Complejos

Herramientas computacionales para la
matemática
MATLAB: Números Complejos
Verónica Borja Macías
Marzo 2013
1
Matlab
Números complejos
 En muchos cálculos matriciales los datos y/o los
resultados no son reales sino complejos, con parte real
y parte imaginaria.
 Para ver como se representan por defecto los números
complejos, ejecútense los siguientes comandos:
Comando
a=sqrt(-4)
b=3+4i
c=3+4*j
 Se pueden utilizar indistintamente la i y la j para
representar el número imaginario unidad.
2
Matlab
Números complejos
 En general, cuando se está trabajando con números
complejos, conviene no utilizar la i como variable.
 Antes de trabajar con complejos conviene ejecutar
clear i, para que i no esté definida como variable.
 Cuando i y j se usan como variables, como unidad
imaginaria, puede utilizarse la función sqrt(-1).
 La asignación de valores complejos a vectores y
matrices es como se muestra en el ejemplo siguiente
Comando
A = [1+2i 2+3i; -1+i 2-3i]
A = [1 2; -1 2] + [2 3; 1 -3]*i
3
Matlab
Números complejos
 MATLAB dispone asimismo de la función complex, que
crea un número complejo a partir de dos argumentos,
la parte real e imaginaria.
Comando
C=complex(1,2)
 Podemos trabajar con complejos en su forma polar y
en forma exponencial.
Comando
Z=3+4i, rho=abs(Z), theta=angle(Z);
Zp=rho*(cos(theta)+i*sin(theta))
Ze=rho*exp(i*theta);
4
Matlab
Números complejos
 El operador de matriz traspuesta ('), aplicado a
matrices complejas, produce la matriz conjugada y
traspuesta.
Ejemplo
Si A = [1+2i 2+3i; -1+i 2-3i] entonces si B=A' tenemos que
B=
1.0000 - 2.0000i -1.0000 - 1.0000i
2.0000 - 3.0000i 2.0000 + 3.0000i
 La función conj(Z) permite hallar la matriz conjugada.
 El operador punto y apóstrofe (.') que calcula
simplemente la matriz traspuesta.
5
Matlab
Números complejos
 Todas las operaciones y funciones aritméticas
funcionan con los números complejos, por ejemplo.
Comando
A=(2+3i)-(4+2i), B=(2+3i)*(4+2i), C=(2+3i)/(4+2i),
D=(1+i)^2, E=sqrt(2+3i), F=exp(i*pi)
 Debemos tener cuidado con las funciones que tienen
varias ramas: logaritmo, potencias fraccionarias,
funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas.
MATLAB trabaja, de forma predeterminada con la rama
principal de dichas funciones.
 Por ejemplo para z complejo log(z) = log|z| + iArg(z)
6
Matlab
Números complejos
Funciones
real(Z)
parte real de un dato complejo
imag(Z)
parte imaginaria de un dato complejo
complex(x,y) complejo construido a partir de las partes
real (x) e imaginaria (yi)
abs(Z)
módulo de un dato complejo, valor absoluto de un
dato real
conj(Z)
complejo conjugado de un dato complejo
angle(Z)
argumento o ángulo de un dato complejo
sign(Z)
función signo si z es complejo y no-nulo, z/|z|.
isreal(Z) determina si un dato es real o complejo
cart2pol pasar de coordenadas cartesianas a polares.
pol2cart pasar de coordenadas polares a cartesianas.
7
Matlab
Números complejos
Ejercicios
1. Realice las operaciones indicadas.
(
a ) ( 2 + 3i ) + 2 − 2i
)
(
c) 2 − 2i
)
3
3−i
1
b)
d ) 2 + 3i + 5 − i
4 + 5i
2
2. Convierta a su forma polar los siguientes complejos.
a ) 2 + 3i
b) 2-2i
c) 12 + 5i
b) 3eiπ /2
c) e 2iπ /3
3. Convierta a su forma cartesiana los siguientes complejos
a ) 2e 2iπ /6
8
Matlab
Números complejos
 Podemos graficar los números complejos
Comando
A=2+3i;
plot(A);
compass(A);
polar(angle(A), abs(A));
 Desafortunadamente no es muy visible el punto, esto
lo podemos arreglar del siguiente modo:
Comando
plot(A, '*r');
compass(A, 'b');
polar(angle(A), abs(A), '*r');
9
Matlab
Números complejos
 Ahora la función recibe tres argumentos, los dos que ya
conocemos y un tercero que le indica a Matlab que
aspecto tendrá el complejo,
Color
y yellow
m magenta
c cyan
r red
g green
b blue
w white
k black
Aspecto
. point
o circle
x x-mark
+ plus
* star
s square
d diamond
v triangle (down)
^ triangle (up)
< triangle (left)
> triangle (right)
p pentagram
h hexagram
10