Estadística

Guía del alumno
2010 02
Estadística
Aplicada a los Negocios
Pregrado
Área de Ciencias
PRE GRADO
AUTORES
:
PROFESORES DEL CURSO
TÍTULO
:
GUÍA DEL ALUMNO
FECHA
:
AGOSTO 2010
CURSO
:
ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS
CÓDIGO
:
MA130
ÁREA
:
CIENCIAS
CICLO
:
2010-2
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
3
Contenido
Semana 1. Sesión 1 ................................................................................................................... 5
Unidad 1 Organización de datos ...................................................................................................... 5
1.1. Definición de estadística ......................................................................................................................... 9
1.2. Definiciones .......................................................................................................................................... 10
Semana 1. Sesión 2 ................................................................................................................. 19
1.3. Estadística descriptiva ........................................................................................................................... 20
1.4. Resumen de datos cualitativos............................................................................................................... 21
1.5. Gráficos ................................................................................................................................................. 22
1.6. Tabulaciones cruzadas........................................................................................................................... 27
Semana 2. Sesión 1 ................................................................................................................. 31
1.7. Resumen de datos cuantitativos............................................................................................................. 31
Semana 2. Sesión 2 ................................................................................................................. 38
1.8. Gráficos de datos cuantitativos.............................................................................................................. 38
Semana 3. Sesión 1 ................................................................................................................. 45
Unidad 2 Medidas descriptivas ...................................................................................................... 45
2.2. Medidas de tendencia central ................................................................................................................ 48
Semana 3. Sesión 2 ................................................................................................................. 57
Ejercicios para la práctica calificada 1 ......................................................................................................... 57
Semana 4. Sesión 1 ................................................................................................................. 58
2.3. Cuantiles................................................................................................................................................ 59
2.4. Percentiles ............................................................................................................................................. 59
Semana 4. Sesión 2 ................................................................................................................. 65
2.5. Medidas de variabilidad ........................................................................................................................ 66
Semana 5. Sesión 1 ................................................................................................................. 74
2.6. Medidas de asimetría............................................................................................................................. 74
2.7. Diagrama de cajas ................................................................................................................................. 77
Semana 5. Sesión 2 ................................................................................................................. 83
Unidad 3 Teoría de probabilidad................................................................................................... 83
3.1. Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades........................................................... 85
3.2. Eventos y sus probabilidades................................................................................................................. 86
Semana 6. Sesión 1 ................................................................................................................. 91
3.3. Algunas relaciones básicas de probabilidad .......................................................................................... 95
Semana 6. Sesión 2 ................................................................................................................. 99
Ejercicios para la práctica calificada 2 ......................................................................................................... 99
Semana 7. Sesión 1 ............................................................................................................... 101
3.4. Probabilidad condicional..................................................................................................................... 101
3.5. Teorema de Bayes ............................................................................................................................... 107
Semana 7. Sesión 2 ............................................................................................................... 112
3.6. Eventos independientes ....................................................................................................................... 112
Semana 9. Sesión 1 ............................................................................................................... 117
Unidad 4 Variables aleatorias ...................................................................................................... 117
4.1. Variable aleatoria ................................................................................................................................ 119
4.2. Variable aleatoria discreta ................................................................................................................... 119
Semana 9. Sesión 2 ............................................................................................................... 129
4.3. Distribuciones de probabilidad............................................................................................................ 129
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
4
Semana 10. Sesión 1 ............................................................................................................. 136
4.4. Variable aleatoria continua.................................................................................................................. 136
Semana 10. Sesión 2 ............................................................................................................. 147
4.5. Distribuciones de probabilidad............................................................................................................ 147
Semana 11. Sesión 1 ............................................................................................................. 154
Continuación de la distribución normal ..................................................................................................... 154
Semana 11. Sesión 2 ............................................................................................................. 157
Ejercicios para la práctica calificada 3 ....................................................................................................... 157
Semana 12. Sesión 1 ............................................................................................................. 159
Propiedad reproductiva de la normal.......................................................................................................... 159
Unidad 5 Distribuciones muestrales ............................................................................................ 167
5.1. Definiciones ........................................................................................................................................ 169
5.2. Distribución muestral de un estadístico............................................................................................... 171
5.3. Distribución de la media muestral ....................................................................................................... 171
5.4. Teorema central del límite................................................................................................................... 172
Semana 12. Sesión 2 ............................................................................................................. 177
5.5. Intervalo de confianza para la media poblacional ............................................................................... 177
Semana 13. Sesión 1 ............................................................................................................. 181
5.6. Distribución de la proporción muestral ............................................................................................... 181
5.7. Distribución de la varianza muestral ................................................................................................... 184
Semana 13. Sesión 2 ............................................................................................................. 186
5.8. Distribución muestral de la razón de varianzas ................................................................................... 186
5.9. Distribución muestral de la diferencia de medias................................................................................ 188
Semana 14. Sesión 1 ............................................................................................................. 192
5.10. Distribución con observaciones pareadas.......................................................................................... 192
5.11. Distribución muestral de la diferencia de proporciones .................................................................... 195
Semana 14. Sesión 2 ............................................................................................................. 197
Ejercicios para la práctica calificada 4 ....................................................................................................... 197
Semana 15. Sesión 1 y 2 ....................................................................................................... 199
Trabajo final ............................................................................................................................................... 199
Tablas estadísticas ......................................................................................................................... 200
Plan calendario .............................................................................................................................. 215
Unidad 1
Organización de
datos
Logro de la unidad
Comprende y utiliza los
conceptos básicos de
estadística y asimismo
organiza adecuadamente
datos para facilitar la
comprensión de los
mismos, con ayuda de los
programas MS Excel.
Caso: Investigar sobre salud materna
Sergio Vizcarra sonreía al
bajar del estrado en la ceremonia de graduación de su universidad. Recordaba todo su
esfuerzo durante esos largos
cinco años. Sonreía, además,
por su contrato para como
redactor en la versión web del
periódico La Prensa, dirigido a
un público general y que buscaba volver a tener el mismo
protagonismo de hace unos
años. Sergio sabía que tendría
que “pagar piso” y que tendría
que rotar por varias secciones
del diario y hacer un poco de
todo.
Lo primero que le encomendó
su jefa, Rogelia Peña, sacada
posiblemente de alguna de las
páginas de la novela Tinta
Roja de Alberto Fuguet más
que de la película Todos los
hombres del presidente, a Sergio, es tener una idea lo más
precisa posible de cuántas
mujeres en el Perú tienen complicaciones durante el embarazo y el parto, el índice de mortalidad materna y sus principales causas, las diferencias en el
ámbito rural y urbano, el tiempo en que se producen las
muertes maternas (durante el
embarazo, dentro de las primeras 24 horas postparto, del
segundo al sétimo día postparto y desde la segunda a sexta
semana postparto), buscar
alguna información con otro
país y darse una idea sobre el
porcentaje de mujeres que
tienen partos institucionales y
las razones por las cuales las
mujeres no van a atender a los
establecimientos de salud.
Sergio navegó dos días en la
Internet buscando publicaciones con dicha información,
pero no pudo encontrarla. Por
ello, llamó a Sandra Baquerizo, una amiga de la universidad, que siempre sabía dónde
encontrar todo en la Internet.
Sergio, que seguía enamorado
de ella a pesar del tiempo
transcurrido y de que ya no se
veían mucho, vio la oportunidad de volver a conversar con
ella. Sin embargo, al cabo de
un par de horas, ni Sandra
tenía muy claro la dirección
donde encontraría lo que el
requería. -Comienza con
www.inei.gob.pe o
www.minsa.gob.pe- le dijo.
En agradecimiento a Sergio
solo se le ocurrió poner una
foto de ellos en el tiempo de la
universidad en su muro de
Facebook junto a una frase del
escritor cubano Alejo Carpentier “El periodismo es una
maravillosa escuela de vida”.
Debo saber
Usar mi calculadora
para cálculos sencillos

Plantear y graficar funciones como rectas, parábolas, valor absoluto, etc.

Calcular el valor esperado y varianza para variables discretas en mi calculadora

Realizar in tegrales polin ómicas, en la calculadora si ésta lo permite

Si la calculadora lo tiene, calcular probabilidades para la dis tribució n normal
Usar funciones y plantear fórmulas en Excel
Usar el asistente de
gráficos de Excel
Contenido
Definiciones
Escala de medición
El origen de la palabra estadística
El Diccionario de la Real Academia señala que la palabra
estadística llegó al castellano
hacia 1765-1783 a partir del
alemán Statistik (1749), si bien
la palabra italiana statistica era
usada por lo menos desde
1633, aunque con el sentido de
‘ciencia del Estado’, tomada
del latín statisticum, con el
mismo significado.
Quien usó Statistik por primera vez fue el economista alemán Gottfried Achenwall
(1719-1772) en su obra Compendio de la constitución polí-
tica de los principales países y
pueblos europeos, a partir de
la cual se formaron el francés
statistique, el inglés statistics,
el portugués estatística y el
español estadística.
Tomado de http://www.elcastellano.org
Variables
Parámetro y estadístico
Distribuciones de frecuencia
Gráficos
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 1. Sesión 1
¿Cómo se evalúa
Estadística Aplicada a los Negocios?
Examen parcial
Examen final
Prácticas calificadas
Trabajo final
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………..
¿Cuándo son las prácticas calificadas?
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
¿Cuál es la bibliografía básica?
………………………………………………………………..
¿Quién es el coordinador del curso?
………………………………………………………………..
¿Cuáles son las reglas en el aula?
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
Notas importantes
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
8
Logro del curso
Aplica los conceptos y fundamentos de la Estadística Descriptiva y la Teoría de Probabilidad, a fin de
identificar y analizar críticamente situaciones reales, modelar y tomar decisiones adecuadas, siendo
conciente de la importancia de presentar la información de forma clara e imparcial.
¿Por qué estudiar Estadística en Administración?
Marketing
Ventas
Compras
Finanzas
Contabilidad
Recursos humanos
Calidad
Producción
Para la vida
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
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1.1. Definición de estadística
Es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas y procedimientos para recopilar, organizar, presentar y analizar datos con el fin de describirlos o realizar generalizaciones válidas.
Estadística descriptiva
Son métodos y técnicas de recolección, caracterización, resumen y presentación que permiten describir
apropiadamente las características de un conjunto de datos. Comprende el uso de gráficos, tablas, diagramas y criterios para el análisis.
Inferencia estadística
Son métodos y técnicas que hacen posible estimar una o más características de una población o tomar
decisiones sobre población basadas en el resultado de muestras. Estas conclusiones no son totalmente
válidas y tienen cierto margen de error.
Ejercicio 1
Fuente http://estadisticas.bcrp.gob.pe
¿Qué parte de la estadística nos dice cuál será el tipo de cambio el día de mañana?
………………………………………………………………………………...........................................
Notas importantes
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
1.2. Definiciones
Datos
Los datos son los hechos y los números que se recogen, analizan y resumen para su presentación en
interpretación.
Elementos, variables y observaciones
Elementos son las entidades acerca de las cuales se reúnen los datos.
Variable es una característica de interés de los elementos.
Observación es el conjunto de mediciones obtenido de un elemento particular.
Ejemplo 1
Un importador de historietas japonesas desea hacer una encuesta para
conocer mejor al público que compra regularmente este tipo de
publicaciones. En la tabla siguiente se muestra ocho observaciones de
dicha encuesta. Indique los elementos y las variables a medir.
Observación
Sexo
Edad
Ocupación
Distrito de residencia
Género preferido
Manga preferido
1
Masculino
18
Universitario
San Borja
Shōnen
Kobato
2
Masculino
10
Escolar
Lince
Kodomo
Hombre par
3
Masculino
32
Abogado
San Borja
Yaoi
Junpei Kōsaka
4
Masculino
17
Universitario
San Juan de Miraflores
Shōnen
Nyan Koi!
5
Femenino
18
Universitario
Miraflores
Josei
Gozuken
6
Masculino
20
Universitario
Lince
Shōnen
Jester El aventurero
7
Masculino
8
Escolar
Pueblo Libre
Kodomo
Astroboy
8
Femenino
15
escolar
San Miguel
Josei
Nodame Cantabile
Solución
Un elemento para esta investigación es cada persona que compran regularmente historietas japonesas
y las variables a medir son: sexo, edad, ocupación, distrito de residencia, género de historieta preferido
y manga preferido.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
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Ejercicio 1
En una investigación, se quiere estimar el porcentaje actual de peruanos de 18 a 70 años que apoya la
renovación del Congreso por tercios. Indique un elemento y la variable a medir.
Elemento
Variable
Ejercicio 2
En una investigación, se quiere estimar el gasto promedio semanal en fotocopias de los alumnos de
pregrado en una universidad el año 2010. Indique un elemento y la variable a medir.
Elemento
Variable
Ejercicio 3
En una investigación, se quiere estimar el promedio diario de ventas de un supermercado durante los
últimos dos años. Indique un elemento y la variable a medir.
Elemento
Variable
Ejercicio 4
En una investigación, se quiere estimar el número promedio de personas que llegan en la primera hora
de atención de una farmacia en el año 2010. Indique un elemento y la variable a medir.
Elemento
Variable
Notas importantes
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Escalas de medición de las variables
La escala de medición permite determinar la cantidad de información
que contienen los datos y el análisis estadístico más apropiado.
Nominal
Una variable está medida en escala nominal cuando los datos son
etiquetas que se emplean para definir un atributo del elemento.
Ordinal
Esta clasificación la propuso
en 1946 el psicólogo Stanley
Smith Stevens (1906 -1973).
Trabajó en Harvard.
Una variable está medida en escala ordinal cuando los datos son etiquetas y el orden es significativo.
Se pueden ordenar, de tal manera que puedan expresar grados de la característica medida.
Intervalo
Una variable está medida en escala de intervalo si los datos tienen propiedades de datos ordinales y el
intervalo entre observaciones se expresa en términos de una unidad fija de medida.
Los datos de intervalo siempre son numéricos. En esta escala, el cero es relativo, es decir, no indica la
ausencia de la característica medida. Las diferencias entre las puntuaciones son importantes.
Razón
Una variable está medida en escala de razón si los datos tienen todas las propiedades de los datos de
intervalo y la división de los valores es significativa. El cero indica la ausencia de característica medida.
Ejemplo 2
Nominal
Ordinal
El género de las personas, el estado civil de
los empleados de una
empresa, las carreras
profesionales universitarias.
El orden de mérito de los
atletas en una competición,
el grado de instrucción de
los clientes de un banco, la
opinión de los alumnos
sobre su universidad.
Intervalo
Razón
Las escalas de temperatura. Las temperaturas
en grados centígrados
0ºC, y 20ºC equivalen
a, en grados Fahrenheit,
32ºF, y 68ºF.
El sueldo de los
empleados de una
empresa, el tiempo en terminar un
examen.
Ejercicio 5
Indique la escala de medición de las siguientes variables
Variable
Año de nacimiento
Código de un alumno(a) de la UPC
Tiempo de vida de una persona
Número de hermanos de una persona
Notas importantes
Nominal
Ordinal
Intervalo
Razón
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tipos de variables según su naturaleza
Las variables se pueden clasificar en cualitativas o cuantitativas.
Variables cualitativas
Son las variables que pueden ser expresadas en escalas nominales u ordinales.
Variables cuantitativas
Son las variables que pueden ser medidas en escala de intervalo o de razón. A su vez, las variables
cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas.
Variables cuantitativas discretas
Son las variables que tienen un número finito o infinito numerable de posibles valores; es decir, que en
un intervalo determinado, sólo pueden tomar ciertos valores.
Las siguientes son ejemplos de variables discretas: número de autos vendidos por una tienda en un día,
número de alumnos asistentes a las clases de un curso de estadística.
Variables cuantitativas continuas
Son las variables que tienen un número infinito no numerable de posibles valores; es decir, que en un
intervalo determinado, puede tomar cualquier valor.
Las siguientes son ejemplos de variables continuas: tiempo que demora un estudiante en realizar un
examen, peso de un estudiante.
A las variables discretas se las cuenta y a las continuas se las mide.
Ejemplo 3
Variables
Tipo de variable
Escala de medición
Cualitativa
Nominal
Tiempo que usa la computadora personal por semana
Cuantitativa continua
Razón
Número de personas de la casa que usa la computadora personal
Cuantitativa discreta
Razón
Número de granos de arena en una gran playa
Cuantitativa discreta
Razón
Marca de computadora personal que utiliza
Ejercicio 6
Indique el tipo de las siguientes variables y su escala de medición
Variable
Nivel socioeconómico de una persona
Número de metros cuadrados de jardín de una casa
Número de bytes que puede almacenar una memoria USB
Cantidad de dinero gastado en un fin de semana
Altura de una persona en centímetros
Notas importantes
Tipo de variable
Escala de medición
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Población
Es el conjunto de todos los elementos de interés en determinado estudio.
La población es un conjunto de personas, objetos, conceptos, etc. de los cuales se sacan conclusiones a partir de una o más características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa.
Muestra
Es un subconjunto de la población.
Una muestra será representativa si se parece a la población de la que proviene.
Ejemplo 4
La Secretaría Académica de una universidad está interesada en realizar un estudio sobre los motivos
por los cuales algunos alumnos del pregrado han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo. La
universidad cuenta con quince facultades y un total de 7500 alumnos, de los cuales 830 han decidido
rendir exámenes de recuperación ese ciclo. De la población se va a entrevistar a una muestra aleatoria
de 200 alumnos. Defina la población y la muestra
Solución
Población: Los 830 alumnos que han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo
Muestra: 200 alumnos que han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo.
Ejercicio 7
Se quiere hacer una investigación sobre el porcentaje de alumnos de la universidad que tienen celular.
Indique la población y la muestra.
Solución
Población: .................................................................................................................................
Muestra: ...................................................................................................................................
Ejercicio 8
PISA es el estudio internacional en educación de mayor escala del mundo y más de 60 países participan en él. Evalúa estudiantes de 15 años de edad que están cursando algún grado de secundaria en
comprensión lectora, matemática y ciencia. Defina la población del estudio para el caso peruano.
Solución
Población: ………………………………………………………………..……………………
Ejercicio 9
En una investigación se quiere determinar el promedio diario de pastillas para tratar los síntomas de la
gripe vendidas en una farmacia durante los meses de invierno. Indique la población y la muestra.
Población: .................................................................................................................................
Muestra: ...................................................................................................................................
Notas importantes
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15
Parámetro
Es cualquier resumen de la población. Son ejemplos de parámetros los siguientes: la edad promedio de
todos los peruanos y la proporción de alumnos de la UPC que trabajan y estudian a la vez.
Estadístico
Es cualquier resumen de una muestra. Son ejemplos de estadísticos los siguientes: la edad promedio de
algunos peruanos elegidos al azar o el porcentaje muestral de personas que afirman teñirse el pelo
regularmente.
Ejercicio 10
Según los Censos Nacionales X de Población y V de Vivienda 2005 ejecutados por el INEI, el 50.06%
de los peruanos son mujeres, ¿este dato es un parámetro o un estadístico?
Ejercicio 11
El 19 de junio del 2010 el Instituto de Opinión Pública de la Universidad Católica realizó una encuesta
sobre intención de voto presidencial, la cual registró un 24% para Luis Castañeda, ¿este dato es un
parámetro o un estadístico?
Ejercicio 12
El siguiente gráfico muestra la evolución de la inflación desde el año 1980 al 2010. ¿El índice de precios al consumidor IPC que obtiene el INEI, es un parámetro o un estadístico?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
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Ejercicio 13
Se realizó una investigación sobre la ocurrencia de síndrome de Down en niños peruanos durante el
año 2009. El síndrome de Down es un trastorno genético causado por la presencia de una copia extra
del cromosoma 21 (o una parte del mismo), en vez de los dos habituales. Indique solamente un posible
parámetro o estadístico de dicha investigación. Justifique por qué elige parámetro o estadístico.
Series de tiempo y datos transversales
Los datos de series de tiempo se coleccionan a lo largo de varios periodos de tiempo.
Los datos transversales se reúnen en un mismo periodo de tiempo.
Ejemplo 5
Gráfico comparativo de la clasificación de cuatro selecciones nacionales de fútbol según la FIFA.
Enero 2010
Estudios estadísticos
Los datos se obtienen mediante la realización de un estudio estadístico. A esos estudios se les clasifica
como experimentales u observacionales.
En un estudio experimental, se identifican las variables de interés, las cuales son controladas por
el investigador. Luego, se identifican otras variables que influyan en las variables de interés.
En un estudio observacional, no se trata de controlar las variables de interés, ni de influir sobre
ellas, por ejemplo, en una encuesta.
Notas importantes
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Errores en la adquisición de datos
Un error en adquisición de datos se presenta cuando el valor obtenido de los datos no es igual al valor
real que se hubiera obtenido con un procedimiento correcto. Se debe comprobar la consistencia interna
de los datos. También se analiza la existencia de valores demasiado grandes o demasiado pequeños,
conocidos atípicos, que son datos candidatos a posibles errores.
Fuentes de datos
Fuentes existentes o de datos secundarios
Los datos se han compilado y están disponibles para el análisis estadístico.
Fuentes públicas: bases de datos de ministerios y de oficinas gubernamentales de estadística,
como por ejemplo.
o
Portal del Estado Peruano
www.peru.gob.pe/
o
Instituto Nacional del Estadística e Informática
www.inei.gob.pe
o
Banco Central de Reserva del Perú
www.bcrp.gob.pe/
o
Ministerio de Salud del Perú
www.minsa.gob.pe
o
Ministerio de Trabajo
www.mintra.org.pe
o
Ministerio de Educación
www.minedu.org.pe
o
FAO. ONU para la Agricultura y Alimentación
www.fao.org/corp/statistics/es/
o
UNICEF. ONU para la Infancia
www.unicef.org/spanish/
Fuentes privadas: bases de datos de las empresas, bases de datos que se compran a empresas de
estudios de mercado, bases de datos en Internet, como por ejemplo.
o
Datum Perú
www.datum.com.pe/
o
Ipsos Apoyo. Opinión y Mercado
www.ipsos-apoyo.com.pe/
o
Imasen
www.imasenperu.com/
o
Instituto de Opinión Pública PUCP
www.pucp.edu.pe/iop/
o
CPI
www.cpi.com.pe/
o
Gallup
www.gallup.com
Notas importantes
18
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
Puede ver su resultado en el Aula virtual
1) Indique el tipo de las siguientes variables y su escala de medición
Variable
Tipo de variable
(2 puntos)
Escala de medición
Número de DNI de una persona
Número de pares de zapatos de una persona
Número de metros de tela necesarios para hacer una blusa
Número de teléfono celular
2) Defina la población, muestra, elemento y variables si se desea determinar el promedio de la edad de las
mujeres peruanas que usan métodos anticonceptivos.
(2 puntos)
Población
Muestra
Elemento
Variable
3) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
El valor de un parámetro se puede conocer solamente si se realiza un censo
Los datos de series de tiempo se coleccionan a lo largo de varios periodos de tiempo
Variables cuantitativas discretas son las variables que sólo toman valores enteros
Variable es el conjunto de mediciones obtenido de un elemento particular
Notas importantes
(2 puntos)
Verdadero
Falso
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Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 1. Sesión 2
Ejercicio 14
Luego de una investigación en una empresa se tiene una base de datos, pero lo que nos piden es redactar un informe que resume la información hallada.
Genero
Funcion
Femenino
Obrero
Edad Tiempo-emp Ing-pers Ing-tot No-prom
19
1
Masculino
Profesional
31
Masculino
Profesional
Masculino
Servicios
Masculino
Obrero
Masculino
Obrero
11400
Pos-prom
Prom-gen No-capac
Rech-trab
Rel-Geren
11400
0
Improbable
Peores
1
Muy probable
Buenas
5
210600 220600
2
No está seguro
No influye
2
No está seguro
Buenas
34
8
193400 413400
1
Probable
No influye
2
Improbable
Buenas
36
15
30800
30800
1
Improbable
No influye
0
Muy probable
Buenas
44
4
9850
9850
0
Improbable
No influye
1
Improbable
Regulares
Regulares
44
10
9800 239800
0
Improbable
No influye
1
Improbable
Masculino Técnico/ventas
31
5
40840 140840
0
Improbable
Mejores
3
Muy probable
Buenas
Femenino
37
8
93700 393700
1
No está seguro
Mejores
2
No está seguro
Buenas
Improbable
Profesional
Masculino
Obrero
45
23
10150
10150
0
No influye
1
Improbable
Regulares
Masculino
Obrero
54
18
9050
9050
0
Muy improbable No influye
1
Muy improbable
Regulares
Femenino
Profesional
26
2
62200
72200
2
No está seguro
No influye
2
No está seguro
Buenas
Masculino
Obrero
44
14
10200 160200
0
Probable
No influye
0
Probable
Regulares
Mejores
Masculino Técnico/ventas
31
2
40335
40335
0
Muy improbable
2
Muy probable
Buenas
Femenino
Producción
28
10
30990
30990
1
Muy improbable No influye
1
Muy improbable
Buenas
Femenino
Obrero
23
5
9360
9360
1
Muy improbable
1
Muy probable
Buenas
Muy improbable No influye
Femenino
Producción
38
20
33800 145000
0
Masculino
Servicios
35
10
29490
39000
0
Masculino
Producción
38
9
35500
55000
1
Peores
1
Muy improbable
Buenas
No influye
2
Muy probable
Muy buenas
Muy improbable No influye
2
Muy improbable
Buenas
Improbable
Masculino Técnico/ventas
32
2
40540
40540
0
2
Muy probable
Buenas
Masculino
Servicios
36
18
27500
45000
1
Muy improbable No influye
Improbable
Mejores
1
Probable
Buenas
Femenino
Obrero
48
25
10200 210200
0
Muy improbable
Peores
1
Muy probable
Buenas
Masculino
Obrero
45
20
9650
9650
0
Improbable
No influye
1
Improbable
Regulares
Femenino Técnico/ventas
22
2
44000
44000
0
No está seguro
No influye
2
No está seguro
Buenas
Masculino Técnico/ventas
32
6
48560 285000
1
Improbable
Peores
2
Muy probable
Buenas
10300
10300
0
1
Muy probable
Regulares
108700 108700
3
Improbable
Mejores
5
Improbable
Buenas
Peores
2
Muy improbable
Buenas
Masculino
Obrero
46
20
Masculino
Profesional
28
1
Femenino
Producción
27
5
30550
30550
1
Muy improbable
Masculino
Producción
38
14
32300
32300
0
Muy improbable No influye
1
Muy improbable
Buenas
Masculino
Obrero
40
20
9130
9130
0
No está seguro
No influye
0
Muy probable
Regulares
Masculino
Profesional
24
1
70000
70000
1
Probable
No influye
3
Improbable
Buenas
Masculino
Obrero
56
30
9740
9740
0
Muy improbable No influye
1
Muy probable
Regulares
Masculino
Producción
37
19
31800
31800
2
Muy improbable No influye
1
Masculino
Obrero
48
28
9700
9700
0
No está seguro
1
¿Qué podemos hacer para resumir esta información?
Notas importantes
Muy improbable No influye
No influye
Muy improbable Muy buenas
Muy probable
Regulares
20
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
1.3. Estadística descriptiva
Distribución de frecuencias
Es un resumen, expresado en un cuadro, de un conjunto de datos que muestra las frecuencias absolutas, relativas y porcentuales en cada una de varias clases que no se traslapan.
Ejemplo 6
En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática se
preguntó a todos los peruanos el idioma o lengua con el que aprendió hablar, obteniéndose los siguientes resultados
Idioma o lengua con que aprendió a hablar Número de personas Porcentaje por categoría Porcentaje acumulado
Castellano
Quechua
Aymará
Otra lengua nativa
Asháninka
Es sordomudo
Idioma extranjero
Total
21,713,165
3,360,331
443,248
174,410
67,724
30,019
21,434
25,810,331
84.13
13.02
1.72
0.68
0.26
0.12
0.07
100.00
84.13%
97.15%
98.87%
99.55%
99.81%
99.93%
100.00%
Fuente: INEI - Censos Nacionales 2007: XI de Población y VI de Vivienda
Frecuencias absolutas, relativas y porcentuales
La frecuencia absoluta (fi ) de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen a esa clase.
La frecuencia relativa (hi ) de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa clase.
Frecuencia relativa hi  
frecuencia absoluta f i

número de datos
n
La frecuencia porcentual (pi) de una clase es la frecuencia relativa multiplicada por 100%.
Frecuencias acumuladas
La frecuencia acumulada absoluta (Fi) de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen hasta esa clase.
La frecuencia acumulada relativa (Hi) de una clase es la proporción de elementos que pertenecen
hasta esa clase.
Frecuencia relativa acumulada H i  
frecuencia absoluta acumulada Fi

número de datos
n
La frecuencia acumulada porcentual (Pi) de una clase es la frecuencia acumulada relativa multiplicada por 100%.
Notas importantes
21
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
1.4. Resumen de datos cualitativos
Ejercicio 15
Se tomó una muestra de 80 personas y se les preguntó por la marca de cerveza más consumida en los
últimos tres meses. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Construya la distribución de frecuencias de los datos.
Cusqueña
Cristal
Cristal
Brahma
Cristal
Cusqueña
Cristal
Cristal
Cristal
Pilsen
Cristal
Brahma
Pilsen
Cristal
Brahma
Cusqueña
Notas importantes
Pilsen
Cusqueña
Cristal
Cristal
Brahma
Cristal
Cristal
Cristal
Pilsen
Cusqueña
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Otros
Pilsen
Cristal
Pilsen
Brahma
Brahma
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cusqueña
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Otros
Cristal
Brahma
Cusqueña
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Brahma
Pilsen
Pilsen
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Pilsen
Cristal
Cristal
Cristal
Cristal
Pilsen
Cristal
Cristal
Cristal
22
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
1.5. Gráficos
“Un gráfico puede valer más que mil palabras,
pero puede tomar muchas palabras para hacerlo”
John Wilder Tukey (1915-2000)
Gran estadístico del siglo XX, con gran influencia en la visualización de información
William Playfair (1759-1823), economista e ingeniero escocés es considerado el pionero de la estadística gráfica. Los principios de su trabajo fueron los siguientes:
El método gráfico es una forma de simplificar lo tedioso y lo complejo.
Las personas ocupadas necesitan ayuda visual.
Un gráfico es más accesible que una tabla.
El método gráfico ayuda al cerebro, ya que permite entender y memorizar mejor.
Wainer (1990) señala que entre la gente es muy común pensar que si un gráfico es bueno, éste deberá
ser totalmente comprensible sin ninguna ayuda adicional. Este pensamiento es limitante. Los gráficos
“buenos” los divide en dos categorías:
Un gráfico fuertemente bueno muestra todo lo que queremos conocer sólo con mirarlo.
Un gráfico débilmente bueno nos muestra lo que necesitamos conocer observándolo, una vez sepamos cómo mirarlo.
Una buena descripción puede transformar un gráfico débilmente bueno en uno fuertemente bueno.
Debemos siempre buscar esta transformación cuando sea posible. Una buena descripción informa al
lector y obliga al que produce el gráfico a pensar porqué y cómo está presentando el gráfico.
Una ventaja de los gráficos es que pueden mostrarnos cosas que de otra forma hubiese sido muy difícil
o imposible, es por ello que casi todo análisis estadístico comienza con gráficos.
Ejemplo 7
Notas importantes
23
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Gráfico de barras
Es una forma de representar datos cualitativos que han resumido en una distribución de frecuencias,
frecuencias relativas o frecuencias porcentuales.
En uno de los ejes, se grafican las etiquetas de las clases. Para el otro eje, se puede usar una escala de
frecuencias, frecuencias relativas o de frecuencias porcentuales. Se traza una barra sobre cada indicador de clase de una altura igual a la frecuencia correspondiente.
Las barras deben estar separadas para enfatizar el hecho de que cada clase es separada.
Diagrama circular
Cuando se utiliza el gráfico circular, también llamado pastel, cada sector circular representa el
valor específico de la variable.
Primero, se traza un círculo para representar todos los datos. Luego, se divide el círculo en partes.
El ángulo que le corresponde a cada parte se obtiene multiplicando 360º por la respectiva frecuencia relativa.
Ejercicio 16
El siguiente gráfico muestra el número de viviendas afectadas en la provincia de Pisco por el
terremoto del 2007. Los datos fueron obtenidos del Censo de Damnificados del sismo del 15 de agosto
del 2007 realizado por el INEI. Complete adecuadamente el gráfico.
16,000
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0
14,499
8,734
Viviendas
destruidas
Notas importantes
5,221
4,511
Viviendas
muy
afectadas
3,267
Viviendas
afectadas
Viviendas
levemente
afectadas
Viviendas no
afectadas
24
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 17
En los Censos Nacionales 2005: X de Población y V de Vivienda del Perú se preguntó el combustible
que más usa para cocinar sus alimentos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Categorías
Electricidad
Gas
Kerosene
Carbón
Leña
Otro tipo de combustible
No cocinan
Total
fi
68,110
3,061,537
391,349
131,861
1,974,758
230,988
195,078
6,053,681
Ángulo
hi
0.0113
0.5057
0.0646
0.0218
0.3262
0.0382
0.0322
Realice un diagrama circular con dichos datos.
Diagrama de Pareto
El diagrama de Pareto permite ver que, en muchos casos, pocos factores
pueden producir la mayoría de las consecuencias, lo que se podría resumir
como “pocos factores son vitales y muchos son triviales”. Por ejemplo, en
control de calidad, se puede mostrar que la mayoría de los defectos surgen de
un número pequeño de causas.
Los pasos para realizar un gráfico de Pareto son los siguientes:
Construya tabla de distribución de frecuencias, ordenando las categorías
en forma descendente respecto de la frecuencia.
El nombre de gráfico de
Pareto lo propuso el Dr.
Joseph Juran, pionero
del movimiento de
calidad total, como un
homenaje al economista italiano Vilfredo
Pareto (1848-1923)
La categoría Otros es colocada en la última posición. No importa cuán grande sea, porque está
compuesta de un grupo de categorías cuyas frecuencias son menores en relación con el valor de la
variable con frecuencia más pequeña.
Agregue a la tabla de distribución de frecuencias, una columna para la frecuencia acumulada
Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

En el eje vertical izquierdo, marque este eje con una escala de 0% a 100%.

En el eje vertical derecho, marque una escala de 0 hasta el número total de observaciones.

En el eje horizontal: marque los espacios donde estarán dibujadas las barras para cada una de
las categorías, incluida la categoría Otros.
Elabore el diagrama de barras y dibuje la línea de frecuencias acumuladas (curva de Pareto).
Notas importantes
25
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 8
El gerente de control de calidad de una fábrica que produce asientos especiales de fibra de vidrio,
quiere identificar los problemas más importantes que se presentan en la elaboración de estos, y poder
planear soluciones a dichos problemas de acuerdo a una estrategia basada en la prioridad del problema. Se extrae una muestra aleatoria de los problemas de calidad obteniendo los siguientes resultados:
Número de ocurrencias (fi)
28
16
50
71
9
12
14
Problema detectado
Color inadecuado
Forma no simétrica
Medidas fuera de norma
Superficie rugosa
Bordes afilados
Desprendimiento de capa protectora
Otros
Elabore el diagrama de Pareto.
Solución
Lo primero es ordenar los datos en orden descendente a la frecuencia fi. No olvidar que la categoría
otros va al final. Luego se calcula las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas.
Problema detectado
Superficie rugosa
Medidas fuera de norma
Color inadecuado
Forma no simétrica
Desprendimiento de capa protectora
Bordes afilados
Otros
fi
71
50
28
16
12
9
14
hi
0.355
0.250
0.140
0.080
0.060
0.045
0.070
Hi
0.355
0.605
0.745
0.825
0.885
0.930
1.000
Se realiza el gráfico usando las frecuencias absolutas fi y las frecuencias relativas acumuladas Hi.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
26
Ejercicio 18
Se realizó un estudio de 50 casos, tomados al azar, de mujeres VIH positivas atendidas en el Consultorio del Programa Contra Enfermedades de Transmisión Sexual y SIDA (PROCETSS) del Hospital
Nacional General Arzobispo Loayza en Lima, entre los meses de mayo de 1997 y junio de 1998. Se
registró seis ocupaciones distintas, 38 de ellas fueron amas de casa, seis eran vendedoras ambulantes,
dos eran empleadas domésticas, dos eran trabajadoras sexuales, una cuidaba personas de la tercera
edad y una se dedicaba a la limpieza de clínicas. Haga un diagrama de Pareto de los resultados.
Notas importantes
27
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
1.6. Tabulaciones cruzadas
También llamadas tablas de contingencia o de doble entrada.
Se usan para resumir de manera simultánea los datos para dos variables.
Ejercicio 19
En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto
Nacional de Estadística e Informática se preguntó a todos los
peruanos la religión que profesa, obteniéndose los siguientes
resultados
Sexo
Hombre
Mujer
Total
Católica
8,379,120
8,577,602
16,956,722
Religión que profesa
Cristiana - Evangélica
1,200,953
1,405,102
2,606,055
Otra
324,445
354,846
679,291
Ninguna
374,024
234,410
608,434
Total
10,278,542
10,571,960
20,850,502
Fuente: INEI - Censos Nacionales 2007: XI de Población y VI de Vivienda
Indique las variables usadas en la realización de esta tabla de doble entrada.
Rellene los espacios en blanco.

El número de cristianos evangélicos en el Perú es …………………

El número de peruanos que profesa una religión distinta a la católica es …………………

El ………….…….% de los peruanos profesa la religión católica.

El ………………..% de los hombres peruanos no profesa una religión.

El ………………..% de las peruanas no son cristianas-evangélicas ni católicas

El ……………….% de …………………………………………………………………….
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
28
Gráfico de barras apiladas
Un gráfico de barras apiladas muestra todas las series apiladas en una sola barra para cada categoría. El alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada categoría.
Gráfico de barras apiladas al 100%
Un gráfico de barras apiladas 100% muestra todas las series apiladas en una sola barra para cada
categoría. El alto de cada barra es el mismo para cada categoría.
Notas importantes
29
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 20
En los X Censos Nacionales de Población y V de Vivienda del año 2005 realizados en nuestro país se
preguntó por el tipo de alumbrado de la vivienda según área (urbana o rural). Los datos se muestran en
miles de viviendas
Tipo de alumbrado
Área Urbana
Área Rural
3,875
353
Kerosene (mechero / lamparín)
148
817
Vela
201
312
Otro
12
37
No tiene
17
9
4,253
1,528
Electricidad
Total
Elabore una gráfica de barras apiladas y otro de barras apiladas al 100% que permita ver la composición del tipo de alumbrado dentro de cada área.
Notas importantes
30
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
4) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
(2 puntos)
Verdadero
Falso
Los cuadros de doble entrada usan exclusivamente variables ordinales o nominales
En un gráfico circular, el ángulo que le corresponde a cada parte se obtiene multiplicando
360º por la respectiva frecuencia absoluta.
La frecuencia relativa de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa
clase.
En un gráfico de barras apiladas, el alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de
cada categoría.
5) Encuentre todos los errores del siguiente gráfico, realizado a partir de los Censos Nacionales de
Población y Vivienda de los años 1993 y 2007 en el Perú.
(2 puntos)
Notas importantes
31
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 2. Sesión 1
1.7. Resumen de datos cuantitativos
Distribución de frecuencias de variables discretas
Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada valor de la variable el número de elementos (frecuencia) que la componen.
Gráfico de bastón
En este caso la variable se ubica en el eje de las abscisas y las frecuencias en el eje ordenado.
Ejercicio 21
Los siguientes datos muestran el número de veces que se han matriculados en el curso Estadística
Aplicada a los Negocios, los 32 alumnos de un horario del ciclo 2010 02.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
Construya la tabla de distribución de frecuencias de la variable número de veces matriculado en el
curso y su respectivo gráfico de bastones.
Notas importantes
32
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución de frecuencias de variables continuas
Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada categoría el número de
elementos (frecuencia) que la componen.
Los tres pasos necesarios para definir en una distribución de frecuencias con datos cuantitativos son
los siguientes:
Determinar la cantidad de clases
Determinar el ancho de cada clase
Determinar los límites de cada clase
Cantidad de clases
Se recomienda usar entre 5 y 20 clases
La idea es emplear suficientes clases para mostrar la variación de los
datos, pero no tantas que varias contendrían unos cuantos elementos.
Para determinar el número de clases se usa la regla de Sturges. Si la
estimación tiene decimales, se toma el entero más próximo.
o
Regla de Sturges: k = 1 + 3,322 log n
La regla de Sturges la
propuso Herbert Sturges (1926). La fórmula trata de que el histograma resultante se
aproxime a la distribución normal.
Amplitud de cada clase
Se usa el mismo ancho para todas las clases.
Se calcula de la siguiente manera:
Amplitud 
rango
k
La amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo con la cantidad de decimales
que tienen los datos o según la precisión con que se desea trabajar.
Límites de cada clase
Los límites de clase se escogen de tal manera que cada valor de dato pertenezca a una clase y sólo
a una.
El límite inferior de clase es el valor mínimo posible de los datos que se asigna a la clase. El límite
superior de clase es el valor máximo posible de los datos que se asigna a la clase.
La marca de clase es el punto medio de los límites de cada intervalo.
Recordar lo siguiente:
La regla de Sturges no se usa para hallar la cantidad de datos. Es decir,
- si se tiene el número de datos n, entonces se puede calcular k,
- si se tiene determinado k, no se puede calcular n con la regla de Sturges.
Notas importantes
33
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 9
El jefe de la Oficina de Rentas de la Municipalidad de San Isidro ha realizado un estudio sobre los
impuestos que pagan los vecinos del distrito. La tabla muestra los pagos de impuestos, en nuevos soles, en el 2010 de 48 viviendas elegidas al azar.
145.1
216.3
252.5
303.6
196.9
234.8
265.2
317.2
206.5
242.9
289.1
331.7
151.0
225.9
257.1
305.8
202.6
238.4
271.0
320.2
208.0
244.0
291.0
344.6
159.0
227.1
259.2
315.4
204.9
239.9
286.7
324.8
208.0
247.7
291.9
346.7
195.6
231.2
262.5
315.5
206.1
241.1
288.1
331.1
209.3
249.5
294.5
351.1
Elabore la tabla de frecuencias para la variable pago por impuestos municipales año 2010.
Solución
El rango r se calcula con:
r  xmax  xmin  351.1  145.1  206
Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:
k  1  3.322 log10 n  1  3.322 log10 (48)  6.585  7
El ancho del intervalo es:
w
r 206

 29.429  29.5 (redondeo por exceso a un decimal)
k
7
Distribución de frecuencias del pago de impuestos municipales del año 2009
Pago de impuestos
Marca de clase
fi
hi
Fi
Hi
[145,1 ; 174,6]
159,85
3
0,0625
3
0,0625
]174,6 ; 204,1]
189,35
3
0,0625
6
0,1250
]204,1 ; 233,6]
218,85
10
0,2084
16
0,3334
]233,6 ; 263,1]
248,35
12
0,2500
28
0,5834
]263,1 ; 292,6]
277,85
7
0,1458
35
0,7292
]292,6 ; 322,1]
307,35
7
0,1458
42
0,8750
]322,1;351,6]
336,85
6
0,1250
48
1,0000
48
1.0000
Total
Notas importantes
34
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 22
Haga la tabla de distribución de frecuencias de los siguientes datos:
9.7
7.9
14.7
9.7
10.4
10.4
10.2
9.6
10.5
11.3
10.1
11.9
11.2
9.6
12.9
11.7
9.7
9.9
7.8
9.6
9.5
9.8
11.3
10.7
11.1
9.9
9.6
8.9
9.8
10.8
9.3
9.5
8.6
8.3
12.0
9.2
8.2
10.9
8.5
9.0
12.4
9.6
9.2
9.3
10.0
Ejercicio 23
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los salarios del último mes de los
empleados de una empresa. Complete la tabla.
Clase
Marca de
clase xi
450
-


-


-


-


-

Notas importantes
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia absoluta
acumulada Fi
8
750
10
0,3
12
33
Frecuencia relativa
acumulada Hi
35
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 10
La empresa de investigación de mercado “Eléctrico” lleva a cabo un estudio para obtener indicadores
que le permitan inferir respecto al consumo de energía eléctrica mensual (medido en kilovatios, redondeado al entero mas próximo) de las familias en los departamentos de Arequipa y Tacna. Dicho
estudio, sustentado en el análisis de muestras aleatorias tomadas en ambos departamentos, arrojó los
siguientes resultados:
Arequipa
Tacna
227 231 261 270 291 351 359 369 371 382 387 392 393 395 396 413 420 422 424 436
453 461 463 471 495 498 510 512 533 534 541 542 584 589 591 628 630 630 657 666
217 219 263 287 294 340 346 347 348 377 390 392 395 396 397 408 418 424 426 429
438 438 442 446 447 450 456 481 496 508 511 533 549 583 609 636
Usando la regla de Sturges, calcule intervalos comunes y marcas de clase de una tabla de distribución
de frecuencias que permita comparar los datos.
Solución

Hallar el mínimo de todos los datos (217) y el máximo de todos los datos (666) de ambas ciudades, y usarlos para calcular el rango.

Calcular el número de categorías, el número de datos es el máximo número de datos (40) entre
ambas ciudades. Tener en cuenta que no es la suma de ambos tamaños muestrales.
Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:
k  1  3.322 log10 n  1  3.322 log10 (40)  6.322  6 (redondeo simple)
Notas importantes
Consumo de energía
Marca de clase
217; 292
254,5
292; 367
329,5
367; 442
404,5
442; 517
479,5
517; 592
554,5
592; 667
629,5
36
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 24
Un jefe de recursos humanos está interesado en analizar el impacto en los empleados al suprimir las
horas extras de trabajo pagadas que anteriormente se aplicaba. Con este fin se extraen dos muestras
aleatorias. La primera de 80 empleados tomando de los datos históricos de un día al azar con el sistema anterior y la segunda de 60 empleados tomando los datos de un día al azar con el sistema vigente.
Se muestran las horas de trabajo por día por empleado.
Horas diarias trabajadas con horas extras pagadas
Horas trabajadas sin horas extras pagadas
7,7
8,9
9,8
10,8
11,2
11,8
12,3
13,2
7,4
8,2
8,5
8,9
9,7
10,8
7,9
8,9
10,1
10,8
11,3
11,9
12,4
13,4
7,7
8,2
8,5
8,9
9,8
11,0
8,0
9,0
10,2
10,9
11,4
12,0
12,4
13,5
8,0
8,2
8,5
8,9
9,9
11,2
8,0
9,1
10,2
11,0
11,4
12,0
12,4
13,6
8,0
8,3
8,6
9,0
9,9
11,6
8,1
9,1
10,3
11,0
11,5
12,1
12,5
13,7
8,0
8,3
8,6
9,1
10,0
11,7
8,1
9,3
10,4
11,0
11,5
12,1
12,5
13,9
8,1
8,3
8,7
9,1
10,0
12,2
8,2
9,4
10,6
11,1
11,5
12,1
12,6
14,6
8,1
8,4
8,7
9,3
10,3
12,5
8,5
9,5
10,6
11,1
11,6
12,2
12,7
14,9
8,2
8,4
8,7
9,4
10,5
12,9
8,6
9,7
10,7
11,1
11,7
12,2
12,9
15,0
8,2
8,4
8,8
9,6
10,5
13,3
8,8
9,7
10,8
11,2
11,7
12,3
13,1
15,8
8,2
8,4
8,8
9,7
10,6
14,5
Determine las clases para agrupar y comparar los datos de ambas muestras.
Notas importantes
37
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
Responda a las siguientes preguntas.
6) ¿Por qué se usan los gráficos de bastón para variables discretas en vez de un gráfico de barras?
(1 punto)
7) ¿Por qué si en un ejercicio nos dan la cantidad de intervalos, no se usa la regla de Sturges?
(1 punto)
8) ¿Por qué se redondea por exceso la amplitud en las distribuciones de frecuencias de datos continuos?
(1 punto)
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
38
Semana 2. Sesión 2
1.8. Gráficos de datos cuantitativos
Histograma
Este resumen gráfico se prepara con una distribución de frecuencias, frecuencias relativas o frecuencias porcentuales.
Se traza colocando la variable sobre el eje horizontal y las frecuencias sobre el eje vertical.
Cada frecuencia de clase se representa trazando un rectángulo, cuya base es el intervalo de clase
sobre el eje horizontal y cuya altura es la frecuencia correspondiente.
Los rectángulos adyacentes se tocan entre sí.
Polígono de frecuencias
Es la representación por medio de una figura poligonal cerrada.
Se obtiene uniendo con segmentos de recta los puntos de intersección de las marcas de clase con
las frecuencias.
Los polígonos de frecuencias se cierran creando dos intervalos ficticios, uno antes del primer intervalo y uno después del último.
Si los intervalos creados toman valores que pueden ser reales, igual se crea el intervalo, como,
ejemplo, tiempos negativos.
Notas importantes
39
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 25
Grafique el histograma y el polígono de frecuencias de los siguientes datos.
8.2
7.9
8.2
8.3
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.9
Notas importantes
9.0
9.2
9.2
9.3
9.3
9.3
9.4
9.5
9.5
9.6
9.6
9.6
9.6
9.6
9.7
9.7
9.7
9.8
9.8
9.9
9.9
10.0
10.0
10.1
10.2
10.5
10.7
10.8
10.9
10.9
11.1
11.2
11.3
11.3
11.7
11.7
11.9
12.0
12.2
11.8
40
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 26
En el año 2008, el Departamento de Calidad Educativa de una universidad le preguntó a una muestra
de estudiantes universitarios por el porcentaje de su tiempo fuera de clases que dedicaban a navegar
por Internet para buscar información para sus cursos. El gráfico muestra el polígono de frecuencias de
dicha información.
Polígono de frecuencias del porcentaje del tiempo fuera de clases
conectado a Internet para buscar información para sus cursos
40
36.00
35
Porcentaje de alumnos
30
25
21.00
20
15
11.50
11.50
7.50
10
5.00
5
1.25
2.50
2.50
1.25
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
Porcentaje de tiempo fuera de clases conectado a Internet para buscar información para cursos
Fuente: Departamento de Calidad Educativa 2008
Calcule el porcentaje de alumnos que dedican, más del 30% de su tiempo fuera de clases a navegar en
Internet para buscar información para sus cursos.
Notas importantes
41
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribuciones acumuladas
La distribución de frecuencias acumuladas muestra la cantidad de elementos con valores menores o
iguales al límite superior de clase para cada clase.
Ojiva
Es la gráfica de una distribución acumulada de frecuencias.
Se obtiene uniendo con segmentos de recta los puntos de intersección del límite superior de cada
intervalo y la frecuencia acumulada respectiva.
Con la ojiva se puede estimar fácilmente el número o porcentaje de observaciones que corresponden a un intervalo determinado.
Ojiva del tiempo en resolver un examen
100
Fi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10 0
0
0
80
72
40
30
20
40
60
Tiempo (minutos)
Ejercicio 27
Haga la ojiva de frecuencias relativas del ejercicio 24.
Notas importantes
80
100
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
42
Recomendaciones sobre la presentación de gráficos (diagramas)
Descripción del diagrama
El título del diagrama siempre debe ser indicado.
En los ejes, siempre se debe indicar explícitamente las variables que se está representando y las
respectivas unidades.
Las fuentes de donde se obtuvieron los datos que permitieron su construcción, así como quienes o
qué entidad elaboró el diagrama y cualquier otra información se debe indicar siempre que sea relevante.
Eliminación de ruido
Los excesivos adornos y la inclusión de figuras, muchas veces, en lugar de aclarar más los diagramas, terminan confundiendo o dificultando su rápida comprensión.
El uso de algunas figuras en lugar de barras o columnas puede distorsionar visualmente la real
proporción de las magnitudes que se están representando.
Elección de la base de comparación
Si se va a representar gráficamente los datos de solo una muestra, el mismo diagrama sirve para
representar las frecuencias absolutas y relativas.
Si se va a comparar el comportamiento de una variable en dos o más poblaciones distintas pero
solo se tiene muestras representativas de las poblaciones, entonces es conveniente usar la frecuencia relativa.
Si se va a comparar el comportamiento de una variable en dos o más poblaciones y se tiene los
datos de las poblaciones, entonces se puede realizar la comparación por separado de las frecuencias absolutas y de las relativas.
Si bien es totalmente factible comparar gráficamente dos o más series de datos que han sido agrupados en intervalos distintos en amplitud y límites, es preferible para facilitar la comparación que
todas las serie de datos utilicen los mismos intervalos.
Uso de adecuada escala de los ejes
La escala utilizada en los ejes debe mantenerse. El cambio de proporciones distorsiona el propósito de usar diagramas, el cual consiste en ver rápidamente la proporción con que se está distribuyendo la variable.
Si se ha utilizado una escala especial en alguno de los ejes del diagrama, por ejemplo, escala logarítmica, esta se debe indicar.
Debe hacer que los valores de la variable abarquen adecuadamente la longitud de cada eje.
Uso del punto inicial del eje vertical.
El punto de inicio del eje vertical debe empezar con un cero para no distorsionar la impresión visual respecto de la magnitud.
El cambio de punto de inicio distinto de cero debe estar completamente justificado.
Notas importantes
43
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
9) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
(1.5 puntos)
Afirmación
Verdadero
Falso
Para graficar las ojivas se usan las marcas de clase
Con la ojiva se puede estimar el porcentaje de observaciones que corresponde a un
intervalo determinado
Para el polígono de frecuencias solamente se usa las frecuencias absolutas
10) Se ha tomado un examen y se registró el tiempo empleado en terminarlo. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones con respecto al gráfico siguiente.
(3 puntos)
Ojiva del tiempo en resolver un examen
100
Fi
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10 0
0
0
80
72
40
30
20
40
60
80
100
Tiempo (minutos)
Afirmación
El número de personas que tarda 60 minutos o menos es 72
El número de personas que tarda más de 60 minutos es 40
El número de personas que tarda más de 20 minutos pero menos o igual a 80 minutos es 50
El porcentaje de personas que tarda más de 40 minutos es 60%
El porcentaje de personas que tarda 30 minutos o menos es 20%
El porcentaje de personas que tarda 20 minutos es 30%
Notas importantes
Verdadero
Falso
Unidad 2
Logro de la unidad
Medidas
descriptivas
Utiliza rigurosamente
las medidas de resumen
de datos, reconoce su
importancia en el
análisis del
comportamiento de los
datos y es conciente de
sus implicancias.
Caso: Primero debo acabar mi carrera
Sergio llevaba menos de
treinta días en el diario
cuando le solicitaron una
investigación sobre el uso de
anticonceptivos entre
universitarios.
La Prensa quería sacar una
edición especial sobre la
sexualidad entre
universitarios y quería tener
información nueva y
exclusiva sobre dicho tema.
Sergio se llenó de angustia
cuando Rogelia, su jefa, le
explicó lo que tenía que
hacer, debía trabajar en un
grupo que hiciera una
primera versión de una
encuesta que luego sería
realizada por una empresa de
investigación de mercados.
Sergio comenzó a buscar
ideas para las preguntas de
su encuesta. Por lo menos,
debía preguntar por la edad,
los estudios, el distrito de
residencia, el conocimiento
de los métodos
anticonceptivos por parte de
los universitarios y su uso
¿eso se podía preguntar?
encuesta y le copió una frase
del periodista y corresponsal
de guerra Jack Fuller,
ganador del premio Pulitzer
"Si te equivocas en las cosas
pequeñas, los lectores no
confiarán en ti para las
cosas grandes".
Pasó toda la noche
escribiendo preguntas.
Estaba emocionado, pero a la
vez tenía miedo por la
importancia de la
investigación. No podía
dormir. Ya en la madrugada,
se dio cuenta que quería
preguntar demasiado y que
alguna de sus preguntas eran
muy complicadas.
Sandra sonrió al leer el
correo. Contestó la encuesta,
le sugirió cambios en
algunas preguntas y le envió
uno de sus acostumbrados
acertijos: “Una mujer
extrañadamente maquillada
ingresa a un bar y exige que
le den un vaso con agua. El
barman saca una gran
pistola y le apunta a la
cabeza. La mujer agradece y
se va”. Sergio sonrió, pues
ya sabía lo que Sandra le
había querido decir.
A la mañana siguiente, con
el pretexto de hacer una
prueba piloto, le envío a
Sandra, por correo, una
Debo saber
Calcular la media y la
desviación estándar
para datos simples y
agrupados en mi calculadora
Usar funciones y plantear fórmulas en Excel
Contenido
Medidas de tendencia
central
Percentiles
¿Quién inventó la varianza?
Ronald Fisher (1890-1962) fue
un brillante estadístico inglés.
Publicó alrededor de 300 trabajos y siete libros, en los
cuales desarrolló muchos de
los conceptos de la estadística:
la importancia de la aleatorización, la varianza, el análisis de
varianza, la distinción entre
estadística (medida de muestra) y parámetro (medida de
población), la hipótesis nula,
los niveles de significación, y
las ideas fundamentales del
diseño de investigación. De
temperamento difícil, se vio
involucrado en profundas enemistades. Se dice de él que
cuando le hablaban en broma,
él contestaba en serio; cuando
los demás estaban serios, entonces él bromeaba.
Tomado de http://
www.psicologíacientifica.com
Medidas de variabilidad
Medidas de asimetría
Diagramas de caja
47
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 3. Sesión 1
Datos simples y datos agrupados
Se denomina datos simples (datos no agrupados) a los valores que no están agrupados en distribuciones de frecuencia, mientras que son datos agrupados aquellos que si lo están.
Si se tienen datos simples no se construye la distribución de frecuencias para calcular la media, la
mediana o cualquier estadístico, se prefiere el cálculo con los datos simples.
Ejemplo de datos simples
18.5 10.6 14.5 17.2 12.8 13.6 11.6 11.3 13.0 13.5 10.8 13.9 14.2 15.3 14.3 14.3 14.3 17.7 14.8 14.6
18.3 11.8 16.1 16.8 18.8 14.8 14.0 16.4 14.2 16.5 12.1 13.3 12.0 14.3 14.9 15.1 14.4 19.4 11.5 13.5
Ejemplo de datos agrupados
Pago de impuestos
Marca de clase
fi
hi
Fi
Hi
[145,1 ; 174,6]
159,85
3
0,0625
3
0,0625
]174,6 ; 204,1]
189,35
3
0,0625
6
0,1250
]204,1 ; 233,6]
218,85
10
0,2084
16
0,3334
]233,6 ; 263,1]
248,35
12
0,2500
28
0,5834
]263,1 ; 292,6]
277,85
7
0,1458
35
0,7292
]292,6 ; 322,1]
307,35
7
0,1458
42
0,8750
]322,1;351,6]
336,85
6
0,1250
48
1,0000
48
1.0000
Total
Ejercicio 28
Luego de una investigación se tiene muchos datos, con ellos se puede realizar algunos gráficos y tablas de distribución de frecuencias. Pero ¿cómo se puede hacer para resumir la información en un número?
Notas importantes
48
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
2.2. Medidas de tendencia central
Las medidas de localización o de tendencia central se refieren al valor central que representa a los
datos de una determinada variable.
Media
La media aritmética (media o promedio) de un conjunto de valores de una variable es la suma de dichos valores dividida entre el número de valores.
La fórmula para la media poblacional es
N

x
i 1
i
N
La fórmula para la media muestral de datos no agrupados es
n
x
x 
i 1
i
n
La fórmula para la media muestral de datos agrupados es
k
x
x
i
fi
i 1

n
k
x h
i i
i 1
La fórmula para la media muestral de datos agrupados por intervalos es
k
 x f
i
x
donde
i 1
n
i

k
 x h
i i
i 1
xi
:
dato (datos no agrupados) o marca de clase x i (datos agrupados)
fi
:
frecuencia de cada clase
N
:
tamaño de la población
n
:
tamaño de la muestra
Notas importantes
49
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 29
Los datos siguientes corresponden a las estaturas (en metros) de hombres peruanos de 18 años. Calcule
la estatura promedio.
1.78
1.65
1.74
1.65
1.80
1.52
1.74
1.56
1.65
1.62
Ejercicio 30
Los datos siguientes corresponden a las estaturas (en metros) de hombres peruanos de 18 años. Calcule
la estatura promedio.
Estatura
fi
1.60
3
1.63
12
1.66
65
1.70
48
1.75
5
Ejercicio 31
Los datos siguientes corresponden a las estaturas (en metros) de hombres peruanos de 18 años. Complete la distribución de frecuencias y calcule la estatura promedio.
Estatura (en intervalos)

150
Marca de clase
hi
Fi

,

,

,


,

Notas importantes
fi
166

Hi
0,48
0,32
0,95
200
50
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Características de la media
Se puede calcular para datos medidos en escala de intervalo o razón.
El valor de la media es sensible a los valores extremos, por lo que la presencia de valores inusuales la distorsionan.
El cálculo de la media es sencillo y fácil de entender e interpretar.
Si cada uno de los n valores xi es transformado en: yi = a xi + b, siendo a y b constantes, entonces,
la media de los n valores yi es:
y  ax  b
Ejercicio 32
En una tienda el precio promedio de los jeans es de 74 nuevos soles, se aumenta 8% a todos los precios y, además, se sube 4 nuevos soles a cada precio, calcule el nuevo precio promedio de los jeans.
Ejercicio 33
En una tienda el precio promedio de los jeans es de 74 nuevos soles, si se hace una oferta y se rebaja el
8% de todos los precios, calcule el nuevo precio promedio de los jeans.
Ejercicio 34
En una tienda el precio promedio de los jeans es de 74 nuevos soles, si se hace una oferta y se rebaja 8
nuevos soles a todos los precios, calcule el nuevo precio promedio de los jeans.
Notas importantes
51
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Mediana
La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a dicho conjunto.
El 50% de las observaciones son menores o igual a la mediana.
Ejercicio 35
Según un estudio, en mujeres, del Centro Peruano de Estudios Sociales CEPES (2000), en Lima la
mediana de la edad a la primera unión (vida conyugal) es de 23.6 años, mientras que en Loreto es de
18 años. Indique lo que significa esta aseveración.
Ejercicio 36
Grupo A
1.61 1.62 1.63 1.63 1.64 1.64
1.66
1.70
1.70
1.73
1.73
1.77
1.83
Grupo B
1.56 1.61 1.62 1.63 1.63 1.64 1.64
1.66
1.70
1.70
1.73
1.73
1.77
1.83
En cada grupo se muestra la estatura de cada jugador. Indique el valor de la mediana de la estatura en
cada grupo.
Notas importantes
52
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Características de la mediana
Se puede calcular para variables medidas en escala de ordinal, intervalo o razón.
El valor de la mediana depende del número de datos observados.
La mediana es un estadístico que no se ve afectado por valores extremos. Por eso se le utiliza
cuando hay datos inusuales o el polígono de frecuencias no es simétrico.
Mediana de datos no agrupados
Ordene los datos de manera ascendente.
Calcule la posición i de la mediana, usando la siguiente fórmula: i = 0,5n
donde n es la cantidad de observaciones
o Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que i indica la posición de la
mediana
o Si i es entero, la mediana es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e
i+1
Ejercicio 37
Los tiempos, en minutos, que se tardan 17 alumnos en contestar una pregunta de un examen se registran en la siguiente tabla.
Hombres
8
12
17
25
18
12
24
Mujeres
15
10
14
8
14
12
18
15
Calcule la mediana del tiempo por cada sexo e indique el grupo con mayor mediana.
Notas importantes
12
18
53
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Mediana de datos agrupados en intervalos
Identificamos primero la clase en la que se encuentra la mediana. El valor se determina por la siguiente expresión:
Me  Li 
w n

  Fi 1 
fi  2

donde:
Li:
límite inferior de la clase de la mediana
fi:
frecuencia de la clase de la mediana
Fi-1:
frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase de la mediana
w:
amplitud de clase
n:
número de datos
Es equivalente la fórmula
Me  Li 
w n
w1


  Fi 1   Li    H i 1 
fi  2
hi  2


Ejercicio 38
En una gran ciudad, se tomó una muestra aleatoria y se les preguntó por su ingreso mensual, en dólares, obteniéndose los siguientes resultados.
Ingresos (en intervalos)

Marca de clase

fi
hi
Fi
30
Hi
0,0480

175
,
225

200
45
95
0,1827

225
,
275

250
190
405
0,7788

275
,
325

300
140
470
0,9038

275
,
325


325
,
450

520
1,0000
130
425
Complete la tabla de distribución de frecuencias y calcule la mediana del ingreso
Notas importantes
54
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Moda
La moda de un conjunto de datos observados de una variable es el valor que se presenta con mayor
frecuencia.
Justin Bieber claims Lady Gaga's YouTube throne
LOS ANGELES | Fri Jul 16, 2010 6:24pm
(Reuters) - Teen sensation Justin Bieber has knocked Lady
Gaga off her reign as holder of the most-viewed video on YouTube.
Bieber, 16, who was discovered on YouTube, racked up more than 246
million views of his music video "Baby" on Friday, pushing Lady Gaga's
"Bad Romance" into second place with 245.6 million.
The Canadian singer, currently on tour in the United States to promote his
hit album "My World 2.0", thanked his fans in a Twitter message, but
added that he thinks Lady Gaga is "an incredible artist who (I) have great
respect 4. and her vid is incredible.
"So it doesnt matter who has more views what matters is that we have
incredible fans that support us...that im sure we are both greatful 4," he
continued.
Bieber signed a record deal at age 14 after posting his own videos on YouTube and now causes mob scenes of
hysterical girls wherever he goes.
Lady Gaga, 24, is in the middle of her "Monster Ball" tour and recently became the first living person to have more
than 10 million fans on social networking site Facebook.
Moda de datos no agrupados
Agrupe los datos de acuerdo a sus frecuencias, el dato con mayor frecuencia es la moda.
Ejercicio 39
Calcule la moda de los siguientes datos:
4
5
4
4
Notas importantes
2
2
5
4
5
5
5
5
2
4
5
4
2
2
4
4
55
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Características de la moda
La moda se puede calcular para cualquier escala de medición.
El valor de la moda no se ve afectada por valores extremos.
La moda no siempre es un valor único. Una serie de datos puede tener dos modas (bimodal) o más
modas (multimodal). Algunas series de datos no tienen moda.
Moda de datos agrupados en intervalos
Identifique la clase con mayor frecuencia (clase modal).
Obtenga el valor de la moda mediante la expresión:
 d1
Mo  Lmo  
 d1  d 2

 w

donde:
Lmo
: límite inferior de la clase modal
d1
: diferencia entre las frecuencias de las clases modal y precedente
d2
: diferencia entre las frecuencias de las clases modal y siguiente
w
: amplitud de clase
Ejercicio 40
En una empresa se toma un examen de conocimientos sobre los procesos administrativos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Puntaje (en intervalos)
Marca de clase
fi
hi
Fi
Hi
25
10
0.0667
10
0.0667

,


,

25
0.1667
35
0.2333

,

75
0.5000
110
0.7333

,

15
0.1000
125
0.8333

,

14
0.0933
139
0.9267

,

11
0.0733
150
1.0000
Calcular la moda del puntaje
Notas importantes
75
56
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 41
La ojiva de los ingresos mensuales, en nuevos soles, de los trabajadores de una empresa se muestran
en la siguiente gráfica:
Ojiva de ingresos
1.00
0.90
0.80
0.70
Hi
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Ingresos
Calcule la media, mediana y moda de los ingresos
Notas importantes
7000
8000
9000
10000 11000
57
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
11) Complete el siguiente texto: “La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide
en dos partes a dicho conjunto. El …………………………………………….. son menores o igual
a la mediana.”
(1 punto)
12) Complete el siguiente texto: “Usar la mediana como medida de tendencia central es preferible a usar
la media cuando………………………………………………”
(1 punto)
13) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
Verdadero
La moda se puede calcular en variables medidas en todas las escalas de medición
La media es un valor que siempre está entre el mínimo valor y el máximo valor de los
datos
Si se tienen datos simples se construye la distribución de frecuencias para calcular la
media, la mediana o moda.
La media se puede calcular en variables medidas en escala ordinal, intervalo y de razón
Semana 3. Sesión 2
Ejercicios para la práctica calificada 1
Fórmulas para la práctica calificada 1
Frecuencia relativa hi  
fi
n
Frecuencia relativa acumulada H i  
Regla de Sturges: k = 1 + 3,322 log n
Notas importantes
(2 puntos)
Fi
n
Falso
58
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 4. Sesión 1
Media ponderada
También llamada media pesada. Permite calcular el valor medio considerando la importancia o peso
de cada valor sobre el total.
n
xww 
xw
i 1
n
i
i
w
i 1
i
donde:
xi: Observación individual.
wi: Peso asignado a cada observación.
Ejercicio 42
Las notas de un alumno de Estadística Aplicada a los Negocios son:
PC1
PC2
PC3
PC4
Parcial
Final
Trabajo
12
8
15
17
7
16
13
Si el peso de cada práctica es 7.5% de la nota final, de cada examen 25% y del trabajo es 20% ¿cuál es
el promedio final del alumno?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
59
2.3. Cuantiles
En la foto aparece el fotógrafo puneño Martín Chambi (1891-1973) junto a un indígena muy alto, a quien
encontró en uno de sus viajes. La estatura del indígena seguramente fue mayor al percentil 99 de la
estatura de los campesinos de su región, Paruro en Cusco. Chambi es considerado una de las grandes
figuras de la fotografía mundial.
2.4. Percentiles
El percentil k-ésimo Pk es un valor tal que por lo menos k por ciento de las observaciones son menores o iguales que este valor.
Se puede calcular en variables medidas en escala ordinal, de intervalo y razón.
El valor del percentil no se ve afectado por valores extremos.
Ejercicio 43
Calcule e interprete el percentil 3 y el percentil 50 del peso para niños de un año según el gráfico.
Notas importantes
60
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Percentil de datos no agrupados (simples)
Ordene los datos de manera ascendente.
Calcule la posición i del percentil
 k 
i
n
 100 
donde: k el es percentil y n es la cantidad de observaciones
o
Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que i indica la posición
del k-ésimo percentil.
o
Si i es entero, el k-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicados en
los lugares i e i+1.
Ejercicio 44
Dados los siguientes datos, calcule la el percentil 30 y el percentil 75
1
2
5
4
6
25
8
3
1
5
3
5
6
Ejercicio 45
Calcule el percentil 75 de los siguientes datos.
Notas importantes
xi
fi
1
4
4
48
6
79
12
50
15
7
Fi
4
3
5
61
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Percentil de datos agrupados en intervalos
Identificamos primero la clase en la que se encuentra el percentil Pk. Esta clase es aquella que
acumula por primera vez un porcentaje mayor o igual a k%.
El valor del percentil se determina por la siguiente expresión:
Pk  Li 
w  nk

 Fi 1 

fi  100

donde:
Li: límite inferior de la clase del percentil
fi: frecuencia de la clase del percentil
Fi-1: frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del percentil
w: amplitud de clase
n: número de datos
Es equivalente la fórmula
Pk  Li 
w
fi
w k
 nk


 Fi 1   Li  
 H i 1 

h
100
100



i 
Ejemplo 11
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los 200 salarios del último mes de
los empleados de una empresa.
Salario (S/.)
fi
hi
Fi
Hi
450 - 650
32
0.160
32
0.160
650 - 850
40
0.200
72
0.360
850 - 1050
60
0.300
132
0.660
1050 - 1250
48
0.240
180
0.900
1250 - 1450
20
0.100
200
1.000
Calcule el sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados
Solución

 200  200  85
P85  1050  
 132   1 208,33 nuevos soles


 48  100
El sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados es S/.1 208,33
Notas importantes
62
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 46
Las notas de un curso se muestran en la siguiente distribución de frecuencias.
Notas
Marca de clase
fi
08 – 10
15
10 – 12
52
12 – 14
60
14 – 16
75
16 – 18
48
hi
Fi
Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior. Use la fórmula de percentiles.
Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior. Use la ojiva.
Notas importantes
Hi
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
63
Calcule la nota máxima para estar en el 5% de las notas más bajas.
Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas menores o iguales a 13.
Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas mayores a 12 y menores o iguales a 15.
Cuartil
Se denomina así a cada uno de los tres percentiles: P25, P50, P75 y se les denota como Q1, Q2 y Q3
respectivamente.
Notas importantes
64
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
14) En una cierta región de un país se han realizado una gran investigación sobre el peso y la edad de
niñas y jóvenes con la cual se ha obtenido el siguiente gráfico:
¿Qué significa que para las jóvenes de 17 años el percentil 3 del peso sea 42.5 kilos?
(1 punto)
15) Defina percentil 40
(1 punto)
16) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
(2 puntos)
Afirmación
El percentil 40 es siempre menor al percentil 80
El cuartil 1 es igual al percentil 25
El percentil siempre está en las mismas unidades de los datos
Si todos los pesos son iguales, la media ponderada es igual a la media aritmética
Notas importantes
Verdadero
Falso
65
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 4. Sesión 2
Ejercicio 47
Calcule la media, mediana y moda de los siguientes grupos de datos.
Grupo 1
1
2
3
5
5
5
7
8
9
1
4
4
5
5
5
6
6
9
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Grupo 2
Grupo 3
En base a sus resultados, ¿qué puede afirmar sobre los datos de cada grupo?
Notas importantes
66
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
2.5. Medidas de variabilidad
Con las medidas de tendencia central es posible determinar el valor central de una distribución,
pero no indican qué tan cercanos o lejanos están los datos de dicho valor central.
Las medidas de variabilidad indican cuán alejados están los valores de una variable del valor que
los representa y por lo tanto permiten evaluar la confiabilidad de ese valor central.
Cuando la medida de dispersión tiene un valor pequeño, los datos están concentrados alrededor de
la medida de tendencia central, en cambio si la medida de dispersión tiene un valor grande, los datos no están concentrados alrededor de la medida de tendencia central.
Varianza
La varianza es el promedio de los cuadrados de la diferencia de cada dato con la media. Las unidades de la varianza son las unidades de los datos al cuadrado.
La fórmula para la varianza poblacional es
N
2 
 ( x  )
2
i
i 1
N
La fórmula para la varianza muestral de datos no agrupados es
n
s2 
 x
i
 x
2
i 1
n 1
La fórmula para la varianza muestral de datos agrupados es
k
 f x
i
s2 
i
 x
2
i 1
n 1
La fórmula para la varianza muestral de datos agrupados por intervalos es
k
 f x   x 
i
s2 
Desviación estándar
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Notas importantes
i
i 1
n 1
2
67
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 48
Calcule la desviación estándar muestral de los siguientes datos
12
10
2
4
2
6
2
4
5
3
11
4
2
7
Ejercicio 49
Calcule la desviación estándar muestral de los siguientes datos.
xi
fi
10
5
45
10
55
36
58
4
75
3
Ejercicio 50
El gerente de ventas de una empresa desea conocer la distribución de los volúmenes de venta en el
último mes. Para obtener los datos necesarios se calculan los montos de ventas mensuales (marzo de
2010) de cada vendedor. A continuación se muestra los siguientes datos:
Ventas, en miles de dólares
Marca de clase
Número de vendedores fi
5,0
-
7,8
3
7,8
-
10,6
10
10,6
-
13,4
28
13,4
-
16,2
9
Calcule la desviación estándar muestral.
Notas importantes
68
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Propiedades de la varianza y la desviación estándar
La varianza y la desviación estándar son números reales no negativos.
Se pueden calcular para variables medidas en escala de intervalo o razón.
Se ven afectadas por valores extremos.
La varianza es expresada en unidades cuadráticas a las unidades de los datos, mientras que, la
desviación estándar es expresada en las mismas unidades de los datos.
Si cada uno de los n valores xi es transformado en yi = a xi + b, siendo a y b constantes, entonces,
la varianza de los n valores yi es:
S y2  a 2 S x2
Ejercicio 51
En una tienda la desviación estándar de los precios de los jeans es de 7.2 nuevos soles, si se realiza un
aumento del 12% de todos los precios, calcule la nueva desviación estándar de los precios de los jeans.
Ejercicio 52
En una tienda la desviación estándar de los precios de los jeans es de 7.2 nuevos soles, si se hace una
oferta y se rebaja 8 nuevos soles a todos los precios, calcule la nueva desviación estándar de los precios de los jeans.
Ejercicio 53
Compare los resultados de los ejercicios anteriores.
Notas importantes
69
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) de un conjunto de datos indica lo grande que es la desviación estándar
en comparación con la media.
La fórmula para el coeficiente de variación poblacional es:
CV 

 100%

La fórmula para el coeficiente de variación muestral es:
CV 
s
 100%
x
Es útil al comparar la variabilidad de dos o más series de datos que se expresan en distintas o iguales unidades, pero difieren a tal punto que una comparación directa de las respectivas desviaciones
estándar no es muy útil, por ejemplo, cuando las medias están muy distantes.
El coeficiente de variación se calcula en variables medidas en escala de razón.
Ejemplo 12
Los siguientes datos representan resúmenes del número de mediciones de resistencia de cierto artículo
que realizaron dos grupos de técnicos.
Grupo 1: media = 3 y desviación estándar = 1,10
Grupo 2: media = 5 y desviación estándar = 1,66
¿En cuál de los grupos el número de mediciones es más disperso?
Solución
Como los promedios son diferentes, se usa como indicador el coeficiente de variación:
 1,10 
CV1  
  100%  36,67%
 3 
 1,66 
CV2  
  100%  33,20%
 5 
El número de mediciones es más disperso en el grupo 1.
Notas importantes
70
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 54
El siguiente cuadro muestra la distribución de salario mensual de los empleados de dos empresas.
Sueldos (en nuevos soles)
Marca de clase
Empleados de la empresa A
Empleados de la empresa B
[1500 – 2500]
0
1
]2500 – 3500]
2
4
]3500 – 4500]
6
15
]4500 – 5500]
8
13
]5500 – 6500]
12
12
¿Cuál de los grupos presenta mayor variabilidad de salarios?
Si en la empresa A hay un aumento de sueldo del 15%, mientras que en la B se da una bonificación de
250 nuevos soles ¿Cuál de los grupos presenta mayor variabilidad de salarios?
Notas importantes
71
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Rango
El rango (alcance, amplitud o recorrido) de un conjunto de datos observados es la diferencia entre dato
mayor y el dato menor.
R = Xmax - Xmin
donde:
Xmax
: valor máximo observado de la variable
Xmin
: valor mínimo observado de la variable
Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón
Se ve muy afectado por valores extremos.
Rango intercuartil
Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil.
Rango intercuartil = RIC = Q3 – Q1= P75 – P25
Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón
No se ve muy afectado por valores extremos.
Ejercicio 55
El tiempo, en meses, que viene laborando 45 trabajadores en una empresa se registra en la siguiente
tabla.
6
19
22
7
19
22
11
19
22
12
19
23
13
19
23
15
19
24
15
19
26
15
19
26
Calcule el rango y el rango intercuartil de los datos.
Notas importantes
16
20
26
16
20
28
17
20
29
17
20
29
17
20
31
18
21
41
18
21
48
72
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 56
La siguiente tabla muestra información de los precios del artículo ABC (en nuevos soles) en establecimientos elegidos al azar en el distrito de La Molina.
Intervalo de
clase
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia absoluta
acumulada
–
4
–
0,150
–
0,300
–
8,35
22
8
–
–
Complete la tabla anterior si se sabe que el rango intercuartil es 0,8.
Notas importantes
Frecuencia relativa
acumulada
0,900
40
73
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
17) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
La desviación estándar se puede calcular en escalas de intervalo y de razón
El rango intercuartil se ve muy afectado por valores muy grandes
El rango intercuartil se puede calcular en escalas ordinales, de intervalo y de razón
El coeficiente de variación se puede calcular en escalas ordinales, de intervalo y de razón
La desviación estándar es siempre menor que la varianza
Si las unidades de los datos son minutos, la varianza se expresa en minutos al cuadrado
El rango se ve muy afectado por valores muy grandes o muy pequeños
El coeficiente de variación tiene las mismas unidades que la desviación estándar
Notas importantes
(4 puntos)
Verdadero
Falso
74
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 5. Sesión 1
Ejercicio 57
Calcule la media, desviación estándar y coeficiente de variación de los siguientes grupos de datos.
Grupo 1
1
2
3
4
5
6
8
8
8
2
2
2
4
5
6
7
8
9
Grupo 2
En base a sus resultados, ¿qué puede afirmar sobre los datos de cada grupo?
2.6. Medidas de asimetría
Coeficiente de asimetría de Pearson
Mide si los datos aparecen ubicados simétricamente o no respecto de la media.
Si el coeficiente de asimetría As es
igual a cero la distribución es simétrica alrededor de la media
positivo, indica sesgo a la derecha (cola derecha)
negativo indica sesgo a la izquierda (cola izquierda)
Notas importantes
75
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Coeficiente de asimetría para datos simples o agrupados
El coeficiente de asimetría para datos simples o agrupados se calcula con la siguiente fórmula:
As 
x  Moda
s
Ejercicio 58
El siguiente cuadro muestra la distribución de salario mensual de los empleados de dos empresas.
Sueldos (en nuevos soles) Empleados de la empresa A Empleados de la empresa B
[1500 – 2500]
2
1
]2500 – 3500]
20
6
]3500 – 4500]
12
25
]4500 – 5500]
6
6
]5500 – 6500]
1
1
Calcule la asimetría de los dos grupos. Realice una conclusión
Notas importantes
76
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 59
El salario, en cientos de soles, de los trabajadores una empresa se presenta a continuación:
15
13
19
14
15
16
15
16
18
15
42
24
36
15
15
23
24
Halle el coeficiente de asimetría de Pearson
Ejercicio 60
La empresa de investigación de mercados Apsos Consulting ha investigado acerca del porcentaje de
los ingresos totales que las familias del sector socioeconómico C y D destinan al rubro alimentación.
El siguiente gráfico muestra los resultados de dicha investigación.
Porcentaje relativo acumulada
Distribución del porcentaje de ingresos destinados a
alimentación NSE C y D
100%
100.0%
85.4%
80%
76.2%
60%
58.5%
40%
20%
20.0%
0%
10
20
30
Fuente: Apsos Consulting. Marzo 2010
40
50
Porcentaje de ingresos
¿Los datos presentan asimetría con cola derecha (positiva)?
Notas importantes
90.0%
60
70
80
77
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
2.7. Diagrama de cajas
Un diagrama de cajas es una gráfica que describe la distribución de un conjunto de datos tomando
como referencia los valores de los cuartiles como medida de posición y el valor del rango intercuartil
como medida de referencia de dispersión. Además, nos permite apreciar visualmente el tipo de distribución de los datos (simétrica o asimétrica) y la identificación de valores extremos (datos atípicos).
Dato atípico
Es un dato inusualmente grande o pequeño con respecto a los otros datos. Se considera dato atípico a
cualquier punto que esté:
a más de 1,5(RIC) por arriba (o a la derecha) del tercer cuartil
a más de 1,5(RIC) por debajo (o a la izquierda) del primer cuartil
Pasos para trazar un diagrama de cajas
Se traza un rectángulo con los extremos en el primer y tercer cuartil
En la caja se traza una recta vertical en el lugar de la mediana. Así, la línea de la mediana divide
los datos en dos partes iguales
Se ubican los límites mediante el rango intercuartil,
 el límite superior está a 1,5(RIC) arriba (o a la derecha) de Q3
 el límite inferior está a 1,5(RIC) debajo (o ala izquierda) de Q1
Se trazan los bigotes desde los extremos de las cajas hasta los valores mínimo y máximo dentro de
los límites inferior y superior.
Se marcan con un asterisco (*) las localizaciones de los valores atípicos.
La siguiente figura presenta un diagrama de cajas con datos hipotéticos.
Bigotes
Límite
inferior
Q1
Mediana Q3
**
*
1,5RIC
Notas importantes
Límite
superior
RIC
Valores atípicos
1,5RIC
78
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 13
Los siguientes datos corresponden a la cantidad de horas extras semanales realizadas por los trabajadores de una fábrica textil en una muestra aleatoria de 18 semanas.
Realice un diagrama de cajas con la información proporcionada.
38
39
40
40
40
41
41
41
42
42
42
43
43
44
46
48
50
61
Solución
Primer cuartil: Q1= 40, mediana: Q2= 42 y tercer cuartil: Q3= 44, RIC = 44- 40 = 4
LI  Q1  1,5( RIC )  40  1,5(4)  34
LS  Q3  1,5( RIC )  44  1,5(4)  50
Siguiendo los pasos sugeridos para trazar un diagrama de cajas y teniendo en cuenta los cálculos anteriores tenemos:
Número de horas extras realizadas semanalmente por los trabajadores
Observe que existe un valor atípico y que el bigote de la izquierda es más pequeño que el de la derecha
lo que indica que la distribución del número de horas extras trabajadas por los empleados de la fábrica
está sesgados a la derecha, en otras palabras esta distribución es asimétrica positiva.
Ejercicio 61
Se presenta las cantidades de préstamos personales utilizados para financiar la compra de muebles y
aparatos eléctricos. Obtenga un diagrama de cajas con los datos mostrados.
1200
1316
1424
1808
2060
2216
2344
2368
2620
2640
2880
2908
3404
3728
3740
3892
4000
4000
4760
4800
4876
5112
5552
5692
6100
6440
6600
7560
7600
12160
Notas importantes
79
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 62
El percentil 25 de un grupo de datos es 10, la mediana es 12 y el percentil 75 es 20. El mínimo de los
datos es 5 y el máximo es 34. Grafique el diagrama de cajas de los datos e indique el tipo de asimetría
que presenta.
Diagramas de caja comparativos
Una ventaja de los diagramas de cajas es que se pueden presentar varios juntos, ello permite la fácil
comparación visual de las características de varios conjuntos de datos
Ejemplo 14
Los registros policíacos muestran los siguientes números de informes de delitos diarios para una muestra de días durante los meses de invierno y una muestra de días durante los meses de verano.
Invierno
5
5
6
7
7
8
12
14
15
15
Verano
5
5
8
8
9
9
10
12
18
20
17
20
17
18
18
20
21
21
21
21
22
20
24
24
26
27
27
27
28
28
Construya un gráfico que permita comparar, entre invierno y verano, los valores medios, la variabilidad y encontrar los valores atípicos del número de delitos diarios.
Solución
Se debe calcular los percentiles con datos simples.
Para el invierno es:
P25  7,5 P50  16,0 P75  20,5 RIC  13,0 Límite inf  12,0 Límite sup  40,0
Para el verano es:
P25  9,0 P50  20,0 P75  26,5 RIC  17,5 Límite inf  17,25 Límite sup  52,75
30
25
20
15
10
5
Invierno
Notas importantes
Verano
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
80
Ejercicio 63
Se desea comparar el resultado de la primera práctica de tres horarios de Estadística Aplicada a los
Negocios, para lo cual, se tienen los siguientes resultados.
H1 0 10 10 11 10 10 10 11 11 12 12 12 12 12 12 13 14 15 17 17 18 18 19 19 20 20
H2 11 11 11 11 11 12 13 13 13 13 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 18 18 19 19 19
H3 0 1 1 3 3 4 5 10 11 11 12 12 13 13 13 14 15 15 16 16 16 16 17 18
Construya un diagrama de cajas que permita comparar el resultado de los horarios. Realice algunas
conclusiones.
Notas importantes
81
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
18) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
(2 puntos)
Verdadero
Falso
El coeficiente de asimetría no tiene unidades
Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta en 10%, el coeficiente de asimetría
no varía
Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta 10 unidades, el coeficiente de asimetría no varía
En un diagrama de cajas siempre se puede conocer el máximo y mínimo de un grupo de
datos
19) Complete el siguiente texto: “Los datos atípicos se define como …………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
(1 punto)
20) Complete el siguiente texto: “Se trazan los bigotes desde los … ……………... de las cajas hasta
los valores mínimo y máximo …………………. de los límites inferior y superior. (1 punto)
Notas importantes
Unidad 3
Logro de la unidad
Teoría de
probabilidad
Comprende los
diferentes conceptos
relacionados con
probabilidades y lo
utiliza adecuadamente
en situaciones reales.
Caso: La cachina
Después de varias pruebas
por parte de la consultora,
tenía finalmente el texto
aprobado de su encuesta.
Llamó a Sandra para salir a
tomar un trago. Cachina era
el bar de moda en esos momentos y para allá se fueron.
Se sentaron en uno de los
grandes sillones hechos con
material reciclado y los atendió una camarera vestida con
ropa hecha de hojas secas de
coca. La noche transcurrió
rápidamente. Tras tomarse
cuatro cachinas, la especialidad de la casa, un trago preparado con pisco acholado y
extracto de aguaymanto,
Sergio comenzó a hablar de
más, le cantó canciones en
inglés sin saber inglés, bailó
con ella y con coreografía,
bailo cumbia, Que levante la
mano… , bailó bachata, bailó
todo. Sandra, con cada pala-
los ojos. Recién se dio cuenta que ella miraba a un chico
que bailaba solo cerca de la
barra. Se sintió estafado,
comprendió que la cachina
era el lugar donde va a parar
todo lo que te roban en la
calle. Hizo lo que pudo para
que Sandra no se diera cuenta de su enojo, sonrió y le
susurró un poema de Mario
Benedetti, llamado Cálculo
de probabilidades:
bra, sonreía más. Sergio no
paraba de hablar. De pronto,
el quiso besarla, ella retrocedió, luego ella le quiso explicar, él retrocedió. Sergio no
entendía bien. Sandra al verlo contrariado se le acercó, le
dio una gran abrazo y le dijo
“Siempre seremos los mejores amigos”. Sergio la miró a
Debo saber
Calcular combinaciones
y permutaciones en mi
calculadora
Cada vez que un dueño de
la tierra proclama para
quitarme este patrimonio
tendrán que pasar sobre
mi cadáver debería tener
en cuenta que a veces pasan.
Sandra lo invitó a bailar una
vez más. Sergio llamó a la
camarera y pidió otra cachina más.
Contenido
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Vienen los ladrones ¿cómo repartir el dinero?
El problema del reparto ayudó
a crear la teoría de la probabilidad. Su solución tomó varios
siglos, desde el Renacimiento
hasta finales del siglo XVII. El
primer método correcto de
solución se puede encontrar en
la correspondencia entre Blas
Pascal (1623-1662) y Pierre
Fermat (1608-1665)
Dos jugadores A y B compiten por un premio que es
otorgado al primero que
gane cinco veces. Si el jugador A ya ganó tres veces
y el jugador B dos veces y
debido a una intervención
externa se debe abandonar
bruscamente el juego.
¿Cómo debe dividirse la
apuesta entre los jugadores, si cada uno apostó 50
monedas?
Evento
Probabilidad
Probabilidad condicional
Teorema de Bayes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
85
Semana 5. Sesión 2
3.1. Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades
El dado más antiguo tiene 5,000 años de antigüedad y fue descubierto en Persia
(ahora Irán).
Los dados se hacían originalmente de hueso, específicamente del hueso astrágalo
del pie y tenía 4 caras. Algunas culturas aún usan estos huesos para juegos de azar.
Los dados se mencionan en libros antiquísimos como el Rig Veda y la Biblia. El
juego con dados también era popular en la antigua Grecia, especialmente entre las
clases altas.
Entre los romanos, el juego con dados estaba muy regulado. Nadie que permitiera que se jugara dados en su casa
podía presentar una apelación ante las autoridades. Existían jugadores profesionales y casas de juego e, incluso, se
ha hallado un dado de 20 caras que proviene de los tiempos de la República.
El historiador Tácito dice de los alemanes que eran tan aficionados al juego de dados que incluso se jugaban su
propia libertad cuando no les quedaba otra cosa que apostar. Los dados fueron uno de los pasatiempos típicos de
los caballeros, aunque en Francia estaba legislado el uso de estos.
En la actualidad, los más populares son los dados con seis caras y es común que las esquinas estén redondeadas
para permitir que el dado dé más vueltas y el resultado sea aún menos predecible.
Tomado de http://tecnoculto.com/2009/01/07/los-inventos-que-cambiaron-el-mundo-107-el-dado/
Ejercicio 64
Indique en qué situaciones se podría usar un pensamiento probabilístico.
“Tengo un negocio y deseo estimar cuánto voy a vender hoy”
……………
“Quiero saber qué cantidad de mariscos debo comprar hoy en mi cevichería”
……………
“El pulpo Paul predice la final del Mundial de Sudáfrica 2010?
……………
“Aplico una fuerza determinada a una cierta masa ¿cuánto se acelerará?”
……………
“Compró diez mandarinas ¿cuántas de ellas estarán sabrosas?”
……………
“Llego a la ventanilla de un banco ¿cuánto tiempo le tomará atenderme?
……………
¿Será verdad que Lourdes Flores está primera en la intención de voto para Lima?
……………
“He estudiado mucho para el examen ¿lo aprobaré?”
……………
“Voy a patear un penal y con ello Perú irá al Mundial, ¿lo meteré?”
……………
“Me voy a casar con la persona indicada ¿me divorciaré algún día?”
……………
“He tomado mucha cerveza y estoy manejando ¿chocaré?”
……………
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
86
Experimento aleatorio
Es todo proceso que genera resultados bien definidos que cumple con las siguientes características:
Se puede repetir indefinidamente donde los resultados dependen del azar, por lo que no se pueden
predecir con certeza
Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles
Cuando se repite en un gran número de veces, aparece un modelo definido de regularidad
Se le suele simbolizar como .
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se le suele simbolizar
como S.
Ejercicio 65
Indicar, para cara uno de los siguientes experimentos aleatorios, los respectivos espacios muestrales.
Lanzar una moneda ………………………………………………………………………………….
Jugar un partido de fútbol ……………..……………………………………………………………..
Jugar un partido de tenis ……………………………………………………………………………..
Lanzar un dado ………………………………………………………………………………………
Lanzar dos dados ……………………………………………………………………………………
3.2. Eventos y sus probabilidades
Evento
Un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Ejercicio 66
Defina eventos a partir de los siguientes experimentos aleatorios.
Lanzar una moneda ………………………………………………………………………………….
Jugar un partido de fútbol ……………..……………………………………………………………..
Jugar un partido de tenis ……………………………………………………………………………..
Lanzar un dado ………………………………………………………………………………………
Lanzar dos dados ……………………………………………………………………………………
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
87
Definición clásica de la probabilidad de un evento
Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral S está formado por un número n
finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir, entonces definimos la
probabilidad de un evento como:
P ( A) 
número de casos favorables al evento A n  A 

número total de casos
n
También se usa la definición de probabilidad frecuentista, subjetiva y axiomática.
Ejercicio 67
De un mazo de 52 cartas se saca una carta al azar, calcular la probabilidad de que sea 6.
Ejercicio 68
Calcular la probabilidad de que al sacar una carta de un mazo esta sea menor a 5 y de espadas.
Ejercicio 69
Calcular la probabilidad de que al sacar una carta de un mazo esta sea menor a 5 o de espadas.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
88
Ejercicio 70
Se lanzan dos dados, calcular la probabilidad de que la suma sea 6.
Ejercicio 71
Se lanzan dos dados, calcular la probabilidad de que la suma sea mayor a 6.
Ejercicio 72
Una bolsa de dulces, contiene 24 dulces de etiqueta negra y 24 de etiqueta azul; de los de etiqueta
negra cinco son de piña y el resto de naranja; mientras que los de etiqueta azul doce son de fresa y el
resto de menta. Se selecciona un dulce al azar.
Determine la probabilidad que el dulce sea de naranja
Determine la probabilidad que el dulce sea de etiqueta azul sea de sabor piña o etiqueta azul.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
89
Ejercicio 73
Un experimento consiste en lanzar primero un dado para después lanzar una moneda, siempre y cuando el número del dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se lanza dos veces.
Determine el espacio muestral de este experimento.
Calcule la probabilidad de que el resultado del dado sea par.
Ejercicio 74
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras.
¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?
¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
Ejercicio 75
Un experimento consiste en lanzar dos dados. Calcular la probabilidad de que la resta del número mayor menos el número menor sea mayor a dos.
Notas importantes
90
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
21) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
Afirmación
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles eventos de un experimento aleatorio
En un experimento aleatorio cuando se repite en un gran número de veces, no aparece
un modelo definido de regularidad
En algunos casos especiales la probabilidad de un evento podría ser mayor que uno
Un evento es un subconjunto del experimento aleatorio.
Notas importantes
(2,0 puntos)
Verdadero
Falso
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
91
Semana 6. Sesión 1
Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones
Regla de la adición
Número de formas posibles de realizar alguna de n operaciones si una operación puede realizarse de
K1 formas, una segunda operación se puede realizar de K2 formas, ... y la n-ésima operación se puede
realizar de Kn formas y además todas las operaciones son mutuamente excluyentes.
K1 + K2 + K3 + . . . + Kn
Ejercicio 76
Una persona puede viajar de la ciudad A a la ciudad B por carretera de cuatro formas y por avión de
dos formas. ¿De cuántas formas puede viajar la persona de la ciudad A a la B?
Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples
Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en la que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a
(n1)(n2)…(nk)
Ejercicio 77
Una joven tiene 37 polos, 19 pantalones y 12 pares de zapatos ¿de cuántas maneras diferentes se puede
vestir?
Ejercicio 78
Un alumno para dirigirse de la universidad a su domicilio debe de realizarlo de la siguiente manera:
primero tomará un bus de la universidad al Paradero 1, para ello tiene tres líneas alternativas, luego
tomará otro bus del paradero 1 a su domicilio, que tiene la opción de elegir entre cinco líneas ¿de
cuántas maneras puede llegar a su destino?
Notas importantes
92
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Regla de conteo para combinaciones
La cantidad de formas de seleccionar x objetos de un total de n objetos distinguibles sin tomar en
cuenta el orden es:
Cxn 
n!
x !(n  x)!
Ejercicio 79
En una empresa hay 40 personas y se va a elegir un comité de tres personas para organizar la fiesta de
fin de año. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir dicho comité?
Ejercicio 80
Una persona realiza una jugada de la Tinka, que es un juego de lotería que consiste en elegir 6 números de 45 números posibles. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir esa jugada?
Notas importantes
93
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Regla de conteo para permutaciones (variaciones)
La cantidad de formas en que se puede ordenar x objetos seleccionados de un total de n objetos distinguibles es:
Pxn 
n!
n  x !
Ejercicio 81
De un grupo de 12 vecinos de un edificio, se desea escoger a tres personas al azar para que ocupen los
puestos de presidente, tesorero y vocal de la junta de administración del edificio. ¿De cuántas maneras
diferentes se puede hacer dicha elección?
Ejercicio 82
Un grupo de doce personas hace cola en un cine para comprar una entrada.
¿De cuántas maneras diferentes pueden formar la cola las doce personas?
¿De cuántas maneras diferentes pueden formar la cola, si el más grande tiene que estar en el primer
sitio y el más bajo en el último?
¿De cuántas maneras diferentes pueden formar la cola, si el más grande y el más bajo tienen que estar
en los extremos?
¿De cuántas maneras diferentes pueden formar la cola, si el más grande y el más bajo tienen que estar
juntos?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
94
Ejercicio 83
Cuatro libros diferentes de Matemática,(M1,M2,M3,M4), tres de Estadística (E1,E2 y E3) deben ser colocados en un estante ¿de cuántas maneras diferentes pueden colocarse?
Si los libros de cada materia deben estar juntos
Si sólo los libros de Estadística deben estar juntos.
Ejercicio 84
En una mesa de sufragio para una elección de presidente de la nación, se debe elegir entre los de educación superior a 6 miembros para que ocupen los cargos de presidente y dos secretarios, tanto titulares como suplentes. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger a estos 6 miembros si hay 89
personas que tienen educación superior?
Notas importantes
95
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
3.3. Algunas relaciones básicas de probabilidad
Complemento de un evento
Dado un evento A, se define como su complemento AC, como el evento formado por todos los
puntos muestrales que no están en A.
Se cumple que
P ( A)  1  P A C 
Ejercicio 85
Complete los espacios en blanco
La probabilidad de que una persona consiga un trabajo es 0.70, por lo tanto, la probabilidad de que
no lo consiga ……………………….
La probabilidad de que una persona gane la Tinka con una jugada es del 0.0000123%, por lo tanto,
la probabilidad de que no la gane en una jugada es …………………………%.
Ejercicio 86
Una persona compra diez manzanas. Escriba el evento complementario a los siguientes eventos
A = Por lo menos dos manzanas estén jugosas
B = Dos manzanas estén jugosas
C = Alguna manzana esté jugosa
Ejercicio 87
De los 16 solicitantes para un trabajo, 10 tienen título universitario. Si se escogen cuatro solicitantes al
azar para entrevistarlos, calcule la probabilidad de que al menos uno tenga título universitario
Notas importantes
96
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Operaciones con eventos
Unión de eventos
Es el conjunto de los resultados que están en uno o en ambos eventos.
Se denota por (A B)
Intersección de eventos
Es el conjunto de los resultados que están en ambos eventos.
Se denota por (A B)
Ley aditiva para eventos cualesquiera
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Ejercicio 88
 
 



 
Si P A C = 1/3, P  A  B   5 / 6 , P B C =1/2, determine P A  B C y P A  B C  A C  B

Ejercicio 89
La probabilidad de que una María no apruebe su curso de estadística es de 1/3, que apruebe María o
Pedro es 5/6 y que no apruebe Pedro es 1/2. Determine la proobabilidad de que solo uno de ellos
apruebe el curso.
Notas importantes
97
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si son disjuntos; es decir, su intersección es nula.
Ejercicio 90
Indicar si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes
A: estudio mucho el curso Estadística, B: no apruebo el curso Estadística
Ejercicio 91
 
 
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes P A C = 3/4, P B C =2/3, determine P A  B  ,

P A  B  y P A  B
C

Ejercicio 92
En un puesto de venta de dvd piratas rematan 30 discos de los cuales 3 son defectuosos. María elige al
azar 12 discos, Juan 15 discos y José el resto, sin probarlos. Calcular la probabilidad de que a uno de
ellos le toque todos los defectuosos.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
98
Ejercicio 93
En una mina todos los días, en la mañana, se eligen al azar a dos personas de cada cuadrilla para tomarles un examen que determina si han consumido alcohol el día anterior. En la cuadrilla A hay 40
obreros y en la B hay 35, de los cuales 2 y 5 obreros consumieron alcohol el día anterior, respectivamente. Calcular la probabilidad de que ese día se detecten obreros que consumieron alcohol solamente
de una cuadrilla.
Notas importantes
99
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
22) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
(1 punto)
Afirmación
Verdadero
Falso
Si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la ocurrencia de uno de ellos no
influye en la ocurrencia del otro
El complemento del evento A es mutuamente excluyente con el evento A
Semana 6. Sesión 2
Ejercicios para la práctica calificada 2
Fórmulas adicionales para práctica calificada 2
N

Media poblacional
x
i 1
i
N
n
x
Media muestral de datos no agrupados
x
i
i 1
n
k
x f
i i
x
Media muestral de datos agrupados
i 1

n
k
x h
i i
i 1
k
 x f
i
Media muestral de datos agrupados por intervalos
Mediana de datos agrupados
Moda de datos agrupados
Notas importantes
x
Me  Li 
i 1
n
i

k
 x h
i i
i 1
w n
w1


  Fi 1   Li    H i 1 
fi  2
hi  2


 d1
Mo  Lmo  
 d1  d 2

 w

100
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
n
x w
i
i
i 1
n
xw 
Media ponderada
w
i
i 1
Percentiles de datos agrupados
Pk  Li 
w  nk
w k


 Fi 1   Li  
 H i 1 

f i  100
hi  100


N
 ( x  )
2 
Varianza poblacional
i 1
N
n
Varianza muestral de datos no agrupados
s2 
 x
i
 x
n 1
 f x
i
s2 
2
i 1
k
Varianza muestral de datos agrupados
2
i
i
 x
2
i 1
n 1
k
 f x   x 
i
2
i
i 1
Varianza muestral de datos agrupados por intervalos
s2 
Coeficiente de variación poblacional
CV 

 100%

Coeficiente de variación muestral
CV 
s
 100%
x
Rango
Rango intercuartil
R = Xmax - Xmin
RIC = Q3 – Q1= P75 – P25
Coeficiente de asimetría
As 
Probabilidad clásica
P ( A) 
n 1
x  Moda
s
número de casos favorables al evento A n  A 

número total de casos
n
Regla de la adición
Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples
K1 + K2 + K3 + . . . + Kn
(n1)(n2)…(nk)
Regla de conteo para combinaciones
Cxn 
n!
x !(n  x)!
Regla de conteo para permutaciones (variaciones)
Pxn 
n!
n  x !
Complemento de un evento
P ( A)  1  P A C 
Ley aditiva para eventos cualesquiera
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Notas importantes
101
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 7. Sesión 1
3.4. Probabilidad condicional
La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento conociendo cierta información (condición).
P
 A B   P(PA(B)B)
Ejemplo 15
La mayoría de las estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina: 84 octanos, 95 octanos y 97
octanos. Con frecuencia, alguna de cada está enriquecida con un aditivo. La tabla siguiente ilustra los
porcentajes de clientes que prefieren cada tipo.
90 octanos (B)
95 octanos (C)
97 octanos (D)
Total
Con aditivo(A)
0,05
0,10
0,05
0,20
Sin aditivo (A/)
0,15
0,40
0,25
0,80
0,20
0,50
0,30
1,00
Total
Se selecciona al azar un cliente que ha comprado uno de estos tipos de gasolina:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina con aditivo o no sea de 95 octanos?
P ( A  C )  P( A)  P(C )  P( A  C )  0,20  0,50  (0,05  0,05)  0,60
b) Si el cliente no compró gasolina de 95 octanos, ¿cuál es la probabilidad de que hay comprado gasolina de 97 octanos?
 
P( D  C ) 0,30
PD  

 0,60
C
P( D )
0,50
c) Si el cliente no compró gasolina de 90 0ctanos, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado
gasolina sin aditivo?


P( A  B ) 0,65
P A  

 0,8125
B
P( B )
0,80
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
102
Ejercicio 94
En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática se
preguntó a todos los peruanos por los servicios de comunicación con los que contaba su hogar y su
área de residencia, obteniéndose los siguientes resultados:
Servicios con que los cuenta el hogar
Urbano
Rural
Total
Hogares sin ningún tipo de servicio
1,682,454 1,468,889 3,151,343
Solo tienen teléfono fijo
480,831
6,170 487,001
Solo tienen teléfono celular
1,299,037 138,721 1,437,758
Solo tienen Internet
3,336
275
3,611
Solo tienen TV por cable
56,343
2,688
59,031
Tienen teléfono fijo y teléfono celular
506,759
2,912 509,671
Tienen teléfono fijo e Internet
15,684
31
15,715
Tienen teléfono fijo y TV por cable
117,733
186 117,919
Tienen teléfono celular e Internet
9,970
84
10,054
Tienen teléfono celular y TV por cable
204,563
1,981 206,544
Tienen Internet y TV por cable
1,288
19
1,307
Tienen teléfono fijo, teléfono celular e Internet
93,103
110
93,213
Tienen teléfono fijo, teléfono celular y TV por cable 326,181
468 326,649
Tienen teléfono fijo, Internet y TV por cable
19,732
9
19,741
Tienen teléfono celular, Internet y TV por cable
15,424
49
15,473
Los cuatro servicios
298,911
133 299,044
Total 5,131,349 1,622,725 6,754,074
Indique el elemento y las variables estudiadas en esta investigación.
Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sólo cuente con un servicio?
Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos un servicio en su
casa?
Notas importantes
103
Si se selecciona un hogar de zona rural, ¿cuál es la probabilidad de que no cuente con ningún servicio?
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Si se selecciona un hogar que no cuenta con ningún servicio, ¿cuál es la probabilidad de que sea de
zona rural?
Si se selecciona un hogar de zona urbana, ¿cuál es la probabilidad de que cuente con tres servicios por
lo menos?
Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona rural y que tenga todos
los servicios?
Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos dos servicios y sea de
zona rural?
Si se selecciona a un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona urbana o que tenga
todos los servicios?
Notas importantes
104
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 16
En una ciudad se publican tres periódicos: A, B y C. El 60% de las familias están suscritos al A, 50%
al B y 50% al C. También, se conoce que 30% de las familias lo están en A y B, 20% en B y C, 30%
en A y C, y 10% en los tres. Calcule la probabilidad de que una familia escogida al azar
a. esté suscrita al periódico, si se sabe que no está en B
b. esté al periódico A, si se sabe que lo está en por lo menos dos periódicos
c. no esté suscrita al periódico A, si resabe que lo está en cuando más un periódico.
Solución
Los datos del enunciado se resumen en el siguiente diagrama:
Sean los eventos
D: Una familia está suscrita en por lo menos dos periódicos
B
A
N: Una familia está suscrita en cuando más un periódico
Notar que el evento D ocurre cuando una familia está suscrita en
dos periódicos o en tres periódicos.
El evento N ocurre cuando una familia está suscrita en ningún
periódico o en un periódico
Se observa además que existe 10% de familias que no están suscritos a ningún periódico.
P( A  B ) 0,30

 0,60
P( B)
0,50
P ( A  D) 0,50 5
b) P( A / D) 


P( D)
0,60 6
P( A  N ) 0,30
c) P ( A / N ) 

 0,75
P( N )
0,40
a)
P ( A / B ) 
Notas importantes
C
105
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ley multiplicativa para eventos cualesquiera
La ley multiplicativa se usa para calcular la probabilidad de una intersección de eventos
 A  P  B  P  A B 
P  A  B   P  A P B
Ejercicio 95
Un sistema de alarma tiene dos componentes, el segundo se activa si el primero falla. La probabilidad
de que el primer componente falle es 0.05 y la probabilidad de que el segundo componente falle si el
primero ha fallado es 0.1. Calcular la probabilidad de que fallen los dos componentes.
Ejercicio 96
Para elegir a una persona entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los
tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana. ¿Quién lleva
más ventaja: el primero, el segundo o el tercero?
Notas importantes
106
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Probabilidad total
Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak, mutuamente excluyentes y que constituyen una partición del espacio muestral S, entonces para cualquier evento B de S se cumple:
P B   PB  A1   PB  A2   PB  A3   ...  PB  Ak 
PB   P  A1 PB / A1   P A2 PB / A2   ...  P Ak PB / Ak 
A2
A1
B
…
A3
Ak
Árbol de probabilidades
/A 1)
P( B 1
)
(A 1
P
P (A
2)
P(A1 y B1) = P(A1) . P(B1/A1)
P (B /
2 A )
1
P(A1 y B2) = P(A1) . P(B2/A1)
/A 2)
P( B 1
P(A2 y B1) = P(A2) . P(B1/A2)
P(B
2 /A )
2
P(A2 y B2) = P(A2) . P(B2/A2)
Si los eventos Ai y Bi son independientes, el árbol de probabilidades se simplifica dado que las probabilidades condicionales serían iguales a las probabilidades simples correspondientes.
Notas importantes
107
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
3.5. Teorema de Bayes
Si los k eventos A1, A2, A3, ..., Ak, constituyen una partición del espacio muestral S, entonces para
cualquier evento B de S tal que P(B) > 0, se cumple:
P

Ai
  P Ai  B 
B 
P B 
Por definición de probabilidad condicional y probabilidad total se tiene que:
P

Ai
P Ai P B / Ai 

B  P A PB / A   P A PB / A   ...  P A PB / A 
1
1
2
2
k
k
El teorema de Bayes determina la probabilidad de un determinado evento se deba a una causa
específica.
Ejemplo 17
El departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas de 0,3; 0;3 y 0,4. La probabilidad de que
una venta sea por más de $50, es igual a 0,2 si ésta es en efectivo, es igual a 0,9 si ésta es con cheque y
es igual a 0,6 si ésta es al crédito.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre por más de $50?
b. Si compra por más de $50, ¿qué es más probable que haya pagado en efectivo, con cheque o al
crédito?
Solución
Sean los eventos:
E: La compra se realiza con dinero en efectivo
CH: La compra se realiza con cheque
C: La compra se realiza al crédito
M: La compra es por más de $ 50
M´: La compra no es por más de $ 50
Con la información proporcionada, construimos el siguiente diagrama de árbol:
Se pide calcular:
P ( M )  (0,30)(0,20)  (0,30)(0,90)  (0,40)(0,60)  0,57
(0,30)(0,20) 2
b) P ( E / M ) 

0,57
19
a)
P (CH / M ) 
P (C / M ) 
(0,30)(0,90) 9

0,57
19
(0,40)(0,60) 8

0,57
19
Se observa que es mas probable la compra se haya hecho con cheque.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
108
Ejercicio 97
Un gobierno aprobó una ley por la cual todos los empleados públicos se deben hacer una prueba para
detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 2.5% de los empleados públicos del país son usuarios de drogas. La prueba da positivo al ser administrada a un usuario de drogas con una probabilidad
del 98% y si la persona no usa droga alguna, la prueba da un resultado negativo en el 99% de los casos.
Si se selecciona a un empleado al azar, se le administra la prueba, ¿cuál es la probabilidad que de un
resultado positivo al uso de droga?
Si se selecciona a un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado negativo,
¿cuál es la probabilidad de que la persona sea un usuario de drogas?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
109
Ejercicio 98
La empresa Flashner Marketing se especializa en proporcionar evaluaciones de perspectivas de venta
a tiendas de ropa para dama en centros comerciales. Flashner Marketing evalúa las perspectivas de
ventas como buenas, regulares o malas.
Los registros de las perspectivas de ventas indican que en 60% de los casos, las perspectivas de ventas
son buenas, en 30% son regulares y el resto son malas:



de las evaluadas como buenas, 80% dieron utilidades durante el primer año
de las evaluadas como regulares, 60% produjeron utilidades el primer año
el 2% fueron clasificadas como malas y arrojaron utilidades durante el primer año.
Delaveaux, es una reconocida tienda de ropa para dama, que fue uno de los clientes de Flashner que
obtuvo utilidades el primer año. ¿Cuál es la probabilidad de que Delaveaux haya sido evaluado en su
perspectiva de venta inicial como mala?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
110
Ejercicio 99
La probabilidad de que un cajero terminalista muy capacitado de un banco declare que un billete de
100 dólares es falso, si lo es realmente, es de 98%, mientras que crea que es falso un billete verdadero
es de 0.4%. Si un cajero terminalista ha declarado un billete como falso, calcular la probabilidad de
que sea verdadero. Por datos históricos se sabe que el 1.5% de los billetes de 100 dólares que llegan a
ese banco son falsos.
Notas importantes
111
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
23) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
Verdadero
El teorema de Bayes determina la probabilidad de un determinado evento se deba a una
causa específica
La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento conociendo
cierta información (condición).
 B   0.3 , entonces, se cumple que PA B   0.7
  0.7
Si P A   0.3 , entonces, se cumple que P A
B
B
Si
PA
C
C
Notas importantes
(2 puntos)
Falso
112
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 7. Sesión 2
3.6. Eventos independientes
Dos eventos A y B son independientes si se cumple:
P
 A B   P  A
y
 A  P  B 
P B
Si dos eventos A y B son independientes se cumple que
P ( A  B )  P( A) P( B)
Si tres eventos A, B y C son independientes se cumple que
P A  B  C   P APB PC 
Ejercicio 100
En la fabricación de un producto que posee alta demanda, se presenta tres tipos de defectos uno, dos y
tres, cada una con probabilidades de 0,02; 0,04 y 0,06 respectivamente. Los defectos ocurren de manera independiente.
Si se elige al azar un producto, calcule la probabilidad de que no presente defectos
Si se elige al azar un producto, calcule la probabilidad de que presente al menos dos defectos.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
113
Ejercicio 101
Lucía y Daniella les han mentido a sus padres para poder ir a una fiesta rave. La probabilidad de que
la mentira sea descubierta por los padres de Lucía es del 35%, mientras que la probabilidad de que lo
hagan los padres de Daniella es del 40%. Los padres de ambas no se conocen y no hay forma que se
ubiquen en esa noche.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las chicas sea descubierta como mentirosa?
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las chicas sea descubierta como mentirosa?
¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las chicas sea descubierta como mentirosa?
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
114
Ejercicio 102
El pulpo Paul es un octópodo que ha sido empleado como oráculo para
predecir los resultados de la selección alemana de fútbol en el Mundial de
Fútbol 2010, acertando los ocho emparejamientos que se le propusieron,
los siete partidos de Alemania en la Copa Mundial de Fútbol de 2010 y la
final entre España y Holanda.
Antes de cada partido, a Paul se le presentaron dos contenedores idénticos
con comida: uno de ellos estaba marcado con una bandera, usualmente la
de Alemania y el otro con la bandera del equipo oponente. La elección de Paul se interpretaba como el
equipo que lograría la victoria.
Si el pulpo Paul, en realidad, escogió los contenedores al azar, calcule la probabilidad de acertar en los
resultados de los ocho los partidos que le propusieron. Asuma independencia entre cada elección
Ejercicio 103
Un joven sabe por experiencias pasadas que la probabilidad de que, en una gran fiesta, una chica acepte bailar con él es del 4%. Si en una fiesta saca a bailar a 40 chicas. Asuma independencia entre la
decisión de una chica y otra. Calcule la probabilidad de que baile por lo menos con una de ellas.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
115
Ejercicio 104
Una compañía de comida rápida sabe que el 85% de sus tiendas por franquicia tendrán éxito comercial. Si el éxito de cada tienda se puede considerar independiente de las demás tiendas. Calcule la probabilidad de que al menos dos tiendas tengan éxito, si la compañía va a instalar 20 tiendas el año 2011.
Notas importantes
116
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
24) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
(3.0 puntos)
Verdadero
Falso
Si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces serán también independientes
Si dos eventos son independientes entonces pueden ser mutuamente excluyentes
Si dos eventos son independientes entonces la ocurrencia de uno de ellos no influye en la
ocurrencia del otro evento
 B   P A esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes
Si P A   P  A esto implica que A y B son eventos independientes
B
Si P A   0 esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes, si P(B)>0
B
Si
PA
Fórmulas adicionales para el examen parcial
 A B   P(PA(B)B)
P  A  B   P  A P  B   P  B  P  A 
A
B
P
Probabilidad condicional
Ley multiplicativa para eventos cualesquiera
Probabilidad total
PB   P A1 PB / A1   P A2 PB / A2   ...  P Ak PB / Ak 
Teorema de Bayes
P

Eventos independientes
P ( A  B )  P( A) P( B)
Notas importantes
Ai
P  Ai PB / Ai 


B  P A P B / A   P A P B / A   ...  P  A PB / A 
1
1
2
2
k
k
Unidad 4
Logro de la unidad
Variable
aleatoria
Explica adecuadamente el
concepto de variable
aleatoria, analizando el
comportamiento de las
variables mediante modelos
matemáticos. Asimismo
utiliza satisfactoriamente el
concepto de valor esperado
en la toma de decisiones.
Caso: Noticias antiguas
SergioSergio quería ver si la
Estadística que le habían
enseñado en la universidad
servía para algo. Abrió la
versión impresa de su periódico La Prensa y miró cada
página y se percató que en
prácticamente todas las secciones había datos estadísticos, gráficos o cuadros, que
eran resultado de alguna investigación.
Sabía que a Sandra le gustaba eso de recolectar datos,
“Chismosa” le decía él
Recordó lo mal que terminó
la noche en la Cachina.
“Nunca debes quedarte dormido, ni gritar” se repetía
una y otra vez, pero ¿cómo
competir contra lo que no se
conoce?
Pensó en pedirle disculpas,
reparar su comportamiento y
hacerle un regalo diferente,
que no se pareciera a ningún
otro regalo.
Comenzó a preguntar a sus
amigos y amigas, sobre los
regalos más frecuentes, hizo
una lista: peluches (ositos
gatitos, perritos sobre todo),
rosas rojas, chocolates, polos, billeteras (sobre todo
ellas a ellos). ¿Qué podría
regalar que fuera original?
para el viaje, investigar las
culturas preincas, tomar datos, ayúdame pues Sandra.
Luego de varios minutos de
conversación, de explicaciones, colgó algo triste. Ella le
había dicho que no.
Reconoce, modela y analiza
procesos aplicando las
distribuciones de
probabilidad y de densidad
más utilizadas para la toma
de decisiones, valorando la
importancia de la
investigación del trabajo
estadístico precedente.
Debo saber
Plantear y graficar
funciones como rectas,
parábolas, valor absoluto, etc.
Calcular el valor esperado y varianza para
variables discretas en
mi calculadora
Nuevamente abrió el periódico en su versión web, pasó
pantallas y pantallas, de
pronto lo vio el destino de
viaje perfecto, cerca de Lima, con misterio e historia.
Realizar integrales
polinómicas en la calculadora si esta lo
permite
Levantó el teléfono, intentó
buscar una buen pretexto
Contenido
Variable aleatoria
discreta
¿Moivre o Gauss?: la distribución normal
La distribución normal fue
presentada por Abraham de
Moivre en 1733. Su resultado
fue ampliado por Laplace en
su libro Teoría analítica de las
probabilidades (1812).
res de experimentos. Gauss la
usó cuando analizaba datos
astronómicos en 1809 y algunos autores le atribuyen un
descubrimiento independiente
del de De Moivre.
Laplace usó la distribución
normal en el análisis de erro-
El nombre de "campana" viene
de Esprit Jouffret en 1872 El.
nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S.
Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.
Tomado de http://es.wikipedia.org
Variable aleatoria
continua
Distribuciones de probabilidad
Valor esperado y varianza de una variable
aleatoria
119
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 9. Sesión 1
4.1. Variable aleatoria
Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experimento.
La variable aleatoria atribuye a cada evento un número que no es aleatorio o imprevisible, sino fijo y
predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo espacio muestral se define la variable aleatoria.
4.2. Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta si el conjunto de valores que puede tomar es finito o infinito numerable. Una variable aleatoria discreta asume cada uno de los valores con cierta probabilidad que se
denota P(X = x)
Número de alumnos matriculados por curso.
Cantidad de preguntas correctamente contestadas en una evaluación de personal.
Cantidad de clientes que visitan un centro comercial en un día determinado.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se describe como una función de
probabilidad representada por f(x) que asigna a cada valor de la variable aleatoria, la probabilidad de
que X asuma ese valor, esto es:
f(x) = P(X = x)
Toda función de probabilidad debe cumplir que:
f(x)  0
n
 f (x )  1
i 1
i
Ejemplo 18
Calcule a para que la siguiente función sea una función de probabilidad
f  x   ax
x  10, 15, 20, 25
Solución
Tiene que cumplir dos condiciones.
La primera condición, f(x)>0, se cumple cuando a es mayor que cero, puesto que x>0
n
La segunda condición,
 f ( x )  1 , se cumple si
i 1
cuando 70a =1, luego a =1/70
Notas importantes
i
a10  15a  20a  25a  1 , esto se cumple
120
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 105
Indique cuáles de las siguientes funciones pueden ser funciones de probabilidad.
f(x)
f(x)
0,3
0,3
A
B
0,2
0,1
0,1
-2
-1
0,2
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
0
1
2
3
4
f(x)
f(x)
0,3
0,3
0,2
0,2
D
C
0,1
0,1
0
1
2
3
4
x
x
Ejercicio 106
Indique cuáles de las siguientes funciones pueden ser funciones de probabilidad.
x

f  x   10
 0
x  1, 2, 3, 4
en otro caso
Notas importantes
0.5 x 2
f x   
 0
0.3  0.7 x 1
f x   
0
en otro caso

x  1, 1
x  1, 2, 3,....
en otro caso
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
121
Ejercicio 107
Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior. Determine y
grafique la función de probabilidad de la variable X.
Ejercicio 108
Se lanza dos dados a la vez, sea la variable aleatoria X igual a la suma de los números de las caras
superiores. Determine y grafique la función de probabilidad de la variable X.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
122
Ejercicio 109
Una compañía constructora quiere comprar terrenos para construir edificios, para lo cual busca continuamente terrenos en varios distritos de Lima. La empresa sabe por experiencias anteriores que solo el
8% de los terrenos visitados cumple sus requisitos.
Calcular la función de probabilidad de la variable X:= número de visitas necesarias hasta encontrar el
primer terreno adecuado para construir el edificio
Luego de muchas visitas, la constructora encuentra diez terrenos posibles pero dos de ellos tienen problemas legales, aunque la constructora no lo sabe. Por la premura del tiempo deciden elegir al azar tres
terrenos para comprar, calcular la función de probabilidad de la variable Y: número de terrenos sin
problemas legales
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
123
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una distribución de
probabilidad de X se denota E(X).
n
 X  E  X    xi f  xi   x1 f  x1  x 2 f  x 2   ...  x n f  x n 
i 1
Ejercicio 110
Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior. Calcule el
valor esperado de la variable X.
Ejercicio 111
Se lanzan dos dados y sea la variable aleatoria X igual a la suma de los números de las caras superiores. Calcule el valor esperado de la variable X.
Notas importantes
124
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Valor esperado de una función de variable aleatoria
Sea g(x) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de g(x) es:
n
E g  x    g xi  f xi   g  x1  f  x1  g  x 2  f x 2   ...  g  x n  f  x n 
i 1
Ejemplo 19
Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcular el valor esperado de X2
f ( x)  ax 1, 2, 3, 4, 5
Solución
5
Lo primero es determinar a, planteamos que
 f x   1 , de donde a = 1/15. Nos piden
i 1
 
5
E X 2   xi2 f  xi   12
i 1
i
1
1
1
1
1
1  2 2 2  3 2 3  4 2 4  5 2 5  15
15
15
15
15
15
Ejercicio 112
Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior. Calcule el
valor esperado de la variable X2.
Ejercicio 113
La demanda diaria de un producto es una variable aleatoria X cuya distribución probabilidades está
dada por la tabla que sigue:
x
1
2
3
4
5
f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
La empresa obtiene por cada unidad demandada de producto 100 soles de utilidad. Si la cantidad demanda en un día es mayor a 2 unidades, se obtiene una utilidad adicional de 15 soles por unidad demandada de producto. Calcule el valor esperado de la utilidad por la demanda diaria de productos.
Notas importantes
125
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Varianza de una variable aleatoria discreta
 
V X   E X 2  EX 
2
Ejercicio 114
Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior. Calcule la
varianza y desviación estándar de la variable X.
Notas importantes
126
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 115
Sea lanza una moneda cuatro veces y sea X una variable aleatoria definida como el número de caras.
Calcule el coeficiente de variación de X, si el coeficiente de variación está definido como CV 

.

Propiedades del valor esperado y varianza para variables aleatorias discretas
Propiedades del valor esperado en variables aleatorias
E(b) = b
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces:
E  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a1 E ( X 1 )  a2 E ( X 2 )  ...  an E ( X n )
Propiedades de la varianza en variables aleatorias
Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces:  2y  a 2  2x
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes,
entonces:
V  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a12V ( X 1 )  a22V ( X 2 )  ...  an2V ( X n )
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
127
Ejercicio 116
Un examen de admisión consta de 100 preguntas. Cada una pregunta tiene cinco opciones para marcar
y solamente una respuesta correcta Por cada respuesta correcta se le otorga al postulante un punto,
mientras que si la respuesta es incorrecta al postulante se le resta un cuarto de punto.
Si un postulante contesta todas las preguntas del examen al azar, calcule el valor esperado del puntaje
obtenido.
Si un postulante puede descartar en cada pregunta tres respuestas incorrectas y luego contesta todas las
preguntas del examen al azar, calcule el valor esperado del puntaje obtenido.
Notas importantes
128
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
25) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experimento
El valor esperado es el valor más probable de ocurrencia
El valor esperado es un valor que puede ser menor que el mínimo de los valores del
rango de la variable aleatoria
El valor esperado es un valor que siempre es igual a uno de los valores del rango de la
variable
Notas importantes
(2 puntos)
Verdadero
Falso
129
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 9. Sesión 2
4.3. Distribuciones de probabilidad
Distribución binomial
Un experimento binomial consiste en una serie de n pruebas o ensayos, donde n se fija antes de realizar el experimento.
Las pruebas son idénticas y cada una de ellos puede resultar en uno de dos posibles resultados que
denotan éxito o fracaso.
Las pruebas son independientes entre sí por lo que el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de cualquier otro.
La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y la denotamos como p.
Entonces para n intentos y la probabilidad p de éxito en cualquier intento, la probabilidad de tener x
éxitos en los n intentos está dada por:
f  x   P  X  x   C xn p x 1  p 
n x
x = 0, 1, 2, . . ., n
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p
Se denota X ~ B (n, p)
Características
Es simétrica si p = 0,5. Para valores de p < 0,5 la distribución tiene sesgo derecho y para valores
p>0,5 tiene sesgo izquierdo, independientemente de los valores de n.
Para valores de n suficientemente grandes (n > 50), y sólo tomando en cuenta los valores relevantes de probabilidad, la distribución es prácticamente simétrica.
Media
  E  X   np
Varianza
 2  V  X   np1  p 
Ejercicio 117
Una persona compra 10 sandias enteras siempre en la misma tienda de un gran lote de sandias. Por
experiencias pasadas sabe que el 70% de las sandias son buenas. Calcular la probabilidad de que por lo
menos 9 de las 10 sandias compradas sean buenas.
Notas importantes
130
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución hipergeométrica
Consideremos N elementos, de los cuales r son considerados éxitos y por lo tanto N - r como fracasos.
Como en el caso de la distribución binomial estamos interesados en saber la probabilidad de obtener x
éxitos en una muestra de n elementos.
El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un
conjunto de N elementos, r de los cuales son éxitos y N - r son fracasos.
La probabilidad de obtener de x éxitos en la muestra de n elementos es:
f ( x) 
C xr C nNxr
C nN
,
x  max{0, n  ( N  r )},..., min{n, r}
El rango de X en la mayoría de los casos va de 0 a n, pero no siempre, por lo que se debe analizar
en cada caso
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución hipergeométrica con parámetros N, r y n.
Se denota X ~ H (N, n, r)
Es importante determinar con precisión el rango de la variable hipergeométrica
Características
r
N
Media
  EX   n
Varianza
 2  V X   n
r 
r  N  n 

1  
N  N  N  1 
Ejercicio 118
Un comerciante recibe un lote de 30 computadoras portátiles. Para protegerse de una mala remesa,
revisará 4 computadoras y rechazará todo el lote si encuentra una o más computadoras defectuosas. Si,
en el lote, hay 6 computadoras defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que rechace el lote?
Notas importantes
131
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 119
Un comerciante recibe un lote de 30 computadoras portátiles. Para protegerse de una mala remesa,
revisará 15 computadoras y rechazará todo el lote si encuentra una o más computadoras defectuosas.
Si, en el lote, hay 6 computadoras defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que rechace el lote?
Distribución de Poisson
El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson se denomina
proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:
El número de resultados que ocurre en un intervalo o región de espacio cualquiera es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto.
La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante el intervalo muy corto o región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera del intervalo o región.
La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o caiga en tal región pequeña es insignificante.
La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región específica es:
f(x) = P( X  x) 
e  x
x!
x = 0, 1, 2,...
x = número de éxitos por unidad de tiempo o región.
 = número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región.
e = 2,71828…
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con parámetro 
Se denota X ~ P()
Siempre es una distribución sesgada a la derecha. A medida que  aumenta y tomando en cuenta
sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende a hacerse simétrica.
Media:
  EX   
Varianza:
 2  V X   
Notas importantes
132
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 20
Suponga que el número de llamadas que llegan a una central telefónica es 0,5 por minuto en promedio. Halle la probabilidad de que:
a. En un minuto no lleguen llamadas
Solución
X:= número de llamadas / minuto
 = 0,5 llamadas / minuto
P X  0 
e 0.5 0.5 0
 0,6065
0!
b. En un minuto lleguen más de tres llamadas
Solución
P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – (0,6065 + 0,3033 + 0,0758 + 0,0126) = 0,9982
c. En tres minutos lleguen menos de 5 llamadas
Solución
Y:= número de llamadas / 3 minutos
 = 1,5 llamadas / 3 minutos
P(Y < 5) = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 + 0,1255 + 0,0471 = 0,98142
d. En cinco minutos lleguen más de dos llamadas
Solución
W:= número de llamadas / 5 minutos
 = 2,5 llamadas / 5 minutos
P(W > 2) = 1 – P(W ≤ 2) = 1 – (0,0821 + 0,2052 + 0,2565) = 0,45652
Ejemplo 21
El administrador de un almacén ha observado que en promedio ingresan al establecimiento 20 personas cada 30 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 6 minutos ingresen al almacén a lo más 5
clientes pero más de 3?
Solución
Lo primero es definir la variable adecuada, sea X:= número de personas que entren al establecimiento
en un periodo de seis minutos.
Como nos dicen que la variable cuenta las llegadas por unidad de tiempo, se tiene que X ~ P()
Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es
una propiedad de la distribución Poisson
Si en 30 minutos llegan en promedio 20 personas, entonces en 6 minutos llegarán, en promedio, ,= 4
personas
Se tiene que X ~ P( = 4)
P X  x  
e    x e 4 4  x

x!
x!
x  0,1,2,...
Nos piden
P  3  X  5   P  X  4   P( X  5) 
Notas importantes
e 4 44 e 4 45

= 0.3517
4!
5!
133
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 22
Si se sabe que en cada 100 metros de longitud de un cable hay un promedio de 80 puntos por los cuales este puede ser seccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tramo de 13.5 metros. se encuentren cinco puntos de seccionamiento?
Solución
Sea X:= número de puntos de seccionamiento.
Como nos dicen que la variable cuenta puntos por unidad de longitud, se tiene que X ~ P()
Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es
una propiedad de la distribución Poisson
Si en 100 metros hay en promedio 80 puntos de seccionamiento, entonces en 13.5 metros hay, en promedio, ,= 10.8 puntos.
Se tiene que X ~ P( = 10.8)
Nos piden
P  X  5 
e 10.810.8 5
 0.025
5!
Observe que si lambda  sale un valor que no es entero, no se debe redondear a un entero.
Ejercicio 120
Una central telefónica recibe cinco llamadas por minuto en promedio, según un proceso de Poisson.
¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de un minuto la central telefónica reciba exactamente
dos llamadas?
¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de un minuto la central telefónica reciba más de dos
llamadas?
Notas importantes
134
¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de un minuto la central telefónica reciba más de dos
llamadas si ya recibió una llamada dentro de ese periodo?
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de 40 segundos la central telefónica reciba menos de
dos llamadas?
Ejercicio 121
Un padre intentando mejorar la ortografía de su hijo le ofrece darle 8 nuevos soles al día si logra escribir un texto de 100 palabras sin faltas ortográficas, pero le descontará 2 nuevos soles por cada error
que cometa. Si el hijo comete más de tres errores no recibirá nada pero tampoco deberá dinero alguno.
El número de errores ortográficos que comete el hijo puede modelarse por una variable Poisson con
una media de 1,5 errores cada 50 palabras. Calcule el valor esperado del monto diario a recibir por
parte del hijo.
Notas importantes
135
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
26) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
El mayor valor del rango de la variable hipergeométrica es siempre menor o igual a n
En un proceso de Poisson el número de resultados que ocurre en un intervalo es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo del espacio disjunto
La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones independientes con la
misma probabilidad de fracaso en cada repetición
La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una muestra de tamaño n de
una población N que tiene r éxitos y donde el muestreo es con reemplazo
Notas importantes
(2 puntos)
Verdadero
Falso
136
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 10. Sesión 1
4.4. Variable aleatoria continua
Es una variable cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores. Por ejemplo: peso, en
kilos, de una persona, tiempo en resolver la primera pregunta del examen parcial de un curso o volumen, en decibeles, en una discoteca a una hora determinada.
Función de densidad de una variable aleatoria continua
Se denomina función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua a la función que satisface:
f  x   0 para todo x  R



f  x  dx = 1
Se tiene que P a  X  b  
b
 f x dx
a
Ejemplo 23
Para cierto negocio por correo electrónico la proporción de los pedidos procesados en 24 horas tiene
la función de densidad de probabilidad
f ( x)  2 (1  x) ; 0  x  1
a. Elabore la gráfica de f(x)
Solución
La gráfica es:
f(x)
2
1
Notas importantes
x
137
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
b. Compruebe si f(x) es una función de densidad.
Solución
Existen dos formas de responder esta pregunta

Integrando la función de densidad f(x) y verificando que el área es igual a 1 y que cada f(x) sea
positivo
1

0
x2
f x dx   2 (1  x) dx  2 x  2
0
2
1
Ahora debemos evaluar en 0 y en 1

 
1
 2x  x 2
0
1
0

 2  1  12  2  0  0 2  1

Calculando el área del triángulo a partir de la gráfica y verificando que el área es igual a 1 y que
cada f(x) sea positivo.
b  h 1 2

1
2
2
De la gráfica vemos que todos los f(x) son positivos.
Area 
c. ¿Cuál es la probabilidad que al menos el 80% de los pedidos sean procesados dentro de 24
horas?
Solución
Existen dos formas de responder esta pregunta
Integrando la función de densidad f(x) de 0.8 a 1
 21  x   2 1  1   2  0.8  0.8   0.04
1
2
2
0.8
Calculándola el área de triángulo desde 0.8 a 1.
Area 
b  h 1  0.8  21  0.8

 0.04
2
2
Observar que para la segunda forma de resolución, se usó la función de densidad para hallar la altura
del triángulo
d. Si el porcentaje de pedidos procesados en 24 horas es mayor al 80%, calcular la probabilidad de que sea mayor a 90%.
Solución
P(X > 0,9 / X > 0,8) = (0,1 x 0,2 / 2) / (0,2 x 0,4 / 2) = 0,25
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 122
Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
0  x 1
a (1  x)
f ( x)  
en otro caso
 0
a. Determine el valor de a.
b. Calcule la probabilidad de P  X  0.3
c. Calcule la probabilidad de P 0.3  X  0.6 
Notas importantes
138
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
139
Ejercicio 123
Ela duración (en minutos) de una llamada telefónica en la Sala de Profesores puede modelarse por una
variable aleatoria X con la siguiente función de densidad
0 x3
ax
f x   
 0 en otro caso
a. Determine el valor de a.
b. Calcule la probabilidad de que una llamada dure entre uno y dos minutos.
c. Si una llamada ya duró un minuto, calcule la probabilidad de que dure más de dos minutos.
Notas importantes
140
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Función de distribución acumulada de probabilidad
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con función de densidad
f(x) se define por:
F(x) = P(X  x) para -  < x < + 
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
dF  x 
 f x 
dx
F(x) es una función que siempre está entre 0 y 1 (0 ≤ F(x) ≤ 1), pues es igual a una probabilidad.
F(x) es una función que nunca decrece, lim F  x   0 y lim F  x   1
x  
x  
Ejemplo 24
El tiempo de vida de un sistema es una variable aleatoria (en años) cuya función acumulada es:
 0

F (x)   25
1  x 2
x5
x5
Encuentre el rango intercuartil
Solución
Sea X:= tiempo, en años, de vida de un sistema. Para calcular el rango intercuartil, debemos hallar el
cuartil 1 y el cuartil 3, para esto hay dos posibilidades:

Integrar la función de densidad f(x)

Reemplazar en la función de distribución acumulada
En este caso, es más fácil usar la función de distribución acumulada.
Por definición de cuartil 3, el 75% de los datos es menor o igual al él, es decir P(X ≤ Q3) = 0.75, o lo
que es lo mismo F(Q3) = 0.75
F Q3   0.75  1 
25
Q32
de donde Q3 = 10. Haciendo lo mismo para el cuartil 1.
F Q1   0.25  1 
25
Q12
de donde Q1 = 5.77. Luego el RIC = Q3 – Q1 = 4,23
Si se sabe que el tiempo de vida de un dispositivo se encuentra en el cuarto superior, ¿cuál es la probabilidad que pertenezca al quinto superior?
Solución
Como nos dicen que, ya se sabe que está en el cuarto superior, es una probabilidad condicional.
P

Notas importantes
X  P80
  P X  P80   0,20  0,80
X  P75  P X  P  0,25
75
141
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 124
Marque la(s) gráfica(s) que pueden ser funciones de distribución acumulada.
Ejercicio 125
Marque la(s) funciones que pueden ser funciones de distribución acumulada.
x2
 1

F x    x  1 1  x  2
 0
x 1

Notas importantes
 1
  x  12
F x   
 4
 0
x3
1 x  3
x 1
 1
  x  13
F x   
 8
 0
x2
1  x  2
x  1
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
142
Ejercicio 126
El tiempo, en minutos, en que un equipo mete un gol durante un partido de fútbol se puede modelar
por una variable aleatoria continua X con la siguiente función de densidad de probabilidad:
f ( x)  a ; 0  x  90
Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X.
Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un equipo meta un gol
en los diez primeros minutos del partido.
Notas importantes
143
Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un equipo meta un gol
entre el minuto 20 y 30 del partido.
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un equipo meta un gol
en los últimos cinco minutos del partido.
Use la función de distribución acumulada para calcular el rango intercuartil de X.
Notas importantes
144
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Valor esperado de una variable aleatoria continua
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una variable aleatoria
X se denota E(X).
 X  EX  

 xf x dx

Valor esperado de una función de variable aleatoria continua
Sea g(x) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de g(x) es:
E G  X  

 g x  f x dx

Ejercicio 127
Una empresa sabe que el tiempo que tarda una lavadora en necesitar la primera reparación importante
puede modelarse por una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad:

kx 2
3 x 5
f x   
0
en otro caso
Calcule el valor esperado del tiempo que tarda una lavadora en necesitar la primera reparación importante.
Determine el valor esperado de X2.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
145
Varianza de una variable aleatoria continua
 X2  E X 2   E  X 2
Ejercicio 128
Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
f ( x)  10 ; 1  x  a
Determine la varianza de la variable aleatoria X.
Propiedades del valor esperado en variables aleatorias
E(b) = b
Si X e Y son variables aleatorias, a y b son constantes, entonces:
E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y)
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces:
E  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a1 E ( X 1 )  a2 E ( X 2 )  ...  an E ( X n )
Propiedades de la varianza en variables aleatorias
Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces:  2y  a 2  2x
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes,
entonces:
V  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a12V ( X 1 )  a22V ( X 2 )  ...  an2V ( X n )
Notas importantes
146
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
27) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
Variable aleatoria continua es una variable cuyo rango es un conjunto infinito numerable
de valores
La función de distribución acumulada es siempre mayor a la función de densidad para
cualquier valor de la variable aleatoria
El esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de los dos esperados de las variables aleatorias
La varianza de una variable aleatoria puede ser menor a cero
Notas importantes
(2 puntos)
Verdadero
Falso
147
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 10. Sesión 2
4.5. Distribuciones de probabilidad
Distribución de probabilidad uniforme
Función densidad
 1

f ( x)   b  a
 0
a xb
en otro caso
Se dice que X tiene una distribución uniforme.
Se denota X ~ U (a, b)
Características
ab
2
Media:

Varianza:
2 
b  a 2
12
Ejemplo 25
En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad de una sustancia es una variable
aleatoria cuya distribución es uniforme con a = -0.025 y b = 0.025.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que tal error esté entre 0.010 y 0.015?
Solución
Sea X:= error al determinar la densidad de una sustancia
La variable X ~ U(a=-0.025, b=0.025) tiene la siguiente función de densidad
1


f ( x)   0.025  (0.025)

0
 1

f ( x)   0.05
 0
 0,025  x  0,025
en otro caso
 0,025  x  0,025
en otro caso
Nos piden P (0.010  X  0.015) . Existen dos formas de calcular esta probabilidad: integrando la
función de densidad f(x) o calculándola a partir del área del rectángulo
0.015
P (0.010  X  0.015) 
Notas importantes
1
1
0.015  0.010  0.10
dx 
0
.
050
0
.
050
0.010

148
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
b. ¿Cuál es el error esperado cometido?
Solución
La variable X ~ U(a=-0.025, b=0.025) tiene el siguiente número esperado de errores

a  b    0.025 + 0.025  0
2
2
Ejemplo 26
La llegada de cada uno de los empleados a su centro de labores se produce independientemente, de
acuerdo a la distribución uniforme en el intervalo comprendido entre las 8:00 y 8:25 am. De una
muestra de 10 empleados, calcule la probabilidad de que cuatro de ellos hayan llegado entre las 8:15
y 8:20 AM.
Solución
Sea X:= tiempo, en minutos, desde las 8 AM hasta la hora de llegada de los empleados al centro de
trabajo, luego XU (0, 25)
f ( x) 
1
; 0  x  25
25
Se define la variable Y:= número de empleados que llegan al centro de trabajo entre 8:15 y 8:20 AM
Debe calcularse la probabilidad de éxito p de que un empleado llegue al centro de trabajo entre 8:15 y
8:20 AM esto es:
p
20  15
 0,20
25
Entonces Y  B(10; 0,20)
y
10  y
f ( y )  C 10
,
y (0,20) (0,80)
y  0,1,,10
Se pide
P(Y  4)  f (4)  C 410 (0,2) 4 (0,80) 6  0,0881
Ejercicio 129
Sea X ~ U (20, 40), calcular P 25  X  32 
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
149
Ejercicio 130
La variable X se distribuye uniformemente con media igual a 24 y varianza igual a 12, calcular los
parámetros de la función de densidad.
Ejercicio 131
La demanda diaria de un producto perecible sigue una distribución uniforme de parámetros 100 y 200.
Cada producto tiene un costo de producción de 30 nuevos soles y se vende a de 50 nuevos soles. Todo
producto no vendido en el día se remata a 15 nuevos soles. Calcule el número de productos que se
debe fabricar diariamente para maximizar la utilidad esperada.
Notas importantes
150
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución de probabilidad normal
Función densidad
1  x  

 
 
1
e 2
f ( x) 
 2
2
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros  y 
Se denota X ~ N (, 2)
f(x)

x
Características
Tiene forma de campana.
Es simétrica, por lo que las medidas de tendencia central coinciden.
Su rango va de – a + .
Estandarización
Se toma como referencia una distribución normal estándar ( = 0 y 2 = 1). Se trabaja con la distancia
entre x y  en función de la desviación estándar, tal como se muestra.
Z
Ejercicio 132


Si Z ~ N   0,  2  1 , calcular
P(Z  1.26) 
P (1.15  Z  1.38) 
Notas importantes
X 

Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
P(Z > 2.16) =
P(Z > -2.16) =
P(Z < -4) =
Hallar c para que P(Z < c) = 0.975
Hallar c para que P(Z < c) = 0.01160
Hallar c para que P(-c <Z < c) = 0.95
P(Z = 2.05) =
Ejercicio 133


Si X ~ N   10,  2  16 , calcular
P( X  8.50) 
P ( X  7.47) 
P(8  X  12) 

P X  11
X 9
Notas importantes

151
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
152
Cálculo de probabilidad de una variable normal con una calculadora Casio
Ponga la calculadora en modo estadístico. Apriete MODE y luego, apriete SD
Luego apriete SHIFT , DISTR (3). Aparecerá una pantalla con P(, Q(, R( y t.
o
P( calcula la probabilidad de que Z esté entre - y el valor que ingresa
o
Q( calcula la probabilidad de que Z esté entre 0 y el valor que ingresa
o
R( calcula la probabilidad de que Z esté entre el valor que ingresa y +.
Cálculo de probabilidad de una variable normal con una calculadora Casio con Natural
Dsplay
Ponga la calculadora en modo estadístico. Apriete MODE y luego, apriete
STAT
Luego apriete SHIFT , STAT (1) y luego elija la opción DISTR. Aparecerá
una pantalla con P(, Q(, R( y t.
o
P( calcula la probabilidad de que Z esté entre - y el valor que ingresa
o
Q( calcula la probabilidad de que Z esté entre 0 y el valor que ingresa
o
R( calcula la probabilidad de que Z esté entre el valor que ingresa y +.
Notas importantes
153
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
28) Marque la opción correcta
(1 punto)
La mediana de una variable aleatoria normal X es:
a. Igual a cero
b.
El esperado de X
c.
Aquel valor para el cual f(Me) = 0,5, donde f es la función de densidad de X
d.
No se puede determinar sin saber la desviación estándar.
29) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
La media de una variable normal puede ser negativa
Si P(Z > c) = 0.025, entonces c = -1.96
Si X es una variable normal se cumple que P(X < 3) = P (X ≤ 3)
Si X es una variable normal se cumple que P(X < -3) = 1 - P (X < 3)
Notas importantes
(2 puntos)
Verdadero
Falso
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
154
Semana 11. Sesión 1
Continuación de la distribución normal
Ejemplo 27
En Enigma Buck Café, la máquina surtidora de refrescos está ajustada de tal forma que sirve en promedio 250 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco servido en los vasos sigue, aproximadamente, una distribución normal con una desviación estándar de 10 mililitros. ¿Qué proporción de los vasos servidos contendrán entre 240 y 255 mililitros de refresco?
Solución
Sea X:= cantidad de refresco servido por vaso, X ~ N(µ = 250,  2 = 102)
Se pide
P(240 < X < 255)
Estandarizando se tiene P((240 – 250)/10< (X- µ)/10 < (255 – 250)/10) =
P(-1< Z < 0,5) = 0,6915 – 0,1587 = 0,5328
Ejemplo 28
Se informa que la cantidad X de azúcar de los paquetes marcados con un kilo, tiene distribución normal con media  kilos y desviación estándar 0.02 kilos. Hallar el valor de  si la cantidad de azúcar
que contiene cada paquete es menor o igual a 0.95 kilos con probabilidad 0.102.
Solución
Sea X:= pesos de los paquetes de azúcar, en kilos. X ~ N(µ ,  2 = 0.022)
Nos piden
0.95   
 X   0.95   

P ( X  0.95)  0.102  P 

  0.102  P  Z 
  0.102
0.02 
0.02 
 

Ahora, usamos la tabla normal estándar para calcular el valor z correspondiente
0.95  
 1.27    0.9754
0.02
Ejercicio 134
La vida útil de una pila AA es una variable aleatoria normal con una media de 12 horas y desviación
estándar dos horas.
Calcular la probabilidad de que una pila dure menos de 9 horas.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
155
Calcular la probabilidad de que una pila dure más de 11 horas y media
Calcular la probabilidad de que una pila dure más de 13 horas, si ya duró 9 horas
Ejercicio 135
Una compañía de seguros ha lazando la siguiente campaña “DOBLAMOS LA APUESTA” “Si tienes
un accidente de tránsito llámanos y un asesor motorizado llegará máximo en 15 minutos. Si el asesor
motorizado llega después de 15 minutos, ahora te entregaremos un bono de US$200 para que lo canjees y puedas usarlo en lo que quieras”. La compañía ha estimado que el tiempo que demora un asesor
motorizado es una variable normal con una media de 10 minutos y desviación estándar 2,5 minutos.
Calcule el valor esperado del pago por accidente por la campaña.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
156
Ejercicio 136
Los ingresos mensuales de una empresa se pueden modelar mediante una distribución normal. Se sabe
que el 2.8% de los empleados ganan menos de S/. 2045 y que el 2.5% de los empleados ganan más de
S/. 3980. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de los ingresos mensuales de los empleados?
Si se ha dispuesto que el 15% de los empleados que ganan menos en la empresa reciban un bono.
¿Cuánto debe ganar como máximo un empleado para recibir dicho bono?
Notas importantes
157
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
30) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
(2 puntos)
Afirmación
Verdadero
Falso
El rango de toda variable normal es igual a toda la recta real
La función de densidad de la distribución normal toma su mayor valor en X = µ
La función de densidad de la distribución normal en algunos casos no es simétrica
El esperado de una variable normal es siempre igual a µ
Semana 11. Sesión 2
Ejercicios para la práctica calificada 3
Fórmulas adicionales para la práctica calificada 3
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
f(x) = P(X = x)
f(x)  0
n
 f (x )  1
i 1
i
n
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
 X  E  X    xi f xi 
i 1
Valor esperado de una función de variable aleatoria
E G x  
n
 g x  f x 
i
i
i 1
Varianza de una variable aleatoria discreta y continua
 
V X   E X 2  EX 
2
E  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a1 E ( X 1 )  a2 E ( X 2 )  ...  an E ( X n )
V  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a12V ( X 1 )  a22V ( X 2 )  ...  an2V ( X n ) sin son independientes
Notas importantes
158
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución binomial
f  x   P  X  x   C p 1  p 
  E  X   np
 2  V  X   np1  p 
Distribución hipergeométrica
f ( x) 
  EX   n
n
x
r
N
C xr C nNxr
C nN
 2  V X   n
,
x
n x
x = 0, 1, 2, . . ., n
x  max{0, n  ( N  r )},..., min{n, r}
r 
r  N  n 
1  

N  N  N  1 
e  x
x!
Distribución de Poisson
f(x) = P( X  x) 
  EX   
 2  V X   
Variable aleatoria continua
f  x   0 para todo x  R
x = 0, 1, 2,...



f  x  dx = 1
b
Pa  X  b    f  x dx
a
Función de distribución acumulada de probabilidad
F(x) = P(X  x) para -  < x < + 
dF  x 
 f x 
dx

Valor esperado de una variable aleatoria continua
 X  E  X    xf  x dx

Valor esperado de una función de variable aleatoria continua E G x  

 g x  f x dx

Distribución de probabilidad uniforme

ab
2
2 
Notas importantes
a xb
en otro caso
b  a 2
12
Distribución de probabilidad normal
Estandarización
 1

f ( x)   b  a
 0
1  x  

 
 
1
f ( x) 
e 2
 2
Z
X 

2
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
159
Semana 12. Sesión 1
Propiedad reproductiva de la normal
Si X1, X2, X3,...,Xk son k variables aleatorias independientes, tales que Xi ~ N(i, i2), para cada i=1, 2,
3,..., k, entonces, la variable aleatoria
Y  c1 X 1  c2 X 2  ...  ck X k
donde c1, c2, c3,..., ck son constantes, entonces:
Y ~ N  c11  c2 2  ...  ck  k , c12 12  c22  22  ...  ck2  2k 
Ejercicio 137
Sea X1 ~ N(2, 9) y X2 ~ N(7, 5) variables aleatorias independientes
Calcular la distribución de
Y = X1 + X2
Y = X1 - X2
Y = 2X1 + 3X2
Y = 4X1 -6 X2
Notas importantes
Es decir, la suma de
variables normales
independientes es
una variable normal
160
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 29
Dos supermercados compiten por tomar el liderazgo del mercado. Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados, estimó que las ventas diarias (en miles de dólares) de los dos supermercados se distribuyen normalmente con medias de 15 y 17 y desviaciones estándar de 3 y 4
respectivamente.
a. Calcular la probabilidad de que el segundo supermercado obtenga mayores ventas que el
primer supermercado en el primer día.
Solución
Sean las variables:
X: Ventas diarias del primer supermercado
Y: Ventas diarias del segundo supermercado
XN(15, 9);
YN(17, 16)
Se pide: P(Y > X) o su equivalente: P(Y – X > 0)
Sea W = Y – X, por la propiedad reproductiva de la distribución normal, se tiene:
W  N(17 - 15, 16 + 9), es decir: WN(2, 25)
P(Y – X > 0) = P(W > 0)
W   0  2 
P (W  0)  P


5 
 
P (W  0)  P Z  0,40
P (W  0)  0.6554
b. Calcular la probabilidad de que la diferencia entre las ventas diarias de ambos supermercados no supere los 1000 dólares.
Solución


En este caso se pide calcular: P W  1
P W  1  P(1  W  1)
1 2 W   1 2


)
5
5

P W  1  P (0,6  Z  0,2)
P W  1  P(
P W  1  0,1465
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
161
Ejercicio 138
El dinero que dan unos padres como propina semanalmente a cada uno de sus tres hijos se puede modelarse por una variable normal con una media de 30 nuevos soles y una desviación estándar de 5 nuevos soles. Calcular la probabilidad de que dinero total entregado en una semana supere los 100 nuevos
soles
Si le dan el dinero de forma independiente a cada uno.
Si a todos los hijos les dan la misma cantidad de dinero.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
162
Ejercicio 139
El ingreso mensual de una pareja de esposos se puede modelar por una variable aleatoria normal, para
el caso del padre con una media de 2 800 nuevos soles y una desviación estándar de 300 nuevos soles,
mientras que para su esposa con una media de 3000 nuevos soles y una desviación estándar de 100
soles. Los ingresos de la pareja se consideran independientes
Calcular la probabilidad de que, en un mes en particular, la esposa gane menos que el esposo.
Si se eligen al azar seis meses, calcular la probabilidad de que en más de uno de esos meses, el esposo
gane más que su esposa.
Notas importantes
163
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución t-student
Función densidad
 k 1
k 1


2  2


t
2
 1  
f (t )  
k
k 
 
 k   
2
Se dice que la variable aleatoria t sigue una distribución t con k grados de libertad.
Para un valor de la variable aleatoria t,k es tal que el área a su derecha bajo la curva de la distribución t con k grados de libertad es igual a .
P (T  t ,k )  


t
Características
Simétrica y forma de campana
Se extiende de - a +
La gráfica de la distribución t es parecida a la distribución normal, se diferencian en:
En los extremos la distribución t está por encima de la normal estándar.
En el centro la distribución t está por debajo de la normal estándar.
Cada valor de grado de libertad determina una distribución t distinta.
Cuando los grados de libertad son altos, los valores de la distribución t se asemejan con los valores
de la distribución normal estándar (n>29).
Media:
  E T   0
Varianza:  2 
Notas importantes
k
k 2
164
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución chi-cuadrado
Función de densidad
 1
(1 / 2) x k / 2 1e

f x    (1 / 2)
0

(1 / 2 ) x
para x  0
para cualquier otro caso
Se dice que X tiene una distribución chi cuadrado con k grados de libertad.
Se denota X ~ 2 (k)
Para un valor de la variable aleatoria 2 ,k es tal que el área a su derecha bajo la curva de la distribución 2 con k grados de libertad es igual a .
P (  2   2 ,k )  
f (x)

Características
Se extiende de 0 a +, no toma valores negativos
La gráfica de la distribución chi cuadrado tiene sesgo a la derecha
Cada valor de grado de libertad determina una distribución chi cuadrado distinta.
A medida que los grados de libertad aumentan, la distribución tiende a ser simétrica.
Media
x = E(X) = k
Varianza
 x2  2k
Notas importantes
165
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Distribución F
Función de densidad
 v  v2 
 1

2   v1


f x  
 v1   v 2   v 2
  
2  2
v1
v1  2
2
2
x

 
v
1  1
 v2

x 

v1  v2
2
, para x  0
Se dice que X tiene distribución F con v1 y v2 grados de libertad para el numerador y denominador
respectivamente y se denota por X ~ F(v1, v2).
El valor de la variable aleatoria f  , v1 , v2 es tal que el área a su derecha bajo la curva de la distribución F con v1 y v2 grados de libertad para el numerador y denominador respectivamente es igual a
 . Es decir P Fv1 , v2  f  , v1 , v2   .


Características
Se extiende de 0 a +  , no toma valores negativos.
La gráfica de la distribución F tiene sesgo hacia la derecha.
Cada valor de los grados de libertad del numerador y denominador determina una distribución F
distinta.
A medida que los grados de libertad del numerado y denominador aumentan, la distribución tiende
a ser simétrica.
Media:
 X  EX  
Varianza:  X2 
Notas importantes
v2
, para v 2  2 .
v2  2
2v 22 v1  v 2  2
v1 v 2  2  v 2  4
2
para v 2  4
Unidad 5
Distribuciones
muestrales
Logro de la unidad
Utiliza adecuadamente
las distribuciones
muestrales para calcular probabilidades e
intervalos de confianza
Caso: Una buena noticia
Rogelia, la exigente jefa de
Sergio, decidió analizar los
noticieros de los canales de
televisión local. Según ella,
el tiempo que le dedicaban a
los accidentes de tránsito,
hechos delictivos, farándula
y deportes era mucho mayor
en el Perú que en otros países. Lo primero que tuvo que
hacer Sergio es buscar la
existencia de una base de
datos donde estuvieran grabados los noticieros. Se acordaba que en la universidad le
habían dejado un trabajo
parecido. Busco un poco y
encontró lo que buscaba, IP
Noticias, una base de datos
que contiene a partir del
2004 hasta la fecha más de
40 programas informativosnoticiosos de canales nacionales de señal abierta. Diseñó una base de datos con
Excel y comenzó a tomar
tiempos. Luego de varias
jornadas de trabajo ya tenía
listos los datos. Luego usaría
los filtros y las tablas dinámicas del MS Excel. Todo
parecía estar listo. Se sentó
frente a su computador, pero
se dio cuenta de que no sabía
por dónde comenzar:
¿distribuciones de frecuencia?, ¿cuadros de doble entrada? Su primer impulso fue
llamar a Sandra, pero pensó
que seguía molesta por lo
que había pasado en la Cachina. Sabía que su jefa leía
poco y que se jugaba una
buena recomendación en ese
informe. Lo primero fue revisar el objetivo de la investigación. Su informe debía
responder a ese objetivo,
pero ¿con qué cuadros? Debía tener pocas páginas, grá-
ficos interesantes y útiles,
cuadros que dijeran algo.
Nada debía estar para rellenar las hojas. Y, por último,
debía concentrarse en las
conclusiones. Luego mucho
trabajo, realizando gráficos y
cuadros, redactando conclusiones, Sergio sintió que ya
podía entregar su informe.
Cerró su laptop, tomó el teléfono inalámbrico, se sentó
bien en su cama y llamó a
Sandra. No sabía bien qué le
iba a decir, pero presentía
que esa conversación era
definitoria. El teléfono sonaba y sonaba. El sintió que se
aceleraba el pulso; después
de varios intentos, logró comunicarse con ella. “Hola,
sabía que llamarías, tengo
algo que decirte”. “Yo también, te tengo una buena noticia…”.
Debo saber
Calcular la media y la
desviación estándar
para datos simples en
mi calculadora
Si la calculadora lo
tiene, hacer cálculos
para la distribución
normal
Contenido
 Distribución muestral de
un estadístico
Cerveza Guiness y la distribución t-Student
La cervecería Guinness
brewery en Park Royal,
Londres se cerró en el año
2005. La producción de
Guinness se vendía en Reino
Unido como St. James's Gate
Brewery Dublín. La gente en
Reino Unido sabía que la
cerveza elaborada en Irlanda
tenía un sabor más agradable
que la elaborada en Londres.
Las cervecerías de Guiness
fueron pioneras en el
establecimiento y mejora
continua de controles de
calidad. Para ello se llegó a
contratar a William Sealy
Gosset, que publicó sus
investigaciones bajo el
seudónimo de Student, pues la
cervecería Guiness le impidió
su publicación.
Resumido de http://es.wikipedia.org
 Distribución de la media,
proporción y varianza
muestral
 Teorema central del
límite
 Distribución de la razón
de varianzas, diferencia
de medias y proporciones
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
169
5.1. Definiciones
Debido a que, muchas veces, es imposible preguntarle o medir a toda la población, un estudio estadístico se inicia con la selección de una muestra. El muestreo comprende por lo menos dos etapas:
La selección de las unidades
El registro de las observaciones
El muestreo puede hacerse con o sin reemplazo:
En el muestreo sin reemplazo, las unidades se pueden seleccionar sólo una vez
En el muestreo con reemplazo las unidades se puede seleccionar más de una vez
Elemento
Es el objeto sobre el cual se hace la medición. También llamada unidad de elemental o estadística.
Población muestreada
Es la colección de todas los elementos posibles que podrían extraerse en una muestra.
Marco muestral
Es una lista de los elementos que están disponibles para su elección en la etapa de muestreo.
Censo
Es el estudio completo de todos los elementos de la población.
Parámetro
Es un resumen de una característica de una población.
Estadístico
Es un resumen de una característica de una muestra.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
170
Ejemplo 30
Supongamos que queremos hacer una investigación sobre la violencia que sufren las mujeres en el
hogar en Lima.
La población objetivo estará integrada por todas las mujeres que sufren violencia familiar en Lima.
La unidad de observación será cada una de las mujeres que sufren violencia familiar que viven en
Lima.
Una muestra será cualquier conjunto de mujeres que han sufrido violencia familiar y que viven en
Lima. Como localizar directa e individualmente a las mujeres que han sufrido violencia familiar
en Lima podría tener dificultades dado lo delicado del tema, podemos recurrir a las comisarías
donde están las denuncias o en las agrupaciones de defensa de derechos de la mujer, etc. Cada una
de estas entidades serán unidades de muestreo.
El marco de muestreo estará constituido por todas las comisarías y entidades de apoyo a los derechos de la mujer en las que se puede identificar a las mujeres que han sufrido violencia familiar.
Como en estas entidades, una denuncia de violencia familiar no implica necesariamente que se
pueden ubicar a todas las mujeres que hicieron las denuncias, pues puede haberse mudado, o se
niega a responde, o tal vez presentó la denuncia sin realmente haber sufrido violencia familiar, no
todas las denuncias registradas implicarán obtener información. De todas las denuncias, sólo las
que corresponde a mujeres que realmente han sufrido violencia familiar y que pueden ser ubicadas
y que además están en disposición de dar información constituyen la población muestreada. Por
tanto la población muestreada estará compuesta por mujeres que sí comunicaron haber sufrido violencia familiar y podrían tener un perfil propio y se podría dar el caso, aunque no necesariamente,
que las unidades estadísticas constituyan una muestra no representativa, dejando de lado a un grupo muy importante fuera de la investigación.
En este caso no estarán consideradas en el marco del muestreo y por lo tanto en la población
muestreada las mujeres que habiendo sufrido violencia familiar, por alguna razón (intimidación,
desconocimiento de sus derechos, influencias de otras personas, aspectos culturales, etc.) no presentaron la respectiva denuncia.
Muestreo aleatorio simple (población finita)
Una muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada muestra posible de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.
Una población finita es, por ejemplo, el conjunto de alumnos matriculados en una universidad o los
accidentes de tránsito en un fin de semana, etc.
Muestreo aleatorio simple (población infinita)
Una muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población infinita es una aquella que se selecciona
de tal forma que satisface las siguientes condiciones:
Cada elemento seleccionado proviene de la misma población
Cada elemento se selecciona de forma independiente
Una población infinita es, por ejemplo, el conjunto de medidas de un experimento que se repite indefinidamente, una colonia de insectos, etc.
Notas importantes
171
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
5.2. Distribución muestral de un estadístico
Es la lista de posibles valores de un estadístico y la probabilidad asociada a cada valor.
5.3. Distribución de la media muestral
Es la lista de todas las medias posibles de tamaño n tomadas de una población específica.
Se tiene que
 
Media
E X 
Varianza
V X 
 
2
n
Factor de corrección por población finita
Si el muestreo es sin reemplazo en poblaciones de tamaño finito N, entonces debe usarse el factor de
corrección por población finita
Varianza
N n
N 1
V X  
2 N n
n N 1
Distribución muestral de la media de una población con varianza conocida
Si la población sigue una distribución normal con media µ y desviación estándar σ entonces:

2

 2 N n

Si el muestreo es con reemplazo X  N   ,
n 


Si el muestreo es sin reemplazo X  N   ,
n N  1 

Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
172
Ejercicio 140
De una población normal con media 20 y desviación estándar igual a 4, se toma una muestra aleatoria
de tamaño 20, calcular la probabilidad de que la media muestral esté entre 19 y 21.
5.4. Teorema central del límite
El teorema central del límite afirma que,
a medida que crece el tamaño de la muestra n,
la distribución muestral de la media x se acerca a la normal,
independientemente de la distribución de la población.
Se acepta que si el tamaño de la muestra n es por lo menos 30, la distribución de
la media muestral sigue, aproximadamente, una distribución normal.
Un enunciado distinto pero equivalente del teorema del límite central es:
Si n variables aleatorias independientes X1, X2, X3,...Xn tienen la misma distribución de probabilidad
con media  y varianza 2, entonces la variable aleatoria Y = X1 + X2 + X3 +...+ Xn tiene:
Y tiende a seguir una distribución normal a medida que n crece. Se considera aproximadamente
una distribución normal si n  30.
Media
E Y   n
Varianza
V Y   n 2
Notas importantes
173
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 141
Suponga que los sueldos, en dólares, en una región es una variable aleatoria X cuya distribución de
probabilidad es:
x
200
300
400
500
600
f(x)
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Si se registraron al azar 35 sueldos de igual número de personas, calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre $360 y $430.
Si se registraron al azar 60 sueldos de igual número de personas, calcule la probabilidad de que la suma de los 60 sueldos sea mayor a $20 000.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
174
Ejercicio 142
El número de accidentes automovilísticos en cierto tramo de una carretera puede modelarse por una
variable Poisson con una media de 0.3 accidentes al día. Calcular la probabilidad de que en un año se
tenga más de 100 accidentes en dicho tramo de la carretera.
Ejercicio 143
Luego de aprobar el curso de Estadística Aplicada a los Negocios, 40 alumnos se van a festejara un
bar. El dinero que pone cada uno para pagar la cuenta puede modelarse por una variable uniforme con
parámetros 15 y 30 nuevos soles. Si la cuenta fue de 930 nuevos soles, calcule la probabilidad de que
alcance el dinero para pagar la cuenta.
.
Notas importantes
175
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 144
El tiempo, en minutos, que se tarda un alumno en resolver una pregunta de un examen de admisión
puede modelarse por una variable aleatoria con la siguiente función de distribución acumulada.
 0
 x2
F x   
100
 1
0 x
0  x  10
x  10
Si el examen tiene 32 preguntas, calcule la probabilidad de que se demore más de 200 minutos en responder todo el examen.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
176
Evaluación
31) Marque la afirmación correcta.
El teorema del límite central afirma que:
a.
A medida que el tamaño poblacional crece, la distribución de la media poblacional tiende a
una distribución normal
b.
A medida que el tamaño poblacional crece, la distribución de la media muestral tiende a una
distribución normal
c.
A medida que el tamaño muestral crece, la distribución de la media poblacional tiende a una
distribución normal
d.
A medida que el tamaño muestral crece, la distribución de la media muestral tiende a una distribución normal
32) Marque la afirmación correcta.
El teorema del límite central afirma que:
a.
La suma de variables aleatorias normales independientes es una variable normal
b.
La suma de más de 30 variables aleatorias normales independientes es una variable normal
c.
La suma de más de 30 variables aleatorias independientes es una variable normal
d.
La suma de más de 30 variables aleatorias independientes es aproximadamente una variable
normal
Notas importantes
177
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 12. Sesión 2
5.5. Intervalo de confianza para la media poblacional
Población infinita
Condiciones: Población normal y varianza poblacional conocida
Límite inferior de confianza Parámetro Límite superior de confianza
xz

1

n
2

xz

1

n
2
Condiciones: Población normal y varianza poblacional desconocida
Límite inferior de confianza Parámetro Límite superior de confianza
x  t
2
, n 1
s
n

x  t
2
s
n
, n 1
Población finita
Condiciones: Población normal y varianza poblacional conocida
Límite inferior de confianza Parámetro Límite superior de confianza
xz
1


n
2
N n
N 1

xz
1


n
2
N n
N 1
Condiciones: Población normal y varianza poblacional desconocida
Límite inferior de confianza Parámetro Límite superior de confianza
x  t
2
s
n
, n 1
N n
N 1

x  t
2
s
n
, n 1
N n
N 1
Tamaño de muestra para estimar la media poblacional
Población normal
y varianza poblacional conocida
 Z 
 1 2
n
 e






2
Población normal
y varianza poblacional desconocida
Z s
 1 2 
n

 e 


Si se conoce el tamaño poblacional
nc 
Notas importantes
n
n
1
N
, donde nc = n corregido
2
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
178
Ejercicio 145
Se desea estimar el promedio del gasto semanal de los estudiantes de la Facultad en Negocios. Se tomó una muestra aleatoria de ……….…alumnos y les preguntó por su gasto en fotocopias durante la
última semana, encontrándose los siguientes resultados. Calcule e interprete un intervalo de confianza
del 90% para dicho gasto.
Ejercicio 146
Se desea estimar, mediante intervalos de confianza, el promedio de kilómetros recorridos por los
futbolistas durante un partido. Para ello, se eligió una muestra de 130 futbolistas y se obtuvo una
media muestral de 10.5 Km por partido. Se sabe, por estudios anteriores, que la desviación estándar
poblacional es de 0.4 Km. Calcule e interprete el intervalo pedido al 95% de confianza.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
179
Ejercicio 147
En una compañía trabajan 600 obreros y se desea estimar el tiempo promedio que se tarda un obrero
en llegar de su casa a la fábrica. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 85 obreros, encontrando un tiempo promedio muestral de 45 minutos y una desviación estándar muestral de 10.4 minutos. Calcule un intervalo de confianza al 90% para la estimación deseada.
Ejercicio 148
Se pide al director de una sucursal bancaria que estime el tiempo medio que se invierte en atender a un
cliente. Quiere confiar al 99% en que la estimación de la media muestral no supere en más de 15 segundos a la media poblacional. ¿Cuántas observaciones debe recoger, si se sabe que la desviación
estándar poblacional es de 2,7 minutos?
Notas importantes
180
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
33) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
(1 punto)
Verdadero
Falso
Si en una investigación se toma un censo ya no es necesario usar intervalos de confianza
para estimar el parámetro en estudio
Si se conoce la varianza poblacional se usa la distribución normal para calcular el intervalo de confianza para la media poblacional
34) Defina intervalo de confianza para la media poblacional y de algún ejemplo de un posible uso de
este concepto en su carrera profesional
(2 puntos)
35) Defina nivel de confianza de un intervalo de confianza
Notas importantes
(2 puntos)
181
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 13. Sesión 1
5.6. Distribución de la proporción muestral
Si se selecciona una muestra aleatoria de n elementos de la población y si X de ellas tienen una característica en estudio, entonces la proporción muestral será:
X
n
pˆ 
Como X es una variable que sigue una distribución binomial B(n, p), p es la proporción de éxitos en la
población, entonces:
E  pˆ   p
p1  p 
, si la población es infinita o el muestreo con reemplazo
V  pˆ  
n
p1  p  N  n
V  pˆ  
, si la población es finita y el muestreo sin reemplazo
n
N 1
Intervalos de confianza para la proporción poblacional
Condiciones: Si n>30 y tanto npˆ como n1  pˆ  son mayores que 5, población infinita.
Límite inferior de confianza
pˆ  z
1

2
Parámetro
pˆ 1  pˆ 
n
 p
Límite superior de confianza
pˆ  z
1

2
pˆ 1  pˆ 
n
Condiciones: Si n>30 y tanto npˆ como n1  pˆ  son mayores que 5, población finita.
Límite inferior de confianza
pˆ  z
1

2
Parámetro
pˆ 1  pˆ  N  n
n
N 1
 p
Límite superior de confianza
pˆ  z
1

2
pˆ 1  pˆ  N  n
n
N 1
Tamaño de muestra de proporción poblacional
z 2  pˆ qˆ
n
1
2
e2
Si se conoce el tamaño poblacional
nc 
n
n
1
N
, donde nc = n corregido
Si no se tiene una estimación para la proporción poblacional, se usa p̂ igual a 0.5.
Notas importantes
182
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejemplo 31
A una muestra aleatoria de 400 personas mayores de 28 años de una ciudad determinada se les pregunta si están a favor de un nuevo impuesto adicional del 4% en el precio de la gasolina para obtener fondos necesarios que se destinarían a un programa de asistencia social. Si en la muestra elegida se encontró que 245 estaban a favor del impuesto adicional, determine e interprete un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de personas a favor del nuevo impuesto.
Solución
Primero, calculemos la proporción muestral pˆ 
El límite inferior es pˆ  z
1
El límite superior es pˆ  z

2
1

2
245
 0.6125
400
0.6125 1  0.6125
pˆ 1  pˆ 
 0.6125  1.96
 0.56476
400
n
0.6125 1  0.6125
pˆ 1  pˆ 
 0.6125  1.96
 0.66024
n
400
El intervalo de confianza 0.56476, 0.66024 contiene a la verdadera proporción de personas a favor
del nuevo impuesto, con un nivel de confianza del 95%.
Ejercicio 149
Una empresa dedicada a la venta de electrodomésticos, obtuvo una muestra aleatoria de 500 clientes,
encontrándose que 311 clientes deseaban comprar sus televisores bajo la forma de pago a plazos. Calcule e interprete un intervalo de confianza al 90% para la proporción poblacional de clientes que desean comprar sus televisores a plazos.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
183
Ejercicio 150
Según el estudio “Consumo de alcohol y drogas y factores psicosociales asociados en adolescentes de Lima” publicado en setiembre del 2004 en la revista Anales de la Facultad de Medicina el alcohol es consumido por el 42,2% de los adolescentes de Lima. Si se desea volver a hacer una nueva encuesta en el año
2010, calcule el tamaño de muestra requerido para que la amplitud del intervalo de confianza sea de cómo
máximo del 6% y el nivel de confianza sea del 92%.
Ejercicio 151
El intervalo de confianza para la proporción poblacional a un nivel de confianza del 95% es
0,2241;0,3759. Si la población es infinita, calcular el tamaño de muestra usado.
Notas importantes
184
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
5.7. Distribución de la varianza muestral
Si X ~ N(, 2) y s2 es la varianza muestral, entonces:
s2
2
(n  1) ~  n21
donde  2n1 representa la distribución chi cuadrado con n-1 grados de libertad.
Intervalos de confianza para la varianza poblacional
Condiciones: Población normal
Límite inferior de confianza
n  1s 2
2
n 1,

Parámetro
Límite superior de confianza
n  1s 2
2 
2
n 1,1
2

2
Intervalos de confianza para la desviación estándar poblacional
Condiciones: Población normal
Límite inferior de confianza
Parámetro
n  1s 2
2
n 1,
n  1s 2
 

Límite superior de confianza
2
n 1,1
2

2
Ejercicio 152
Un fabricante de baterías para automóviles tomó una muestra aleatoria de diez baterías y registró su
duración, en años, obteniéndose los siguientes resultados:
3,2
4,4
3,5
2,0
3,4
1,9
2,4
3,0
3,5
4,2
Suponga que la duración de una batería sigue una distribución normal. Calcule e interprete un intervalo de confianza al 95% para la desviación estándar de la duración de una batería.
Notas importantes
185
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
36) En la fórmula para tamaño de muestra para estimar una proporción poblacional, la razón de usar
0.5 como estimación de p es …………………………………………………………………………
(1 punto)
37) Defina intervalo de confianza para la proporción poblacional y de algún ejemplo de un posible uso
de este concepto en su carrera profesional
(2 puntos)
Notas importantes
186
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 13. Sesión 2
5.8. Distribución muestral de la razón de varianzas
Condiciones: Si s12 y s 22 son varianzas de muestras independientes de tamaño n1 y n2 que provienen de poblaciones normales.
Límite inferior de confianza
s12
s 22 f
1
n1 1 , n2 1 ,
Parámetro
 12

 22


2
Límite superior de confianza

s12
f

s 22 n2 1, n1 1, 2
Ejemplo 32
El gerente de un banco comercial de Lima quiere evaluar el desempeño de dos sucursales, la primera
ubicada en el distrito de Miraflores y la segunda en San Isidro.
Decide elegir dos muestras aleatorias del total de operaciones realizadas la última semana: 71 en Miraflores y 41 en San Isidro donde se registró, entre otras variables, el monto de operación (en dólares).
Los resultados se muestran a continuación:
Monto promedio por operación
Desviación estándar del
monto por operación
Sucursal
Tamaño de muestra
Miraflores
71
800
180
San Isidro
41
1200
220
Hallar e interpretar un intervalo de confianza del 95% para la razón de varianzas de los montos de
operación en las sucursales de Miraflores y San Isidro. Asumir normalidad donde corresponda.
Solución
El nivel de confianza es 1    0.95 entonces   0.05 y
Miraflores: n1 = 71, S1  180

2
 0.025 .
San Isidro: n2 = 41, S 2  220
 12 s12
s12
1

f 40 , 70 , 0.025

s 22 f 70 , 40 , 0.025  22 s 22
 12 180 2
180 2 1


1.71
220 2 1.78  22 220 2
0.3761 
 12
 1.1447
 22
El intervalo anterior brinda un 95% de confianza de contener el verdadero valor para la razón de varianzas de los montos de operación en las sucursales de Miraflores y San Isidro.
Notas importantes
187
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 153
Una empresa fabrica polos deportivos y compra los hilos a dos proveedores.
Para verificar que no existe diferencias en la resistencia de los hilos adquiridos
a estos proveedores se toma una muestra de piezas de cada clase de hilo y se
registró la resistencia a la tracción (en psi) en condiciones similares. Los datos
se muestran a continuación.
Proveedor 1:
n1  21 , x  78.611 , s  3.093
Proveedor 2:
84.3
82.6
86.1
78.7
82.7
86.7
86.9
85.5
84.8
81.2
89.7
83.9
84.9
89.8
88.7
84.0
Calcule e interprete un intervalo de confianza del 90% para la razón de varianzas de las resistencias de
los hilos de estos proveedores. Asumir poblaciones normales.
Notas importantes
188
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
5.9. Distribución muestral de la diferencia de medias
Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales
Poblaciones normales, muestras independientes y varianzas poblacionales conocidas
Límite inferior de confianza
x1  x 2  z
1

2
 12
n1

 22
n2
Parámetro
Límite superior de confianza
 1   2 
x1  x 2  z
1

2
 12
n1

 22
n2
Poblaciones normales, varianzas poblacionales desconocidas y supuestas homogéneas
Límite inferior de confianza
x1  x 2  t 
2
2
donde S p 
S p2
, n1  n2  2
n1

S p2
n2
Parámetro
Límite superior de confianza
 1   2 
x1  x 2  t 
2
S p2
, n1  n2  2
n1

S p2
n2
s12 n1  1  s 22 n2  1
n1  n 2  2
Poblaciones normales, varianzas poblacionales desconocidas y supuestas heterogéneas
Límite inferior de confianza
x1  x 2  t 
2
,v
S12 S 22

n1 n2
El valor de v es el entero más cercano a
Notas importantes
Parámetro
Límite superior de confianza
 1   2 
x1  x 2  t 
2
 S12 S 22 



 n1 n2 
2
2
 S12 
 S 22 
 
 
n
 1    n2 
n1  1 n 2  1
2
,v
S12 S 22

n1 n2
189
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 154
Los siguientes datos representan los tiempos, en minutos, de secado de un tipo de pintura, con y sin
aditivo de secado.
Con aditivo
76
75
72
75
74
78
79
60
85
95
74
81
Sin aditivo
94
82
78
79
95
98
75
86
94
92
93
89
75
78
Calcule un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los tiempos de secado promedio de
la pintura con y sin aditivo. Asuma varianzas poblacionales iguales.
Calcule un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los tiempos de secado promedio de
la pintura con y sin aditivo. Asuma varianzas poblacionales diferentes.
Notas importantes
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
190
Ejercicio 155
Construya un intervalo de confianza del 92% para la diferencia entre las duraciones promedio poblacional de dos marcas de focos, si una muestra de 40 focos tomada al azar de la primera marca dio una
duración media de 418 horas, y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duración media de
402 horas. Por investigaciones pasadas, se sabe que las desviaciones estándares poblacionales de la
duración de las dos marcas de focos son 26.4 horas y 22.3 horas, respectivamente.
Notas importantes
191
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
38) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
Afirmación
Alguno de los límites de un intervalo de confianza para una diferencia de medias poblacionales puede ser negativo
La distribución F es asimétrica
Notas importantes
(1 punto)
Verdadero
Falso
192
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Semana 14. Sesión 1
5.10. Distribución con observaciones pareadas
En muchas situaciones experimentales, existen sólo n unidades experimentales diferentes y los datos
están recopilados por pares; es decir, cada unidad experimental está formada por dos observaciones:
(X11, X12), (X12, X22), (X13, X23), ... , (X1n, X2n)
Cada dato sale de alguna fuente; una fuente es algo, una persona o un objeto, que produce datos. Si
dos medidas se obtienen de la misma fuente, entonces las medidas están pareadas.
Las variables aleatorias X1 y X2 tienen medias  1 y  2 respectivamente. Como el objetivo es encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de las medias 1 -  2 , definimos la variable d (di =
X1i – X2i ) y en consecuencia tenemos la siguiente muestra: d1, d2,...,dn

 d2

Se cumple que d  N(d ,  ) y su promedio d también, esto es, d  N   d ,
n

2
d

.


Intervalo de confianza para 1-2: observaciones pareadas
Límite inferior de confianza
d  t
2
, n 1
sd
n
Parámetro
Límite superior de confianza
 1   2 
d  t
2
, n 1
sd
n
Ejemplo 33
Cinco operadores de cierto tipo de máquina son entrenados en máquinas de dos marcas diferentes, A y
B. Los tiempos empleados para realizar una misma tarea fueron medidos y los resultados se muestran
en el siguiente cuadro:
Operador
Marca A
Marca B
A
80
75
B
72
70
C
65
60
D
78
72
E
85
78
Calcule un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de las medias poblacionales de la máquina
A y B.
Solución
Haciendo di = xi – yi , donde i = 1,2,3,4,5
Notas importantes
193
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Operador
Marca A
Marca B
di
A
80
75
5
B
72
70
2
C
65
60
5
D
78
72
6
E
85
78
7
Promedio
76
71
5
Se tiene que d  x1  x 2 = 76 – 71 = 5 o lo que es lo mismo,
5
d 
d
i 1
i
5
5
Además,
5
sd 
t
2
 d
i 1
i
d
5 1
,n1
= t 0.05, 4
 1.87081 ,
 2.132
Reemplazando, tenemos que el intervalo de confianza es:

sd 

I 1   2    d  t 

, n 1
n
2


1.87081 

I 1   2    5  ( 2.132)
  3.21626,6.78374 
5 

Notas importantes
194
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 156
Para verificar la influencia de un cartel publicitario
en las ventas de una marca de cerveza se ha seleccionado al azar una muestra de 7 bodegas en las que
se registró el número de botellas vendidas en la
última semana antes de colocar el cartel y dos
semanas después de colocar el cartel publicitario.
Los resultados se muestran a continuación:
Tienda
1
2
3
4
5
6
7
Botellas vendidas antes de colocar el cartel
43
48
44
46
49
42
52
Botellas vendidas después de colocar el cartel
46
54
48
44
56
47
59
Calcular un intervalo de confianza al 95% de confianza para la diferencia de las ventas promedio semanales antes y después de colocar el cartel publicitario.
Notas importantes
195
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
5.11. Distribución muestral de la diferencia de proporciones
Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales
Condiciones: n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30.
Límite inferior de confianza
 pˆ1  pˆ 2   z1 
2
pˆ1 (1  pˆ1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )

n1
n2
Parámetro
Límite superior de confianza
 ( p1  p2 ) 
 pˆ1  pˆ 2   z1 
2
pˆ1 (1  pˆ1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )

n1
n2
Ejercicio 157
En dos muestras de 150 hombres y 130 mujeres, el 27% y 35% respectivamente afirmaron que utilizaban tarjetas de crédito para comprar regalos de navidad. Calcule e interprete el intervalo de confianza
del 99% para la diferencia entre la proporción poblacional de hombres y mujeres que usaron tarjetas
de crédito para comprar regalos de navidad.
Notas importantes
196
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Ejercicio 158
En dos ciudades, A y B, se ha realizado una investigación sobre las edades de los profesionales con
estudios de maestría. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Edad del profesional con maestría
Ciudad A
Ciudad B
menos de 30
9
8
de 30 a menos de 34
15
13
de 34 a menos de 38
18
23
de 38 a menos de 42
13
18
de 42 a más
10
13
Con los datos presentados estime un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las verdaderas proporciones de profesionales con estudios de maestría que tengan por lo menos 34 años entre
ambas ciudades. Interprete el resultado.
Notas importantes
197
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Evaluación
39) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
(1 punto)
Afirmación
Verdadero
En muestras pareadas siempre se realiza la misma cantidad de pruebas para los dos
grupos
Los dos límites de los intervalos de confianza para diferencia de proporciones pueden ser
negativos
Semana 14. Sesión 2
Ejercicios para la práctica calificada 4
Fórmulas adicionales para la práctica calificada 4
Y  c1 X 1  c2 X 2  ...  ck X k
Propiedad reproductiva de la normal
Y ~ N  c11  c2 2  ...  ck  k , c12 12  c22  22  ...  ck2  2k 
 
E X 
Distribución de la media muestral
 
V X 
2
V X  
n
Distribución muestral de la media de una población con varianza conocida

2 

 2 N n

Si el muestreo es con reemplazo X  N   ,
n 


Si el muestreo es sin reemplazo X  N   ,
n N  1 

Intervalo de confianza para la media poblacional
Población infinita. Población normal y varianza poblacional conocida
xz

1

2
n

xz

1

2
n
Población infinita. Población normal y varianza poblacional desconocida
x  t
2
Notas importantes
, n 1
s
n

x  t
2
, n 1
s
n
2 N n
n N 1
Falso
198
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Población finita. Población normal y varianza poblacional conocida
xz
1


N n
N 1
n
2

xz
1


N n
N 1
n
2
Población finita. Población normal y varianza poblacional desconocida
x  t
2
, n 1
s
n
N n
N 1

x  t
2
, n 1
N n
N 1
s
n
 Z 
 1 2
Tamaño de muestra para estimar la media poblacional n  
 e

nc 
Si se conoce el tamaño poblacional
n
n
1
N





2
Z s
 1 2 
n

 e 


2
, donde nc = n corregido
p1  p 
p1  p  N  n
V  p̂  
n
n
N 1
Distribución de la proporción muestral E  p̂   p V  pˆ  
Intervalos de confianza para la proporción poblacional
Condiciones: Si n>30 y tanto np̂ como n1  p̂  son mayores que 5, población infinita.
pˆ  z
1
p̂ 1  p̂ 
n
pˆ 1  pˆ 
 p  p̂  z 
1
n
2

2
Condiciones: Si n>30 y tanto npˆ como n1  pˆ  son mayores que 5, población finita.
pˆ  z
1

2
pˆ 1  pˆ  N  n
 p  p̂  z 
1
n
N 1
2
pˆ 1  p̂  N  n
n
N 1
z 2  p̂q̂
Tamaño de muestra de proporción poblacional
n
Si se conoce el tamaño poblacional
nc 
1
2
2
e
n
n
1
N
, donde nc = n corregido
Intervalo de confianza para la varianza poblacional. Condiciones: Población normal
n  1s 2   2  n  1s 2
2
2

n 1,


2
n 1,1

2
Intervalos de confianza para la desviación estándar poblacional Condiciones: Población normal
n  1s 2
2
n 1,
Notas importantes

2
 
n  1s 2
2
n 1,1

2
199
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Intervalos de confianza para la razón de varianzas
s12
s 22 f
1

n1 1 , n2 1 ,
 12 s12

f

 22 s 22 n 1, n 1, 2
2

1
2
Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales
Poblaciones normales, muestras independientes y varianzas poblacionales conocidas
x1  x 2  z
1

2
 12
n1

 22
n2
 1   2  x1  x 2  z
1

 12
2
n1

 22
n2
Poblaciones normales, varianzas poblacionales desconocidas y supuestas homogéneas
x1  x 2  t 
2
2
donde S p 
S p2
, n1  n2  2
n1

S p2
n2
 1   2  x1  x 2  t 
2
S p2
, n1  n2  2
n1

S p2
n2
s12 n1  1  s 22 n2  1
n1  n 2  2
Poblaciones normales, varianzas poblacionales desconocidas y supuestas heterogéneas
x1  x 2  t 
2
,v
S12 S 22
S12 S 22


 1   2  x1  x 2  t 
,v
n1 n2
n1 n2
2
El valor de v es el entero más cercano a
 S12 S 22 



n
n
2 
 1
2
2
 S12 
 S 22 
 
 
n
 1    n2 
n1  1 n 2  1
2
Fórmulas adicionales para el examen final
Intervalo de confianza para medias: observaciones pareadas
d  t
2
,n 1
sd
sd
 1   2  d  t 
, n 1
n
n
2
Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales
 pˆ1  pˆ 2   z1 
2
pˆ1 (1  pˆ1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )
 ( p1  p2 )   pˆ1  pˆ 2   z 

1
n1
n2
2
Semana 15. Sesión 1 y 2
Trabajo final
Notas importantes
pˆ1 (1  pˆ1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )

n1
n2
200
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tablas estadísticas
Todas las tablas de este manual han sido calculadas usando el MS Excel.
Tabla de la distribución normal estándar
Área bajo la curva normal: PZ  z    
Z
-3.9
-3.8
-3.7
-3.6
-3.5
-3.4
-3.3
-3.2
-3.1
-3.0
-0.09
0.000033
0.000050
0.000075
0.000112
0.000165
0.000242
0.000349
0.000501
0.000711
0.001001
-0.08
0.000034
0.000052
0.000078
0.000117
0.000172
0.000251
0.000362
0.000519
0.000736
0.001035
-0.07
0.000036
0.000054
0.000082
0.000121
0.000178
0.000260
0.000376
0.000538
0.000762
0.001070
-0.06
0.000037
0.000057
0.000085
0.000126
0.000185
0.000270
0.000390
0.000557
0.000789
0.001107
-0.05
0.000039
0.000059
0.000088
0.000131
0.000193
0.000280
0.000404
0.000577
0.000816
0.001144
-0.04
0.000041
0.000062
0.000092
0.000136
0.000200
0.000291
0.000419
0.000598
0.000845
0.001183
-0.03
0.000042
0.000064
0.000096
0.000142
0.000208
0.000302
0.000434
0.000619
0.000874
0.001223
-0.02
0.000044
0.000067
0.000100
0.000147
0.000216
0.000313
0.000450
0.000641
0.000904
0.001264
-0.01
0.000046
0.000069
0.000104
0.000153
0.000224
0.000325
0.000466
0.000664
0.000935
0.001306
-0.00
0.000048
0.000072
0.000108
0.000159
0.000233
0.000337
0.000483
0.000687
0.000968
0.001350
-2.9
-2.8
-2.7
-2.6
-2.5
-2.4
-2.3
-2.2
-2.1
-2.0
0.00139
0.00193
0.00264
0.00357
0.00480
0.00639
0.00842
0.01101
0.01426
0.01831
0.00144
0.00199
0.00272
0.00368
0.00494
0.00657
0.00866
0.01130
0.01463
0.01876
0.00149
0.00205
0.00280
0.00379
0.00508
0.00676
0.00889
0.01160
0.01500
0.01923
0.00154
0.00212
0.00289
0.00391
0.00523
0.00695
0.00914
0.01191
0.01539
0.01970
0.00159
0.00219
0.00298
0.00402
0.00539
0.00714
0.00939
0.01222
0.01578
0.02018
0.00164
0.00226
0.00307
0.00415
0.00554
0.00734
0.00964
0.01255
0.01618
0.02068
0.00169
0.00233
0.00317
0.00427
0.00570
0.00755
0.00990
0.01287
0.01659
0.02118
0.00175
0.00240
0.00326
0.00440
0.00587
0.00776
0.01017
0.01321
0.01700
0.02169
0.00181
0.00248
0.00336
0.00453
0.00604
0.00798
0.01044
0.01355
0.01743
0.02222
0.00187
0.00256
0.00347
0.00466
0.00621
0.00820
0.01072
0.01390
0.01786
0.02275
-1.9
-1.8
-1.7
-1.6
-1.5
-1.4
-1.3
-1.2
-1.1
-1.0
0.02330
0.02938
0.03673
0.04551
0.05592
0.06811
0.08226
0.09853
0.11702
0.13786
0.02385
0.03005
0.03754
0.04648
0.05705
0.06944
0.08379
0.10027
0.11900
0.14007
0.02442
0.03074
0.03836
0.04746
0.05821
0.07078
0.08534
0.10204
0.12100
0.14231
0.02500
0.03144
0.03920
0.04846
0.05938
0.07215
0.08691
0.10383
0.12302
0.14457
0.02559
0.03216
0.04006
0.04947
0.06057
0.07353
0.08851
0.10565
0.12507
0.14686
0.02619
0.03288
0.04093
0.05050
0.06178
0.07493
0.09012
0.10749
0.12714
0.14917
0.02680
0.03362
0.04182
0.05155
0.06301
0.07636
0.09176
0.10935
0.12924
0.15151
0.02743
0.03438
0.04272
0.05262
0.06426
0.07780
0.09342
0.11123
0.13136
0.15386
0.02807
0.03515
0.04363
0.05370
0.06552
0.07927
0.09510
0.11314
0.13350
0.15625
0.02872
0.03593
0.04457
0.05480
0.06681
0.08076
0.09680
0.11507
0.13567
0.15866
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
-0.0
0.16109
0.18673
0.21476
0.24510
0.27760
0.31207
0.34827
0.38591
0.42465
0.46414
0.16354
0.18943
0.21770
0.24825
0.28096
0.31561
0.35197
0.38974
0.42858
0.46812
0.16602
0.19215
0.22065
0.25143
0.28434
0.31918
0.35569
0.39358
0.43251
0.47210
0.16853
0.19489
0.22363
0.25463
0.28774
0.32276
0.35942
0.39743
0.43644
0.47608
0.17106
0.19766
0.22663
0.25785
0.29116
0.32636
0.36317
0.40129
0.44038
0.48006
0.17361
0.20045
0.22965
0.26109
0.29460
0.32997
0.36693
0.40517
0.44433
0.48405
0.17619
0.20327
0.23270
0.26435
0.29806
0.33360
0.37070
0.40905
0.44828
0.48803
0.17879
0.20611
0.23576
0.26763
0.30153
0.33724
0.37448
0.41294
0.45224
0.49202
0.18141
0.20897
0.23885
0.27093
0.30503
0.34090
0.37828
0.41683
0.45620
0.49601
0.18406
0.21186
0.24196
0.27425
0.30854
0.34458
0.38209
0.42074
0.46017
0.50000
201
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución normal estándar

Área bajo la curva normal: P Z  z   


Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.00
0.50000
0.53983
0.57926
0.61791
0.65542
0.69146
0.72575
0.75804
0.78814
0.81594
0.01
0.50399
0.54380
0.58317
0.62172
0.65910
0.69497
0.72907
0.76115
0.79103
0.81859
0.02
0.50798
0.54776
0.58706
0.62552
0.66276
0.69847
0.73237
0.76424
0.79389
0.82121
0.03
0.51197
0.55172
0.59095
0.62930
0.66640
0.70194
0.73565
0.76730
0.79673
0.82381
0.04
0.51595
0.55567
0.59483
0.63307
0.67003
0.70540
0.73891
0.77035
0.79955
0.82639
0.05
0.51994
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0.999950
0.999967
202
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución t-Student
Área bajo la curva: P T  c   


0.40
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7
8
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26
27
28
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1.30857
1.30774
1.30695
1.30621
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1.80153
1.80012
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2.27120
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2.26501
2.26219
2.25953
2.25702
2.25465
2.25240
2.25027
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2.44868
2.44479
2.44115
2.43772
2.43449
2.43145
2.42857
2.42584
2.42326
203
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución t-Student
Área bajo la curva: P T  c   


41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0.40
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2.12117
2.11952
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2.11500
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2.11233
2.11107
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2.23512
2.23379
0.010
2.42080
2.41847
2.41625
2.41413
2.41212
2.41019
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51
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53
54
55
56
57
58
59
60
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0.25460
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0.25451
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1.04595
1.04578
1.04562
1.04547
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1.29805
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1.29743
1.29713
1.29685
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1.29413
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1.66691
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1.77724
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2.38701
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2.38081
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80
85
90
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100
105
110
120
∞
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0.84463
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1.76779
1.76701
1.76564
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2.08778
2.08574
2.08394
2.08233
2.08088
2.07958
2.07839
2.07631
2.05375
2.21216
2.20949
2.20713
2.20504
2.20317
2.20150
2.19998
2.19861
2.19620
2.17009
2.37710
2.37387
2.37102
2.36850
2.36624
2.36422
2.36239
2.36073
2.35782
2.32635
204
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución ji-cuadrado
2
Área bajo la curva: P (   c)  



v
1
2
3
4
5
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0.600
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0.455
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6
7
8
9
10
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1.344
1.735
2.156
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1.239
1.647
2.088
2.558
1.134
1.564
2.032
2.532
3.059
1.237
1.690
2.180
2.700
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1.492
1.997
2.537
3.105
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1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
3.070
3.822
4.594
5.380
6.179
3.828
4.671
5.527
6.393
7.267
4.570
5.493
6.423
7.357
8.295
5.348
6.346
7.344
8.343
9.342
11
12
13
14
15
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
3.609
4.178
4.765
5.368
5.985
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
4.309
4.939
5.584
6.243
6.914
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
5.578
6.304
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7.790
8.547
6.989
7.807
8.634
9.467
10.307
8.148
9.034
9.926
10.821
11.721
9.237
10.182
11.129
12.078
13.030
10.341
11.340
12.340
13.339
14.339
16
17
18
19
20
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
6.614
7.255
7.906
8.567
9.237
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
7.596
8.288
8.989
9.698
10.415
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
11.152
12.002
12.857
13.716
14.578
12.624
13.531
14.440
15.352
16.266
13.983
14.937
15.893
16.850
17.809
15.338
16.338
17.338
18.338
19.337
21
22
23
24
25
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
9.915
10.600
11.293
11.992
12.697
10.283
10.982
11.689
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13.120
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205
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución ji-cuadrado
2
Área bajo la curva: P (   c)  



v
1
2
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120
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206
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución F
Áreas bajo la curva: P ( F  c)   
v1

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4.39
5.20
2.75
3.37
4.30
5.09
207
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución F
Áreas bajo la curva: P ( F  c)   
v1

v2
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199.42
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3.45
4.01
208
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución F
Áreas bajo la curva: P ( F  c)   
v1

v2
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3.43
2.14
2.47
2.91
3.23
2.07
2.38
2.78
3.08
2.02
2.30
2.67
2.95
1.97
2.24
2.59
2.85
0.050
0.025
0.010
0.005
120
3.92
5.15
6.85
8.18
3.07
3.80
4.79
5.54
2.68
3.23
3.95
4.50
2.45
2.89
3.48
3.92
2.29
2.67
3.17
3.55
2.18
2.52
2.96
3.28
2.09
2.39
2.79
3.09
2.02
2.30
2.66
2.93
1.96
2.22
2.56
2.81
1.91
2.16
2.47
2.71
209
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Tabla de la distribución F
Áreas bajo la curva: P ( F  c)   
v1

v2
12
15
20
24
30
40
50
60
70
120
0.050
0.025
0.010
0.005
13
2.6
3.2
4.0
4.6
2.5
3.1
3.8
4.5
2.5
2.9
3.7
4.3
2.4
2.9
3.6
4.2
2.4
2.8
3.5
4.1
2.3
2.8
3.4
4.0
2.3
2.7
3.4
3.9
2.3
2.7
3.3
3.9
2.3
2.7
3.3
3.8
2.3
2.7
3.3
3.8
0.050
0.025
0.010
0.005
14
2.53
3.05
3.80
4.43
2.46
2.95
3.66
4.25
2.39
2.84
3.51
4.06
2.35
2.79
3.43
3.96
2.31
2.73
3.35
3.86
2.27
2.67
3.27
3.76
2.24
2.64
3.22
3.70
2.22
2.61
3.18
3.66
2.21
2.60
3.16
3.62
2.18
2.55
3.09
3.55
0.050
0.025
0.010
0.005
15
2.48
2.96
3.67
4.25
2.40
2.86
3.52
4.07
2.33
2.76
3.37
3.88
2.29
2.70
3.29
3.79
2.25
2.64
3.21
3.69
2.20
2.59
3.13
3.59
2.18
2.55
3.08
3.52
2.16
2.52
3.05
3.48
2.15
2.51
3.02
3.45
2.11
2.46
2.96
3.37
0.050
0.025
0.010
0.005
20
2.28
2.68
3.23
3.68
2.20
2.57
3.09
3.50
2.12
2.46
2.94
3.32
2.08
2.41
2.86
3.22
2.04
2.35
2.78
3.12
1.99
2.29
2.69
3.02
1.97
2.25
2.64
2.96
1.95
2.22
2.61
2.92
1.93
2.20
2.58
2.88
1.90
2.16
2.52
2.81
0.050
0.025
0.010
0.005
24
2.18
2.54
3.03
3.42
2.11
2.44
2.89
3.25
2.03
2.33
2.74
3.06
1.98
2.27
2.66
2.97
1.94
2.21
2.58
2.87
1.89
2.15
2.49
2.77
1.86
2.11
2.44
2.70
1.84
2.08
2.40
2.66
1.83
2.06
2.38
2.63
1.79
2.01
2.31
2.55
0.050
0.025
0.010
0.005
30
2.09
2.41
2.84
3.18
2.01
2.31
2.70
3.01
1.93
2.20
2.55
2.82
1.89
2.14
2.47
2.73
1.84
2.07
2.39
2.63
1.79
2.01
2.30
2.52
1.76
1.97
2.25
2.46
1.74
1.94
2.21
2.42
1.72
1.92
2.18
2.38
1.68
1.87
2.11
2.30
0.050
0.025
0.010
0.005
40
2.00
2.29
2.66
2.95
1.92
2.18
2.52
2.78
1.84
2.07
2.37
2.60
1.79
2.01
2.29
2.50
1.74
1.94
2.20
2.40
1.69
1.88
2.11
2.30
1.66
1.83
2.06
2.23
1.64
1.80
2.02
2.18
1.62
1.78
1.99
2.15
1.58
1.72
1.92
2.06
0.050
0.025
0.010
0.005
45
1.97
2.25
2.61
2.88
1.89
2.14
2.46
2.71
1.81
2.03
2.31
2.53
1.76
1.96
2.23
2.43
1.71
1.90
2.14
2.33
1.66
1.83
2.05
2.22
1.63
1.79
2.00
2.16
1.60
1.76
1.96
2.11
1.59
1.74
1.93
2.08
1.54
1.68
1.85
1.99
0.050
0.025
0.010
0.005
50
1.95
2.22
2.56
2.82
1.87
2.11
2.42
2.65
1.78
1.99
2.27
2.47
1.74
1.93
2.18
2.37
1.69
1.87
2.10
2.27
1.63
1.80
2.01
2.16
1.60
1.75
1.95
2.10
1.58
1.72
1.91
2.05
1.56
1.70
1.88
2.02
1.51
1.64
1.80
1.93
0.050
0.025
0.010
0.005
60
1.92
2.17
2.50
2.74
1.84
2.06
2.35
2.57
1.75
1.94
2.20
2.39
1.70
1.88
2.12
2.29
1.65
1.82
2.03
2.19
1.59
1.74
1.94
2.08
1.56
1.70
1.88
2.01
1.53
1.67
1.84
1.96
1.52
1.64
1.81
1.93
1.47
1.58
1.73
1.83
0.050
0.025
0.010
0.005
70
1.89
2.14
2.45
2.68
1.81
2.03
2.31
2.51
1.72
1.91
2.15
2.33
1.67
1.85
2.07
2.23
1.62
1.78
1.98
2.13
1.57
1.71
1.89
2.02
1.53
1.66
1.83
1.95
1.50
1.63
1.78
1.90
1.49
1.60
1.75
1.86
1.44
1.54
1.67
1.77
0.050
0.025
0.010
0.005
120
1.83
2.05
2.34
2.54
1.75
1.94
2.19
2.37
1.66
1.82
2.03
2.19
1.61
1.76
1.95
2.09
1.55
1.69
1.86
1.98
1.50
1.61
1.76
1.87
1.46
1.56
1.70
1.80
1.43
1.53
1.66
1.75
1.41
1.50
1.62
1.71
1.35
1.43
1.53
1.61
210
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Índice alfabético
C
Coeficiente de variación, 69
de Pareto, 24
Diagrama de cajas, 77
Histograma, 38
Ojiva, 41
Polígono de frecuencias, 38
D
Datos
Fuentes de datos, 17
Desviación estándar, 66
Distribución
binomial, 129, 158
chi cuadrado, 164
de frecuencias, 20, 31, 32
de la media muestral, 171, 197
de la proporción muestral, 181, 198
de la varianza muestral, 184
de probabilidad, 119, 157
F, 165
hipergeométrica, 130, 158
normal, 150, 158
Poisson, 131, 158
t student, 163
uniforme continua, 147, 158
E
Escalas de medición
intervalo, 12
nominal, 12
ordinal, 12
razón, 12
Espacio muestral, 86
Estadística
descriptiva, 9
inferencia, 9
Estadístico, 169
Evento, 86
Complemento, 95, 100
Eventos
independientes, 112, 116
Experimento aleatorio, 86
F
Función
de densidad, 136
de distribución acumulada, 140, 158
G
Gráfico
circular, 23
de barras, 23
de barras apiladas, 28
de barras apiladas al 100%, 28
}
I
Intervalo de confianza
diferencia de medias poblacionales, 188, 199
diferencia de proporciones poblacionales, 195, 199
media poblacional, 177, 197
observaciones pareadas, 192, 199
proporción poblacional, 181, 198
varianza poblacional, 184, 198
M
Media, 48
ponderada, 58
Mediana, 51
Moda, 54
Muestra, 14
P
Parámetro, 169
Percentiles, 59
Población, 14
Propiedad reproductiva de la normal, 159, 197
S
Series de tiempo, 16
T
Teorema
de Bayes, 107, 116
del límite central, 172
V
Valor esperado
de una función de una variable aleatoria, 124, 144,
157, 158
Variable, 13
aleatoria continua, 136, 158
aleatoria discreta, 119
continua, 13
cualitativa, 13
cuantitativa, 13
discreta, 13
Varianza, 66
de una variable aleatoria, 125, 145, 157
I. INFORMACIÓN GENERAL
CURSO
CÓDIGO
CICLO
PROFESOR (ES)
CRÉDITOS
SEMANAS
HORAS
HORAS TOTALES
ÁREA O CARRERA
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Estadística Aplicada a los Negocios
MA130
201002
Cardenas Bonilla, Edgard Eusebio - Gutierrez Flores,
Silvia Melina - Jaramillo Vega, Segundo Santiago Luna Flores, Walter Isaías - Menacho Chiok, Cesar
Higinio - Ognio Solis De Miranda, Carmen Blanca Segura Garcia, Yolanda Adriana - Silvestre Valer,
Jim Roland - Vega Durand, Elba
4
17
4 H (Teoría) Semanal /2 H (Laboratorio) Quincenal
70
Ciencias
II. INTRODUCCIÓN
El curso de Estadística Aplicada a los Negocios para Administradores comprende el estudio de las técnicas de la
estadística descriptiva y la teoría de probabilidad, que forman parte fundamental de las herramientas para la
toma de decisiones y como base para otras disciplinas que se estudian en la carrera. Para complementar lo
desarrollo en las clases teórica, se contará con laboratorios donde se empleará la hoja de cálculo MS Excel en el
desarrollo de casos relacionados con su especialidad.
III. LOGRO (S) DEL CURSO
Aplica los conceptos y fundamentos de la estadística descriptiva y teoría de probabilidad, a fin de identificar y
analizar críticamente situaciones reales, modelar y tomar decisiones adecuadas, siendo conciente de la
importancia de presentar la información de forma clara e imparcial.
IV. UNIDADES DE APRENDIZAJE
UNIDAD Nº: 1 Organización de datos
LOGRO
Comprende y utiliza los conceptos básicos de estadística y asimismo organiza adecuadamente datos para
facilitar la comprensión de los mismos, con ayuda de los programas MS Excel.
TEMARIO
La estadística y sus subdivisiones. Definiciones de población, muestra, variables, clasificación de variables,
parámetros y estimadores. La investigación estadística. Metodología. Métodos de organización y
presentación de datos: Datos cualitativos, datos cuantitativos, Tablas de distribución de frecuencias y
representaciones gráficas (circular, barras, dispersión). Tablas de doble entrada.
1
HORA(S) / SEMANA(S)
Semana 1 a 2
UNIDAD Nº: 2 Medidas descriptivas
LOGRO
Utiliza rigurosamente las medidas de resumen de datos, reconoce su importancia en el análisis del
comportamiento de los datos y es conciente de sus implicancias.
TEMARIO
Medidas de tendencia central: media aritmética, mediana, moda, media ponderada. Medidas de posición:
cuartiles, deciles y percentiles. Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar y coeficiente de
variación. Medidas de asimetría. Diagramas de caja
HORA(S) / SEMANA(S)
Semana 3 a 4
UNIDAD Nº: 3 Teoría de probabilidad
LOGRO
Comprende los diferentes conceptos relacionados con probabilidades y lo utiliza adecuadamente en
situaciones reales.
TEMARIO
Técnicas de conteo: Regla de la adición y la multiplicación. Permutaciones y combinaciones. Probabilidad:
concepto, experimento aleatorio, espacio muestral y evento. Operaciones con eventos. Probabilidad
condicional. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Diagrama del árbol. Eventos independientes.
HORA(S) / SEMANA(S)
Semana 5 a 7
UNIDAD Nº: 4 Variable aleatoria
LOGRO
Explica adecuadamente el concepto de variable aleatoria, analizando el comportamiento de las variables
mediante modelos matemáticos. Asimismo utiliza satisfactoriamente el concepto de valor esperado en la
toma de decisiones.
Reconoce, modela y analiza procesos aplicando las distribuciones de probabilidad y de densidad más
utilizadas para la toma de decisiones, valorando la importancia de la investigación del trabajo estadístico
precedente.
TEMARIO
Definición de variable aleatoria discreta y continua. Función de probabilidad de una variable aleatoria
discreta. Función de densidad y función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.
Valor esperado y varianza de variables aleatorias discretas y continuas.
2
Estudio de propiedades de las siguientes distribuciones: binomial, hipergeométrica, Poisson, uniforme
continua, normal, t-Student, chi-cuadrado, F.
HORA(S) / SEMANA(S)
Semana 9 a 11
UNIDAD Nº: 5 Distribuciones muestrales
LOGRO
Utiliza adecuadamente las distribuciones muestrales para calcular probabilidades e intervalos de confianza
TEMARIO
Teorema central del límite. Distribución muestral de un promedio, una varianza y una proporción. Tamaño
muestral. Distribución muestral de la razón de varianzas. Distribución muestral de la diferencia de
promedios y diferencia de proporciones.
HORA(S) / SEMANA(S)
Semana 12 a 15
V. METODOLOGÍA
En las clases teóricos prácticas se priorizará los aspectos conceptuales y la resolución de casos dentro del
contexto de la administración de negocios, para promover la toma de decisiones en base a resultados. En los
laboratorios se trabajará con el Excel, para simplificar los cálculos. En el curso se desarrollarán: prácticas
calificadas, prácticas de laboratorio, exámenes y trabajos grupales
VI. EVALUACIÓN
FÓRMULA
25% (EA1) + 25% (EB1) + 20% (TF1) + 7.5% (PC1) + 7.5% (PC2) + 7.5% (PC3) +
7.5% (PC4)
TIPO DE NOTA
EA - EVALUACIÓN PARCIAL
EB - EVALUACIÓN FINAL
PC - PRÁCTICAS PC
PC - PRÁCTICAS PC
PC - PRÁCTICAS PC
PC - PRÁCTICAS PC
TF - TRABAJO FINAL
PESO %
25
25
7.50
7.50
7.50
7.50
20
3
VII. CRONOGRAMA
TIPO DE DESCRIPCIÓN NOTA
PRUEBA
EA
EVALUACIÓN
PARCIAL
EB
EVALUACIÓN FINAL
TF
TRABAJO FINAL
PC
PRÁCTICAS PC
PC
PRÁCTICAS PC
PC
PRÁCTICAS PC
PC
PRÁCTICAS PC
NÚM. DE FECHA
PRUEBA
1
SEMANA
08
1
SEMANA
16
1
SEMANA
15
1
SEMANA
03
2
SEMANA
06
3
SEMANA
11
4
SEMANA
14
OBSERVACIÓN
RECUPERABLE
SÍ
SÍ
NO
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
VIII. BIBLIOGRAFÍA DEL CURSO
BÁSICA
ANDERSON, David R (2008) Estadística para administración y economía. México, D.F. : Cengage
Learning.
(519.5 ANDE 2008)
RECOMENDADA
(No necesariamente disponible en el Centro de Información)
LIND, Douglas A. (2004) Estadística para administración y economía. México, D.F. : Alfaomega.
(519.5 MASO 2004)
WEBSTER, Allen (2000) Estadística aplicada a los negocios y la economía. Bogotá : McGraw-Hill.
(519.5 WEBS/E)
4
215
Estadística Aplicada a los Negocios UPC 2010 02
Plan calendario
Sem.
Fecha
1
16 21
ago ago
2
3
6
set
11
set
5
13
set
18
set
6
20
set
25
set
7
27
set
2
set
4
oct
11
oct
9
oct
16
oct
10
18
oct
23
oct
11
25
oct
30
oct
9
12
1
6
nov nov
13
8
13
nov nov
14
15 20
nov nov
15
16
Sesión 1
Definiciones: Estadística.
Laboratorio 1
Muestra. Variables, tipos de
Organización
variables. Escalas de medide datos
ción.
Distribuciones de frecuen23 28
cias de variables discretas y
ago ago
continuas
Laboratorio 2
30
4
Medidas descriptivas. Media,
Organización
ago set
mediana y moda
de datos
4
8
Sesión de
laboratorio
22 27
nov nov
29
4
nov dic
Media ponderada, percentiles
Laboratorio 3
Medidas de asimetría, diaMedidas desgrama de cajas
criptivas
Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones
Laboratorio 4
Probabilidad condicional.
Prueba de
Teorema de Bayes
laboratorio
Sesión 2
Práctica
Distribuciones de frecuencias. Representaciones gráficas: Barras,
sector circular. Tabulaciones cruzadas
Gráficos cuantitativos. Histograma,
ojiva
Resolución de problemas para la
práctica calificada 1
PC1: Hasta
ojiva
Medidas de variabilidad. Varianza,
desviación estándar, coeficiente de
variación, rango y rango intercuartil
Teoría de probabilidades. experimento aleatorio, eventos y sus probabilidades
Resolución de problemas para la
PC2: Hasta
permutaciones
práctica calificada 2
Independencia de eventos y resolución de problemas para el examen
parcial
Semana de Exámenes Parciales
Variable aleatoria discreta.
Valor esperado y varianza
Variable aleatoria continua.
Laboratorio 5
Función de densidad y distriDistribuciones
bución acumulada. Valor
discretas
esperado y varianza
Distribuciones continuas:
Distribución normal.
Distribuciones de probabilidad binomial, hipergeométrica y Poisson
Distribuciones continuas: Distribución
uniforme y normal.
Resolución de problemas para la
práctica calificada 3
Propiedad reproductiva de la
normal. Distribuciones muesLaboratorio 6
trales. Definiciones. Distribu- Intervalo de confianza para la media
Distribuciones
ción de la media muespoblacional
continuas
tral.Teorema central del
límite
Distribución muestral de la razón de
Distribución muestral de la
varianzas. Aplicaciones. Distribución
proporción y varianza. Aplimuestral de la diferencia de medias.
caciones.
Aplicaciones
Distribución muestral de la
Laboratorio 7
diferencia de medias con
Resolución de problemas para la
Prueba de
práctica calificada 4
observaciones pareadas y
laboratorio
proporciones
Presentación del trabajo de Presentación del trabajo de la Tarea
la Tarea académica
académica
Semana de Exámenes Finales
PC3: Hasta
distribución
normal
PC4: Hasta
diferencia de
medias