TEMA II: ELASTICIDAD LINEAL 2.1 Introducción. 2.2 Origen de las

TEMA II: ELASTICIDAD LINEAL
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Introducción.
Origen de las fuerzas de recuperación elástica.
Origen atómico del módulo elástico
Tensor de tensiones y tensor de deformaciones.
Elasticidad lineal en materiales isótropos.
Elasticidad lineal en materiales anisótropos.
Métodos de medida del módulo elástico.
2.1 INTRODUCCIÓN
Como vimos en el tema anterior, el régimen elástico se caracteriza porque las deformaciones son
reversibles. Para que la deformación sea reversible es necesario que existan fuerzas de recuperación, que tiendan
a devolver al sistema a su estado original. Estas fuerzas de retracción elástica, por tanto, devuelven a los átomos
a sus posiciones de equilibrio originales. El comportamiento elástico puede ser lineal o no dependiendo entre
otros factores del origen y naturaleza de dichas fuerzas de recuperación.
En general, la respuesta elástica puede considerarse instantánea, de forma que nada más aplicar una cierta
tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación. Sin embargo, existe un tipo de comportamiento
elástico en el cual existe un cierto retardo entre causa (tensión) y efecto (deformación), que implica una
dependencia con el tiempo de la respuesta elástica. A este tipo de comportamiento se le denomina
viscoelasticidad.
Existe un tipo de fenómeno elástico adicional, que en realidad se verifica en mayor o menor medida en
todos los sólidos y que se conoce como anelasticidad. En los materiales anelásticos la curva de descarga no
coincide con la de carga de forma que la curva carga-descarga encierra una cierta área (se suele decir que la
curva presenta histéresis). Este hecho denota que existe una disipación de energía en forma de calor durante el
proceso de carga y descarga (de hecho la cantidad de energía disipada puede calcularse a partir del área
encerrada en la curva). Este fenómeno es especialmente intenso en materiales no lineales y viscoelásticos. Este
comportamiento es útil para amortiguar vibraciones o ruido pero no es deseable en otro tipo de piezas que deben
transmitir esfuerzo ya que reducirían su eficiencia.
El estudio de las propiedades elásticas es esencial para el diseño de estructuras y piezas, ya que en estas
aplicaciones estructurales (vigas, espejos de telescopios y radioantenas) es necesario controlar la deflexión
elástica. También es esencial en aplicaciones acústicas ya que las propiedades elásticas determinan la frecuencia
natural de vibración del material y por tanto su capacidad para producir o conducir el sonido.
En este tema analizaremos la teoría elástica que estudia la relación entre tensiones y deformaciones en el
régimen elástico. Como ya hemos comentado, el régimen elástico suele limitarse a pequeñas deformaciones
(<0.1 %) pero en algunos casos puede extenderse mucho más (> 500 % en el caso de algunos elastómeros).
Estudiaremos los parámetros elásticos que describen el comportamiento de los materiales en este régimen y su
relación con la estructura del material y, en particular, con la naturaleza del enlace atómico.
2.2 ORIGEN DE LAS FUERZAS DE RECUPERACIÓN ELÁSTICA
Hasta ahora hemos limitado la descripción del comportamiento mecánico de los materiales a aspectos
macroscópicos y fenomenológicos. En esta sección analizaremos los mecanismos microscópicos que son la base
del comportamiento elástico, estudiaremos el origen físico de las fuerzas de retracción elásticas a partir de un
análisis termodinámico del material.
Consideremos una barra que se deforma un dl for efecto de una carga P que equilibra la fuerza de
retracción elástica Fr.
1
l0
P
Fr
Fr
P
dl
Si aplicamos a este proceso el primer principio de la termodinámica, la variación de energía interna U del
sistema vendrá dada por:
dU  Q  W
con Q el calor absorbido y W el trabajo realizado por el sistema. Si el proceso es reversible (elástico) entonces
Q  TdS y considerando que W   Fr dl  pdV tendremos:
dU  TdS  Fr dl  pdV
que teniendo en cuenta que la energía libre de Helmholtz, F, se define como F  U  TS , nos conduce a:
dF   SdT  Fr dl  pdV
Es decir, se tiene que
Fr 
F
l
dF  dU  TdS  SdT
   Fr 
TV
U
l
T
TV
S
l
TV
Es decir, la fuerza de recuperación elástica (a T y V constantes) es igual al aumento de energía libre (F) del
sistema por unidad de longitud y puede expresarse como suma de 2 contribuciones:
Fr  Fri  Fre
una fuerza de retracción interna o entálpica (debido a aumento en la energía interna, U), Fri 
U
l
fuerza de retracción entrópica (asociada a disminuciones en la entropía S del sistema), Fre  T
, y una
TV
S
l
. Es
TV
decir, la energía mecánica aportada al sistema por la fuerza o carga externa se emplea en aumentar su energía
interna (mediante una modificación de las posiciones atómicas respecto al equilibrio) y/o en disminuir su
entropía (es decir, en aumentar el orden de la estructura), en cuyo caso, parte de la energía se disipa en forma de
calor.
En las figuras se muestran las situaciones extremas en que domina exclusivamente una de las 2
contribuciones: cristal ideal (entálpica) y elastómero ideal (entrópica).
En el primer caso la fuerza de retracción tiene un origen puramente energético y sería independiente de
la temperatura. En cambio, en el segundo, la fuerza tiene origen entrópico y aumentaría con la temperatura.
Demostración de la dependencia con la temperatura:
2
F
Fr 
l
TV
De forma que si
Fr

T
S
l
lV
2F

Tl
F función de estado con diferencial total exacta

V
2F
lT
dF   SdT  Fr dl  pdV

V
 0 , es decir si no hay componente entrópica (Fre= 0) 
TV
Fr
T
S
l
TV
 0 y la fuerza de
lV
retracción elástica no dependerá de la temperatura (esto no es estrictamente cierto, como veremos más adelante,
porque el volumen no es estrictamente constante).
Puede determinarse la importancia relativa de cada componente (entálpica vs. entrópica) representando
la fuerza de retracción, o la tensión aplicada
 u
   
 
T
TV
s

TV

 , en función de la temperatura. La

magnitud de la componente entálpica vendrá dada por la ordenada en el origen de la recta resultante y la
componente entrópica por su pendiente. En las situaciones ideales (elasticidad puramente entálpica o entrópica)
alguna de las dos magnitudes (ordenada en el origen o pendiente) será cero.
Las expresiones anteriores nos permiten, además, escribir la ecuación de estado del sólido elástico:
Fr 
U
l
T
TV
Fr
T
lV
Además, puede establecerse una analogía entre el caso del elastómero ideal en tracción y el de un gas
ideal en compresión:
Para el gas ideal: TdS  dU  pdV  nC v dT  pdV  dS 
p T
S
V
nC v
p
dT  dV de donde:
T
T
T
Análogamente, para el elastómero ideal se verifica:
Fr  Fre  T
S
l
TV
Así, al igual que un gas ideal se calienta cuando se comprime, el elastómero se calienta cuando se alarga. La
presión necesaria para comprimir un gas aumenta al aumentar la temperatura, análogamente la rigidez de un
elastómero aumenta al aumentar la temperatura (aumenta la oposición a la deformación, aumenta Fr).
2.3 ORIGEN ATÓMICO DEL MÓDULO ELÁSTICO.
En esta sección analizaremos lo que sucede a nivel atómico cuando el material se alarga e intentaremos
deducir el valor del módulo elástico del material a partir del conocimiento de la energía potencial de enlace entre
átomos. Consideremos la siguiente celda unidad cúbica:
dF
dr
r0
dF
d 

d  Ed  E 
d 

dF dF
1 dF
d 
 2
 E
A
r0 dr
r0


dr
d 

r0

3
r  r0
Por tanto el módulo elástico puede calcularse como la derivada de la fuerza que puesto que estamos en
el equilibrio será igual a la fuerza de recuperación elástica. Si consideramos elasticidad puramente entálpica, que
es la dominante en materiales convencionales, entonces la fuerza de recuperación elástica no es otra que la
fuerza de enlace entre átomos, y por tanto:
1 dF
E
r0 dr
F
r  r0
dU
dr
1 d 2U

r0 dr 2
r  r0
Donde U es la energía potencial de enlace, que considerando un potencial de Lennard-Jones (el más
comúnmente empleado), vendría dada por la expresión:
U 
A B

rm rn
Donde A, B, n, m son constantes que dependen del material y r es la distancia entre átomos. Entonces podemos
calcular:
d 2U
A
B

  m( m  1) m  2  n(n  1) n  2
2
dr
r
r
B 
A
1
 E   m(m  1) m  2  n(n  1) n  2 
r0 
r0
r0

dU
A
B
  m m 1  n n 1
dr
r
r
Entonces, considerando:
U (r0 )   kT f  
dU
dr
0m
r  r0
A
r0
m
A
r0
m 1

B
r0
n
n
B
r0
n 1
 A
n
Br0m  n
m
1


n

n

 B  kT f   1 r0
n B
 
m 
  1   n  kT f  
m
 r0
 A  kT f n / m r0 m
 


n / m  1

n/m


m
r0
kT f
1 n





kT
n
m
r
/
1
1
n / m  1  n(n  1) f
0

 E   m(m  1)
m2
n 2
r0 
r0
r0



kT f  n(n  m)  nmkT f
kT f 
nmkT f
n/m
n(n  1) 

E

 3  m(m  1)



 E0
3
3
n / m  1 n / m  1 

r0  n / m  1 
r0 
r0
Donde Tf es la temperatura de fusión del material, k es la constante de Boltzmann y  es el volumen de la celda
unidad. En definitiva, el valor del módulo elástico depende de la fuerza del enlace (que a su vez determina Tf)
Por otro lado, al aumentar la temperatura (es decir, la energía térmica) las distancias de equilibrio, r0,
entre los átomos aumentan como consecuencia de la asimetría del potencial de Lennard-Jones. Este fenómeno se
denomina expansión térmica y, como consecuencia de él,
dF
dr
decrece y, por tanto, el módulo elástico también
r0
decrece. Esta disminución es prácticamente lineal y puede describirse de forma aproximada por la expresión:
E 
T 
 1  a 
E0 
T f 
donde E0 sería el módulo a 0 K (y que hemos calculado anteriormente) y a una constante de proporcionalidad
que en la mayoría de sólidos está en torno al valor a = 0.5. Según esto, el módulo elástico en un material
convencional se reduciría hasta entorno a un 50% cuando nos aproximamos a su punto de fusión.
4
2.4 TENSOR DE TENSIONES Y TENSOR DE DEFORMACIONES.
En esta sección repasaremos los conceptos básicos de tensión y deformación, así como la notación
tensorial de ambas magnitudes.
2.4.1 Tensor de tensiones
Sea un punto P cualquiera del sólido elástico y consideremos
un entorno plano de P, , contenido en un plano cualquiera  que
atraviesa dicho punto. Si f es la resultante de todas las fuerzas que
actúan en el área  , definimos como tensión en el punto P respecto
al plano , el siguiente límite:
σ π  lim
  0
f
f

 
de forma que el vector tensión es colineal con la resultante de las
fuerzas que actúan en dicho punto y plano. Si el vector tensión es
colineal con el vector unitario normal al plano, n, se dice que dicha
tensión es normal; si está contenido en el propio plano se denomina
tensión tangencial. Cualquier tensión se descompone en 2
componentes: una normal, n, y otra tangencial, , al plano.
El vector tensión varía dependiendo del plano que consideremos, tanto en magnitud como en
dirección y sentido, puesto que cambia la distribución de fuerzas en el entorno plano del punto. Esto indica que
no se puede definir la tensión en el punto P con un vector, sino que se trata de una magnitud tensorial, el tensor
de tensiones, que como veremos puede representarse por una matriz:
σ  T  n
Si consideramos un sistema de referencia cartesiano Oxyz centrado en P y
de aristas dx, dy y dz entorno a dicho punto, según lo visto anteriormente, sobre
tensión distinto, cuyas componentes normales serían paralelas a uno de los
componentes tangenciales podrían descomponerse a su vez en las direcciones
contenidos en cada cara.
un paralelepípedo elemental
cada cara actuará un vector
ejes coordenados y cuyas
de los 2 ejes coordenados
.
Denotaremos por ni o ii a las tensiones normales paralelas al eje i (con i =x,y,z), que serán positivas si son de
tracción y negativas si son de compresión; y por ij a las tensiones tangenciales contenidas en el plano normal al
eje j y dirigidas según la dirección i (con i, j =x,y,z). Estas tensiones tangenciales serán positivas si están
dirigidas según el sentido positivo del eje i y negativas en caso contrario.
Aplicando la condición de equilibrio mecánico al paralelepípedo se obtiene que para que el sólido no se
desplace (ausencia de desplazamiento) las tensiones normales (y tangenciales) en caras opuestas deben ser
iguales entre sí, pero con sentido contrario.
5
Por otro lado, para que el sólido no gire (ausencia de giro) los momentos deben ser nulos (Mx = My = Mz
= 0), lo que implica que tensiones tangenciales deben ser iguales 2 a 2:
 xy   yx

 yz   zy
  
xz
 zx
A este resultado se le conoce como teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales y suele enunciarse de
la siguiente forma: “Las tensiones tangenciales correspondientes a dos planos perpendiculares en la dirección
normal a la arista de su diedro son iguales. Además, su sentido es tal que o bien ambas se dirigen hacia la arista o
bien ambas se separan”:




De acuerdo con estos resultados, de los 18 valores de los vectores tensión en las 6 caras del elemento
paralelepipédico sólo 6 son independientes. Conocidos dichos valores es posible calcular el vector
correspondiente a cualquier otra orientación:
Sea un tetraedro elemental entorno a P como el de la figura:
En la cara oblicua las componentes del vector tensión pueden expresarse en función de las 6
componentes independientes y de los cosenos directores () del vector unitario normal a dicha cara
n=(). Las áreas de las caras del tetraedro paralelas a los planos coordenados son proyecciones ortogonales
del área d y por tanto tienen valores  d, dy drespectivamente. Para que el tetraedro esté en
equilibrio la suma de las componentes paralelas a cada eje debe ser nula:
 x d   xxd   xy d   xz d
 y d   yxd   yy d   yz d
 z d   zxd   zy d   zz d

  x    xx
  
  y     yx
   
 z   zx
 xy  xz   
 
 yy  yz     σ  T  n
 zy  zz   
Por lo tanto, el estado tensional de un sólido elástico queda determinado si se conoce el tensor de
tensiones, [T], en todos sus puntos. Nótese que el tensor de tensiones es simétrico por efecto del teorema de
reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6
Cambio de sistema de referencia.
Veamos como se transforma el tensor de tensiones si se cambia el sistema de referencia. Sea (R) la
matriz de cambio de ejes (Es decir, una matriz que contiene por columnas las coordenadas de los vectores base
del segundo sistema respecto al primero), entonces se puede ver que:
σ  ( R) σ * ( R ) 1 ( R )T
T
T
R)T T  ( R) n *
  σ*  ( R) σ  ( R) T  n  (

n  ( R) n *
T *
donde las magnitudes con asteriscos están expresadas según el segundo sistema de referencia y las sin asterisco
según el primero.
Tensiones y direcciones principales.
Cabe preguntarse si existe algún plano tal que el vector tensión es perpendicular a dicho plano. Si dicho
plano existe, se verificará:
σ  T  n   n  T   I  n  0
que desarrollado queda
( nx   )   xy    xz   0

 yx  ( ny   )    yz   0
      (   )  0
zy
nz
 zx
Este sistema de ecuaciones que se denomina ecuación de autovalores del tensor, y es un sistema
homogéneo (3 incógnitas y 3 ecuaciones) y por lo tanto tiene solución para determinados valores de  que deben
cumplir la siguiente condición de compatibilidad:
( xx   )
 xy
 yx
 zx
( yy   )
 xz
 yz
 zy
( zz   )
   3  I 1 2  I 2  I 3  0
0
Las raíces de esta ecuación (denominada ecuación característica) son los valores propios de [T] que se
denominan tensiones principales y las direcciones, los n=(), que son solución al sistema de ecuaciones para
cada uno de esos valores se denominan direcciones principales. Las tensiones principales son independientes del
sistema de coordenadas elegido lo que implica que los coeficientes I1, I2, I3 son invariantes:
I 1   xx   yy   zz
 Invariante lineal (traza de T )
I 2   xx yy   yy zz   xx zz   xy   xz   yz
2
I3  T
2
2
 Invariante cuadrático
 Determinante de la matriz de tensiones T 
Por ser la ecuación característica de 3er orden, se puede garantizarla existencia de al menos una raíz no
nula  y una dirección principal de la matriz [T], aunque generalmente son 3.
Ecuaciones de equilibrio interno y equilibrio en el contorno.
Fijado el sistema de referencia Oxyz, las componentes de [T] en un punto serán función de las
coordenadas de dicho punto. Sin embargo, los valores de dichas componentes no pueden ser arbitrarios,
dependerán de las fuerzas aplicadas (fv). La condición de equilibrio estático establece que si (X,Y,Z) son las
componentes de la fuerzas externas por unidad de volumen, fv, que actúan sobre el paralelepípedo elemental se
cumple:
7

 nx  xy  xz
X

0



y
z
x

 yx  ny  yz

0


Y 
z
y
x

 zx  zy  nz

 Z  x  y  z  0

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de
equilibrio interno.
Análogamente, para los puntos en el contorno del sólido, las ecuaciones de equilibrio toman la forma:
 X   nx   xy    xz 

 Y   yx   ny    yz 
Z       
zx
zy
nz

siendo fs=(6X,6Y,6Z) las fuerzas por unidad de superficie aplicadas en el contorno. Es decir, estas ecuaciones no
son más que fs=.
Sin embargo, las 3 ecuaciones de equilibrio (ya sea interno o de contorno) no bastan para determinar las
6 componentes de [T] en un punto dado (del volumen o la superficie) del material a partir del conocimiento de
las fuerzas aplicadas. Para su cálculo es necesario considerar la deformación elástica del cuerpo.
2.4.2 Tensor de deformaciones
Al actuar las fuerzas externas el sólido se deforma, las partículas modifican sus posiciones relativas. Sin
embargo, no lo hacen aleatoriamente, sino que siguen unas leyes que dependen de una serie de propiedades del
material. Sean dos puntos infinitamente próximos P y Q de un sólido sin deformar, tales que
PQ=dr=dx i+dy j+dz k
en un sistema de referencia Oxyz. Tras la deformación, el punto P se desplaza a la posición P’ y el Q a la Q’ de
forma que P=PP’=ui+vj+wk y Q=QQ’=u’i+v’j+w’k
Q
Q
dr
P
Q’
dr’
P
P’
Teniendo en cuenta que los desplazamientos son muy pequeños (es decir, admitiendo que los desplazamientos u,
v, w son infinitésimos de primer orden, continuos y con derivada continua) podemos expresar Q en función de
las componentes de P y de sus derivadas, mediante desarrollo en serie de Taylor:

u
u
u
 u
dx 
dy 
dz 

z
x
y

'
u
u
     x
     v

v
v
v
v'  v  dv  v  dx  dy  dz    v'    v   
x
y
z

 w'   w   x
     w
w
w
w 
w'  w  dw  w 
dx 
dy 
dz 
 x

x
y
z 
u '  u  du  u 
 Q  P  M dr
8
u
y
v
y
w
y
u 

z  dx 
v  
 dy 
z  
w  dz 
z 
La matriz [M] puede descomponerse en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:
T
T


M   M 
M   M 
M  

 D   H 
2
2
siendo

u

x

 1  u v 
D      
 2  y x 
 1  u w 
 


 2  z x 
1  u w  



2  z x  
1  v w  
 ,
 
2  z y  

w

z

1  u v 

 
2  y x 
v
y
1  v w 

 
2  z y 


0


H    1  v  u 
 2  x y 
 1  w u 
 
 
 2  x z 
1  u v 

 
2  y x 
0
1  w v 

 
2  y z 
1  u w  



2  z x  
1  v w  

 
2  z y  


0

Calculemos ahora dr’
dr'  dr  Q  P 
  dr'  dr  M dr  dr  D dr  H dr  I  H dr  D dr
Q  P  M dr 
La matriz [H] es una matriz hemisimétrica y por tanto representa un giro infinitesimal de sólido rígido.
Por tanto, su aplicación no modifica las distancias relativas entre puntos (tampoco lo hace la traslación que se
observa en la figura. Por tanto el movimiento sufrido se puede escribir como suma de una traslación más un giro
más una deformación. Y al contrario que [H], la matriz simétrica [D] produce un cambio ([D]dr) tanto en la
dirección como en el módulo del vector dr y por ello se denomina matriz o tensor de deformaciones.
Se definen:
x 
v
u
, y  ,
x
y
z 
w
,
z
 xy 
u v
 ,
y x
 xz 
u w

,
z x
 yz 
v w

z y
De manera que el tensor de deformaciones queda de la siguiente forma:

 x

D   1  xy
2
1
  xz
2
1
 xy
2
y
1
 yz
2
1

 xz 
2

1
 yz 

2

z 

La matriz es simétrica y los elementos de la diagonal principal representan deformaciones longitudinales en las
direcciones de cada eje. Por ejemplo, si estiramos un segmento dx en dirección x la deformación sería:

l

l0
u
u
dx  u
u
x

 x
dx
x
A su vez, las componentes ij representan deformaciones tangenciales o de cizalladura:
En efecto, la deformación angular  +  que es lo representativo de la
deformación a cizalladura vendría dada por:
v 
v u
x 
  

  xy

u 
x y
  tg 
y 
  tg 
9
Al igual que con las tensiones, también es posible definir un vector deformación según una determinada
dirección o plano:
dr'  dr  D dr 
dr
dr'  dr
 D 
dr
dr
 ε  D  n
Conviene destacar que la dirección del vector  y  correspondientes a un determinado plano o dirección n no
tienen por qué coincidir. Al igual que para el caso del tensor tensión, podremos hablar de direcciones principales
donde la deformación sea exclusivamente longitudinal, que se calcularán de forma análoga, resolviendo el
correspondiente sistema de autovalores. Las direcciones principales del tensor de deformaciones coinciden con
las del tensor de tensiones.
2.5 ELASTICIDAD LINEAL EN MATERIALES ISÓTROPOS.
Veamos ahora las relaciones empíricas que relacionan tensiones y deformaciones en materiales
isótropos (es decir, aquellos cuyas propiedades no dependen de la dirección en que las midamos). Como ya
hemos mencionado, la mayoría de los materiales estructurales (metales, cerámicos, madera…) exhiben un
comportamiento elástico lineal en las primeras etapas de carga. Es decir, se observa que estos materiales
verifican la ley de Hooke.
2.5.1 Ley de Hooke.
La relación lineal entre la tensión y deformación en una barra sometida a tracción o compresión uniaxial
se expresa mediante la expresión:
 = E
es decir, en dicho tramo las tensiones son proporcionales a las tensiones. La constante de proporcionalidad se
conoce como módulo de Young, módulo de elasticidad o simplemente módulo elástico, E, del material. Este
parámetro puede calcularse a partir de la pendiente de la curva en este tramo inicial, y nos da una idea de la
oposición del material a ser deformado elásticamente (es decir, de su rigidez). Veremos otras magnitudes que
caracterizan el régimen elástico lineal.
2.5.2 Coeficiente de Poisson.
En el tramo elástico, la relación entre el alargamiento unitario y el acortamiento transversal unitario se
mantiene constante y es una propiedad de cada material que se denomina coeficiente de Poisson:
 
t
l
El signo menos se introduce para que el coeficiente sea positivo ya que las deformaciones transversales suelen
ser de signo opuesto a las longitudinales. El coeficiente de Poisson es un parámetro adimensional y su valor es
siempre inferior a 0.5 y generalmente está comprendido entre 0.2 y 0.4.
Nota: como acabamos de ver, el hecho de que existan deformaciones en una determinada dirección no
implica que existan tensiones en dicha dirección, por ello los vectores  y  no tienen por que ser paralelos.
2.5.3 Principio de superposición. Leyes de Hooke generalizadas.
Las tensiones y fuerzas verifican el principio de superposición, por lo que “la deformación resultante de
la aplicación simultánea de 2 o más sistemas de fuerzas es la suma de las deformaciones que producirían cada
uno de los sistemas de fuerza por separado.”
Aplicando este principio a un cubo sobre cuyas caras actúan diferentes tensiones,
z
la deformación en una dirección determinada, por ejemplo la dirección y, será la
suma de la deformación longitudinal producida por la tensión y y de las
deformaciones transversales producidas por x y z, que teniendo en cuenta la
definición del coeficiente de Poisson nos conduce a:
y
x
y 
y
E

10
x
E

z
E



1
 y    x   z 
E
y análogamente para las otras 2 direcciones:




1
 x    y   z 
E
1
 z   z    x   y 
E
x 
Estas expresiones se denominan leyes de Hooke generalizadas para el caso particular de que los ejes
coordenados coincidan con los ejes principales, y relacionan todas las componentes de [T] y [D] en ese caso
particular (en este caso sólo hay componentes en la diagonal principal: tensiones principales para [T] y
deformaciones longitudinales para [D]).
Veamos el caso más general en que el sistema de coordenadas Oxyz no coincide con la terna de
direcciones principales Ox*y*z* y siendo [R] la matriz de cambio de coordenadas de Ox*y*z* a Oxyz. Entonces:
( R ) 1  ( R )T
ε  ( R) ε * 

ε

(
R
)
ε
*

(
R
)

D
*

n
*
 ( R) D * ( R) T n




n  ( R) n *
D 
y análogamente:

D   ( R) D * ( R) T
T   ( R) T * ( R) T
Que desarrolladas quedan:

 x

1
 2 xy
1
  xz
2
1
 xy
2
y
1
 yz
2
1 
 xz 
2   r11
1  
 yz   r12
2  
  r13
z 



1
 E  x    y   z 

 
x
r31 

0
r32 
r33 


0





r21
r22
r23

0


1
 y    x   z 
E 



y



0


 r11

0
 r21
 r
 31

1
 z    x   y  
E 



z


0
r12
r22
r32
r13 

r23 
r33 

y
  xx

  yx

 zx
 xy  xz   r11
 
 yy  yz    r12
 zy  zz   r13
r21
r22
r23
r31   x

r32  0
r33  0
0
y
0
0  r11

0  r21
 z  r31
r12
r22
r32
r13 

r23 
r33 
donde los rij son los cosenos directores de los vectores unitarios de un sistema respecto al otro. Desarrollando se
tiene que:
  xx

  yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz    x r11  x r21  x r31  r11
 

 yz     y r12  y r22  y r32  r21
 zz    z r13  z r23  z r33  r31
r12
r22
r32
  xx   x r11 2   y r12 2   z r13 2

 yy   x r21 2   y r22 2   z r23 2
r13  
   xx   x r31 2   y r32 2   z r33 2
r23   
   x r11 r21   y r12 r22   z r13 r23
r33   xy
 xz   x r11 r31   y r12 r32   z r13 r33

 yz   x r21 r31   y r22 r32   z r23 r33
y análogamente para las deformaciones:
  xx   x r11 2   y r12 2   z r13 2

2
2
2
  yy   x r21   y r22   z r23
    r 2   r 2   r 2
xx
x 31
y 32
z 33
1


r
r

r
r




x 11 21
y 12 22
z r13 r23
 2 xy
 12  xz   x r11 r31   y r12 r32   z r13 r33
1
 2  yz   x r21 r31   y r22 r32   z r23 r33
11
de donde






1
1
1
 x    y   z  r11 2   y    x   z  r12 2   z    x   y  r13 2 
E
E
E
 xx   x r11 2   y r12 2   z r13 2 



 
1
 x r11 2   y r12 2   z r13 2    y   z r11 2   x   z r12 2   x   y r13 2 
E
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
  xx   r11  r12  r13  x  r11  r12  r13  y  r11  r12  r13  z  r11  x  r12  y  r13  z
E




2
Considerando que r11  r12
2

 r13
2



 1 por ser cosenos directores y que la traza es invariante, es decir que
 x   y   z   xx   yy   zz , se obtiene:
 xx 




1
 xx    x   y   z   xx   1  xx    yy   zz 
E
E
Es decir, considerando todas las direcciones:
 xx 


 yy




 zz
1
 xx    yy   zz 
E
1
  yy    xc   zz 
E
1
  zz    xx   yy 
E
(1)
que son formalmente análogas a las expresiones correspondientes al sistema de ejes principales. Haciendo lo
mismo para las tensiones de cizalladura:
1
2
 xy   x r11r21   y r12 r22   z r13r23 






1
1
1
 x    y   z  r11r21   y    x   z  r12r22   z    x   y  r13r23 
E
E
E


1
 x r11r21   y r12r22   z r13r23   y   z r11r21   x   z r12r22   x   y r13r23  
E
1
  xy   r11r21  r12 r22  r13r23  x  r11r21  r12 r22  r13r23  y  r11r21  r12 r22  r13r23  z  r11r21 x  r12 r22 y  r13r23 z  
E





 
que considerando que r1  r2  r1  r2  r11 r21  r12 r22  r13 r23  0 conduce a
1
2
 xy 
de donde se obtiene finalmente:
1
 xy   xy   1   xy
E
E

2 1   
 xy  xy
E
G
2 1   


 xz  xz
E
G

2 1   

 yz  yz
E
G
 xy 
 xz
 yz
que junto con (1) constituyen las leyes de Hooke generalizadas (   G ) para el caso de un sistema de referencia
E
arbitrario y donde G 
es el denominado módulo de cizalladura, que tiene dimensiones similares a las
2 1   
del módulo elástico (fuerza/superficie). Se verifica siempre que G < E y su valor depende exclusivamente del
material considerado.
También se puede obtener una expresión de la ley de Hooke para un estado de presión hidrostática. En
este caso, por definición, independientemente de la orientación escogida, sobre las caras del paralelepípedo
actuará siempre una misma presión p perpendicular a ellas, de forma que el tensor de tensiones vendrá dado por:
12
0 
 p 0


T    0  p 0 
 0
0  p 

El módulo de rigidez del material se define como B  V
p
V
con signo negativo para que B sea
T
positivo, ya que al aumentar la presión disminuye el volumen y viceversa. Entonces:
p  B
V
 B 
V
que es versión volumétrica de la ley de Hooke, y donde  es la dilatación o deformación volumétrica unitaria,
que puede calcularse como:
dV 'dV dx' dy ' dz ' dxdydz dx ' dx  x dx dxdydz (1   x )(1   y )(1   z )  dxdydz


 x y z
dV
dxdydz
dxdydz
p
que teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y que  x   y   z   p   x   y   z 
(1 - 2 )
E

conduce a :

dV 'dV  3 p
(1 - 2 ) 

dV
E
p
E
E
  B   B 
3(1 - 2 )
3(1 - 2 )
Es decir, existe también una relación entre el módulo de rigidez y el módulo elástico y coeficiente de Poisson al
igual que sucediera con el módulo de cizalladura, G. El hecho de que B ha de ser necesariamente positivo es
precisamente lo que implica que el coeficiente de Poisson no pueda exceder el valor 0.5. Dicho valor
corresponde al caso extremo de un material que deforma elásticamente sin cambio de volumen (es decir, un
material infinitamente rígido en sentido volumétrico, un material incompresible). En estos materiales
incompresibles se verifica que E  3G :
2.5.4 Ecuaciones de Lamé.
Hasta ahora hemos calculado las deformaciones en función de las tensiones (leyes de Hooke
generalizadas, pero el problema original era calcular las tensiones, así que debemos invertir esas expresiones.
Si denominamos
e   xx   yy   zz y    xx   yy   zz a los invariantes lineales de deformaciones y
tensiones y sumamos las expresiones (1), leyes de Hooke generalizadas, se obtiene e 
1 2
E
 y además,
podemos reescribir (1) como:
1
1
1
 xx   xx   yy   zz   xx   yy   zz   xx  xx  (1  ) xx  
E
E
E
1
1
 yy   yy   xc   zz   (1  ) yy 
E
E
1
1
 zz   zz   xx   yy  (1  ) zz  
E
E
y despejando las tensiones se obtiene:
E   
E
E

 xx  xx
e
 xx  e  2G xx
1    1 2  xx 
(1   )(1  2 )
1 
 e 

E yy    E 
 yy 
   yy  e  2G yy
1  

E zz   
 zz  e  2G zz
 zz 

1   
Estas expresiones junto con  xy  G xy ,  xz  G xz ,  yz  G yz son las denominadas ecuaciones de Lamé.














Donde G (también denotado como  ) y  son los denominados coeficientes de Lamé.
13
Es posible expresar las ecuaciones de Lamé en forma matricial, representando [T] y [D] como matrices
columna de 6 elementos, según el siguiente orden en dichos elementos: 11, 22, 33, 23, 13, 12:


0 0 0    xx 
  xx   2G  

 
 

2G  
0 0 0    yy 
  yy   
   

2G   0 0 0    zz 
 zz   
· 
  yz   0
0
0
G 0 0    yz 
 
  
0
0
0 G 0    xz 
 xz   0
   0
0
0
0 0 G    xy 
xy 

  
 
 
 
 E 
T 
 D 

T    E   D 


que no es más que la ley de Hooke en forma matricial, que invertida quedaría:
  xx   1 / E   / E   / E
0
0
0    xx 
  


0
0
0    yy 
  yy     / E 1 / E   / E
     / E  / E 1/ E
0
0
0    zz 
 zz   

·
  yz   0
0
0
1/ G
0
0    yz 
  


0
0
0 1/ G
0    xz 
 xz   0
   0
0
0
0
0 1 / G    xy 
xy 

  
1
 
 
 
 D 
T 
 E 



-1
D    E  T 
Todo este grupo de ecuaciones que hemos visto se denominan genéricamente ecuaciones constitutivas.
Como vemos, en todas estas ecuaciones aparecen exclusivamente 2 parámetros elásticos independientes. Esto es
característico de materiales isótropos: sus propiedades elásticas quedan perfectamente definidas conocidos dos
cualesquiera de sus parámetros elásticos (Nota: generalmente se escogen E y ), el resto pueden calcularse de
forma sencilla:
E, 
Par de módulos elásticos independientes
E, G
B,G
B, 
E
E
E
9 BG
3B  G
G
E
2 1  
G
G
3B( 1-2 
21   
B
E
3(1 - 2 )
B
B



E
(1  )(1  2 )
EG
3( 3G-E)
E
-1
2G
(E-2G)G
3G-E
3B-2G
6 B  2G
2G
B3
3B( 1-2 

3 B(1+)
 ,G
G( 3  2G 
 G
G

2G
3

  G 


Las ecuaciones constitutivas, junto con las ecuaciones de equilibrio, permitirían calcular las tensiones y
deformaciones en cualquier punto de un determinado material conocidas sus propiedades elásticas y las fuerzas
que actúan sobre el material, es decir, resolver el llamado problema elástico.
2.5.5 El problema elástico.
La aplicación más habitual de la teoría elástica es la resolución de un problema de contorno que se
conoce universalmente como el problema elástico y que puede enunciarse del siguiente modo:
14
“Dado un sólido elástico continuo, homogéneo e isótropo, con constantes elásticas E y , para el que se
conocen:
-las fuerzas másicas fv que actúan en su volumen V,
-las fuerzas superficiales fs en una región de su superficie exterior, S, y los desplazamientos u, v, w)
en todos los puntos restantes de la superficie,
se pretende determinar:
a) En V, los desplazamientos u, v, w) y los tensores [T] y [D] en cada punto.
b) En la superficie S, los desplazamientos en las regiones donde se conocen las fuerzas y,
recíprocamente, las fuerzas en las regiones donde se conocen los desplazamientos.”
La solución a este problema implica que las componentes del tensor de tensiones, [T], han de verificar las
ecuaciones de equilibrio interno o las ecuaciones de equilibrio en el contorno, y que las componentes del tensor
de deformación, [D], cumplan las condiciones de compatibilidad (que no se han estudiado, pero que
básicamente garantizan la integrabilidad de las deformaciones para poder obtener los desplazamientos a partir de
ellas). Existen varias formas de plantear este problema, de las cuales a continuación se describe brevemente la
formulación en desplazamientos:
Las ecuaciones de equilibrio interno pueden expresarse en función de las deformaciones utilizando las
ecuaciones de Lamé. Además, ya que las deformaciones se definen a partir de los desplazamientos, estas
ecuaciones pueden expresarse en la forma:

 nx  xy  xz


0
X 
x
y
z

 xy  ny  yz



0
Y 



x
y
z

 zx  yz  nz

 Z  x  y  z  0


 e  2G xx  G xy G xz


0
X 
x
y
z
u
v
w

x  , y  , z  ,
x
y
z
Ec. Lamé






G
e
G
G


2



xy
yy
yz
 Y 


 0 
u v
u w
v w
x
y
z
 xy   ,  xz   ,  yz  

y x
z x
z y
G zx G yz  e  2G zz 

0
 Z  x  y 
z


 2u
  u v 
  u w 
  u v w 






 G     G  
X
G

2
0

2












x
x
y
z
y
y
x
z
z
x

x







2







 v
 v w
 u v w
 u v
0
  2G 2  G  


 Y  G 
    
y  x y z 
z  z y 
x  y x 
y


  u w 
  v w 
  u v w 
2w










Z
G
G
G

2


0



x  z x 
y  z y 
z  x y z 
z 2

que, considerando la igualdad entre derivadas cruzadas, conduce a:

  2u  2u  2u 
  u v w 



 2  2  2   0









X
G
G

2

x  x y z 
y
z 
 X    G  x     G u  0
 x




  2v  2v  2v 
  u v w 


  G 2  2  2   0   Y    G      G 2 v  0
  Y    G  


y  x y z 
y
y
z 
 x


2
2
2




 w  w  w
  u v w 




Z

G



 G 2 w  0




0






G
Z    G  

 x 2 y 2 z 2 
z

z  x y z 



Estas expresiones reciben el nombre de ecuaciones de Navier. Multiplicando por los vectores coordenados
unitarios y sumando, se obtiene finalmente



f v    G      G 2  0
Esta igualdad es la denominada ecuación fundamental de la elasticidad, que resulta independiente del sistema de
coordenadas elegido. Resolver el problema elástico, cuando éste se formula en desplazamientos, consiste en
encontrar los desplazamientos que sean solución de la ecuación fundamental de la elasticidad, verificando las
condiciones de contorno correspondientes. Una vez conocidos los desplazamientos, las deformaciones se
obtienen por derivación y las tensiones a partir de las ecuaciones de Lamé. De entre los diversos métodos que
pueden utilizarse para resolver esta ecuación cabe citar, por su importancia en la resolución de un gran número
de problemas prácticos, el método de Galerkin (que suele ser el utilizados en muchos métodos numéricos como
el de elementos finitos) y el de potencial de deformación de Lamé.
15
2.6 ELASTICIDAD LINEAL EN MATERIALES ANISÓTROPOS.
En materiales monocristalinos, la respuesta elástica debe ser anisótropa ya que la fuerza que se ejercen
entre los átomos depende de la dirección cristalográfica considerada. Analicemos la respuesta elástica lineal en
este tipo de materiales. Definimos:
  11  12

 
 22
   


 13    xx  xy  xz 
 

 23   
 yy  yz 
 33  
 zz 
y
  11  12

 
 22
   


 13    xx
 
 23   
 33  
 xy
 yy
1
2
 xz 

 yz 
 zz 
1
2
1
2
Podemos generalizar la ley de Hooke en forma matricial a estos materiales de la siguiente forma:
   C      ij  cijkl  kl


o bien
    S      ij  sijkl  kl


donde [C] es el tensor (de 4º orden) de constantes elásticas (según la notación inglesa) o matriz de rigidez o
stiffness (según la notación americana) y [S] es el tensor (tambien de 4º orden) de módulos elásticos (notación
inglesa) o matriz de elasticidad o compliance (notación americana). Conviene notar que las letras estén
invertidas en la notación americana y el significado con respecto al español (constante vs. módulo) está invertido
en la inglesa. Al ser el material anisótropo, los valores de las componentes de [C]y [S] no serían los vistos
anteriormente sino que serían en principio arbitrarios. En realidad, de las 81 componentes (34) de [C] y [S], sólo
36 son independientes entre sí ya que, por ser [] y [] simétricos, se cumple s ijkl  s jikl  s ijlk  s jilk (e
igualmente para [C]). Haciendo uso de esto y para simplificar, representaremos estos tensores elásticos como
tensores de 2º orden de 6x6, haciendo la siguiente contracción de índices:
11  1, 22  2, 33  3, 23  4, 13  5, 12  6
y consideramos además los siguientes factores:
s ijkl  S mn (si m y n  1, 2, 3)
s ijkl  12 S mn (si m o n  4, 5, 6)
s ijkl  14 S mn (si m y n  4, 5, 6)
y análogamente con [C]. Estos factores se introducen para tener en cuenta la multiplicidad de cada término y
evitar que aparezcan factores numéricos en la ecuación. Ejemplo:
 11   c11kl  kl
Einstein
 c11kl  kl  c1111  11  c1112  12  c1113  13  c1121  21  c1122  22  c1123  23  c1131  31  c1132  32  c1133  33 
k ,l
 C 11  1  12 C 16  6  12 C 15  5  12 C 16  6  C 12  2  12 C 14  4  12 C 15  5  12 C 14  4  C 13  3  C 11  1  C 12  2  C 13  3  C 14  4  C 15  5  C 16  6 
6
  C1 j  j  C1 j  j
j 1
Utilizando esta notación, podemos expresar entonces la ley de Hooke generalizada como
  1   C11
  
  2   C 21
   C
 3    31
  4   C 41
   C
 5   51
   C
 6   61
C12
C 22
C 32
C 42
C 52
C 62
C13
C 23
C 33
C 43
C 53
C 63
C14
C 24
C 34
C 44
C 54
C 64
C15
C 25
C 35
C 45
C 55
C 65
C16    1 
 
C 26    2 
C 36    3 
 
C 46    4 
C 56    5 
C 66    6 
16
y
  1   S11
  
  2   S 21
   S
 3    31
  4   S 41
   S
 5   51
   S
 6   61
S12
S 22
S 32
S 42
S 52
S 62
S13
S 23
S 33
S 43
S 53
S 63
S14
S 24
S 34
S 44
S 54
S 64
S15
S 25
S 35
S 45
S 55
S 65
S16    1 
 
S 26    2 
S 36    3 
 
S 46    4 
S 56    5 
S 66    6 
De los 36 elementos de las matrices elásticas, sólo 21 son independientes porque, como vamos a demostrar, estas
matrices también son simétricas:
Calculemos la energía de un cristal deformado:
W   i d i (i  1,6, trabajo realizado por las fuerzas externas)
  dF   i d i  C ij  j d i
 W 
F
  F 
  C ij


 C ij  j 
 i
 j   i 
F U TS
dU  Q  W  TdS  W  dF   SdT  W
isotermo
y al ser la energía libre de Helmholtz, F, función de estado:
2F
2F

 C ij  C ji y análogamente S ij  S ji .
 j  i  i  j
NOTA: La energía elástica por unidad de volumen se obtendría integrando:
W   C ij  j d i  12 C ij  i  j
2.6.1 Efecto de la simetría cristalina.
Dependiendo de la simetría del cristal, el número de constantes elásticas independientes se puede
reducir aún más. Es decir, los únicos cristales que presentarían 21 constantes elásticas independientes serían los
del sistema triclínico, que no presentan simetrías.
Veamos un ejemplo de cómo las simetrías reducen el número de constantes elásticas. Consideremos un
eje binario (giro 180º) según el eje a: por acción de este eje de simetría la dirección 3 se transformaría en -3, la
2 en -2 y la 1 quedaría invariante (1  1). Por tanto los elementos en la matriz de constantes elásticas se
transformarían de la siguiente forma:
1 = 11  11
=1
2 = 22  (-2)(-2) = 22
3 = 33  (-3)(-3) = 33
4 = 23  (-2)(-3) = 23
5 = 13  1 (-3) = -13
6 = 12  1 (-2) = -12
c (3)
b (2)
a (1)
 C11









C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 33
C 24
C 34
C 25
C 35
C 44
C 45
 C11



 C   





C 55
C12
C 22
C16   C11
 
C 26  
C 36  

C 46  
 
C 56  
C 66  
C13
C 23
C14
C 24
0
0
C 33
C 34
0
C 44
0
C 55
=2
=3
=4
= -5
= -6
C12
C13
C14
 C15
C 22
C 23
C 33
C 24
C 34
 C 25
 C 35
C 44
 C 45
C 55
 C16 

 C 26 
 C 36 

 C 46 

C 56 
C 66 
0        
 

0       
0  
   


0  
  
C 56  
  
C 66  
 
donde los · representan constantes nulas y los ● constantes independientes. Es decir, sólo la presencia de un
binario ha reducido el número de constantes independientes a 13
17
Veamos otro ejemplo con un eje cuaternario (giro 90º) según eje c: En este caso 1  2, 2  -1, 3  3.
Por tanto:
1 = 11  22
2 = 22  (-1)(-1) = 11
3 = 33  33
4 = 23  (-1)3 = -13
5 = 13  23
6 = 12  2(-1) = -21
 C11









C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 33
C 24
C 34
C 25
C 35
C 44
C 45
C 55
C16   C 22
 
C 26  
C 36  

C 46  
C 56  
C 66  
=2
=1
=3
= -5
=4
=-6
C 21
C 23
 C 25
C 24
C11
C13
C 33
 C15
 C 35
C14
C 34
C 55
 C 54
C 44
 C 26         
 

 C16  
    
 C 36  
   


C 56  
  
 C 46  
  
C 66  
 
donde los ● son constantes independientes, símbolos iguales indican constantes iguales entre sí, y donde * y ◦
son constantes iguales pero de signo opuesto. Por tanto un eje cuaternario reduce el número de constantes
independientes a 7.
Si tenemos varias operaciones de simetría debemos determinar la relaciones entre las constantes
elásticas de manera independiente para cada una de ellas y luego combinarlas para obtener las relaciones
completas del cristal. En la siguiente tabla se resumen los resultados de esta operación para los diferentes
sistemas cristalinos:
Según esta tabla, los cristales cúbicos sólo tienen 3 constantes independientes (C11, C44 y C12), una más
que los materiales isótropos. De hecho, un cristal cúbico puede ser isótropo, pero para ello ha de verificarse que:
18
  2G  C11 ,   C12
y G  C 44 , lo que implica que se tiene que verificar que
C11  C12
 1 . A este
2C 44
cociente se le denomina por tanto razón de anisotropía del cristal cúbico: cuanto más se aproxime a 1, más
isótropo será el cristal (En una tabla de las transparencias se muestran algunos valores, y puede notarse que el W
es isótropo). La matriz de módulos elásticos o matriz de compliance también tendrá evidentemente sólo 3 valores
independientes, verificándose (basta con invertir las matrices):
C11 
S11  S12
,
( S11  S12 )( S11  2 S12 )
C12 
 S12
,
( S11  S12 )( S11  2 S12 )
C 44 
1
S 44
Además, en cristales cúbicos es sencillo calcular el módulo elástico efectivo Ehkl  en cualquier dirección [hkl]
conocidos los cosenos directores () de la misma, aplicando la siguiente expresión:
1
Ehkl 
 S11  2( S11  S12  12 S 44 )( 2  2   2  2   2  2 )
que también puede expresarse como:
1
Ehkl 

1
E 100
 1
1
 3

 E 100 E 111

 2 2
(    2  2   2  2 )


En general, en la mayoría de los cristales cúbicos E 100  E 111 , siendo ambos los valores extremos del
módulo de Young del cristal.
2.7 MÉTODOS DE MEDIDA DEL MÓDULO ELÁSTICO.
Finalmente, comentaremos brevemente algunos de los métodos más convencionales para determinar
experimentalmente el módulo elástico de un material:
- Ensayo de tracción uniaxial: Es el método más directo, calculándolo a partir de la pendiente del tramo
lineal de la curva tensión-deformación. Sin embargo, en el régimen elástico las deformaciones son muy pequeñas
y se requiere por tanto una extensometría muy precisa, así como un buen alineamiento de la probeta.
- Ensayo de viga en voladizo (cantilever test): Es un método también muy simple consistente en medir
la deflexión de una viga en voladizo cuando se le aplica una fuerza en su extremo. Esta configuración de ensayo
provoca mayores desplazamientos y por tanto la medición es más sencilla.
- Medidas de la frecuencia natural de vibración: El módulo elástico está directamente relacionado con
la frecuencia natural de vibración de una barra (p.ej), a través de la expresión:
E
16ML3 f
3d 4
2
Las técnicas de medida de la frecuencia natural de vibración requieren de sensores acústicos y son algo
sofisticadas, pero se obtienen medidas de muy elevada precisión y exactitud (dependiendo de lo exactas que sean
las medidas de las dimensiones de la muestra).
- Medidas de la velocidad del sonido: La velocidad de propagación de ondas acústicas en un
determinado medio sólido es directamente relacionada con el módulo elástico de dicho medio. Así, para ondas
longitudinales se tiene:
19
VL 
E

Medir la velocidad de propagación de ondas acústicas en un medio tampoco es inmediato, pero proporciona
muy buenas medidas del módulo elástico.
- Ensayos de indentación instrumentada: También es
posible determinar el módulo elástico a partir de la pendiente de la
curva de descarga en un ensayo de indentación instrumentada en el
que se registra durante el ensayo la curva carga-profundidad de
penetración del indentador:
E* 
Con A  a
2
1 dP 
2 dh A
 h p tan 2  siendo  el ángulo cónico efectivo
2
del indentador y donde
h p  ht  
Pt
con   0.75
dP dh
- Ensayos de indentación Hertziana: Los ensayos de indentación con esferas de radio r permiten
registrar una curva tensión-deformación de indentación (presión media p0=P/a2 frente a la razón a/r) a partir de
la medida del radio a de la huella residual en una secuencia de ensayos a carga P creciente. También en estas
curvas se aprecia un tramo lineal cuya pendiente, m, está relacionada con el módulo elástico del material, según
la expresión:
1  2
3 (1  2 )
m

E
4
1  '2
4

3 m
E'
donde los valores E’ y ’ son los correspondientes al material del impresor y la aproximación corresponde a
asumir un impresor infinitamente rígido.
20