficie S, perpendicular a la dirección de propagación, en un tiempo t, su intensidad es: I E P St S L siendo P la potencia de la onda. v Calculemos la intensidad de las ondas armónicas mecánicas que avanzan con su velocidad de propagación v por un volumen V: I S V= L S= v t S E V St St Pero V = L S, siendo L la longitud recorrida por la onda a velocidad constante v en un tiempo t. Por tanto, la intensidad de las ondas armónicas mecánicas es: I v 1 2 A 2 v 2 2 v f 2 A 2 2 Agustín E. González Morales 233 ATENUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS MECÁNICAS ESFÉRICAS Sea una onda armónica mecánica esférica que se propaga por un medio homogéneo e isótropo. A medida que avanza, su energía E alcanza a más partículas del medio. Si no existen pérdidas energéticas, la potencia P emitida por el foco emisor que alcanza un punto situado a una distancia r1 de él, se reparte por igual sobre la superficie de la esfera de radio r 1. La intensidad I1 es: I1 r2 r1 P 4r12 con I1 22 vf 2 A12 La intensidad de la onda en otro punto situado a una distancia r2 es: I2 P 4r22 con I 2 2 2 vf 2 A 22 Como la potencia P es la misma: I1 A12 r22 I 2 A 22 r12 Obsérvese que la amplitud es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor. Este fenómeno –en el que se aprecia una disminución de amplitud e intensidad al alejarse del foco, sin que se hayan producido pérdidas energéticas– se denomina atenuación. Aunque hemos estudiado la atenuación de las ondas mecánicas esféricas, se demuestra que la intensidad del resto de las ondas, incluidas las electromagnéticas, también es proporcional al cuadrado de la amplitud e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco. ABSORCIÓN DE ONDAS Otra causa que provoca que la intensidad de una onda disminuya a medida que se propaga por el medio, es la pérdida de energía debida a los rozamientos, la viscosidad, etc. Este “debilitamiento” indica que parte de su energía está siendo absorbida por el medio. No debe confundirse este fenómeno de absorción con el de atenuación que acabamos de estudiar. Si nos limitamos a considerar la absorción en puntos muy alejados del foco, los frentes de onda se pueden considerar planos. Experimentalmente se comprueba que, al atravesar un medio de espesor dx, se produce una variación de intensidad dI directamente proporcional a la propia intensidad: dI = – I dx La constante de proporcionalidad , denominada coeficiente de absorción, depende exclusivamente de las características del medio. El signo menos indica que la intensidad disminuye si el espesor aumenta. Separando variables e integrando: I I0 dI x dx I 0 obtenemos I I 0 ·e x conocida como ley de Beer–Lambert. Agustín E. González Morales 234 Obsérvese que la absorción de las ondas no modifica su frecuencia. Este fenómeno no sólo tiene aplicaciones en la sonorización de las salas de conferencias, los teatros, etc., sino también en la detección de grupos atómicos y enlaces, porque cada uno de ellos presenta un máximo de absorción para una determinada frecuencia; por ejemplo, el grupo de los fenoles tiene una absorción máxima para 1.4314·1011 Hz (en el infrarrojo). PRINCIPIO DE HUYGENS En 1690, Huygens ideó un método gráfico para construir los frentes de ondas. Para ello propuso el principio que lleva su nombre: todo punto alcanzado por una perturbación se convierte en un nuevo foco secundario de emisión de ondas de las mismas características que las de la onda original. S2 A H B S1 C P Esta forma de interpretar la propagación se puede emplear, con matices, en las ondas mecánicas, pues las vibraciones de las partículas se transmiten unas a otras, pero carece de significado físico en el caso de las ondas electromagnéticas que, como hemos dicho, pueden progresar en el vacío, sin soporte material. D G Además, si analizamos con rigor el principio de Huygens, la idea de que cada punto del medio se convierta en un nuevo foco emisor no impide la propagación “hacia atrás”, que en realidad no se produce. Kirchhoff modificó su enunciado para soslayar estas dificultades, estableciendo, entre otras hipótesis, que las ondas en retroceso no existen porque no poseen energía. También lo formuló de manera que pudiese aplicarse a las ondas electromagnéticas. F E En la figura se representa un foco emisor puntual P. Supongamos que el medio es homogéneo e isótropo. En estas condiciones se originan frentes de ondas esféricos como el S1. Aplicando el principio de Huygens, todos los puntos A, B, C,…, H de S1 se convierten en nuevos focos emisores de ondas esféricas secundarias. El frente de ondas en un instante posterior S2 se construye trazando la esfera envolvente a estas ondas secundarias. El método se puede aplicar a cualquier frente de ondas, sea de la forma que sea. Gracias al principio de Huygens, con las modificaciones de Kirchhoff, efectuaremos una interpretación de fenómenos que se observan en la propagación como la reflexión, la refracción, las interferencias, la difracción y el efecto Doppler. REFLEXIÓN El fenómeno de la reflexión se produce cuando una onda, al encontrarse con una superficie que separa dos medios, “rebota” cambiando de dirección, propagándose por el mismo medio de donde provenía. Sea un frente de ondas plano que, al viajar por un medio homogéneo a velocidad v, “tropieza” contra una superficie plana perfectamente reflectante (por ejemplo, un espejo, para una onda electromagnética como la luz visible). Cada una de las ondas del frente, al reflejarse en la superficie, modifica su dirección y continúa propagándose por el mismo medio. Agustín E. González Morales 235 Si el tiempo que emplea la onda que pasa por A en ir desde A hasta A’ es t, entonces AA’ = vt. Es el mismo que necesita otra onda del frente, la que pasa por B, en ir desde B hasta B’, a la misma velocidad v; por tanto, BB’ = vt; es decir, BB’ = AA’. De la figura se deduce que = es decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión . Es importante destacar que ambos se miden con respecto a la normal a la superficie. Se ha hecho el estudio para el caso de un frente de ondas plano que incide sobre una superficie también plana. Pero, la conclusión de que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales es válida, si se aplica a cada onda de cualquier tipo de frente de ondas, respecto a la normal en el punto de incidencia de cualquier superficie reflectante. REFRACCIÓN El fenómeno de la refracción se produce cuando una onda, al encontrase con la superficie que separa dos medios de características diferentes, la atraviesa, cambiando de dirección, y propagándose por el segundo medio a velocidad distinta. Sea un frente de ondas plano que, desplazándose por un medio homogéneo a velocidad v1, “tropieza” contra una superficie plana. Cada una de las ondas del frente, al refractarse en la superficie, modifica su dirección y se propaga a velocidad v2 por el segundo medio. Si el tiempo que emplea la onda que pasa por A en ir desde A hasta A’ es t, entonces AA’ = v1 t. El mismo que necesita otra onda, la que pasa por B, en ir desde B hasta B’, a la velocidad v2. Por tanto, BB’ = v2 t. Operando: AA' v1t v1 BB' v 2 t v 2 A De la figura se deduce que: v1 α ) sen AA' BA' sen A’ BB' BA' B v2 B’ ) donde es el ángulo de incidencia y es el ángulo de refracción. Es importante destacar que ambos son coplanarios y se miden con respecto a la normal a la superficie. β Si c es la velocidad de la onda en un medio tomado como patrón, podemos determinar cada velocidad en función de c, mediante los denominados índices de refracción n1 y n2, de manera que: n1 c v1 n2 c v2 Operando, obtenemos: n1 sen n 2 sen conocida como ley de Snell. Agustín E. González Morales 236 n2 . En este caso, α es el ángulo límite o ángulo de n1 Brewster, a partir del cual no se produce refracción, sólo reflexión. Si β = 90º y n2 n1, entonces sen Se ha hecho el estudio para el caso de un frente de ondas plano que incide sobre una superficie también plana. Pero, la conclusión obtenida es válida, si se aplica a cada onda de cualquier tipo del frente de ondas, respecto a la normal en su punto de incidencia sobre cualquier superficie. INTERFERENCIAS Hasta aquí hemos estudiado la propagación de una sola onda. Pero, ¿qué ocurre cuando se encuentra con otras ondas que se desplazan por el mismo medio? Una propiedad que caracteriza al movimiento ondulatorio es que, aunque dos o más ondas se crucen, no se alteran sus características individuales; es decir, no se perturban ni sus frecuencias, ni sus velocidades de propagación, ni sus amplitudes. Este comportamiento permite aplicar el principio de superposición que establece que cuando dos o más ondas se propagan por un mismo medio, la perturbación resultante, conocida con el nombre de interferencia, es la suma algebraica de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado. Existen dos tipos básicos: – Interferencia constructiva, como la que aparece de manera secuencial en la parte izquierda de la figura. La perturbación resultante es mayor que la provocada por las perturbaciones individuales cuando interfieren. – Interferencia destructiva, como la de la zona derecha de la figura, donde se representan dos ondas cuyas elongaciones son de signo contrario. Mientras interfieren, la perturbación resultante es menor que las de cada onda. Obsérvese el estado c): como se han elegido dos ondas de elongaciones iguales, pero opuestas, hay un instante concreto en el que ambas perturbaciones se cancelan entre sí. (a) (b) (c) (d) (e) El análisis matemático de la interferencia entre dos ondas cualesquiera es bastante complejo, por lo que resolveremos sólo la de las llamadas ondas coherentes, aquéllas que tienen la misma Agustín E. González Morales 237 frecuencia, longitud de onda y diferencia de fase constante. Supondremos, además, que la perturbación se propaga en un plano (como en el estanque), y que está P provocada por dos focos puntuales F1 y F2, que oscilan con un M.V.A. cuya constante de fase es nula. En estas x x1 2 condiciones, en un punto P, que dista x1 y x2 de los focos, tenemos: F1 y1 A1 sen (t kx1 ) F2 y 2 A 2 sen (t kx 2 ) 2 son iguales, no así las elongaciones y1 e y2, pues P está a distinta distancia de los focos. El principio de superposición establece que la elongación resultante será: Obsérvese que y k y = y1 + y2 = A1 sen (t kx1 ) + A 2 sen (t kx 2 ) desarrollando: y A1sent cos kx1 A1 cos t senkx1 A 2sent cos kx 2 A 2 cos t senkx 2 de donde y (A1 cos kx1 A 2 cos kx 2 ) sent (A1senkx1 A 2senkx 2 ) cos t Hacemos las siguientes sustituciones: A sen A1 sen kx1 A 2 sen kx 2 (a) A cos A1 cos kx1 A 2 cos kx 2 (b) Por tanto y A sen t cos A cos t sen que podemos escribir y A sen (t ) La perturbación resultante en P es armónica y tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales. La constante de fase resultante se calcula dividiendo (a) entre (b): tg A1 sen kx1 A 2 sen kx 2 A1 cos kx1 A 2 cos kx 2 La amplitud resultante A se obtiene elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones (a) y (b): A 2 A12 A 22 2A1A 2 (sen kx1 sen kx 2 cos kx1 cos kx 2 ) es decir, A 2 A12 A 22 2A1A 2 cos k(x1 x 2 ) Agustín E. González Morales 238 Como cos 2n = 1 (con n = 0, 1, 2,…), la amplitud A es máxima cuando k(x1 – x2) = 2n, siendo entonces A2 = (A1 + A2)2; es decir, A = A1 + A2. Y sustituyendo k: A A1 A 2 para x1 x 2 n n 0, 1, 2, ... Por tanto, la amplitud resultante es máxima en aquellos puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es un múltiplo de la longitud de onda. Tales puntos están en concordancia de fase, y en ellos se produce una interferencia constructiva. Pero, como cos (2n + 1) = –1, la amplitud A es mínima cuando k(x1 – x2) = (2n + 1), siendo entonces A2 = (A1 – A2)2; es decir, A = A1 – A2. Y sustituyendo k: A A1 A 2 para x1 x 2 (2n 1) 2 n 0, 1, 2, ... Por tanto, la amplitud resultante es mínima en aquellos puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es un múltiplo impar de media longitud de onda. Tales puntos están en oposición de fase, y en ellos se produce una interferencia destructiva. F1 F2 En la figura están representados, en negro, los puntos de amplitud máxima, y en blanco los de amplitud mínima. Obsérvese que, si se unen, conforman hipérbolas cuyos focos son precisamente F1 y F2. Si A1 = A2, la amplitud mínima es cero, y los puntos donde se produce este fenómeno se denominan nodos. Las hipérbolas que los contienen se llaman líneas nodales. Como los nodos no se ven afectados por las perturbaciones, se dice que se encuentran en estado estacionario. ONDAS ESTACIONARIAS Las ondas estacionarias son interferencias provocadas al superponerse dos ondas de la misma frecuencia y amplitud, al propagarse con igual velocidad, en sentido contrario. Se producen, por ejemplo, al hacer vibrar una cuerda fija por un extremo, pues la oscilación se refleja cuando llega al extremo fijo, propagándose entonces en sentido opuesto, en busca del extremo libre. Si la ecuación de la onda incidente que viaja en el sentido negativo del eje X es: Onda incidente Y y1 = A sen (ωt + kx) la que viaja en sentido positivo, después de reflejarse, será: X y2 = A sen (ωt – kx) La elongación resultante es: Onda reflejada y = y1 + (–y2) = A sen (ωt + kx) – A sen (ωt – kx) Agustín E. González Morales 239 Se ha escrito (–y2) porque, en el momento de reflejarse, la onda también cambia de sentido en el eje vertical, como se aprecia en la figura. Como sen α – sen β = 2 cos ½ (α + β) sen ½ (α – β) entonces y = 2A sen kx cos ωt de esta ecuación se deduce que: - La frecuencia de las ondas estacionarias es la misma que la de las ondas originales. La amplitud resultante Ar = 2A sen kx varia con x. La amplitud es nula en los nodos, en los que se verifica que sen kx = 0. Es decir: Ar = 0 para x = n - 2 n = 0, 1, 2, … La amplitud es máxima, de valor 2A, en los antinodos o vientres, para sen kx = 1. Es decir Ar = 2A para x = (2n+1) 4 a a b b c d c d d c n = 0, 1, 2, … b a - Dos nodos o dos vientres consecutivos están separados . 2 Como los nodos permanecen en reposo, en las ondas estacionarias la energía no se propaga (de ahí su nombre). Todos los puntos, salvo los nodos, vibran a la vez, experimentando un M.V.A cuya amplitud depende de la posición x, como se representa en la figura, en la que se han indicado las posiciones de la misma onda en los sucesivos instantes a, b, c, d, e, f, g, h. h g f e e f e f g g h h 0o0 Un caso especialmente interesante de onda estacionaria es la que se produce en un cuerda fija por sus dos extremos (por ejemplo, al hacer vibrar la de una guitarra). Si su longitud es L, los puntos x = 0 y x = L tienen f0 v que ser nodos por estar fijos. Por tanto, en x = L debe 2L verificarse la condición de nodo, esto es: L 2 f 2f 1 0 Ln 2 de donde deducimos los valores posibles de la longitud de onda: L 2 f 2 3f 0 L n Mediante la velocidad de propagación v, determinamos las frecuencias a las que puede vibrar: 3 L 2 Agustín E. González Morales 240 f v v n 2L Se denomina modo fundamental de vibración f0 al valor de la frecuencia para n = 1: f0 v 2L Nótese que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de vibración, llamada modo, sea un múltiplo del modo fundamental. Cada uno de ellos se corresponde con un determinado movimiento. En la figura anterior se han representado los tres primeros. Obsérvese que si la cuerda tuviese un extremo libre podría adoptar cualquier frecuencia de vibración. Los resultados obtenidos se pueden generalizar para todas las ondas armónicas; concretamente, una de las experiencias que permitió afirmar el carácter ondulatorio de la luz como propagación electromagnética fue la confirmación de la existencia de ondas estacionarias. DIFRACCIÓN Se comprueba experimentalmente que cuando un movimiento ondulatorio, como el generado en el punto P de la figura superior, incide sobre una superficie rígida, que tiene una abertura A de tamaño comparable al de su longitud de onda, en A se crea un foco secundario de ondas idénticas a la incidente, que se propagan en todas las direcciones. También sucede algo similar si las ondas tropiezan con un obstáculo puntiagudo, como el de la figura inferior, que tenga un tamaño similar al de la longitud de onda: las ondas generadas en Q “abrazan y rodean” al obstáculo, creando en B un foco secundario y provocando una propagación como la representada. Las experiencias citadas son fenómenos de difracción, que se pueden explicar mediante el principio de Huygens. B Q Al igual que las interferencias, la difracción caracteriza a las ondas, hasta tal punto, que su existencia permite asegurar si un fenómeno tiene naturaleza ondulatoria. De hecho, cuando a finales del siglo XIX, se confirmó que la luz experimenta fenómenos de difracción, toda la comunidad científica asumió, ya sin dudas, su comportamiento ondulatorio43. Por eso hoy sabemos que, si se observa un foco luminoso lejano a través de una pantalla formada por dos telas paralelas de visillos, la figura que se aprecia –una especie de cruz luminosa como la de la figura inferior izquierda– se debe a la difracción y las interferencias de la luz al pasar por los orificios de la trama. Además, si se quita una de las telas de la pantalla, se ve el foco de luz alargado en la dirección perpendicular a los hilos del visillo (figura inferior derecha); y si se gira la pantalla, la figura luminosa también lo hace. Difracción con dos visillos Difracción con un visillo 43 La dificultad para apreciar el fenómeno de difracción en la luz visible estaba en conseguir un orificio del tamaño de su longitud de onda. Hoy sabemos que es del orden de 10–7 m. Más complicado fue detectar la difracción de los rayos X, pues su longitud de onda es 10000 veces menor. Para conseguirlo hubo de emplearse como “orificio” el espacio entre los átomos de una red cristalina de silvita (KCl). Agustín E. González Morales 241 POLARIZACIÓN Una onda transversal puede oscilar en todos los planos normales a la dirección de la propagación. Cuando esto ocurre, se dice que no está polarizada. Ahora bien, si mediante algún dispositivo se fuerza a que las vibraciones se produzcan en una dirección determinada, se dice que la onda está polarizada. Si las vibraciones tienen lugar siempre en un solo plano, estamos ante una polarización lineal. Si la dirección de las vibraciones está variando sobre un circunferencia, se trata de una polarización circular; si lo hace según una elipse, se llama elíptica, etc. Cada tipo de polarización tiene una aplicación técnica; por ejemplo, las ondas electromagnéticas emitidas por los rádares se pueden polarizar circularmente para reducir los reflejos producidos por fenómenos meteorológicos como la lluvia y la niebla. La polarización permite comprobar si una onda es transversal, pues las longitudinales no se pueden polarizar, ya que vibran en el mismo sentido de su propagación. La luz es una onda electromagnética transversal que no suele estar polarizada. Existen varios métodos para conseguirlo. El más sencillo es de la absorción selectiva mediante un dispositivo de láminas cristalinas, llamadas polaroides, que tienen la propiedad de dejar pasar sólo la componente de la onda cuyo campo eléctrico vibra según una dirección determinada. La luz emerge del polaroide polarizada linealmente. De hecho, si se colocan dos polaroides cruzados en direcciones perpendiculares, absorben totalmente la luz que reciben. Luz polarizada linealmente Luz incidente no polarizada polaroide Otro método es el de polarización por reflexión. Cuando un rayo de luz incide sobre la superficie de separación de dos medios en los que se produce reflexión y refracción a la vez, se observa que la luz reflejada se polariza parcialmente, con un grado que depende del ángulo de incidencia. Si el dicho ángulo es tal que los rayos reflejados y refractados son perpendiculares entre sí, entonces la luz reflejada aparece totalmente polarizada. INTENSIDAD SONORA. TONO. TIMBRE Ya hemos visto cómo se generan las ondas sonoras. Estudiemos su nivel de intensidad y algunas de sus características como el tono y el timbre. Nivel de intensidad sonora Utilicemos como ejemplo el oído humano, capaz de percibir sonidos cuyas frecuencias estén comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Existe un mínimo de intensidad de energía audible, distinto para cada frecuencia, llamado umbral de audición, del orden de 10–12 watios/m2, por debajo del cual el sistema auditivo humano no es capaz de captar un sonido tan débil. De ahí que se defina el nivel de intensidad sonora o sonoridad ndB de la siguiente manera: n dB 10 log I I0 donde I es la intensidad del sonido recibido, e I0 = 10–12 W/m2 es la intensidad de referencia. Aunque la sonoridad ndB es una magnitud adimensional, para cuantificarla utilizaremos como unidad de medida el decibelio, dB. Por ejemplo, un sonido cuya intensidad es un millón de veces Agustín E. González Morales 242 superior a la de referencia, tiene un nivel de intensidad o sonoridad de 60 dB. En la siguiente tabla se presentan diversos niveles de intensidad de algunos sonidos corrientes: TIPO DE SONIDO Umbral de audición Susurro de las hojas Goteo Conversación en voz baja a 5 metros Conversación ordinaria Tráfico de una calle concurrida Orquesta sinfónica Tren al pasar por una estación Umbral de sensación desagradable Umbral de sensación dolorosa ndB 0 10 20 40 60 70 80 90 120 140 Tono El tono es una cualidad del sonido que depende de la frecuencia. Así se dice que el tono de un sonido es grave si su frecuencia es inferior a 1000 Hz, y agudo si supera los 1000 Hz. Los ultrasonidos se producen a frecuencias superiores a los 20000 Hz. El oído humano no puede captarlos. Tienen múltiples aplicaciones en Medicina, investigación submarina, etc. Los infrasonidos son oscilaciones de frecuencias inferiores a 20 Hz. Tampoco pueden ser detectados por nuestro oído, aunque sí por el de algunos animales. Se producen, por ejemplo, en los terremotos y en los truenos. Timbre Nuestro sistema auditivo, además de distinguir el tono y la intensidad, es capaz de diferenciar sonidos del mismo tono y la misma intensidad, pero producidos, por ejemplo, por instrumentos musicales distintos. Esta cualidad del sonido es el timbre. Un mismo tono musical producido por instrumentos diferentes tiene la misma frecuencia fundamental, pero su espectro es diferente. Precisamente en la distribución de las intensidades de los distintos armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de dicha frecuencia fundamental, radica el matiz del timbre. Por el timbre, por ejemplo, reconocemos y diferenciamos la voz de las personas. EFECTO DOPPLER Se llama efecto Doppler a la variación de la frecuencia percibida por el receptor de un movimiento ondulatorio, cuando el emisor, el receptor o ambos están en movimiento. Este fenómeno se produce con todo tipo de ondas; en las sonoras se detecta por la variación del tono que se aprecia, por ejemplo, cuando escuchamos el paso de un vehículo desde el arcén de una carretera: el sonido se hace más agudo conforme se acerca, y más grave al alejarse. Esta variación de frecuencia se emplea en los rádares para detectar la velocidad de los blancos. Analicemos los tres casos posibles, según quién esté en movimiento: a) el emisor, b) el receptor, o c) ambos. a) Emisor en movimiento y el receptor estático o El emisor se acerca al receptor estático Sean ve: la velocidad del emisor vr: la velocidad del receptor. En este caso vr = 0 v: la velocidad de propagación de la onda Agustín E. González Morales 243 λ: f: λ1: f1: la longitud de onda emitida la frecuencia emitida la longitud de onda percibida por el receptor la frecuencia percibida por el receptor Como se aprecia en la figura superior, si un foco emisor F no se mueve, genera frentes de onda S1, S2,… separados una distancia λ. Pero si, en un periodo T, el foco emisor se acerca una distancia veT al receptor (figura inferior), la separación entre los frentes de onda pasa a ser λ1; por tanto, la longitud de onda percibida por el receptor es: S2 S1 F S2 λ1 = λ – veT S1 Como la velocidad de propagación de la onda sigue siendo v: veT v 1 f1 v f T 1 f F 1 F deducimos: f1 f v v ve (1) como f1 > f , si la onda fuese sonora, el sonido sería más agudo. o El emisor se aleja del receptor estático En un periodo T el emisor se aleja del receptor una distancia veT, por tanto la longitud de onda λ1 percibida por el receptor es: λ1 = λ + veT por tanto: f1 f v v ve (2) como f1 < f , si la onda fuese sonora, el sonido sería más grave. b) Receptor en movimiento y emisor estático o El receptor se acerca al emisor estático En este caso ve = 0. Como se aprecia en la figura, si el receptor no se moviese captaría tantos frentes de onda por segundo como indica la frecuencia f de emisión. Pero si el receptor se acerca al emisor a velocidad vr, percibe que la frecuencia con la que llegan los frentes de onda es mayor, de valor f1, suma de f más las veces que vr contiene a λ. Por tanto: vr F v f1 f r pero Agustín E. González Morales 244 v f por tanto: f1 f v vr v (3) como f1 > f , si la onda fuese sonora, el sonido sería más agudo. o El receptor se aleja del emisor estático Análogamente: f1 f v vr v (4) como f1 < f , si la onda fuese sonora, el sonido sería más grave. c) Emisor y receptor en movimiento Agrupando convenientemente las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos la expresión: f1 f v vr v ve Donde basta tener presente el siguiente v vr convenio de signos del numerador (N) y el f1 f N D v ve denominador (D) para acercamientos o alejamientos simultáneos. Así, por ejemplo, Acercamiento simultáneo + – en el caso de un emisor que se acerque a – + Alejamiento simultáneo velocidad ve a un receptor estático (vr = 0), el numerador se reduce a v y en el denominador se aplica el signo (–) correspondiente al acercamiento. De esta manera, la expresión que se obtiene es la (1). Es importante tener presente que si, por ejemplo, el emisor va persiguiendo a un receptor que circula a menos velocidad, aunque en el mismo sentido –como en el caso (b) del cuadro inferior, donde E es el emisor y R el receptor–, el acercamiento no es simultáneo, pues el receptor no pretende acercarse, a su vez, al emisor. Basta modificar la expresión del acercamiento simultáneo del caso (a) teniendo presente el sentido de las velocidades: como la velocidad del emisor tiene el mismo sentido en el caso (a) que en el (b), su signo se mantiene en la expresión; pero la velocidad del receptor en (a) tiene sentido contrario en (b), por tanto debe ser cambiada de signo. En definitiva: f1 f v vr v ve Acercamiento Acercamiento f1 f v vr v ve f1 f v vr v ve v vr f1 f v ve Alejamiento Alejamiento simultáneo (a) E simultáneo R del >V ) delemisor emisor(V (vee>v r) r (b) E R delreceptor receptor(V(vee< <vVr)r) del (c) E R E R (d) f1 f v vr v ve (e) f1 f v vr v ve (f) f1 f v vr v ve deldel emisor Vr)r ) emisor(V(v e e>>v E R deldel receptor receptor(V(v <vVr)r) e e< E Agustín E. González Morales R 245 Otro ejemplo: sea un alejamiento del emisor como el del caso (e). Comparando los casos (d) y (e), hay que cambiar el signo de la velocidad del receptor. Por tanto: f1 f v vr v ve CARACTERÍSTICAS Y ESPECTRO DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS En 1893, los trabajos de Maxwell sobre electromagnetismo permitieron conocer en profundidad las ondas electromagnéticas (OEM), y confirmar que uno de los comportamientos de la luz es el de radiación electromagnética. Sus conclusiones más importantes son: - Las OEM se originan al acelerar cargas eléctricas. Si dichas cargas se desplazan con movimiento rectilíneo y uniforme no generan OEM ni irradian energía. E B - - ExB Las OEM son transversales. Están constituidas por un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí, que se propagan, a la vez y a la velocidad de la luz, en una dirección normal al plano formado por estos dos campos, según un vector con la dirección y el sentido del producto vectorial E x B, tal como se aprecia en la figura. El campo eléctrico y el campo magnético están en fase, alcanzando sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo. Ambos campos están relacionados, de manera que sus valores instantáneos responden a la expresión: E( t ) c · B( t ) donde c 1 siendo ε es la permitividad dieléctrica absoluta del medio, μ la permeabilidad magnética, y c la velocidad de la luz. - La propagación de las OEM se produce, esencialmente, de la siguiente manera: si en un punto del espacio existe un campo eléctrico que varía con el tiempo a una determinada frecuencia, en otro punto situado en sus proximidades se induce un campo magnético que varía también con la misma frecuencia. Este último, a su vez, crea a su alrededor un campo eléctrico variable, y así sucesivamente. En definitiva, el campo eléctrico inicial se transmite de un punto a otro del espacio a través del campo magnético inducido, y viceversa. - Las OEM son todas semejantes. Sólo se diferencian en su longitud de onda y frecuencia. Agustín E. González Morales 246 - La luz es una OEM. - La intensidad instantánea de las OEM; es decir, la energía que, en la unidad de tiempo, atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación es: I = c ε E2 - Las OEM se propagan incluso en el vacío, y experimentan todos los fenómenos que caracterizan a las ondas: reflexión, refracción, interferencia y difracción. El espectro electromagnético Las OEM se clasifican, según su frecuencia, en diferentes grupos, aunque no existe un límite muy preciso para cada uno de ellos. En el espectro electromagnético suelen diferenciarse las siguientes zonas: Rayos cósmicos Luz visible Rayos X Rayos gamma Longitud de onda (m) 10-15 Frecuencia (Hz) 10-14 10-13 1023 1022 10-12 1021 10-11 1020 10-10 1019 1018 10-9 10-8 1017 10-7 1016 Ondas radio Microondas Infrarrojo Ultravioleta U H F 10-6 1015 1014 10-5 10-3 10-4 1013 10-2 10-1 1011 1012 1010 100 109 C O R T A V H F 108 101 107 M E D I A 102 106 L A R G A 103 104 105 Ondas de radio: Son las utilizadas generalmente en telecomunicaciones como las ondas de radio y TV. Su frecuencia está comprendida entre unos pocos hercios hasta 109 Hz. Microondas: Su rango de frecuencias va desde 109 Hz hasta 1011 Hz. Se utilizan, por ejemplo, en los magnetrones de los radares, en la banda de UHF (Ultra High Frecuency) de TV, e incluso en los hornos de microondas de las cocinas. Infrarrojos: Desde 1011 Hz hasta 4·1014 Hz. Son las ondas emitidas por los cuerpos calientes. Nuestra piel detecta el calor y, por tanto, las radiaciones infrarrojas. Nosotros mismos emitimos ondas infrarrojas. Luz visible: Es una franja muy estrecha, entre 4·1014 Hz y 8·1014 Hz. En ella se encuentran las frecuencias que impresionan la retina del ojo humano, permitiendo la visión. Dentro de esta zona están las correspondientes a los diferentes colores que percibimos. Ultravioleta: Entre 8·1014 Hz y 1017 Hz. Estas radiaciones se deben a los electrones acelerados que se encuentran en los átomos excitados. Su energía es del mismo orden de magnitud que la que interviene en las reacciones químicas. El Sol es una fuente poderosa de radiación ultravioleta que ioniza los gases de una de las capas de la atmósfera terrestre: la ionosfera. La capa de ozono detiene gran parte de esta radiación; de lo contrario sería muy peligrosa para los seres vivos. En Medicina se utiliza para combatir algunas infecciones microbianas. Nuestra piel detecta la radiación ultravioleta, y nuestro organismo fabrica melanina para protegernos de ella. Rayos X: Entre 1017 Hz y 1019 Hz. Descubiertos por Roentgen, se producen cuando los electrones de átomos pesados que se encuentran en los orbitales internos, se excitan y saltan a otro orbital. Se utilizan en Medicina, en las radiografías, porque los huesos los absorben mejor que los tejidos blandos. Debido a su gran energía, una exposición prolongada a rayos X, sin la protección adecuada, es muy peligrosa para los seres vivos. Rayos gamma: Entre 1019 Hz y 1022 Hz. Se origina en los procesos de fisión y fusión nucleares. Su manipulación requiere de blindajes de protección. También es una radiación muy peligrosa para los seres vivos. Agustín E. González Morales 247 EJERCICIOS 1. Comprobar que las ondas armónicas satisfacen la siguiente ecuación diferencial: 2 2y 2 y v t 2 x 2 2. Uno objeto cuya masa se desconoce está suspendido de un muelle vertical de constante k. Cuando se estira el resorte una longitud A y se suelta, la masa oscila con una frecuencia f. Calcular: a) la masa; b) el alargamiento correspondiente a la posición de equilibrio del muelle; c) la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en cada instante. mg k Resp.: a) m 2 2 ; b) k 4 f c) x(t) = A sen (2ft); v(t) = 2fA cos (2ft + π/2); a(t) = –42f2A sen (2ft) 3. Un bloque de 2 kg está unido a un resorte horizontal cuya constante k vale 0.01 N/m. Si en el instante inicial el resorte no está deformado y la velocidad del bloque es 10 m/s. Calcular: a) La máxima deformación; b) la fuerza que ejerce el resorte en la posición de deformación máxima; c) el trabajo de la fuerza elástica entre las posiciones x = 0 y x = 0.1 m; d) el periodo del movimiento; e) si se separa el bloque del resorte cuando se mueve a 5 m/s y fricciona con una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0.2, calcular la distancia que recorre hasta pararse. Resp.: a) 100 4. 2 m; b) – 2 N; c) –5·10-5 J; d) 20 2 π s; e) 6.38 m Una barra horizontal AB, de masa despreciable, puede girar alrededor de un eje vertical que pasa por el extremo A. En la barra se encuentra un manguito de masa m, unido a un resorte de longitud Lo x Lo y rigidez k. El rozamiento del manguito con la barra es despreciable. ¿Qué energía hay que comunicarle al sistema para conseguir que gire lentamente hasta alcanzar la velocidad angular ω? Resp.: E 1 k m2 mk2 L2o 2 2 k m2 5. Una varilla horizontal AB gira alrededor de un eje vertical que pasa por A con una velocidad angular ω = 10 rad/s. Dos bolitas C1 y C2, de m = 60 gramos cada una, resbalan sin rozamiento a lo largo de la L2 L1 varilla. Las longitudes en reposo de los R1 R2 resortes R1 y R2 son L10 = 50 cm y L20 = 60cm. La rigidez de los resortes es k1 A B F1 F2 F2 = k2 = 156 N/m. Calcular la longitud C1 C2 final de ambos resortes y las tensiones que soportan. + Resp.: L1 = 56.8 cm; L2 = 64.6 cm F1 = 10.6 N; F2 = 7.17 N 6. Un pistón se mueve verticalmente con un M.V.A. de amplitud A = 10 cm. Determinar el máximo número de oscilaciones por minuto que puede realizar, sin que se separe de él un cuerpo colocado encima. Resp: 94.53 7. m M El coeficiente de rozamiento estático entre la masa m y el soporte de masa M es μ. Entre M y la superficie horizontal no hay rozamiento. Para determinar la constante k del resorte cuya longitud inicial es Lo, se coloca verticalmente y se cuelga de él una masa m1, observándose que entonces su longitud es L1. Calcular: Agustín E. González Morales 248 a) La constante del resorte; b) la amplitud máxima puede tener un M.V.A. del sistema sin que deslice m? m1g Mm Resp.: a) k ; b) A (L1 L o ) L1 L o m1 8. La fase inicial de un M.V.A es cero. Cuando la elongación es 2.4 cm su velocidad es 3 cm/s, y cuando la elongación es 2.8 cm la velocidad es 2 cm/s. Calcular la amplitud y el periodo. Resp.: 3.08 cm; 4.03 s 9. Una bala de masa m choca contra un bloque de masa M, horizontal, unido a un resorte, en equilibrio, y se incrusta en él (se desprecian los rozamientos del bloque con el suelo donde se apoya). Si tras el choque el sistema se pone a vibrar a f Hz con una amplitud A. Calcular: a) la velocidad de la bala antes del choque; b) el trabajo efectuado por la bala para incrustarse. Mm Resp.: a) v b 2Af ; b) W 2 2 A 2 f 2 (M m)(M m 1) m 10. Dos ondas se rigen por las ecuaciones y1 = 8 sen (1000t – 150x), y2 = 8 sen (1000t + 150x). Calcular la ecuación de la onda resultante y la distancia entre dos vientres consecutivos. Resp.: y = 16 sen 1000t cos 150x; x 150 11. Dos fuentes F1 y F2 que vibran con la misma fase producen en la superficie libre del agua ondas x x t t cuyas ecuaciones son y1 8 sen 2 ; y 2 4 sen 2 con x e y en cm. 0.01 10 0.01 5 Determinar la amplitud de la onda que se produce por interferencia en un punto P que dista 25 cm de F1 y 15 cm de F2. Resp.: – 4 cm 12. Un hombre se encuentra en un punto A en el segmento que une dos altavoces que vibran en fase, a 1.8 m de uno y a 3.2 del otro. Si la frecuencia a la que se observa interferencia destructiva total es 122 Hz, ¿cuál es la velocidad de fase? El hombre se traslada al punto B, situado a 2,4 m del A, en la perpendicular del segmento que une los dos altavoces, ¿cuál es la mínima frecuencia para que en B haya interferencia destructiva total? Resp.: 170.8 Hz 13. Un instrumento produce un sonido cuya frecuencia varía desde 150 a 850 Hz. Este sonido se recoge en un tubo que se bifurca en otros dos, cuyas longitudes son 3.1 y 4.8 m, que se vuelven a juntar, provocando que interfieran las dos ondas sonoras. ¿A qué frecuencias se producen los máximos y mínimos de la intensidad del sonido resultante? Velocidad del sonido 340 m/s Resp.: Máximos para 200, 400, 600 y 800 Hz. Mínimos para 300, 500 y 700 Hz 14. Dos trenes de ondas de 36 cm de longitud de onda y 1 cm de amplitud, se propagan por la misma dirección con una diferencia de marcha de 12 cm. En el instante t = ½ T, ¿cuánto vale la elongación de un punto cuya distancia al origen de la primera onda es 3 cm? Resp.: 1 cm 15. Una onda armónica de 100 Hz se propaga sin amortiguamiento en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 30 m/s. Si su amplitud es 5 cm, determinar su elongación 0.5 s después de pasar por un máximo. Resp.: 0.05 m 16. Sometemos el extremo de una cuerda tensa a vibraciones sinusoidales de 10 Hz. Si 20 cm es la mínima distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase es , calcular la longitud de onda y 5 la velocidad de fase. Resp.: 2 m; 20 m/s Agustín E. González Morales 249 17. La cuerda SOL de un violín tiene 30 cm de longitud. Cuando se toca sin pulsar vibra a 196 Hz. Las notas próximas de la escala son LA (220 Hz), SI (247 Hz), DO (262 Hz) y RE (294 Hz). a) ¿A qué distancia del extremo de la cuerda debe colocarse un dedo para que se generen esas notas?; b) Si se tensa a 1500 N, ¿qué masa debe tener la cuerda? Resp.: a) 3.27 cm; 6.19 cm; 7.56 cm; 10 cm; b) 32.54 gramos 18. Un alambre de 2 metros y 200 gramos, sujeto por ambos extremos, se tensa con 10 N. Calcular: a) la velocidad de fase que tiene una perturbación armónica que lo haga vibrar; b) la frecuencia fundamental; c) el tiempo que tarda un pulso en ir de un extremo a otro. Resp.: a) 10 m/s; b) 2.5 Hz; c) 0.2 s 19. Una cuerda de 1.8 m y 12 gramos, sujeta por ambos extremos, tiene 7 nodos (incluidos los de los extremos) y vibra a 100 Hz con vientres de 1 cm. Calcular la tensión a la que está sometida y la ecuación de la onda estacionaria. 10 Resp.: 24 N; y 0.01 sen x cos 200t 3 20. Una cuerda, sujeta por ambos extremos, tiene resonancias sucesivas con longitudes de onda de 0.54 m para el armónico n y 0.48 m para el armónico n + 1. Calcular la longitud de la cuerda, el valor de n y la longitud de onda del modo fundamental. Resp.: 2.16 m; n = 8; λ0 = 4.32 m 21. Una onda luminosa pasa a través de un prisma vidrio de caras planas y paralelas de espesor e, cuyo índice de refracción respecto al medio es n. Demostrar que la dirección de propagación del rayo emergente es paralela a la del rayo incidente y calcular el desplazamiento lateral existente entre ambos rayos para un ángulo de incidencia α. cos Resp.: d e sen 1 2 2 n sen 22. Se denomina prisma óptico al sistema formado por dos láminas planas unidas que forman un ángulo θ, como se representa en la figura. Calcular el valor del ángulo de desviación δ entre el rayo incidente α y el emergente β para θ = 30º, si α = 0º y el índice de refracción relativo al medio es n = 1.5. Resp.: 18.6º θ δ α ε2 )ε 1 γ φ2 φ1 ( β 23. Calcular el ángulo de Brewster para el vidrio (n = 1.5) y el aire (n = 1). Resp.: 41.81º 24. Si el índice de refracción del vidrio respecto al medio es 1.5, determinar los ángulos de incidencia y de refracción que permiten que la luz reflejada por una superficie de vidrio esté completamente polarizada. Resp.: 56.3º y 33.7º 25. Un foco de luz roja cuya longitud de onda es 0.7·10–6 m, produce interferencias a través de dos rendijas estrechas separadas 0.01 cm, ¿a qué distancia debemos colocar una pantalla para que las primeras franjas estén separadas 1 cm? Resp.: 1.428 m 26. Una cuerda vibra según la ecuación y = 5 sen x cos 40πt (en el S.I.). Calcular: a) la amplitud y 3 la velocidad de fase; b) la distancia entre un nodo y el vientre consecutivo; c) la velocidad de la partícula situada a 1.5 m del origen en el instante t = ¼ s. Resp.: a) 2.5 m; 120 m/s; b) 1.5 m; c) 0 m/s 27. Una onda plana penetra en un material cuyo coeficiente de absorción es 0.12 cm–1. Determinar la anchura de la capa que reduce la intensidad al 30% del valor inicial. Agustín E. González Morales 250 Resp.: 10 cm 28. Una onda plana que penetra en un material reduce su intensidad en 6 dB cuando recorre 15 cm. ¿Qué distancia debe penetrar para reducir su nivel de intensidad en 10 dB? Resp.: 25 cm 29. Un automóvil produce un ruido de 0.1 W. Si el sonido se irradia isotrópicamente en el hemisferio superior, calcular: a) la intensidad a una distancia de 30 m; b) el nivel de intensidad sonora a esa distancia; c) la distancia a la que el nivel de intensidad es 40 dB. Resp.: a) 1.77·10-5 W/m2; b) 72.47 dB; c) 1261.56 m 30. Un altavoz de potencia constante se oye hasta una distancia de 240 metros. ¿Cuál es el nivel de intensidad a 60 metros? Resp.: 12 dB 31. La bocina de un coche se oye hasta una distancia de 1 km. Calcular: a) el nivel de la intensidad sonora a 100 m; b) el número de bocinas iguales para que a los 100 metros el nivel de intensidad sonora sea de 60 dB. Resp.: a) 20 dB; b) 10000 32. Dos personas A y B distantes entre sí 10 m, están alineadas normalmente a una pared. Si la persona A, más alejada del muro, llama a B y ésta percibe la llamada directa con un nivel de intensidad de 20 dB, ¿a qué distancia se encuentra B de la pared si está situada donde deja de percibir el sonido reflejado en el muro? Resp.: 45 m 33. Una onda armónica esférica tiene una intensidad de 6·10–8 W/cm2 y una amplitud de 4 mm a 20 metros del foco. Si no hay absorción, calcular la energía emitida por el foco en un minuto y la amplitud de la onda a 40 metros del foco. Resp.: 180.96 J; 2 mm 34. Un coche se mueve a 17 m/s hacia una pared estacionaria. Su bocina emite ondas de 200 Hz que se propagan a 340 m/s. Calcular: a) la frecuencia con la que las ondas inciden en la pared; b) la longitud de onda del sonido delante del coche; c) la frecuencia de la onda reflejada en la pared que oirá el conductor del coche. Resp.: a) 210. 53 Hz; b) 1.615 m; c) 221.06 Hz 35. Un automóvil circula a 100 km/h perseguido por la policía a 120 km/h. La policía emplea su sirena que emite un sonido de 500 Hz, ¿qué frecuencia escuchará el automóvil si la temperatura del aire es 35 ºC? Resp.: 508.705 Hz 36. Un buque se dirige perpendicularmente hacia la costa que supondremos plana y vertical. A una cierta distancia se emite con la sirena del barco un sonido a una frecuencia f0, que se refleja en la costa y se percibe a bordo 5 segundos más tarde a una frecuencia f1 = 16/15 f0. Calcular la velocidad del barco y la distancia a la costa si la temperatura ambiente es de 15º C. Resp.: 11 m/s; 880 m 37. Un tren se mueve a 20 m/s. La frecuencia emitida por su silbato es de 50 Hz. Calcular: a) la longitud de las ondas recibidas por un observador fijo situado delante de la locomotora; b) ídem, detrás de la locomotora; c) la frecuencia recibida por un pasajero de otro tren que circula a 15 m/s, por delante, en una vía paralela, si se mueve en el mismo sentido; d) ídem, en sentido contrario. En todos los casos la velocidad del sonido es 340 m/s. Resp.: a) 6.4 m; b) 7.2 m; c) 50.78 Hz; d) 55.47 Hz 38. Un coche se separa de una pared a 90 km/h y se dirige hacia un observador emitiendo un sonido de 600 Hz. Además sopla un viento de 30 m/s en la dirección y el sentido del movimiento del vehículo. Calcular las frecuencias que percibe el observador: a) directamente del coche; b) después de reflejarse en la pared. Velocidad del sonido: 340 m/s. Resp.: a) 643.48 Hz; b) 555.22 Hz Agustín E. González Morales 251 TEMA XII MECÁNICA CUÁNTICA Radiación térmica Radicación térmica El cuerpo negro El efecto fotoeléctrico El efecto fotoeléctrico Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico La dualidad onda-corpúsculo de la luz La doble naturaleza de la luz Hipótesis de De Broglie. Cuantización de las órbitas de los electrones Mecánica cuántica ondulatoria. El principio de incertidumbre de Heisenberg Agustín E. González Morales 252 TEMA XII MECÁNICA CUÁNTICA RADIACIÓN TÉRMICA Radicación térmica Dos cuerpos, aunque no se estén tocando, pueden intercambiar calor si se encuentran a diferente temperatura porque emiten o absorben radiación térmica (o sea, rayos caloríficos) en forma de ondas electromagnéticas. Por ejemplo, un cuerpo se enfría porque emite más radiación térmica de la que absorbe; además, este proceso provoca que disminuya su energía interna. El cuerpo negro Se ha comprobado experimentalmente que la radiación térmica emitida por un cuerpo depende de su temperatura, pero también de otros factores como su composición química o la forma de su superficie. Para que la radiación térmica solo dependa de la temperatura y no se vea influida por los demás factores, se usa un modelo ideal denominado cuerpo negro que sería aquél que absorbe toda la radiación térmica que le llega. Además, como existe una relación directa entre la capacidad de absorción y de emisión, un cuerpo negro es tanto un absorbente como un emisor perfecto. En la Naturaleza no existen cuerpos auténticamente negros. En los laboratorios se emplean las llamadas cavidades negras, consistentes en hornos muy bien aislados cuyas paredes interiores están recubiertas de material negro absorbente, de manera que un pequeño orificio practicado en una pared actúa como un cuerpo negro, pues los rayos que penetran por él son totalmente absorbidos. En la figura se muestran las curvas experimentales de distribución de la cantidad de radiación emitida por un cuerpo negro a diferentes temperaturas. En ordenadas se presenta la radiancia espectral Rλ que indica la intensidad emitida a cada longitud de onda λ. Se aprecia que un cuerpo negro emite en todas las longitudes de onda presentando un espectro continuo. las curvas no se cortan, de manera que para todas las longitudes de onda aumenta la intensidad emitida al crecer la temperatura. cada curva tiene un máximo a una longitud de onda característica. El valor λmax disminuye a medida que aumenta la temperatura. Agustín E. González Morales 253 EL EFECTO FOTOELÉCTRICO El efecto fotoeléctrico A finales del siglo XIX se descubrió que cuando una superficie metálica, pulida y limpia, se ilumina con una luz de una frecuencia adecuada, dicha superficie emite electrones. En general, se suele necesitar luz ultravioleta para provocar la citada fotoemisión, pero con algunos metales alcalinos es suficiente la luz visible. Estudiemos las principales características de este fenómeno denominado efecto fotoeléctrico. Una célula fotoeléctrica o fotocélula es un tubo de cuarzo44, figura 1, dentro cual se ha hecho el vacío que contiene un colector (o ánodo) y una placa metálica (o cátodo) sobre la que inciden los rayos de luz. Cuando la placa metálica se ilumina con luz de una frecuencia superior a una cierta frecuencia umbral fo, característica de cada metal, se emiten electrones (también llamados fotoelectrones) a una velocidad v , y en el amperímetro se detecta una corriente I que, además, aumenta cuando se incrementa la intensidad de la radiación de luz. Pero, por debajo de fo no se produce corriente (si f < fo es I = 0). Al conectar un voltímetro y una batería con la polaridad indicada en la figura 2, aunque la diferencia de potencial V proporcionada por la batería ayudaría a que los fotoelectrones alcanzasen el colector gracias a la fuerza eléctrica F , no se produce este fenómeno hasta que de nuevo la frecuencia de la luz supere la umbral fo (si f < fo es I = 0). Pero, una vez que es f > fo la corriente I aumenta conforme lo hace V, hasta que, a partir de un valor de V, la corriente I se estabiliza en un valor constante IS que se llama corriente de saturación (ver figura 4). Por último, al conectar la batería con la polaridad contraria, figura 3, a partir de un cierto valor de la tensión, denominado potencial de frenado Vo (ver figura 4), la corriente cae a cero; es decir, ningún fotoelectrón es extraído del cátodo con una energía cinética superior a e·Vo, o sea: 1 E c max mv 2 eVo 2 max donde e = 1.602177·10-19 C es la carga del electrón. Además, en la figura 5 se observa que Vo no depende de la intensidad de la luz incidente, pero se hace más negativo al aumentar la frecuencia de dicha luz. 44 La razón de emplear cuarzo en vez de vidrio es que este material deja pasar la luz ultravioleta además de la luz visible. Agustín E. González Morales 254 El hecho de que la intensidad de la radiación no influya ni en el valor de la frecuencia umbral fo ni en el del potencial de frenado Vo es inexplicable desde el punto de vista de la teoría ondulatoria de la luz, pues al ir aumentando la intensidad luminosa (o sea, su potencia por unidad de superficie), cabría esperar que, a partir de un determinado valor de dicha intensidad luminosa, los electrones del cátodo recibirían la energía necesaria para escapar del metal, independientemente de los valores de fo y Vo. Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico En 1905, Einstein consiguió explicar el efecto fotoeléctrico45 empleando los siguientes postulados: – La luz, cuando actúa como radiación electromagnética, no sólo se absorbe o emite de forma discontinua, tal como ya había establecido anteriormente Plank, sino que también se propaga de esa manera. En definitiva, cualquier radiación electromagnética está constituida por paquetes o cuantos de energía que Einstein llamó fotones. – La energía con la que está dotado cada fotón Efotón es E fotón h f donde h = 6.626076·10-34 J·s es la constante de Plank y f la frecuencia de la radiación. – – 45 Según estas hipótesis, una luz de mucha intensidad luminosa es aquélla que tiene muchos fotones. Sin embargo, cada fotón posee una energía que sólo depende de la frecuencia de la radiación luminosa. El efecto fotoeléctrico no es un fenómeno colectivo, sino una interacción individual en la que un fotón, al chocar contra un electrón del metal del cátodo, le cede su energía. Si esta energía es suficiente, el electrón se libera del metal; en caso contrario, no podrá hacerlo; es decir, aunque se aumente la intensidad luminosa y por tanto el número de Einstein recibió el premio Nobel por la explicación del efecto fotoeléctrico. Agustín E. González Morales 255 fotones, si cada uno de ellos no posee por sí mismo la energía suficiente, no se arrancarán electrones de la placa metálica ni se producirá el efecto fotoeléctrico. – Cada fotón de radiación con la frecuencia umbral fo tiene la energía h·fo mínima necesaria para que un electrón sea extraído del cátodo. Tal cantidad de energía se denomina función trabajo o trabajo de extracción We: We h f o – Por tanto, la energía cinética máxima de los electrones emitidos cuando sobre el cátodo incide una radiación de frecuencia f > fo es E c max E fotón We conocida como ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico cuya gráfica se presenta en la figura 6 para diversos metales del cátodo. Ejemplo 1. a) ¿Cuántos fotones de luz roja (λ = 633·10-9 m) son emitidos cada segundo por un láser de helio-neón de una potencia P = 50 milivatios?; b) ¿Cuánta energía transporta un mol de dichos fotones? Solución: a) La energía de cada fotón es E fotón h f h c 3·108 6.63·10 34 3.14·10 19 J 9 633·10 La energía luminosa E emitida cada segundo es E = P t = 0.05·1 = 0.05 J Por tanto, el número n de fotones emitidos cada segundo es E n E fotón n E 0.05 1.6·1017 fotones E fotón 3.14·10 19 b) Un mol de fotones transporta el nº de Avogadro NA de fotones: E mol N A E fotón 6.022·10 23 ·3.14·10 19 1.9·105 J Agustín E. González Morales 256 Ejemplo 2. Sobre una placa metálica de frecuencia umbral 7.5·1014 incide una radiación ultravioleta de 250 nm. Calcular a) el trabajo de extracción; b) la energía cinética máxima de los fotoelectrones en julios (J) y electronvoltios (eV); c) la velocidad máxima de los electrones y d) el potencial de frenado. Dato: masa del electrón 9.1·10-31 kg. Solución: a) La función trabajo o trabajo de extracción es We = h fo = 6.63·10-34·7.5·1014 = 4.97·10-19 J b) La energía cinética máxima es E c max hf We 6.63·10 34 c) 3·108 2.5·10 7 4.97·10 19 2.98·10 19 J 2.98·10 19 1.6·10 19 eV 1.87eV La velocidad máxima de los electrones E c max 1 mv2 v 2 2E c max m 2·2.98·10 19 8.1·10 5 m / s 9.1·10 31 d) El potencial de frenado E c max e Vo Vo E c max 2.98·10 19 1.86 voltios e 1.6·10 19 LA DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO DE LA LUZ La doble naturaleza de la luz Las interferencias y los fenómenos de difracción y polarización, entre otros, ponen de manifiesto que la luz es una onda electromagnética. Sin embargo, los trabajos de Plank sobre el cuerpo negro o el comportamiento de la luz en los efectos fotoeléctrico y Compton demuestran que la luz actúa también como un conjunto de corpúsculos o partículas denominadas fotones. En definitiva, la luz tiene una doble naturaleza: ondulatoria y corpuscular, comportándose como una onda cuando se propaga y como un corpúsculo o fotón cuando interfiere con la materia; o sea, cuando se absorbe o emite. Las magnitudes características de una onda son la frecuencia f y la longitud de onda λ; mientras que las propias de una partícula son su energía E y su momento lineal p. En los fotones se cumple que f c ; Epc donde c es la velocidad de la luz en el vacío y E = p c es una expresión que tiene su origen en la teoría de la relatividad aplicada a la energía de una partícula de masa en reposo nula, como es el caso del fotón. Las hipótesis de Plank y la interpretación de Einstein de la energía transportada por un fotón permiten relacionar las dos naturalezas de la luz: Ehf h c pc por tanto Agustín E. González Morales 257 h p Hipótesis de De Broglie. Cuantización de las órbitas de los electrones En 1924, Louis de Broglie generalizó la naturaleza dual de la luz y la extendió a cualquier partícula material, postulando que toda partícula en movimiento tiene una onda asociada cuya longitud de onda es h mv donde m es la masa de la partícula y v su velocidad. Esta λ hipótesis fue confirmada tres años después cuando Thompson, Davisson y Germer obtuvieron el diagrama de difracción de los electrones que demostraba el comportamiento ondulatorio de estas partículas. La hipótesis de De Broglie permite interpretar físicamente la cuantización de las órbitas de los electrones, pues si un electrón tiene asociada una onda, sólo serán posibles aquellas órbitas en las que dicha onda fuese estacionaria, ya que, de lo contrario, la onda interferiría consigo misma y acabaría aniquilándose. En la figura 7 se presenta una onda estacionaria en una cuerda vibrante de longitud L. Obsérvese en la figura 8 que si L ≠ λ no se posible producir el mismo modo de vibración en la cuerda. De una manera similar sucede con las órbitas de radio R que describen los electrones: las únicas admisibles son aquéllas cuya longitud de onda sea un múltiplo entero n de la longitud de onda λ asociada al electrón; es decir 2πR n sustituyendo λ = h/(mv), se obtiene la ecuación del Bohr del momento angular: L m·v·R n h 2 Agustín E. González Morales 258 En la figura 9 se aprecian cuatro esquemas de las órbitas de un electrón para n = 1, 2, 3 y 4. También se muestra una órbita inviable para n = 4. Ejemplo 3. Calcular la velocidad ve a la que tiene que moverse un electrón (me = 9.1·10-34 kg) para que su longitud de onda asociada sea similar a la de rayos X de 0.01 nm y pueda experimentar difracción mediante un cristal. Solución: h h 6.63·10 34 ve 7.28·10 7 m / s meve m e 9.1·10 31 ·0.01·10 9 Se trata de electrones muy veloces pues se mueven a la cuarta parte de la velocidad de la luz. Ejemplo 4. Calcular la longitud de onda asociada a un proyectil de 1kg que se desplaza a 1000 m/s. ¿Se podría detectar su comportamiento ondulatorio? Solución: h 6.63·10 34 6.63·10 37 m mv 1·1000 No es posible realizar un experimento de difracción que permita detectar una longitud de onda tan pequeña. MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG La llamada Física clásica es esencialmente determinista; es decir, con sus ecuaciones es posible conocer, con exactitud y en todo momento, la posición de un punto material y su cantidad de Agustín E. González Morales 259 movimiento a nivel macroscópico, pero fracasa al intentar explicar el comportamiento microscópico de las partículas atómicas. Fue Heisenberg quien llegó a la conclusión de que «medir es perturbar»; o sea, cuando se ilumina una partícula para tratar de medir su posición o su velocidad, los fotones de la luz usados para verla chocan con ella perturbando la posición y la velocidad de dicha partícula. Heisenberg calculó el grado de imprecisión y llevó a la conclusión de que el producto de la imprecisión en la posición Δr por la imprecisión en la cantidad de movimiento Δp es r · p h 4 siendo h la constante de Plank. Es decir, si aumenta la precisión de la medida en la posición, Δr→0, empeora la medida simultánea de la cantidad de movimiento, Δp→ ∞, y viceversa. Este principio se aplica a otras parejas de magnitudes como por ejemplo la energía ΔE intercambiada en un proceso y el tiempo Δt que dura dicho intercambio: E · t h 4 En otras palabras, al observar una partícula no se puede afirmar dónde se encuentra, sino que existe una probabilidad, más o menos alta, de que se halle en una determinada posición o estado, ya que cualquier intento de comprobación provocaría un nuevo cambio. Basándose en la hipótesis de De Broglie y teniendo en cuenta el principio de incertidumbre, Heisenberg y especialmente Schrödinger desarrollaron una teoría matemática, conocida como Mecánica cuántica, con la que Schrödinger obtuvo una ecuación que generaliza los postulados de Bohr y explica el comportamiento de los electrones de cualquier átomo. Estos investigadores se basaron en que la cuantización de los niveles energéticos está relacionada con los valores permitidos de las longitudes de onda asociadas a los electrones. Pero, para ello ya no se debe pensar en un electrón concebido como una partícula puntual, sino que hay que imaginárselo «disperso» por su órbita de manera que, si se conoce con exactitud su posición, se sufre una gran imprecisión al intentar medir su velocidad, y viceversa. En estas condiciones se hace imprescindible desechar el concepto de órbita interpretada como una trayectoria perfectamente determinada en la que se conocen –con precisión y a la vez– la posición y la velocidad de los electrones, y en su lugar se deben manejar las probabilidades de encontrarlos en una posición o estado. Por eso la Mecánica cuántica emplea en lugar de las órbitas los orbitales definidos como las zonas donde es más probable encontrar a los electrones. La piedra angular de la Mecánica cuántica ondulatoria es la ecuación de ondas de Schrödinger, con la que se calcula la función de onda de los electrones que establece los niveles energéticos permitidos mediante los números cuánticos n, l y m, y determina los orbitales atómicos, llamados s, p, d y f, que evalúan la probabilidad de encontrar a los electrones en una zona del espacio. Por último, es interesante señalar que cuando en la Mecánica cuántica se emplean masas lo suficientemente grandes, se consiguen los mismos resultados que los que obtendría la Mecánica clásica. Ejemplo 5. Se conoce que el error cometido la medir la velocidad de un electrón es del 1%. Si se mueve a 2·106 m/s, calcular la imprecisión en el conocimiento de la posición. Dato: masa del electrón: me = 9.1·10-34 kg. Solución: Como la masa me no está sujeta a las restricciones del principio de incertidumbre, la indeterminación de la cantidad de movimiento es Agustín E. González Morales 260 Δp = me Δv = 9.1·10-34 ·0.01·2·106 = 1.82·10-26 y según la expresión de Heisenberg x h 6.63·10 34 2.9·10 9 m 4p 4 ·1.82·10 26 Se trata de una imprecisión despreciable a nivel macroscópico, pero enorme para un electrón, pues es una diez veces mayor que el tamaño del átomo. Agustín E. González Morales 261 TEMA XIII FÍSICA NUCLEAR El núcleo atómico El núcleo atómico Elemento químico, núclido e isótopo Unidad de masa atómica, u Masa y energía Interacciones nucleares Interacción nuclear fuerte Energía de enlace nuclear Interacción nuclear débil Radiactividad Radiaciones α, β+, β─ y γ Familias o series radiactivas Desintegración radiactiva Velocidad de desintegración radiactiva Ley integrada de la desintegración radiactiva Período de semidesintegración T0.5 Vida media τ Reacciones nucleares de fisión y fusión Reacción nuclear de fisión Reacción nuclear de fusión Efectos de la radiación Efectos biológicos Dosis de radiación Aplicaciones de la radiactividad Agustín E. González Morales 262 TEMA XIII FÍSICA NUCLEAR EL NÚCLEO ATÓMICO El núcleo atómico El núcleo –la parte más pesada del átomo– tiene un radio comprendido entre 1.2 y 7.5 F, mientras que el radio del átomo46 es del orden de 1 Å, unas 10.000 veces mayor. El núcleo está compuesto por partículas con masa denominadas nucleones. Estas partículas son los protones y neutrones. Cada protón tiene la misma carga que el electrón, pero positiva; los neutrones no tienen carga. Para caracterizar un núcleo hay que conocer el número de protones y neutrones que lo componen. Para ello se define El número atómico Z. Es el número de protones que tiene el núcleo. Coincide con el número de electrones si el átomo no está ionizado. El número másico A. Es el número de nucleones; es decir, la suma de protones (Z) y neutrones (N): A Z N Las propiedades químicas del átomo dependen del número de electrones que tiene en sus orbitales, especialmente de los situados en el orbital más externo. Sin embargo, las propiedades físicas del átomo (punto de fusión y ebullición, comportamiento radiactivo, etc.) están relacionadas con la composición de su núcleo. Elemento químico, núclido e isótopo Un elemento químico está formado por un conjunto de átomos que se caracterizan por poseer el mismo número atómico Z, es decir, el mismo número de protones. Un núclido es cada especie nuclear definida por su número atómico Z y por su número másico A. La forma de representar un núclido es AZ X, donde X es el símbolo del elemento químico. En la tabla se muestran algunos ejemplos. En general, los elementos químicos son el resultado de una combinación de diversos núclidos, todos ellos con el mismo número atómico Z, pero con diferente número másico A. Aunque se conocen 89 elementos químicos naturales y 22 artificiales, el número de núclidos es enorme: unos 340 naturales, de los cuales unos 60 son radiactivos, y más de 1500 artificiales, todos radiactivos. 46 Para medir longitudes en Física nuclear se suele emplear el fermi (F) o fentómetro (fm) y el angstrom (Å). Sus equivalencias son: 1 F = 1 fm = 10-15 m; 1 Å = 10-10 m Agustín E. González Morales 263 Los isótopos de un elemento químico X son los núclidos que tienen el mismo número atómico Z que X, pero distinto número másico A. Por lo tanto, dos isótopos se diferencian entre sí por el número de neutrones N. Por ejemplo, el 12 6C y el 14 6C son isótopos del carbono, llamados carbono–12 y carbono–14, respectivamente. Los isótopos del hidrógeno son el protio 11 H, , el deuterio 21 H y el tritio 31 H . Ya que todos los isótopos de un elemento están dotados con el mismo número de protones y, por tanto, de electrones, tienen idénticas propiedades químicas, pero diferentes propiedades físicas. Además, la proporción (o el tanto por ciento de abundancia) que guardan entre sí los isótopos naturales de un elemento químico es prácticamente constante, sea cual sea la fuente de procedencia del citado elemento. Unidad de masa atómica, u Para contabilizar de forma práctica la masa de los átomos, los núcleos y las partículas subatómicas se utiliza la unidad de masa atómica u definida como la doceava parte de la masa del carbono-12. Un mol de carbono–12 tiene una masa de 12 gramos y contiene el número de Avogadro de átomos de este isótopo, entonces: 1u 12g / mol de 126 C 1 1.66054·10 27 kg 12 6.022·1023 átomos/mol Por lo tanto, la masa de un átomo de carbono-12 es exactamente 12 u. El resto de las masas atómicas, medidas en u, siempre es un número con decimales. Agustín E. González Morales 264 Partícula Carga eléctrica (Culombios) Protón 1.6021892·10-19 Neutrón 0 Electrón –1.6021892·10-19 Masa ( Kg y u) 1.6726485·10-27 kg 1.007276 u 1.6749543·10-27 kg 1.008665 u 9.109534·10-31 kg 5.4859·10-4 u Radio (fermis) 1.2 1.2 ~0 Ejemplo. El antimonio Sb que se halla en la naturaleza está formado por dos isótopos cuyas masas atómicas son 123 u y 121 u. Calcular en qué proporción se encuentran. Dato: la masa atómica promedio del antimonio natural es 121.8. Solución: Sea x el tanto por uno de abundancia del primer isótopo. Entonces, la abundancia del segundo isótopo es 1 – x. Se debe cumplir que 121.8 = 123x + 121(1 – x) → x = 0.4 o sea el 40% Por tanto el Sb–123 representa el 40% y el Sb–121, el 60%. MASA Y ENERGÍA En 1897, Thomson, experimentando sobre las desviaciones producidas por campos eléctricos y magnéticos en el movimiento de un electrón que se introduce en su seno, midió la relación que existe entre la carga y la masa del electrón: qe/me = 1.76·1011 C/kg. Posteriormente, otros investigadores comprobaron que al aumentar la velocidad del electrón sometido a dichos campos, la relación qe/me variaba. Concretamente, Kaufmann y Bucheler revelaron que, si un electrón se movía a la mitad de la velocidad de la luz, se producía una disminución del 15 por ciento en el valor de la relación qe/me. Fue Einstein, en 1905, quien manifestó que el principio que establece que «la materia no se crea ni se destruye, sólo se transforma», enunciado por Lavoisier en 1789, debía ser reconsiderado para masas en movimiento. Einstein estableció que la masa varía con la velocidad v según la expresión: m mo v 1 c 2 donde mo es la masa en reposo y c la velocidad de la luz. El valor de la masa calculada con la ecuación anterior concuerda con las experiencias de Kaufmann y Bucheler. Obsérvese que para velocidades pequeñas, como las utilizadas en la Mecánica clásica, la diferencia entre m y mo es despreciable. Partiendo de la ecuación de Einstein, se puede calcular el trabajo realizado por una fuerza F que actúa sobre una partícula de masa m que parte del reposo hasta adquirir una velocidad v: Agustín E. González Morales 265 v v 0 0 W F·dr v d (mv ) ·dr v d(mv) dt 0 Integrando por partes: v W mv 2 mv dv 0 es decir v W mv 2 0 mo v 1 c 2 v dv La integral anterior se resuelve realizando el cambio de variable v t 1 c 2 que conduce a la expresión W c 2 ( m m o ) c 2 m Este resultado se interpreta afirmando que al hacer un trabajo sobre una partícula, se le proporciona una energía E que produce una variación de masa cuyo valor es m E c2 A velocidades pequeñas esta variación de la masa es despreciable, pero se ha podido medir en los aceleradores de partículas, en los cuales sus velocidades son muy próximas a las de la luz, porque esta variación de masa produce alteraciones en las trayectorias de dichas partículas. Esta identidad entre masa y energía indujo a Einstein a enunciar que los dos principios de la Mecánica clásica, conservación de la masa y conservación de la energía, se confunden dentro de la Teoría de la Relatividad. INTERACCIONES NUCLEARES Interacción nuclear fuerte Los nucleones son partículas con masa, por tanto generan campos gravitatorios que provocan que se atraigan entre sí; pero, como los protones tienen carga, se manifiestan también campos eléctricos de repulsión entre ellos. Ya que la intensidad de los campos eléctricos es del orden de 1036 veces más elevada que las de los campos gravitatorios, debemos aceptar la existencia de otro campo de una intensidad muy superior (unas 1040 veces mayor que la gravitatoria), llamado interacción nuclear fuerte, que proporciona cohesión al núcleo manteniendo unidos a todos los nucleones, estén o no cargados; es decir, actuando por igual entre protones, entre neutrones y entre protones y neutrones. Agustín E. González Morales 266 Además, esta interacción es de muy corto alcance ya que sólo se manifiesta entre partículas que se encuentren a distancias de unos 10-14 a 10-15 metros; pues si pudiese tener mayor alcance intervendría en la formación de las moléculas, lo cual se ha comprobado experimentalmente que no sucede. Energía de enlace nuclear Una forma de evaluar la magnitud de la interacción nuclear fuerte es calcular la energía empleada en disgregar un núcleo en sus partículas, conocida como energía de ligadura o de enlace nuclear. Esta energía proviene de la pérdida de masa que experimentan las partículas que componen el núcleo cuando se unen para constituirlo. Por ejemplo, consideremos la masa teórica mt que debería tener un núcleo de deuterio, el deuterón, formado por un protón y un neutrón: mt = mp + mn = 1.6726485·10-27 kg + 1.6749543·10-27 kg = 3.3476028 ·10-27 Sin embargo, al hacer la medida experimental de la masa en reposo del deuterón mo, se obtiene el valor 3.34358320·10-27 kg; por tanto, ha habido una pérdida de masa en la formación del núcleo, cuyo valor es Δm = mt – mo = 4.0196 ·10-30 kg Entonces, la energía de enlace es E = Δm·c2 = 4.0196 ·10-30(2.99792458·108)2 = 3.61262·10-13 J Esta energía sería también la que se necesitaría para romperlo una vez formado. Para tener una idea más clara de lo que representa, calculemos la que se liberaría al disgregar 100 gramos de deuterones en los protones y neutrones que lo forman: E un gramo de deuterones 3.61262·10 13 ·10.1 1.08046·1013 J 3.3458320·10 27 Esta energía sería suficiente para que un automóvil de gama media recorriera unos 1.800.000 km. Al representar la energía de enlace por nucleón, es decir, la que por término medio debe suministrarse a un núcleo para arrancarle uno de sus nucleones, se aprecia que crece con el Agustín E. González Morales 267 tamaño del núcleo y su número másico A. Obsérvese que existen núcleos ligeros especialmente estables, que escapan de la tendencia general, como 4He, 12C y 16O, entre otros. La energía media de enlace por nucleón es un buen indicador de la mayor o menor estabilidad nuclear. En la gráfica se aprecia que los mayores valores se alcanzan en los núcleos comprendidos entre A = 40 y A = 80. Obsérvese también que prácticamente no varía para valores de A superiores a 20; lo que significa que la interacción entre los nucleones tiene lugar solamente entre aquellos que se encuentran próximos entre sí, independientemente del número total de nucleones que halla en un núcleo. Interacción nuclear débil Además de la interacción fuerte, existe otra, denominada interacción nuclear débil, cuya intensidad es unas 1025 veces mayor que la gravitatoria, con un alcance de unos 10-17 metros, que se encarga de la estabilidad interna de los protones y neutrones. Esta interacción es la responsable de las emisiones radiactivas β– y β+ que veremos más adelante. RADIACTIVIDAD La radiactividad es el proceso de ruptura espontánea de núcleos inestables que se manifiesta en la emisión espontánea de radiaciones penetrantes y en la transformación o transmutación de un núcleo en otro diferente. Estos núcleos pueden encontrarse en la naturaleza o ser creados artificialmente, clasificándose la radiactividad en natural o artificial según el tipo de núcleo empleado para producirla. En la figura se representa la posición que ocupa cada núclido, según el número de protones Z y de neutrones N que posee. Se observa que los núcleos ligeros estables tienen un valor parecido de N y Z; pero, a medida que se hacen más pesados, se tiende a que N sea mayor que Z para garantizar que la interacción nuclear fuerte contrarreste la repulsión electrostática. Ya que la interacción nuclear fuerte sólo se manifiesta entre los nucleones que se encuentran próximos entre sí, pero la repulsión electrostática afecta a todos los protones, los núcleos muy pesados son inestables. Por eso no hay núcleos estables con Z > 83. Radiaciones α, β+, β─ y γ La ruptura o desintegración radiactiva de núcleos inestables está acompañada de la emisión de una o varias radiaciones que se denominan α, β─, β+ y γ. En todas estas desintegraciones se cumplen las siguientes leyes de conservación: – de la energía de la cantidad de movimiento de la carga del número de nucleones Radiación α La radiación α es en realidad una partícula, concretamente un núcleo de helio 4 2 He , emitida por los núcleos pesados (con Z muy grande). El proceso que tiene lugar es el siguiente: Agustín E. González Morales 268 A A 4 4 Z X z2Y 2 La radiación α tiene un escaso poder de penetración pues puede ser frenada por una hoja de papel o una capa de unos cuantos centímetros de aire; pero, debido a su elevada masa, tiene una gran capacidad de ionizar la materia que atraviesa. – Radiación β+ La emisión de partículas β+ es característica de los núcleos muy ricos en protones. Consiste en la desintegración de un protón p que se transforma en un neutrón n, un positrón e+ (o sea, la antipartícula del electrón, con su misma masa y una carga igual a la del protón) y un neutrino . El proceso que tiene lugar es el siguiente: 1 1 0 0 1 p 0 n 1 e 0 de manera que el núcleo X se convierte en Y de la siguiente forma: A A 0 Z X Z 1Y 1 e 00 Los núclidos que se desintegran en un proceso β+ no existen en la naturaleza. Todos han sido creados en el laboratorio, en las centrales nucleares o en explosiones atómicas. El positrón tampoco existe en la naturaleza. Es antimateria que, cuando se encuentra con un electrón, provoca la aniquilación de ambos, desapareciendo los dos y transformándose en energía en forma de radiación γ. – Radiación β─ La emisión de partículas β─ es característica de los núcleos muy ricos en neutrones. Consiste en la desintegración de un neutrón n que se transforma en un protón p, un electrón e y un antineutrino . El proceso que tiene lugar es el siguiente: 1 1 0 0 0 n 1 p 1 e 0 de manera que el núcleo X se convierte en Y de la siguiente forma: A A 0 0 Z X Z 1Y 1 e 0 El neutrino y su antipartícula el antineutrino carecen de carga y su masa en reposo es cero, de ahí que no interaccionen con la materia; por ejemplo, el Sol emite un flujo de neutrinos que atraviesa la Tierra sin producir apenas alteraciones. Las radiaciones β se mueven a una velocidad muy cercana a la de la luz (del orden de 0.09995 c); tienen un poder de penetración más elevado que las α, pues se precisa una lámina de plomo de unos 2 mm de espesor o una capa de unos 10 m de aire para detenerlas; sin embargo, al ser electrones más ligeros que las partículas α, son menos ionizantes. – Radiación γ La emisión γ es radiación electromagnética constituida por fotones muy energéticos con un poder de penetración muy alto, ya que se necesita un gran espesor de hormigón o una plancha de plomo para detenerla, pero su capacidad de ionización es muy baja. La emisión γ no provoca que el núcleo se transforme en otro diferente. Se produce cuando el núcleo pasa de un estado excitado (representado mediante un asterisco) a otro de menor energía. El proceso es: Agustín E. González Morales 269 A * A 0 Z X Z X 0 La radiación γ se emite porque, en general, un núcleo obtenido tras una emisión α o β no se encuentra en su estado más bajo de energía; de manera que, para estabilizarse, emite el exceso de energía en forma de radiación γ. Por ejemplo: 12 * 12 6C 6C (4.4 MeV ) El proceso es similar –aunque mucho más intenso– al que sucede en el átomo cuando un electrón, situado en un nivel superior de energía, salta a otro inferior emitiendo para ello radiación electromagnética. FAMILIAS O SERIES RADIACTIVAS Los esposos Curie detectaron polonio (Po) y aislaron cantidades muy pequeñas de radio (Ra) a partir de varias toneladas de uranio (U). El Po y el Ra son muy radiactivos y no tienen ninguna relación química con el U; entonces, surge la siguiente pregunta: ¿Qué hacían el Po y el Ra en los minerales de U? La explicación es que forman parte de una cadena de procesos radiactivos en los que el Po y el Ra constituyen un eslabón intermedio. Estas cadenas son las familias o series radiactivas. Se conocen tres series radiactivas naturales: la del Torio (Th), la del Uranio (U) y la del actinio (Ac) que comienzan en un núclido muy poco radiactivo y terminan en un núcleo estable de plomo (Pb). Existe otra serie, la del neptunio (Np), que se ha obtenido completa artificialmente: comienza en el plutonio (Pu) o en el Np y finaliza en el bismuto (Bi). – Serie del torio. Comienza en el Th–232 y finaliza en el Pb–208. Los números másicos de los núclidos satisfacen la expresión A = 4n, con n entero. – Serie del uranio. Comienza en el U–238 y finaliza en el Pb–206, con A = 4n + 2. – Serie del actinio. Comienza en el U–235 y finaliza en el Pb–207, con A = 4n + 3. Hay que tener en cuenta que el Pu–239, que sería en realidad el que encabezara la serie, es demasiado radiactivo para la antigüedad de la Tierra, todo él se ha convertido ya, en la actualidad, en U–235. Agustín E. González Morales 270 – Serie del neptunio. Comienza en el Pu–241 o en el Np–237 y finaliza en el Bi–209, con A = 4n + 1. Como los que encabezan la serie son demasiado radiactivos, ya se han desintegrado totalmente desde la formación de la Tierra. En los minerales del U y Th hay, en mayor o menor medida, átomos de todos los elementos de sus series radiactivas. La proporción de Pb contenido en estos minerales permite conocer la antigüedad de su formación. La mayoría de los elementos radiactivos naturales pertenecen a alguna serie. Son excepciones notables el potasio K–40 y el rubidio Rb–87. Algunos radioisótopos de vida corta, como el C–14 y el H–3, se regeneran continuamente en las capas altas de la atmósfera, pues de lo contrario no sería posible su existencia actual. DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Cada especie radiactiva tiene su ritmo de desintegración que depende exclusivamente de su naturaleza, sin que en él influyan factores externos, tantos físicos como químicos. Por ejemplo, el proceso de desintegración del U–238 sólo depende de cuántos núcleos U–238 se hallan presentes en la muestra en estudio, sin que la presión, la temperatura o el estado químico del uranio influyan en ello. Velocidad de desintegración radiactiva La velocidad de desintegración A, también llamada actividad o tasa de desintegración, es el número de desintegraciones dN que se producen en un intervalo dt. Se ha comprobado experimentalmente que A es proporcional al número N de núcleos presentes en cada instante: A dN N dt donde λ es la constante radiactiva, característica de cada emisor. El signo menos indica que N disminuye con el tiempo. La unidad de A en el SI es el becquerel, Bq, que representa la actividad de una muestra radiactiva en la que se produce una desintegración nuclear cada segundo. Otra unidad muy utilizada es el curio, Ci, definida como la actividad de un gramo de radio (1 Ci = 3.7·1010 Bq). Agustín E. González Morales 271 Ley integrada de la desintegración radiactiva Agrupando variables en la expresión anterior e integrando, resulta: N No t dN N N t dt ln N N t t 0 ln t o N No 0 es decir N N o exp(t ) siendo No el número de núcleos presentes en el instante inicial t = 0 del experimento. Como A = λN, entonces Ao = λNo, por tanto: A Ao exp(t ) Si en vez de N, se dispone de la masa m de un conjunto de núcleos radiactivos, se obtiene una expresión análoga. En efecto, sea NA el número de Avogadro y M la masa de un mol, entonces: N m m N A ; No o N A M M por tanto m mo exp(t ) Período de semidesintegración T0.5 El periodo de semidesintegración o período de semivida T0.5 es el tiempo que transcurre para que se reduzca a la mitad el número de núclidos radiactivos presentes en una muestra. Por tanto: No N o exp(T1/ 2 ) 2 despejando T0.5: T0.5 ln 2 Obsérvese que T0.5 es independiente del tamaño de la muestra; por tanto, se trata de un parámetro característico de cada núclido radiactivo. En la tabla se presentan algunos ejemplos. Vida media τ Un valor estadístico muy útil es la esperanza de vida o vida media τ de un núcleo radiactivo que representa el tiempo medio necesario para que se produzca su total desintegración: Agustín E. González Morales Núclido Berilio–8 Aluminio–28 Iodo–131 Estroncio–90 Carbono–14 Uranio–238 T0.5 10-16 segundos 2.25 minutos 7.3 días 28 años 5730 años 4.5·109 años 272 t·N(t)dt t·N 0 N(t)dt N 0 o exp(t )dt 0 o 1 exp(t )dt 0 1 T0.5 ln 2 Ejemplo 1. Una muestra radiactiva contiene 1010 núclidos cuya actividad es de 10 desintegraciones por segundo. ¿Cuántos núclidos habrá al cabo de un año? Solución: Particularizando N(t) = No exp(–λt) para No = 1010 núclidos y t = 1 segundo: N(1) = 1010 exp(–λ) si la actividad es de 10 desintegraciones cada segundo, entonces N(1) también es N(1) = No –10 = 1010 – 10 por tanto 1010 exp(–λ) = 1010 – 10 es decir exp(–λ) = 1 – 10–9 y para un año N(1año) = 1010 exp(–λ) 365·24·60·60 = 1010 (1 – 10–9)365·24·60·60 = 9.69·109 núclidos Ejemplo 2. Se dispone de una muestra radiactiva de 80 mg de Rn–222 (λ=0.182 días–1).a) ¿Qué cantidad quedará al cabo de una semana? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad se reduzca a 10 mg? Solución: a) Para t = 7 días: m(7) = 80 exp(–0.182·7) = 22.38 mg b) Despejando t 1 m 1 10 t ln ln 11.435 días mo 0.182 80 Ejemplo 3. La actividad del C–14 contenido en la madera de un sarcófago es el 60% de la que tiene la madera actual. Determinar su antigüedad sabiendo que el periodo de semidesintegración del C–14 es de 5730 años. Solución: λ = ln 2/T0.5=ln 2/5730= 1.21·10–4 años-1 Como A = 0.6 Ao, entonces Agustín E. González Morales 273 0.6 Ao = Ao exp (–1.21·10–4t) Despejando t: t 1 1.21·10 4 ln 0.6 4220 años REACCIONES NUCLEARES DE FISIÓN Y FUSIÓN Los procesos en los que se transforma un núcleo en otro mediante el bombardeo con otros núcleos o con proyectiles adecuados (generalmente núcleos ligeros, neutrones, protones o partículas α) se denominan reacciones nucleares. Para evaluar las reacciones nucleares se emplea la siguiente notación: A1 A2 Z1 X1 Z 2 X 2 A ··· Z1' Y1 1' A2' Z 2 ' Y2 ··· Por ejemplo, los esposos Curie bombardearon una lámina de aluminio con partículas α y obtuvieron un neutrón y un isótopo radiactivo del fósforo cuya vida media es de 2.5 minutos: 27 4 30 1 13 Al 2 15 P 0 n En las reacciones nucleares se mantiene constante la carga eléctrica (Z1 + Z2 +··· = Z1’ + Z2’ +···) y el número de nucleones (A1 + A2 +··· = A1’ + A2’ +···). Las reacciones nucleares pueden ser de fisión y de fusión. Reacción nuclear de fisión Una reacción nuclear de fisión es aquélla en la que núcleos pesados (como el U–235 y el Pu– 238) se dividen en otros más ligeros de tamaño variable. La primera fisión nuclear se realizó en 1938 bombardeando U–235 con neutrones, según la siguiente reacción: 235 92 U 01n 141 56 Ba 92 36 Ba 3 01n Para el U–235 la energía de enlace por nucleón es de 7.6 MeV y la de los productos resultantes es de unos 8.5 MeV. Como intervienen 235 nucleones, la energía desprendida en el proceso es aproximadamente: 235 · (8.5 – 7,6) = 211,5 MeV. Ejemplo. Sabiendo que la combustión de un kilogramo de gasolina genera 4.1·107 julios, determínese la masa de gasolina que debería quemarse para obtener la misma energía que la producida en la fisión de un kilogramo de U–235. Solución: El número de núcleos de U–235 que hay en 1 kg es: 1000 mol·6.022·10 23 núcleos / mol 2.5625·10 24 núcleos 235 La energía liberada en la fisión es: 2.5625·10 24 núcleos·21 1.5 MeV·1.6022 ·10 -13 J / MeV 8.6836·1013 J Agustín E. González Morales 274 La cantidad de gasolina necesaria es 8.6836·1013 J / 4.1·10 7 2.12·10 6 kg Es decir, se necesitarían más de 2000 toneladas de gasolina para producir la misma energía que con 1 kg de U–235. Como en la reacción nuclear se producen tres neutrones, estos, a su vez, pueden bombardear más núcleos de U–235, provocando una reacción nuclear en cadena que desprendería una enorme cantidad energía. Este fenómeno es el que se produce durante el estallido de una bomba nuclear de fisión como las empleadas en Hiroshima y Nagasaki. Pero, si solo se usa un neutrón para continuar con el proceso de fisión, se dice que la reacción está controlada. Es lo que sucede en los reactores nucleares, donde los dos neutrones sobrantes se capturan con ciertos materiales como el boro y el cadmio que se caracterizan por poseer un núcleo ávido de neutrones. Además, en la fisión la energía cinética de los neutrones es superior a 1 MeV; para que sean más fácilmente absorbidos por el U–235 conviene frenarlos hasta aproximadamente 1 eV; este proceso se consigue mediante moderadores como el agua y el grafito. En las centrales nucleares, la gran cantidad de energía liberada en la fisión se utiliza para calentar agua y convertirla en vapor. Este vapor se emplea en unas turbinas que mueven los generadores de corriente eléctrica. Los residuos nucleares, que se generan como productos de la fisión, contienen muchos neutrones que experimentan una serie de desintegraciones β muy contaminantes y extremadamente peligrosas para la salud. De ahí que el tratamiento y almacenamiento de los residuos nucleares sea el mayor inconveniente que entraña el uso de la energía nuclear. Reacción nuclear de fusión Una reacción nuclear de fusión es aquélla en la que dos núcleos muy ligeros (generalmente isótopos del hidrógeno) se unen para formar un núcleo más pesado con mayor energía de enlace por nucleón. Como la energía de repulsión electrostática aumenta con el número atómico Z, la fusión sólo se dará entre núcleos menos pesados, aumentando la dificultad para que se produzca conforme crece Z. Por ejemplo, en la reacción de fusión 2 1H 21H 42 He Agustín E. González Morales 275 la energía de enlace por nucleón para el hidrógeno es de unos 1.2 MeV, y para el helio, de unos 7.1 MeV; teniendo en cuenta que están involucrados cuatro nucleones, la energía desprendida en el proceso es aproximadamente: 4 · (7.1 – 1.2) = 23.6 MeV, lo que sugiere la posibilidad de usar la fusión como fuente energética a partir de materias primas muy abundantes, pues el hidrógeno se puede extraer del mar en cantidades prácticamente inagotables. Una reacción nuclear de fusión que ya se ha empleado en bombas termonucleares, es: 2 3 4 1 H 1 H 2 He 01n Esta reacción es la que se está investigando en el proyecto ITER47. Para determinar la energía liberada se calcula primero el defecto de masa (masas nucleares del H–2: 2.0136 u; del H–3: 3.0155 u; del He–4: 4.0015; del neutrón: 1.0087): Δm = mH-2 + mH-3 – mHe – mn = 2.0136 + 3.0155 – 4.0015 – 1.0087 = 0.00189 u Δm = 0.00189 u ·1.66·10–27kg/u = 3.138 10–29 kg La energía liberada es E = Δm · c2 = 3.138 10–29 kg·(3·108 m/s)2 = 2.824·10–12J = 17.6 MeV con un rendimiento superior al de las reacciones de fisión, ya que se consiguen más de 3 MeV por nucleón. Para obtener energía de fusión controlada se necesita que la temperatura en el reactor sea de unos diez millones de grados con el fin de conseguir un plasma de hidrógeno (gas denso ionizado) similar al que existe en el interior del Sol y las estrellas en donde se produce la siguiente reacción: 4 11H 42 He 2 e 24.7 MeV Como no se conoce ningún material que permita construir un reactor que resista esas temperaturas, se están investigando dos procedimientos: el confinamiento magnético, a base de campos electromagnéticos que aislan al plasma del resto del reactor; y el confinamiento inercial que consiste en mantener en suspensión gotas de hidrógeno bombardeadas por potentísimos rayos láser que las calientan a la temperatura requerida. El problema es conseguir el tiempo suficiente de confinamiento del plasma para que se mantenga la reacción sin que descienda la presión y la temperatura. Hasta la fecha, las reacciones de fusión controlada consumen más energía que la que producen. Por tanto, no se pueden construir todavía centrales de fusión que, en principio, tienen la enorme ventaja de que serían limpias, pues no generarían residuos contaminantes. 47 El proyecto ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) se inició en 1986 para comprobar la viabilidad de emplear la fusión nuclear. El ITER se está construyendo en Cadarache (Francia), con la colaboración de muchos países, entre ellos España. Se pretende construir un reactor que genere 500 Megavatios de forma continua. La inversión económica es tan grande que sólo es superada por la de la Estación Espacial Internacional. Iter, además, significa el camino en latín, y en este doble sentido se inspira la intención de emplear la fisión nuclear como fuente de energía para fines pacíficos. Agustín E. González Morales 276 EFECTOS DE LA RADIACIÓN Efectos biológicos Desde que se comenzó a trabajar con la radiactividad, se puso de manifiesto el peligro que entraña para los seres vivos la exposición a la radiación. Sus efectos dependen del órgano afectado, de la intensidad y del tipo de radiación. Los daños pueden ser desde quemaduras más o menos graves hasta alteraciones del ADN que incluso pueden terminar con la vida del individuo expuesto. Todos estamos soportando dosis variables de radiaciones que no perjudican a la salud pues provienen de fuentes naturales como: – La radiación cósmica, formada por partículas subatómicas y fotones que alcanzan la Tierra e interaccionan con átomos de las capas altas de la atmósfera, produciendo una gran variedad de partículas que inciden sobre los seres vivos. – El aire que respiramos (especialmente el radón que contiene, que es radiactivo). – La materia que nos rodea tiene elementos radiactivos. También, algunos alimentos. Dosis de radiación Para conocer la dosis de radiación soportada hay que sumar a la natural la proveniente de fuentes artificiales (radiografías, medicina nuclear, etc.). La dosis absorbida D es el cociente E/m entre la energía E depositada por una muestra radiactiva en una masa m de tejido vivo. Su unidad en el S.I. es el gray (Gy) que equivale a 1J/kg. Otra unidad muy empleada es el rad (radiation absorbed dose. 1 rad = 0.01 Gy). Pero, el efecto de una dosis sobre la materia viva depende, en otros factores, de la naturaleza de la radiación, es decir de su calidad. Por eso se define la llamada dosis equivalente que tiene en cuenta este aspecto; así, la dosis equivalente sería la absorbida D multiplicada por un factor de calidad (por ejemplo, el factor de calidad de las radiaciones X, β y γ es 1; pero el de los protones, neutrones y las radiaciones α es 25). La unidad de dosis equivalente es el sievert (Sv). Otra muy usada es el rem (radiation equivalent man. 1 rem = 0.01 Sv). La dosis equivalente no debe superar en ningún caso los 50 mSv/año. La dosis normal que producen las fuentes naturales está comprendida entre 1 y 2 mSv/año. Aplicaciones de la radiactividad La radiactividad se emplea en aplicaciones como: – Tratamiento de tumores. Se destruyen células malignas mediante radiaciones de Co– 60 y I–131. – Análisis por activación neutrónica. Si una muestra de composición desconocida se bombardea con neutrones, algunos de sus núcleos emiten radiaciones que, al medirlas, permiten identificarlos. – Estudio de órganos. Si en un órgano o glándula se introduce un radioisótopo, se puede estudiar mediante cámaras detectoras. Por ejemplo, el I–131 se usa en el tiroides y el tecnecio-99 (Tc–99) en las arterias. – Identificación de moléculas. En algunas reacciones se emplea tritio para identificar las Agustín E. González Morales 277 moléculas presentes. – Esterilización de instrumentos quirúrgicos. Al irradiar estos instrumentos se eliminan los gérmenes. – Irradiación de alimentos. Exponiendo los alimentos a radiaciones X, γ o haces de electrones, se eliminan microorganismos patógenos y se alarga la vida del producto, sin que los alimentos sean radiactivos. – Detectores de humos. Una muestra radiactiva ioniza el aire presente generando una señal eléctrica. Si hay humo en el ambiente, la señal eléctrica se corta, activando una alarma o un dispositivo contraincendios. Agustín E. González Morales 278
