1 Números Complejos

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
(MAT021)
1er Semestre de 2010
1
Números Complejos
Se define el conjunto de los números complejos como:
C = {a + bi / a, b ∈ R , i2 = −1}
Definición 1.1. Sea z, w ∈ C tal que z = x + iy en donde x, y ∈ R. Se define:
1. La parte real de z, denotado por Re{z}, al número real x. Esto es Re{z} = x.
2. La parte imaginaria de z, denotado por Im{z}, al número real y. Esto es Im{z} = y.
3. z = w si Re{z} = Re{w} e Im{z} = Im{w}.
1.1
Operatoria
Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 con x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. Se define:
1. La suma de z1 y z2 como: z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
2. La multiplicación de z1 y z2 como: z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
Elemento Neutro para la Suma
Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que
z + e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la suma.
z+e =
(x + iy) + (e1 + ie2 )
=
(x + e1 ) + i(y + e2 )
=
x + iy
Esto quiere decir que x + e1 = x y que y + e2 = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la
suma viene dado por e = 0 + i0 = 0.
Elemento Neutro para la Multiplicación
Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que
z · e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la multiplicación.
z·e
=
(x + iy) · (e1 + ie2 )
=
(xe1 − ye2 ) + i(xe2 + e1 y)
= x + iy
Esto quiere decir que xe1 − ye2 = x y que xe2 + e1 y = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro
para la multiplicación viene dado por e = 1 + i0 = 1.
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Elemento Inverso para la Suma
Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que
z + w = 0, es decir, que w es el elemento inverso para la suma.
z+w
=
(x + iy) + (w1 + yw2 )
=
(z + w1 ) + i(y + w2 )
=
0 + i0
Esto quiere decir que x + w1 = 0 y que y + w2 = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la
suma viene dado por w = (−x) + i(−y). Este elemento será denotado por “ −z ”.
Elemento Inverso para la Multiplicación
Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que
z · w = 1, es decir, que w es el elemento inverso para la multiplicación.
z·w
=
(x + iy) · (w1 + iw2 )
=
(xw1 − yw2 ) + i(xw2 + w1 y)
=
1 + i0
Esto quiere decir que xw1 − yw2 = 1 y que xw2 + w1 y = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso
para la multiplicación viene dado por
−y
x
+i 2
w= 2
x + y2
x + y2
Este elemento será denotado por “ z −1 = z1 ”.
Se puede demostrar que (C, +, ·) cumple con los axiomas de cuerpo.
Ejercicio 1.1. Encontrar las partes real e imaginaria de z 3 si z = x + iy con x, y ∈ R
Ejercicio 1.2. Calcular i457 + i−245 + 2i200 + i
1.2
Conjugado y Módulo
Definición 1.2. Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Se define el conjugado de z como z = x − iy.
Notar que siempre se cumplirá que z + z = 2 Re (z) y que z − z = 2 Im (z) i. Ası́
Re (z) =
z+z
2
y
z−z
2i
A partir de esta definición se tendrán las siguientes propiedades.
Im (z) =
Propiedades 1.1. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que:
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1. z = z.
2. z + w = z + w.
3. z · w = z · w.
4. Si w 6= 0 entonces
z
w
=
z
w.
n
5. (z n ) = (z) .
6. Si z 6= 0 entonces z −1 =
z
.
z·z
7. z = z ⇔ z ∈ R.
Definición 1.3. Sea z ∈ C. Se define el módulo de z (la norma de z) como |z| =
√
z · z.
p
Notar que si z = x + iy con x, y ∈ R entonces se tendrá que |z| = x2 + y 2 . Con esta observación se puede
concluir que Re (z) ≤ |z| y que Im (z) ≤ |z|. A continuación se presentan algunas propiedades de la norma de un
número complejo.
Propiedades 1.2. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que:
1. |z| ≥ 0 y |z| = 0 ⇔ z = 0.
2. |z · w| = |z| · |w|.
2
3. |z| = z · z
4. |z| = |z|
5. Si w 6= 0, wz =
|z|
|w|
6. ||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|.
1.3
Forma Polar de un Número Complejo
Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R.
De aquı́ se observa que x = R cos θ, y = R sin θ y R = |z| =
partir de esto:
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p
x2 + y 2 . Además se tendrá que tan θ = y/x. A
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θ=

y

arctan



x





y



 arctan x + π
, si x 6= 0 ∧ z está en el primer o cuarto cuadrante
, si x 6= 0 ∧ z está en el segundo o tercer cuadrante

π




2







 −π
2
, si x = 0 ∧ y > 0
, si x = 0 ∧ y < 0
Notar que z = x + iy = |z|(cos θ + i sin θ). Si se define cis θ = cos θ + i sin θ, entonces todo número complejo
podrá ser expresado de la forma z = |z| cis θ.
Propiedades 1.3. Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Entonces se tiene que:
1. z1 · z2 = |z1 | · |z2 | cis (θ1 + θ2 ).
2.
z1
z2
=
|z1 |
|z2 |
cis(θ1 − θ2 ).
3. z1 = |z1 | cis(−θ1 ).
4. z1−1 =
1
|z1 |
cis (−θ1 ), si z 6= 0.
Ejemplo 1.1. Como ejemplo de una aplicación de esta forma de representar a los números complejos, considere la
función φ : C −→ C definida por φ(z) = iz. Esta función representa
una rotación en el plano complejo. En efecto,
se tiene que z = |z| cis θ e i = cis π2 , luego φ(z) = |z| cis θ + π2 .
1.4
Teorema de Moivre
Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Si z1 = z2 entonces se tendrá que |z1 | = |z2 | y que
cis θ1 = cis θ2 . Por la igualdad de números complejos se concluye que θ1 = θ2 + 2kπ con k ∈ Z.
Teorema 1.1. Sea z ∈ C de modo que z = |z| cis θ, y n ∈ N. Entonces se cumple que z n = |z|n cis(nθ).
La demostración de este teorema es por inducción sobre n.
Una aplicación de este teorema es la obtención de las raı́ces n-ésimas de un número complejo (en particular, un
número real). Para ilustrar esto primero se considerará un ejemplo y luego se dará una formulación general.
Ejemplo 1.2. Obtener las raı́ces n-ésimas de la unidad.
Resolver este problema es encontrar n números w, de
√
modo que wn = 1. Por notación se tendrá que w = n 1.
Se tiene que w = |w| cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, wn = |w|n cis(nθ). Por hipótesis tenemos
que wn = 1 cis 0, luego se concluye que |w|n = 1 y cis(nθ) = cis 0. De aquı́: |w| = 1 y nθ = 2kπ con k ∈ Z.
k=0
,
θ0 = 0
,
w0 = 1
k=1
,
θ1 = 2π/n
,
w1 = cis(2π/n)
k=2
,
θ2 = 4π/n
,
w2 = cis(4π/n)
..
.
.
, ..
k =n−1
,
θn−1 = 2(n − 1)π/n
,
wn−1 = cis(2(n − 1)π/n)
k=n
,
θn = 2π
,
wn = 1
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.
, ..
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Notar que para k = n se empieza a repetir la solución. Luego las raı́ces de la unidad vienen dadas por:
wn = cis( 2kπ
n ) con k = 0, 1, . . . , n − 1.
Sea z ∈ C y n ∈ N. Se calculará la raı́z n-ésima de z, esto es, encontrar n números w de modo que wn = z.
Se tiene que z = |z| cis θz y w = |w| cis θw . Por el teorema de Moivre, wn = |w|n cis(nθw ). Luego |w|n = |z| y
nθw = θz + 2kπ con k = 0, 1, . . . , n − 1.
√
Las raı́ces n-ésima de z, n z, vienen dadas por:
p
n
2
|z| cis
θz +2kπ
n
con k = 0, 1, . . . , n − 1.
Ejercicios Propuestos
1. Exprese los siguientes números complejos en su forma polar, y luego ubı́quelos en el plano complejo.
√
a) 2 − 2i
b) −1 + 3i
c)
√
√
2 2 + 2 2i
d)
e)
√
−2 3 − 2i
f)
g)
7
h)
i)
3 + 3i
−i
√
3 3i
−
2
2
1+i
2. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos.
a)
z 4 + 8iz = 0
b)
z 4 + 2z 2 + 2 = 0
c)
z 3 + 3z 2 + z − 5 = 0
d)
9z 2 + 6(4 − 3i)z − (1 + 9i) = 0
e)
z3 − 1 + i = 0
f)
2z 4 + z 2 − z + 1 = 0 (raı́z cúbica de la unidad es una raı́z)
3. Calcule:
√
1
a) (2 3 − 2i) 2
b)
(−4 + 4i) 5
√ 1
(2 + 2 3i) 3
d)
(−16i) 4
c)
e)
g)
√
3
8
√ 1
(−8 − 8 3i) 4
f)
h)
1
1
√
4
√
16
2i
4. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re(z) =
√
√
3 Im(z) y que |z|2 + 3 z · z − 4 = 0.
5. Pruebe las siguientes identidades trigonométricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno.
3
1
sin θ − sin 3θ.
4
4
1
1
3
4
(b) cos θ = cos θ + cos 2θ + .
8
2
8
(a) sin3 θ =
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