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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
ANOVA DE DOS VIAS
(Un factor y una variable de bloqueo)
Primitivo Reyes Aguilar
Septiembre de 2007
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES
(ANOVA 2 VIAS)
1. Introducción
En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora
agregando el cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye
la variable de bloqueo.
Se trata de bloquear un factor externo que probablemente tenga efecto en la
respuesta
pero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para mininizar
la variabilidad de este factor externo, evitando que contamine la prueba de
igualdad entre los tratamientos.
Los tratamientos se asignan a las columnas y los bloques a los renglones. Un
bloque indica condiciones similares de los sujetos al experimentar con
diferentes tratamientos.
Las hipótesis son:
Ho: No hay diferencia en las medias del factor de columna
Ha: Al menos una media del factor de columna es diferente
Ho: No hay diferencia en las medias de la variable de renglón
Ha: Al menos una media de la variable de renglón es diferente
2. Ejemplos con cálculo manual
Ejemplo 1.
Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes
máquinas es igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un
nivel de significancia del 5%.
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
Experiencia
Máquinas
de ops. En
años
Maq 1
Maq 2
Maq 3
Promedios
1
27
21
25
24.33333
2
31
33
35
33
3
42
39 39
4
38
41
37
38.66667
5
45
46
45
45.33333
36.6
36
36.2
36.26667
Promedios
40
TABLA ANOVA
SS
SCTR= 0.933333
GL
2
CM
Fc
CMTR= 0.466667 Ftr = 0.09
Falfa
4.46
Fbl =
SCBL= 764.9333
4
CMBL= 191.2333 37.25
SCE =
41.06667
8
CME=
5.133333
SCT =
806.9333
14
CMT=
57.6381
3.84
Conclusión: No hay diferencia entre máquinas a pesar de la diferencia en
experiencia de los operadores.
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
Ejemplo 2
Una empresa de taxis intenta crear un sistema de rutas que minimice el tiempo
que se pasa manejando a ciertas localidades. El tiempo que toma viajar en
cada ruta por los taxis se muestra a continuación:
Var.
Bloqueo
Factor - Ruta
Taxista
1
2
3
4
1
12
15
17
13
2
18
18
18
17
3
10
11
15
9
4
13
12
12
15
5
18
14
12
15
y si afecta el taxista.
Var.
Bloqueo
Factor - Ruta
Taxista
1
2
3
4
1
12
15
17
13
2
18
18
18
17
3
10
11
15
9
4
13
12
12
15
5
18
14
12
15
14.2
X
14
14.8
13.8
14.2
A
4.84
0.64
7.84
1.44
B
14.44
14.44
14.44
7.84
C
17.64
10.24
0.64
27.04
D
1.44
4.84
4.84
0.64
E
14.44
0.04
4.84
0.64
SCT
153.2
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rj*(Xj r
5
X)^2
0
SCTR
0.2
1.8
0.8
2.8
c
4
c*(XiX)^2
0.01
SCBL
92.2
50.41
34.81
5.76
1.21
SCE = SCT - SCTR - SCBL
SCE
58.2
TABLA ANOVA
Fuente de
Variación
SC
g.l.
CM
Columnas
2.8
Renglones
92.2
4
Error
58.2
12
Total
153.2
FC
3 0.9333333 0.1924399
23.05 4.7525773
4.85
Conclusión: No hay diferencia en la tiempo por las rutas a pesar de diferencias
en taxistas
DMS Prueba de TUKEY
Renglones
(n) datos
5 Alfa 0.05%
CME
T  q ,c ,nc
4
r
20
n-c
16
Columnas
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
CME
4.85
Obteniendo q de tablas = 4.05
Diferencias Significativas
x1-x2
3.5 No
x1-x3
3 No
x1-x4
1.25 No
x1-x5
0.5 No
x2-x3
6.5 Significativas
x2-x4
4.75 Significativas
x2-x5
3 No
x3-x4
1.75 No
x3-x5
3.5 No
x4-x5
1.75 No
F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME =12)
F=
4.7472
DMS =
2.1459
Conclusión: Medias Poblacionales de taxistas diferentes
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Ejemplo 3 (Problema 4.1 del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de
experimentos)
Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia
de un tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo
de tela a otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con
los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4
agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se
presentan las resistencias a la tención resultantes. Analizar los datos de este
experimento (utilizar α=0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.
Rollo
Agente
Químico
1
2
3
4
5
1
73
68
74
71
67
2
73
67
75
72
70
3
75
68
78
73
68
4
73
71
75
75
69
Solución
Rollo
Yi.
Agente
Químico
1
2
3
4
73
68
74
71
67
70.6
2
73
67
75
72
70
71.4
3
75
68
78
73
68
72.4
4
73
71
75
75
69
72.6
73.5
68.5
75.5
72.75
68.5
Página 7 de 13
promedio)
5
1
Y.j
Y (gran
71.75
ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
Yijestimada (FITS)
72.35
67.35
74.35
71.6
67.35
73.15
68.15
75.15
72.4
68.15
74.15
69.15
76.15
73.4
69.15
74.35
69.35
76.35
73.6
69.35
Residuos (Eij)
0.65
0.65
-0.35
-0.6
-0.35
-0.15
-1.15
-0.15
-0.4
1.85
0.85
-1.15
1.85
-0.4
-1.15
-1.35
1.65
-1.35
1.4
-0.35
Análisis de varianza de dos factores con una sola
muestra por grupo
RESUMEN Cuenta Suma Promedio
Varianza
Fila 1
5
353
70.6
9.3
Fila 2
5
357
71.4
9.3
Fila 3
5
362
72.4
19.3
Fila 4
5
363
72.6
6.8
Columna 1
4
294
73.5
1
Columna 2
4
274
68.5
3
Columna 3
4
302
75.5
3
Columna 4
4
291
72.75 2.916666667
Columna 5
4
274
68.5 1.666666667
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de Suma de Grado Promedi
F
Probabilid
Valor
las
cuadrad
s de
o de los
ad
crítico
variacion
os
liberta cuadrado
para F
es
d
s
4.316666 2.3761467
3.49029
Filas
12.95
3
67
89 0.12114447
48
21.605504 2.05918E- 3.25916
Columnas
157
4
39.25
59
05
67
1.816666
Error
21.8
12
67
Total
191.75
19
Página 8 de 13
ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
Para el caso de los agentes químicos que son los renglones:
La Ho. No se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.49 y el
valor Fc calculado es de 2.37 por lo tanto no cae en la zona de rechazo.
Calculo del valor P 0.12114447
Por otro lado el valor P = 0.1211 es mayor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma
el no rechazo.
Para el caso de los rollos que son las columnas:
La Ho. se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.25 y el valor Fc
calculado es 21.60 por lo tanto cae en la zona de rechazo.
Calculo del valor P 3.96618E-05
Por otro lado el valor P = 0.00003 es menor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma
el rechazo.
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
3. Procedimiento en Excel:

En el menú herramientas seleccione la opción análisis de datos, en
funciones para análisis seleccione análisis de varianza de dos factores
con una sola muestra por grupo.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.

Alfa = 0.05

En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de
resultados.
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Cuenta
5
5
5
5
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Columna 4
Columna 5
4
4
4
4
4
Suma Promedio Varianza
353
70.6
9.3
357
71.4
9.3
362
72.4
19.3
363
72.6
6.8
294
274
302
291
274
73.5
68.5
75.5
72.75
68.5
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados
Fuente de Suma de
de
Cuadrados
variación Cuadrados libertad
medios
Filas
12.95
3
4.32
Columnas
157
4
39.25
Error
21.8
12
1.82
Total
Total
191.75
231
1
3
3
2.92
1.67
F
Probabilidad tablas
Valor P
2.38
0.12 3.49
21.61
2.06E-05 3.26
Fc
19
24
En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor
crítico para F 2.38<3.49, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H 0. No
tenemos evidencia estadística para afirmar que el agente químico tenga
influencia en la respuesta.
Sin embargo observamos que el rollo si tiene influenza significativa en la
respuesta (P<0.05).
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ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
4. ANOVA en Minitab.
Utilice   0.05 para calcular si hay diferencias entre los efectos de las
columnas y los renglones.
Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e
indicando a que renglón y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:
Resp
73
73
75
73
68
67
68
71
74
75
78
75
71
72
73
75
67
70
68
69
Columna
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
Fila
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Instrucciones:
Stat > ANOVA > One two Way
Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar º!
Display Means
Seleccionar º! Store Residuals º! Store Fits
Graphs
Seleccionar Normal plot of residuals
OK
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Confidence level 95%
ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
Resultados:
La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una
recta para validar el modelo:
Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que
se está utilizando un modelo válido.
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Resp)
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-3
-2
-1
0
Residual
1
2
3
Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo
Source
Agente Químico
Rollo
Error
Total
S = 1.348
DF
3
4
12
19
SS
12.95
157.00
21.80
191.75
R-Sq = 88.63%
MS
4.3167
39.2500
1.8167
F
2.38
21.61
P
0.121
0.000
R-Sq(adj) = 82.00%
Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la
resistencia.
Agente
Químico
Mean
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
---+---------+---------+---------+-----Página 12 de 13
ANOVA DE DOS VÍAS O DIRECCIONES (UN FACTOR BLOQUEADO) P. Reyes / Sept. 2007
1
2
3
4
70.6
71.4
72.4
72.6
Rollo
1
2
3
4
5
Mean
73.50
68.50
75.50
72.75
68.50
(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
---+---------+---------+---------+-----69.6
70.8
72.0
73.2
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
--+---------+---------+---------+------(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
--+---------+---------+---------+------67.5
70.0
72.5
75.0
Se seleccionarían en 2º y 5º rollo ya que tienen los valores más pequeños.
Los Fits y los residuales coinciden con los valores determinados en Excel.
Resp
73
73
75
73
68
67
68
71
74
75
78
75
71
72
73
75
67
70
68
69
Columna
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
Fila
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
RESI1 FITS1 RESI2
0.65
72.35 0.65
-0.15 73.15 -0.15
0.85
74.15 0.85
-1.35 74.35 -1.35
0.65
67.35 0.65
-1.15 68.15 -1.15
-1.15 69.15 -1.15
1.65
69.35 1.65
-0.35 74.35 -0.35
-0.15 75.15 -0.15
1.85
76.15 1.85
-1.35 76.35 -1.35
-0.6
71.6
-0.6
-0.4
72.4
-0.4
-0.4
73.4
-0.4
1.4
73.6
1.4
-0.35 67.35 -0.35
1.85
68.15 1.85
-1.15 69.15 -1.15
-0.35 69.35 -0.35
Página 13 de 13
FITS2
72.35
73.15
74.15
74.35
67.35
68.15
69.15
69.35
74.35
75.15
76.15
76.35
71.6
72.4
73.4
73.6
67.35
68.15
69.15
69.35