el trazado de rayos: diferentes tecnicas, sus ventajas e

EL TRAZADO DE RAYOS:
DIFERENTES TECNICAS, SUS
VENTAJAS E INCONVENIENTES.
EL TRAZADO DE RAYOS: ES EL METODO QUE SE
UTILIZA PARA EL CALCULO DE MAGNITUDES OPTICAS
DE UNA LENTE OFTALMICA EN POSICION DE USO.
Consta de dos partes importantes:
– TRAZADO INVERSO
– TRAZADO DIRECTO
TRAZADO INVERSO:
Trazado inverso del rayo Jefe: rayo que parte del centro de rotación del ojo en la dirección de
mirada que es objeto de estudio.
Aplicación de las Leyes de la Refracción para el trazado del rayo:
.- Axioma de propagación rectilínea en medios homogéneos
.- Ley de la refracción de Snell
n  sen  n'sen '
.- Ley de Descartes: El rayo de incidencia, la normal a la superficie en el punto de
incidencia y el rayo refractado están en un mismo plano.
.- Propagación e intersección con la cara cóncava
.- Cálculo de la refracción en la cara cóncava
.- Propagación e intersección con la cara convexa
.- Cálculo de la refracción en la cara convexa
.- Aplicar una determinada distancia objeto
TRAZADO DIRECTO:
.- Trazado de haz de rayos y cálculo de las magnitudes ópticas.
DIFERENTES TECNICAS
.- MATRIZ DE POTENCIA DIOPTRICA
.- FRENTE DE ONDAS
.- TRAZADO GENERALIZADO
.- MATRIZ DE POTENCIA DIOPTRICA
.- Escoger varios rayos (mínimo 3 + el rayo jefe)
.- Propagar hasta la cara convexa y calcular el punto de intersección.
.- Aplicar la ley de Snell (3D) para el cálculo de la refracción
.- Propagar hasta la cara cóncava y calcular el punto de intersección.
.- Aplicar la ley de Snell (3D) para el cálculo de la refracción
.- Cálculo de las magnitudes ópticas por la Ley de Prentice en 3D.
Ley de Prentice: relaciona el efecto prismático con la potencia
  P  d
En forma genérica en 3D
 Esf  Cil  sin 2 
 H 



 
 V
 Cil  sin   cos 
Cil  sin   cos    x 
 
Esf  Cil  cos 2    y 
Para ángulos pequeños:
  100  tan   100  
Siendo u, v los ángulos correspondientes a  H y V ,
y expresando x, y en mm.
 Esf  Cil  sin 2 
u 
1000      
v 
 Cil  sin   cos 
Cil  sin   cos    x 
 
Esf  Cil  cos 2    y 
.- FRENTE DE ONDAS
Principio de Fermat: la trayectoria que sigue la luz para ir de un punto A a otro B es tal que el
camino óptico (o tiempo) a lo largo de ella es mínimo. Dos rayos de luz que partiendo de A
llegan a B por diferentes trayectorias tendrán el mismo camino óptico (tardan el mismo
tiempo), y será mínimo.
Superficie de frente de onda: lugar geométrico en el espacio resultante de igualar el camino
óptico del haz de rayos escogido
.- Escoger varios rayos (entre 15 y 20)
.- Propagar hasta la cara convexa y calcular el punto de intersección.
.- Aplicar la ley de Snell (3D) para el cálculo de la refracción.
.- Propagar hasta la cara cóncava y calcular el punto de intersección.
.- Aplicar la ley de Snell (3D) para el cálculo de la refracción.
.- Acumular el camino óptico a lo largo de la propagación.
Camino óptico: producto de la velocidad de la luz en el vacío por el tiempo que
tarda la luz en recorrer una trayectoria
𝐿 = 𝑐. 𝑡 = 𝑐.
𝑠𝑖
=
𝑣𝑖
𝑛𝑖 . 𝑠𝑖 = 𝑛1 . 𝑠1 + 𝑛1 . 𝑠1 + ⋯ + 𝑛𝑛 . 𝑠𝑛
n: índice refracción ( c/v_i )
s: longitud trayectoria
c: velocidad de la luz en el vacío
v: velocidad de la luz en el medio
t: tiempo en recorrer la trayectorias
.- Igualar camino óptico para calcular la superficie del frente de onda.
𝐿 = 𝑐. 𝑡 = 𝑐.
𝑠𝑖
=
𝑣𝑖
𝑛𝑖 . 𝑠𝑖 = 𝑛1 . 𝑠1 + 𝑛1 . 𝑠1 + ⋯ + 𝑛𝑛 . 𝑠𝑛
n: índice refracción ( c/v_i )
s: longitud trayectoria
c: velocidad de la luz en el vacío
v: velocidad de la luz en el medio
t: tiempo en recorrer la trayectorias
.- Cálculo de las magnitudes ópticas a partir de los radios de curvatura
de la superficie del frente de onda.
.- Cálculo de aberraciones de orden superior (coma, distorsión...)
ajustando polinomios de Zernike a la superficie del frente de onda.
.- TRAZADO GENERALIZADO
A partir de la ley de Snell vectorial y las ecuaciones de Frenet para curvas en el espacio se
deducen las expresiones que permiten calcular las curvaturas del frente de onda refractado en
función de las curvaturas del frente de onda incidente y de las curvaturas de la superficie de
refracción en las direcciones u,v.
La geometría diferencial de Gauss nos permite calcular las curvaturas principales y su dirección a
partir de las curvaturas encontradas en las direcciones u y v.
Bibliografía sobre trazado generalizado
.- Artículo de Pilar Rojo realizado con la colaboración de Prats de «Journal of Modern
Optics»
http://dx.doi.org/10.1080/09500340.2013.878964
.- Tesis doctoral de Gregor Esser (Rodenstock) presentada en la Universitat Politècnica de
Catalunya, Departament d’Òptica i Optometria
ELECCION DEL SISTEMA. VENTAJAS E INCONVENIENTES.
1.- MATRIZ DE POTENCIA DIOPTRICA
Ventajas:
.- Matemática muy sencilla, solución de sistemas de ecuaciones lineales expresados
matricialmente por mínimos cuadrados para resolver la matriz de potencia dióptrica.
.- Mínimo 4 rayos por pincel (3 más el rayo Jefe). Resultados óptimos en cuanto a precisión con 6
rayos por pincel.  Rapidez de cálculo. Permite el uso de más puntos de optimización y mayor
numero de iteraciones de la función de merito utilizada para el diseño de la lente.
Optimización on-line eficaz.
.- Sólo se necesita el cálculo de la primera derivada en los puntos de intersección con la superficie
para el cálculo de normales y así aplicar las leyes de la refracción.
Inconvenientes:
.- No se pueden calcular aberraciones de orden superior, coma, distorsión,...
2.- FRENTE DE ONDAS
Ventajas:
.- Sólo se necesita el cálculo de la primera derivada en los puntos de intersección con la
superficie para el cálculo de normales y así aplicar las leyes de la refracción.
.- Cálculo de aberraciones de orden superior por ajuste de polinomios de Zernike al frente de
onda.
Inconvenientes:
.- Mínimo de unos 15 rayos para obtener una precisión correcta  cálculo lento.
.- Ajuste de polinomios de Zernike al frente de onda  cálculo lento.
Se precisa mucho más tiempo de CPU a igualdad de número de puntos optimizados y
número de iteraciones de la función de mérito utilizada para diseñar una lente.
En la práctica diseños menos afinados.
(El diseñador repite los procesos con diferentes funciones de mérito o superficies de partida
en función del resultado de una optimización previa. Al ser más lenta, el diseñador hace
menos pruebas. La optimización final de una receta real evalúa menos puntos o utiliza una
función de mérito más simple)
3.- TRAZADO GENERALIZADO
Ventajas:
.- Un único rayo por pincel  máxima velocidad de cálculo.
Se precisa el mínimo tiempo de CPU a igualdad de número de puntos optimizados y número
de iteraciones de la función de mérito utilizada.
.-En la práctica diseños más afinados.
.- Permite el cálculo de aberraciones de orden superior.
Inconvenientes:
.- Se necesita calcular las segundas derivadas en el punto de intersección del rayo con la
superficie para calcular las curvaturas principales en dicho punto. Importante seleccionar
correctamente los métodos numéricos empleados para definir las superficies.
.- Teoría compleja, conceptualmente difícil de entender.
Tres trazados, un único resultado prácticamente idéntico
Tiempos:
T_TrazadoGeneralizado = 1/3 T_MatrizPotenciaDioptrica
T_TrazadoGeneralizado = 1/35T_FrenteOnda
GRACIAS POR SU ATENCIÓN