Ejercicios

1
ESTADÍSTICA II
SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1)
Consideremos Pt = P0egt . Dado que dicha función es continua y que existen y
son continuas las derivadas de todos los órdenes, podemos aplicar Taylor a Pt
en el punto t = 0. Resulta:
Pt(t) = Pt(0) +
Pt ' (0).( t − 0)
+ R1( t )
1!
donde R1(t) es un infinitésimo, cuando t → 0, de orden mayor que uno.
Por lo tanto, como Pt(0) = P0, Pt’(t) = P0 gegt y Pt’(0) = P0 g, resulta:
Pt(t) ≅ P0 + P0.g.t ⇒ [Pt(t) - P0] / P0 ≅ g.t, que es la expresión requerida.
Además ésta es lineal en t (puede verse como la “fórmula de una recta”) para
valores de t próximos a cero.
•
a) Como Pt = P0 (1+π)t , π = eg – 1, usando la notación P t =
que (at)’ = at.La:
[
•
∂P
∂t
y recordando
]
P t = [P0L(1 + π)](1 + π)t = P0L(1 + e g − 1) (1 + π)t = P0 g(1 + π)t
Por lo tanto:
•
P g(1 + π)t
Pt
=g
= 0
Pt
P0 (1 + π)t
b) Si Pt = P0egt entonces Pt-1 = P0eg(t-1) y por lo tanto:
Pt − Pt −1 P0 e g − P0 e g( t −1)
=
Pt −1
P0 e g( t −1)
Con lo que sacando en el numerador factor común P0eg(t-1):
Pt − Pt −1 P0 e g( t −1) (e g − 1)
=
= eg − 1 = π
g( t −1)
Pt −1
P0 e
EJERCICIO 2 (NOVALES 2.3)
Elaboramos el siguiente cuadro:
MES
Dic-94
ene-95
feb-95
mar-95
abr-95
may-95
jun-95
ti
ti’
0,0074
0,0024
0,0053
0,0064
0,0083
0,0044
0,007
0,002
0,005
0,006
0,008
0,004
IPi
185
186,4
186,8
187,8
189,0
190,6
191,4
IPi’
185
186,3
186,7
187,6
188,7
190,2
191,0
Donde:
ti = la tasa de aumento intermensual con dos decimales entre el mes i y el i+1.
ti’ = la tasa de aumento intermensual con un decimal entre el mes i y el i+1.
IPi = el valor índice mensual tomando la tasa con dos decimales.
2
IPi’ = el valor índice mensual tomando la tasa con un decimal.
Por lo tanto el valor numérico del índice en junio de 1995 es para una tasa de
crecimiento intermensual con dos decimales es IP = 191,4 y con un decimal es
IP’ = 191,0.
El crecimiento del índice con dos decimales es (191,415682 / 185) – 1 =
0,03468 y con un decimal es (190,997291 / 185) – 1 = 0,03242.
Las tasas anualizadas son, para dos decimales 1,034682 – 1 = 0,07056 y para
un decimal 1,032422 – 1 = 0,06589.
Se concluye que, con el redondeo, al cabo de 6 meses se tiene cierta distorsión
del verdadero valor del índice.
EJERCICIO 3
1)
2,5
VENTAS
2
1,5
1
0,5
AÑOS
0
1985
1990
1995
2000
2) La fórmula de la recta (que notaremos como Y = βˆ 0 + βˆ 1 X) será discutida
más adelante en el curso en el tema que trata sobre regresión lineal. Se
aceptarán como válidas, por ahora y sin justificación que:
n
∑ ( x − x).( y − y)
i
βˆ 1 =
i
i =1
n
∑ (x − x)
y βˆ 0 = y − βˆ 1 x
2
i
i =1
Con dichos cálculos obtenemos que la fórmula de la recta de tendencia es:
y = 0,1882 x - 374,06
2,5
1,5
1
VENTAS
y = 0,1882x - 374,06
2
0,5
0
1985
AÑOS
1990
1995
2000
3
3) La tendencia, utilizando promedios móviles, se calcula de la siguiente
manera:
a) Si la cantidad de tiempo en la que se hace el promedio móvil es impar
(notaremos 2n + 1) entonces la tendencia en el momento i es:
Ti =
Ti − n + Ti − n +1 + ... + Ti + ... + Ti + n −1 + Ti + n
2n + 1
b) Si, en cambio es par (2n):
Ti =
05 × Ti − n + Ti − n +1 + ... + Ti + ... + Ti + n −1 + 0,5 × Ti + n
2n
En la tabla siguiente hemos calculado dichas tendencias por promedios
móviles. Resulta claro que la tendencia para el primer y último año de orden 3
no se puede calcular, así como en la de orden 4 no es posible para los dos
primeros y dos últimos años. Esta dificultad se podría subsanar repitiendo el
primer dato hacia atrás y el último hacia delante tanto como sea necesario.
AÑO
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Yi
0,2
0,4
0,5
0,9
1,1
1,5
1,3
1,1
1,7
1,9
2,3
2,5
T3
2
1,5
1
0,5
0
T3i
T4i
0,367
0,6
0,833
1,167
1,3
1,3
1,367
1,567
1,967
0,6125
0,8625
1,1
1,225
1,325
1,45
1,625
4
4) La tendencia de orden cuatro está calculada arriba y su gráfica es:
2,5
T4
2
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
5) Esta parte está en las gráficas de arriba.
EJERCICIO 4 (PRIMERA REVISIÓN DEL 2000)
a) Para resolver esta parte aplicamos la fórmula mencionada en el ejercicio
anterior, bajo la suposición de que la tendencia es una recta (Y = βˆ 0 + βˆ 1 X):
n
∑ ( x − x).( y − y)
i
i
i =1
βˆ 1 =
y βˆ 0 = y − βˆ 1 x
n
∑ (x − x)
2
i
i =1
Aplicamos, además, las siguientes fórmulas:
n
n
∑ ( x − x ) ( y − y) = ∑ x
i
i
i =1
yi −
i
i =1
n
n
∑( x
i
− x )2 =
i =1
∑x
2
i
−
i =1
1
(
n
1
(
n
n
n
∑ x ) (∑ y )
i
i
i =1
i =1
n
∑ x )2
i
i =1
Por lo tanto:
βˆ 1 =
1
x 253 x 4202,7
720,73
22
=
= 0,814
1
885,50
3795 −
x 253 2
22
4202
,
57
253
βˆ 0 =
− 0,814 x
= 181,665
22
22
49051,78 −
b) El coeficiente de correlación de la muestra está dado por la fórmula:
n
∑ (x
i
− x ).( y i − y )
i =1
rXY =
⎡
⎤
2
⎢ ( xi − x ) ⎥
⎣⎢ i =1
⎦⎥
n
∑
1
2
⎡
2
⎢ (yi − y )
⎢⎣ i =1
n
∑
⎤
⎥
⎥⎦
1
2
=
5
49051,78 −
=
1
x 253 x 4202,7
22
1
1
⇒ rXY = 0,976
1
1
( 3795 −
x 253 2 ) 2 (803415,808 −
x 4202,57 2 ) 2
22
22
c) Existe una fuerte correlación lineal positiva entre el mes y el valor de la
unidad reajustable dado que rXY es muy cercano a uno.
EJERCICIO 5
1) Para determinar la tendencia considerando que ésta es lineal hacemos un
cambio de coordenadas con respecto a los trimestres de los diferentes años
representados en el eje de las abcisas. El primer trimestre de 1995 va a estar
representado por el valor 1, el segundo por el valor 2 y así sucesivamente
hasta el cuarto trimestre de 1999, el cual va a estar representado por el valor
20.
De este modo obtenemos la gráfica y la ecuación de la recta de tendencia la
cual se calcula como en el ejercicio anterior:
30
20
15
10
y = 0,4301x + 13,484
INGRESOS
25
5
TRIMESTRES
0
0
5
10
15
20
25
Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que ésta es una primera aproximación
de la tendencia, la cual notaremos como Tt’. Para calcular la estacionalidad,
Et, se le resta a la serie original Yt esta primera aproximación de la tendencia
-la cual se puede determinar por medio de una recta o por promedios móviles(Yt – Tt’). Para el componente estacional hallamos los promedios de los
diferentes trimestres de los diversos años de (Yt – Tt’) y finalmente calculamos
la tendencia Tt definitiva, sobre la serie desestacionalizada Yt – Et.
2)
Elaboramos entonces el siguiente cuadro en el cual hallamos la
estacionalidad Et, la componente de tendencia definitiva Tt y la serie sin
estacionalidad ni tendencia Yt -Et -Tt.
6
Xt
Yt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9
16
18
21
10
15
18
20
13
22
17
24
11
17
25
21
14
18
25
26
Tt’
Yt -Tt’
13,9141
14,3442
14,7743
15,2044
15,6345
16,0646
16,4947
16,9248
17,3549
17,785
18,2151
18,6452
19,0753
19,5054
19,9355
20,3656
20,7957
21,2258
21,6559
22,086
Et
-4,9141
1,6558
3,2257
5,7956
-5,6345
-1,0646
1,5053
3,0752
-4,3549
4,215
-1,2151
5,3548
-8,0753
-2,5054
5,0645
0,6344
-6,7957
-3,2258
3,3441
3,914
Yt--Et
-5,9549
-0,185
2,3849
3,7548
-5,9549
-0,185
2,3849
3,7548
-5,9549
-0,185
2,3849
3,7548
-5,9549
-0,185
2,3849
3,7548
-5,9549
-0,185
2,3849
3,7548
14,9549
16,185
15,6151
17,2452
15,9549
15,185
15,6151
16,2452
18,9549
22,185
14,6151
20,2452
16,9549
17,185
22,6151
17,2452
19,9549
18,185
22,6151
22,2452
Tt
15,0469
15,3578
15,6687
15,9796
16,2905
16,6014
16,9123
17,2232
17,5341
17,845
18,1559
18,4668
18,7777
19,0886
19,3995
19,7104
20,0213
20,3322
20,6431
20,954
Yt -Et -Tt
-0,092
0,8272
-0,0536
1,2656
-0,3356
-1,4164
-1,2972
-0,978
1,4208
4,34
-3,5408
1,7784
-1,8228
-1,9036
3,2156
-2,4652
-0,0664
-2,1472
1,972
1,2912
Es decir que para hallar Et (componente estacional) del primer trimestre, en
este caso, sumamos los ingresos de los primeros trimestres de los cinco años
de la serie original menos la aproximación de la tendencia (Yt -Tt’) y dividimos la
suma entre la cantidad de años. Obsérvese que la componente estacional de
cada trimestre es la misma para los diferentes años, esto es E1 = E5 = E9 =
E13 = E17; E2 = E6 = E10 = E14 = E18; etc.
Para tener una mejor visualización, podemos graficar los datos originales (Yt)
comparándolos con la suma de las componentes estacionales y de tendencia
(Et +Tt):
30
Yt comparado con Et+Tt
25
20
15
10
5
0
1
3
5
7
9
11
13 15 17 19
3) Podemos observar por la gráfica anterior que las componentes de
estacionalidad y de tendencia explican con mucha aproximación la serie
original.
7
EJERCICIO 6 (CONTROL DEL 2000)
a) Indizando los trimestres 1, 2, 3, etc., y teniendo en cuenta los parámetros de
la recta de tendencia, resulta:
T̂t = 12,48 + 0,68.t
(
) (
) (
)
Y − Tˆ2 + Y6 − Tˆ6 + Y10 − Tˆ10
= 1,09
Entonces: Eˆ 2 = 2
3
b) Procediendo como en los ejercicios anteriores, se obtiene una primera
estimación de la tendencia para t = 10, Tˆ10 = 19,28 , y en la última columna del
cuadro siguiente la estimación de la tendencia ( T̂t* ) a partir de los datos
desestacionalizados (penúltima columna). Observando la última columna, se
*
deduce: T̂10
= 18,342.
t
Yt
T̂t
Yt – T̂t
Ê t
Yt – Ê t
T̂t*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
16
18
21
10
15
18
20
13
22
17
24
13,1668
13,8486
14,5304
15,2122
15,894
16,5758
17,2576
17,9394
18,6212
19,303
19,9848
20,6666
-4,1668
2,1514
3,4696
5,7878
-5,894
-1,5758
0,7424
2,0606
-5,6212
2,697
-2,9848
3,3334
-5,23
1,09
0,41
3,73
-5,23
1,09
0,41
3,73
-5,23
1,09
0,41
3,73
14,23
14,91
17,59
17,27
15,23
13,91
17,59
16,27
18,23
20,91
16,59
20,27
14,68
15,08
15,49
15,90
16,31
16,71
17,12
17,53
17,93
18,34
18,75
19,16
EJERCICIO 7 (PRIMERA REVISIÓN DEL 2001)
Aplicando la fórmula de Tt para t = 1, 2, ..., 6, podemos hallar la tendencia
(columna Tt) en la siguiente tabla:
Cuatrimestre Año
I
II
III
I
II
III
1999
1999
1999
2000
2000
2000
UNIDADES VENDIDAS
t
Yt
Tt
Yt – Tt
1
2
3
4
5
6
19
24
28
20
25
29
20,9527
22,2384
23,5241
24,8098
26,0955
27,3812
-1,9527
1,7616
4,4759
-4,8098
-1,0955
1,6188
Et
-3,38125
0,33305
3,04735
-3,38125
0,33305
3,04735
Luego, en la sexta columna, computamos los datos originales menos la
tendencia, para posteriormente calcular la estacionalidad: como cada uno de
los dos años está dividido en cuatrimestres habrá tres componentes
estacionales:
E1 = E4 =
−1,9527 − 4,8098
= – 3,38
2
8
1,7616 − 1,0955
= 0,33
2
4,4759 + 1,6188
E3 = E6 =
= 3,05
2
E2 = E5 =
b) En promedio, durante el primer cuatrimestre, se venden 3380 unidades
menos de lo que indica la tendencia; en el segundo, en promedio, aumentan en
330 y en el tercero aumentan, en promedio, en 3050 unidades por encima de la
tendencia.
28 + 20 + 25
= 24,33
3
20 + 25 + 29
MM II2000 =
= 24,67
3
2000
MM III
= no se puede calcular con los datos disponibles
c) MM I2000 =
Una aproximación aceptable para MM III2000 sería operar como en el ejercicio
3.3.b), es decir repetir el último dato, con lo cual resultaría:
2000
MM III
=
25 + 29 + 29
= 27,67
3
EJERCICIO 8
Se llama modelo aditivo cuando:
Yt = Et + Tt + Ct + It
donde:
Et es la componente estacional
Tt la componente de tendencia
Ct la componente cíclica
It la componente irregular (lo no previsible o aleatorio)
Las tres primeras componentes son determinísticas es decir que se pueden
establecer, mientras que la última no y por ello se llama irregular o aleatoria.
En este ejercicio vamos a establecer una primera aproximación a la tendencia
por medio de Medias Móviles Centradas de orden 3 (nótese que con esto
promediamos datos a lo largo de un año ya que éstos están dados por
cuatrimestres), y que denotaremos MM3t. Posteriormente, una vez eliminada
gran parte de la tendencia por este método, calcularemos la componente
estacional Et. Finalmente a los datos desestacionalizados Ytd = Yt – Et le
calculamos la tendencia Tt por medio de una recta de la forma ya establecida.
Xt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Yt
MM3t Zt = Yt - MM3t
500
350
250
450
350
200
350
200
150
550
350
250
550
400
350
366,67
350
350
333,33
300
250
233,33
300
350
383,33
383,33
400
433,33
-16,67
-100
100
16,67
-100
100
-33,33
-150
200
-33,33
-133,33
150
-33,33
Ytd = Yt – Et
137,5
362,5
-20
370
-120,83
370,83
137,5
312,5
-20
370
-120,83
320,83
137,5
212,5
-20
220
-120,83
270,83
137,5
412,5
-20
370
-120,83
370,83
137,5
412,5
-20
420
-120,83
470,83
Et
Tt
307,57
313,79
320,01
326,23
332,45
338,67
344,89
351,11
357,33
363,55
369,77
375,99
382,21
388,43
394,65
Yt -Et -Tt Et +Tt
54,93
56,21
50,82
-13,73
37,55
-17,84
-132,39
-131,11
-86,50
48,95
0,23
-5,16
30,29
31,57
76,18
445,07
293,79
199,18
463,73
312,45
217,84
482,39
331,11
236,50
501,05
349,77
255,16
519,71
368,43
273,82
9
Para visualizar mejor los resultados graficaremos Yt comparándolo con Et + Tt
así como Ct + It (la suma de las componentes cíclica e irregular) que es igual a
Yt – Et – Tt .
600
100
500
50
400
300
0
200
-50
1
3
5
7
9
11
13
15
100
-100
Yt comparado con Et+Tt
0
Ct+It = Yt-Et-Tt
1
3
5
7
9
11
13
15
-150
Por estas gráficas observamos que las componentes Et y Tt aproximan
bastante a Yt salvo en la parte central donde existe un poco más de diferencia.
EJERCICIO 9
Se llama modelo multiplicativo cuando:
Yt = Et .Tt . Ct . It
El procedimiento para hallar cada una de las componentes es prácticamente el
mismo cambiando las diferencias por división. Los cálculos son los siguientes:
Xt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Yt
500
350
250
450
350
200
350
200
150
550
350
250
550
400
350
MM3t ’ Zt = Yt / MM3t
366,67
350,00
350,00
333,33
300,00
250,00
233,33
300,00
350,00
383,33
383,33
400,00
433,33
0,954
0,714
1,286
1,050
0,667
1,400
0,857
0,500
1,571
0,913
0,652
1,375
0,923
Et Ytd = Yt /Et
1,408 355,1
0,940 372,5
0,633 394,8
1,408 319,6
0,940 372,5
0,633 315,8
1,408 248,6
0,940 212,9
0,633 236,9
1,408 390,6
0,940 372,5
0,633 394,8
1,408 390,6
0,940 425,7
0,633 552,7
Tt = MM3t Yt /(Et .Tt)
374,1293
362,2925
362,2925
335,9745
312,3009
259,0846
232,7666
280,1139
333,3302
385,9661
385,9661
403,7049
456,3407
0,995683
1,089642
0,882144
1,108757
1,011253
0,959429
0,914500
0,845590
1,171856
0,965147
1,022808
0,967576
0,932922
Et .Tt
351,5176
229,4331
510,1207
315,6688
197,7744
364,8003
218,6986
177,3910
469,3409
362,6390
244,4252
568,4309
428,7603
10
Presentamos las siguientes gráficas relacionadas:
006
1,4
005
1,2
004
1
0,8
003
n oc oda ra p moc tY
31 21 11 t0T
1. t9E 8 7 6 5 4
0,4
001
0,2
0
3 2 1
0,6
002
Ct.It = Yt/(Et.Tt)
0
0
5
10
15
En las gráficas precedentes observamos un correcto ajuste de Yt con respecto
a Et . Tt. Por otra parte, al no presentar tantas diferencias en la parte central
como el modelo aditivo, lo consideramos más adecuado que él.