Estudio de presiones relativas en planos - Acusto

Reconstrucción del
mapa de presiones de
un plano perpendicular
al eje de un campo
acústico, mediante el
empleo de imágenes del
mismo obtenidas por el
método del campo
oscuro.
Diego Dodat
Estudio de presiones relativas en planos transversales a un
haz de ultra sonido, de simetría cilíndrica.
Introducción:
Las imágenes de campos acústicos de ultra sonido en agua analizadas en este trabajo se obtuvieron
empleando la técnica del campo oscuro.
Figura 1- Esta es una de las imágenes de un campo acústico que se estudiaran mas adelante.
Dichas imágenes permiten visualizar las diferencias de presión generadas por este en el fluido y esto se
logra como consecuencia de que las diferencias de presión antes mencionadas generan leves cambios en
el índice de refracción del agua, lo cual afecta el frente de la onda electromagnética incidente (láser),
permitiendo obtener de esta perturbación la información para formar la imagen. La información que nos
proporciona la foto obtenida es un valor acumulativo de la perturbación del haz del láser durante el
recorrido de todo su camino óptico. En este trabajo se intenta presentar un método con el cual se intenta
reconstruir el campo de presiones relativas de todo un plano perpendicular al haz de ultra sonido
empleando únicamente la información proporcionada por la imagen obtenida por el método de campo
obscuro, y haciendo uso de las características de simetría cilíndrica del campo acústico.
Fundamento Teórico:
Ondas acústicas:
En un fluido ideal no viscoso, podemos aplicar la “Primera Cardinal” a una porción del mismo, con el fin
de obtener una ecuación de movimiento para este.
y
F(x)
F(x+dx)
dm
x
Figura 2- Porción de fluido sometido a fuerzas laterales
De forma inmediata obtenemos la siguiente relación:
 P = -.a
Donde P es la presión, a la aceleración, y  es la densidad de masa del fluido (Las letras en negrita
representan vectores). Esta relación la podemos modificar si recordamos que a = a(x,y,z,t), con lo cual
obtenemos:
 P = -[(v.)v+v]
t
ec 1
Podemos obtener otra relación si aplicamos la ley de conservación de la masa (o ley de continuidad) para
este fluido.
 (.v) + v = 0
t
ec 2
Haciendo un desarrollo de la presión respecto a la densidad, podemos obtener otra ecuación más que es la
siguiente:
p=B.S
ec 3
donde p es la diferencia con la presión a densidad “normal” del fluido, B es el modulo de compresibilidad
adiabático ( B = (P/)o ) y S es la condensación.
Utilizando las ec 1 a ec 3 podemos obtener una ecuación que describa el comportamiento de la presión en
el fluido:
2P = 1.2P
c2 t2
siendo c la velocidad de propagación que viene dada por:
c2 = B/o.
Ondas cuasi-planas:
Sea una onda electromagnética, monocromática, de la forma:
E(r,t) = A(r).ei(r)e-iwt
donde A(r) y (r) son reales, podemos aplicar la ecuación de ondas a esta con lo cual queda:
2A + 2iA + iA2- A() + K2A = (0,0)
Igualando a cero la parte imaginaria y real de esta expresión podemos obtener las siguientes ecuaciones:
2A + A() + K2A = 0
2iA + iA2 = 0
Si multiplicamos por A la primera ecuación, podemos ver claramente que la expresión que nos queda es
la derivada de un producto, es decir:
A[2A + A() + K2A] = ( A2) = 0
ec 4
Decimos que una onda es cuasi-plana cuando la amplitud A de la misma cumple con lo siguiente:
A << KA
Colocando esta expresión en la ecuación 4 podemos obtener la expresión:
K  
La cual lleva el nombre de ecuación de “la Eikonal”. Esto significa que la onda se desplaza por las líneas
de campo de, y como K = w.n / co (donde w es la frecuencia, n es el índice de refracción del medio y
co es la velocidad de la luz en el vacío); esto nos posibilita obtener una expresión integral que relacione la
variación de fase que experimenta una onda al atravesar un medio con el índice de refracción del mismo.
Por ejemplo supongamos que una onda electromagnética que viaja en dirección z ingresa en z1 a un
medio por ejemplo agua (ver figura 3), y atraviesa el mismo hasta una posición z2; la diferencia de fase
que tendrá la onda emergente respecto a la onda incidente vendrá dada por la siguiente relación
x
n(x,y,z)
Eo ei φo (x,y)
Eo ei φo (x,y)
z
z1
z2
y
Figura 3- onda plana electromagnética incidiendo en un
Medio de índice de refracción n(x,y,z)
  (x,y) - o   K.dz   Δn.Ko. dz  Ko  Δn(x,y,z).dz
ec 5
Donde o es la fase de la onda incidente y naturalmente los limites de la integral van desde z1 a z2.
Empleando el modelo de Lorentz para el índice de refracción de un material, partiendo de la ecuación de
movimiento para una molécula en presencia de un campo eléctrico:
qE – Kx - γv = ma
Tomando el campo total E como la contribución del campo interno Eint más un campo externo Eext:
E = Eint + Eext =Eext + P
3εo
usando P = χE, donde χ es la susceptibilidad del medio, podemos obtener para χ la expresión:
χ=
q2N
.
m(wo - w2 + iγw - q2N)
3mεo
2
Recordando que n2 -1 = χ/εo , podemos obtener una expresión que relacione la variación del número de
partículas, o sea la variación de la densidad, con la variación del índice de refracción, la cual nos queda
como sigue:
n = no3 μo S / 2
donde S = N/N
Y como p = B.S, podemos expresar la variación del índice de refracción como una función de la presión:
n = no3 μo p / 2B = β.p
En donde el factor β toma un valor de 1,6.10-10 para el agua, de donde sacamos que:
n(x,y,z,t) = no + β.p
evidenciando la proporcionalidad entre dichas variables.
Queda claro con lo expuesto que si una onda electromagnética plana atraviesa un medio en donde se esta
propagando una onda acústica, las diferencias de presión que esta ultima genera en el medio producirán
leves cambios en el índice de refracción del mismo generando esto a su vez, una variación de fase en la
onda electromagnética la cual vera afectado su frente de onda el cual dejara de ser un frente plano ya que
en general, no todo el frente de onda atraviesa zonas del medio que poseen el mismo índice de refracción,
puesto que este es una función no constante de la posición debido a la onda acústica.
Campo
acústico
Onda plana
Onda emergente
Figura 4- frente de onda modificado al atravesar un
medio con índice de refracción n(x,y,z)
Esto implica que si fuésemos capaces de medir en alguna forma la diferencia de fase generada en la onda
por la función n(x,y,z), podríamos obtener cierta información sobre el campo acústico propagándose en el
medio, y esto podría ser útil para estudiar este tipo de campos.
Método del campo oscuro:
El método del campo oscuro, es un método que permite obtener datos sobre la forma de un campo
acústico como efecto de la diferencia de fase generada por la función n(x,y,z) generada por este campo
que se propaga en agua sobre la onda cuasi-plana proveniente de un láser. El método consta en lo
siguiente:
Se emite un haz de luz láser sobre una lente la cual aumenta al radio del haz, este haz “ampliado” sigue su
camino e ingresa dentro de un medio acuoso (agua) en donde se propaga una onda acústica de
ultrasonido. Este campo acústico genera diferencias de fase dentro del frente de onda en la onda plana del
láser cuando este último lo atraviesa. El haz emergente incide sobre una lente convergente la cual refracta
el haz enfocando la parte plana del mismo sobre el foco; la parte de la onda que viene desfasada de la
parte plana, es refractada y pasa por una región cercana al foco. Luego del foco se coloca otra lente
convergente la cual reconstruye la imagen del campo acústico sobre una cámara CCD la cual genera una
imagen con la luz incidente.
Recipiente con agua
Objeto
obstruyendo
el foco
Láser
Cámara CCD
lentes
Figura 5- Diagrama del montaje empleado en el método del campo oscuro
En forma analítica podemos realizar el siguiente estudio para obtener una relación cuantitativa entre la
diferencia de fase y el índice de refracción:
Tomando la hipótesis de que la onda electromagnética es cuasi-plana en todo el trayecto, podemos hacer
uso de la ec 5 para obtener:
  (x,y) - o   K.dz   Δn.Ko. dz  Ko  Δn(x,y,z).dz = Ko. β  p.dz
ec 6
Supongamos que la onda acústica es plana y tiene la forma siguiente:
p = po.sen(kx - Ωt)
y que la onda incidente del láser es una onda plana que tiene la forma:
Ei = Eo.ei(kz
- wt)
Por lo tanto esperamos que la onda emergente tenga la forma:
Es = Eo.ei(kz + (x,y,t)
- wt)
Empleando la ecuación 6 podemos calcular la diferencia de fase producida mediante todo el camino
óptico como la siguiente integral:
 = Ko. β  po.sen(kx - Ωt). dz = Ko .β .L .po .sen (kx - Ωt)
Con lo cual la función ei  = e
una seria de Fourier como sigue:
iKo .β .L .po .sen (kx – Ωt)
es periódica, y por lo tanto podemos escribirla como
ei  = ∑ Jn(Ko.β.L.po) ein(kx - Ωt) = ∑ Jn(Ko.β.L.po) ein(kx - Ωt)
ei  . eiwt = ∑ Jn(Ko.β.L.po) ein(kx - Ωt) e iwt = ∑ Jn(Ko.β.L.po) ei( nkx – ( nΩ – w) t)
Esto significa que la onda emergente es una superposición de ondas planas que viajan ahora en diferentes
ángulos respecto al eje z. Si despreciamos los términos de n menor o igual a 2, por ser muy pequeños,
podemos escribir lo siguiente:
Es = e-iwt + J-1(Ko.β.L.po) e-i( kx – ( Ω – w) t) + J1(Ko.β.L.po) ei( kx – ( Ω – w) t)
Eo
Y como J±1(Ko.β.L.po) = ± Ko.β.L.po/2
Es = [1 + i (Ko.β.L.po)sen(kx - Ωt)] e-iwt = [1+i(x,y,t,)] e-iwt
Eo
El numero 1 pertenece al orden 0 de la descomposición de Fourier, y representa la porción plana de la
onda emergente. Por lo tanto si una vez que el haz del láser abandona el medio y es refractado por la lente
convergente hacia el foco, tapamos el foco (por eso el nombre de “método de campo oscuro”) podemos
eliminar este orden 0 y por lo tanto podemos tener como efectos de mayor orden los del orden 1 que son
los que poseen la información del campo acústico.
Como sabemos que E2 = I, entonces podemos obtener lo siguiente:
Is = 2(x,y,t,)
Io
Esto evidencia analíticamente que la intensidad que registra la cámara CCD depende de la diferencia de
fase que se genera a través del camino óptico del láser, la cual a su vez depende del índice de refracción
del medio, lo cual a su vez depende del campo de presiones que genera el haz de ultrasonido. En resumen
la intensidad que registra la cámara CCD posee la información del campo acústico.
Vale la pena observar que en realidad la intensidad lumínica que obtiene la cámara CCD es un promedio
temporal de la intensidad real, ya que la frecuencia de toma de imágenes de la cámara es inferior a la
frecuencia del campo de ultra sonido, por lo tanto no podemos obtener explícitamente la presión generada
por el campo acústico en un tiempo dado sino un promedio del mismo.
Reconstrucción del campo relativo de presiones:
La obtención de las imágenes se realizo empleando un haz láser incidente perpendicular al haz de ultra
sonido lo cual nos permite tener una visión “lateral” del mismo. Para le reconstrucción del campo de
presiones en un plano perpendicular al haz se procederá como sigue:
Al correr el programa “fase”, este pide que se ingrese un archivo en formato “tif” el cual contenga la
imagen a estudiar. Una vez ingresado el nombre de la foto, el programa almacena la intensidad lumínica
de cada pixel en una matriz rectangular. Esta matriz es normalizada, pero no en el intervalo 0-1 sino en el
intervalo 0-65, lo cual permite una mejor visualización al utilizar el comando “image” de "Matlab" para
ver una imagen de la matriz obtenida.
Figura 6- Imagen de un campo acústico
obtenida mediante el método del campo
oscuro. Para su visualización se empleo le
comando “image” de “Matlab”.
A continuación se selecciona una línea vertical de pixeles de la foto, teniendo la precaución de que en esa
posición de la foto este presente el campo acústico que deseamos estudiar, esta línea posee toda la
información disponible sobre el plano perpendicular al haz a esa distancia del transductor, y será con esta
columna de píxel con la que se reconstruirá el campo de presiones.
Figura 7- En la imagen se selecciona una línea
vertical de píxeles para trabajar, la cual contiene
toda la información de la imagen sobre el plano
transversal al haz de ultrasonido que se pretende
reconstruir.
El programa “fase” brinda la posibilidad de aplicar un filtrado de altas frecuencias a la línea de pixeles,
lo cual permite eliminar o por lo menos atenuar el “ruido” de la misma. Una vez seleccionada la línea de
pixeles, se deberá a su vez seleccionar cierto segmento de la misma para su estudio ya que la imagen que
realmente interesa, se encuentra en un circulo dentro del rectángulo que conforma la imagen, y por ende
debemos retirar del análisis aquellos píxeles que correspondan a un sector de la imagen que este ubicado
fuera del circulo, como también aquellos píxeles que estando dentro del circulo no poseen información
relevante del campo acústico.
Figura 8- La línea en color verde es el perfil
de la columna de píxeles elegidos, la línea en
color rojo es un perfil filtrado de la misma
proporcionada por el programa “fase. El
ploteo se realizo con “Matlab”.
Ahora una vez seleccionado el segmento a trabajar, el programa realizara algunos leves ajustes sobre los
límites del mismo de manera de obtener un segmento lo más simétrico posible respecto del pixel central.
Figura 9- Esta es una imagen del segmento
seleccionado de la columna de píxeles
anterior. Se aprecia claramente en la imagen,
que esta posee un ancho de 180 píxeles con
el centro del pico en el píxel 90, ajuste que el
programa “fase” realiza en forma
automática. A diferencia de la primera
imagen que posee un ancho de 244 píxeles y
el centro del pico no esta centrado en la
imagen.
Desafortunadamente el método del campo oscuro no permite generar un fondo uniforme para la imagen
(la parte inferior de la imagen es levemente mas clara que la parte superior), por lo que el segmento
obtenido no será del todo simétrico. Esto debe sortearse de alguna forma en el análisis de la foto, ya que
se utiliza en el mismo una fuerte hipótesis sobre la simetría cilíndrica del haz de ultrasonido. Esto se logra
en cierto modo analizando únicamente la mitad superior del segmento seleccionado (el cual al poseer un
fondo mas obscuro facilita mas identificar con el cero de intensidad a las zonas de la foto donde no existe
campo acústico) y simetrizando luego los resultados obtenidos de este.
Figura 10- Esta imagen fue tomada
promediando la exposición durante 20 ms.
Esto pretende mostrar que las imágenes son
levemente mes claras en la zona inferior,
que en la superior, aunque en esta foto se
evidencia mas claramente este hecho que en
las fotos que se emplearan para el análisis,
ya que las mismas tienen un periodo de
exposición de 15 ms.
Como ya se explico antes la intensidad de cada pixel de la foto es proporcional a la perturbación sufrida
por el haz del láser al recorrer las zonas del espacio en donde existe campo acústico. Evidentemente los
fotones del láser que atraviesan zonas del espacio donde no existe campo acústico no sufrirán
perturbación y no llegaran a incidir sobre la cámara CCD, lo cual implica que en las zonas en negro (azul)
de la imagen o bien no existe campo acústico, o bien es despreciable para nuestros fines. Pero a medida
que nos acercamos al campo acústico, es decir nos acercamos radialmente al eje del haz de ultra sonido
van a existir algunos fotones que a cierta distancia del eje, la cual llamaremos R en unidades de píxeles (y
a la cual podemos considerar como punto de comienzo del campo acústico) comiencen a atravesar
pequeñas zonas de campo, y por lo tanto comiencen a sufrir leves perturbaciones. Vale la pena destacar
que dado que la máxima resolución que nos permite la foto es un pixel, toda la información que podemos
sacar de la misma deberá proceder de estos, y la imagen que logremos formar del campo de presiones
tendrá la misma resolución que la imagen a analizar, o sea un píxel.
Figura 11- Los recuadritos de la figura
representan la distancia que recorre el haz
dentro del campo, en unidades de píxeles, los
diferentes colores representan los diferentes
índices de refracción de las distintas zonas del
campo. Obsérvese que el eje central del campo
queda fuera de la figura y por debajo, y que las
zonas del mismo color están dispuestas en
circunferencias centradas en el eje debido a la
simetría cilíndrica del campo.
Dicho esto y conociendo R, podemos estimar cual fue la distancia que recorrieron estos fotones dentro del
campo acústico entre una distancia R y R-1 pixeles, o mejor dicho podemos saber a cuantos pixeles
corresponde esta distancia dado que R esta en unidades de pixeles, juntando esta información con la
información en forma de intensidades lumínicas que nos brinda el segmento de pixeles seleccionado,
podemos observar cual es la intensidad lumínica relativa del pixel correspondiente a una distancia entre R
y R-1 del eje del campo. Una vez sabidos los valores de R, el valor de intensidad del pixel
correspondiente y la distancia (en pixeles) que recorrieron los fotones dentro del campo, podemos
calcular cual fue la perturbación que causo cada pixel recorrido por el haz del láser a una distancia entre R
y R-1 del eje, ya que debido a la resolución que presente la imagen, podemos suponer que el haz que
atravesó el campo en este sector lo hizo en su totalidad a una distancia R del centro del campo lo cual
equivaldría a decir empleando la hipótesis de simetría cilíndrica del campo que los pixeles que atravesó el
haz están todos al mismo valor de presión, y por lo tanto todos generan la misma perturbación.
Esto nos permite obtener sabiendo la perturbación total, y el número de pixeles atravesados, cual es la
perturbación que provoca cada pixel con la siguiente expresión:
“Intensidad debida a cada pixel” = “Intensidad del pixel del segmento”
“Numero de píxeles recorridos”
Vale la pena observar que el procedimiento descrito arriba puede realizarse ya desde el primer pixel del
segmento elegido (de hecho es esto exactamente lo que se hace), ya que aunque el primer pixel del
segmento elegido tenga intensidad 0, lo cual equivale a decir que el pixel corresponde a un sector de la
foto que se encuentra fuera del campo acústico, esto no afecta el resultado, ya que el resultado de la
perturbación de cada pixel también será 0. Además esto es útil al realizar la selección, ya que no debemos
necesariamente recortar el segmento a la zona donde se encuentra el campo, lo cual seria bastante difícil
de identificar a simple vista, sino que podemos elegir un segmento que abarque todo el ancho del campo y
mas sin agregar errores significativos al resultado, lo cual facilita mucho la labor de selección del mismo.
Argumentos similares pueden exponerse para explicar porque los únicos píxeles que son tomados en
cuenta en la ecuación anterior, son los que corresponden a los atravesados por el láser dentro del campo
acústico, y no a los que están fuera del mismo, ya que los pixeles atravesados por el láser fuera del campo
no contribuyen a la intensidad total registrada por la cámara CCD, y pueden no ser tomados en cuenta.
Una vez calculada la perturbación que produce cada pixel y utilizando nuevamente la hipótesis de
simetría cilíndrica, es prudente adjudicar el mismo valor de “perturbación” calculado a todos los pixeles
que se encuentran en una circunferencia de pixeles a una distancia entre R y R-1(en unidades de pixeles)
del eje del campo. De esta forma comenzamos a reconstruir el campo de presiones del planos
perpendicular al eje, ya que sabemos cual es la perturbación que generan los pixeles situados a una
distancia entre R y R-1 del eje, y por lo tanto, empleando la proporcionalidad de la presión con la
intensidad medida, podremos una vez finalizada toda la imagen obtener valores relativos de presión para
todo el plano.
Una vez realizado esto para el pixel situado a una distancia entre R y R-1 del eje analizaremos lo que
ocurre con los fotones del láser que atraviesan el sector correspondiente al pixel del segmento
seleccionado situado a una distancia entre R-1 y R-2 del eje del campo. Estos fotones atravesaran una
zona del campo que se encuentra a una distancia entre R y R-1, y otra zona que esta a una distancia entre
R-1 y R-2 del eje del campo. Considerando que estamos a una distancia vertical del eje entre R-1 y R-2,
podemos calcular la cantidad de pixeles que el haz del láser atraviesa a una distancia del centro entre una
distancia entre R y R-1 del eje del campo y también el numero de pixeles que el haz atravesó entre una
distancia entre R-1 y R-2 del eje del campo. Como nosotros sabemos cual es la perturbación que produce
cada píxel que atraviese el haz entre R y R-1, ya que lo calculamos anteriormente, podemos obtener la
perturbación que generan los píxeles entre R-1 y R-2 ya que la intensidad que nos proporciona el
segmento en su pixel entre R-1 y R-2 viene dada por la siguiente suma :
I segmento(R-1,R-2) = I pixel(R,R-1)*Nº pixeles(R,R-1)+I pixel(R-1,R-2)*Nº pixeles(R-1,R-2)
Donde I(R-X,R-x) representa la intensidad lumínica que generan los píxeles entre una distancia del eje
del campo entre R-X y R-x. De la suma anterior lo único que no conocemos es “I pixel(R-1,R-2)”, por lo
tanto podemos despejarlo y de este modo saber cual es la perturbación que genera cada pixel situado a
una distancia entre R-1 y R-2 del eje del centro. Del mismo modo que en el caso anterior y haciendo uso
de la simetría cilíndrica del campo acústico, podemos adjudicar un valor a cada pixel situado en una
anillo entre R-1 y R-2.
Figura 12- Obsérvese que la parte superior del
haz no atraviesa en ningún momento de su
recorrido al campo acústico, mientras que
inmediatamente por debajo de él, el haz
atraviesa el campo en un sector que posee el
mismo índice de refracción en todo el
recorrido; obsérvese además que a medida que
descendemos, el haz atraviesa zonas que poseen
diferentes índices de refracción, atravesando
cada vez mas zonas con índice de refracción
diferentes a medida que nos aproximamos al
centro.
De esta forma, siguiendo el mismo procedimiento hasta el pixel central, podemos reconstruir todo el
campo de presiones relativas en un plano perpendicular al haz. La ecuación para obtener la intensidad
generada por los pixeles situados a una distancia entre R-X y R-X-1 es a siguiente.
X
I segmento(R-X,R-X-1) =  (I pixel(R-i,R-i-1)*Nº pixeles(R-i,R-i-1))
o
De donde se puede despejar, ya que es el único valor desconocido, I pixel(R-X,R-X-1), hasta que
R-X-1=0. En realidad esto es una explicación incompleta de lo que realiza el programa “fase”, pero
ilustra claramente cual es el principio utilizado para formar la imagen. Obteniendo así toda la información
necesaria para la formación del campo relativo de presiones.
Análisis de las imágenes y estudio de los resultados:
Las imágenes a estudiar, fueron tomadas mediante el empleo del método del campo oscuro, las mismas
fueron adquiridas integrando la intensidad recibida por la cámara CCD durante 15 ms. Dado que las
imágenes poseían mucho ruido de fondo debió sustraerse de las mismas el background, lo cual se realizo
con el mismo software de adquisición de las imágenes. Este software almacena las imágenes en formato
“tif”.
El procesamiento de las imágenes se realizo empleando el programa “Matlab R12”. Para lograr
transformar la imagen en una matriz que posea un valor numérico para cada píxel se debió recurrir al
empleo de un programa de “Matlab”, el programa “fase”, en este se encuentra como subrutina del mismo
el programa “matif”, capaz de transformar una imagen de formato “tif” en una matriz numérica.
Figura 13- Estas son las imágenes
que se emplearon en el análisis, la
visualización se realizo con el
comando “image” de ““Matlab””.
De izquierda a derecha y de arriba
abajo aumenta la distancia al
transductor. En la primera imagen,
puede verse en su lado derecho un
corte abrupto del campo debido a la
presencia del transductor.
Los resultados arrojados por el programa “fase” son los siguientes:
Imagen dd1q.tif (arriba a la izquierda, figura 13), inmediatamente próxima al transductor, de la cual
se selecciono la columna número 550 para realizar un análisis detallado:
Figura 14- En el recuadro superior se
muestra un perfil de del segmento de
la columna 550 que será estudiado.
En la imagen inferior se muestra un
corte diametral del campo de
presiones perpendicular al eje que se
calculo.
Nótese que en el centro del corte diametral, existe una pequeña depresión, lo que indicaría que el campo
es menos intenso en el eje del mismo que en otras zonas del campo cuando en realidad es de esperarse
que el campo acústico sea un máximo sobre el eje del mismo. Pero haciendo un análisis mas detallado del
proceso, podemos ver que esta leve depresión, puede deberse a un error sistemático del programa de
cálculo, ya que la columna elegida presenta mucho ruido de fondo.
Figura 15- Imagen en superficie del
campo relativo de presiones
calculado para la columna 550.
Ya que la leve depresión del centro del campo calculado no parece muy convincente, se procederá a
realizar una suerte de test de prueba del método empleado por el programa fase, para descartar un mal
funcionamiento del mismo. Esto consiste en simular un haz de láser que atraviesa el campo de presiones
calculado, y comparar la intensidad que esto generaría en la cámara CCD con la intensidad real obtenida
en el experimento.
Figura 16- Imagen del resultado de la simulación,
superpuesto a la intensidad real obtenida por la
cámara. En rojo se muestran los datos simulados,
y en azul los datos experimentales.
Se ve claramente en la figura que aunque existe una fuerte correlación entre las curvas hacia el final de la
serie, esto no ocurre en el comienzo, lo que podría haber generado un error pequeño pero acumulativo en
el proceso de cálculo. Esto podría deberse en principio a que los valores de ruido de la imagen en esta
columna son comparables a los valores reales generados por el campo, la imagen filtrada y antes de filtrar
se muestran a continuación para ilustrar lo dicho:
Figura 17- La línea verde representa
el perfil de la columna 550, mientras
que la línea roja representa los
mismos datos filtrados. Se ve
claramente que aunque si puede
distinguirse el pico generado por el
campo acústico, el ruido de los datos
es muy grande.
A continuación se mostraran los mapas de presiones obtenidos de la imagen “dd1q.tif”, para las columnas
550, 450 y 350 y los cortes diametrales de los mismos:
Figura 18- Mapas de presión
calculados por el programa fase
para las columnas 450, 350 y 250,
de izquierda a derecha.
Figura 19- Cortes diametrales de los
mapas de presión calculados para las
columnas 450, 350 y 250 para la
imagen “dd1q.tif”.
Podemos ver claramente que a medida que nos alejamos del transductor, la depresión central sigue
existiendo, aunque ahora el ruido de la imagen no es tan significativo, ya que la intensidad del campo es
mayor. Por contrapartida, los test realizados con la simulación de un haz incidiendo sobre el mapa de
presiones relativas calculado, da
resultados muy buenos.
Figura 20– Perfil de la columna 250 de la
imagen “dd1q.tif”. En rojo se ven los datos
filtrados.
Figura 21- Figura 16- Imagen del
resultado de la simulación, superpuesto a
la intensidad real obtenida por la cámara
para la columna 250. En rojo se muestran
los datos simulados, y en azul los datos
experimentales.
Aunque para la columna 250, el resultado de la simulación parece indicar que todo anda bien, la
depresión en el centro del mapa de presionas relativas continua apareciendo.
Imagen dd2q.tif (arriba a la
derecha figura 13), a pocos
centímetros del transductor, de la
cual se seleccionaron las columnas
450, 350 y 250:
Figura 22- Las superficies corresponden a los mapas de presiones calculados para las columnas 450, 350 y 250 de la imagen
“ddq2.tif” de izquierda a derecha.
Figura 23- Cortes diametrales de los mapas de
presión calculados para las columnas 450, 350
y 250 de la imagen “dd2q.tif”.
Figura 24- Aunque todavía se visualizan
algunas depresiones en el centro de algunos
mapas de presiones relativas, los valores de la
simulación en los tres casos están de acuerdo a
lo esperado
Imagen dd3q.tif (abajo a la
izquierda figura 13), a varios
centímetros del transductor, de la
cual se seleccionaron las columnas 450, 350 y 250 para su análisis:
Figura 25- Las superficies corresponden a los mapas de presiones calculados para las columnas 450, 350 y 250 de la imagen
“ddq3.tif” de izquierda a derecha.
Figura 26- Cortes diametrales de los mapas de
presión calculados para las columnas 450, 350
y 250 de la imagen “dd3q.tif”. Sigue
observándose aun la leve depresión central en
algunos mapas de presiones relativas.
Imagen dd4q.tif (abajo a la izquierda figura 13), a varios centímetros del transductor, de la cual se
seleccionaron las columnas 450, 350 y 250:
Figura 27- Las superficies corresponden a los
mapas de presiones calculados para las
columnas 450, 350 y 250 de la imagen
“ddq4.tif” de izquierda a derecha.
Figura 28- Cortes diametrales de los mapas de
presión calculados para las columnas 450, 350
y 250 de la imagen “dd4q.tif”.
Reconstrucción del campo real de presiones empleando el campo de presiones
relativas calculado con el programa “fase”
Una vez recopilados estos datos sobre los mapas de presión relativas, podemos realizar un cálculo
sencillo empleando las ecuaciones del marco teórico para demostrar que la presión real en cada píxel del
mapa viene dado por:
P= I
c2
.
Io (w.1,6.10-10)
ec 7
Donde P es la presión correspondiente a un píxel determinado e I es el valor de intensidad generado en la
cámara CCD por la diferencia de fase que píxel produce sobre el frente de onda del láser. Estos valores de
I son los valores del campo relativo de presiones calculado por el programa “fase”.Pero para poder
calcular las presiones reales que el campo acústico genera debemos saber el valor de I o. El problema
radica en que la cámara CCD es capaz de leer intensidad luminica y asignarle un valor de base de 8 bits,
esto dificulta la lectura de la intensidad Io ya que generalmente la cámara se satura y no puede asignar un
valor mayor a 256 para la lectura de intensidad. Para resolver esto se propone la siguiente experiencia.
Realizar directamente la toma de imagen de Io, es decir, encender el dispositivo experimental, sin colocar
ningún campo acústico, ni ningún objeto que obstruya el foco, colocando filtros oscuros que no permitan
la saturación de la cámara CCD. Luego manteniendo los filtros en posición obstruir el foco para obtener
una imagen del fondo.
Una vez obtenidas las dos imágenes, se podrá calcular un valor promedio de intensidad por píxel para
cada una de las imágenes y dividirlas, de este modo puedo obtener frente a cualquier intensidad promedio
de la imagen del fondo ya sea con filtros o no, cuanto vale la I o de esta configuración.
Es decir:
Iocf = Iosf
Ibcf Ibsf
Donde Iocf es la intensidad Io con el filtro colocado, Ibcf es la intensidad del fondo con el filtro colocado,
Iosf es la intensidad Io sin el filtro y por ultimo Ibsf es la intensidad del fondo sin el filtro. De la expresión
anterior podemos obtener:
Iosf = Iocf Ibsf
Ibcf
Una vez que tengo el valor de Iosf es decir Io puedo calcular el campo de presiones real mediante el
empleo de la ecuación 7, utilizando los valores de I del campo de presiones relativas calculado.
Apéndice
Programa “matif”
% A=matif('path\archivo.tif') convierte una imagen
%.tif tomada con la cámara EDC-1000HR en cualquiera
%de sus cuatro resoluciones (hvgacam no interlaceado
%192x165, hvgacam inter. 192x330, hvga no int. 753x244,
%hvga inter. 753x488) en matriz de intensidades para
%MATLAB.
function matif=matif(nombre)
fid=fopen(nombre);
stat=fseek(fid,190000,-1);
if stat==0
%fsize=369102;
inicio=1638;
filas=488;
columnas=753;
else
stat=fseek(fid,65000,-1);
if stat==0
%fsize=185370;
inicio=1638;
filas=244;
columnas=753;
else
stat=fseek(fid,40000,-1);
if stat==0
%fsize=63510;
inicio=150;
filas=330;
columnas=192;
else
%fsize=31830;
inicio=150;
filas=165;
columnas=192;
end
end
end
stat=fseek(fid,inicio,-1);
matif=fread(fid,[columnas,filas],'uchar');
fclose(fid);
Programa “fase”
clear
clc
%Carga el archivo de imagen (tif) y lo ingresa en una matriz
disp ('Ingrese el nombre del archivo a ser analizado')
MTX=input ('entre apostrofes y con su extension correspondiente: ');
E=matif(MTX);
Norm=E';
Lim=size(Norm);
disp ('Al presionar una tecla, la imagen normalizada')
disp ('correspondiente al archivo elegido aparecera en pantalla.')
disp ('Ud debera elegir una columna de pixels de la imagen para su analisis')
disp ('una vez cerrada la imagen la cual a su vez sera filtrada.')
disp ('Para cerrar la imagen una vez abierta, pulse una tecla.')
pause
%Muestra la imagen
figure(1);
image(Norm)
pause
disp(' ')
%El usuario elige una columna de la matriz
D=input ('Coloque el numero de la columna elegida: ');
%Se ingresa un vector de dos elementos que posee el numero de veces
%que se quiere filtrar el perfil de la columna y del corte diametral
%del resultado del analisis
disp (' ')
disp ('Ingrese un vector con el numero de veces que quiere filtrar')
%Subrutina de filtrado toma el vector F y devuelve el vector G(w(1),:), filtrado w(1) veces
w=input ('la imagen y el resultado del analisis: ');
F=Norm(:,D);
G(1,1)=F(1);
G(1,length(F))=F(length(F));
for g=2:(length(F)-1);
G(1,g)=G(1,g-1)+(F(g+1)-G(1,g-1))/2;
end
for z=2:w(1);
G(z,1)=G(z-1,1);
G(z,length(F))=G(z-1,length(F));
for p=2:(length(F)-1);
G(z,p)=G(z,p-1)+(G(z-1,p+1)-G(z,p-1))/2;
end
end
disp (' ')
disp ('Al presionar una tecla,')
disp('aparecera en pantalla el perfil de la columna elegida.')
disp ('y el perfil de la columna suavizada superpuesto al mismo.')
disp ('Una vez cerrada la imagen,')
disp('se podra elegir un rango de filas de esta columna para trabajar.')
disp ('Para cerrar la imagen una vez abierta, pulse una tecla.')
pause
%Plotea el vector original superpuesto al vector filtrado
figure(2)
plot(F,'g'),title('Corte vertical seleccionado, y filtrado'),xlabel('N° de pixel'),ylabel('Intensidad luminica');
hold on
plot(G(w(1),:),'r')
pause
hold off
%Da la opcion de tomar un sector del vector filtrado para el analisis
%Si se responde 'n' el programa selecciona un sector automaticamente
disp(' ')
disp ('Quiere Ud. seleccionar un rango de filas dentro de esta columna')
RES=input ('o desea que el programa lo haga automaticamente (y o n entre apostrofes)?: ');
if RES=='y'
disp (' ')
Se=input ('Ingrese un vector con la primer y ultima fila que quiera analizar: ');
SS=G(w(1),Se(1):Se(2));
Mm=max(SS);
mM=(3/4)*Mm;
numbb=0;
for bb=1:length(G(w(1),:));
if G(w(1),bb)>mM;
numbb=numbb+1;
LLL(bb)=numbb;
else
LLL(bb)=0;
end
end
GRO=numbb;
for ee=1:length(G(w(1),:));
if LLL(ee)==1;
PRI=ee;
end
end
CC=PRI+GRO/2;
NSE=CC-Se(1);
nse=Se(2)-CC;
if NSE>nse;
KV=nse;
else
KV=NSE;
end
S=G(w(1),CC-KV:CC+KV);
disp (' ')
disp ('¡ADVERTENCIA!')
disp ('Si alguno de los valores es menor que 0,')
disp ('o mayor que el numero de filas de la columna elegida,')
disp ('el programa podria dar error.')
disp ('Presione una tecla para continuar.')
pause
else
Mm=max(G(w(1),:));
mM=(3/4)*Mm;
numbb=0;
for bb=1:length(G(w(1),:));
if G(w(1),bb)>mM;
numbb=numbb+1;
LLL(bb)=numbb;
else
LLL(bb)=0;
end
end
GRO=numbb;
for ee=1:length(G(w(1),:));
if LLL(ee)==1;
PRI=ee;
end
end
CC=PRI+GRO/2;
NSE=1/4*CC;
nse=CC+3/4*CC;
S=G(w(1),NSE:nse);
end
%Toma el sector elegido anteriormente y ajusta el numero de elementos
%para hacerlo multiplo de 2, lo cual es crucial para el analisis que este hace del mismo
KO=round((length(S))/2);
KA=KO*2;
if KA>length(S);
KA=KA-2;
else
end
%Toma el sector corregido el cual es un sector de una columna de la foto inicial,
%y divide entre 2 cada elemento. Luego crea tres matrices de 0's las cuales se usaran mas adelante
for ye=1:KA;
B(KA-ye+1)=S(ye)/2;
end
X=zeros(length(B), length(B));
J=zeros(length(B)/2, length(B)/2);
RI=zeros(length(B)/2-1, length(B)/2-1);
%Obtiene la intensidad de cada anillo de la imagen final
for u=1:(length(B)/2);
if u==1;
Jv(1,1)=(sqrt((length(B)/2)^2-((length(B)/2)-1)^2));
QUQ(1,1)=1/2*Jv(1,1)*((length(B)/2)^2Jv(1,1)^2)^(1/2)+1/2*(length(B)/2)^2*atan(Jv(1,1)/((length(B)/2)^2-Jv(1,1)^2)^(1/2));
J(1,1)=QUQ(1,1)-(Jv(1,1)*(sqrt((length(B)/2)^2-Jv(1,1)^2)));
I(1)=B(length(B))/J(1,1);
else
for j=1:u;
Jv(u,j)=(sqrt(((length(B)/2)-u+j)^2-(((length(B)/2)-u)^2)));
QUQ(u,j)=1/2*Jv(u,j)*(((length(B)/2)-u+j)^2-Jv(u,j)^2)^(1/2)+1/2*((length(B)/2)u+j)^2*atan(Jv(u,j)/(((length(B)/2)-u+j)^2-Jv(u,j)^2)^(1/2));
J(u,j)=QUQ(u,j)-(Jv(u,j)*sqrt(((length(B)/2)-u+j)^2-Jv(u,j)^2));
if j==1;
elseif j==2;
RI(u-1,j-1)=((J(u,j)-J(u,j-1)-(J(u-1,j-1)))*(I(u-1)));
else
RI(u-1,j-1)=((J(u,j)-J(u,j-1)-(J(u-1,j-1)-J(u-1,j-2)))*(I(u-j+1)));
end
I(u)=(B(length(B)-u+1)-sum(RI(u-1,:)))/(J(u,1));
end
end
end
%Subrutina de filtrado toma el vector de intensidades de los anllos I
%y devuelve el vector Gi(w(2),:), filtrado w(2) veces
Gi(1,1)=I(1);
Gi(1,length(I))=I(length(I));
for gi=2:(length(I)-1);
Gi(1,gi)=Gi(1,gi-1)+(I(gi+1)-Gi(1,gi-1))/2;
end
for zi=2:w(2);
Gi(zi,1)=Gi(zi-1,1);
Gi(zi,length(I))=Gi(zi-1,length(I));
for po=2:(length(I)-1);
Gi(zi,po)=Gi(zi,po-1)+(Gi(zi-1,po+1)-Gi(zi,po-1))/2;
end
end
end
%Reconstruye una matriz con la informacion de los anillos y la intensidad de cada uno
%La cual sera posteriormente convertida en imagen
Ja=round(Jv);
for k=1:length(B)/2;
for h=1:k;
if h==1;
X(k,(length(B)/2+1):((length(B))/2+Ja(k,h)))=Gi(w(2),k+1-h);
X(k,(length(B)/2+1-Ja(k,h)):(length(B))/2)=Gi(w(2),k+1-h);
else
X(k,((length(B))/2+Ja(k,h-1)+1):((length(B))/2+Ja(k,h)))=Gi(w(2),k+1-h);
X(k,((length(B))/2-Ja(k,h)+1):((length(B))/2-Ja(k,h-1)))=Gi(w(2),k+1-h);
end
end
end
for s=1:length(B);
for t=1:(length(B)/2);
X(length(B)-t+1,s)=X(t,s);
end
end
disp ( ' ')
disp ('Al presionar una tecla apareceran en pantalla dos graficos,')
disp ('el primero muestra un perfil suavizado de la columna analizada;')
disp ('el segundo es un corte diametral del resultado obtenido del analisis.')
disp ('Si presionamos una tecla nuevamente,')
disp ('veremos un grafico 3D del resultado obtenido en el analisis.')
pause
%Genera las imagenes y las plotea
figure(3)
subplot(2,1,1);
plot(S,'b'),title('Segmento seleccionado'),xlabel('N° de pixel'),ylabel('Intensidad luminica');
P=size(X);
q=round(P(1)/2);
L=abs(X(q,:));
subplot(2,1,2)
plot(1:P(2),L,'r'),title('Corte diametral del mapa de presiones relativas calculado'),xlabel('N° de
pixel'),ylabel('Presion relativa');
pause
figure(4)
surf(abs(X)),title('Mapa de presiones relativas en un plano perpendicular al eje'),xlabel('N° de
pixel'),ylabel('N° de pixel'),zlabel('Presion relativa'),shading interp;
pause
for ty=1:P(1);
SDS(ty)=sum(X(ty,:));
end
figure(5)
plot(SDS(1:(length(SDS)/2)),'r'),title('Intensidad calculada integrando sobre al mapa
calculado'),xlabel('N° de pixel'),ylabel('Intensidad luminica calculada');
hold on;
plot(S(1:(length(S)/2)),'b');
pause
close all
clc