LA MATRIZ ADMITANCIA DE BARRA 1.

LA MATRIZ ADMITANCIA DE BARRA
1.- Ejemplo Conceptual: SEP sin acoplamiento
El SEP tiene 4 Barras físicas y 5 Líneas de Transmisión sin acoplamientos
mutuos, 2 de las cuales poseen capacidad respecto a tierra (LT12 y LT14):
S G1
S D2
1
2
LT12
LT13
LT14
LT23
LT34
4
3
S G4
SG3
S D4
S D3
Su malla de secuencia directa es:
IG1
U1
I1
ID 2
1
r 12
X L12
U2
I2
2
y p14 /2
yp12 /2
yp12 /2
r 13
r 14
XL23
XL 13
r 23
X L14
y p14 /2
U4
I4
IG4
4
ID 4
X L 34
r 34
U3
I3
I G3
3
ID3
La Impedancia serie del elemento conectado entre cualquier par de nodos i y j:
zij = rij + jX Lij
y
zij = zji
Como no existe acoplamiento mutuo entre líneas:
1
= gij + jbij
z ij
yij = yji =
donde:
rij
g ij =
2
ij
r + X
XL ij
b ij = -
2
L ij
2
ij
r + XL2ij
La admitancia paralelo del elemento conectado entre los nodos i y j, ypij, se
divide en dos partes iguales ypij/2 y se conecta en cada extremo del elemento,
considerándose solo su parte capacitiva:
ypij = gpij + jbpij ≅ jωCpij
(se desprecian las pérdidas óhmicas)
La admitancia paralelo total conectada a un nodo genérico i, es:
yio =
∑
ypik/2 = jbpi = jωCpi
Ω = conjunto de nodos vecinos al nodo i
kεΩ
La corriente que circula por esta yio es Iio donde o es el nodo de referencia o
tierra.
La corriente inyectada neta en una barra i , Ii (corriente de barra o nodo), es:
Ii =
S3φi
U Linea i 3
=
S1φ i
U Fase i
= IGi - IDi =
∑
Iik
k εΩ
Se aplica Kirchoff en cada uno de los nodos físicos del circuito estudiado:
I1 =IG1 = I10 + I12 + I13 + I14 = U 1 y10 + (U1–U2) y12 + (U1–U3) y13 + (U1–U4) y14
I2 = - ID2 = I20 + I21 + I23 = U 2 y20 + (U2 – U 1) y21 + (U2 – U3) y23
I3 = IG3 –ID3 = I31 +I32 +I34 = (U3 – U1) y31 + (U3 – U 2) y32 + (U3 –U4) y34
I4= IG4 – ID4 = I40 + I41 + I43 = U 4 y40 + (U4 – U 1) y41 + (U4 – U3) y43
Donde:
C12 + C14 
y10 = yp12/2 + yp14/2 = jω 
 ; y20 = yp12/2 ;

2

y30 = 0 ;
y40 = yp14/2
Se agrupan estas ecuaciones de nodo sacando como factor común las tensiones
de barras:
I1 = U 1 (y10 + y12 + y13 + y14) + U2 (–y12) + U3 (–y13) + U 4 (–y14)
I2 = U 1 (–y21) + U2 (y20 + y21 + y23) + U3 (–y23)
I3 = U 1 (–y31) + U 2 (–y32) + U3 (y31 + y32 + y34) + U 4 (–y34)
I4 = U 1 (–y41) + U3 (–y43) + U4 (y40 + y41 + y43)
Si a estas ecuaciones las ordeno en forma matricial resulta:
− y12
− y13
− y14
 U1 
I1  (y10 + y12 + y13 + y14)

 U 
I2 
− y21
(y20 + y21 + y23)
− y23
0
x 2 
 = 
(y31 + y32 + y34)
− y31
− y32
− y34
 U3
I3 

  
I4  
0
(y40 + y41 + y43) U4 
− y41
− y43
Se puede escribir entonces la siguiente ecuación matricial:
I1  Y11
I2  Y21
 = 
I3  Y31
I4  Y41
Y12 Y13 Y14 U1 
Y22 Y23 Y24 U2 
x 
Y32 Y33 Y34 U3 
  
Y42 Y43 Y44 U4 
donde por ejemplo:
Y 22 = (y20 + y21 + y23) = sumatoria de las admitancias de los elementos
conectados a la barra 2
Y 21 = Y12 = - y12 = - y21 = admitancia del elemento conectado entre el
nodo 1 y 2 con signo negativo
Y 24 = 0 (no hay conexión física directa entre el nodo 2 y el 4)
En forma compacta:
[IB]4x1 = [YB]4x4 [U B]4x1
donde:
[IB] = Matriz de las corrientes inyectadas en las barras
[Y B] = Matriz de las admitancias de barras
[U B] = Matriz de las tensiones de barras
2.1.- Significado físico de los elementos de esta Matriz [YB]4x4
La corriente inyectada por ejemplo en el nodo 2 vale:
I2 = Y 21 U1 + Y 22 U2 + Y23 U 3 + Y24 U4
De aquí se puede deducir lo siguiente:
Y 22 =
I2
U2
con Uk = 0
para todo k = 1, 3, 4
El elemento de admitancia de barra en la posición 22 (que está en la diagonal
principal), Y22, es igual a la corriente inyectada en el nodo 2, I2, cuando en el
mismo se tiene aplicada una tensión de 1 pu, y el resto de los nodos está
cortocircuitado a tierra (U1 = U3 = U4 = 0).
Esta situación se representa en la Figura:
-
U2=1pu
+
I
U 1=0
1
circulante= I2
A
I2
g 12
2
b 12
y 10
I21
y 20
I20
I23
g 13
g 14
g 23
b 13
b 14
b 23
g 34
y 40
U 4=0
b 34
4
U3=0
3
En el circuito formado se calcula la corriente I2 :
I2 = I20 +I21+I23 = U 2 y20+ (U2 –U1) y21+ (U2–U 3) y23 = U 2 y20 + (U2 –0)y21
+(U2– 0)y23
I2 = U 2 (y20 + y21 + y23) ==> I2/U2 = y20 + y21 + y23 = Y22
La corriente inyectada por ejemplo en el nodo 1 vale:
I1 = Y 11 U1 + Y 12 U2 + Y13 U 3 + Y14 U4
De aquí se puede deducir lo siguiente:
Y 12 =
I1
U2
con U k = 0
para todo k = 1, 3, 4
El elemento de admitancia de barra en la posición 12 (fuera de la diagonal), Y12,
es igual a la corriente inyectada en el nodo 1, I1, cuando se tiene aplicada una
tensión de 1pu en el nodo 2 y el resto de los nodos está cortocircuitado a tierra
(U 1 = U3 = U4 = 0), situación que se representa en la Figura:
Icirculante = - I 1
+
I1
U1=0
I2
1
g 12
y10
I 10
I 21
I 13
y 20
I20
g 13
g 14
2
b 12
I 12
I 14
-
U 2=1pu
A
g 23
b 13
b 14
b 23
g 34
b 34
3
4
y40
U 4=0
U3=0
En el circuito formado se calcula la corriente I1 :
I1 = I10 + I12 + I13 + I14 = U1 y10 + (U1 – U2) y12 + (U1 – U 3) y13 + (U1 – U 4) y14
I1 = 0 y10 + (0 – U 2) y12 + (0 – 0) y13 + (0 – 0) y14 = – U2 y12 =>
I1/U2 = - y12 = Y12
Si se calcula Y 21 se encuentra el mismo resultado (se aplica una tensión de 1pu
en el nodo 1, se mide la corriente en 2, mientras los nodos 2, 3, 4 están
cortocircuitados).