ω ω β

Derivación abreviada de la ecuación omega cuasigeostrófica y la ecuación tendencia de altura
cuasigeostrófica
Meteorología sinóptica
1. Empezar con las ecuaciones básicas que gobiernan movimiento de fluidos (Navier-Stokes):
u
u
u
u 
 u  v  

 fv
t
x
y
p x
v
v
v
v 
 u  v   
 fu
t
x
y
p y
(1)
(2)
Donde los variables y constantes son definidos así:
u – componente de velocidad este-oeste
v – componente de velocidad norte-sur
 – componente de velocidad vertical en coordinados de presión
dp  p  z 

        g  w
dt  z  t 
w – componente de velocidad vertical (en coordinados cartesianas)
g – gravedad, un constante
 – densidad de aire
 – altura geopotencial,   gz
f – componente de Coriolis, f  2 sin 
 - velocidad angular de la Tierra, 7.29 x 10-5 s-1, un constante
El viento horizontal vectorial puede ser escrito así, Vg  ug iˆ  vg ˆj , y el gradiente de Coriolis así

f
.
y
Suponiendo unas restricciones (número de Rossby pequeño, flujo adiabático y sin fricción, estabilidad
estática horizontal y uniforme, y fluido en balance hidrostático), las ecuaciones (1) y (2) se convierten
a:
u g
t
vg
t
 ug
 ug
u g
x
vg
x
 vg
 vg
u g
y
vg
y
 f 0vag   yvg  0
(3)
 f 0uag   yu g  0
(4)
donde el subíndice “g” indica componente de viento geostrófico, “ag” indica el componente
ageostrófico, f0 es el componente de Coriolis (un constante), y  el cambio en Coriolis con latitud.
1
Tomar una “derivada cruz” y restar así,
 g
 Vg   g  f   f 0
t
donde  g 
vg


 ecuación 4    ecuación 3 , para obtener:
x
y

.
p
(5)
ug
es la vorticidad relativa geostrófica. Recuerdan, si  g  0 , la vorticidad relativa
x y
es positiva, que para el hemisferio norte, significa que el giro es ciclónico y en el sentido de las
manecillas del reloj (y para el hemisferio sur, el giro es anticiclónico y todavía en el sentido de las
manecillas del reloj).

Recordamos (lección #6) que vorticidad relativa es una función de la altura y la geopotencial,
g 
g 2
1
 Z   2 .
f0
f0
Ahora, girar a la ecuación de energía termodinámica:
DT  p


Dt
R
donde T es temperatura, p presión, R el constante de un gas atmosférico 287 J kg-1 K-1, y  el
RT d ln 
parámetro estabilidad estática   
, donde  es la temperatura potencial del aire.
p dp
Expandiendo la derivada material nos da:
p



  Vg   T 
R
 t

La ecuación de estado de aire, p   RT , se escribe así:
1


RT
.
p
p
   g , puede ser escrita de p    gz y luego combinada con la
z

1
geopotencial para dar: p    . Reordenando, le queda así:
 .
p

El balance hidrostático,

  RT
En la ecuación de energía termodinámica, divide por –p/R para sacar   Vg  
 
 t
 p
2
Dado que
 RT 
, la ecuación de energía termodinámica se convierte a

p
p
Distribuir el operador a

 
  .
  Vg  
 t
 p
  
   

para obtener 
  Vg  
   .
t  p 
p
 p 
Reordenar el orden de derivación parcial en el primer término a la izquierda para tener:
  
   
   .

  Vg  
p  t 
 p 
Ahora, definir un nuevo variable, llamado “tendencia de altura”:  

. La ecuación de energía
t
termodinámica ahora es:
  

 Vg  
  
p
 p 
Retornar a la ecuación (5),
 g
t
(6)
 Vg   g  f   f 0

1
. Sustituir  g   2 para obtener
p
f0
  

. Reordenar las derivadas, multiplicar ambos lados de la ecuación

  Vg   g  f   f 0
t  f 0 
p
por f0, y sustituir por la tendencia de altura:
2
2    f 0Vg   g  f   f 02

p
(7)
Eliminar  entre las ecuaciones (6) y (7) para obtener la ecuación omega cuasigeostrófica.
 2 f02  2 
f 
R  2
 Vg  p  g  f  
 0
 Vg  pT 
p 
2 


 p



p


p

p


.

A
B
C
3

Los términos en la ecuación omega cuasigeostrófica son las siguientes:
 2 f02  2 
f 
R  2
 Vg  p  g  f  
 0
 Vg  pT 
p 
2 


 p



p


p

p



A
B

C
Término A: El término de la izquierda es muy parecido al laplaciano tridimensional de omega. Es
común suponer un modo de movimiento vertical predominante sinusoidal: se aproxima a cero tanto en
la superficie como en la tropopausa y alcanza un valor máximo/mínimo en la troposfera media. En estas
circunstancias, el operador diferencial del término de la izquierda se comporta cualitativamente como
un signo menos, y actúa que el omega tiene un signo opuesto a los términos de la derecha.
Término B: El primer término de la derecha representa la advección diferencial de la vorticidad

absoluta. Nota que la derivada,
, está en presión p (y no z). Esto significa que, para una parcela de
p
aire que sube de 1000 mb a 500 mb, el denominador p tiene un signo negativo.
Término C: El segundo término de la derecha es proporcional al laplaciano horizontal de la advección
horizontal de la temperatura
Interpretación de la ecuación omega cuasigeostrófica.
Es muy importante notar el signo de omega y los signos de los términos forzantes (B y C). Dos
principios principales son:
1. Advección de vorticidad diferencial que se aumenta con altura (e.d., a 500 mb hay más
advección positiva de vorticidad absoluta que hay a 700 mb) produce ascenso entre los dos
niveles (700 y 500 mb, en este ejemplo).
2. Advección de aire cálido a un cierto nivel (850 mb, por ejemplo) produce ascenso a ese nivel.
Es imperativo que tú sabes cómo demonstrar estos dos principios principales usando los términos en la
ecuación omega cuasigeostrófica. Nota que ambos términos, B y C, empiezan con signos negativos y
también cuentan con derivadas.
4
Más sobre la ecuación omega cuasigeostrofica
Es importante señalar que la ecuación omega es solamente para usos diagnósticos. La
ecuación revela la distribución de omega a la hora de un análisis de altura geopotencial
específico. Sin embargo, la ausencia de derivadas temporales significa que no puede predecir
el movimiento vertical en el futuro.
Esta herramienta evalúa el campo de omega asociado con un modelo simple de dos niveles de
la troposfera.
La distribución de la altura en el nivel de 1000 hPa, que se especifica, es sinusoidal en los ejes
x e y. Esto representa un tren de ondas ideal de sistemas circulares de altas y bajas presiones
con una longitud de onda de 4000 km.
La distribución térmica se representa mediante el espesor de la capa de 1000-500 hPa, en la
cual se supone que la dirección de las isotermas sea constante con la altura. El usuario puede
especificar un patrón de espesor zonal o un patrón de espesor sinusoidal cuya posición
respecto del patrón de 1000 hPa se puede cambiar.
La distribución de la altura en 500 hPa viene determinada por la altura en 1000 hPa y por el
espesor de la capa de 1000-500 hPa.
La distribución de omega se presenta para el nivel de 500 hPa.
Estos niveles se escogieron para que el pronosticador pudiera conceptualizar las distribuciones
reales de omega después de una revisión rápida de las cartas de p.m.n.m. y espesor o de altura
geopotencial y temperatura en 500 hPa.
La distribución de omega cambia en función del desplazamiento en 1000 hPa y de los campos
de espesor elegidos por el usuario.
El impacto de cada uno de los términos de forzamiento del lado derecho de la ecuación se
puede visualizar individualmente y cada uno se puede superponer de forma independiente
para evaluar su contribución al movimiento vertical total.
La herramienta de aprendizaje supone que tanto la altura en 500 hPa como patrón de espesor
de la capa de 1000-500 hPa se comportan como ondas sinusoidales. El patrón de omega se
intensifica o se debilita de acuerdo con la relación de fase que se establezca entre la altura en
500 hPa y el patrón de espesor de la capa de 1000-500 hPa
(Fuente: https://www.meted.ucar.edu/bom/qgoe_es/index.htm).
5
Derivar la ecuación tendencia de altura cuasigeostrófica:
Eliminar  entre las ecuaciones (6) y (7) resulta en la ecuación tendencia de altura cuasigeostrofica:
 2 f02  2 

f02   R






f

V



f



 p
0 
g
p
g
 Vg  pT  .
2 

 p 
 p  p




B
C
A
Los términos en la ecuación tendencia de altura CG son:
Término A: Como en la ecuación omega, El término de la izquierda es muy parecido al laplaciano
tridimensional de omega. Es común suponer un modo de movimiento vertical predominante sinusoidal:
se aproxima a cero tanto en la superficie como en la tropopausa y alcanza un valor máximo/mínimo en
la troposfera media. En estas circunstancias, el operador diferencial del término de la izquierda se
comporta cualitativamente como un signo menos, y actúa que el omega tiene un signo opuesto a los
términos de la derecha
Término B: Advección de vorticidad absoluta geostrófica. Nota: esta advección es solo a un nivel (no
como en la ecuación omega, donde era una diferencial entre dos niveles). Entonces, si haya advección
de vorticitidad positiva a 500 mb, entonces el signo de chi sería negativa, entonces alturas caerán a esa
locación.

Término C: Advección de temperatura diferencial. Nota que aquí si hay presencia de la derivada
,
p
lo cual implica que se debe examinar ese término en la vertical.
Interpretación de la ecuación tendencia de altura cuasigeostrofica.
Es muy importante tomar en cuenta el signo de chi y el signo de cada uno de los términos forzantes de
la derecha. Dos principios principales son:
1. Advección ciclónica (positive) de vorticidad absoluta geostrófica a 500 mb (término B positivo)
produce una reducción en alturas a ese nivel (chi sería negativo).
2. Advección de aire cálida centralizada (maximizada) a 700 mb. Entonces, entre 850 mb a 700

 R
mb,
 Vg  pT  es negativa y Término C es positivo. Entre 700 mb a 500 mb,
p  p




 R
 Vg  pT  es positivo y Término C es negativo. Entonces, advección de aire cálida a
p  p

700 mb, alturas geopotenciales se caen entre 850 mb y 700 mb (chi negativo) y alturas
geopotenciales entre 700 mb y 500 mb se suben (chi positivo). En el caso de advección de aire
frio centralizada (maximizada) a 700 mb, todo sería el opuesto: alturas en la parte inferior se
subirían y alturas en la parte superior se caerían.


6