Redes Lineales - Ramos Departamento de Electrónica

1
Capítulo 6
REDES LINEALES
Se desea definir redes lineales y estudiar sus propiedades.
Luego se desarrollará el método de análisis por superposición para redes lineales; y dos
importantes casos particulares de este método: Los teoremas de Thévenin y Norton.
Una red lineal está formada por la interconexión de componentes elementales lineales.
Entonces una red lineal queda descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. El número de ecuaciones es igual al número de componentes dinámicas, esto si
existe un árbol que contenga a todos los condensadores y fuentes independientes de tensión, y
que las cuerdas contengan a todos los inductores y fuentes de corriente.
De la definición de linealidad podremos demostrar qué modelos matemáticos pueden
emplearse para representar componentes lineales. Veremos que los condensadores, resistencias
e inductores son componentes lineales.
Una red no-lineal es aquella que no es lineal. Un número importante de redes útiles son nolineales.
Las redes lineales son un caso particular de sistemas lineales, que se estudia como asignatura
aparte.
Comenzamos el estudio observando redes con una excitación y una respuesta; luego, redes
con dos excitaciones y, finalmente, el caso general de n excitaciones.
6.1 Redes con una excitación y una respuesta
En la Figura 6.1 se tiene una red que posee sólo una fuente independiente, que se considera
la excitación. De todas las variables de la red se escoge el voltaje en la resistencia R3 como la
respuesta.
Ejemplo 6.1.
Sea la siguiente red:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
2
Teoría de Redes Eléctricas
i1
i2
R1
R3
R2
e(t)
i3
r(t)
Figura 6.1. Red con una excitación.
De todas las variables observables se escogió arbitrariamente una. En el caso de la Figura
6.1, se eligió r, el voltaje en R3.
La corriente i1 resulta, mediante equivalencias:
(6.1)
e
R2 R3
R2 R3
i1
R1
La corriente i3, por divisor de corriente:
i3
(6.2)
R2
i1
R2
R3
Finalmente:
r (t ) i3 R3
R2
R2 R3
( R1R2
R3 R1 )
e(t )
(6.3)
Si el coeficiente, formado por las resistencias, se denomina g, resulta:
r (t )
(6.4)
g e(t )
La relación (6.4) la podemos simbolizar, empleando notación de sistemas, según se muestra
en la Figura 6.2.
e(t)
S
r(t)
Figura 6.2. Símbolo de sistema.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
3
El símbolo relaciona el estímulo, excitación o causa, con la reacción, respuesta o efecto. La
relación entre ambas es la red R.
Se anota:
(6.5)
S : r(e)
Es decir, la red S está definida por una relación.
En el caso del ejemplo:
(6.6)
r (e) ge
6.2. Linealidad para redes con una excitación
La red descrita por el sistema: S: r(e) es lineal si y solamente si cumple las propiedades de
homogeneidad, o proporcionalidad, y superposición.
Una red es homogénea si al aplicar una proporción de un estímulo conocido, la respuesta
también varía en esa proporción.
Es decir, si se conoce que:
e(t)
S
r(t)
Figura 6.3. Causa – efecto.
Entonces se cumple, por homogeneidad que:
k e(t)
S
k r(t)
Figura 6.4. Homogeneidad.
Como k es una constante, la forma de e y ke son proporcionales; también r y kr tienen
formas proporcionales.
Una red tiene la propiedad de superposición, si al aplicar la suma de dos estímulos, en
general diferentes, la respuesta es la suma de las respuestas a cada uno de los estímulos.
Es decir, si se tiene que:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
4
Teoría de Redes Eléctricas
e1(t)
S
r1(t)
e2(t)
S
r2(t)
Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes.
Entonces se cumple que:
S
e1(t)+e2(t)
r1(t)+r2(t)
Figura 6.6. Superposición.
Combinando las definiciones anteriores, y si se tienen las relaciones de la Figura 6.5, se dice
que S es lineal, si y solamente si:
S
ae1(t) + be2(t)
ar1(t) + br2(t)
Figura 6.7. Linealidad.
Donde a y b son constantes.
Debe notarse que sólo existe una excitación.
Por lo tanto, (e1 + e2) se interpreta como un generador cuya forma de onda es la suma de las
formas de ondas de e1 y e2.
De la Figura 6.7, puede obtenerse la Figura 6.6, si a y b son iguales a uno. También puede
obtenerse la Figura 6.4 si a es cero o bien si b es cero.
6.3. Modelos básicos de componentes lineales
6.3.1. Recta que no pasa por el origen
Sea un sistema descrito por:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
5
S :r
(6.7)
ae b
Donde a y b son constantes.
Se desea determinar si el sistema S es lineal.
Sean: r1(e1) y r2(e2) los pares estímulo-respuesta conocidos.
O sea, se cumplen:
r1
r2
(6.8)
ae1 b
ae2 b
De la definición (6.7) si se aplica una excitación e1
(6.9)
e2 , tendremos una respuesta que
llamaremos rs (e1 e2 ) ; es decir, se cumple:
rs
a (e1 e2 ) b
(6.10)
El sistema cumple superposición si y sólo si:
rs
r1 r2
(6.11)
Si se reemplaza (6.8) y (6.9) en (6.10), se logra:
rs
r1 r2 b
(6.12)
Lo que demuestra que S es lineal sólo si b=0. Es decir, una recta que pasa por el origen.
Para el sistema dado en (6.7) se define la respuesta a un estímulo proporcional, como rh (ke)
. Es decir, se cumple:
rh
a (ke) b
(6.13)
El sistema S cumple homogeneidad si:
rh
kr
(6.14)
Eliminando e, mediante (6.7) en (6.13) se logra:
rh
kr b(1 k )
La relación (6.15) muestra que se cumple (6.14), homogeneidad, si y sólo sí: b=0.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.15)
6
Teoría de Redes Eléctricas
Entonces el sistema S : r
ae b es no lineal.
También podemos aseverar que el sistema S : r
ae es lineal.
Una resistencia es un sistema lineal, que relaciona la causa i, con la respuesta v, mediante la
relación de equilibrio: v Ri , con R constante.
6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación
Sea un sistema S, descrito por:
de
dt
(6.16)
de1
dt
de2
dt
(6.17)
r
Se definen:
r1
r2
(6.18)
Sea rs la respuesta a la suma de los estímulos, de la definición de S en (6.16), se cumple que:
d (e1 e2 )
dt
rs
(6.19)
Reemplazando (6.17) y (6.18) en (6.19) se logra:
rs
r1 r2
(6.20)
Por lo tanto, S definido en (6.16) cumple superposición.
Se tiene, aplicando la definición de S en (6.16), que:
rh
d (ke)
dt
(6.21)
Como el operador derivada es un operador lineal, se tiene a partir de (6.21) que:
rh
k
de
dt
Empleando (6.16) en (6.21), se cumple que:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.22)
Capítulo 6. Redes lineales
7
rh
(6.23)
kr
Entonces de (6.21) y (6.23) se tiene que S es homogéneo.
Y, como se cumple homogeneidad (6.23) y superposición (6.20), el sistema (6.16) será
lineal.
Vemos entonces que si L y C son constantes, el inductor y condensador serán componentes
lineales, ya que relacionan la corriente y el voltaje en ellas con una relación similar a la (6.16).
6.3.3. Red de primer orden
Sea una red S, descrita por el sistema:
S :a
(6.24)
dr
br e
dt
El modelo matemático en (6.24) es una ecuación diferencial ordinaria, lineal y de
coeficientes constantes. Puede decirse que S es una red de primer orden.
En las Figuras 6.8 y 6.9 se muestran dos redes que cumplen la relación (6.24):
e
r
1/b
a
Figura 6.8. Red RC.
Para la red de la Figura 6.8, aplicando LCK, se obtiene:
e
r
dr
a
1/ b
dt
Que es equivalente a la relación (6.24)
En la siguiente red:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.25)
8
Teoría de Redes Eléctricas
r(t)
b
a
e(t)
Figura 6.9. Red RL.
Aplicando LVK, se obtiene:
e a
dr
br
dt
(6.26)
Puede comprobarse, aplicando un desarrollo similar al de los puntos 6.3.1 y 6.3.2, que una
red de primer orden es lineal; y también que el sistema descrito en (6.27) es no lineal.
e a
dr
b r c
dt
(6.27)
6.3.4. Componente cuadrática
Sea un sistema S descrito por una relación cuadrática:
S : r e2
(6.28)
r1 e12
r2 e22
(6.29)
Se definen:
(6.30)
De (6.28) para la suma de las excitaciones se tendrá la respuesta:
rs
(e1 e2 )2
(6.31)
Reemplazando (6.29) y (6.30) en (6.31) resulta:
rs
r1 r2 2e1e2
(6.32)
Por lo tanto, no cumple superposición. Es no lineal.
Además por la definición (6.28) se tiene que la respuesta a un estímulo proporcional es:
rh
Leopoldo Silva Bijit
(ke)2
k 2 e2
27-06-2008
(6.33)
Capítulo 6. Redes lineales
9
Reemplazando (6.28) en (6.33), se logra:
rh
k 2r
(6.34)
rh
kr
(6.35)
Y no se cumple que:
Por lo tanto, no cumple homogeneidad, y (6.28) es no lineal.
La no linealidad cuadrática es muy útil en la generación de nuevas frecuencias.
Si la excitación es de tipo sinusoidal: e(t )
Se tendrá una respuesta:
r (t ) e2 (t )
sen( t )
sen2 ( t )
1 cos(2 t )
2
Se aprecia que la respuesta contiene una señal que tiene el doble de la frecuencia de la señal
de entrada. Este tipo de componente se emplea en sistemas de comunicaciones para generar
nuevas frecuencias.
6.4.
Algunas redes no lineales
Veremos algunos ejemplos de sistemas no lineales, para mostrar que una gran cantidad de
dispositivos útiles pertenecen a esta categoría.
6.4.1. Amplificador lineal con saturación
Del punto 6.3.1. se puede asegurar que la red, cuya característica es la de la Figura 6.10, es
no lineal.
r
R
-E
E
e
-R
Figura 6.10. Red con saturación.
Sin embargo, si –E<e<E, la red tendrá comportamiento lineal.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
10
Teoría de Redes Eléctricas
La característica de la Figura 6.10 es la de un amplificador operacional real.
6.4.2. Diodo
El sistema descrito por la Figura 6.11, suele encontrarse en redes que tengan diodos. De
acuerdo a 6.3.1. será un sistema no lineal.
r
R
e
E
Figura 6.11. Red tipo diodo.
Una característica como la de la Figura 6.11, es muy útil en la construcción de rectificadores
de media onda.
6.4.3. Rectificador de onda completa
Empleando varios diodos se puede construir una red que tenga la característica de la Figura
6.12.
r
R
e
-E
E
Figura 6.12. Módulo de ke.
La característica anterior se emplea en rectificadores de onda completa.
6.4.4. Amplificador inversor
La característica de un transistor, puede representarse con la gráfica que se ilustra en la
Figura 6.13. Existen innumerables aplicaciones de esta componente, tanto en la zona lineal
como en las zonas no lineales.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
11
r
e
Figura 6.13. Saturación y corte.
6.5. Redes con dos excitaciones
Sea un sistema S que tiene una respuesta r debida a dos excitaciones.
(6.36)
S : r (e1 , e2 )
El sistema se simboliza en la Figura 6.14.
e1(t)
S
r(t)
e2(t)
Figura 6.14. Red con dos excitaciones.
Ejemplo 6.2.
En la Figura 6.15, se ilustran las excitaciones del sistema, como dos generadores de tensión
independientes en una red formada por resistencias.
R1
R2
e1
e2
r
R
Figura 6.15. Red con dos fuentes.
Puede comprobarse planteando las ecuaciones de la red que el sistema puede representarse
según:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
12
Teoría de Redes Eléctricas
r
ae1 be2
(6.37)
Donde:
a
1
1
R1 R2
R
R1
(6.38)
1
b
1
R2
R1
R
R2
Puede decirse que r en (6.37) es una combinación lineal de las excitaciones.
Si se definen dos sistemas S1 y S2, mediante la relación (6.39):
S1 : r1 (e1 , 0)
S2 : r2 (0, e2 )
(6.39)
Ahora S1 y S2 son redes con una excitación. Para ellas ya está definido el concepto de
linealidad.
Nótese que r1 es una respuesta que sólo se debe a e1; y que r2 sólo depende de e2.
Se dice que S, cumple la propiedad de descomposición si y sólo si:
r
(6.40)
r1 r2
Es decir, r puede descomponerse en la suma de las respuestas debidas a cada una de las
excitaciones.
En el ejemplo de la Figura 6.15, empleando (6.37) se cumple que:
r1
ae1 y r2
be2
(6.41)
Entonces la red de la Figura 6.15 cumple la propiedad de descomposición.
Se define como lineal a un sistema con dos excitaciones si y sólo si:
S1 : r1 (e1 , 0) es lineal
S2 : r2 (0, e2 ) es lineal
y si: r r1 r2
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.42)
Capítulo 6. Redes lineales
13
Ejemplo 6.3.
Para la red de la Figura 6.16, con v(0) =V, analizar las excitaciones.
R
i
+
i
vR
C
e(t)
v(t)
Figura 6.16.
Solución.
Se tiene por (2.58) que el voltaje en el condensador puede expresarse según:
1
C
v(t ) v(0)
t
0
(6.4
i ( )d
3)
Si definimos:
vr (t )
1
C
t
0
(6.4
i ( )d
4)
Observando (6.43), reconocemos que vr es la ecuación de equilibrio para un condensador
con voltaje inicial igual a cero, o que no tiene energía acumulada en el instante inicial. Suele
decirse que el condensador, en esas condiciones, está inicialmente relajado.
Reemplazando (6.44) en (6.43) y ocupando la condición inicial para el condensador, se tiene:
v(t ) V
(6.4
vr (t )
5)
Interpretando (6.45) como una LVK, podemos visualizar la red equivalente de la Figura
6.17, según:
i
+
e(t)
R
vR
C
V
Figura 6.17.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
vr(t)
v(t)
14
Teoría de Redes Eléctricas
La red de la Figura 6.17, tiene ahora dos excitaciones: la original representada por la fuente
independiente e(t), y la fuente continua que representa la condición inicial del condensador. Lo
cual puede representarse por el sistema que se muestra en la Figura 6.18.
e(t)
S
vr(t)
V
Figura 6.18.
Puede demostrarse que S es lineal, con lo cual puede estudiarse el voltaje en el condensador,
inicialmente relajado, como la composición de los aportes causados por las excitaciones por
separado.
El voltaje en el condensador queda dado por (6.45).
La parte debida solo a las condiciones iniciales se denomina respuesta a entrada cero; y la
debida solamente a la excitación se llama respuesta a estado cero.
6.6. Redes con tres y más excitaciones
Sea un sistema S con tres excitaciones y una respuesta r:
S : r (e1 , e2 , e3 )
(6.46)
S1 : r1 (e1 , 0, 0)
S2 : r2 (0, e2 , 0)
S3 : r3 (0,0, e3 )
(6.47)
Se definen:
Entonces S es lineal si y solamente si:
S1, S2 y S3 son lineales y si:
r
(6.48)
r1 r2 r3
La definición de los subsistemas, alternativamente, podría haberse planteado:
S12 : r12 (e1 , e2 , 0)
S3 : r3 (0,0, e3 )
Entonces S es lineal si y solamente si:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.49)
Capítulo 6. Redes lineales
15
S12 y S3 son lineales y si:
r
(6.50)
r12 r3
Esto debido a que previamente se definió linealidad para redes con dos excitaciones, y S12 es
un sistema con dos excitaciones.
La generalización para más excitaciones sigue la misma línea precedente.
También puede demostrarse por inducción matemática, la definición de linealidad para
sistemas con n excitaciones.
6.7. Método de superposición
Se aplica a redes lineales y consiste en aplicar la propiedad de descomposición de la
respuesta.
Su aplicación es conveniente, cuando al eliminar algunas de las excitaciones, los cálculos de
las partes de la respuesta se simplifican, ya que resultan redes más simples.
Mayores simplificaciones pueden lograrse aplicando los conceptos de redes equivalentes
vistos en el Capítulo 5, notando que solamente interesa calcular el valor de una variable, y no la
solución de la red completa.
Para eliminar el efecto de las excitaciones, debe recordarse que una fuente de tensión que se
lleva a cero, puede reemplazarse por un cortocircuito; y que una fuente de corriente que se lleva
a cero, puede reemplazarse por un circuito abierto.
Ejemplo 6.4.
Sea la red de la Figura 6.19, con dos excitaciones:
2
e
j
v
2
Figura 6.19. Cálculo de v por superposición.
Debido a que las relaciones de interconexión son lineales, y que las ecuaciones de equilibrio
también lo son, el sistema de ecuaciones que representa a la red de la Figura 6.19 será un
sistema lineal de ecuaciones; y por lo tanto una red lineal, a la que se puede aplicar el método de
superposición.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
16
Teoría de Redes Eléctricas
La parte de la respuesta que se debe a e, puede calcularse en la red de la Figura 6.20:
2
ve
j=0
e
2
Figura 6.20. Parte de la respuesta debida a e.
Resulta, dividiendo la tensión de la fuente e, en las resistencias:
e
2
4
ve
(6.51)
e
2
La parte de la respuesta debida a j, se calcula en la red simplificada de la Figura 6.21, según:
2
vj
j
e=0
2
Figura 6.21. Parte de la respuesta debida a j.
Resulta, dividiendo la corriente de la fuente j, en las resistencias:
vj
j
2
2 2
2
j
(6.52)
Aplicando la composición de las partes, resulta:
v ve v j
6.8.
e
2
j
Teorema de Thévenin
6.8.1. Definición del equivalente Thévenin.
Se tiene la siguiente red:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.53)
Capítulo 6. Redes lineales
17
i a
Red
activa
R
v
Ra
b
Figura 6.22. Ra es una red activa con n fuentes.
La red lineal Ra tiene n fuentes. La red R es una red cualquiera, puede ser no lineal. La única
interacción entre las redes Ra y R es en los terminales; es decir, no existen fuentes controladas
que tengan la fuente en una red y el elemento de control en la otra. Tampoco inductores
acoplados que tengan una inductancia en una red y otra inductancia acoplada en la otra red.
La red Ra puede tener componentes multiterminales; pero todos sus miembros están dentro
de Ra.
La red Ra no tiene componentes dinámicas. Se estudiará primero este caso particular, pero
frecuente en las asignaturas de Electrónica.
El Teorema de Thévenin plantea que la red activa Ra con n fuentes, tiene como equivalente a
una red con sólo una fuente y una resistencia en serie, como se muestra en la Figura 6.23.
Es decir:
RT i a
eT
R
v
b
Figura 6.23. Red Thévenin Resistiva.
La ecuación de equilibrio para la red equivalente a Ra, que se muestra en la Figura 6.23
puede escribirse según:
v eT
RT i
(6.54)
También puede decirse que (6.54) es la relación entre las variables en los terminales de Ra.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
18
Teoría de Redes Eléctricas
6.8.2. Formas de cálculo de la Red Thévenin
6.8.2.1. Aplicando equivalencias
Se calculan los parámetros de la Red Thévenin mediante equivalencias. Se procede a aplicar
teoremas de equivalencia hasta reducir la red a la forma de la Figura 6.23. Esto determina eT y
RT.
6.8.2.2. Aplicando métodos de análisis
Se plantean las ecuaciones independientes en la red Ra.
Se eliminan las variables internas de la red Ra, quedando una ecuación de equilibrio, en
función de las variables terminales, v e i, que permite determinar los parámetros eT y RT.
6.8.2.3. Parámetros de circuito abierto y cortocircuito
Este procedimiento permite modelar la red Thévenin, mediante mediciones.
Primero se desconecta la red R, en este caso i es cero y se mide v en estas condiciones. Para
la red de la Figura 6.24, puede determinarse, mediante el análisis de la red que:
(6.55)
voc eT
RT i a
eT
voc
b
Figura 6.24. Cálculo de voc .
Luego, se saca la red R y se coloca un cortocircuito entre los terminales. En este caso v es
cero, y la corriente que circula por el cortocircuito, con la dirección que se indica en la Figura
6.25 es iCC .
Red
activa
i a
v
icc
b
Figura 6.25. Cálculo de iCC .
Considerando la red activa, con su equivalente mostrado en la Figura 6.23, aplicando
métodos de análisis puede determinarse que:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
19
(6.56)
eT
RT
icc
Reemplazando la (6.55) en la (6.56) se obtiene la expresión para el cálculo de RT según:
(6.57)
voc
icc
RT
Este método, o variantes de él, puede aplicarse usando instrumentos.
Los métodos anteriores pueden aplicarse a redes en el dominio de la Transformada de
Laplace, cuando las excitaciones son señales temporales cualesquiera; y en el dominio de la
Transformada Fasorial, cuando las excitaciones son excitaciones sinusoidales. En estos casos
pueden existir componentes dinámicas.
6.8.2.4. Cálculo basado en superposición
Se saca la red R, y se coloca una fuente de corriente i, con la dirección que se indica en la
Figura 6.26. Se aplica substitución por fuente de corriente.
Resulta:
Red
activa
i a
v
i
b
Figura 6.26. Thévenin por Superposición.
El voltaje v se debe a las n fuentes internas de la Ra, más el debido a la fuente de corriente i.
De acuerdo a la ecuación de equilibrio de la Red Thévenin vista en (6.20), la parte del voltaje
v, que es debida a las n fuentes de Ra es la fuente Thévenin eT, con i=0. Las condiciones en que
se calcula la parte vT del voltaje, se ilustra en la Figura 6.27.
Red
activa
i a
vT i = 0
b
Figura 6.27. Cálculo fuente Thévenin.
Resulta:
vT
Leopoldo Silva Bijit
eT
27-06-2008
(6.58)
20
Teoría de Redes Eléctricas
La otra parte del voltaje v es debida a la fuente externa i, cuando se elimina el efecto de las n
fuentes internas. Las condiciones en que se calcula la parte vp del voltaje, se ilustra en la Figura
6.28.
Red
pasiva
i a
Rp
i
vp
i
b
Figura 6.28. Cálculo red pasiva Thévenin.
La red pasiva R p tiene una relación de equilibrio definida por la relación: v p (i) .
La red pasiva R p , es la red activa con sus excitaciones internas llevadas a valor cero.
Se calcula, aplicando métodos de análisis redes, v p en función de i, y se identifica RT. En
caso de una red que no contenga elementos dinámicos ni fuentes controladas; es decir una red
resistiva, resultará:
vp
RT i
(6.59)
Si la red Ra no tiene fuentes controladas el cálculo de RT, puede efectuarse aplicando
métodos de equivalencias; en general suma de resistencias en serie y paralelo.
Aplicando composición de las partes, resulta:
v vT
vp
(6.60)
Reemplazando (6.58) y (6.59) en (6.60) se obtiene:
v
eT
RT i
Lo cual demuestra el Teorema de Thévenin para redes resistivas.
Ejemplo 6.5.
La red de la Figura 6.29, no tiene equivalente Thévenin.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6.61)
Capítulo 6. Redes lineales
21
i a
j
R
v
b
Figura 6.29. No existe Red Thévenin.
Esto se debe a que en la situación planteada no puede abrirse los terminales para imponer
i=0, ya que debido a LCK, siempre se cumple que i
j ; y, por lo tanto, no puede ser cero.
6.8.3. Redes con componentes dinámicas
En este caso sólo conviene aplicar el cálculo basado en superposición visto en 6.8.2.4.
Si en el cálculo de la red pasiva, se obtiene una relación v p (i) , según:
vp
ai b
di
dt
t
c id
0
La red pasiva Thévenin se interpreta como la suma serie de una resistencia de valor a, una
inductancia de valor b, y un condensador de valor 1/c.
En el cálculo de la red pasiva, no pueden lograrse en general grandes simplificaciones, el
modelo de la red pasiva quedará con los inductores y condensadores. Sin embargo si se aplica
transformación de Laplace, la red pasiva resultará un cuociente de polinomios en la variable
compleja s.
6.9.
Teorema de Norton
Es similar al de Thévenin, y la red equivalente Norton se plantea empleando sólo un
generador de corriente, según se muestra en la Figura 6.30.
i a
iN
RP
R
v
b
Figura 6.30. Red Norton.
El teorema se demuestra aplicando superposición. Se reemplaza la red R por una fuente de
tensión v, aplicando substitución por fuente de voltaje.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
22
Teoría de Redes Eléctricas
Red
activa
i a
v
v
b
Figura 6.31. Red Norton aplicando Substitución.
La descomposición del cálculo de i se plantea:
(6.62)
i iN i p (v)
Donde el cálculo de iN se efectúa cortocircuitando los terminales de Ra , es decir con v
Según:
Red
activa
0.
i a
iN
v=0
b
Figura 6.32. Cálculo fuente Norton.
Y la red pasiva, resulta del cálculo de i p , cuando sólo está aplicada la fuente v:
Red
pasiva
ip a
v
v
b
Figura 6.33. Cálculo red pasiva Norton.
En redes resistivas, la red pasiva Norton es una resistencia. Pueden aplicarse métodos
similares a los vistos en 6.8.2.
Cuando no pueda aplicarse el Teorema de Thévenin podrá aplicarse el Teorema de Norton y
viceversa.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
23
6.10. Redes invariantes en el tiempo
Si en una red, no varía en el tiempo la relación entre la excitación y la respuesta, se dice que
la red es invariante en el tiempo.
Si tenemos un sistema S:
(6.63)
S : r (e)
Entonces si se cumple que la respuesta es r (t T ) cuando se aplica una excitación e(t T ) ,
se dice que el sistema es invariante en el tiempo:
S
e(t-T)
r(t-T)
Figura 6.34. Red invariante en el tiempo.
Se dice que la red no cambia en el tiempo o que es invariante en el tiempo. Si la red
estuviera descrita por ecuaciones diferenciales, para las cuales se requieran condiciones
iniciales, entonces también se deben desplazar en el tiempo los valores iniciales.
Si en diferentes tiempos se tienen las mismas causas, los efectos serán iguales en sistemas
invariantes.
Ejemplo 6.6.
Determinar si la red S es o no invariante en el tiempo.
S:
r (t ) a(t ) e(t )
(6.64)
Si aplicamos el estímulo e(t), desfasado T en el tiempo, se tendrá, aplicando (6.64) que:
ri (t ) a (t )e(t T )
(6.65)
Si se cumple:
ri (t )
r (t T )
(6.66)
Entonces, la red S, será invariante en el tiempo.
Si en la relación que define la red, aplicamos el cambio de variable, t por t-T, se tendrá:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
24
Teoría de Redes Eléctricas
r(t T ) a(t T )e(t T )
(6.67)
Si eliminamos e(t T ) , usando (6.65) en (6.67) se logra:
ri (t )
a (t )
r (t T )
a (t T )
(6.68)
Comparando (6.68) con (6.66) demostramos que la red S es variante en el tiempo.
Se puede comprobar que si el coeficiente a no varía en el tiempo, la red S será invariante en
el tiempo.
Si los coeficientes de las ecuaciones de equilibrio de las componentes no varían en el tiempo,
las redes formadas por la interconexión de esas componentes serán sistemas invariantes en el
tiempo.
Ejemplo 6.7.
Una componente no-lineal puede ser invariante en el tiempo.
Sea un sistema S, no lineal:
r e2
(6.69)
Entonces cuando en la entrada se aplica e(t-T), en la salida se tendrá:
ri (t ) (e(t T ))2
(6.70)
Con un cambio de variables en la ecuación (6.69) se obtiene:
r (t T ) (e(t T ))2
(6.71)
Reemplazando (6.71) en (6.70) se tiene que:
ri (t ) ( r T )
(6.72)
Con lo cual se prueba que la red S será invariante en el tiempo.
6.11. Redes lineales e invariantes en el tiempo
Para redes lineales e invariantes en el tiempo se pueden desarrollar algunos teoremas que
muestran propiedades importantes de esas redes.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
25
Ejemplo 6.8.
Sea S: r(e), lineal e invariante en el tiempo. Entonces se cumplen las siguientes relaciones
causa efecto:
Excitación
Respuesta
e(t )
e(t T )
e(t T ) e(t )
r (t )
r (t T )
r (t T ) r (t )
r (t T ) r (t )
T
e(t T ) e(t )
T
Por definición
Por invarianza temporal
Por superposición
Por homogeneidad
Entonces, con T tendiendo a cero, y aplicando la definición de derivada se obtiene, que si se
aplica a S la derivada de una excitación, se obtendrá la derivada de la respuesta a esa excitación.
S
de
dt
dr
dt
Figura 6.35. Derivada de la excitación.
También puede demostrarse, aplicando conceptos de integrales de Riemann, que si se
alimenta con la integral de la excitación se obtendrá la integral de la respuesta a esa excitación.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
26
Teoría de Redes Eléctricas
Problemas resueltos
Problema 6.1
Para la red de la Figura P6.1:
A
R2
j2
R1
j1
E
e1
C
B
R4
R3
e2
D
Figura P6.1.
a) Determinar la red pasiva Norton entre A y B, vista por la resistencia R1.
b) Determinar la fuente equivalente Thévenin entre A y B, vista por la resistencia R1,
aplicando superposición.
Solución:
a) Igualando a cero los valores de las fuentes independientes, se tiene la Figura P6.2
izquierda. A la derecha se muestra un diagrama simplificado:
A
A
R2
C
D
R2
R3||R4
E
C
B
R4
R3
D
Leopoldo Silva Bijit
B
Figura P6.2.
27-06-2008
E
Capítulo 6. Redes lineales
27
Resulta:
RN
R2 ( R3 || R4 )
b) El equivalente Thévenin entre A y B, visto por la resistencia R1, se muestra en la Figura
P6.3:
Se tiene que RN
RT
A
RT
R1
eT
B
Figura P6.3.
b1) La parte de la fuente de tensión Thévenin, eT 1 , debida a los generadores de tensión,
puede calcularse empleando la Figura P6.4:
A
R2
eT1
E
e1
C
B
R4
R3
v1
e2
D
Figura P6.4.
Por LVK, se tiene, ya que no circula corriente por R2:
v1 eT 1 e2
0
La tensión v1 puede calcularse en la malla EBDE, según:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(1)
28
Teoría de Redes Eléctricas
v1
R3
(2)
e1
R3
R4
Reemplazando (2) en (1), resulta:
R3
eT 1
R3
(3)
e1 e2
R4
b2) La parte de la fuente de tensión Thévenin, eT 2 , debida a los generadores de corriente,
puede calcularse empleando la Figura P6.5:
v2
A
R2
j2
eT2
j1
E
C
B
R4
R3
v3
D
Figura P6.5.
Por LVK se tiene:
eT 2
v3
v2
(4)
Con la ecuación de equilibrio para R2, y LCK en nodo A, se tiene:
v2
R2 j2
(5)
Contrayendo el cortocircuito entre E y B, y aplicando LCK en B, se tiene que por el paralelo
de R3 con R4 circula corriente ( j1 j2 ) , entonces puede calcularse v3 , según:
v3
( j1
j2 )( R3 || R4 )
Reemplazando (5) y (6) en (4), se obtiene:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(6)
Capítulo 6. Redes lineales
eT 2
29
(6)
R3 R4
R3 R4
v2 v3
R2 j2 ( j1
j2 )
R2 j2
R3 R4
( j1
R3 R4
j2 )
Finalmente, de (3) y (6):
eT
eT 1 eT 2
R3
R3
R4
e1 e2
(7)
Que puede expresarse, con a, b, c y d constantes, según:
eT
(8)
aj1 bj2 ce1 de2
Es decir, una combinación lineal de los generadores.
Problema 6.2
Para la red de la Figura P6.6:
A
R2
e1
R3
j2
j1
E
C
B
R4
e2
R1
D
Figura P6.6.
Determinar la fuente Norton entre A y C, vista por la resistencia R2, mediante superposición.
Calcular potencia absorbida por R2.
Solución:
Se requiere calcular la corriente iN en el cortocircuito entre A y C, en la red a la izquierda de
la Figura P6.7; a la derecha se muestra el equivalente Norton.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
30
Teoría de Redes Eléctricas
A
iN
A
e1
R3
j2
i2
j1
E
R4
e2
iN
RN
C
B
R2
R1
C
D
Figura P6.7.
Si consideramos juntas las fuentes del mismo tipo, tenemos dos situaciones, para calcular la
corriente de la fuente equivalente Norton, mediante superposición:
a)
b)
A
A
iN1
iN2
R3
e1
R3
j2
E
j1
C
B
R4
E
R4
R1
D
C
B
e2
R1
D
Figura P6.8.
Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre D y C es cero en la red a la izquierda
en la Figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es cero; entonces, por LCK, se
tiene que:
iN 1
j1
(1)
Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre C y D es (e1-e2) en la red a la
derecha en la Figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es iN 2 . Entonces, por
LCK, se tiene que:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
31
(2)
e1 e2
R1
iN 2
Superponiendo (1) y (2), se tiene:
iN
e1 e2
R1
iN 1 i N 2
(3)
j1
Para calcular la potencia absorbida por R2, empleando el equivalente Norton, se tiene:
p2
2
2 2
Ri
RN iN
RN R2
R2
(4)
2
Para calcular la red pasiva Norton RN, se elimina el efecto de las fuentes de corriente, en la
Figura P6.8 izquierda, y se aplica v, entre A y C; luego se calcula i, en la Figura P6.9.
A
A
i
v
R3
i
RN
E
v
C
B
C
R4
R1
D
Figura P6.9.
A la derecha, en la Figura P6.9, se dibuja la red equivalente vista desde los terminales A y C,
en la cual se tiene:
RN i
v
(5)
Por la combinación serie de R3 con R4, no circula corriente, entonces:
R1i
v
(6)
RN
R1
(7)
Con lo cual:
Reemplazando (7) y (3) en (4) se obtiene:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
32
Teoría de Redes Eléctricas
p2
2
R1
R2
R1
R2
(8)
2
e1 e2
R1
j1
Problema 6.3
Para la red de la Figura P6.6, determinar la fuente equivalente Thévenin entre E y B, vista
por la fuente j2. Calcular potencia entregada por j2.
Solución.
Se requiere calcular el voltaje vT en el circuito abierto entre E y B, en la red a la izquierda en
la Figura P6.10. A la derecha se muestra el equivalente Thévenin.
A
E
R2
RT
e1
R3
vT
vT
j1
E
C
B
R4
j2
v
e2
B
R1
D
Figura P6.10.
Se calcula vT por superposición. La Figura P6.11 izquierda muestra el efecto de las fuentes
de corriente; la de la derecha el efecto de las fuentes de tensión.
a)
b)
A
A
R2
R2
R3
e1
R3
vT1
E
vT2
j1
C
B
R4
E
R4
R1
D
e2
R1
D
Figura P6.11.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
C
B
Capítulo 6. Redes lineales
33
Debido a LVK, en el circuito ABDEA, el voltaje entre A y D es cero en la red a), por lo
tanto la corriente que circula por R3 y por R4 es cero; entonces, por LVK, se tiene que:
vT 1
(1)
0
Debido a LVK, el voltaje entre A y D es (e1-e2) en la red b), por lo tanto la corriente que
circula por R3 y R4 es:
(2)
e1 e2
R3 R4
Entonces, por LVK en el circuito BDEB, se tiene que:
vT 2
e2
R4
(3)
e1 e2
R3 R4
Superponiendo (1) y (3):
vT
R4
R3
R4
R3
e1
R3
R4
(4)
e2
La red pasiva Thévenin se calcula eliminando el efecto de las fuentes en la Figura P6.10; y
calculando el voltaje v, debido a la fuente de corriente i, tal como se muestra en la Figura P6.12.
A
R2
R3
v
E
i
C
B
R4
R1
D
Figura P6.12.
Por LVK en circuito ACDBA no circula corriente en R1 y R2, y se las puede substituir por
circuitos abiertos. Contrayendo los cortocircuitos AB y BD, la resistencia Thévenin corresponde
al paralelo de R3 con R4.
En la Figura P6.10 derecha, se tiene que la potencia entregada por j2 está dada por:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
34
Teoría de Redes Eléctricas
p
(5)
j2 ( v )
LVK en Figura P6.10 derecha:
v
vT
(6)
RT j2
Reemplazando (6) y (4) en (5):
p
j2
R3
R4
( R3 R4 j2
(7)
R4e1 R3e2 )
Problema 6.4
Para la red de la figura P6.13, con v(0) =V, analizar las excitaciones.
R
i
+
i
vR
C
e(t)
v(t)
Figura P6.13.
Solución.
Se tiene por (2.58) que el voltaje en el condensador puede expresarse según:
1
C
v(t ) v(0)
t
0
i ( )d
(1)
Si definimos:
vr (t )
1
C
t
0
i ( )d
(2)
Observando (1), reconocemos que vr es la ecuación de equilibrio para un condensador con
voltaje inicial igual a cero, o que no tiene energía acumulada en el instante inicial. Suele decirse
que el condensador, en esas condiciones, está inicialmente relajado.
Reemplazando (2) en (1) y ocupando la condición inicial para el condensador, se tiene:
v(t ) V
Leopoldo Silva Bijit
vr (t )
27-06-2008
(3)
Capítulo 6. Redes lineales
35
Interpretando (3) como una LVK, podemos visualizar la red equivalente de la Figura P6.13,
según:
R
i
+
vR
e(t)
C
vr(t)
v(t)
V
Figura P6.14.
La red de la Figura P6.14, tiene ahora dos excitaciones: la original representada por la fuente
independiente e(t), y la fuente continua que representa la condición inicial del condensador. Lo
cual puede representarse por el sistema que se muestra en la Figura P6.15.
e(t)
S
vr(t)
V
Figura P6.15.
Puede demostrarse que S es lineal, con lo cual puede estudiarse el voltaje en el condensador
como la composición de los aportes causados por las excitaciones por separado.
La parte debida solo a las condiciones iniciales se denomina respuesta a entrada cero; y la
debida solamente a la excitación se llama respuesta a estado cero.
Problema 6.5
Determinar para la red de la Figura P6.16:
a) Potencias que entregan las fuentes de tensión.
b) Potencias que entran a las fuentes de corriente.
c) Equivalente Thévenin visto por la resistencia R, entre A y B.
d) Equivalente Norton visto por la resistencia R, entre A y B.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
36
Teoría de Redes Eléctricas
A
j1
R
v1
B
v2
+
j2
+
C
Figura P6.16.
Solución.
Aplicando LVK, y ecuaciones de equilibrio de las fuentes de tensión, en el circuito ACBA,
se obtiene la corriente que circula por la resistencia R, desde B hacia A:
i
(1)
v1 v2
R
a) Aplicando LCK en A, la potencia que sale de la fuente de tensión v1, está dada por:
pv1
v1 ( j1 i) v1 ( j1
v1 v2
)
R
(2)
Aplicando LCK en B, la potencia que sale de la fuente de tensión v2, está dada por:
pv2
v2 ( j2 i ) v2 ( j2
v1 v2
)
R
(3)
b) Aplicando LVK en circuito ACA, la potencia que entra a la fuente de corriente j 1, está
dada por:
p j1
j1 (v1 )
j1v1
(4)
Aplicando LVK en circuito BCB, la potencia que entra a la fuente de corriente j 2, está dada
por:
p j2
j2 (v2 )
j2v2
(5)
c) La red pasiva Thévenin resulta un cortocircuito entre A y B, es decir RT = 0.
La fuente Thévenin es el voltaje que aparece entre A y B cuando se saca la resistencia R, este
voltaje es:
v AB
Leopoldo Silva Bijit
(v1 v2 )
27-06-2008
(6)
Capítulo 6. Redes lineales
37
La red Thévenin resulta:
A
R
B
v1+v2
+
Figura P6.17.
d) Para calcular el equivalente Norton debe determinarse la corriente que circula por un
cortocircuito que reemplaza a la resistencia R, pero no es posible efectuar este reemplazo ya que
no se cumpliría LVK en el circuito ACBA, ya que v1+v2 no es cero.
No existe entonces el equivalente Norton.
Problema 6.6
Para la red de la Figura P6.18, con R1=2, R2=1, R3=1, a=2 y k=4:
a) Plantear ecuaciones de la red.
b) Determinar fuente Thévenin vista por la subred entre C y D.
c) Determinar la red pasiva Thévenin vista por la subred entre C y D.
aic
R1
A
+
kv2
R3
C
B
ic
v2
R2
D
Figura P6.18.
Solución:
a) Se desea calcular la red Thévenin, que se muestra en la Figura P6.19, en la cual se cumple:
v
Leopoldo Silva Bijit
ET
RT i
27-06-2008
(1)
38
Teoría de Redes Eléctricas
C
RT
i
+
ET
v
D
Figura P6.19.
Reemplazando la subred por una fuente de corriente de valor i, y definiendo variables se
tiene la red que se muestra en la Figura P6.20:
vF
aic
R1
A
+
ic
B
i2
kv2
C
R3
i3
v2
R2
v
i
D
Figura P6.20.
LCK en C:
i3
aic
i
(2)
LCK en B:
i2
ic
i3 aic
(3)
No se plantea LCK en A, ya que se asume que la corriente que circula de D hacia A, en la
fuente controlada por tensión es ic.
LVK y ecuaciones de equilibrio de la fuente controlada de tensión y de las resistencias R 1 y
R2, en la malla ABDA:
kR2i2
R1ic
R2i2
LVK y ecuaciones de equilibrio de las resistencias R2 y R3, en la malla BDCB:
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
(4)
Capítulo 6. Redes lineales
39
v
R2i2
(5)
R3i3
LVK y ecuación de equilibrio de la resistencia R3, en la malla BCB:
vF
(6)
R3i3
b) No es necesario emplear la ecuación (6), salvo para calcular vF.
Eliminando i3, reemplazando (2) en (3) y (5), resultan:
i2
v
R2i2
i ic
(7)
R3 (aic i )
(8)
Despejando ic en (4) se obtiene:
(kR2
ic
(9)
R2 )i2
R1
Eliminando ic, reemplazando (8) en (6) y (7), resultan:
i2
v
R2i2
(kR2
i
(10)
R2 )i2
R1
R3 (a
(kR2
R2 )i2
R1
i)
(11)
Despejando i2 de (10) se obtiene:
i2
R1
R1
i
R2 (k 1)
(12)
Eliminando i2, reemplazando (12) en (11), se obtiene finalmente:
v
R1 ( R2
R3 ) R2 R3 (k 1)(a 1)
i
R1 R2 (k 1)
(13)
R3 ) R2 R3 (k 1)(a 1)
R1 R2 (k 1)
(14)
Comparando con (1) se obtienen:
RT
Leopoldo Silva Bijit
R1 ( R2
27-06-2008
40
Teoría de Redes Eléctricas
ET
(15)
0
Reemplazando los valores numéricos en (14) se tiene:
RT
2(1 1) 1 1(4 1)(2 1)
2 1(4 1)
4 3
1
7
(16)
Una resistencia de valor negativo puede interpretarse como una fuente de tensión controlada
por corriente, como se muestra en la Figura P6.21.
C
i
7i
v
+
D
Figura P6.21.
O alternativamente como una fuente de corriente controlada por tensión:
C
i
v/7
v
D
Figura P6.22.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
41
Ejercicios propuestos
Ejercicio 6.1.
Para la red de la Figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de 5
ohms entre A y C, con x=4.
A
2
B
3
x
5
C
i
2
D
10
Figura E6.1.
Para la red de la Figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de x
ohms entre B y C. Luego calcular la corriente i, para x= 2, 4, 8 y 16.
Ejercicio 6.2.
Para la red de la Figura E6.2:
F
G
H
i2
7
5
3
4
3
2
A
+
5
D
C
B
i1
4
2
5
E
Figura E6.2.
Aplicar teoremas de equivalencia para:
a) Determinar la red equivalente Norton vista por la resistencia de 5 ohms, entre los vértices
C y E.
b) Determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia de 7 ohms, entre los
vértices H y C. Luego calcular i2.
c) Calcular i1, aplicando método de superposición.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
42
Teoría de Redes Eléctricas
d) Calcular i2, aplicando método de superposición.
Ejercicio 6.3.
Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista por la red R.
i2 R1
R3
i
ia
+
kia
mv1
v1
R2
R
v
Figura E6.3.
Ejercicio 6.4.
Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista por la red R.
R1
i
i1
e
v
+
+
mv
ki1
R
R2
Figura E6.4.
Ejercicio 6.5.
Determinar la red equivalente Norton y la red Thévenin vista desde los terminales a y b.
R3
2
1
Vs
a
i2
R1
+
3
R4
R2
i2
v
b
0
Figura E6.5.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
43
Ejercicio 6.6.
Para la red de la Figura E6.6 determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia
Rc.
A
R1
kvBD
B
+
+
R2
e
C
RC
D
Figura E6.6.
Ejercicio 6.7.
Para la red de la Figura E6.7 determinar la red equivalente Norton vista por la resistencia
Rc.
kiAB
A
R1
R3
B
+
e
C
RC
R2
D
Figura E6.7.
Ejercicio 6.8.
Para la red de la Figura E6.8 determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia
Rc.
Determinar relación entre los parámetros para que la resistencia Thévenin equivalente sea
negativa.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
44
Teoría de Redes Eléctricas
R1
A
kiCB
B
C
R3
R2
+
D
RC
+
e
E
Figura E6.8.
Ejercicio 6.9.
a) Para la red de la Figura E6.9 determinar la red equivalente Thévenin vista por la
resistencia Rc.
b) Para la red de la Figura E6.9 determinar la red equivalente Thévenin vista por la fuente e.
A
R1
B
+
kiAB
e
C
Figura E6.9.
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
RC
Capítulo 6. Redes lineales
45
Índice general
CAPÍTULO 6.......................................................................................................................... 1
REDES LINEALES ............................................................................................................... 1
6.1 REDES CON UNA EXCITACIÓN Y UNA RESPUESTA........................................................... 1
Ejemplo 6.1. ..................................................................................................................... 1
6.2. LINEALIDAD PARA REDES CON UNA EXCITACIÓN.......................................................... 3
6.3. MODELOS BÁSICOS DE COMPONENTES LINEALES ......................................................... 4
6.3.1. Recta que no pasa por el origen............................................................................. 4
6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación ....................................................... 6
6.3.3. Red de primer orden.............................................................................................. 7
6.3.4. Componente cuadrática ......................................................................................... 8
6.4. ALGUNAS REDES NO LINEALES ................................................................................. 9
6.4.1. Amplificador lineal con saturación ........................................................................ 9
6.4.2. Diodo .................................................................................................................... 10
6.4.3. Rectificador de onda completa ............................................................................. 10
6.4.4. Amplificador inversor .......................................................................................... 10
6.5. REDES CON DOS EXCITACIONES................................................................................... 11
Ejemplo 6.2. ................................................................................................................... 11
Ejemplo 6.3. ................................................................................................................... 13
6.6. REDES CON TRES Y MÁS EXCITACIONES ...................................................................... 14
6.7. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN ....................................................................................... 15
Ejemplo 6.4. ................................................................................................................... 15
6.8. TEOREMA DE THÉVENIN .......................................................................................... 16
6.8.1. Definición del equivalente Thévenin. ................................................................... 16
6.8.2. Formas de cálculo de la Red Thévenin ................................................................ 18
6.8.3. Redes con componentes dinámicas ..................................................................... 21
6.9. TEOREMA DE NORTON............................................................................................. 21
6.10. REDES INVARIANTES EN EL TIEMPO .......................................................................... 23
Ejemplo 6.6. ................................................................................................................... 23
Ejemplo 6.7. ................................................................................................................... 24
6.11. REDES LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO ....................................................... 24
Ejemplo 6.8. ................................................................................................................... 25
PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 26
Problema 6.1 .................................................................................................................. 26
Problema 6.2 .................................................................................................................. 29
Problema 6.3 .................................................................................................................. 32
Problema 6.4 .................................................................................................................. 34
Problema 6.5 .................................................................................................................. 35
Problema 6.6 .................................................................................................................. 37
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 41
Ejercicio 6.1. .................................................................................................................. 41
Ejercicio 6.2. .................................................................................................................. 41
Ejercicio 6.3. .................................................................................................................. 42
Ejercicio 6.4. .................................................................................................................. 42
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
46
Teoría de Redes Eléctricas
Ejercicio 6.5. .................................................................................................................. 42
Ejercicio 6.6. .................................................................................................................. 43
Ejercicio 6.7. .................................................................................................................. 43
Ejercicio 6.8. .................................................................................................................. 43
Ejercicio 6.9. .................................................................................................................. 44
ÍNDICE GENERAL................................................................................................................. 45
ÍNDICE DE FIGURAS. ............................................................................................................ 46
Índice de figuras.
Figura 6.1. Red con una excitación. ............................................................................................. 2
Figura 6.2. Símbolo de sistema. ................................................................................................... 2
Figura 6.3. Causa – efecto. ........................................................................................................... 3
Figura 6.4. Homogeneidad. .......................................................................................................... 3
Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes. ............................................................................. 4
Figura 6.6. Superposición. ............................................................................................................ 4
Figura 6.7. Linealidad................................................................................................................... 4
Figura 6.8. Red RC. ...................................................................................................................... 7
Figura 6.9. Red RL. ...................................................................................................................... 8
Figura 6.10. Red con saturación. .................................................................................................. 9
Figura 6.11. Red tipo diodo. ....................................................................................................... 10
Figura 6.12. Módulo de ke. ......................................................................................................... 10
Figura 6.13. Saturación y corte.................................................................................................... 11
Figura 6.14. Red con dos excitaciones. ...................................................................................... 11
Figura 6.15. Red con dos fuentes. .............................................................................................. 11
Figura 6.16................................................................................................................................... 13
Figura 6.17................................................................................................................................... 13
Figura 6.18................................................................................................................................... 14
Figura 6.19. Cálculo de v por superposición. ............................................................................. 15
Figura 6.20. Parte de la respuesta debida a e. ............................................................................. 16
Figura 6.21. Parte de la respuesta debida a j............................................................................... 16
Figura 6.22. Ra es una red activa con n fuentes. ......................................................................... 17
Figura 6.23. Red Thévenin Resistiva.......................................................................................... 17
Figura 6.24. Cálculo de voc . ........................................................................................................ 18
Figura 6.25. Cálculo de iCC . ........................................................................................................ 18
Figura 6.26. Thévenin por Superposición. ................................................................................. 19
Figura 6.27. Cálculo fuente Thévenin. ....................................................................................... 19
Figura 6.28. Cálculo red pasiva Thévenin. ................................................................................. 20
Figura 6.29. No existe Red Thévenin. ........................................................................................ 21
Figura 6.30. Red Norton. ............................................................................................................. 21
Figura 6.31. Red Norton aplicando Substitución........................................................................ 22
Figura 6.32. Cálculo fuente Norton. ........................................................................................... 22
Figura 6.33. Cálculo red pasiva Norton. ..................................................................................... 22
Figura 6.34. Red invariante en el tiempo.................................................................................... 23
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008
Capítulo 6. Redes lineales
47
Figura 6.35. Derivada de la excitación. ...................................................................................... 25
Figura P6.1. ................................................................................................................................. 26
Figura P6.2. ................................................................................................................................. 26
Figura P6.3. ................................................................................................................................. 27
Figura P6.4. ................................................................................................................................. 27
Figura P6.5. ................................................................................................................................. 28
Figura P6.6. ................................................................................................................................. 29
Figura P6.7. ................................................................................................................................. 30
Figura P6.8. ................................................................................................................................. 30
Figura P6.9. ................................................................................................................................. 31
Figura P6.10. ............................................................................................................................... 32
Figura P6.11. ............................................................................................................................... 32
Figura P6.12. ............................................................................................................................... 33
Figura P6.13. ............................................................................................................................... 34
Figura P6.14. ............................................................................................................................... 35
Figura P6.15. ............................................................................................................................... 35
Figura P6.16. ............................................................................................................................... 36
Figura P6.17. ............................................................................................................................... 37
Figura P6.18. ............................................................................................................................... 37
Figura P6.19. ............................................................................................................................... 38
Figura P6.20. ............................................................................................................................... 38
Figura P6.21. ............................................................................................................................... 40
Figura P6.22. ............................................................................................................................... 40
Figura E6.1. ................................................................................................................................. 41
Figura E6.2. ................................................................................................................................. 41
Figura E6.3. ................................................................................................................................. 42
Figura E6.4. ................................................................................................................................. 42
Figura E6.5. ................................................................................................................................. 42
Figura E6.6. ................................................................................................................................. 43
Figura E6.7. ................................................................................................................................. 43
Figura E6.8. ................................................................................................................................. 44
Figura E6.9. ................................................................................................................................. 44
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008