OPCIONES, COBERTURA Y PROCESOS DE DIFUSIÓN CON

OPCIONES, C O B E R T U R A Y PROCESOS D E
DIFUSIÓN C O N SALTOS: U N A APLICACIÓN
A LOS TÍTULOS D E GCARSO
Francisco Venegas Martínez*
Oxford
Resumen:
University
Se presentan dos modelos de cobertura con opciones europeas, cuando
el subyacente es conducido por un proceso de difusión con saltos. E n el
primero, el precio de la opción se calcula como la media de los precios
de las opciones que cubren saltos secuenciales. E n el segundo, el precio
de la opción se determina mediante la minimización de la varianza del
valor del portafolio. E n particular se desarrollan coberturas para el
caso de las acciones de G C A R S O , y se investiga sobre su estabilidad
ante cambios en los parámetros.
Abstract:
We present two models for hedging European options on an underlying
asset driven by a mixed diffusion-jump process. The first model, values
the option as the average of option prices hedging sequential jumps.
In the second model, the option price is determined by minimizing
_
the variance of the portfolio value. In particular, we develop hedging
strategies for the case of G C A R S O shares.
Clasificación
JEL: G 1 0
F e c h a de recepción:
5 I X2000
F e c h a de aceptación:
2 7 VI 2 0 0 1
* Mathematical Finance Group, 24-29 St. Giles, Oxford OX1 3LB, England,
UK,
[email protected].
Agradezco las valiosas observaciones de dos dictaminadores anónimos, que
nejoraron sustancialmente el trabajo. Asimismo, agradezco las sugerencias de
3ernardo González-Aréchiga, Jaime Díaz y José Carlos Ramírez. Las opiniones
> errores son mi responsabilidad.
203
204
ESTUDIOS ECONÓMICOS
1. Introducción
E l t a m a ñ o considerable que h a n alcanzado los mercados de opciones
financieras, se debe en g r a n m e d i d a a l a flexibilidad que estos i n s t r u mentos p r o p o r c i o n a n a sus usuarios p a r a entrar o salir r á p i d a m e n t e
del m e r c a d o debido a l a liquidez que generan ( L e . , siempre es p o s i ble encontrar compradores y vendedores) y a l a p a l a n c a m i e n t o que
presentan ( L e . , l a i n v e r s i ó n i n i c i a l es p e q u e ñ a c o m p a r a d a con l a de
otros instrumentos). L a s opciones, y en p a r t i c u l a r las que se refieren
a t í t u l o s de c a p i t a l , son herramientas ú t i l e s que p e r m i t e n a los inversionistas a d m i n i s t r a r el riesgo de mercado c o n costos bajos. A d e m á s ,
c u a n d o las transacciones se llevan a cabo en bolsas de opciones, el
riesgo contraparte es m í n i m o debido a l a a s o c i a c i ó n del mercado c o n
u n a c á m a r a de c o m p e n s a c i ó n y l i q u i d a c i ó n que g a r a n t i z a el c u m p l i m i e n t o de las obligaciones adquiridas p o r las posiciones cortas ( i . e . ,
los emisores de opciones de c o m p r a o venta).
E n l a v a l u a c i ó n de p r o d u c t o s derivados, el supuesto de que la
v a r i a b l e subyacente sigue u n a d i s t r i b u c i ó n l o g n o r m a l , o que s u t a s a
de crecimiento sigue u n a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l , es m u y c o m ú n . E n
p a r t i c u l a r , es u s u a l suponer que las variables financieras siguen u n
m o v i m i e n t o B r o w n i a n o g e o m é t r i c o . S i n embargo, existe e v i d e n c i a
e m p í r i c a de que l a m a y o r í a de las variables financieras, i n c l u y e n d o el
precio de diversos activos, no se c o m p o r t a n de acuerdo c o n u n a dist r i b u c i ó n l o g n o r m a l . D e hecho, dichas variables casi n u n c a se c o m p o r t a n de acuerdo c o n distribuciones t e ó r i c a s c o m ú n m e n t e conocidas.
P o r ejemplo, las distribuciones e m p í r i c a s de los rendimientos d i a r i o s
de varios de los t í t u l o s que c o t i z a n en el mercado m e x i c a n o de c a p i tales presentan, en general, sesgo y exceso de curtosis, y no s i e m p r e
es posible ajustar u n a d i s t r i b u c i ó n t e ó r i c a simple. E n el trabajo de
R a m í r e z S á n c h e z (2001) se ajustan mezclas de distribuciones normales a los r e n d i m i e n t o s diarios de varias de las principales acciones
que c o t i z a n en bolsa, y se destaca que el rendimiento d i a r i o de estos
t í t u l o s d i f í c i l m e n t e puede ser descrito c o n sólo u n a v a r i a b l e a l e a t o r i a
normal.
E n este trabajo, a diferencia de R a m í r e z S á n c h e z (2001), estamos
p a r t i c u l a r m e n t e interesados en estudiar subyacentes que p u e d e n ser
descritos c o n u n a m e z c l a de u n a variable l o g n o r m a l con u n proceso
de P o i s s o n . U n a de las principales c a r a c t e r í s t i c a s que distingue a los
mercados financieros es que ocasionalmente se presentan m o v i m i e n t o s
inesperados (auges o c a í d a s ) . E s t o s m o v i m i e n t o s o c u r r e n c o n m a y o r
frecuencia de lo que se e s p e r a r í a bajo el supuesto de u n a d i s t r i b u c i ó n
l o g n o r m a l , incluso con u n a v o l a t i l i d a d razonablemente m o d e r a d a .
LOS TÍTULOS DE GCARSO
205
E n el a n á l i s i s de datos financieros, cuando se c o m p a r a u n a dist r i b u c i ó n e s t a n d a r i z a d a e m p í r i c a con u n a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l e s t á n dar, se observa c o n frecuencia que l a cresta de l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a
es m á s a l t a . D a d o que ambas distribuciones tienen l a m i s m a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r , es decir, los m i s m o s puntos de inflexión, entonces las
colas de l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a tienen necesariamente que ser m á s
anchas p a r a compensar el á r e a de l a cresta, que en ambos casos tiene
que ser i g u a l a uno. L a cresta m á s a l t a significa que existe u n a p r o b a b i l i d a d m á s grande de m o v i m i e n t o s p e q u e ñ o s que l a de u n a v a r i a b l e
aleatoria c o n d i s t r i b u c i ó n n o r m a l . P o r otro lado, debido a las colas m á s gordas (o pesadas) de l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a , se tiene u n a
m a y o r p r o b a b i l i d a d de que o c u r r a n valores extremos en c o m p a r a c i ó n
c o n l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l . E n este caso, si l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l se
m e z c l a c o n u n a d i s t r i b u c i ó n que genere m o v i m i e n t o s extremos e n el
r e n d i m i e n t o del t í t u l o , se p r o d u c i r á n colas m á s pesadas y se t e n d r í a
u n a mejor a p r o x i m a c i ó n a lo observado. A este respecto, en e l presente trabajo, se lleva a cabo u n a n á l i s i s e s t a d í s t i c o detallado del
c o m p o r t a m i e n t o de los precios y rendimientos diarios de los t í t u l o s
de c a p i t a l de G C A R S O .
E n los ú l t i m o s a ñ o s , el a n á l i s i s financiero h a e x p e r i m e n t a d o u n a
serie de cambios y transformaciones que h a n modificado l a f o r m a de
d i s e ñ a r portafolios. E s t o s cambios h a n fomentando el uso de procesos e s t o c á s t i c o s c o m o h e r r a m i e n t a b á s i c a p a r a modelar el c o m p o r tamiento de los variables financieras y sus derivados. V a l e l a p e n a
mencionar, a l respecto, los a r t í c u l o s seminales de M e r t o n (1971),
B l a c k y Scholes (1973) y C o x y Ross (1976). C o n t r i b u c i o n e s m á s recientes en l a v a l u a c i ó n de opciones sobre acciones, í n d i c e s b u r s á t i l e s
y divisas se pueden encontrar en B j o r k (1999); B j e r k s u n d y S t e n s l a n d
(1993); R e i n e r y R u b i n s t e i n (1991); y T u r n b u l l y W a k e m a n (1991).
E n cuanto a l m o d e l a d o de tasas de i n t e r é s y sus derivados, se destacan los trabajos de H u l l y W h i t e (1993) y (1990); H e a t h , J a r r o w y
M o r t o n (1992)- B l a c k D e r m a n y T o y (1990)- N e l s o n y Siegel (1987);
H o y L e e (1986 • C o x Ingersoll y Ross (1985 • y R e n d l e m a n y B a r t t e r
(1980).
'
L a s estrategias de c o b e r t u r a desarrolladas con el a n á l i s i s b á s i c o
de B l a c k y Scholes (1973) son ú t i l e s sólo cuando el riesgo de mercado
e s t á asociado a u n proceso de difusión, entre otros supuestos t í p i c o s
del modelo. S i n embargo, si se agrega u n a componente de saltos, las
coberturas presentan problemas de u n i c i d a d c o n l a d i s t r i b u c i ó n p a r a
valuar (de hecho, existe u n n ú m e r o infinito de distribuciones), lo que
conduce a u n a s i t u a c i ó n de mercados financieros i n c o m p l e t o s . E n
1
1
Sobre mercados financieros incompletos, véanse, por ejemplo, el trabajo
206
ESTUDIOS ECONÓMICOS
este caso, se establecen supuestos, en general restrictivos, p a r a elegir
u n a d i s t r i b u c i ó n a fin de estimar coberturas. O t r a p o s i b i l i d a d p a r a resolver esta l i m i t a c i ó n del esquema b á s i c o de Black-Scholes consiste en
d i s e ñ a r coberturas que m i n i m i c e n l a v a r i a n z a del valor del p o r t a f o l i o .
Sin embargo, las complicaciones t é c n i c a s surgen e n l a p r á c t i c a c o n los
supuestos e s t á n d a r p a r a l a d e t e r m i n a c i ó n de u n a m a r t i n g a l a e q u i v a lente m í n i m a , así c o m o c o n l a e s t i m a c i ó n de estrategias de c o b e r t u r a
m e d i a n t e soluciones n u m é r i c a s de u n a e c u a c i ó n diferencial p a r c i a l o
u n a e c u a c i ó n diferencial-integral.
E n este trabajo, se presentan dos modelos de c o b e r t u r a c o n o p c i o nes europeas c u a n d o el precio d e l activo subyacente es c o n d u c i d o p o r
u n proceso de d i f u s i ó n c o n saltos. E n el p r i m e r modelo, el precio de la
o p c i ó n se c a l c u l a c o m o l a m e d i a de los precios de opciones q u e c u b r e n
saltos secuenciales. E n e l segundo modelo, el precio de l a o p c i ó n
se d e t e r m i n a m e d i a n t e l a m i n i m i z a c i ó n de l a v a r i a n z a d e l v a l o r d e l
portafolio. A m a n e r a de i l u s t r a c i ó n , se e s t i m a n estrategias de cobert u r a p a r a el caso de las acciones de G C A R S O y se investiga sobre l a est a b i l i d a d de las estrategias ante cambios e n los p a r á m e t r o s relevantes.
L a s estrategias de c o b e r t u r a se e s t i m a n n u m é r i c a m e n t e m e d i a n t e subr u t i n a s y p r o c e d i m i e n t o s simples en M a t h e m a t i c a o M A T L A B .
Otra
p o s i b i l i d a d p a r a m o d e l a r saltos en l a d i n á m i c a d e l subyacente y v a l u a r n u m é r i c a m e n t e sus derivados, se encuentra e n el trabajo de N a i k
(1993) en donde, en l u g a r de considerar saltos desde los precios, lo q u e
s a l t a es el p a r á m e t r o de v o l a t i l i d a d . L a s principales c a r a c t e r í s t i c a s
de nuestras estimaciones son: 1) el rebalanceo e n l a c o m p o s i c i ó n d e l
portafolio se lleva a cabo c o n modificaciones simples e n e l s i s t e m a
de ecuaciones resultante- 21 las estrategias se a c t u a l i z a n e n f o r m a i n m e d i a t a c u a n d o h a y m á s i n f o r m a c i ó n d i s p o n i b l e sobre e x p e c t a t i v a s y
condiciones d e l mercado; y 3) e l proceso de v a l u a c i ó n n u m é r i c a per¬
m i t e a n a l i z a r coberturas de v o l a t i l i d a d e x t r e m a en presencia de colas
pesadas.
2
E x i s t e u n a tendencia creciente en l a l i t e r a t u r a en cuanto a l e m pleo de procesos de difusión c o n saltos. E n finanzas internacionales se
e n c u e n t r a n los trabajos de Venegas M a r t í n e z (200a) y (2001), Venegas M a r t í n e z y G o n z á l e z - A r é c h i g a (2000b), Svensson (1992), y P e n a t i
seminal de Arrow (1963) y, m á s recientemente, Lamberton y Lapeyre (1996) y
Bingham y Kiesel (1998).
2
Véanse, por ejemplo, Shaw (1998) sobre valuación de derivados utilizando
Mathematica; Hanselman and Littlefield (1998) sobre soluciones numéricas de
ecuaciones diferenciales en M A T L A B ; Kloeden y Eckhard (1992) sobre soluciones
numéricas de ecuaciones diferenciales estocásticas; y Wilmott, Dewynne y Howison (1993) sobre m é t o d o s numéricos para la valuación de opciones.
LOS TÍTULOS D E GCARSO
207
y P e n n a c c h i (1989). E n e c o n o m í a financiera, se tienen los trabajos
de A h n y T h o m p s o n (1988), J a r r o w y Rosenfeld (1984), M a l l i a r i s
y B r o c k (1982). A s i m i s m o , en l a v a l u a c i ó n de p r o d u c t o s derivados
se destacan: T a p i e r o (1998); W i l m o t t (1998); L a m b e r t o n y L a p e y r e
(1996); B o u l e a u y L a m b e r t o n (1989); F ó l m e r y S o n d e r m a n (1990); y
M e r t o n (1976).
E s t e trabajo se encuentra organizado como sigue. E n l a s e c c i ó n
dos, se e x a m i n a l a evidencia de colas pesadas e n el rendimiento d i a r i o
de la a c c i ó n de G C A R S O . E n l a 3, se i n t r o d u c e el proceso de d i f u s i ó n
con saltos p a r a m o d e l a r colas pesadas. E n el transcurso de l a c u a r t a ,
se presenta el planteamiento general d e l p r o b l e m a de c o b e r t u r a c o n
saltos de P o i s s o n . E n l a s e c c i ó n 5, se e s t i m a n estrategias de v a l o r
medio c o n respecto a l proceso de P o i s s o n . E n este caso, se h a c e n
varios supuestos sobre l a d i s t r i b u c i ó n de v a l u a c i ó n a fin de e s t i m a r
n u m é r i c a m e n t e estrategias de c o b e r t u r a . E n l a 6, se e s t i m a n estrategias de c o b e r t u r a de v a r i a n z a m í n i m a . P o r ú l t i m o , en l a s e c c i ó n 7, se
presentan las conclusiones, se establecen las limitaciones y ventajas
del m é t o d o propuesto y se m e n c i o n a n algunas l í n e a s de i n v e s t i g a c i ó n
futura. U n a p é n d i c e contiene detalles t é c n i c o s sobre el l e m a d e I t ó
aplicado a procesos de difusión c o n saltos.
2. Evidencia de saltos (colas pesadas)
E n esta s e c c i ó n se a n a l i z a l a d i n á m i c a de los rendimientos d i a r i o s de
los t í t u l o s de c a p i t a l de G C A R S O . E n p a r t i c u l a r , estamos interesados
en ver que t a n lejos se encuentra s u d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a de u n a
d i s t r i b u c i ó n n o r m a l y que t a n cerca de u n a mezcla de u n a v a r i a ble n o r m a l c o n u n proceso de P o i s s o n . E n l a gráfica 1, se observa
el c o m p o r t a m i e n t o d e l precio ajustado de l a a c c i ó n G C A R S O e n el
p e r í o d o c o m p r e n d i d o entre el 4 de enero de 1993 y el 23 de m a r z o d e l
2000. E n l a gráfica 2, se c o m p a r a l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a n o r m a l i z a d a del r e n d i m i e n t o diario de l a a c c i ó n c o n l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l
e s t á n d a r . Se observa que l a cresta de l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a es
notablemente superior a l a de l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l . D a d o que ambas
d i s t r i b u c i o n e s tienen l a m i s m a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r y l a cresta de l a
p r i m e r a es m a v o r l a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a t e n d r á , necesariamente,
colas m á s pesadas.
208
ESTUDIOS ECONÓMICOS
Gráfica 1
Comportamiento
( 4 de enero
del precio
del título G C A R S O
de 1 9 9 3 - 23 de marzo
del 2 0 0 0 )
70
i
i> ¡i
// / / / // // / / / / / /
Gráfica 2
Distribución
del título
0.7 -
0.6
0.5
empírica n o r m a l i z a d a del rendimiento
G C A R S O A l y l a distribución
normal
diario
estándar
LOS TÍTULOS D E GCARSO
209
L a diferencia entre las distribuciones, observada en l a gráfica 2,
es t í p i c a en muchas variables financieras. L a d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a
tiene u n a cresta m á s a l t a que l a de u n a variable aleatoria c o n dist r i b u c i ó n n o r m a l , lo m á s i m p o r t a n t e es observar que las colas de l a
d i s t r i b u c i ó n e m p í r i c a son m á s pesadas y debido a ellas se tiene u n a
m a y o r p r o b a b i l i d a d de que valores extremos o c u r r a n en c o m p a r a c i ó n
con l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l . E n este caso, si l a d i s t r i b u c i ó n n o r m a l se
mezcla c o n u n a d i s t r i b u c i ó n que genere m o v i m i e n t o s extremos o saltos
en el v a l o r del rendimiento del t í t u l o , se p r o d u c i r í a n colas m á s pesadas
y se t e n d r í a u n a a p r o x i m a c i ó n m á s realista d e l c o m p o r t a m i e n t o d e l
r e n d i m i e n t o del activo.
Gráfica 3
Gráfica
Q - Q del rendimiento
d i a r i o del título
GCARSO.
L a gráfica 3 es l l a m a d a gráfica C u a n t i l - C u a n t i l o gráfica Q - Q .
E s t a gráfica nos p r o p o r c i o n a o t r a forma de v i s u a l i z a r l a diferencia
aitre una distribución empírica y una distribución normal, particua r m e n t e cuando se e s t á interesado en l a d e t e c c i ó n de colas pesadas.
3sta gráfica se e l a b o r a como sigue: se o r d e n a n los r e n d i m i e m t o s ob¡ e r v a d o s en forma creciente, denotados como R
c o n u n í n d i c e t que
ra de 1 hasta T. L u e g o se obtienen los valores (argumentos) Q de
a f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n a c u m u l a d a de u n a v a r i a b l e aleatoria norn a l e s t á n d a r que p r o p o r c i o n a n el valor (í - 0.5)/T.
P o r ú l t i m o , se
(
t
)
t
210
ESTUDIOS ECONÓMICOS
gráfica c a d a punto ( Q , R ) . C u a n d o l a curva que u n e los puntos es
u n a l í n e a recta, el supuesto de n o r m a l i d a d de las observaciones R
p o d r í a ser el correcto. S i n embargo, en el caso e x a m i n a d o l a c u r v a
e s t á lejos de ser u n a recta debido a l a presencia de colas pesadas.
t
( t )
(
t
)
Gráfica 4
D i f e r e n c i a entre
l a distribución
a c u m u l a d a de los
diarios
de G G A R S O A l y l a distribución
normal
rendimientos
estándar.
10
8
11
6
j ;
| i
4
i i
1
.
w*
¿
¿ <? « V "f
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¿-i* í •> «* »" <? ¿ <>* I?
V v v
V
h- V
\
?
v
y
F i n a l m e n t e , l a gráfica 4 muestra l a diferencia entre l a d i s t r i b u c i ó n a c u m u l a d a de los rendimientos de l a a c c i ó n de G C A R S O A l y la
d i s t r i b u c i ó n a c u m u l a d a de u n a variable n o r m a l e s t á n d a r , en donde se
observa u n a m a y o r v a r i a b i l i d a d alrededor d e l origen.
3. Procesos de difusión con saltos
E n los ú l t i m o s a ñ o s , l a i n g e n i e r í a financiera h a experimentado c a m bios profundos e n l a forma de d i s e ñ a r portafolios. E s t o s cambios
h a n abierto nuevos paradigmas que resaltan l a i m p o r t a n c i a de l a exp o s i c i ó n a distintos riesgos financieros. Estos paradigmas, en gener a l , h a n abierto nuevos horizontes a l a t e o r í a y, consecuentemente,
LOS TÍTULOS D E GCARSO
211
al empleo de herramientas m á s sofisticadas que p e r m i t a n u n a m a y o r
c o m p r e n s i ó n de los f e n ó m e n o s financieros que presentan saltos d e n a turaleza estocástica.
A c o n t i n u a c i ó n , se define u n proceso de d i f u s i ó n c o n saltos e n
donde e l m o v i m i e n t o B r o w n i a n o g e o m é t r i c o m o d e l a cambios pequeñ o s en el precio d e l subyacente, los cuales siempre e s t á n presentes, y
el proceso de P o i s s o n m o d e l a cambios extremos e inesperados en el
precio d e l subyacente, los cuales ocasionalmente o c u r r e n . E s t e t i p o
de procesos es de g r a n u t i l i d a d en e l m o d e l a d o de colas p e s a d a s .
Considere u n proceso e s t o c á s t i c o dq que satisface:
3
t
1 con probabilidad
Adí + o ( d í ) ,
0 con probabilidad
l - A d í + o(dí).
en donde o ( d í ) / d í -> 0 c u a n d o d i
0. M á s precisamente,
P r { u n salto de t a m a ñ o 1 durante d i } = P r { d
? t
= 1}
= Adí + o ( d í ) ,
mientras q u e
P r { n i n g ú n salto durante d i } = P r { d
= 0} = 1 - A d i + o ( d í ) .
9 t
P o r lo tanto, existe u n a p r o b a b i l i d a d finita de que o c u r r a u n
salto en u n t i e m p o finito. N o t e que E[dg ] = A d i . Observe t a m b i é n
que se tiene u n a p r o b a b i l i d a d A d i de u n salto e n q de t a m a ñ o 1 en
el instante d i . E l p a r á m e t r o A es conocido como l a i n t e n s i d a d del
proceso de P o i s s o n y define el n ú m e r o medio esperado de saltos p o r
u n i d a d de t i e m p o .
E l proceso de P o i s s o n puede ser i n c o r p o r a d o e n u n m o d e l o de
d i f u s i ó n de u n subyacente P de la siguiente forma:
t
t
t
d P =
t
uP dt
t
+ aP dz
t
t
+ uP dq ,
t
t
(1)
en donde el p a r á m e t r o que define l a tendencia, u, representa l a m e d i a
esperada d e l rendimiento c o n d i c i o n a l en que n i n g ú n salto o c u r r a ; a es
3
Otra alternativa para describir colas pesadas es a través del uso de modelos
de volatilidad estocástica. Véanse, por ejemplo: Avellaneda, Levy y Paras (1995);
Ball y Roma (1994); Fouque, Papanicolaou y Sircar (2000); Heston (1993); Hull
y White (1987); Renault y Touzi (1996); Stein y Stein (1991) y Wiggins (1996).
212
ESTUDIOS ECONÓMICOS
la d e s v i a c i ó n e s t á n d a r o v o l a t i l i d a d d e l r e n d i m i e n t o c o n d i c i o n a l en que
n i n g ú n salto o c u r r a ; y z es u n proceso de W i e n e r e s t a n d a r i z a d o , es
decir, z tiene incrementos temporales independientes y dz satisface
E [ d z } = 0 y V a r [ d z ] = d i . Se supone que los procesos dz y dq no
e s t á n correlacionados entre sí. S i hay u n salto, es decir, si dq = 1,
entonces P i n m e d i a t a m e n t e t o m a el valor P ( l + v ) , c o n lo que se
puede m o d e l a r u n incremento brusco en el r e n d i m i e n t o de u n a a c c i ó n .
E n lo que sigue se supone que ¡/, el t a m a ñ o del salto, es u n a v a r i a b l e
a l e a t o r i a independiente de dz y dq .
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
F i n a l m e n t e , n ó t e s e que el proceso e s t o c á s t i c o l o g ( P ) , asociado
con (1), e s t á dado por:
t
2
d l o g ( F ) = ( a - \ a ) d i + adz
t
+ l o g ( l + v)dq ,
t
(2)
t
lo c u a l es sólo u n a v e r s i ó n del proceso de difusión con salto de I t ó
( v é a s e a p é n d i c e A ) . Observe asimismo que en este caso,
P
t
=
2
P exp((M- ^a )t + a í
dz
0
+ log(l + u ) f
u
dq \
> 0.
u
D e lo anterior se desprende que el rendimiento, d l o g ( P ) , p u e d e
t o m a r valores p o s i t i v o s y negativos, y el n i v e l en el precio, P
se
mantiene siempre p o s i t i v o .
t
u
4. El problema de cobertura con saltos de Poisson
E n esta s e c c i ó n se presenta el p r o b l e m a de c o b e r t u r a c o n opciones
europeas sobre acciones en l a presencia de saltos. E l p l a n t e a m i e n to es consistente c o n l a h i p ó t e s i s de mercados eficientes ( F a m a , 1970
y Samuelson, 1965), es decir, l a d i n á m i c a d e l precio de l a a c c i ó n
puede ser d e s c r i t a c o n u n a m a r t i n g a l a . E n este contexto, el proceso
subyacente genera, p o r u n a parte, i n f o r m a c i ó n en t i e m p o continuo que
afecta sólo el precio m a r g i n a l y, por otro lado, de vez en c u a n d o genera
i n f o r m a c i ó n específica de l a emisora en tiempos discretos afectando
m á s que m a r g i n a l m e n t e el precio del t í t u l o .
C o n s i d é r e s e u n portafolio c o n Q opciones de precio c ( P , t ) y
u n a c a n t i d a d a de t í t u l o s de precio P . E n este caso, el v a l o r del
portafolio, a l t i e m p o t, satisface
x
2
t
t
U =
t
a
i
c ( P
t
!
t )
+ a Pf
2
(3)
LOS TÍTULOS D E GCARSO
213
E l c a m b i o en el v a l o r d e l portafolio debido sólo a
fluctuaciones
del mercado es d n = a i d c ( P , t) +
a dP .
U n a a p l i c a c i ó n s i m p l e d e l l e m a de Ito p a r a procesos de d i f u s i ó n
con salto ( v é a s e el a p é n d i c e A ) conduce a
t
t
2
t
+ a [ c ( P ( l + u),t)-c(P ,t)}dq
1
+ a
2
t
t
(uP dt
+ aP dz
t
t
t
^'
t
+
vP dq ).
t
t
De m a n e r a equivalente, el c a m b i o en el v a l o r del portafolio e n el
instante d i , e s t á d a d o p o r
de
h Cto 1 U'Ptdí + ( 0¡i
+ ( üi
H Oto I
+ [ a i ( c ( P ( l + v ) , t) - c(P , t ) ) + a vP ]
t
t
2
(TPtO-Zt
dq .
t
t
Si no existe u n salto en el instante d i , es decir, si d
= 0, entonces
;e puede seleccionar, p o r ejemplo, l a c o b e r t u r a d e l t a definida p o r
H = 1 y Q J = -dc/dP
p a r a e l i m i n a r el riesgo i n d u c i d o p o r dz .
¡in embargo, si existe u n salto, en cuyo caso dq = 1, entonces el
.ortafolio c a m b i a de v a l o r y l a c o b e r t u r a deja de ser efectiva d e b i d o
ti riesgo asociado c o n d g - E n l a siguiente s e c c i ó n se d i s c u t e n algunas
.lternativas p a r a a d m i n i s t r a r dicho riesgo. Observe p o r ú l t i m o que
ina o p c i ó n que c u b r a c o n t r a saltos en el subyacente tiene que ser m á s
a r a que u n a o p c i ó n en u n escenario en donde no se presentan saltos.
í t
t
t
t
t
. Cobertura de valor medio
In esta s e c c i ó n se e s t i m a n estrategias de c o b e r t u r a bajo u n conjunto
e supuestos en l a d i s t r i b u c i ó n asociada a l t a m a ñ o del salto. O b s e r v e
rimero que s i se seleccionan Q = l y t t = -dc/dP
y se s u s t i t u y e n
i l a e c u a c i ó n (5), es decir, si se cubre u n a venta en corto del s u b y a ;nte c o n u n a p o s i c i ó n l a r g a sobre u n a o p c i ó n de c o m p r a , se obtiene
l a estrategia p a r e c i d a a las generadas p o r Black-Scholes (1973) p a r a
1
2
t
214
ESTUDIOS ECONÓMICOS
c u b r i r los m o v i m i e n t o s de difusión. P o r lo tanto, el c a m b i o en el v a l o r
del portafolio e s t á dado por:
dlL =
\dt
de
—
2
a
r
di
t
9P
c(P (l +
+
t
u),t)-c(P ,t)-uP
t
t
(6)
de
t
d~P
t
E n este caso, el c a m b i o en el valor del portafolio no se c o m p o r t a
c o m p l e t a m e n t e en forma d e t e r m i n i s t a en el instante d i , y a que e x i s t e
la p o s i b i l i d a d de que se presenten saltos c o n u n a m e d i a esperada
por u n i d a d de t i e m p o i g u a l a A. S i se t o m a l a esperanza de esta
e x p r e s i ó n y se establece que el cambio en el v a l o r del p o r t a f o l i o es
i g u a l al r e n d i m i e n t o l i b r e de riesgo del valor i n i c i a l del p o r t a f o l i o c o n
u n a tasa de i n t e r é s constante, r, p a r a todos los plazos, es d e c i r , si
d n = r l l d í = r ( a ( P , i ) + a P )dt,
entonces
t
t
l C
d
n
0
c
, i
\- 7¡<T
=
t
2 2
D
2
d 2
°
,
T¡ +
Pf
t
T-J
r P
de
re
t
(7)
+ A E [ c ( P ( l + u ) , t ) } - X c ( P , t) - A ^ - P t E [v] ,
dPt
con las condiciones de frontera c(0, i ) = 0 y c(P , 0) = m á x ( P - X , 0)
donde X es el precio de ejercicio de l a o p c i ó n . E n este caso, c l a r a mente l a e c u a c i ó n anterior no puede ser llevada a t r a v é s de transformaciones a l a e c u a c i ó n de calor, como en el caso de B l a c k - S c h o l e s .
D e b i d o a l a presencia de E [ v ] , esta e c u a c i ó n es del t i p o diferencialintegral, l a c u a l presenta complicaciones t é c n i c a s p a r a s u s o l u c i ó n y,
en general, requiere de m é t o d o s n u m é r i c o s (en p a r t i c u l a r , m é t o d o s
de t r a n s f o r m a d a de Fourier) p a r a calcular soluciones a p r o x i m a d a s y
e x a m i n a r el c o m p o r t a m i e n t o de c ( P , i ) . N o obstante, u n p u n t o i m p o r t a n t e que hay que destacar en l a e c u a c i ó n (7) es que s u n a t u r a l e z a
es n o - l o c a l , es decir, d i c h a e c u a c i ó n relaciona los valores de l a o p c i ó n
con valores distantes de P , a pesar de sólo tener derivadas locales.
P o r sunuesto el v a l o r de l a o p c i ó n en este m o m e n t o depende de los
saltos en el instante d i .
t
t
t
t
t
t
V a l e l a p e n a destacar t a m b i é n que si v es d e t e r m i n i s t a y suficientemente p e q u e ñ a , entonces l a c o b e r t u r a delta, es decir, l a c o b e r t u r a
con a = -dc/dP ,
p r o p o r c i o n a , en t é r m i n o s generales, u n a prot e c c i ó n adecuada a u n cuando se presentan saltos y a que
2
t
LOS TITULOS DE GGARSO
c ( P ( l + v),t)-c(Pt,t)
t
uP
t
_
dc_
~
dP '
215
t
E n este caso, el coeficiente de d en (6) es casi nulo. F i n a l m e n t e ,
note que cuando A = 0, l a e c u a c i ó n (7) se reduce simplemente, c o m o
era de esperarse, a l a e c u a c i ó n diferencial p a r c i a l p a r a b ó l i c a de B l a c k Scholes.
O t r a a l t e r n a t i v a p a r a r e d u c i r el riesgo de mercado generado p o r
los factores dz y d g , c o n base en l a e c u a c i ó n (5), s e r í a resolver el
siguiente s i s t e m a de ecuaciones
9 t
t
t
de
ai
h ao = 0,
dP
t
a (c(P (l
1
+ u),t)-e(P ,t))
t
+ a uP
t
2
= 0.
t
Se c o n t e m p l a n los siguientes casos:
1) S i Q I = 0, entonces a
cobertura.
2) S i QI =¿ 0, entonces
2
= 0, lo c u a l no resuelve el p r o b l e m a de
de
Q
2
= _
Q
L
_ .
D e s p u é s de s u s t i t u i r l a e x p r e s i ó n anterior en (5) e i g u a l a r el res u l t a d o c o n el retorno libre de riesgo del portafolio se obtiene
r ( c - ^ P
t
) d t
de
+
,
2
,
•>d c\
( c ( P ( l + y ) , t) - c{P
t
t¡
t)) -
p-vPt
oPt
E s t a ú l t i m a e x p r e s i ó n conduce de nuevo a l a e c u a c i ó n (7). U n a
posibilidad p a r a d e t e r m i n a r c(P ,t)
consiste en definir u n a s u c e s i ó n
le variables aleatorias Y que tienen l a m i s m a d i s t r i b u c i ó n que el
)roducto de n variables independientes e i d é n t i c a m e n t e d i s t r i b u i d a s
t v, donde Y = c o n s t a n t e . E n este caso p a r t i c u l a r , l a s o l u c i ó n de la
•.cuación (7) c o n las condiciones de frontera
t
n
0
c ( 0 , í ) = 0,
y
c(P ,0) =
t
máx(P -X,0),
t
216
ESTUDIOS ECONÓMICOS
está dada por
c
{
P
u
t )
=
£
exp(-A|)(At)"
[
E
C
B
s
(
P
t
y
n
e
x
p
(
_
A
E
M
í
)
)
t
. 2
a
t
r )
j _
n=0
d o n d e c ( - ) es l a s o l u c i ó n b á s i c a de Black-Scholes. L a e c u a c i ó n a n t e r i o r p r o p o r c i o n a u n valor medio, c ( P , t ) , de las p r i m a s esperadas,
E [ c ( - ) ] , c o n respecto a u n a d i s t r i b u c i ó n de P o i s s o n c o n m e d i a A i .
D i c h a e c u a c i ó n p e r m i t e , p a r a n suficientemente grande, c a l c u l a r s o l u ciones a p r o x i m a d a s e n forma sencilla y a que las funciones de d e n s i d a d asociadas a l a s u c e s i ó n {Y } son simples de c a l c u l a r . E n el caso
p a r t i c u l a r de que v t e n g a d i s t r i b u c i ó n l o g n o r m a l c o n m e d i a E [ v ] y
d e s v i a c i ó n e s t á n d a r a', se sigue que Y se d i s t r i b u y e t a m b i é n l o g n o r m a l con d e s v i a c i ó n e s t á n d a r n a y E [ Y ] = e x p [ n l o g ( l + E[i/])],
entonces l a v a l u a c i ó n de l a o p c i ó n europea es
BS
t
BS
n
n
1
n
t ( P i i )=
¿«« _
c
[Pi||¡¿rJ|
(s)
n=0
d o n d e t r l = a + n { < T ' ) / t y r = r - \E\v\ + (n l o g ( l + E [ v ] ) / t )
y A' = A ( l + E H ) - E n este caso, el precio de l a o p c i ó n , c ( P , t ) , se
c a l c u l a como el valor medio, c o n respecto a l a d i s t r i b u c i ó n de P o i s s o n ,
de los precios de las opciones que c u b r e n secuencialmente los saltos,
BS
[Pt,t;o- ,r ].
2
2
n
t
C
2
n
C o n el p r o p ó s i t o de obtener a p r o x i m a c i o n e s n u m é r i c a s de (8)
p a r a el t í t u l o G C A R S O , se u t i l i z a n los precios y las estimaciones de
los p a r á m e t r o s del siguiente cuadro.
Cuadro 1
Valores
de los parámetros
y precio
de l a
opción
P r e c i o s y p a r á m e t r o s relevantes
S
X
r
a
T
CBS
42.00
41.00
0.11
0.13
0.25
2.436
E n el c u a d r o 2 se presentan valores a p r o x i m a d o s de l a v a l u a c i ó n
de l a o p c i ó n bajo d i f u s i ó n y saltos p a r a distintos valores de A m a n teniendo fijo E\v\. P a r a el c á l c u l o de soluciones n u m é r i c a s de (7) se
h a u t i l i z a d o (8), con n = 10, 000, bajo el supuesto de que v sigue u n a
LOS TÍTULOS D E GCARSO
217
d i s t r i b u c i ó n l o g n o r m a l c o n m e d i a 0.01 y v a r i a n z a 0.001. L a g r á f i c a 5
m u e s t r a e l c o m p o r t a m i e n t o d e l precio de l a o p c i ó n ante c a m b i o s en
el n ú m e r o promedio esperado de saltos p o r u n i d a d de t i e m p o
Ceteris
p a r i b u s . C o m o puede esperarse, ante l a presencia de saltos en el subyacente, l a o p c i ó n se vuelve m á s cara. E s i m p o r t a n t e n o t a r t a m b i é n
que, en este caso, cambios p e q u e ñ o s en A p r o d u c e n cambios p e q u e ñ o s
en el precio de la o p c i ó n , L e . , los precios son estables ante c a m b i o s
en los p a r á m e t r o s relevantes.
Cuadro 2
Precios
de l a opción
en función
de A
Valuación bajo difusión y saltos
E M=0.01, VarH=0.001
A
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
c
2.506
2.575
0.7
2.641
2.706
2.747
0.8
2.896
0.9
3.006
1.0
3.061
0.6
2.830
2.890
B a j o el supuesto anterior de que v sigue u n a d i s t r i b u c i ó n logn o r m a l con v a r i a n z a 0.001, el cuadro 3 muestra el c o m p o r t a m i e n t o
del precio de l a o p c i ó n de c o m p r a en f u n c i ó n de E[i/]. E n l a g r á f i c a
6 se observa el c o m p o r t a m i e n t o del precio de la o p c i ó n ante c a m bios en t a m a ñ o m e d i o esperado del salto Ceteris
p a r i b u s . Nótese
t a m b i é n que, en este caso, cambios p e q u e ñ o s en E [ v \ c o n d u c e n a
cambios p e q u e ñ o s en el precio de l a o p c i ó n .
Cuadro 3
Precios
de l a opción
en función
de E \ v ]
V a l u a c i ó n bajo difusión y saltos
E[v]
c
0.01
2.506
Var[i/]=0.001 A=0.1
0.02
0.03
0.04
2.514
2.523
2.532
0.05
2.542
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
2.551
2.561
2.571
2.581
2.591
218
ESTUDIOS ECONÓMICOS
Gráfica 5
Soluciones
aproximadas
{caso
con saltos
GCARSO;.
en función
de A
c
3.5 •
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0.
0.1
0.2
0.3 0.4
0.5
0.6
0.? 0.8
0.9 1.0
Gráfica 6
Soluciones
aproximadas
(caso
con saltos
en función
GCARSO)
c
2.54-j
2.52-1
2.50-:
2.481
,
.
,
|
|
p
|
|
;
|
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0? 0.08 0.09 0.1
E[v]
,
de E [ v ]
LOS TÍTULOS DE GCARSO
219
Los supuestos sobre el c o m p o r t a m i e n t o de l a s u c e s i ó n { Y } pueden ser m u y restrictivos p a r a d e t e r m i n a r soluciones de (7), l a siguiente
sección presenta u n a a l t e r n a t i v a de c o b e r t u r a en donde l a p r i m a de
la o p c i ó n se d e t e r m i n a a t r a v é s de l a m i n i m i z a c i ó n de l a v a r i a n z a del
cambio en el valor del portafolio.
n
6. Cobertura de varianza mínima
E n l a s e c c i ó n anterior se e s t u d i a r o n estrategias de c o b e r t u r a de n a t u raleza no-local. O t r a p o s i b i l i d a d p a r a c u b r i r l a d i f u s i ó n y los saltos,
a p a r t i r de l a e c u a c i ó n (5), tanto como sea posible, es fijar a = 1 y,
posteriormente, obtener a de t a l m a n e r a que se m i n i m i c e l a v a r i a n z a
del c a m b i o en el v a l o r en el portafolio.
E n v i r t u d de (5), el cambio en el valor del portafolio t o m a n d o en
cuenta sólo los factores de riesgo, con a a r b i t r a r i a , es
x
2
2
+ [ c ( P ( l + v ) , t) - c(P , t) + a u P ] dq + •
t
t
2
t
t
L a v a r i a n z a de este c a m b i o , l a cual es u n a m e d i d a d e l riesgo en
2l portafolio, e s t á d a d a p o r
+ A E ( c ( P ( l + u ) , i ) - c(P
t
t) + a v P f
tí
2
d i + • • •.
t
N ó t e s e ahora que
\dP
J
t
+ 2 P X E \v ( c ( P ( l + u ) , t ) - c(P
t
t
tl
t) + a u P ) } di
2
ö Var[dn ]
t
2
2
2
2
= 2 í r P d í + 2 P A E [ ^ ] d í > 0,
2
t
220
ESTUDIOS ECONÓMICOS
lo que asegura l a existencia de u n m í n i m o , y a que se c u m p l e n las
condiciones suficientes. P o r lo tanto, el valor de a que m i n i m i z a (9),
el c u a l se obtiene de <9Var[dn ]/da = 0, satisface
2
t
2
2
A E \v ( c ( P ( l + u ) , t ) - c ( P , t ) ) ] +
t
Q
2
° Pt-§fr
t
=
2
2
L
A P E [ v ] + aP
t
'
t
(
1
0
)
Si se v a l ú a l a o p c i ó n en t é r m i n o s de l a esperanza sobre l a m e j o r
estrategia de c o b e r t u r a . E s decir, si se sustituye a en (5) y el r e s u l tado se i g u a l a c o n el retorno libre de riesgo d e l portafolio i n i c i a l c o n
una tasa de i n t e r é s constante a todos los plazos, se llega a que
2
—
dt
-rc
_i_
1
2
,-r p
2
' °
2
d
i p
0
2
** "dP
~°
d
l
g
dP
/
t
a
V
M
2
AE[t/ ] + a ( u + A E M
-
r)J
+ XE
(c(P (l+u),t)-c(P ,t))x
t
2
AE[i/ ] + a
(11)
t
{¡x+AEM
0.
- t-:
C u a n d o A = 0, se obtiene, de nuevo, l a e c u a c i ó n diferencial p a r c i a l de Black-Scholes. E n l a gráfica 7 se presenta l a superficie generada
por soluciones n u m é r i c a s de l a e c u a c i ó n (11) p a r a el caso de l a a c c i ó n
de G G A R S O c o n los p a r á m e t r o s del cuadro 1 y el supuesto de que v
tiene u n a d i s t r i b u c i ó n l o g n o r m a l con v a r i a n z a 0.001. E n este caso,
si A = 0 . 1 (con E [ ¡ / ] = 0 . 0 1 ) , l a estrategia de c o b e r t u r a e s t á c o m p l e t a mente d e t e r m i n a d a con u n valor estimado de a = 0 . 7 9 5 , mientras que
p a r a A =0.2, el valor estimado de a es 0.799.
Es i m p o r t a n t e destacar que l a a c t u a l i z a c i ó n de nueva i n f o r m a c i ó n
en u, a , v, X y r p a r a generar l a correspondiente superficie de estrategias requiere de sustituciones simples en el proceso de v a l u a c i ó n
n u m é r i c a de (10) y (11).
C o m o puede observarse, los resultados obtenidos en el transcurso
de las dos ú l t i m a s secciones presentan diferencias sustanciales c o n
respecto al a n á l i s i s e s t á n d a r de Black-Scholes. S i n embargo, en a m b o s
casos, l a c o b e r t u r a es efectiva sólo en u n intervalo p e q u e ñ o de t i e m p o ,
unos d í a s , posiblemente u n a semana. P o r lo tanto, se requiere de
actualizaciones p e r i ó d i c a s en l a c o m p o s i c i ó n del portafolio que t o m e n
en cuenta las condiciones y expectativas del mercado.
2
2
LOS TÍTULOS D E GCARSO
221
E s i m p o r t a n t e mencionar, a l respecto, que el proceso d e v a l u a c i ó n
n u m é r i c a de (10) y (11) no requiere de cambios sustanciales c u a n d o
hay m á s i n f o r m a c i ó n disponible.
Gráfica 7
Soluciones
aproximadas
de l a ecuación
(caso G C A R S O ) .
(11)
E n este p u n t o surge u n a pregunta n a t u r a l : ¿ p o r q u é no se det e r m i n a n a \ y a que m i n i m i c e n Var[dn ], en lugar de fijar a = 1 y
d e t e r m i n a r sólo a ? L a respuesta es simple, en este caso, se obtiene
el siguiente sistema de ecuaciones s i m u l t á n e a s :
2
t
x
2
2
2
a P + AE[(c(P (l
t
a
A__—¿
i
2
$ha P?
8 P
l
a
2
i)) ]
.
2
M - a
Q
+ u),t)- < P u
P ?
+
AP EKe(Pt(l +
t
v),t)
+ P X E [ v ( c { P ( l + v),t)
t
t
-
1-
a
a
2
2
=
0,
c(P t))}
u
- c(P , t ) ) j
t
t
c*P?
+ P?\E[ *\
V
+
=
°'
222
ESTUDIOS ECONÓMICOS
y l a ú n i c a s o l u c i ó n es a = a = 0, lo que no resuelve el p r o b l e m a d e
c o b e r t u r a de u n a v e n t a en c o r t o d e l subyacente.
N ó t e s e , p o r ú l t i m o , que en el caso e x t r e m o c u a n d o no existe
d i f u s i ó n , es decir, s i a = 0, entonces P = f i P d t + v P d q
y (9) se
transforma en
x
2
t
t
t
Var[dII ] = A E ( c ( F ( l + v ) , t ) - c ( P , t ) +
t
En
É
u
a uP )'
t
2
(12)
di.
t
este caso, se tiene que
3Var[dII ] ^
d a"2
.
É
Por
2
P X E [ u { c { P { l + v),t) - c{P ,t) +
t
t
lo t a n t o , e l valor de a
a uP )}dt
t
2
2
t
que m i n i m i z a (12) satisface
E[v{c{P (l + v),t)-c(P ,t))}
t
Q2=
t
p~m
/ 1 Q
•
.
(13)
Si se s u s t i t u y e a en (5) y el resultado se iguala c o n e l retorno
libre de riesgo d e l p o r t a f o l i o , se obtiene que
2
9c
„
de
(c(P (l + v),t) - c(P ,t)) X
t
t
E s t a e c u a c i ó n puede ser e m p l e a d a p a r a generar l a superficie de
c o b e r t u r a s c o n los m i s m o s procedimientos que se u t i l i z a r o n e n (11).
7. Conclusiones
P a r a c a l c u l a r el precio de u n a o p c i ó n en presencia de colas pesadas,
en general, se requiere de m é t o d o s n u m é r i c o s . P o r o t r o l a d o , d e b i d o
LOS TÍTULOS D E GCARSO
223
a las c o m p l i c a c i o n e s t é c n i c a s de los m é t o d o s de v a l u a c i ó n existentes,
é s t o s d i f í c i l m e n t e p u e d a n ser llevados a l a p r á c t i c a . E n este trabajo se
h a n estimado estrategias de c o b e r t u r a de valor medio o de v a r i a n z a
m í n i m a c o n opciones europeas, sobre el t í t u l o G C A R S O , u t i l i z a n d o
s u b r u t i n a s y p r o c e d i m i e n t o s simples en M a t h e m a t i c a y M A T L A B . A
diferencia de otras alternativas disponibles en l a l i t e r a t u r a , las estimaciones generadas requieren de procedimientos sencillos p a r a el
rebalanceo y el a n á l i s i s de casos extremos.
L a s estrategias de c o b e r t u r a a q u í estudiadas i n m u n i z a n t e m p o ralmente el riesgo de mercado. P o r lo tanto, se requiere de a c t u a l i zaciones p e r i ó d i c a s o "rebalanceo" de l a c o b e r t u r a a fin de proteger
eficazmente no s ó l o contra cambios difusos y extremos en el valor del
subyacente, sino t a m b i é n c o n t r a cambios c a t a s t r ó f i c o s . S i u n a estrategia no es rebalanceada atendiendo a las expectativas d e l mercado, l a
p r o t e c c i ó n se d e t e r i o r a progresivamente.
P o r ú l t i m o , es i m p o r t a n t e resaltar las l i m i t a c i o n e s de los supuestos de los modelos estudiados: 1) l a tendencia, n , l a v o l a t i l i d a d , <r, y
el p a r á m e t r o de i n t e n s i d a d , A, d e l proceso que g u í a al subyacente son
constantes; 2) no se consideran costos de t r a n s a c c i ó n (comisiones e i m puestos); 3) los t í t u l o s de c a p i t a l son divisibles en c u a l q u i e r fracción;
4) no hay pago de d i v i d e n d o s en el el periodo de c o b e r t u r a ; 5) l a cot i z a c i ó n y n e g o c i a c i ó n del mercado de contado es c o n t i n u a ; 6) l a tasa
de i n t e r é s libre de riesgo es constante p a r a todos los plazos. E n este
marco, y considerando sólo los supuestos que merecen m á s a t e n c i ó n ,
el trabajo se puede extender en varias direcciones. P r i m e r o , es posible considerar, s i n cambios sustanciales, que l a tendencia, v o l a t i d a d
e i n t e n s i d a d del proceso que g u í a a l subyacente sean funciones del
precio de contado d e l t í t u l o y del t i e m p o . Segundo, se requiere m á s
i n v e s t i g a c i ó n en cuanto a l a e s t r u c t u r a de plazos de l a tasa de i n t e r é s ,
digamos estructuras modeladas a t r a v é s de Drocesos e s t o c á s t i c o s aue
e s t á n disponibles en l a l i t e r a t u r a F i n a l m e n t e es i m p o r t a n t e i n c l u i r
en el a n á l i s i s el pago de d i v i d e n d o s y el caso de opciones americanas.
Sin d u d a los aspectos anteriores requieren de u n a m a y o r i n v e s t i g a c i ó n
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Apéndice A
U n p a r de resultados ú t i l e s en el desarrollo de este trabajo se establecen en el siguiente a p é n d i c e ( v é a s e G i h m a n y Skorohod, 1972):
1) L e m a de ItÓ p a r a procesos de difusión c o n saltos: D a d a l a
e c u a c i ó n diferencial e s t o c á s t i c a lineal h o m o g é n e a
dP
= P ( u d t + <rdz
t
t
+ vdq )
t
(A.l)
t
y c ( P , t ) u n a f u n c i ó n dos veces diferenciable, c o n segundas derivadas
parciales continuas, entonces l a diferencial e s t o c á s t i c a de c(P , t) e s t á
dada por
t
t
(8c
\dt
2
dc
n
8c
1
¿
dP
t
8P
2
n
2
\
¿
J
)
t
(A .2]
dc
+ [c(Pt(l + «0, t) - C ( P t)) d q .
+ Jj^Ptázt
U
t
2^ Lo, s o l u c i ó n d c (A.• 1) csts dsdci p o r
P
t
= P expí^(u0
2
\o )t
+ o- j \ z
u
+ \ o g { l + v ) J \ q
u
^ .
(A.3)
T a m b i é n vale l a pena tener en mente que, c u a n d o se u s a ( A . 3 ) ,
las siguientes propiedades p a r a z y q se c u m p l e n p a r a t > 0:
t
E
f
Jo
dz
u
= 0,
E ( [
\Jo
dz \
u
J
t
= E / du = t,
Jo
y E / dq
Jo
u
= Ai.