MA2006 - Tarea No 7

MA2006 - Tarea No 7
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
19 de febrero de 2011
Solución
1. En un taller de servicio especializado en afinaciones se sabe que 45 % de todas se hacen a motores de
4 cilindros, 40 % en autos de 6 cilindros y 15 % a autos de 8 cilindros. Sea X la variable aleatoria que
representa el número de cilindros de un auto llevado al taller.
a) Determine p(x) la función masa de probabilidad de
Solución
La respuesta es:

 0.45


0.40
p(x) =
0.15



0.0
X.
si x = 4
si x = 6
si x = 8
otro caso
Alternativamente, la respuesta se puede expresar como la tabla
x
4
6
8
otro caso
p(x)
0.45
0.40
0.15
0.00
b) Realice el histograma de probabilidad de la función masa de probabilidad de X.
Solución
y
0.45
0.40
0.15
x
4
6
8
c) Calcule F (x) la función acumulada de p(x).
Solución
En nuestro ejemplo D el conjunto de valores que dá X es
D = {4, 6, 8}
Por tanto,
Para x < 4: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es vacı́o. Por tanto, Para x < 4,
F (x) = P ({}) = 0.0
Para 4 ≤ x < 6: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {4}. Por tanto, Para 4 ≤ x < 6,
F (x) = P ({4}) = 0.45
Para 6 ≤ x < 8: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {4, 6}. Por tanto, Para
6 ≤ x < 8, F (x) = P ({4, 6}) = 0.45 + 0.40 = 0.85
Para 8 ≤ x: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {4, 6, 8}. Por tanto, Para 8 ≤ x,
F (x) = P ({4, 6, 8}) = 0.45 + 0.40 + 0.15 = 1.0
Por tanto, la respuesta es:

0.00



0.45
F (x) =
 0.85


1.00
si
si
si
si
x<4
4≤x<6
6≤x<8
8≤x
d ) Realice la gráfica de F (x)
Solución
y
0.85
0.45
1.00
0.15
0.40
0.45
x
4
6
8
2 = 2.04
e) Calcule E[X] y V (X). µ = 5.4, σX
Solución
Apliquemos las fórmulas:
P
µX = E[X] =
x∈D x · p(x)
= 4 × 0.45 + 6 × 0.40 + 8 × 0.15
= 5.40
P
2
2 = V (X) =
σX
x∈D (x − µX ) · p(x)
2
= (4 − 5.4) × 0.45 + (6 − 5.4)2 × 0.40 + (8 − 5.4)2 × 0.15
= 2.04
f ) Suponga que el costo de cada afinación de cada auto y depende del número de cilindros y está dado
por la tabla:
costo
Cilindros
4
6
8
1,100 1,350 1,500
2
Determine E[C(X)] y V (C(X)). µC(X) = 1, 260, σC(X)
= 23, 400
Solución
Apliquemos directante las fórmulas:
P
µC(X) = E[C(X)] =
x∈D C(x) · p(x)
= C(4) × 0.45 + C(6) × 0.40 + C(8) × 0.15
= 1, 100 × 0.45 + 1, 350 × 0.40 + 1, 500 × 0.15
= 1, 260
P
2
V (C(X)) =
x∈D (C(x) − µC(X) ) · p(x)
= (C(4) − µC(X) )2 × 0.45 + (C(6) − µC(X) )2 × 0.40 + (C(8) − µC(x) )2 × 0.15
= 23, 400
2
2. Las lı́neas aéreas en ocasiones venden boletos de más. Suponga que para un avión de 50 asiento, 55
pasajeros tienen boleto. Defina la variable aleatoria X como el número de pasajeros con boleto que
realmente se presenta al vuelo. La función de probabilidad de X aparece en la siguiente tabla.
x
p(x)
45
0.05
46
0.10
47
0.12
48
0.14
49
0.25
50
0.17
51
0.06
52
0.05
53
0.03
54
0.02
55
0.01
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo acomodará a todos los pasajeros? = 0.83
Solución
El evento A=el vuelo acomodará a todos sus pasajeros es
A = (X = 45) ∪ (X = 46) ∪ (X = 47) ∪ (X = 48) ∪ (X = 48) ∪ (X = 50)
Por tanto,
P (A) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47) + P (X = 48) + P (X = 48) + P (X = 50)
= 0.05 + 0.10 + 0.12 + 0.14 + 0.25 + 0.17 = 0.83
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no todos los pasajeros que aparecen puedan ser acomodados? = 0.17
Solución
Si usamos el evento A como arriba, el evento en este inciso es A0 . Por tanto
P (A0 ) = 1 − P (A) = 1 − 0.83 = 0.17
c) Suponga que Ud. está en la lı́nea de espera del vuelo (que a Ud. se le vendrá el primer boleto
disponible en caso de que todos los pasajeros con boleto estén acomodados) ¿Cuál es la probabilidad
de que Ud. tome el vuelo? Misma pregunta pero suponiendo que Ud. es la tercera persona en la
lista de espera. Caso1 : 0.66, Caso2 : 0.27
Solución
Si B es el evento siendo el primero en la lista de espera tengo un lugar, entonces
B = (X = 45) ∪ (X = 46) ∪ (X = 47) ∪ (X = 48) ∪ (X = 49)
Por tanto
P (B) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47) + P (X = 48) + P (X = 49)
= 0.05 + 0.10 + 0.12 + 0.14 + 0.25
= 0.66
Si C es el evento siendo el tercero en la lista de espera tengo un lugar, entonces
C = (X = 45) ∪ (X = 46) ∪ (X = 47)
Por tanto
P (C) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47)
= 0.05 + 0.10 + 0.12
= 0.27
d ) Calcule F (X) la función acumulada de p(x).
Solución
En nuestro ejemplo D el conjunto de valores que dá X es
D = {45, 46, . . . 55}
Por tanto,
3
Para x < 45: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es vacı́o. Por tanto, Para x < 45,
F (x) = P ({}) = 0.0
Para 45 ≤ x < 46: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {45}. Por tanto, Para
45 ≤ x < 46, F (x) = P ({45}) = 0.05
Para 46 ≤ x < 47: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {45, 46}. Por tanto, Para
46 ≤ x < 47, F (x) = P ({45, 46}) = 0.15
Para 47 ≤ x < 48: El conjunto de los y ∈ D que cumplen y ≤ x es {45, 46, 47}. Por tanto, Para
47 ≤ x < 48, F (x) = P ({45, 46, 47}) = 0.27
etcétera
Por tanto, la respuesta es:
F (x) =









































.00
.05
.15
.27
.41
.66
.83
.89
.94
.97
.99
1.00
si
si
si
si
si
si
si
si
si
si
si
si
x < 45
45 ≤ x < 46
46 ≤ x < 47
47 ≤ x < 48
48 ≤ x < 49
49 ≤ x < 50
50 ≤ x < 51
51 ≤ x < 52
52 ≤ x < 53
53 ≤ x < 54
54 ≤ x < 55
55 ≤ x
e) Calcule el valor esperado de X. µX = 48.84
Solución
Directamente de la fórmula:
Px=55
µX = E[X] =
x=44 x · p(x)
= 44 × 0.05 + 45 × 0.10 + · · · + 55 × 0.01
= 48.84
f ) Suponga que la compañı́a siempre tiene personas en espera y que ellos están dispuestos a pagar
2,000 pesos por boleto mientras que a cada persona con boleto vendido y que no tiene asiento a la
2
compañı́a se cuesta 8,000 pesos. Determine E[C(X)] y V (C(X)). µC(X) = 40, σC(X)
≈ 0.89 × 108
Solución
Observe que las ganancias de la companı́a se vuelve una función de la variable aleatoria X:
X
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
C(X)
5×2, 000
4×2, 000
3×2, 000
2×2, 000
1×2, 000
0
-8,000
2×(−8, 000)
3×(−8, 000)
4×(−8, 000)
5×(−8, 000)
Directamente de la fórmula:
Px=55
µC(X) = E[C(X)] =
x=45 C(x) · p(x)
= C(44) × 0.05 + C(45) × 0.10 + · · · + C(55) × 0.01
= 10, 000 × 0.05 + 8, 000 × 0.10 + · · · + (−40, 000) × 0.01
= 40.0
P
2
V (C(X)) =
x∈D (C(x) − µC(X) ) · p(x)
2
= (C(45) − µC(X) ) × 0.05 + (C(46) − µC(X) )2 × 0.10 + · · · + (C(55) − µC(x) )2 × 0.01
= (10, 000 − 40)2 × 0.05 + (8, 000 − 40)2 × 0.10 + · · · + (−40, 500 − 40)2 × 0.01
≈ 0.89 × 108
4
3. Una empresa de ventas en lı́nea dispone de 6 lı́neas telefónicas. Sea X el número de lı́neas en uso en un
tiempo especificado. Suponga que la función masa de probabilidad de X está dada en la siguiente tabla.
x
p(x)
0
0.10
1
0.15
2
0.20
3
0.25
4
0.20
5
0.06
6
0.04
Calcule la probabilidad de los siguientes eventos.
a) A = Cuando mucho tres lı́neas están en uso. P (A) = 0.70
Solución
Note que el evento a describir es:
A = (X = 0) ∪ (X = 1) ∪ (X = 2) ∪ (X = 3)
Por tanto,
P (A) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
= 0.10 + 0.15 + 0.20 + 0.25
= 0.70
b) B = Cuando menos tres lı́neas están en uso. P (B) = 0.55
Solución
Note que el evento a describir es:
B = (X = 3) ∪ (X = 4) ∪ (X = 5) ∪ (X = 6)
Por tanto,
P (B) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)
= 0.25 + 0.20 + 0.06 + 0.04
= 0.55
c) C = Por lo menos tres lı́neas están en uso. P (C) = 0.55
Solución
Note que este evento es justo el evento del problema anterior. Por tanto, P (C) = P (B) = 0.55
d ) D = Entre dos y tres lı́neas, inclusive, están en uso. P (D) = 0.45
Solución
Note que el evento a describir es:
D = (X = 2) ∪ (X = 3)
Por tanto,
P (D) = P (X = 2) + P (X = 3)
= 0.25 + 0.20
= 0.45
e) E = Entre dos y cuatro lı́neas, inclusive, no están en uso. P (E) = 0.65
Solución
Definimos la variable aleatoria Y que cuenta las lı́neas que no están en uso:
X
Y
0
6
1
5
5
2
4
3
3
4
2
5
1
6
0
Note que el evento a describir es:
E = (Y = 2) ∪ (Y = 3) ∪ (Y = 4) = (X = 4) ∪ (X = 3) ∪ (X = 2)
Por tanto,
P (E) = P (X = 4) + P (X = 3) + P (X = 2)
= 0.20 + 0.25 + 0.20
= 0.65
f ) F = Por lo menos cuatro lı́neas, no están en uso. P (F ) = 0.45
Solución
Usamos la variable aleatoria Y del inciso anterior y ası́ el evento a describir es:
F = (Y = 4) ∪ (Y = 5) ∪ (Y = 6) = (X = 2) ∪ (X = 1) ∪ (X = 0)
Por tanto,
P (F ) = P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0)
= 0.20 + 0.15 + 0.10
= 0.45
4. Una organización de protección al consumidor que habitualmente evalúa autos nuevos reporta el número
de defectos importantes encontrados em cada auto examinado. Sea X el número de defectos importantes
en un carro seleccionado al azar de cierto tipo. Suponga que la función de distribución acumulada para
X es la siguiente:

0.00
x<0




0.06
0
≤
x
<1




0.19 1 ≤ x < 2



0.39 2 ≤ x < 3
F (x) =
0.67 3 ≤ x < 4





0.92 4 ≤ x < 5




0.97
5≤x<6


1.00
6≤x
Calcule lo siguiente:
a) p(2) es decir P (X = 2) = P (X ≤ 2) − P (X ≤ 1) = F (2) − F (1) = 0.39 − 0.19
= 0.20
b) P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − F (3) = 1 − 0.67 =0.33
c) P (2 ≤ X ≤ 5) = P (X ≤ 5) − P (X ≤ 1) = F (5) − F (1) = 0.97 − 0.19
= 0.78
d ) P (2 < X < 5) = P (X ≤ 4) − P (X ≤ 2) = F (4) − F (2) = 0.92 − 0.39
= 0.53
e) E[X] = 2.80
Solución
Note que p(x) = F (x) − F (x − 1), por tanto
µX
P6
=
x × p(x)
Px=0
6
=
x=0 x × (F (x) − F (x − 1))
= 0 × (0.06 − 1) + 1 × (0.19 − 0.06) + · · · + 6 × (1 − 0.97)
= 2.80
6
f ) V (X) = 1.94
Solución
Con la observación anterior
P6
V (X) =
(x − µX )2 × p(x)
Px=0
6
2
=
x=0 (x − µ) × (F (x) − F (x − 1))
= (0 − 2.8)2 × (0.06 − 1) + (1 − 2.8)2 × (0.19 − 0.06) + · · · + (6 − 2.8)2 × (1 − 0.97)
= 1.94
5. Se han hecho pruebas sobre un dado y se estima que las probabilidades de que salga cada número se
obtienen de la siguiente tabla.
x
p(x)
1
0.12
2
0.12
3
0.12
4
0.17
5
0.17
6
0.3
Sea X la variable aleatoria que indica el número que se obtiene al tirar el dado. Calcule
a) P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − (P (X = 1) + P (X = 2)) = 1 − (0.12 + 0.12) = 0.76
b) P (2 ≤ X < 4) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0.12 + 0.12 = 0.24
P
c) E[X] = µX = 6x=1 x × p(x) =4.05
P
d ) V (X) = 6x=1 (x − µX )2 × p(x) =3.0475
e) Suponga que al número que sale del dado lo eleva al cuadrado y le suma 1. ¿Cuál es el valor promedio
de este cálculo? = 20.45
Solución
Apliquemos la fórmula:
6
X
E[g(X)] =
(x2 + 1) × p(x) = 20.45
x=1
7