ECUACIÓN DE BERNOULLI y APLICACIONES Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis SUMA DE BERNOULLI B=h+ v2 2g + p γ Daniel Bernoulli (1700 – 1782) 1 B= v2 2g + p +h γ COTA PIEZOMÉTRICA: p̂ p = +h γ γ ALTURA DE VELOCIDAD ALTURA DE PRESIÓN COTA COTA PIEZOMÉTRICA EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN DIMENSIONES DE LONGITUD SUMA DE BERNOULLI B=h+ v2 2g + p γ B v12 2g v12 2g p γ D1 p γ v1 v 22 2g p γ v2 h D2 h h NIVEL DE REFERENCIA 2 ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli (2) (1) v2 p2 h1 + v12 p1 v2 p + = h2 + 2 + 2 2g γ 2g γ junto a la continuidad ecuación de v1 A 1 = v 2 A 2 p1 v1 h2 h1 NIVEL DE REFERENCIA son fundamentales para la resolución de los problemas de la Dinámica de los Fluidos APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI Principio de Torricelli: “La velocidad con la que sale un líquido por el orificio de un recipiente es igual a la que adquiriría un cuerpo que se dejara caer libremente desde la superficie libre del líquido hasta el nivel del orificio”. 3 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI Apliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante. (1) B1 = B2 • h1 + 2 1 v p v2 p + 1 = h2 + 2 + 2 2g γ 2g γ En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0. H • (2) En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con con presiones relativas). p atm v2 p = h + 2 + atm γ γ 2g H+0+ h De donde despejamos la velocidad de salida: v 2 = 2g(H − h ) NIVEL DE REFERENCIA APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN p1 D1 V1 (1) p3 p2 D2 V2 (2) D3 V3 (3) Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3) Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3) 4 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN p1 Continuidad: Q1 = Q2 = Q3 = Q v1 = Q , A1 v2 = D1 Q A2 p3 p2 D2 V1 (1) V2 D3 V3 (2) (3) Q v3 = A3 Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN p1 Conservación de la energía: B1 = B2 = B3 = B v2 p B1 = h 1 + 1 + 1 2g γ B2 = h 2 + v 22 p 2 + 2g γ B3 = h 3 + v 32 p 3 + 2g γ D1 V1 (1) p3 p2 D2 V2 D3 V3 (2) (3) Consideremos que la tubería es horizontal y que el nivel de referencia está en el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones de Bernoulli se reducen a: 5 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN B1 = v p + 1 2g γ v2 p B2 = 2 + 2 2g γ B3 = p1 2 1 v 32 p 3 + 2g γ D1 V1 (1) p3 p2 D2 V2 D3 V3 (2) (3) Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a: v2 p1 = γ B − 1 , 2g v2 p 2 = γ B − 2 , 2g v2 p 3 = γ B − 3 2g O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad es mayor y la presión es menor. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN La presión es menor en las secciones de mayor velocidad 6 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI TUBO DE VENTURI o VENTURÍMETRO: Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la sección de mayor área y en la de menor área para determinar el caudal que escurre por la tubería. B1 = B 2 2 1 v p v2 p + 1 = 2 + 2 2g γ 2g γ v 22 v12 p1 p 2 − = − 2g 2g γ γ GIOVANNI BATISTA VENTURI (1746 – 1822) APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI VENTURÍMETRO: Además v1 = Reemplazando en la ecuación anterior: Q2 A 2 2 − Q , A1 Q A2 p p = 2g 1 − 2 γ A γ Q2 2 1 A2 − A2 Q 2 1 2 2 2 A1 A 2 Q= v2 = p p = 2g 1 − 2 γ γ A1 A 2 A12 − A 22 2g p1 − p 2 γ 7 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI VENTURÍMETRO: En las aplicaciones prácticas se usa: Q=C p1 − p 2 γ Donde C es una constante empírica que se calibra para cada venturímetro APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO: El mismo principio que el usado en el venturímetro se utiliza en la placa orificio o diafragma. (1) (2) 8 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO: Sea A el área de la tubería y A0 el de la placa orificio. p1 p2 En la sección (2) el área del chorro es ccA0. El problema es esencialmente el mismo que el del venturímetro, resultando, reemplazando A1 por A y A2 por ccA0 en la expresión final: Q= Ac c A 0 A 2 − (c c A 0 ) 2 p − p2 2g 1 γ (1) (2) En aplicaciones prácticas se utiliza Q = C´ p1 − p 2 γ Donde C’ se calibra experimentalmente. PUNTOS DE ESTANCAMIENTO Los puntos de estancamiento son puntos del flujo en los que la velocidad es nula. Ellos surgen para compatibilizar físicamente puntos en los que las líneas de corriente tienen radio de curvatura tendiendo a cero. 9 PUNTOS DE ESTANCAMIENTO LÍNEAS DE CORRIENTE (0) (PE) PUNTO DE ESTANCAMIENTO (PE) Se cumple: B0 = BPE PUNTOS DE ESTANCAMIENTO B0 = BPE (0) v 02 p 0 p PE + = 2g γ γ PRESIÓN ESTÁTICA PRESIÓN DINÁMICA (PE) Podemos conocer la velocidad: p − p0 v 0 = 2g PE γ 10 PUNTOS DE ESTANCAMIENTO Podemos conocer la velocidad: p − p0 v 0 = 2g PE γ (0) (PE) ⇓ Instrumento para medir la velocidad de los fluidos: TUBO DE PITOT TUBO DE PITOT Inventado en 1732 por Henri de Pitot (1695 – 1771) para determinar el caudal del río Sena (Francia) 11 TUBO DE PITOT El punto (2) es un punto de estancamiento TUBO DE PITOT B1 = B2 Como el punto (2) es un punto de estancamiento v12 p1 p 2 + = γ 2g γ p − p1 v1 = 2g 2 γ v1 p1 y p2 las ligamos con las presión que hay dentro del tubo. En el tubo la situación es hidrostática: p 1 = p A + γL , p 2 = p B + γ (H + L ) Pero pA = pB = patm , de donde resulta que p 2 − p1 = γH ⇒ v1 = 2gH 12