Optimización y Programación Lineal Problemas resueltos con el método gráfico 4 de junio de 2014 1. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = x1 + x2 Sujeto a: x1 + x2 ≤ 4 x1 − x2 ≥ 5 x1 , x1 ≥ 0 Solución En la figura 1 se observa que la región factible es vacı́a. 2. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = 4 x1 + x2 Sujeto a: 8 x1 + 2 x2 ≤ 16 5 x1 + 2 x2 ≤ 12 x1 , x1 ≥ 0 Solución En la figura 2 se observa que las curvas de nivel de la función objetivo son paralelas a un lado de la región factible que es hacia donde crece el valor de la función objetivo. Dos posibles soluciones son P (x1 = 4/3, x2 = 8/3) y Q(x1 = 2, x2 = 0) ambas con evaluación z = 8. Pero cualquier punto en el segmento P Q será máximo. Por tanto, el problema PL tendrá múltiples soluciones. 3. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico Max z = −x1 + 3 x2 Sujeto a: x1 − x2 ≤ 4 x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 , x1 ≥ 0 Solución En la figura 3 se observa que la región factible no es acotada y hacia donde las curvas de nivel crecen es en la dirección de no actotamiento. Por tanto, el PL no tendrá solución óptima y no es acotado. 1 (0, 4) x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (4, 0) (5, 0) (0, −5) x1 − x2 ≥ 5 Figura 1: Solución óptima al problema 1 (0, 8) 8 x1 + 2 x2 ≤ 16 (0, 6) 5 x1 + 2 x2 ≤ 12 P (4/3, 8/3) ∇z (12/5, 0) Q(2, 0) z=8 Figura 2: Múltiples soluciones al problema 2 2 z = 26 z = 22 ∇z z = 18 z = 14 z = 10 z=6 z=2 (0, 2) (4, 0) x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 − x2 ≤ 4 Figura 3: No acotamiento en el problema 3 4. Leary Chemical produce tres productos quı́micos: A, B y C. Estos productos se obtienen mediante dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora cuesta 4 dólares y produce 3 unidades del producto A, 1 unidad del producto B, y 1 unidad del producto C. El funcionamiento del proceso 2 durante 1 hora cuesta 1 dolar y produce 1 unidad del producto A y 1 unidad del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes hay que producir diariamente por lo menos 10 unidades del producto A, 5 del producto B y 3 del producto C. Determine el modelo que le permita a Leary Chemical minimizar el costo diario y que satisfaga las demandas diarias. Resuelva este problema por el método gráfico. Solución Modelo PL Variables de decisión x1 el número de horas dedicadas al proceso 1 x2 el número de horas dedicadas al proceso 2 Objetivo Minimizar el costo operativo diario z = 4 dolar x + 1 dolar x (dólares) hora 1 hora 2 Restricciones Satisfacer las demandas de los clientes • Producto A generados: 3 x1 + 1 x2 ≥ 10 • Producto B generados: 1 x1 + 1 x2 ≥ 5 • Producto C generados: 1 x1 + 0 x2 ≥ 3 Naturales: x1 , x2 ≥ 0 Solución al PL En la figura 4 se ilustra la región factible y la dirección del gradiente (lı́nea verde). Por tanto, el óptimo (en este caso mı́nimo) lo alcanza x1 = 3 y x2 = 2 lo cual da z = 14: la estrategia óptima de minimización es dedicar 3 horas al proceso 1 y 2 hora al proceso 2. Esto genera 11 productos 3 (0, 10) 3 x1 + x2 ≥ 10 x1 ≥ 3 x1 + x2 ≥ 5 (0, 5) ∇z z(x1 = 3, x2 = 2) = 14 (10/3, 0) (5, 0) z = 20 z = 14 Figura 4: Solución óptima al problema de Leary Chemical A, 5 productos B y 3 productos C a un costo total de 14 dólares. Observe que la región es infinita pero sı́ existe valor óptimo. 5. La granjera Jane posee 45 acres de tierra. Ella puede plantar o trigo o maı́z. Por cada acre de tierra sembrado con trigo le da una ganancia de 200 dólares, mientras que cada acre sembrado con maı́z le da una ganancia de 300 dólares. La labor y el fertilizante requerido por cada acre aparece en la siguiente tabla. Trigo Maı́z Labor 3 trabajadores 2 trabajadores Fertilizante 2 toneladas 4 toneladas Se tienen disponibles 100 trabajadores y 120 toneladas de fertilizante. Determine un modelo PL para determinar como Jane puede maximizar la ganancia de su tierra. Resuelva este problema por el método gráfico. Solución Modelo PL Variables de decisión x1 el total de acres de tierra a ser plantados con trigo. x2 el total de acres de tierra a ser plantados con maı́z. Objetivo Maximizar la utilidad z = 200 x1 + 300 x2 Restricciones Recurso trabajadores requeridos: 3 x1 + 2 x2 ≤ 100 4 3 x1 + 2 x2 ≤ 100 (0, 50) ∇z (0, 30) z(x1 = 20, x2 = 20) = 10, 000 z = 15, 000 z = 10, 000 z = 5000 (60, 0) 2 x1 + 4 x2 ≤ 120 Figura 5: Solución gráfica al problema de la granjera Jane Recurso fertilizante, toneladas de fertilizante usadas: 2 x1 + 4 x2 ≤ 120 Naturales: x1 , x2 ≥ 0 Solución al PL En la figura 5 se ilustra la región factible y en lı́neas sólidas las curvas de nivel de k = 200 x+300 y. Por lo tanto el óptimo está en x1 = 20,x2 = 20: la estrategia óptima de maximización es plantar 20 acres de trigo y 20 acres de maı́z. Esto utiliza todos los trabajadores y todo el fertilizante y produce una utilidad de 10,000 dólares. 5