Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y
polinomios ortogonales
B. de la Calle Ysern
Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales,
Universidad Politécnica de Madrid
Encuentro Iberoamericano – p. 1/2
Aproximantes de Padé
Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjunto
de polinomios de grado menor o igual que n.
• El polinomio de Taylor Tn (f ) de f en z0 es el elemento de Pn
que tiene mayor orden de contacto con f en z0 .
Encuentro Iberoamericano – p. 2/2
Aproximantes de Padé
Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjunto
de polinomios de grado menor o igual que n.
• El polinomio de Taylor Tn (f ) de f en z0 es el elemento de Pn
que tiene mayor orden de contacto con f en z0 .
Sea Rn = {P/Q : gr P, Q ≤ n} el conjunto de cocientes de
polinomios de grado menor o igual que n.
• El aproximante de Padé diagonal Πn (f ) de f en z0 es el
elemento de Rn que tiene mayor orden de contacto con f en z0 .
Encuentro Iberoamericano – p. 2/2
Convergencia
Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
Encuentro Iberoamericano – p. 3/2
Convergencia
Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1].
Encuentro Iberoamericano – p. 3/2
Convergencia
Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1].
Información global de datos locales:
• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de
los coeficientes de Taylor.
Encuentro Iberoamericano – p. 3/2
Convergencia
Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces
• Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},
• Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1].
Información global de datos locales:
• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de
los coeficientes de Taylor.
•
Si en un entorno de z0
(i) f se aproxima rápidamente por polinomios =⇒ f es entera.
(ii) f se aproxima rápidamente por funciones racionales =⇒ f
es univaluada.
Encuentro Iberoamericano – p. 3/2
Divergencia
•
Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ),
z → z0 .
f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ),
z → z0 .
Encuentro Iberoamericano – p. 4/2
Divergencia
•
Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ),
z → z0 .
f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ),
z → z0 .
Existen funciones enteras cuyos aproximantes de
Padé divergen en todo punto del plano complejo
Encuentro Iberoamericano – p. 4/2
Divergencia
•
Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!
qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ),
z → z0 .
f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ),
z → z0 .
Existen funciones enteras cuyos aproximantes de
Padé divergen en todo punto del plano complejo
• No hay resultados generales de convergencia debido a la
posible aparición de polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 4/2
Divergencia
Gonchar (1982)
Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.
Si, para todo n ≥ N ,
• Πn (f ) es holomorfa en el dominio D,
• no hay defecto de interpolación,
Entonces
Πn (f ) converge a f uniformemente en compactos de D.
Encuentro Iberoamericano – p. 5/2
Divergencia
Gonchar (1982)
Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.
Si, para todo n ≥ N ,
• Πn (f ) es holomorfa en el dominio D,
• no hay defecto de interpolación,
Entonces
Πn (f ) converge a f uniformemente en compactos de D.
•
Obstáculos para converger:
(
Defecto de interpolación.
Polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 5/2
Estrategias
•
Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones.
Encuentro Iberoamericano – p. 6/2
Estrategias
•
Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones.
•
Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
Encuentro Iberoamericano – p. 6/2
Estrategias
•
Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones.
•
Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:
funciones de Markov, Stieltjes,...
Encuentro Iberoamericano – p. 6/2
Estrategias
•
Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones.
•
Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.
• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:
funciones de Markov, Stieltjes,...
•
Dejar fijo el grado del denominador: sea m ∈ N fijo,
¿Cuándo
pn
lim
n→+∞ qm
es convergente?
Encuentro Iberoamericano – p. 6/2
Filas de aproximantes de Padé
Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos
de modo que
n+m
qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z
, z→0
y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m)
de f en 0.
Encuentro Iberoamericano – p. 7/2
Filas de aproximantes de Padé
Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos
de modo que
n+m
qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z
, z→0
y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m)
de f en 0.
• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la fila
m-ésima de la tabla de Padé.
Encuentro Iberoamericano – p. 7/2
Filas de aproximantes de Padé
Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos
de modo que
n+m
qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z
, z→0
y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m)
de f en 0.
• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la fila
m-ésima de la tabla de Padé.
Teoría de convergencia similar
a la de los polinomios de Taylor
Encuentro Iberoamericano – p. 7/2
Filas de aproximantes de Padé
Teorema de De Montessus de Ballore (1902)
• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa con
m polos y Rm su radio.
• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .
• Sea ρ(K) = max |z|.
z∈K
Encuentro Iberoamericano – p. 8/2
Filas de aproximantes de Padé
Teorema de De Montessus de Ballore (1902)
• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa con
m polos y Rm su radio.
• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .
• Sea ρ(K) = max |z|.
z∈K
Entonces
lim sup kf −
n→∞
1/n
Πn,m kK
ρ(K)
=
Rm
Encuentro Iberoamericano – p. 8/2
Filas de aproximantes de Padé
Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un
polinomio qm de grado m tal que
lim sup kqn,m − qm k1/n = r < 1.
n→∞
Encuentro Iberoamericano – p. 8/2
Filas de aproximantes de Padé
Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un
polinomio qm de grado m tal que
lim sup kqn,m − qm k1/n = r < 1.
n→∞
Entonces
f admite extensión meromorfa con m polos (precisamente los
ceros de qm ) al disco de radio
Rm =
max |zi |
qm (zi )=0
r
Encuentro Iberoamericano – p. 8/2
Conjetura de Padé
• Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de
interpolación.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/2
Conjetura de Padé
• Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de
interpolación.
• En muchos ejemplos Πn (f ) admite subsucesiones que
convergen a f uniformemente en compactos del dominio.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/2
Conjetura de Padé
• Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de
interpolación.
• En muchos ejemplos Πn (f ) admite subsucesiones que
convergen a f uniformemente en compactos del dominio.
Conjetura de Baker-Gammel-Wills (1961)
Si f es meromorfa en el disco abierto U , entonces existe una
subsucesión Γ ⊂ N tal que Πn (f ), n ∈ Γ, converge a f
uniformemente en compactos de U en la métrica de la esfera de
Riemann.
Encuentro Iberoamericano – p. 9/2
Conjetura de Padé
• Variantes:


 Convergencia en capacidad (se verá más adelante).
f es algebraica y el dominio es extremal (idem).


Acotación uniforme del número de polos espurios.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/2
Conjetura de Padé
• Variantes:


 Convergencia en capacidad (se verá más adelante).
f es algebraica y el dominio es extremal (idem).


Acotación uniforme del número de polos espurios.
• Avances:

√

 Funciones hiperelípticas (Stahl): f = r1 + r2 p,
con restricciones sobre polos y ceros de r1 y r2 .


Funciones enteras de crecimiento lento (Lubinski).
Encuentro Iberoamericano – p. 10/2
Conjetura de Padé
Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró un
contraejemplo con una función hiperelíptica.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/2
Conjetura de Padé
Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró un
contraejemplo con una función hiperelíptica.
Recientemente el propio Baker ha propuesto una nueva
conjetura, the patchwork convergence:
afirma que utilizando un número finito de subsucesiones es
posible lograr convergencia.
Encuentro Iberoamericano – p. 10/2
Capacidad logarı́tmica
•
Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ):
Z
1
P (σ; z) =
dσ(ζ) .
log
|z − ζ|
K
Encuentro Iberoamericano – p. 11/2
Capacidad logarı́tmica
•
Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ):
Z
1
P (σ; z) =
dσ(ζ) .
log
|z − ζ|
K
•
Energía de σ :
Z
I(σ) =
P (σ; z) dσ(z) .
K
Encuentro Iberoamericano – p. 11/2
Capacidad logarı́tmica
•
Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ):
Z
1
P (σ; z) =
dσ(ζ) .
log
|z − ζ|
K
•
Energía de σ :
Z
I(σ) =
P (σ; z) dσ(z) .
K
•
Energía mínima sobre K :
I(K) = inf σ I(σ).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/2
Capacidad logarı́tmica
•
Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ):
Z
1
P (σ; z) =
dσ(ζ) .
log
|z − ζ|
K
•
Energía de σ :
Z
I(σ) =
P (σ; z) dσ(z) .
K
•
Energía mínima sobre K :
I(K) = inf σ I(σ).
•
Medida de energía mínima de K : λ
si I(K) = I(λ).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/2
Capacidad logarı́tmica
•
Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ):
Z
1
P (σ; z) =
dσ(ζ) .
log
|z − ζ|
K
•
Energía de σ :
Z
I(σ) =
P (σ; z) dσ(z) .
K
•
Energía mínima sobre K :
I(K) = inf σ I(σ).
•
Medida de energía mínima de K : λ
•
Capacidad logarítmica de K : cap (K) = exp(−I(K)).
si I(K) = I(λ).
Encuentro Iberoamericano – p. 11/2
Diámetro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el
valor


 Y

2
δn (K) = max
|aj − ak | n(n−1)

a1 ,...,an ∈K 
j,k:j<k
Encuentro Iberoamericano – p. 12/2
Diámetro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el
valor


 Y

2
δn (K) = max
|aj − ak | n(n−1)

a1 ,...,an ∈K 
j,k:j<k
lim δn (K) = cap (K).
n→∞
Encuentro Iberoamericano – p. 12/2
Diámetro transfinito
Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el
valor


 Y

2
δn (K) = max
|aj − ak | n(n−1)

a1 ,...,an ∈K 
j,k:j<k
lim δn (K) = cap (K).
n→∞
Ejemplos:
• Si K es un disco de radio r, cap (K) = r.
• Si K es un intervalo de longitud h, cap (K) = h/4.
Encuentro Iberoamericano – p. 12/2
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y
acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite
extensión armónica a todo G.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/2
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y
acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite
extensión armónica a todo G.
• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del
principio del máximo de las funciones armónicas.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/2
Convergencia en capacidad
• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y
acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite
extensión armónica a todo G.
• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del
principio del máximo de las funciones armónicas.
Convergencia en capacidad
∀ ǫ > 0, ∀ K ⊂ D
lim cap {z ∈ K : |f (z) − fn (z)| > ǫ} = 0.
n→∞
C
Notación: fn −→ f en D
.
Encuentro Iberoamericano – p. 13/2
Convergencia en capacidad
Lema de Gonchar (1975)
C
Supongamos que fn −→ f en el dominio D.
1. Si fn ∈ H(D), entonces {fn }n∈N converge uniformemente
en subconjuntos compactos de D.
2. Si fn ∈ M(D) y tiene como mucho k < +∞ polos en D y
f ∈ M(D) y tiene exactamente k polos en D, entonces
todas las funciones fn , n ≥ N , tienen también k polos en D
y la sucesión {fn } tiende a f uniformemente en
subconjuntos compactos de D en la métrica de la esfera de
Riemann.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/2
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica en C \ K . Entonces,
C
Πn (f ) −→ f en C.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/2
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica en C \ K . Entonces,
C
Πn (f ) −→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es
necesaria.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/2
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica en C \ K . Entonces,
C
Πn (f ) −→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es
necesaria.
Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones
que se aproximan rápidamente por funciones racionales.
Encuentro Iberoamericano – p. 14/2
Convergencia en capacidad
Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica en C \ K . Entonces,
C
Πn (f ) −→ f en C.
En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es
necesaria.
Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones
que se aproximan rápidamente por funciones racionales.
¿Qué se puede afirmar cuando f tiene puntos de ramificación?
Encuentro Iberoamericano – p. 14/2
Convergencia en capacidad
Teorema del dominio extremal (Stahl 1997)
Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f
analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K . Entonces,
C
Πn (f ) −→ f en un dominio D que verifica:
• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la
convergencia de Πn (f ).
• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la
continuación analítica univaluada de f .
• C \ D es esencialmente unión de arcos analíticos que unen
los puntos de ramificación.
Encuentro Iberoamericano – p. 15/2
Convergencia en capacidad
Polos espurios
Polos de Πn (f ) en regiones de analiticidad de f ( o de
meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,
haya convergencia en capacidad.
Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn (f ).
Encuentro Iberoamericano – p. 15/2
Convergencia en capacidad
Polos espurios
Polos de Πn (f ) en regiones de analiticidad de f ( o de
meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,
haya convergencia en capacidad.
Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn (f ).
La convergencia en capacidad permite entender
el comportamiento global de los aproximantes de Padé,
Encuentro Iberoamericano – p. 15/2
Ortogonalidad
∞
X
cm
Sea f (z) =
analítica en un entorno de z = ∞.
m+1
z
m=0
qn (z)f (z) − pn (z) = O(
z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ),
⇓
1
z n+1
),
z → ∞;
z → ∞.
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 16/2
Ortogonalidad
∞
X
cm
Sea f (z) =
analítica en un entorno de z = ∞.
m+1
z
m=0
qn (z)f (z) − pn (z) = O(
z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ),
⇓
1
z n+1
),
z → ∞;
z → ∞.
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Por el teorema de Cauchy
0=
Z
z k qn (z) f (z) dz,
γ
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 16/2
Ortogonalidad
∞
X
cm
Sea f (z) =
analítica en un entorno de z = ∞.
m+1
z
m=0
qn (z)f (z) − pn (z) = O(
z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ),
⇓
1
z n+1
),
z → ∞;
z → ∞.
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Por la fórmula integral de Cauchy
1
1
f (z) − Πn (f )(z) =
qn (z) 2πi
Z
γ
qn (ζ)
f (ζ) dζ.
z−ζ
Encuentro Iberoamericano – p. 16/2
Funciones de Markov
Sea µ
b(z) =
Z
1
−1
0=
Z
dµ(x)
;
z−x
1
−1
µ medida con soporte en [−1, 1].
xk qn (x) dµ(x),
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Encuentro Iberoamericano – p. 17/2
Funciones de Markov
Sea µ
b(z) =
Z
1
−1
0=
Z
dµ(x)
;
z−x
1
µ medida con soporte en [−1, 1].
xk qn (x) dµ(x),
−1
k = 0, 1, · · · , n − 1.
n
•
pn (z) X λn,i
Πn (b
µ)(z) =
=
qn (z)
z − xn,i
•
Fórmula de cuadratura Gauss-Jacobi: Si gr P < 2n entonces
i=1
Z
P (x) dµ(x) =
n
X
λn,i P (xn,i ).
i=1
Encuentro Iberoamericano – p. 17/2
Funciones de Markov
Sea µ
b(z) =
Z
1
−1
0=
Z
dµ(x)
;
z−x
1
µ medida con soporte en [−1, 1].
xk qn (x) dµ(x),
−1
k = 0, 1, · · · , n − 1.
Teorema de Markov (1895)
Sea K compacto de C \ [−1, 1]. Entonces
1/2n
lim sup kb
µ − Πn (b
µ)kK
n→∞
≤ kz −
p
z 2 − 1kK
Encuentro Iberoamericano – p. 17/2
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por
f (z) =
Z
∞
0
e−t
dt.
1 − zt
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por
f (z) =
Z
∞
0
e−t
dt.
1 − zt
Integrando por partes repetidamente se obtiene
f (z) = 1 + z
Z
0
∞
e−t
(1 − zt)2
dt = 1 + z + z 2
= 1 + 1! z + 2! z 2 + · · · + n! z n + z n+1
Z
∞
2 e−t
dt
3
(1 − zt)
∞
(n + 1)! e−t
dt.
n+2
(1 − zt)
0
Z
0
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Funciones de Stieltjes
Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por
f (z) =
Z
∞
0
e−t
dt.
1 − zt
El aproximante de Padé Πn (f ) en z0 = 0 construído usando la
serie divergente converge a f uniformemente en compactos de
C \ [0, +∞).
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
Z ∞
dµ(t)
,
f (z) =
z
−
t
0
donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y
Z ∞
cn =
tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
0
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
Z ∞
dµ(t)
,
f (z) =
z
−
t
0
donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y
Z ∞
cn =
tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
0
Toda función de Stieltjes tiene un desarrollo asintótico dado por
∞
X
cn
.
f (z) ≈
n+1
z
n=0
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Funciones de Stieltjes
Una función de Stieltjes es una función del tipo
Z ∞
dµ(t)
,
f (z) =
z
−
t
0
donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y
Z ∞
cn =
tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .
0
Teorema de Stieltjes (1895)
Si los números cn , n = 0, 1, . . . determinan unívocamente la
medida µ, entonces {Πn (f )} en z0 = ∞ converge a f
uniformemente en compactos de C \ [0, +∞).
Encuentro Iberoamericano – p. 18/2
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional de
funciones analíticas.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/2
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional de
funciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas
relaciones de ortogonalidad.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/2
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional de
funciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas
relaciones de ortogonalidad.
• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de
polinomios ortogonales.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/2
Principio general
• Se plantea un problema de aproximación racional de
funciones analíticas.
• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas
relaciones de ortogonalidad.
• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de
polinomios ortogonales.
• Se prueba convergencia de los aproximantes racionales a la
función.
Encuentro Iberoamericano – p. 19/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f (z) =
de [0, +∞).
Z
∞
0
dµ(t) s(z)
+
, donde los d polos de t están fuera
z−t
t(z)
Encuentro Iberoamericano – p. 20/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f (z) =
de [0, +∞).
Z
∞
0
dµ(t) s(z)
+
, donde los d polos de t están fuera
z−t
t(z)
¿Los aproximantes de Padé diagonales Πn (f )
convergen a f ?
Encuentro Iberoamericano – p. 20/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f (z) =
de [0, +∞).
Z
∞
0
dµ(t) s(z)
+
, donde los d polos de t están fuera
z−t
t(z)
Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximante
satisface las relaciones de ortogonalidad
Z
1
dν(x)
= 0,
x qn (x) t(x)
2n
(1 − x)
−1
j
j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.
Encuentro Iberoamericano – p. 20/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Sea f (z) =
de [0, +∞).
Z
∞
0
dµ(t) s(z)
+
, donde los d polos de t están fuera
z−t
t(z)
Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximante
satisface las relaciones de ortogonalidad
Z
1
dν(x)
= 0,
x qn (x) t(x)
2n
(1 − x)
−1
j
j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.
Se consideran los polinomios ortogonales {ln,m }m∈N respecto
dν(x)
de la medida variante
.
2n
(1 − x)
Encuentro Iberoamericano – p. 20/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d
X
λk ln,n+k
k=−d
Encuentro Iberoamericano – p. 21/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d
X
λk ln,n+k
k=−d
Bajo condiciones generales
p
ln,n+k+1 (z)
= z + z 2 − 1,
lim
n→∞ ln,n+k (z)
k ∈ Z.
Encuentro Iberoamericano – p. 21/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d
X
λk ln,n+k
k=−d
Bajo condiciones generales
p
ln,n+k+1 (z)
= z + z 2 − 1,
lim
n→∞ ln,n+k (z)
k ∈ Z.
Entonces los polinomios qn tienen como mucho d ceros lejos del
soporte =⇒ hay convergencia en capacidad =⇒ hay
convergencia uniforme.
Encuentro Iberoamericano – p. 21/2
Funciones de Stieltjes meromorfas
Debido a las relaciones de ortogonalidad
qn t =
d
X
λk ln,n+k
k=−d
Bajo condiciones generales
p
ln,n+k+1 (z)
= z + z 2 − 1,
lim
n→∞ ln,n+k (z)
k ∈ Z.
Lagomasino (1989)
Encuentro Iberoamericano – p. 21/2
Además
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una
tabla de puntos con una cierta distribución límite.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/2
Además
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una
tabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los
aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la
geometría del conjunto de singularidades de la función.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/2
Además
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una
tabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los
aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la
geometría del conjunto de singularidades de la función.
• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de
funciones.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/2
Además
• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una
tabla de puntos con una cierta distribución límite.
• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los
aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la
geometría del conjunto de singularidades de la función.
• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de
funciones.
• Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollos
ortogonales y se busca el aproximante racional que tenga el
mayor orden de contacto según este desarrollo.
Encuentro Iberoamericano – p. 22/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Euler (1748/1755). Probó las fórmulas
∞
k
X
1
k−1 4 b2k
2k
=
(−1)
π
2k
n
2(2k)!
n=1
donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli. Es decir
∞
X bn
x
n
=
x
ex − 1 n=0 n!
⇒
b0 = 1,
n−1
X
j=0
n b = 0.
j
j
Encuentro Iberoamericano – p. 23/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Euler (1748/1755). Probó las fórmulas
∞
k
X
1
k−1 4 b2k
2k
=
(−1)
π
2k
n
2(2k)!
n=1
donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli.
¿Qué ocurre con las sumas de exponente impar?
¿
∞
X
n=1
1
n2k+1
= q π 2k+1 ,
q∈Q?
Encuentro Iberoamericano – p. 23/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
La función zeta de Riemann se define como
∞
X
1
ζ(z) =
,
z
n
si Re z > 1
n=1
y mediante continuación analítica en C \ {1}.
Encuentro Iberoamericano – p. 23/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
La función zeta de Riemann se define como
∞
X
1
ζ(z) =
,
z
n
si Re z > 1
n=1
y mediante continuación analítica en C \ {1}.
Problema abierto:
Demostrar que los números ζ(2k + 1), k ∈ N, son irracionales
Encuentro Iberoamericano – p. 23/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula
5
ζ(3) =
2
∞
X
n=1
(−1)n−1
n3
"
!#−1
2n
n
La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).
Encuentro Iberoamericano – p. 24/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula
5
ζ(3) =
2
∞
X
n=1
(−1)n−1
n3
"
!#−1
2n
n
La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).
Beukers (1981). Muestra que la sucesión de aproximantes
racionales de Apéry puede obtenerse a partir de un problema
generalizado de aproximación de Padé simultánea.
Encuentro Iberoamericano – p. 24/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
∞
X
zn
fk (z) =
,
k
n
n=1
k∈N
Encuentro Iberoamericano – p. 24/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
∞
X
zn
fk (z) =
,
k
n
n=1
k∈N
Encontrar polinomios pn , tn , qn y q̃n de grado n tales que
qn (z) f1 (z) + q̃n (z) f2 (z) − pn (z) = o z
,
qn (z) f2 (z) + 2 q̃n (z) f3 (z) − tn (z) = o z 2n ,
qn (1) = 0.
2n
z → 0,
z → 0,
Encuentro Iberoamericano – p. 24/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término
de error en el desarrollo de ζ(3).
Encuentro Iberoamericano – p. 25/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término
de error en el desarrollo de ζ(3).
n
X
1
1
ζ(3) =
+ Ψ(1/n),
3
k
2
k=1
donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica
Ψ(z) =
∞
X
(n + 1)bn z n+2 .
n=0
Encuentro Iberoamericano – p. 25/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término
de error en el desarrollo de ζ(3).
n
X
1
1
ζ(3) =
+ Ψ(1/n),
3
k
2
k=1
donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica
Ψ(z) =
∞
X
(n + 1)bn z n+2 .
n=0
Prévost-Rivoal (2007) Este principio puede ser general al
aparecer en otro tipo de funciones como la exponencial.
Encuentro Iberoamericano – p. 25/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos
números irracionales.
Encuentro Iberoamericano – p. 26/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos
números irracionales.
Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,
Lip (z) =
∞
X
n=0
zn
(n + 1)p
Encuentro Iberoamericano – p. 26/2
Valores irracionales de la función zeta de Riemann
Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos
números irracionales.
Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,
Lip (z) =
∞
X
n=0
zn
(n + 1)p
Zudilin (2001) Al menos uno de los siguientes números
ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)
es irracional.
Encuentro Iberoamericano – p. 26/2