7 VECTORS Pàgina 171 REFLEXIONA I RESOL Multiplica vectors per nombres ■ Copia en un paper quadriculat els quatre vectors següents: 8 a 8 c 8 d 8 b Representa: 8 8 a) 2 a b) 5 b c) 1 8 c 3 8 8 8 8 Expressa el vector d com a producte d’un dels vectors a , b o c per un nombre. Designa els vectors anteriors mitjançant parells de nombres. Per exemple: 8 a (2, 3) Repetix com a parells de nombres les operacions que has efectuat anteriorment. 8 8 • d = –2,5 b = 8 8 –5 8 b 2 • a (2, 3) 1/3 c 8 b(–2, –2) 8 8 2a c (3, 0) 8 8 5b d (5, 5) 8 8 d = –5/2 b 8 • 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6) 8 5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10) 1 8 1 c = (3, 0) = (1, 0) 3 3 Unitat 7. Vectors 1 Suma vectors ■ Efectua gràficament: 8 8 8 a) a + c 8 8 8 8 b) b + c 8 8 c) b + a 8 8 d) a + b + c 8 sent a , b i c els mateixos de l’exercici anterior. Realitza les mateixes sumes amb parells de nombres. 8 8 Per exemple: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) 8 8 8 8 8 8 8 8 a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2) c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1) 8 d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1) 8 c a) b) 8 a 8 8 8 8 b 8 b+c 8 a+c c) 8 8 a d) 8 b+a 8 b 8 8 8 8 c b c a 8 8 a+b+c Combina operacions 8 u 8 v 8 w ■ 8 8 8 Amb els vectors u, v i w efectua les següents operacions gràficament i mitjançant parells de nombres: 8 8 8 a) 2 u + 3v 8 b) –v + 5w 8 8 8 c) 2 u + 3 v – 4 w Com designaries el vector resultant d’aquesta última operació? 8 8 8 8 8 8 a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4) b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3) 8 c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0) 8 Vector nulo: 0 2 Unitat 7. Vectors UNITAT a) b) 8 2u 8 8 8 8 –v 3v 5w 8 8 8 –v + 5w 2u + 3v c) 7 8 2u 8 3v 8 –4w Pàgina 175 8 8 1. Si u(–2, 5) i v (1, –4) són les coordenades de dos vectors respecte d’una base, troba les coordenades respecte de la mateixa base de: 8 8 8 8 8 8 1 8 1 8 a) 2 u + v b) u – v c) 3 u + d) – u – 2 v v 3 2 8 8 a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6) 8 8 b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9) ( ) ( ) 1 1 –5 11 d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1, + (–2, 8) = (–1, 2 2 2 ) 2 ) 1 8 1 1 –4 –17 41 v = 3 (–2, 5) + , = , (1, –4) = (–6, 15) + 3 3 3 3 3 3 8 c) 3 u + 8 8 Pàgina 176 8 8 8 8 1. Dos vectors u i v complixen que: |u| = 4, |v| = 8 8 a) u · v 8 8 8 8 8 8 8 b) v · u 8 d) (3u) · (–5v ) 8 8 ì 3 8 8 , ( u, v ) = 30°. Calcula: 2 8 e) u · u ì 8 8 8 a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 · 8 8 8 c) (–u) · v 8 8 f) v · (–v ) √3 3 · cos 30° = 6 · = 3√3 2 2 8 b) v · u = u · v = 3√3 8 8 8 8 c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3 8 8 8 8 d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3 8 8 8 e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16 8 8 8 8 8 f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = – Unitat 7. Vectors 9 4 3 8 8 8 8 8 8 2. Si |u| = 3, |v| = 5 i u · v = –2, esbrina l’angle ( u, v ). (Utilitza la calculadora). 8 ì 8 8 ì u·v –2 2 8 8 =– 8 ( u, v ) = 97° 39' 44'' 8 8 = 15 |u||v| 3 · 5 8 8 cos ( u, v ) = 8 8 8 8 8 8 ì 8 8 8 3. Troba u · ( v + u) i v · ( v – u) sabent que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) = 120°. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 u · ( v + u) = u · v + u · u = |u| |v| cos 120° + |u| |u| cos 0° = ( ) =3·5· – 8 8 8 8 8 1 15 3 +3·3=– +9= 2 2 2 8 ( ) 8 v · ( v – u) = v · v – v · u = 25 – – 15 65 = 2 2 Pàgina 178 8 8 4. Donats els vectors u i v mitjançant les seues coordenades respecte a una ba8 8 se ortonormal, u (3, – 4), v (–1, 3), troba: 8 8 8 8 a) u · v i v · u 8 8 ì 8 8 b) |u|, |v| i ( u, v ) 8 c) El valor de k per tal que (4, k) siga perpendicular a v . 8 d) Un vector unitari perpendicular a u. 8 8 8 8 a) u · v = (3, –4) · (–1, 3) = 3 · (–1) + (–4) · 3 = –15 v · u = (–1, 3) · (3, –4) = (–1) · 3 + 3 · (–4) = –15 8 b) |u| = √32 + (–4)2 = 5 8 |v| = √(–1)2 + 32 = √10 ì 8 8 ì –15 u·v 8 8 — = –0,9486832981 8 ( u, v ) = 161° 33' 54'' 8 8 = |u||v| 5√ 10 4 c) (4, k ) 2 (–1, 3) 8 (4, k ) · (–1, 3) = 0 8 –4 + 3k = 0 8 k = 3 8 8 cos ( u, v ) = 8 Para que (4, k ) sea perpendicular a v , ha de ser k = 4 . 3 8 d) Un vector perpendicular a u (3, –4) es, por ejemplo, (4, 3). Un vector unitario paralelo a (4, 3) es Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, –4). Son 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 4 3 · (4, 3) = (4, 3) = , |(4, 3)| 5 5 5 4 3 4 3 , y – ,– . 5 5 5 5 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 Pàgina 182 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Els vectors i les seues operacions 1 La figura ABCDEF és un hexàgon. C P D N Q B E O M R A S F Compara el mòdul, la direcció i el sentit dels següents parells de vectors: 8 8 8 a) AB i BC 8 8 b) FE i BC 8 8 8 c) BM i DE 8 d) OS i OE 8 a) |AB | = |BC |. Tienen distinta dirección. b) Los dos vectores tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo mó8 8 dulo, luego: FE = BC . 8 c) |BM | = 1 8 DE . Tienen la misma dirección y el mismo sentido. 2 8 Luego: BM = 8 1 8 DE . 2 8 8 8 d) | OS | < | OE |. Sus direcciones son perpendiculares: OS 2 OE . 8 2 Busca a la figura de l’exercici 1 tres vectors iguals a NC i uns altres tres 8 iguals a AS . 8 8 8 8 8 8 8 8 NC = BN = FR = RE AS = SF = CP = PD Unitat 7. Vectors 5 3 Substituïx els punts suspensius per un nombre, de forma que aquestes igualtats siguen vertaderes per a l’hexàgon de l’exercici 1: 8 8 8 8 8 8 8 a) CD = 2 CP 8 8 b) MN = … AC 8 8 c) OP = …OS 8 a) CD = 2 CP b) MN = 8 c) OP = – OS 8 d) NB = … BC 1 8 AC 2 d) NB = – 1 8 BC 2 4 Completa les igualtats següents amb les lletres que falten per tal que, a l’hexàgon de l’exercici 1, siguen vertaderes: 8 8 8 8 8 a) AF + B… = AE c) O… + SO = FD 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 b) AS + …C = SF d) AM + A… = AB a) AF + BC = AE 8 b) AS + CC = SF 8 c) OP + SO = FD 8 8 d) AM + AM = AB 5 Observa el rombe de la figura i calcula: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 a) AB + BC B b) OB + OC c) OA + OD A d) AB + CD O C e) AB + AD D f ) DB – CA Expressa els resultats utilitzant els vèrtexs del rombe. 8 8 a) AC 8 8 8 b) AB = DC 8 8 d) AA = 0 8 c) BA – CD 8 e) AC f) 2 DC 8 6 Considera el vector w: 8 w 8 8 Dibuixa per a cadascun d’aquests casos un vector v que sumat amb u done 8 com a resultat w: a) b) 8 8 u c) 6 8 u u d) 8 u Unitat 7. Vectors UNITAT a) 8 w b) 8 8 u 8 c) u w 8 u 8 v 8 v 8 v 8 7 w d) 8 8 w u 8 v 8 8 8 8 8 8 7 Hem obtingut els vectors a , b i c operant amb els vectors x, y, z . Quines operacions hem fet en cada cas? 8 8 y –z 8 z x 8 –x 8 8 y 8 a 8 8 8 8 a=y–z–x 8 b 8 c 8 8 8 8 8 b=x+y– z 8 8 8 c =x–y+ z Bases i coordenades 8 A la vista de la figura, dibuixa els vectors: 8 8 8 8 8 8 8 8 – u + v, u – v, u + v, 8 8 8 8 8 8 u – u – v, – u + 2v, u – 2v 8 v 8 Si prenem com a base (u, v ), quines són les coordenades dels vectors que has dibuixat? 8 8 –u + v 8 8 u v 8 –u v 8 u 8 –u 8 v 8 8 u+v 8 8 2v 8 u – 2v 8 8 8 8 8 – u – v = (–1, –1) Unitat 7. Vectors 8 8 –u 8 u – v = (1, –1) 8 8 u –v – u + v = (–1, 1) 8 –u + 2v 8 8 –2v –u – v 8 u 8 u–v 8 8 8 8 –v 8 8 – u + 2v = (–1, 2) 8 8 u + v = (1, 1) 8 8 u – 2 v = (1, –2) 7 8 8 8 8 8 9 Escriu els vectors u, v , w com a combinació lineal de x i y . 8 y 8 x 8 w 8 u 8 v 8 8 Quines seran les coordenades d’aquests vectors respecte a la base B (x, y )? 8 u=– ( 8 18 18 1 1 x + y , luego u = – , 2 2 2 2 ) respecto de B (x, y). 8 8 ( ) 3 3 w = x + y , luego w = ( , 1) respecto de B ( x , y ). 2 2 8 v= 8 8 8 8 38 8 3 x + y , luego v = , 1 respecto de B ( x , y ). 4 4 8 8 8 8 8 Pàgina 183 8 8 8 8 8 8 10 Escriu les coordenades dels vectors a , b, c , d, respecte a la base B (x, y ). 8 a 8 8 x b 8 c 8 8 8 8 y 8 d 8 a = (2, 2); b = (0, –3); c = (–1, 0); d = (–1, 3) 8 11 En una base ortonormal les coordenades d’un vector són v (2, –5). Troba 8 les coordenades de v a la base B = {(1, –1), (0, –1)}. 8 x (1, –1) ° 8 8 8 § v = ax + by 8 y(0, –1) ¢ 8 § (2, –5) = a(1, –1) + b (0, –1) = (a, –a) + (0, –b ) = (a, –a – b ) v(2, –5) £ 2=a ° a=2 ¢ –5 = –a – b £ b = +3 8 Las coordenadas de v en la nueva base son (2, 3). 8 Unitat 7. Vectors UNITAT 8 7 8 12 Si les coordenades dels vectors u i v són (3, –5) i (–2, 1), obtín les coordenades de: 8 a) –2 u + 18 v 2 8 38 b) – u – v 5 a) –2 (3, –5) + b) – (3, –5) – c) ( c) ) ( ) ) ( ) 1 1 21 = –7, (–2, 1) = (–6, 10) + –1, 2 2 2 ( 3 6 –3 –9 72 (–2, 1) = (–3, 15) + , = , 5 5 5 5 5 1 8 8 – 2 8 8 (u + v ) (u – v ) 2 3 1 2 1 2 (3, –5) + (–2, 1) – (3, –5) – (–2, 1) = (1, –4) – (5, –6) = 2 3 2 3 [ ] [ ] = ( 12 , –2) + ( –103 , 4) = ( –176 , 2) 8 8 8 8 8 1 8 13 Troba el vector b tal que c = 3 a – b , sent a (–1, 3) i c (7, –2). 2 (7, –2) = 3 (–1, 3) – ° 7 = –3 – (1/2)b1 8 b1 = –20 ° 1 (b , b ) 8 ¢ ¢ 2 1 2 £ –2 = 9 – (1/2)b2 8 b2 = 22 £ 8 b (–20, 22) 8 8 8 14 Donats els vectors a (3, –2), b(–1, 2) i c (0, –5), calcula m i n de manera que: 8 8 8 c = m a + n b. ° 0 = 3m – n (0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) 8 ¢ £ –5 = –2m + 2n Resolvemos el sistema: Despejando en la primera ecuación, n = 3m, y sustituyendo en la segunda: –5 = –2m + 6m 8 –5 = 4m 8 m = –5 –15 8 n= 4 4 8 8 15 Expressa el vector a (– 1, – 8) com a combinació lineal de b (3, –2) i 8 ( c 4, – ) 1 . 2 8 ☛ Calcula m i n tals que a = m b + n c . 8 ( 1 (–1, –8) = m (3, –2) + n 4, – 2 ) 8 ° –1 = 3m + 4n § 1 8 ¢ § –8 = –2m – —n 2 £ Resolvemos el sistema por reducción (por ejemplo). Unitat 7. Vectors 9 Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumamos miembro a miembro las dos: –1 = 3m + 4n –64 = –16m – 4n –65 = –13m 8 m = –65 =5 –13 Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n : –1 = 3m + 4n 8 –1 = 3 · (5) + 4n 8 –16 = 4n 8 n = –4 8 8 8 Así, podemos decir: a = 5 b – 4 c 16 Quins dels següents parells de vectors formen una base? 8 8 8 8 2 ,2 a) u(3, –1), v (1, 3) b) u(2, 6), v 3 ( ) 8 8 a) Sí, tienen distinta dirección ( u ? k v para cualquier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo. 8 8 b) No, pues tienen la misma dirección ( u = 3 v ). Producte escalar. Mòdul i angle 17 En una circumferència de centre O i de radi 2 cm, s’inscriu un hexàgon regular de vèrtexs A, B, C, D, E, F. Calcula els productes: 8 8 8 8 8 a) OA · OB 8 b) OA · OC 8 c) AB · ED 8 d) BC · EF 8 8 8 8 8 8 1 a) OA · OB = |OA| · |OB | cos (OA, OB ) = 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 · =2 2 ( 12 ) = –2 8 8 8 8 (*) A b) OA · OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · – (*) c) AB · ED = 2 · 2 · cos 0° = 2 · 2 · 1 = 4 (*) B 60° F O OAB es un triángulo equilátero, luego: 8 C 8 |AB | = |OA| = 2 8 E Razonamos igual para |ED |. 8 D 8 d) BC = – EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto) 8 8 Luego: BC · EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4 10 Unitat 7. Vectors UNITAT 8 8 7 8 18 Donats els vectors x(5, –2), y (0, 3), z (–1, 4), calcula: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 a) x · y 8 8 b) x · z 8 c) y · z a) x · y = (5, –2) · (0, 3) = –6 b) x · z = (5, –2) · (–1, 4) = –5 – 8 = –13 c) y · z = (0, 3) · (–1, 4) = 12 8 8 19 Calcula k per tal que el producte u · v siga igual a 0 en els casos següents: 8 8 a) u(6, k), v (–1, 3) 8 8 8 8 8 8 8 b) u ( ) 8 1 , –2 , v (k, 3) 5 8 8 c) u(–3, –2), v (5, k) a) u · v = (6, k ) · (–1, 3) = 0 8 –6 + 3k = 0 8 k = 2 ( ) 1 k , –2 · (k, 3) = 0 8 – 6 = 0 8 k = 30 5 5 b) u · v = c) u · v = (–3, –2) · (5, k ) = 0 8 –15 – 2k = 0 8 k = – 8 8 15 2 8 20 Donats u(2, 3), v (–3, 1) i w(5, 2), calcula: 8 8 8 a) (3 u + 2 v ) w 8 8 8 8 b) u · w – v · w 8 8 8 c) ( u · v ) w 8 8 8 d) u( v · v ) ☛ a) Troba primer les coordenades de 3 u + 2 v . 8 8 8 8 8 c) Efectua u · v . Multiplica’n el resultat (un nombre) pel vector w . Obtindràs un vector. 8 8 a) 3 u + 2 v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11) 8 8 8 (3 u + 2 v ) · w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22 8 8 b) u · w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16 ° ¢ 8 8 8 v · w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13 £ 8 8 8 8 8 u · w – v · w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29 8 8 c) u · v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3 8 8 8 ( u · v ) w = –3 (5, 2) = (–15, –6) 8 8 d) v · v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10 8 8 8 u ( v · v ) = (2, 3) · 10 = (20, 30) Unitat 7. Vectors 11 21 Troba el mòdul de cadascun dels vectors següents: 8 8 u(3, 2) 8 z ( √2 √2 2 , 2 ) 8 v (–2, 3) w(–8, –6) 8 8 t (5, 0) 8 r (1, 1) 8 | u | = √32 + 22 = √13 8 |w| = √(–8)2 + (–6)2 = 10 8 | v | = √(–2)2 + 32 — √2 2 8 — + |z| = 2 = √13 — √2 2 — =1 2 √( ) ( ) 8 | t | = √52 + 02 = 5 | r | = √12 + 12 = √2 8 22 Troba el valor de m per tal que el mòdul del vector u 8 |u| = √( ) 2 3 — 5 ( ) 3 , m siga igual a 1. 5 4 m1 = — 5 4 m2 = – — 5 9 16 + m2 = 1 8 + m2 = 1 8 m2 = 25 25 8 8 23 Calcula x, de tal manera que el producte escalar de a (3, –5) i b(x, 2) siga 8 8 igual a 7. Quin angle formen els vectors a i b? (3, –5) · (x, 2) = 7 8 3x – 10 = 7 8 x = 8 8 cos a = 17 3 7 a·b 8 a = 78° 28' 34,6'' 8 = —— —— 8 |a||b| (√ 32 + (–5)2 ) (√ (17/3)2 + 22 ) 24 Troba l’angle que formen els següents parells de vectors: 8 8 a) u(3, 2), v (1, –5) 8 8 b) m (4, 6), n (3, –2) ( 8 8 1 c) a (1, 6), b – , –3 2 ) 8 8 a) Utilizamos las dos expresiones para calcular u · v: 8 8 8 8 u · v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7 8 8 ì ì 8 8 8 8 u · v = |u| · | v|· cos ( u, v ) = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) Igualando las dos expresiones, se tiene: ì 8 8 ì 8 8 –7 = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) = –7 — — = –0,38 √13 · √ 26 ì 8 8 Luego: ( u, v ) = 112° 22' 48" 12 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 b) Despejando directamente en la definición: 8 8 8 ì 8 8 8 m · n = |m| · | n | · cos ( m, n ) 8 8 ì 8 m·n 4 · 3 + 6 · (–2) 0 8 cos ( m, n ) = 8 8 = = — — =0 — — |m||n| √52 · √13 √52 · √13 8 8 ì 8 8 8 8 de donde: ( m, n ) = 90° (basta con ver que m · n = 0) ì 8 8 8 8 c) cos ( a, b ) = a·b –37/2 –1/2 – 18 –1 √2 = =– 8 = — — — = 8 2 |a||b| 37 √ 2 /2 √37 · √37/2 √2 ( ) ì 8 8 Luego: ( a, b ) = 135° 8 25 Donat el vector u(–5, k) calcula k de mode que: 8 8 a) u siga ortogonal a v (4, –2). 8 b) El mòdul de u siga igual a √34 . 8 8 8 8 a) u 2 v ò u · v = 0 8 (–5, k) · (4, –2) = 0 8 –20 – 2k = 0 8 k = –10 8 b) | u | = √ (–5)2 + k 2 = √ 25 + k 2 = √ 34 8 25 + k 2 = 34 8 k 2 = 9 8 k = ±3 Hay, pues, dos soluciones. 8 26 Donat el vector u(6, – 8), determina: 8 a) Els vectors unitaris (mòdul 1) de la mateixa direcció que u. 8 8 b) Els vectors ortogonals a u que tinguen el mateix mòdul que u. 8 c) Els vectors unitaris i ortogonals a u. ☛ Mira el problema resolt n. 4. 8 a) Calculamos: | u | = √62 + (–8)2 = 10 8 Los vectores de la misma dirección que u y de módulo 1 son: 1 3 4 8 v1 = (6, –8) = , – 10 5 5 8 v2 = ( ( 1 3 4 (–6, 8) = – , 10 5 5 ) ) 8 b) Se obtienen permutando las coordenadas de u y cambiando el signo de una de ellas. 8 v 1 = (8, 6) 8 v 2 = (–8, –6) También se pueden hallar expresando analíticamente las dos condiciones y resolviendo el sistema que obtenemos: Unitat 7. Vectors 13 8 8 v 2 u 8 (x, y) · (6, –8) = 0 8 6x – 8y = 0 8 x = 8 8y 4 = y 6 3 8 | v | = | u | 8 √ x 2 + y 2 = 10 8 x 2 + y 2 = 100 ( 43 y) + y 2 2 16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y 2 = 36 8 y = ±6 9 9 = 100 8 8 4 6 = 8 8 v 1 (8, 6) 3 • Si y1 = 6 8 x1 = 8 • Si y2 = –6 8 x2 = –8 8 v 2 (–8, –6) c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos: 8 v1 = 8 v2 = ( ) ( ) 1 4 3 (8, 6) = , 10 5 5 1 4 3 (–8, –6) = – , – 10 5 5 O bien, resolviendo el sistema: 8 8 u 2 v 8 6x – 8y = 0 8 x = 8 ( 4y3 ) + y 2 2 =1 8 8y 4y = 6 3 3 4 3 4 8 x1 = · = 5 3 5 5 • Si y2 = –3 4 –3 –4 8 x2 = · = 5 3 5 5 8 ( 45 , 35 ), 8 v2 8 16 2 25 2 25 3 y + y2 = 1 8 y = 1 8 y2 = 8 y=± 9 9 9 5 • Si y1 = Así, v 1 = ° § ¢ § £ 8 |v| = 1 8 √x 2 + y 2 = 1 8 x 2 + y 2 = 1 ( ) ( –45 , –35 ) Pàgina 184 PER A RESOLDRE 8 8 27 Troba les coordenades d’un vector v(x, y), ortogonal a u(3, 4) i que faça el 8 doble que u. ° § ¢ 8 8 2 2 | v | = 2| u | 8 √ x 2 + y 2 = 2 √ 9 + 16 = 2 √ 25 = 10 8 x + y = 100 § £ Resolvemos el sistema: 8 8 8 8 u 2 v 8 u · v = 0 8 3x + 4y = 0 Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 14 Unitat 7. Vectors UNITAT x= –4 y 8 3 ( –43 y) + y 2 Si y1 = 6 8 x1 = 2 = 100 8 7 16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y = ±6 9 9 8 –4 · 6 = –8 8 v 1 (–8, 6) 3 8 v1 8 u 8 –4 Si y2 = –6 8 x2 = · (–6) = 8 8 v 2 (8, –6) 3 El problema tiene dos posibles soluciones, tales que: 8 8 v1 = –v2 8 v2 8 8 8 8 8 8 8 28 Donats a(2, 1) i b(6, 2), troba un vector v tal que v · a = 1 i v 2 b. (x, y) · (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1 ° ¢ Resolvemos el sistema: (x, y) · (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0 £ Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miembro a miembro: –2x – 2y = –1 6x + 2y = 0 = –1 8 x = 4x –1 4 Sustituimos en una ecuación, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra incógnita: –1 6 3 3 6x + 2y = 0 8 6 · + 2y = 0 8 2y = = 8 y= 4 4 2 4 ( ) 8 Así, nuestro vector será: v 8 ( –14 , 34 ) 8 8 8 29 Sent u(5, –b) i v(a, 2), troba a i b, sabent que u i v són ortogonals i que 8 |v| = √13 . 8 8 8 8 Si u 2 v , entonces u · v = 0 8 (5, –b) · (a, 2) = 0 8 5a – 2b = 0 8 Si | v | = √ 13 , entonces √ a 2 + 22 = √ 13 8 a 2 + 4 = 13 Resolvemos el sistema: a 2 + 4 = 13 8 a = ±3 Entonces: Si a = 3 8 b = 5a 15 = 2 2 Si a = –3 8 b = Unitat 7. Vectors 5a –15 = 2 2 15 8 ( ) –15 8 , v (3, 2) 2 Luego hay dos posibles soluciones: u 5, 8 ( O bien: u 5, ) 15 8 , v (–3, 2) 2 8 8 8 8 8 8 8 8 30 Donats els vectors a = 2 u –8v i b = –3 u + k v, sent u 8= (2, 3) i v = (–3, 0), tro8 8 ba k de manera que ( a + b) siga ortogonal a ( a – b). 8 8 8 8 8 8 ☛ Escriu les coordenades de (a + b ) i (a – b). 8 8 8 8 8 8 Si ( a + b ) 2 ( a – b ), aleshores ( a + b ) · ( a – b ) = 0. Obtindràs una equació la incògnita de la qual és k. 8 8 8 a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6) ° a + b = (1 – 3k, –3) ° 8 ¢ 8 ¢8 8 b = –3 (2, 3) + k (–3, 0) = (–6 – 3k, –9) £ £ a – b = (13 + 3k, 15) Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales: (1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0 13 + 3k – 39k – 9k 2 – 45 = 0 8 9k 2 + 36k + 32 = 0 k= = –36 ± √ 1 296 – 1 152 –36 ± √ 144 = = 18 18 –36 ± 12 = 18 –24/18 = –4/3 = k1 –48/18 = –8/3 = k2 8 8 8 31 Troba el 8valor que ha de tindre k per tal que els8vectors x = k a + b i 8 8 8 y = k a – b siguen perpendiculars, sent a(3/2, 4) i b(5, 0). ° § § § 3 3k 8 ¢ Entonces: y = k , 4 – (5, 0) = – 5, 4k § 2 2 § 8 8 8 8 § Como queremos x 2 y ò x · y = 0 £ 8 x=k ( ( ( 3 3k , 4 + (5, 0) = + 5, 4k 2 2 )( ) ) ) ( )( ) 3k 3k 3k 3k + 5, 4k · – 5, 4k = 0 8 +5 – 5 + (4k )(4k ) = 0 8 2 2 2 2 8 16 ( ) ( ) 10 9k 2 73 2 – 25 + 16k 2 = 0 8 k = 25 8 k = ± (dos soluciones) 4 4 √73 Unitat 7. Vectors UNITAT 8 7 8 32 Donats els vectors u (k, –6) i v (3, h), calcula k i h de manera que 8 8 8 |u| = 10 i u 2 v. 8 | u | = √k 2 + (–6)2 = 10 8 k 2 + 36 = 100 8 k 2 = 64 8 8 k = ±8 (dos soluciones) 8 8 8 • Si k = 8 8 u (8, –6); u 2 v 8 (8, –6) · (3, h ) = 0 8 24 – 6h = 0 8 h = 4 8 8 8 • Si k = –8 8 u (–8, –6); u 2 v 8 (–8, –6) · (3, h ) = 0 8 –24 – 6h = 0 8 8 h = –4 8 8 8 8 33 Calcula les coordenades d’un vector u tal que |u| = 1 i u · v = 1 sent 8 v(2, 1). 8 8 u (a, b ) 8 | u | = 1 8 √a2 + b 2 = 1 ° Resolvemos el sistema: 8 u · v = 1 8 (a, b ) · (2, 1) = 1 8 2a + b = 1 ¢ £ b = 1 – 2a 8 a2 + (1 – 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 – 4a = 1 8 5a2 – 4a = 0 8 a=0 8 b=1 4 3 a= 8 b=– 5 5 8 8 Soluciones : u 1(0, 1) y u 2 8 ( 4 3 ,– 5 5 8 ) 8 34 Expressa els vectors a, b i c com a 8 8 combinació lineal de x i y. 8 8 a 8 b y 8 x 8 c 8 a=– 18 8 x + 2y 2 8 b= 8 8 18 8 x + 2y 2 8 c= 18 8 x–y 2 8 8 35 Dels vectors a i b8 sabem que |a| = 3 i |b| = 5 i que formen un angle de 8 120°. Calcula |a – b|. ☛ Mira el problema resolt número 8. 8 8 8 8 8 8 2 2 Como: v · v = |v| |v| cos 0° = |v| · 1 = |v| entonces podemos decir que: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |a – b|2 = (a – b) · (a – b) = a · a – 2a · b + b · b = 8 8 8 ì 8 8 8 2 2 = |a| – 2 |a| |b| cos ( a, b ) + |b| = ( 12 ) + 25 = 49 = 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · – 8 8 Luego: |a – b| = 7 Unitat 7. Vectors 17 8 8 8 8 8 8 36 Si |u|= 3 i (u + v ) · (u – v ) = –11, troba |v|. 8 8 8 8 8 8 8 8 ☛ ( u + v ) · ( u – v ) = u · u – v · v = –11. 8 8 8 8 Com que u · u = |u|2 = 9, calcula |v|. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 2 2 (u + v) · (u – v) = u · u – v · v = |u| – |v| = –11 8 Como |u| = 3, se tiene que: 8 8 8 2 2 32 – |v| = –11 8 |v| = 20 8 |v| = √ 20 8 8 8 8 8 8 8 8 37 Sabent que |u| = 3, |v| = 5 i u 2 v, troba |u + v| i |u – v|. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v = (*) 8 8 8 8 2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u + v| = √ 34 (*) 8 8 8 8 u2v 8 u·v=0 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |u – v|2 = (u – v ) · (u – v) = u · u – 2u · v + v · v = 8 8 8 8 2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u – v| = √ 34 8 8 8 8 8 8 38 Siga B ( x, y) una base ortonormal. Calcula |x + y| i |x – y|. ☛ Mira el problema resolt número 7. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = |x| + 0 + |y| = 2 8 |x + y| = √2 |x – y|2 = (x – y) · (x – y) = x · x – 2x · y + y · y = |x| – 0 + |y| = 2 8 |x – y| = √2 8 8 8 8 8 8 39 Si |u| = 4, |v| = 3 i |u + v| = 5, quin angle formen u i v ? Razonando como en el problema resuelto número 7, llegamos a: 8 8 8 8 8 ì 8 8 8 |u + v|2 = |u|2 + 2 |u| |v| cos ( u, v ) + |v|2 Sustituyendo los valores conocidos: ì 8 8 52 = 42 + 2 · 4 · 3 · cos ( u, v ) + 32 ì 8 8 25 = 16 + 24 cos ( u, v ) + 9 ì 8 8 cos ( u, v ) = 18 ì 25 – 25 8 8 = 0 8 ( u, v ) = 90° 24 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 8 8 40 Calcula x per tal que els vectors a(7, 1) i b(1, x) formen un angle de 45º. 8 8 8 8 a · b = 7 + x = |a| | b| cos 45° 8 8 7 + x = √ 50 · √ 1 + x 2 · √2 8 2 14 + 2x = √1 + x 2 8 10 8 14 + 2x = √ 100 (1 + x 2) 8 2 7+x = √ 1 + x 2 8 49 + x + 14x = 1 + x 2 8 5 25 8 8 49 + x 2 + 14x = 25 + 25x 2 8 24x 2 – 14x – 24 = 0 8 8 12x 2 – 7x – 12 = 0 8 x = 7 ± √ 49 + 576 24 x1 = 4/3 x2 = –3/4 8 8 41 Calcula x per tal que a(3, x) i b(5, 2) formen un angle de 60º. 8 8 8 8 a · b = |a| | b| cos 60° 15 + 2x = √ 9 + x 2 · √ 29 · 1 8 30 + 4x = √ 29 (9 + x 2) 8 2 8 900 + 16x 2 + 240x = 29 (9 + x 2) 8 13x 2 + 240x – 639 = 0 x= = –240 ± √ 57 600 + 33 228 –240 ± √ 90 828 = = 26 26 x1 = –2,36 x2 = 20,82 –240 ± 301,4 26 8 42 Troba les coordenades de cert vector x, sabent que forma un angle de 60° 8 amb a(2, 4) i que els mòduls d’ambdós són iguals. — 8 8 |a| = √20 = |x| ° 8 8 8 8 8 ¢ 8 a · x = |a| |x| cos 60° 8 Sea x(m, n ) £ — — 1 ° § 2m + 4n = √20 · √20 · — 8 2m + 4n = 10 2 8 ¢ — § —— 2 + n 2 = √20 8 m 2 + n 2 = 20 √ m £ Resolvemos el sistema: m= 10 – 4n = 5 – 2n 2 Sustituyendo en la segunda ecuación: (5 – 2n )2 + n 2 = 20 8 25 + 4n 2 – 20n + n 2 = 20 8 n 2 – 4n + 1 = 0 n= 4 ± √ 16 – 4 4 ± 2√3 = 2 2 n1 = 0,27 n2 = 3,73 8 • Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 8 x1 = (4,46; 0,27) 8 • Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 8 x2 = (–2,46; 3,73) Unitat 7. Vectors 19 8 8 43 Determina un vector a que forme amb b(–1, –2) un angle de 30° i tal que 8 8 |a| = √3|b|. 8 ° –x – 2y = |a8||b | cos 30° 8 8 Sea a (x, y) 8 §¢ § √x 2 + y 2 = √3 · √5 £ ( ) ° √3 § –x – 2y = √ 3 · √ 5 · √ 5 · 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15 ( ) ° 15 § –x – 2y = 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15 Resolvemos el sistema: x = –2y – 15 2 Sustituyendo en la segunda ecuación: (4y 2 + ) 225 165 + 30y + y 2 = 15 8 5y 2 + 30y + =0 4 4 20y 2 + 120y + 165 = 0 8 4y 2 + 24y + 33 = 0 –24 ± √ 576 – 528 –24 ± 4 √ 3 √3 = = –3 ± 8 8 2 y= 8 Así: a ( √3 –3 – √ 3 , –3 + 2 2 ) 8 o a= 8 ( √3 –3 + √ 3 , –3 – 2 2 8 ) 8 8 44 Donats els vectors u(1, 3) i v(6, 4), troba la projecció de v sobre u. 8 8 8 8 ☛ Saps que u · v = |u| · proju8 ( v). 8 8 8 8 8 u · v = |u| · (proy. de v sobre u) 8 8 u·v 6 + 12 18 18 √ 10 9 √ 10 = = = (proy. de v sobre u) = 8 = 10 5 |u| √ 10 √ 10 8 8 8 8 8 8 45 Donats els vectors a(5, 2) i b(4, –3), calcula la projecció de a sobre b i la de 8 8 b sobre a. 8 8 8 8 8 a · b = |a| · (proy. de b sobre a ) °§ ¢ 8 8 8 8 8 a · b = |b| · (proy. de a sobre b) §£ 8 8 proy. de b sobre a = 8 8 8 8 a·b 20 – 6 14 14 √ 29 = = = 8 29 |a| √ 29 √ 29 a·b 20 – 6 14 = proy. de a sobre b = 8 = 5 |b| √ 25 8 20 8 Unitat 7. Vectors UNITAT 8 8 8 8 8 7 8 46 D’una base B = {u, v } se sap que |u| = 2, |v| = 1 i u · v = –1. En aquesta 8 8 8 8 base les coordenades de dos vectors són x(1, 2) i y(–1, 1). Calcula x · y. ☛ Mira el problema resolt número 8. 8 8 8 8 8 x = 1u + 2v = u + 2v 8 8 8 8 8 y = –1u + 1v = –u + v 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 x · y = (u + 2v) · (–u + v) = –u · u + u · v – 2u · v + 2v · v = 8 8 8 8 = –|u| – u · v + 2|v| = –2 – (–1) + 2 · 1 = 1 8 8 8 47 Donats a(1, 2) i b(5, 5), expressa el vector b com a suma de dos vectors: 8 8 un de la mateixa direcció que a i un altre ortogonal a a. ☛ Mira el problema resolt número 6. 8 8 8 b = x + y, donde: 8 8 8 8 • x tiene la misma dirección de a 8 x = k a = k (1, 2) = (k, 2k ) 8 8 8 • y 2 a 8 y = h (–2, 1) = (–2h, h ) Entonces: 8 8 (5, 5) = x + y = (k, 2k ) + (–2h, h ) = (k – 2h, 2k + h ) 5 = k – 2h ° k = 3 ¢ 5 = 2k + h £ h = –1 8 8 Los vectores pedidos son x(3, 6) e y(2, –1). 8 8 8 8 8 8 8 8 48 Se sap que c = a + 2 b i d = 5 a – 4 b són 8perpendiculars i que a i b són 8 unitaris. Quin és l’angle que formen a i b? 8 8 8 8 8 8 ☛ Si c · d = 0 8 ( a + 2 b ) · (5 a – 4 b ) = 0. 8 8 8 8 8 8 8 8 Si c 2 d 8 c · d = 0 8 (a + 2 b) · (5 a – 4b) = 0 8 8 8 8 8 8 8 8 5a · a – 4a · b + 10b · a – 8b · b = 0 8 8 8 8 Como a y b son unitarios 8 |a| = 1 = |b| 8 8 8 8 8 8 2 2 5 |a| + 6a · b – 8 |b| = 5 + 6a · b – 8 = 0 8 8 a·b= ì ì ì 8 8 8 8 8 8 8 8 –3 –1 –1 = 8 |a| |b| cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = 8 ( a, b ) = 120° 6 2 2 8 8 8 8 8 8 8 49 Demostra que el vector ( b · c ) a – ( a · c ) b és perpendicular al vector c. 8 8 8 8 8 8 8 ☛ Has de provar que [( b · c ) a – ( a · c ) b ] · c = 0. Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0. Unitat 7. Vectors 21 • Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector: 8 8 8 8 8 8 (b · c) a – (a · c) b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) = ( ) ( ) = (b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2 – (a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2 = = (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) = = (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) • Calculamos ahora: [(8b · c) a – (a · c ) 8b] · c = 8 8 8 8 8 = (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 = = a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0 Pàgina 185 QÜESTIONS TEÒRIQUES 50 Indica si el resultat de les operacions següents és un nombre o un vector: 8 8 8 8 a) 2 a · b 8 b) ( a · b) c 8 8 8 8 8 8 8 c) (3 a – 2 b) · c d) ( a + b) · ( a – b) a) Número b) Vector c) Número d) Número 8 8 51 Si B ( a, b) és una base dels vectors del pla, assenyala quins dels següents parells de vectors poden ser una altra base: 8 8 8 a) ( 3 a, –2 b) 8 8 8 8 8 8 b) ( –a – b, a + b) 8 8 8 c) ( a – b, a + b) 8 8 d) ( a – b, b – a ) 8 8 8 a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3a tiene la dirección de a y –2 b 8 8 8 tiene la dirección de b (que, por ser B (a, b) base, no es la misma). 8 8 8 8 b) No, pues –a – b = –1 (a + b), luego los dos vectores tienen la misma dirección (y sentidos opuestos). c) Sí, pues tienen distinta dirección. 8 a 8 8 8 8 a+b a–b 8 b 8 8 8 8 d) No, pues tienen la misma dirección al ser a – b = –1 ( b – a). 22 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 8 8 52 Siguen a i b dos vectors no nuls. Indica quin angle formen en els casos següents: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 a) a · b = |a| |b| b) a · b = 0 8 8 c) a · b = –|a| |b| 8 8 d) a · b = 0,5 |a| |b| ì 8 ì 8 8 8 a) cos ( a, b ) = 1 8 ( a, b ) = 0° ì 8 8 8 8 b) a 2 b 8 ( a, b ) = 90° ì 8 ì 8 8 8 c) cos ( a, b ) = –1 8 ( a, b ) = 180° ì 8 ì 8 8 8 d) cos ( a, b ) = 0,5 8 ( a, b ) = 60° PER A APROFUNDIR-HI 8 8 53 Donats els vectors a(2, 6) i b(5, 1), calcula: 8 a) Les coordenades d’un vector unitari de la mateixa direcció que b. 8 b) Un vector de la mateixa8direcció que b i el mòdul del qual siga igual a la 8 8 8 projecció de a sobre b. (Vector projecció de a sobre b). 8 8 a) Habrá dos soluciones (v y –v) 8 8 • Si v es vector unitario 8 |v| = 1 8 8 8 8 • Si v es de la misma dirección que b 8 v = k b = (k 5, k ) 1 √ 26 =± √ 25k 2 + k 2 = 1 8 k = ± 26 √ 26 Luego las soluciones son: 8 v= ( 5 √ 26 √ 26 , 26 26 8 ) 8 y –v = ( –5 √ 26 √ 26 ,– 26 26 ) 8 a·b 10 + 6 16 16 √ 26 8 √ 26 b) proy. de a sobre b = 8 = = = = 26 13 |b| √ 26 √ 26 8 8 8 √ 26 Luego, |v| = 13 8 8 y v = k b = (5k, k ) 8 Así: v Unitat 7. Vectors ° § § ¢ § § £ 8 8 √ 26k 2 = 8 √ 26 8 8 k=± 13 13 –8 , ( 4013 , 138 ), –v ( –40 13 13 ) 8 23 8 8 54 Siguen a i b els vectors que definixen els costats d’un rombe, partint d’un dels vèrtexs (cada vector determina un parell de costats paral·lels): 8 8 a) Expressa les diagonals del rombe en funció de a i b. b) Demostra vectorialment que les diagonals del rombe són perpendiculars. B 8 8 a) AC = 8 a+ b 8 8 a 8 8 8 8 8 BD = b – a = – a + b A 8 8 b) Hay que probar que AC · BD = 0. Veámoslo: C 8 8 a b 8 8 8 8 8 8 8 2 8 8 8 8 8 2 AC · BD = ( a + b) · ( b – a) = b · b – a · a = |b| – | a| 8 b 8 Como |b| = | a| por ser la medida de los lados, se cumple que: D 8 8 AC · BD = 0 8 8 8 8 55 Busca8 alguns exemples amb els quals es veja que a · b = a · c no implica 8 que b = c. 8 8 c 8 8 Considera los vectores a, b y c del dibujo de la derecha: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 a · b = | a| · proy. de b sobre a 8 8 a · c = | a| · proy. de c sobre a b 8 8 8 8 a 8 Como ambas proyecciones coinciden: a · b = a · c 8 8 Y, sin embargo: b ? c 8 8 8 8 8 8 56 Prova, que si a 2 b i a 2 c, aleshores: a 2 (m b + n c ), m, n é Á. 8 8 8 Hay que probar que a · (m b + n c ) = 0. Veamos: 8 (*) 8 8 8 8 a · (m b + n c ) = m ( a · b) + n ( a · c) (*) Propiedades 6 y 7 del producto escalar. 8 8 8 8 8 8 8 8 Como: a 2 b 8 a · b = 0 a2c 8 a· c=0 8 8 8 8 8 ° § § § ¢ § § § £ 8 8 8 8 8 8 a · (m b + n c ) = m · 0 + n · 0 8 8 57 Prova que si a 2 b i a 2 ( b + c ) aleshores es verifica que a 2 c . 8 8 8 8 Si a 2 b 8 a · b = 0 ° 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ¢ 8 a ·c = 0 8 a2c Si a 2 ( b + c ) 8 a · ( b + c ) = a · b + a · c = 0 £ 24 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 Pàgina 185 AUTOAVALUACIÓ 8 8 1. Es consideren els vectors u(–2, 6) i v(1, –2). 8 8 Calcula u + 2 v i 18 8 u – 3v gràficament i utilitzant coordenades. 2 8 2v 8 8 u + 2 v = (–2, 6) + 2(1, –2) = 8 u 8 = (–2, 6) + (2, –4) = (0, 2) 8 u + 2v 18 1 8 u – 3v = (–2, 6) – 3(1, –2) = 2 2 8 –3v 8 = (–1, 3) – (3, –6) = (–4, 9) 8 (1/2)u – 3v 8 (1/2)u 8 8 2. Siguen u i v dos vectors unitaris que formen un angle de 60º. Calcula: 8 8 8 8 8 a) u · v 8 8 8 a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 · 8 8 b) (3u ) · (–2 v ) 8 8 8 c) proy u8 (u + v ) 1 1 = 2 2 8 b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3 8 8 8 c) proy 8u ( u + v ) = 8 8 8 8 8 8 u · ( u + v) u· u+u· v 1 3 8 8 8 = = |u|2 + u · v = 1 + = 8 2 2 |u| 1 8 3. Expressa el vector a(–1, –9) com a combinació lineal de la base B = { (–2, 3), (–1, 5)}. (–1, –9) = k (–2, 3) + s (–1, 5) = (–2k – s, 3k + 5s ) –1 = –2k – s ° s = 1 – 2k ¢ –9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2 s = 1 – 4 = –3 Por tanto: (–1, –9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5) 8 8 8 a = 2u – 3 v Unitat 7. Vectors 25 8 8 4. Considerem els vectors u (0, 2) i v (1, √3 ). Calcula: a) El producte escalar. b) El mòdul d’ambdós vectors. c) L’angle que hi formen. 8 8 a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3 8 b) | u | = √02 + 22 = 2 8 |v | = — √12 + √3 2 8 ì =2 8 u·v 2 √3 √3 = = 8 8 2 |u| ·| v| 2 · 2 8 8 c) cos ( u, v ) = ( ) ì √3 8 8 ( u, v ) = arc cos 2 = 30° 8 5. Siga u(–3, k), calcula k de forma que: 8 8 a) u siga ortogonal a v(4, – 6). 8 b) El mòdul de u siga igual a 5. a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0. 8 8 8 8 u2v ï u·v =0 8 8 u · v = (–3, k ) · (4, –6) = –12 – 6k = 0 8 k = –2 8 b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4 8 6. Determina les coordenades d’un vector a (x, y) que forme amb el vector 8 v (–1, 0) un angle de 60° i el mòdul del qual siga 2. 8 ì 8 8 cos ( a, v ) = cos 60° = 8 a·v 1 –x = 8 8 = 8 x = –1 2 2·1 |a| ·| v| 8 | a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3 8 — ° a (–1, √ 3 ) — Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8 £ a (–1, –√ 3 ) 8 8 8 7. Obtín un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) i el mòdul del qual siga la meitat 8 del de v. 8 8 8 8 u2v ï u·v =0 8 | u | = √x 2 + y 2 26 8 | v | = √64 + 36 = 10 Unitat 7. Vectors UNITAT 7 (x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0 1 8 | v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25 2 8 |u | = Resolvemos el sistema: 3 –— 8x + 6y = 0 ° x = 4 y ¢ 25 x 2 + y 2 = 25 £ 9 2 — y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4 16 16 y = 4 8 x = –3 y = –4 8 x = 3 8 8 8 Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, –4) 8 8 8 8 8. Calcula la projecció de v sobre u, sent u(2, 0) i v(–3, –1). 8 8 proy 8u v = 8 u·v –6 + 0 = = –3 8 2 |u| 8 8 9. Siguen a i b dos vectors unitaris que formen un angle de 120°. 8 8 8 8 Calcula |a + b| i |a – b|. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 | a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b = 8 ì ( ) 8 8 8 = | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · – 1 +1= 2 8 8 = 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 | a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b = 8 ì 8 8 8 ( ) = | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · – 8 1 +1= 2 8 = 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3 Unitat 7. Vectors 27