El 4 tiene raíz exacta que es 2. El 3 no tiene y se deja expresado

Unidad 2: Exponentes y radicales
II. Radicales
3. Simplificar radicales
Por las propiedades de los exponentes,
1
2
1
2
1
x y  x y   xy  2  xy . Esto nos lleva a
una propiedad muy importante para simplificar radicales.
a  b  ab para a y b mayor o igual que cero.
Esta propiedad es importante utilizarla en ambas direcciones. Me explico.
Podemos decir que
2  3  6 , así como también que
6  23  2  3
En otras palabras, podemos multiplicar los radicandos de dos radicales con índices
iguales o podemos descomponer un número en factores y separar sus raíces.
Veamos algunos ejemplos:
1)
12 . Esta raíz no es exacta, pero el 12 lo podemos descomponer en factores de
manera que uno de ellos tenga raíz exacta. El 12 = 4  3 . Al descomponerlo de esta forma
el observa que uno de sus factores, el 4, tiene raíz exacta.
Así, 12  4  3 . Ahora los separamos aplicando la propiedad anterior y lo podemos
simplificar.
4 3  2 3.
El 4 tiene raíz exacta que es 2. El 3 no tiene y se deja expresado como radical.
Los números primos también nos ayudan a simplificar radicales. En el ejemplo anterior
los factores primos de 12 son 2  2  3 . Como es una raíz cuadrada, buscamos parejas de
factores. Observa que hay una pareja de 2, que al multiplicarlos obtenemos el número que
tiene raíz exacta. Si fuera una raíz cúbica buscamos tríos de números y así sucesivamente.
2)
72 Podemos pensar rápidamente en 8 y 9 como factores del 72. ¡Pero cuidado!
Tenemos que ser más observadores. El nueve tiene raíz exacta y el 8 no. Y podríamos
decir que la solución es 3 8 . Aunque está simplificado, no está completamente
simplificado. Sabes que los factores del 8 son 4 y 2, por lo que el 4 tiene raíz exacta. O
sea, que el problema continúa.
Una recomendación para evitar esta situación es utilizar los números primos. Si usamos
los factores primos obtenemos que el 72  2  2  2  3  3 . Como es raíz cuadrada,
buscamos parejas. Hay una pareja de 2 y una pareja de 3 y queda un 3 solo. Multiplica las
parejas de 2 y 3 y obtenemos que 72  36  2 . El 36 tiene raíz exacta y el 2 no.
72  36  2  36  2  6 2 .
Por lo tanto,
10 . Este radical está en su forma más simple porque no se puede descomponer
3)
como factores donde uno de ellos tenga raíz exacta. ( 10  2  5 ) No hay parejas y los
factores que tenemos no tienen raíz exacta.
20x 3 . En este caso aplicamos la propiedad y los vemos por separado.
4)
20  2  2  5
20 x 3  20  x 3
20  4  5  4  5  2 5
x 3  x 2 .x  x 2  x  x x
5)
3
16a 4 =
8  2  x3  x
3
16  2  2  2  2 . Separamos el trío de
factores iguales y obtenemos 8  2
=
=
6)
Como lo separamos, usa las dos soluciones:
2 5  x x  2x 5x
Multiplica los elementos afuera del radical
y luego usa la propiedad con los radicales.
3
8x 3  3 2x
2 x3 2 x
x 4  x  x  x  x Separamos el trío de factores iguales
y obtenemos x 3  x
Los separamos usando la propiedad estudiada.
Simplificamos
3
¿Qué podemos hacer cuando hay una fracción dentro del radical?
4
Ya vimos una propiedad para producto, donde separamos cada factor. También existe una
propiedad para división que también nos permite separar el numerador y el denominador.
Si a  0 yb  0, entonces
a

b
a
b
Quiere decir que
7)
3

4
3
4

3
.
2
9
Primero lo separamos
20
9
El numerador tiene raíz exacta, 3. El denominador hay que simplificar.
20
3
Los factores de: 20  2  2  5 , como es raíz cuadrada buscamos parejas.
45
3
Un radical está completamente factorizado si no hay raíces en el denominador.
2 5
Importante:
El proceso para eliminar el radical del denominador se llama racionalizar el
denominador. ¿Cómo se hace? Multiplicamos el numerador y el denominador por el
radical. Veamos:
3
2 5

3 5
2 25
3 5
25
5
5
Al multiplicar de esta forma realmente multiplicamos por 1.
Observa que ahora el denominador tiene raíz exacta.
El 2 multiplicado por el resultado de la raíz de 25, que es 5.
3 5
Así, este radical quedó simplificado.
10
Nota importante.
¿Cómo sabes que un radical está simplificado?
1) El radicando no contiene factores que se le pueda extraer la raíz.
2) No hay radical en el denominador de la fracción.
3) El radicando no tiene fracción.
Para más información:
http://www.pupr.edu/cpu/Math0106/SimplificarExpresionesconRadicales.pdf
http://student_star.galeon.com/expyrad02.htm
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/ej_simplificacion_radicales/ej_simplificacion_radicales.htm
http://www.scribd.com/doc/2660514/EJEMPLOS-CON-RADICALES