TEMA 3: Teoremas de la teoría de circuitos.

TEMA 3
TEOREMAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS
3.1.- Clases de circuitos eléctricos: Lineales, cuasilineales, no lineales.
3.2.- Propiedades de los circuitos lineales: Homogeneidad y aditividad.
3.2.1.- Proporcionalidad.
3.2.2.- Superposición.
3.3.- Resolución de circuitos.
3.3.1.- Método de las Mallas.
3.3.2.- Método de los Nudos.
3.3.3.- Teorema de Thevenin.
3.3.4.- Teorema de Norton.
3.4.- Teorema de la máxima transferencia de potencia.
3.5.- Métodos para transformar circuitos: Teorema de Kennelly.
Francisco J. Casares de la Torre
Marzo 2010
TEMA 3
TEOREMAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS
3.1.-
CLASES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
1.-
CIRCUITOS LINEALES: Son aquellos cuyo comportamiento puede caracterizarse
mediante una ecuación diferencial lineal. Sus elementos han de ser lineales, o sea, las
respuestas de estos circuitos son funciones lineales de las entradas.
2.-
CIRCUITOS CUASILINEALES: Son los que contienen uno o más elementos no
lineales, pero que al menos en un margen de su funcionamiento pueden considerarse
como lineales. Para este tipo de circuitos puede emplearse la teoría de análisis de los
circuitos lineales.
3.-
CIRCUITOS NO LINEALES: No puede establecerse en ellos la hipótesis de linealidad,
dentro de un margen de aproximación permisible. Requieren el empleo de técnicas
especiales de análisis.
Los elementos estudiados hasta ahora, son elementos lineales, por lo que los circuitos
formados por la combinación de estos serán circuitos lineales.
3.2.-
PROPIEDADES DE LOS CIRCUITOS LINEALES
A)
Homogeneidad: Si x(t) e y(t) son las funciones excitación y respuesta correspondientes
a un sistema lineal (siendo y = Kx la función lineal, K = constante) se verificará que a
la excitación Ax(t) responde el sistema con Ay(t), siendo A una constante.
por ejemplo, si en una resistencia:
excitación: i
excitación: i'= Ai
3-1
respuesta: u = R @ i
respuesta: u'= R @ i'= R@@A@@i = A @ u
Un circuito será lineal solo en las variables de intensidad y tensión, pero no en la
potencia.
Esta propiedad de homogeneidad en análisis de circuitos se llama
PROPORCIONALIDAD.
B)
Aditividad: La salida debida a dos o más entradas se puede hallar sumando las salidas
que se obtiene cuando se aplica por separado cada una de las entradas.
1
A1x1
1
1
A1y1
C. E.
y2 = K2 x2
A2x2
A1x1 +
A2 x2
C. E.
C. E.
A2y2
A1y1 + A2 y2 =
A1K 1x1 + A2K 2x2
=
O sea, toda combinación lineal de las señales de entrada o funciones de excitación, tiene
por respuesta análoga combinación lineal de las correspondientes salidas o funciones respuestas.
A la propiedad de aditividad, en Electrotecnia, se le llama SUPERPOSICIÓN.
3.2.1.- PROPORCIONALIDAD
Las relaciones entradas-salidas de los circuitos eléctricos tienen la propiedad de la
homogeneidad. Veamos con ejemplos de circuitos eléctricos que existe proporcionalidad en
circuitos con resistencias, bobinas y condensadores.
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN RESISTENCIAS
Si en el circuito siguiente consideramos que la excitación es u y la respuesta del circuito
es u2, se tendrá:
3-2
Circuito Eléctrico
u1
u1
ENTRADA
i(t)
SALIDA
R1
i(t)
u(t)
R2
u2
R1
u(t)
u2
R2
RESPUESTA
EXCITACION
Por división de tensión: u2 '
R2
R1 % R2
u ' K @ u siendo K '
R2
R1 % R2
una constante que
solo depende del valor óhmico de las resistencias, por lo que los circuitos con resistencias son
lineales. Esto implica que ante una excitación u'= u @ A la respuesta será: u'2 = K A u = A u2
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN BOBINAS
En el circuito de la figura, si la excitación es u y la respuesta del circuito es u2, se tendrá:
Circuito Eléctrico
u1
u1
i(t)
ENTRADA
L1
i(t)
u(t)
L2
SALIDA
L1
u(t)
u2
EXCITACION
i'
1
u dt
L1 % L2 m
por lo que u2 ' L2
L2
di
'
u =Ku
dt L1 % L2
u2
L2
RESPUESTA
siendo K '
L2
L1 % L2
que es una constante que depende de las características de los elementos del circuito, en este caso
bobinas, por lo que los circuitos con bobinas son lineales. Esto nos lleva a que si la excitación
es: u'= A u siendo A una constante; La respuesta será: u'2 = K u' = K A u = A u2.
3-3
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN CONDENSADORES
En el ejemplo de la figura , si la excitación es u y la respuesta del circuito es u2, se tendrá:
Circuito Eléctrico
u1
u1
ENTRADA
i(t)
SALIDA
C1
i(t)
u(t)
C2
u2
C1
u(t)
EXCITACION
u'
u
RESPUESTA
1
1
1
1
i dt %
i dt de donde u ' (
%
) i dt , despejando:
C1 m
C2 m
C1 C2 m
C1 @ C2
C1 % C2
u2 '
u2
C2
'
m
i dt (1) como u2 '
C1 @ C2
(C1 % C2) C2
u'
C1
C1%C2
1
i dt (2) sustituyendo (1) en (2):
C2 m
u = K u siendo K '
C1
C1 % C2
que como observamos es función de los valores característicos de los elementos pasivos del
circuito, por lo tanto constante, y de esta forma vemos que los circuitos con condensadores
también son lineales, por lo que si la excitación es : u'= A u siendo A una constante, la respuesta
será: u'2 = K u' = K A u = A u2 .
Con estos ejemplos comprobamos que existe proporcionalidad en los circuitos eléctricos
que tienen estos tres elementos lineales. Propiedad que nos sirve para dar respuesta a una
pregunta frecuente en la resolución de circuitos, la cual es: ¿Que tensión tengo que tener entre
dos puntos para que me pase una intensidad determinada por un elemento o conseguir una
tensión en bornes de este?
3-4
Para resolver este problema se utiliza una técnica de análisis basada en la
proporcionalidad de los circuitos eléctricos, la cual se llama método de la respuesta unidad,
que consiste en suponer una excitación de valor unidad, con la cual hallamos la respuesta del
circuito y por lo tanto la relación de proporcionalidad que nos interesa. Una vez obtenida esta
relación, se puede obtener fácilmente la respuesta del C.E. ante cualquier excitación, o al revés,
es simplemente una regla de tres.
Veamos con un simple ejemplo como se aplica esta técnica.
Ejemplo: Dado el circuito de la figura calcular que característica debe tener la fuente de tensión
para que la diferencia de potencial entre C y D, UCD, sea de 2 voltios.
C.E.
ENTRADA
4Ω
A
2Ω
C
4Ω
A
E
SALIDA
C
C
2Ω
U
4Ω
2V
2Ω
-
U
E
4Ω
2V
2Ω
B
D
F
B
F
EXCITACION
D
RESPUESTA
En este ejemplo la excitación es UAB y la respuesta que nos interesa UCD.
Damos un sentido arbitrario a las intensidades de rama, según se puede observar en el
esquema y planteamos una ecuación de intensidades en el nudo C y dos ecuaciones de tensiones
obtenidas de las mallas correspondientes, con lo que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas.
3-5
A
4Ω
I
C
I2
2Ω
E
Numero de nudos principales: 2 (C y D)
Numero de eslabones = Nº de mallas = 2
I1
+
1V
4Ω
U CD
2Ω
-
B
F
D
I = I1 + I2
4 I2 - 4 I1 = 0
4 I1 - 1 + 4 I = 0
(nudo C)
(malla CEFD)
(malla CDBA)
despejando I1 del sistema de ecuaciones se tendrá que: I1 = 1/12 A, con lo cual la tensión entre
C y D para una excitación de 1 V entre A y C valdrá: UCD = I1 RCD = 1/12 × 4 = 1/3 V esto
implica que la constante de linealidad será:
–> 1/3 = K @ 1
UCD = K UAB
–> K = 1/3
y sabiendo que UCD = 2 V, implica que la fuente tendrá una característica de UAB = 6 V.
Gráficamente:
ENTRADA
SALIDA
UAB = 1 V
UCD = 1/3 V
K = 1/3
A=6
A=6
UAB = 6 V
UCD = 2 V
K = 1/3
Si la entrada aumenta 6 veces la salida aumenta 6 veces, debido a la existencia de la
propiedad denominada proporcionalidad.
Comprobemos que por las leyes de Kirchhoff da el mismo resultado. Planteando las
ecuaciones:
Nudo C
–>
I - I1 - I2 = 0
Malla CEFD –>
4 I2 - 4 I1 = 0
Malla CDBA –>
4 I1 - 6 + 4 I = 0
resolviendo el sistema: I1 = 6/12 = 0,5 , UCD = I1 C RCD = 2 V
3-6
3.2.2.- SUPERPOSICIÓN
Las relaciones entrada-salida de los circuitos lineales tienen la propiedad de aditividad
de las funciones lineales.
Cualquier salida (tensión o intensidad de la corriente en una rama) se puede escribir en
la forma
y = f1(x1) + f2(x2) + ... + fn(xn) = K1x1 + K2x2 + ...Knxn
siendo:
x1, x2, ..., xn las entradas al circuito
K1, K2, ..., Kn constantes que dependen del circuito.
La salida es una combinación lineal de las entradas.
Una técnica de análisis de circuitos basada en la superposición procede de la manera
siguiente:
1.2.3.-
Desconectar todas las fuentes de señal de entrada menos una y hallar la salida
debida a dicha señal solamente.
Repetir el paso 1 sucesivamente para cada una de las demás fuentes de señal.
La salida en el caso de que estén conectadas todas las fuentes se encuentra
entonces sin más que sumar las respuestas correspondientes a cada fuente
actuando sola.
Para ilustrar esta técnica de análisis determinemos la salida "UAB" del circuito de la figura
por conversión de fuentes,
A
R1
+
UE
IE
R2
U AB
B
primeramente transformaremos la fuente de tensión en fuente de intensidad,
A
UE
R1
R1
I
R2
E
U AB
B
3-7
reducimos las fuentes de intensidad y las resistencias en paralelo
UE
R1
R1 R2
R1+R2
+ IE
y de aquí podemos deducir que UAB ' (
UAB '
siendo: K1 '
R2
R1 % R2
R2
R1 % R2
@ UE % IE [
y K2 '
UE
R1
R1 R2
R1 % R2
R1 R2
R1 % R2
% IE ) @
U AB
R1 R2
R1 % R2
operando:
] = K1UE + K2IE = K1x1 + K2x2
constantes.
“La salida resulta ser una combinación lineal de las entradas”
Y ahora, vamos a determinar la salida del circuito anterior utilizando "Superposición".
R1
R1
+
R2
UE
U AB
Anulación de la fuente de intensidad
UAB(U ) '
E
R2
R1 % R2
Anulación de la fuente de tensión
UAB(I ) '
UE
E
Respuesta para entrada UE
Por superposición:
R2
IE
(U E )
R1 R2
R1 % R2
Respuesta para entrada IE
UAB = UAB(UE) + UAB(IE)
UAB = K1 UE + K2 IE
siendo: K1 '
R2
R1 % R2
y K2 '
IE
R1 R2
R1 % R2
las constantes de proporcionalidad.
3-8
U AB
(I E )
3.3.-
RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS
En este apartado vamos a estudiar un conjunto de métodos que a menudo simplifica el
análisis de los circuitos lineales. Estos métodos están basados en los lemas Kirchhoff y principio
de la superposición, y sirven para analizar cualquier circuito independiente de su excitación, pero
por razón de sencillez solo se deducirán para corriente continua.
El método de las Mallas y el de los nudos son métodos generales de análisis, son métodos
formales, que se pueden dividir en dos fases. En la primera seleccionamos un conjunto de
variables del circuito y formulamos un sistema de ecuaciones lineales que describe el circuito.
En la segunda o fase de solución manipulamos este sistema de ecuaciones para determinar las
variables de interés.
Los teoremas de Thevenin y Norton constituyen poderosas herramientas para el análisis
de parte de los circuitos.
3.3.1.- MÉTODO DE LAS MALLAS
Este método emplea implícitamente el 1º Lema de Kirchhoff y el 2º lema lo utiliza en
forma explícita, de tal forma que se obtiene gran economía de manipulación algebraica en
comparación con los lemas de kirchhoff.
Consideremos el Circuito de la figura
R1
I1
I2
R2
I3
E
1
IA
I6
R6
I5
R3
R5
IB
R 4
IC
E2
I4
Por los LEMAS DE KIRCHHOFF, asignaríamos unas corrientes de ramas I1, I2, I3, I4,
I5 e I6 que serían nuestras incógnitas, y dispondríamos de las siguientes ecuaciones para
resolverlo:
3 ecuaciones nodales (nudos principales -1)
3 ecuaciones de malla.
tendríamos: 6 ecuaciones con 6 incógnitas.
3-9
Por el "método de Mallas" se consideran que existen unas corrientes en las mallas de la
Red IA, IB, IC que serán las incógnitas, con lo que reduciremos el numero de ecuaciones a
plantear, tendremos tantas ecuaciones como mallas o lazos básicos. A estas corrientes le daremos
a todas el mismo sentido (por conveniencia) y pueden identificarse con las corrientes de rama,
de forma que:
Corrientes
de malla
Corrientes de
ramas
IA = I1
IB = I4 = -I2
IC = -I6
I1 = IA
I2 = - IB
I3 = IA - IB
I4 = IB
I5 = IB - IC
º
Si aplicamos el 2º lema de Kirchhoff al circuito podremos obtener r-(n-1) ecuaciones
independientes y podrán ser:
I3 R3 - E1 + I1 R1 = 0
E. Malla "A"
- I2 R2 + I5 R5 + I4 R4 + I4 R4 - I3 R3 = 0
E. Malla "B"
- I6 R6 + E2 - I5 R5 = 0
E. Malla "C"
sustituyendo las intensidades de ramas por intensidades de malla se tendrá:
E1 = R1 IA + (IA - IB) R3
0 = (IB - IA) R3 + IB R2 + (IB - IC) R5 + IB R4
-E2 = (IC - IB) R5 + IC R6
Reagrupando se obtendrá:
E1 = IA (R1 + R3) - IB R3
E. Malla "A"
0 = -IA R3 + IB (R2 + R3 + R4 + R5) -IC R5
E. Malla "B"
-E2 = -IB R5 + IC (R5 + R6)
E. Malla "C"
Ya tenemos 3 ecuaciones con tres incógnitas. Lo resolvemos y obtendremos las
intensidades de malla, y a partir de estas, las intensidades de rama, con lo cual tendremos resuelto
el circuito. Se ha reducido el numero de ecuaciones a resolver a tres.
3 - 10
Interpretemos estas ecuaciones, para ver si se pueden plantear directamente:
En la ecuación Malla "A":
1º miembro:
Es igual a la suma de f.e.m. de la malla –> ' E1i
2º miembro:
Coeficiente de IA:
Coeficiente de IB:
Es la resistencia propia de la malla, igual a
la suma de las resistencias de dicha malla
Suma de resistencias comunes a la malla
"A" y "B" con signo cambiado
En las demás mallas la interpretación es la misma. En forma matricial y generalizando
RAA RAB RAC
IA
EA
RBA RBB RBC @ IB ' EB
RCA RCB RCC
siendo:
IC
EC
RAA = ' Resistencias de la malla "A"
RAB = RBA = ' Resistencias comunes a las mallas "A" y "B" con signo negativo
RAC = RCA = ' Resistencias comunes a las mallas "A" y "C" con signo negativo
RBC = RCB = ' Resistencias comunes a las mallas "B" y "C" con signo negativo
RBB = ' Resistencias de la malla "B"
RCC = ' Resistencias de la malla "C"
EA = ' f.e.m. de la malla "A"
EB = ' f.e.m. de la malla "B"
EC = ' f.e.m. de la malla "C"
ya tenemos formulado el sistema de ecuaciones lineales que describe el circuito, la resolución del
sistema se puede hacer por ejemplo por Cramer.
Para un sistema con M mallas el planteamiento será exactamente igual. Y en forma
matricial y generalizando será:
3 - 11
Rik: suma de todas las
resistencias comunes a las
mallas i y k cambiadas de
signo
Rii: suma de todas las
resistencias de la malla i.
R AA
R BA
R AB
R BB
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
.
.
.
. . .
.
. . . R mm
A
B
i:
suma
de todas
las f.e.m.
de la
malla i.
. . . R Am
. . . R Bm
R mA R mB
m
IA
IB
.
.
.
.
.
Im
Ii:
corriente
ficticia de
la malla i.
En este método hay que tener en cuenta que se ha aplicado el 2º lema a lo largo de unos
caminos cerrados que coinciden con las mallas. En estos recorridos no puede haber ninguna fuente
de intensidad pues la tensión en sus bornes es desconocida, depende del circuito exterior. Por lo
que todas las fuentes de energía deben ser de tensión en caso de que exista una fuente de
intensidad hay que realizar la conversión a fuentes de tensión. Si en una rama existiera una fuente
de intensidad la cual no puede ser convertida en fuente de tensión, esta intensidad sería un dato.
I
1
IA
IA
I
1
IB
IC
IB
IC
Dato:
IA = I
1
Dato:
IB - I A = I
1
Por todo lo comentado anteriormente, el método de las mallas se puede decir que
formalmente tiene dos fases, la primera sería el planteamiento de las ecuaciones de malla, que le
corresponde los siguientes pasos:
1.2.3.-
Pasar todas las fuentes de intensidad a fuentes de tensión.
Identificar una intensidad de malla con cada malla.
Escribir las condiciones impuestas a las conexiones por la segunda ley de
Kirchhoff en función de las intensidades de malla a lo largo de una malla,
o sea, escribir la suma de las tensiones a lo largo de una malla.
Y una segunda fase que seria:
4.Resolver el circuito
5.Hallar las intensidades de cada una de las ramas (que son las verdaderas
incógnitas)
3 - 12
3.3.2.- MÉTODO DE LOS NUDOS
El método de las mallas trata de hallar las corrientes de mallas y después hallar las
intensidades de cada una de las ramas, posteriormente es posible hallar las tensiones de cada
elemento pasivo o activo de la red.
El método de los nudos trata de determinar las tensiones de los nudos respecto a uno que
se elige como referencia para después obtener la tensión respecto a los demás nudos y las
intensidades de cada una de las ramas.
En este método se aplica el primer lema de Kirchhoff ' I = 0 a cada uno de los nudos
principales menos uno:
NUMERO DE ECUACIONES = N - 1
Si elegimos el mismo esquema utilizado en el método de las mallas los pasos a seguir
para aplicar el método de los nudos son los siguientes:
R1
R2
R6
+
R3
E1
R5
E2
R4
1.-
Todas las fuentes de tensión se transforman en fuentes de intensidad y las resistencias
en conductancias G = 1/R
1
2
R2
E1
= I13
R1
R3
R1
R5
R6
E2
R6
R4
3
"0" NUDO REFERENCIA
Fuentes de tensión --> Fuentes de intensidad
3 - 13
I 20
1
2
G12
I13
G13
G20
G30
I
20
Simbolo de la
conexión a tierra
0
3
Resistencias –> Conductancias
Nudo de referencia”0" –> Se conecta a tierra, U0 = 0 V
2.-
Se elige un nudo de referencia en nuestro caso el nudo "0" (ver figura).
La tensión de cada nudo con respecto al nudo de referencia es U1, U2, U3 ( en el
caso de n nudos U1, U2, ..., Un-1) y la tensión entre dos nudos, por ejemplo nudos 1 y 2,
U12 = (U1 - U0) - (U2 - U0) = U1 - U2 siendo U0 la tensión del nudo de referencia
3.-
Se aplica el primer lema de Kirchhoff a todos los nudos principales menos al de
referencia, considerando (+) las intensidades entrantes a los nudos
Notaciones:
I1 = I13 se considera positiva entra al nudo 1
R13 '
G13 '
1
1
1
%
R1 R3
Resistencia entre 1 y 3
1
1
1
'
%
R13 R1 R3
Conductancia entre 1 y 3
R12 = R2
Resistencia entre 1 y 2
G12 = 1/R2
Conductancia entre 1 y 2
R10=4 , G10=0 no hay unión directa entre 1 y 0
A partir de las notaciones, el primer lema de kirchhoff aplicado al nudo 1 sería:
I13 - U12G12 - U13G13 = 0
sustituyendo los valores U12 y U13 en función de las tensiones respecto al nudo de referencia
obtenemos:
3 - 14
I13 - (U1 - U3) G13 - (U1 - U2) G12 = 0
despejando
I13 = U1 (G12 + G13) - U2 G12 - U3 G13
si generalizamos la ecuación tendremos:
k'n
k'n
k'n
k'0
k'0
k'0
k'n
k'n
k'n
k'0
k'0
k'0
k'n
k'n
k'n
k'0
k'0
k'0
j I1k ' U1 j G1k & j Uk G1k
para los demás nudos tendremos:
j I2k ' U2 j G2k & j UkG2k
Nudo 2:
j I3k ' U3 j G3k & j UkG3k
Nudo 3:
Si consideramos las siguientes notaciones:
k'n
I'1 = j I1k = Suma de las intensidades debida a todas las excitaciones que concurren en
k'0
el nudo 1 en nuestro caso I13(+)
U1 = Tensión del nudo 1 respecto al nudo de referencia "0"
k'n
G'11 = j G1k = Conductancia propia del nudo (en nuestro caso G12 + G13)
k'0
G'1k = - G1k = Conductancia mutua del nudo 1 y k (entre el nudo 1 y k) cambiada de
signo
las ecuaciones de nudo quedarían:
3 - 15
k'n
Nudo 1:
I'1 = U1 G'11 + j UkG'1k
k'1
k'n
Nudo 2:
I'2 = U2 G'22 + j UkG'2k
k'1
k'n
Nudo 3:
I'3 = U3 G'33 + j UkG'3k
k'1
Y tendríamos un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas. En este caso n - 1 = 3.
Lo que obtenemos con este método son tensiones en los nudos con respecto al de referencia, pues
son las incógnitas. Es fácil mediante la aplicación de la ley de Ohm hallar los valores de las
intensidades de las corrientes de cada rama. Por ejemplo, la intensidad de la corriente que circula
entre el nudo 1 y 2 será:
I12 = (U1 - U2) G12 = U12 G12
El número de ecuaciones de nudos será: "n - 1", igual al número de ramas del "árbol".
La economía de cálculo de un método sobre otro (mallas o nudos) dependerá de la topología de
la red, que está definida por los valores:
n-1 = ramas del árbol = nº ecuaciones de nudos
r-n+1 = nº de mallas = nº de ecuaciones de malla.
En forma matricial las ecuaciones anteriores se pueden expresar según la siguiente
ecuación
)
)
)
G11 G12 G13
U1
)
I1
)
)
)
)
G21 G22 G23 @ U2 ' I2
)
)
)
G31 G32 G33
U3
)
I3
Donde el calculo de U1, U2 y U3 se realiza por la regla de Cramer fácilmente.
Para el esquema de la figura que estamos analizando, los valores de la matriz serán:
3 - 16
1
2
G12
G13
I13
G20
I
G30
20
Simbolo de la
conexión a tierra
0
3
I'1 = I13 (+)
I'2 = I20 (+)
I'3 = I31 (-)
G'11 = G12 + G13
G'12 = - G12 = G'21
G'22 = G20 + G21 + G23
G'23 = G'32 = G23 = 0
G'33 = G30 + G31 + G32
Generalizando para un circuito con M+1 nudos:
G’ii: Conductancia propia del
nudo i. Suma de todas las
conductancias que concurren
al nudo i
G’ik: Conductancia mutua
del nudo i y k (entre i y k)
cambiadas de signo
G'11
G'12
. . .
G'1m
U1
I'1
G' 21
G' 22
. . .
G' 2m
U2
.
.
. . .
.
.
I' 2
.
.
.
.
.
. . .
. . .
.
.
.
.
G'm1 G'm2
. . . G'mm
Um
.
.
I' 3
Ui: Tensión del nudo i
respecto al de referencia
3 - 17
I’i: suma de
todas las
intensidades
que concurren
al nudo i
3.3.3.- TEOREMA DE THEVENIN
Cuando al lector, principiante en electricidad, se le dice que un teorema es importante,
no es posible decirle hasta que punto lo es. El teorema de Thevenin es la clase de herramienta que
distingue al profesional del aficionado, es como una mina de oro para aquellos que saben usarlo.
El teorema de Thevenin puede enunciarse formalmente así: Cualquier red activa con
dos bornes A y B (dipolo) es equivalente a una fuente de tensión de f.e.m. UT en serie con
una resistencia RT, o sea equivalente a una fuente real de tensión, UT, de resistencia interna RT.
A
A
DIPOLO
RT
+
RC
EQUIVALE
UT
ACTIVO
RC
B
B
La tensión UT será igual a la existente entre los bornes, UAB, a circuito abierto y la
resistencia RT será la resistencia que existe entre los terminales del dipolo, anulando todas las
fuentes de energía.
A
A
DIPOLO
DIPOLO
R T = R AB
U T = U AB
ACTIVO
PASIVO
B
B
APLICACIÓN: Supongamos un circuito como el de la figura siguiente, donde la carga existente
entre A y B es variable, y deseamos conocer la tensión, o la intensidad en bornes de esta carga.
Para cada valor de la resistencia del receptor (carga) se tendrá que analizar el circuito y resolver
un sistema de ecuaciones, tantas ecuaciones como incógnitas. Ahora bien, si determinamos el
equivalente de Thevenin del circuito, para cualquier receptor, es muy fácil calcular la tensión es
sus bornes y la intensidad que circula a su través. Estas serán:
UAB = UT RC / (RC + RT) (aplicando división de tensión)
IAB = UAB / RAB = UT / (RC + RT) (aplicando la ley de ohm)
3 - 18
A
+
RC
B
DIPOLO
PASIVO
DIPOLO ACTIVO
A
RT
+
EQUIVALE
UT
RC
B
DEMOSTRACIÓN:
Sea la carga RC que le acoplamos al dipolo para la que
interesa calcular la intensidad de la corriente que la recorre.
A
IAB
DIPOLO
Si consideramos que el dipolo activo entre A y B tiene n
fuentes, nosotros sabemos que la intensidad IAB será por
superposición:
RC
ACTIVO
B
IAB = I1 + I2 + I3 + ... + In
(1)
donde : In es la respuesta parcial debido a la fuente n, o sea, la intensidad que circula por RC
cuando solo consideramos la fuente n e IAB intensidad total o respuesta debida a todas las fuentes
Si idealmente se le practica un corte
en dicha rama, evidentemente I’AB=0 pero
aparecerá una tensión UAB en los bornes de
la rama cortada, que es la que denominamos
tensión a circuito abierto.
A
C
I'AB =0
DIPOLO
U CB = U AB
ACTIVO
B
(2)
3 - 19
Si entre dichos bornes se conecta una fuente
ideal de tensión de f.e.m igual a UAB y de polaridad la
indicada en la figura correspondiente (3); Se habrá
restablecido la continuidad en el circuito pero seguirá
siendo I’AB = 0. En este caso:
A
C
I'AB =0
DIPOLO
RC
UAB
+
ACTIVO
B
I’AB = 0 = I1 + I2 + I3 + ... + IN + IN+1
1º
(3)
siendo IN+1 la respuesta parcial debida a la fuente n+1.
A
Por fin si se conecta una segunda fuente de
tensión de igual f.e.m. que la anterior y polaridad
contraria a la anterior, pasará por la rama AB la
corriente I’‘AB. ( se puede observar que (1) y (4) son
equivalente por una parte y (2) y (3) por otra)
DIPOLO
ACTIVO
I''AB
+
C
RC
U AB
U AB
+
B
2º
1º
(4)
Por el principio de la superposición, la respuesta IAB del circuito (1) será la suma de las
respuestas parciales de cada una de las fuentes de energía existentes en el dipolo activo.
IAB = I1 + I2 + I3 + ... + IN.
Como (1) y (4) son equivalentes (en (4) se anulan las dos fuentes y quedaría el circuito
(1))
IAB = I’‘AB = I1 + I2 + I3 + ... + IN + IN+1 + IN+2
ahora bien, la suma de las respuestas de las primeras n fuentes más la primera de la ficticia es
nula, luego IAB es la respuesta en la rama AB debida a la excitación de la segunda fuente de la
tensión ficticia, estando todas las demás anuladas.
IAB = I’‘AB = IN+2
En consecuencia: UT = UAB a "circuito abierto" entre A y B ; y RT es la resistencia del
dipolo equivalente entre A y B anulando todas las fuentes de energía.
3 - 20
C
A
C
A
IAB
DIPOLO
RC
U AB
PASIVO
IAB
DIPOLO
ACTIVO
+
B
2º
RC
A
B
A
C
IAB
+
IAB
RT
UT
R AB
RC
U AB
+
B
B
UT = UAB a circuito abierto
RT = RAB del dipolo pasivo
3.3.4.- TEOREMA DE NORTON
El teorema de Norton puede enunciarse formalmente así: Cualquier red activa con dos
bornes A y B (dipolo) es equivalente a una fuente de intensidad IN en paralelo con una
resistencia RN, o sea equivalente a una fuente real de intensidad, IN, de resistencia interna RN.
A
A
DIPOLO
RC
EQUIVALE
ACTIVO
IN
RN
RC
B
B
El parámetro característico IN, será igual a la intensidad que circula entre los bornes A y
B cuando se cortocircuitan (IN = ICC) y la resistencia RN será la resistencia que existe entre los
terminales del dipolo, anulando todas las fuentes de energía.
3 - 21
A
A
DIPOLO
DIPOLO
R N = R AB
I CC = I N
ACTIVO
PASIVO
B
B
Los circuitos equivalentes Thevenin y Norton de un dipolo son también, lógicamente,
equivalentes entre si. Por lo que si se tiene el equivalente de Thevenin del dipolo la
determinación del equivalente de Norton es muy fácil a partir de este. Si convertimos la fuente
real de tensión (UT, RT) en fuente de intensidad:
IN ' ICC '
UT
;
RT
RN ' R T
A
A
RT
+
EQUIVALENTES
UT
IN
RC
RN
RC
B
B
Dipolo equivalente
Thevenin
Dipolo equivalente
Norton
Por lo que no hace falta demostrar el teorema de Norton.
La referencia de la fuente de intensidad debe ser tal que al cortocircuitar los terminales,
la intensidad circule con el mismo sentido que lo hacia con el circuito activo.
Realmente esto es una simplificación del teorema de Thevenin y de Norton para corriente
continua. En corriente alterna , la resistencia de Thevenin o Norton esta constituida por un dipolo
pasivo formado por resistencias, bobinas y condensadores; Una impedancia Z.
A
A
+
ZT
EQUIVALENTES
u T (t)
i N (t)
ZC
ZN
ZC
B
B
Dipolo equivalente
Thevenin
Dipolo equivalente
Norton
3 - 22
3.4.- TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Todo dipolo activo tiene un equivalente de Thevenin, por lo tanto sabremos cual es la
tensión máxima que podremos obtener, UMAX = UT, y la intensidad máxima que nos dará el
dipolo, IMAX = ICC, pero ¿Cual será la máxima potencia que podremos obtener de un dipolo
activo?
Por razón de sencillez, trataremos el caso de una carga variable dada por una resistencia
variable como se indica en la figura
GENERADOR
RECEPTOR
A
I AB
RT
+
U AB
UT
RC
B
DIPOLO ACTIVO
DIPOLO PASIVO
Como RC es variable y la fuente de tensión es fija, tendremos:
-
Para RC = 4 , circuito abierto, UAB es máxima: UAB = UMAX = UT
-
Para RC = 0, circuito en corto, UAB es mínimo, IAB es máxima: IMAX '
Por división de tensión UAB '
con lo que IAB '
UAB
RC
'
UT
RT % R C
RC
R T % RC
UT
RT
' Icc
UT
(ley de Ohm)
La potencia cedida por la fuente a la carga será:
2
PAB ' UAB @ IAB '
UT RC
(R T % RC)2
y la máxima potencia disponible la obtendremos derivando PAB respecto a RC e igualando al valor
nulo:
3 - 23
MPAB
MRC
2
'
(RC % RT)2 & 2RC (RC % RT) UT
4
(RC % RT)
2
'
2
(RT & RC)
4
(RC % RT)
2
UT = 0
Tendremos potencia máxima si RT = RC , o sea si la resistencia de la carga es igual a la
resistencia de la fuente, siendo la potencia máxima disponible
2
PMAX '
como
UT
RT
UT
4R T
' ICC y UT = UMAX tendremos que:
PMAX '
UT ICC
4
'
UMAX
2
@
IMAX
2
en conclusión: la potencia máxima que obtendremos será el producto de la mitad de la
tensión máxima por la mitad de la intensidad de cortocircuito.
EJEMPLO:
Consideremos una fuente de alimentación de 12 V con una resistencia interna de 12 Ω.
1.- Determinar las máximas señales disponibles de la fuente.
2.- Calcular la potencia cedida a:
A) una resistencia de: 1 Ω
B) una resistencia de: 100.000 Ω
C) una resistencia de: 12 Ω
Solución:
1.-
IMAX = ICC =
PMAX =
2.-
A
UMAX = UT = 12 V
A)
UT
RT
+
=1A
UMAX @ IMAX
4
'
R T =12 Ω
U T = 12 V
12 × 1
=3W
4
Por división de tensión UAB ' 12
Por la ley de Ohm: IAB '
I AB
U AB
B
1
12
'
' 0,923 V < UMAX
12%1 13
0,923
' 0,923 A < IMAX
1
3 - 24
RC
La potencia cedida por la fuente a la resistencia de 1 Ω será:
PAB = RC @ I2AB = 1 x 0,9232 = 0,852 W
B)
UAB ' 12
IAB '
100.000
' 11,99 V < UMAX
12 % 100.000
11,99
' 1,199×10& 4 A < IMAX
100.000
La potencia cedida por la fuente a la resistencia de 100 KΩ será:
PAB = RC @ I2AB = 1,438×10-4 W
C)
UAB ' 12
IAB '
12
12
'
' 6 V < UMAX
12%12
2
6
' 0,5 A < IMAX
12
La potencia cedida por la fuente a la resistencia de 12 Ω será la máxima:
PAB = RC @ I2AB = 3 W
Los puntos de funcionamiento de la fuente y cargas se pueden ver en la figura:
I
1
R = 1Ω
R = 12 Ω
0.5
LINEA DE
LA FUENTE
R = 100 K Ω
2
4
6
8
y la ecuación característica i-u de la fuente será:
3 - 25
10
12
UAB = f(IAB) = 12 -12 IAB
IAB = f(UAB) = 1 - UAB /12
U
3.5.- MÉTODOS PARA TRANSFORMAR CIRCUITOS
Los métodos para transformar circuitos ya vistos son los siguientes: A) Sustitución de
elementos pasivos: SERIE, PARALELO,...; B) Conversión de fuentes de tensión en fuentes de
corriente y viceversa; C) Sustitución de elementos activos: Serie, Paralelo ( Teorema de Millman:
Sustitución de "n" fuentes de tensión en paralelo por una sola mediante transformaciones
intermedias de fuentes de tensión en fuentes de corriente y viceversa).
Otro sistema para transformar circuitos es el denominado TEOREMA DE KENNELLY
(Transformación Estrella->Triángulo, Triángulo -> Estrella)
TEOREMA DE KENNELLY:
A
A
IA
Circuito
Activo
R1
R3
IC
N
C
Circuito
Activo
R2
B
IB
IA
RB
IC
C
RC
B
RA
IB
Este teorema dice que podemos sustituir las resistencias entre tres nudos A, B y C, si están
conectados en "triángulo" por otras resistencias en "estrella" (y al revés) sin que el resto del
circuito sufra perturbación alguna, lo que obliga a que las intensidades de las corrientes que
entren o que salgan por los nudos A, B y C no varíen y que así mismo permanezca invariable las
tensiones entre los mismos.
NECESIDAD: Para ver la necesidad de convertir una conexión triángulo en su estrella
equivalente, supongamos el circuito de la figura izquierda en el cual, queremos hallar la
resistencia equivalente entre E y D.
R4
R4
A
E
E
+
A
IA
+
RB
RC
R5
R5
D
B
R3
C
D
R1
IC
C
RA
R2
R6
R6
B
IB
3 - 26
Nos encontramos con un problema y es que no se puede simplificar las resistencias en el
triángulo pues no están ni en serie ni en paralelo, pero si se pueden sustituir por una red
equivalente de tres resistencias en estrella (fig. de la derecha), y tendríamos que R1 está en serie
con R4 como R5 con R3 y también R6 con R2, y por los procesos ya conocidos se podrán agrupar
estas tres resistencias fácilmente y convertirlo en una sola resistencia.
DEMOSTRACIÓN: Nosotros podremos hacer la transformación (estrella-triángulo), siempre
que el circuito exterior conectado a los terminales A, B, y C no sufran perturbación alguna.
A
A
IA
Circuito
Activo
IC
R1
R3
C
N
IB
Circuito
Activo
R2
B
IA
RB
IC
C
RC
RA
B
IB
Por lo que dicha equivalencia quedará probada si las intensidades IA, IB y IC, salientes de
los nudos, son iguales en las dos configuraciones para cualquier conjunto de tensiones entre
dichos terminales.
Si tomamos como nudo de referencia el punto C y aplicamos la ecuación de nudos (1ª ley
de kirchhoff) al punto N de la estrella, se tendrá:
(G1 + G2 + G3) UN - G1 UA - G2 UB - G3 UC = 0
(1)
siendo G1, G2, G3 las conductancias de las respectivas resistencias y UA, UB, UC, UN los
potenciales de los nudos con respecto al de referencia.
Como sabemos: UNC' UN ' R3 IC '
IC
G3
que sustituyendo en (1) y despejando IC obtendremos:
IC '
(G1 UA % G2 UB) G3
(G1 % G2 % G3)
que debe ser la misma que sale de la configuración triángulo:
IC = UA GB + UB GA (1ª ley de Kirchhoff al nudo C)
3 - 27
si igualamos.
UA G B % UB G A '
(G1 UA % G2 UB) G3
G1 % G2 % G3
'
G1 G3
G1 % G2 % G3
UA %
G2 G3
G1 % G2 % G3
UB
Comparando, se deduce que para que se cumpla esta ecuación para cualquier valor de UA
y UB se deberá cumplir que:
GA '
GB '
G2 G3
(2)
G1 % G2 % G3
G1 G3
(3)
G1 % G2 % G3
Análogamente, se podría averiguar que:
GC '
G1 G2
(4)
G1 % G2 % G3
Si estas expresiones la ponemos en forma de resistencias quedará:
R A ' R2 R3 (
1
1
1
%
%
)
R1 R2 R3
(5)
R B ' R1 R3 (
1
1
1
%
%
)
R1 R2 R3
(6)
R C ' R1 R2 (
1
1
1
%
%
)
R1 R2 R3
(7)
que son las ecuaciones que permite el cálculo de las resistencias del triángulo equivalente
conocida las de la estrella.
Si R1 = R2 = R3 = Rλ resulta que, RA = RB = RC = Rª = 3 Rλ.
3 - 28
De la ecuaciones obtenidas despejando R1, R2 y R3 obtenemos las ecuaciones que nos
permiten el cálculo de las resistencias de la estrella equivalente del triángulo, estas son:
R1 '
R2 '
R3 '
R B RC
RA % R B % RC
R C RA
RA % R B % RC
R A RB
RA % R B % RC
El proceso seguido es el siguiente: De las ecuaciones (5), (6), (7) podemos obtener que:
RA R1 = RB R2 = RC R3 , por lo tanto:
RC
R1 ' R3
R2 ' R3
y
RA
RC
RB
que sustituyendo en la ecuación (7) por ejemplo dará:
2
RC '
1'
2
R3
RC
R A RB
RA % R B % RC
R A RB
RA
2
RB
2
R3 R C
1
%
%
'
R C R3 R C R3 R3
RA R B
R3
–>
R3 '
RA % R B % RC
R C R3
R A RB
RA % R B % RC
de igual manera podríamos sacar R1 y R2 que valdrán:
R1 '
R B RC
RA % R B % RC
;
R2 '
R A RC
RA % R B % RC
que son las ecuaciones que nos permite el cálculo de las resistencias de la estrella equivalente a
un triángulo.
Si RA = RB = RC = RT resulta que R1 = R2 = R3 = RE = 1/3 RT
3 - 29
Ejemplo:
A
A
R1 = 1 Ω
RC = 3 Ω
RB = 2 Ω
R 3 = 1/3 Ω
C
B
RA = 1 Ω
R 2 = 1/2 Ω
B
C
ESTRELLA
TRIANGULO
Si RA=1 Ω, RB=2 Ω, RC=3 Ω las resistencias equivalentes en estrella serán:
R1 '
R2 '
R3 '
R B RC
RA % R B % RC
R A RC
RA % R B % RC
R A RB
RA % R B % RC
'
2×3
'1Ω
1%2%3
'
3×1
1
' Ω
1%2%3 2
=
1×2
1
' Ω
1%2%3 3
Si R1=1 Ω, R2=1/2 Ω, R3=1/3 Ω las resistencias equivalentes en triángulo valdrán:
R A ' R2 R3 (
1
1
1
1 1 1
1
1
%
%
)'
( %
%
)'1Ω
R1 R2 R3
2 3 1 1/2 1/3
R B ' R1 R3 (
1
1
1
1 1
1
1
%
)'2Ω
%
%
)' 1 ( %
R1 R2 R3
3 1 1/2 1/3
R C ' R1 R2 (
1
1
1
1 1
1
1
%
%
)' 1 ( %
%
)'3Ω
R1 R2 R3
2 1 1/2 1/3
Resultados lógicamente coincidentes con los datos de partida para la conversión
triángulo ---> estrella
3 - 30
Ejemplo:
A
A
R1 = 1 Ω
RC = 3 Ω
RB = 3 Ω
R3 = 1 Ω
C
RA = 3 Ω
B
R2 = 1 Ω
B
C
ESTRELLA
TRIANGULO
Si RA=3 Ω, RB=3 Ω, RC=3 Ω las resistencias equivalentes en estrella serán:
R1 '
R2 '
R3 '
R B RC
RA % R B % RC
R A RC
RA % R B % RC
R A RB
RA % R B % RC
'
3×3
'1Ω
3%3%3
'
3×3
'1Ω
3%3%3
=
3×3
'1Ω
3%3%3
Si RA = RB = RC = RT resulta que R1 = R2 = R3 = RE = 1/3 RT
Si R1=1 Ω, R2=1 Ω, R3=1 Ω las resistencias equivalentes en triángulo valdrán:
R A ' R2 R3 (
1
1
1
1 1 1
%
%
)'1×1( % % )'3Ω
R1 R2 R3
1 1 1
R B ' R1 R3 (
1
1
1
1 1 1
%
%
)' 1 × 1 ( % % ) ' 3 Ω
R1 R2 R3
1 1 1
R C ' R1 R2 (
1
1
1
1 1 1
%
%
)' 1 × 1 ( % % ) ' 3 Ω
R1 R2 R3
1 1 1
Si R1 = R2 = R3 = Rλ resulta que, RA = RB = RC = Rª = 3 Rλ.
3 - 31
Distintas formas de presentarse una
estrella o triángulo en los circuitos eléctricos.
3 - 32